Chỉ số chính qui Castelnuovo - Mumford và tính hữu hạn của hàm Hilbert
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (998.61 KB, 31 trang )
-MUMFORD
Nghệ An - 2013
1
-MUMFORD
Nghệ An - 2013
2
Trang
2
4
1.1. 4
1.2. 6
1.3. 6
1.4. 8
1.5. Dãy chính quy 10
1.6. 11
1.7ner 13
2: Castelnuovo - Mumford
Hàm Hibert 17
- Mumford 17
bert
2.3
30
3
-
Castelnuovo- ,
các
M. E. Rossi N. V. Trung G. Valla.
, k
,
.
qui Castelnuovo-Mumford
Castelnuovo-Mumford
(
nh qui
.
àn thành.
4
5
1.
1. -
i Z i
RR
i j i j
R R R
,
, ij
0
i
R
0i
R
-
M
trên vành -
R
-
i Z i
MM
i j i j
R M M
,ij
.
M
là mô
R
i
R
i
M
i
()deg x i
0 ,
aR
và
xM
là các
( ) ( ) ( )deg ax deg a deg x
0ax
.
0
R
c
i
M
là
0
R
-
xM
và
1
i i j
x x x x
, , ,
kk
x M i k j i j
.
thì
k
x
0
k
x
k
x
). K,
.
1
, ,
n
a a R
[
1
, ,
n
aa
1
1
, ,
n
p
p
n
aa
1
( , , )
n
pp
n
xem
1
, ,
n
aa
.
6
1
, ,
n
a a R
= S[
1
, ,
n
aa
sinh.
1.1.2
0ii
RR
0
R
01
[]R R R
.
1.1.3.
[]Ax
, trong
A
i
A
i A
[]Ax
3 2 4 5 2 4
( 6 )x y z x yz y z y z
là
[ , , ]K x y z
[ ]/A x I
.
sau:
x
(c) N =
iZ
(N
M
i
).
1. Cho M và N R.
:f M N
; ( )
ii
n f M N
.
.
(i)
f
erKf
Im f
(ii)
M N L
7
C
i
i i i
M N L
1.2
1.2.1 . T K
K[x] .
.
K[x]
ng f = c
1
( ) ( )
n
x a x a
1
, , ,
n
c a a K
.
.
(i) T
2
1x
.
.
1
, ,
n
aa
0 trên K.
.
.
0 1 2
n
.
8
Cho
Spec
0
ht(
)
ht(
) = sup
0
}.
, khi
ht(I) = inf{ ht(
) |
spec R,
I
}.
dim
K
dim R
.
/
R
nn M
a
dim M ho
K
dim M
. K
dim dim R.
.
(i) dim K.
(ii) dim =1.
K[
12
, , ,
n
x x x
]
1 1 2
0 ( ) ( , ) x x x
(
12
, , ,
n
x x x
)
dim K[
12
, , ,
n
x x x
]
dim K[
12
, , ,
n
x x x
] = n.
= K[
12
, , ,
n
x x x
dim R =
1 1 2
0 ( ) ( , ) x x x
(
12
, , ,
n
x x x
)
Roether.
9
. Supp M = {
SpecR
|
0M
}Spec R
.
xM
R
Ann x
{a
R| a
x
= 0};
R
Ann M
{a
R| aM = 0}
= {a
R| a
x
= 0,
xM
}.
R
Ann x
R
Ann M
.
R
Ann M
.
Annx
thay cho
R
Ann x
AnnM
thay
cho
R
Ann M
.
-sinh
Supp M = V(
AnnM
) = {
spec R,
AnnM
}.
,
0
M
sao cho
R
Ann
{
rR
|
0rx
}.
R
Ann M
hay
AssM
.
1.4
1.4.1 . (R,
{
12
, , ,
d
x x x
}
m
(M/(
12
, , ,
d
x x x
1
( , , )
d
q x x R
.
..
.
[[ ]]Rx
10
01
0
in
in
i
a x a a x a x
01
, , ,
n
a a a R
[[ ]]Rx
[]Rx
[[ ]]Rx
2
1 0 0 0
n
x x x
1
[[ , , ]]
n
R x x
.
12
[[ , , , ]]
n
K x x x
,
12
( , , , )
n
x x x
.
Ta xem
12
[[ , , , ]]
n
K x x x
dim
12
[[ , , , ]]
n
K x x x
=
12
{ , , , }
n
x x x
12
[[ , , , ]]
n
K x x x
12
12
[[ , ,. , ]]
( ) ( ) 1
( , , , )
n
n
K x x x
l l K
x x x
.
. K -
Samuel
,
( ) ( )
qm
n
M
H n l
qM
, n
t
,
()
qM
pn
>> 0,
- Samuel.
,
()
qM
pn
= dim
,
()
qM
pn
=
1
01
1
( , ) ( , ) ( 1) ( , )
dn
dn
d
d
d
d
e q M e q M e q M
(*)
0
( , ), , ( , )
d
e q M e q M
0
( , )e q M
> 0.
11
0
a
,
()
qM
pn
0
( , )e q M
=
0
a
.d!
.
0
( , )e q M
trong
,
()
qM
pn
.
(q,M) =
0
( , )e q M
.
R = k[
12
, , ,
n
x x x
1.
.
xR
,
0x
0
m
M
,
xR
x
.
1
{ , , }
t
xx
a M
hay M -
1
0
( , , )
t
M
x x M
i
x
11
( , , )
i
M
x x M
,
1,2, ,it
.
.
. Cho I
1
, ,
t
x x I
1
{ , , }
t
xx
yI
1
{ , , , }
t
x x y
-
.
.
IR
-
I u.
M.
12
. Cho (R,
depth (m,M) hay depth M
.
Macaulay
depth M = dim
Cohen Macaulay.
. (i)
11
[ , , ]
n
R k x x
,
21
[[ , , ]]
n
R k x x
depth
1
R
= dim
1
R
= n; depth
2
R
= dim
2
R
= n.
depth = dim = 1.
(ii) R = k[x,y,z] / ((x
2
)
(x
2
,y
3
,z))
dim R = 2 trong khi depth R = 0.
.
.
R
0 :
M
I
0 :
2
M
I
n
M
I
n
(0 :
n
M
I
()
I
M
v.
f(
()
I
M
)
()
I
N
.
()
I
f
hay f
*
()
I
M
.
()
I
: (
f
MN
()
( ) ( )
I
f
II
MN
)
-)
.
1.6. .
13
E
:
0 1 1
0 1 1
0
ii
d d d d
ii
M E E E E
0 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
( ): 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ii
I I I I
d d d d
ii
I I I I I I
E M E E E E
1
( ( )) ( )/ Im ( )
i i i
I I I
H E Ker d d
.
1.6 .
d. K
( ) 0
i
I
HM
,
i
i > d.
1.7.
.
1.7.
:
12
,,m m m
m
12
mm
12
mm mm
.
.
.
1.7.
lex
:
11
11
nn
n rlex n
x x x x
11
( , , )
nn
11
, ,
nn
11ii
.
14
1.7.
lex
11
11
nn
n rlex n
x x x x
11
1 1 1 1
( ) ( )
nn
deg x x deg x x
11
1 1 1 1
( ) ( )
nn
deg x x deg x x
(
11
, , )
nn
ách khác,
11
11
nn
n rlex n
x x x x
11
nn
11
nn
i n sao cho
11
, ,
n n i i
i
>
i
1.7. Cf
R = K
12
[ , , , ]
n
x x x
.
in
f.
.
. Cho f = 4z
5
- x
2
yz + y
3
z
4
+ 2x
5
.
(i) eo
f = 2x
5
-
x
2
yz + y
3
z
4
+
4z
5
lex
in f
= 2x
5
.
x > y > z
f = y
3
z
4
+ 2x
5
+
4z
5
- x
2
yz .
()in f
= ax
k
()lc f a
()
k
lm f x
.
15
(f), lc(f), lm(f) thay cho
()in f
,
()lc f
,
()lm f
.
.
1.7. Cho f, g
(i) in(fg) = in(f) in(g).
(ii) in(mf) = m in(f).
(f) = - in(g).
.
1.7.
I,
in
I hay
In(I) = (in(f) | f
I).
:
1.7.
(i) in(I) = (in(f) | f
I )
(I) = I.
(I)
in(
(I) =J.
(iv) in(I) in(J)
in(IJ).
(v) in(I) + in(J)
in(I + J).
1.7.8 .
s
I :
s
J
=
1i
I :
i
J
:
J
.
16
I :
J
, : (
1
, ,
n
xx
)
sat
I
.
17
CHÍNH QUI CASTELNUOVO - MUMFORD
VÀ
2.1 -
Mumford
= k[x
1
,x
2
, ,x
r
]
t
t
M
phân
10
0 0
s
F F F M
- .
i
b
là sinh
i
F
. Theo trong ([6] 20.5)
M là m - i
i
b
- j <= m,
j.
chính qui Castelnuovo Mumford reg(M) a M
nguyên m t, sao cho M là m-chính qui, là
reg(M) = max{ b
i
i .
-
()
i
sn
Ext M
= n
- m i 1.
. Tuy
nhiên, trong n.
Ta nói M là m - :
1
()
i
s m i
Ext M
i 0 .
umford,
m thì M là m - chính qui (xem [6]).
0], H
2.1.1 . G
nguyên không âm. N R là m - u, thì R là m - chính qui.
18
. ng
a mô i a M.
n M là S - mô phân
n sinh. Vi u
i
H
(M) là
i
. Theo
( ) ( , )
ii
n s m n
H M Ext M S
i và m. D, M là m -
i
n
M
H
= 0 i và n m - i +1,
M là m - chính qui
1
( ) 0
i
mi
HM
i.
t
( ) 0
i
n
HM
i và n m - i + 1.
chính qui Castelnuovo S
môu n sinh . i
i
a
(M): = max{ n |
( ) 0
i
n
HM
},
i
a
(M) = -
( ) 0
i
m
HM
. hì
reg(M) = max{
i
a
(M) + 0}
chú ý có liên quan ch chính qui Castelnuovo - Mumford
.
( ) ( )
M k t
dimh t M
.
()
M
pM
1 sao cho
()
M
ht
=
()
M
pt
t >> 0.
Hàm Hilbert
()
M
hn
c Hilbert
()
M
pn
()
M
hn
=
()
M
pn
19
reg(M). ây là h
nguyên n
(n) -
()
M
pn
=
()
0
( 1)
i
kn
i
dim H M
i
.
, xem [4.
m
Ta nói M là m
( ) 0
i
n
HM
i i > 0 và n > m i + 1
g
-
Rõ ràng
g - reg ( M ) = max {
i
a
(M) + i | i > 0 }.
:
g - reg ( M ) = reg (
H
/
0
H
( M ) ) reg (M ).
reg ( M ) = g - reg ( M ) depth M > 0.
R = S/I
.
2.1.2 . (xem [7]) G
12
12
( 1)
1
( )
s
s
n a s
n a n a
R
a a a
pn
1
a
2
a
s
a
g - reg ( R) = reg ( S/
sat
I
) s 1.
20
( 1)
1
0 0 0
( )
ne
nn
R
p n e
g - reg ( R) e 1.
vành Cohen-Macaulay
reg ( R) e 1.
V.
R = [x, y, z ] / (
2
x
, xy ).
Thì
g - reg ( R) = reg(R) = 1.
g - reg ( R/ zR ) = 0, reg ( R/ zR ) = 1.
umford cho chúng ta m tra
u
chính quy Castelnuovo-
M [10].
2.1.3 lý. Cho R = S / I là z
1
R
reg (R/ Zr ) m thì
m + 1,
k
dim
1
H
()
m
R
=
k
dim
1
H
()
s
R
+
1
s
k
jm
dim
0
H
,
( / )
J
R zR
b) reg (R) m +
k
dim
i
H
()
m
R
c)
k
dim
1
H
()
t
R
=
( ) ( )
RR
p t h t
,
t m 1.
2.2.
21
Castelnuovo
Mumford .
= k [x
1
, ,x
r
] là vành
có Và I là
S. (R)
R
(1).
h
S/I
(t) = h
S/in(I)
(t)
t 0,
nào
llman
2.2.1 . ( xem [2] ) Gt n. Khi
reg ( R) = reg( S/gin(I)).
gin(I) là the
Trong các i hàm Hilbert
Nhe
h
I
(
U
Zarislei
2.2.2 . (xem [3]) khi
Reg (R) reg (S/Lex(I)).
.
G
c . Ta nói:
22
(i)
là HF -
R
(ii)
là HP - sinh ra
Hil
,
(iii)
là reg - u t sao cho:
reg (R) t
R
,
(iv)
là g nguyên t sao cho:
g - reg (R ) t
R
,
(v)
là embdim nguyên t sao cho embdim (R) t
R
.
là lp ca phân
R
=
R/
0
HR
trong R
.
Chú ý :
_
( ) ( )
R
R
h t h t
và
__
( ) ( ) ( )g reg R g reg R reg R
.
K
là HP -
là HP - và
là g reg
-
là reg - .
2.2.3 lý. Glà
ác n.
(a)
là HF
là reg và
(b)
là HP hi
là - reg và
là
.
t là n ten
.
23
(a)
t HF
là . Theo M
2.2.2 i S/I
ta có
reg(S/I) reg(S/lex(I)).
hàm Hilbert S/I
là reg - 2.
reg - . Theo M
2.2.1,
R= S/I
ta có:
reg(S/I) = reg (S/gin(I)) D -1,
trong
gin(I).
các g D
trong S là n. Vì gin(I
có
/ / ( )
( ) ( )
S I S gin I
h t h t
(b) 2.1.2 ta có g - reg(S/I) s - 1
là HP
là g reg -
. V,
là reg - n.
R
ta có
h
R
(1) h
R
(n) =
()
R
pn
= reg(R).
T
là HP - n do n
()
R
n
.
t = max{
()
R
pn
n = reg (R), R
}.
Thì
(1)
R
h
t
R
là u nhúng.
là g - reg , thì
là reg
là embdim - , thì
là HF - n theo (a)
là
HP -
24
2.2.4 .
thì
là HP -
là HF - .
là embdim -
embdim - .
S = k
1
[ , , ]
r
xx
/
22
1 1 1 1
( , , , , , )
n n n n
x x x x x x
>
n
R
k[
n
x
]. T là embdim
ó
không là embdim - embdim
n
R
= n.
Kleiman
2.1.3 ).
()
p
Fx
1
()F X X
V
1
( ) 1
1
1
( ) ( ) .
p
F X p
pp
p
F X F X X
.
sau:
(i
.
(ii
x
R sao cho R/
()
sat
x
.
