Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán Parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
BÙI THỊ NGỌC HÂN
CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ
BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN
TRÊN MIỀN BỊ CHẶN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
BÙI THỊ NGỌC HÂN
CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ
BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN
TRÊN MIỀN BỊ CHẶN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN
NGHỆ AN - 2014
Mục lục
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Kiến thức liên quan 6
1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Không gian L
p
(1  p  1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Khai triển sin Fourier trên L
2
(0; ) . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Bài toán chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa 14
2.1 Tính ổn định của phương pháp điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Phạm Hoàng Quân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy vì đã
tận tình chỉ dạy tác giả những kiến thức trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô phòng Sau đại học và khoa Toán - trường
Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô bộ môn Giải tích; cùng với các thầy cô khoa
Toán - Ứng dụng - Đại học Sài Gòn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè và các bạn học viên
lớp Giải tích K20 đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian
nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong được sự đóng góp của quý
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Nghệ An, ngày 23 tháng 5 năm 2014
Tác giả
2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong quá trình phát triển các ngành khoa học ứng dụng, các nhà khoa học rất
cần sự hỗ trợ của một công cụ quan trọng đó là toán học. Ở một số ngành, lĩnh vực
nghiên cứu như xử lý ảnh, khoa học vật liệu, thủy động học, địa chất học, các điều
kiện hay dữ liệu ban đầu thường không được biết trước mà phải xác định nó khi đã
biết điều kiện cuối cùng . Do đó, bài toán parabo lic ngược thời gian là một bài toán
được khảo sát khá nhiều trong lý thuyết truyền nhiệt. Đây là một bài toán đặt không
chỉnh vì tính không ổn định nghiệm. Trên thực tế, dữ liệu được thu thập qua việc đo
đạc và sau đó được xử lý qua máy tính hay một số thiết bị hỗ trợ. Chính quá trình
này đã tạo ra những sai số của dữ liệu, mặc dù rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt
rất lớn của nghiệm. Vì vậy, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm
chỉnh hóa ổn định cho bài toán. Và hơn nữa, chúng ta cần đưa ra các ước lượng để
đánh giá được tốc độ hội tụ của sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.
Do vậy, chúng tôi chọn luận văn với đề tài: "Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài
toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn".
Mục đích của luận văn là thông qua việc nghiên cứu một bài báo về chỉnh hóa và
ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian, trình bày một cách hệ thống và
chứng minh chi tiết các kết quả liên quan đến vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo
chứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa.
Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1: Kiến thức liên quan.
Trong chương này chúng tôi trình bày các ký hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh,
bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa; không gian các hàm và tích phân Lebesgue; bất
đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz; khai triển sin Fourier cùng với một số bổ đề
cần thiết cho việc chứng minh các định lý ở chương 2.
Chương 2: Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa.
Đây là kết quả chính của luận văn, gồm ba phần.

Phần 1: Trình bày tính ổn định của phương pháp điều chỉnh.
Phần 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số của bài toán bằng phương pháp điều chỉnh.
Phần 3: Trình bày một ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa.
3
Ta xét bài toán ngược cho phương trình tuyến tính không thuần nhất như sau
u
t
(x; t)  a (t) u
xx
(x; t) = f (x; t) ; (x; t) 2 (0; )  (0; T ) ; (1)
u (0; t) = u (; t) = 0; t 2 [0; T ] ; (2)
u (x; T ) = g (x) ; x 2 [0; ] ; (3)
trong đó a (t) là hàm số thỏa mãn điều kiện tồn tại p; q > 0 sao cho
0 < p  a (t)  q: (4)
Đã có rất nhiều bài báo liên quan đến bài toán ngược cho phương trình parabolic
(trong các tài liệu [3]-[6]). Trong tài liệu [7], các tác giả đã giới thiệu phương pháp tựa
khả nghịch (QR method). Họ chỉnh hóa bài toán bằng cách thêm số hạng hiệu chỉnh
vào phương trình chính. Cụ thể, họ nghiên cứu bài toán sau
u
t
+ Ku  K

Ku = 0;
u (x; T ) = g (x) :
Chúng ta thấy rằng bài toán trên có thể áp dụng được nếu chúng ta xây dựng toán
tử liên hợp K

. Trên thực tế, chúng ta có bài toán xấp xỉ khác có tính ứng dụng hơn
bài toán trong [8] và [9] đó là
u

t
+ Ku  Ku
t
= 0;
u (x; T ) = g(x):
Mặt khác, năm 198 3, Showalter đã đưa ra phương pháp tựa giá trị biên (QBV
method). Sử dụng phương pháp này, tác giả đã chỉnh hóa bài toán bằng cách thêm số
hạng hiệu chỉnh vào điều kiện cuối. Áp dụng phương pháp này, Dense và Bessila [4] đã
dùng điều kiện cuối như sau
u(x; T ) u
x
(x; 0) = g (x) :
Như đã nói ở trên, có rất nhiều công tình nghiên cứu về bài toán parabolic ngược
với hệ số hằng nhưng các bài báo liên quan đến hệ số phụ thuộc thời gian thì rất hiếm.
Gần đây, trong tài liệu [10], các tác giả nghiên cứu bài toán ngược cho phương trình
truyền nhiệt (với hệ số hằng) và ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm
chính xác như sau
ku

(:; t)  u (:; t)k  C
t
T
; t > 0
4
và
ku

(:; 0)  u (:; 0)k 
4
p

8C
4
p
T

ln

1



1
4
; t = 0:
Dễ thấy rằng sai số ước lượng trên tiến về 0 rất chậm khi t thuộc một lân cận của
0. Tuy nhiên, trong [11], bằng cách thêm một số điều kiện của f và nghiệm chính xác
u; các tác giả cũng cải thiện phương pháp (dùng trong [11]) để đạt được kết quả ước
lượng sai số tốt hơn [10]
ku

(:; t)  u (:; t)k  T
1

1 +
p
M

e
3L
2

T T
2
1
(T t)
2

t
T
ln

T


t
T
1
:
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày phương pháp chỉnh hóa bài toán parabolic
ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian và ước lượng sai số tiến về 0 nhanh hơn
bậc logarit.
5
Chương 1
Kiến thức liên quan
1.1 Các không gian hàm
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vector X trên R được gọi là một không gian định
chuẩn nếu tồn tại một ánh xạ k:k : X ! R thỏa mãn
i) kxk  0; 8x 2 X và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) kxk = jjkxk; 8 2 R; x 2 X;
iii) kx + yk  kxk + kyk; 8x; y 2 X:

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X; k:k) :
 Dãy x
n
trong X là dãy Cauchy nếu 8 > 0; 9N

2 N sao cho kx
n
 x
m
k < ;
8n; m  N

:
 Dãy x
n
trong X được gọi là hội tụ về x
0
2 X, ký hiệu là x
n
! x
0
khi n ! 1;
nếu lim
n!1
kx
n
 x
0
k = 0:
Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchy

đều hội tụ trong X:
6
1.1.2 Không gian L
p
(1  p  1)
Cho (; M; ) là một không gian đo, trong đó  là một tập hợp không rỗng, M là
một  - đại số trên  và  là một độ đo dương trên M. Gọi L() là tập các hàm khả
tích và với f 2 L() ; ký hiệu
Z

fd
chỉ tích phân của f trên  theo độ đo :
Một hàm số được gọi là đơn giản nếu tồn tại hữu hạn tập đo được A
i
2 M và hữu
hạn số thực 
i
2 R; i = 1; 2; :::; n, sao cho
s =
n
X
i=1

i

A
i
;
trong đó 
A

i
là hàm đặc trưng của tập A
i
, nghĩa là

A
i
(x) =
8
<
:
1 nếu x 2 A
i
;
0 nếu x =2 A
i
:
Định lý 1.1.4 Với mọi hàm đo được f :  ! [0; +1); tồn tại dãy tăng các hàm đơn
giản (s
n
) sao cho 0  s
n
(x) ! f (x) khi n ! 1, với mọi x 2 :
Định lý 1.1.5 (hội tụ đơn điệu) Cho (f
n
) là một dãy tăng các hàm trong L() sao
cho
sup
n
Z


f
n
d < 1:
Ta có (f
n
) hội tụ hầu khắp nơi trên  về một hàm f 2 L() : Hơn nữa,
Z

jf
n
 fjd ! 0 khi n ! 1:
Định lý 1.1.6 (hội tụ bị chặn) Cho (f
n
)  L() sao cho
i) f
n
! f h.k.n trên ; và
ii) tồn tại g 2 L() sao cho jf
n
j  g h.h. trên :
7
Ta có f 2 L() và
Z

jf
n
 fjd ! 0 khi n ! 1:
Định nghĩa 1.1.7 Cho (; M; ) là một không gian đo với độ đo dương và 1 
p  1: Đặt L

p
(; ) là không gian các hàm đo được f xác định trên  sao cho
jfj
p
2 L() và đặt
kfk
p
=
0
@
Z

jfj
p
d
1
A
1
p
:
Định nghĩa 1.1.8 Cho (; M; ) là một không gian đo với độ đo dương. Đặt L
1
(; ) là
không gian các hàm đo được f bị chặn cốt yếu trên , nghĩa là tồn tại
_
C > 0 sao cho
jf (x)j  C; h.h. trên ;
và đặt
kfk
1

= inf

C > 0 : jf (x)j  C trên 

:
Định lý 1.1.9 (Bất đẳng thức H¨older) Cho f 2 L
p
(; ) ; g 2 L
q
(; ), với 1 
p  1;
1
p
+
1
q
= 1: Ta có fg 2 L
1
(; ) và
Z

jfgjd  kfk
p
kgk
q
:
Trong luận vă n này, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức H¨older với trường hợp f; g 2
L
2
[0; ] nghĩa là ta có


Z
0
jfgjdx 
0
@

Z
0
jfj
2
dx
1
A
1
2
0
@

Z
0
jgj
2
dx
1
A
1
2
:
Định lý 1.1.10 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho f; g 2 L

p
() ; với 1  p  1:
Ta có f + g 2 L
p
() và
kf + gk
p
 kfk
p
+ kgk
p
:
Định nghĩa 1.1.11 Với 1  p  1; xét quan hệ  trên L
p
() xác định bởi
f  g , f = g h.h. trên ;
8
với f; g 2 L
p
() :
Rõ ràng  là một quan hệ tương đương. Khi đó, không gian thương L
p
() =  được
ký hiệu là L
p
() và với f 2 L
p
() ; đặt



f


p
= kfk
p
:
Định lý 1.1.12 k:k
p
là chuẩn trong L
p
() ; (1  p  1) : Vậy L
p
(1  p  1) là
không gian định chuẩn.
Định lý 1.1.13 L
p
() ; với 1  p  1; là các không gian Banach.
1.1.3 Không gian Hilbert
Cho H là một không gian vectơ trên R: Một tích vô hướng trên H là một phiếm
hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định dương
h:; :i : H H ! R
(x; y) 7! hx; yi
i) hx + x
0
; yi =  hx; yi+  hx
0
; yi; với mọi ;  2 R; x; x
0
; y 2 H;

ii) hx; y + y
0
i =  hx; yi +  hx; y
0
i; với mọi ;  2 R; x; x
0
; y 2 H;
iii) hx; yi = hy; xi; với mọi x; y 2 H ; và
iv) hx; xi  0; với mọi x 2 H và hx; xi = 0 , x = 0:
Từ tích vô hướng nêu trên, với x 2 H; đặt
jxj = hx; xi
1
2
:
Từ định nghĩa, với x; y 2 H; ta có
0  hx + ty; x + tyi = jxj
2
+ 2t hx; yi + t
2
jyj
2
đúng với mọi t 2 R; ta suy ra
a) Bất đẳng thức Schwarz. Với mọi x; y 2 H;
jhx; yij  jxjjyj:
9
b) Bất đẳng thức tam giác. Với mọi x; y 2 H;
jx + yj  jxj + jyj:
c) Đẳng thức hình bình hành. Với mọi x; y 2 H;





x + y
2




2
+




x  y
2




2
=
1
2

jxj
2
+ jyj
2


:
Đặc biệt, j:j là một chuẩn trên H và do đó H trở thành mộ t không gian định chuẩn
và là một không gian metric với metric sinh bởi chuẩn. Nếu không gian metric này
đầy đủ, ta gọi H là một không gian Hilbert.
Ta quy ướ c về việc dùng ký hiệu j:j thay cho ký hiệu k:k để chỉ chuẩn sinh bởi tích
vô hướng trên một không gian vectơ.
Trong các định nghĩa và định lý tiếp theo ta xét H là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.14 Cho x; y 2 H: Nếu < x; y >= 0 ta nói rằng x trực giao với y và
ký hiệu x ? y:
Định nghĩa 1.1.15 Cho fu
i
g
i2I
là một họ vectơ trong H. Ta nói fu
i
g
i2I
là một họ
trực chuẩn nếu và chỉ nếu < u
i
; u
j
>= 
j
i
; 8i; j 2 I. Ở đây, 
j
i
là số Kronecker, nghĩa
là


j
i
=

1 khi i = j;
0 khi i 6= j:
Định nghĩa 1.1.16 Hệ trực chuẩn fu
i
g
i2I
được gọi là đầy đủ trong H nếu
u =
X
i2I
< u
i
; u > u
i
; 8u 2 E:
Hệ trực chuẩn hữu hạn fu
i
g
i2I
được gọi là đầy đủ trong H nếu nó là cơ sở trong H:
Định lý 1.1.17 ([1]) Cho fu
i
g
i2I
là một họ trực chuẩn đầy đủ trong một không gian

Hilbert H và x là một vectơ trong H. Đặt x
i
= < x; u
i
>; 8i 2 I: Lúc đó, I (x) =
fi 2 I : x
i
6= 0g là một tập quá đếm được và
i) x =
P
i2I
x
i
u
i
;
ii)
P
i2I
jx
i
j
2
= kxk
2
:
10
Định nghĩa 1.1.18 Cho  là tập con của R
n
đo được, với f; g 2 L

2
(), ta đặt
< f; g >=
Z

f (x) g (x) dx;
và
kfk =
0
@
Z

jf (x)j
2
dx
1
A
1
2
:
Khi đó, không gian L
2
() là một không gian Hilbert.
Mệnh đề 1.1.19 Trong không gian Hilbert L
2
(0; ) với hệ trực chuẩn đầy đủ f'
n
(x)g:
Cho u 2 L
2

(0; ), khi đó u =
1
P
n=1
hu; '
n
(x)i'
n
(x), ta có
Chuỗi
1
X
n=1
hu; '
n
(x)i'
n
(x) hội tụ trong L
2
(0; ) nếu và chỉ nếu
1
X
n=1
jhu; '
n
(:)ij
2
< 1:
1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz
Với x = (x

k
)
k
; y = (y
k
) 2 L
2
(R), cho n 2 N, k = 1; n và x
k
; y
k
2 R; ta có

1
X
n=1
x
k
y
k
!
2


1
X
n=1
x
2
k

!
1
X
n=1
y
2
k
!
:
1.1.5 Khai triển sin Fourier trên L
2
(0; )
Cho hàm f 2 L
2
(0; ) : Đặt
~
f (x) =

f (x) nếu 0 < x < 
f (x) nếu   < x < 0
thì
~
f 2 L
2
(0; ) ; ta có các hệ số Fourier
a
n
=
1



Z

~
f (x) cos (nx) dx = 0;
b
n
=
1


Z

~
f (x) sin (nx) dx =
2


Z
0
f (x) sin (nx) dx;
và ta có khai triển
f =
1
X
n=1
b
n
sin (nx) :
Đây là khai triển trực giao của f theo họ fsin (nx)g trong L

2
(0; ) : Khai triển này gọi
là sin Fourier.
11
1.2 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự
chỉnh hóa
1.2.1 Bài toán chỉnh
Định nghĩa 1.2.1 (Tính chỉnh) Cho X và Y là các không gian định chuẩn, K :
X ! Y là một ánh xạ. Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu các điều kiện sau
thỏa mãn:
1. Tính tồn tại:
với mọi y 2 Y , có ít nhất một x 2 X sao cho Kx = y:
2. Tính duy nhất: với mọi y 2 Y , có nhiều nhất một x 2 X sao cho Kx = y:
3. Tính ổn định: nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, tức là với mọi dãy (x
n
)  X
sao cho Kx
n
! Kx suy ra x
n
! x:
1.2.2 Bài toán không chỉnh
Bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa mãn ít nhất một trong ba điều
kiện của bài toán chỉnh.
1.3 Một số bổ đề cần thiết
Các bất đẳng thức sau đây là cần thiết cho việc ước lượng sai số.
Bổ đề 1.3.1 ([2]) Cho n 2 R;  > 0; 0  a  b và b 6= 0. Khi đó
e
na
1 + e

nb
 

a
b
:
Chứng minh. Ta có
e
na
1 + e
nb
=
e
na
(1 + e
nb
)
a
b
(1 + e
nb
)
1
a
b

e
na
(1 + e
nb

)
a
b
 

a
b
:
Bổ đề 1.3.1 đã được chứng minh.
12
Bổ đề 1.3.2 ([2]) Cho a (t) là hàm số thỏa mãn (4) và t 2 [0; T ] ; 0 <  < 1: Khi đó,
với m > 0 ta có
e
m
2
R
t
0
a(s)ds
 + e
m
2
R
T
0
a(s)ds
 
qt
pT


q
p
:
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.1, suy ra
e
m
2
R
t
0
a(s)ds
 + e
m
2
R
T
0
a(s)ds


1


c(t)
;
trong đó c(t) =
R
T
0
a(s)ds

R
t
0
a(s)ds
R
T
0
a(s)ds
:
Từ (4), ta được
F (T ) =
T
Z
0
a (s) ds 
T
Z
0
pds = pT;
F (T ) F (t) =
T
Z
t
a (s) ds 
T
Z
t
qds = q (T t) :
Vì vậy
e

m
2
R
t
0
a(s)ds
 + e
m
2
R
T
0
a(s)ds


1


q(T t)
pT
= 
qt
pT

q
p
:
Bổ đề 1.3.2 đã được chứng minh.
Bổ đề 1.3.3 ([2]) Cho a (t) là hàm số thỏa mãn (4) và t 2 [0; T ] ; 0 <  < 1: Khi đó,
với m > 0 ta có

e
m
2
R
t
0
a(s)ds
 + e
m
2
R
T
0
a(s)ds
 
qt
pT
:
Chứng minh. Ta có
e
m
2
R
t
0
a(s)ds
 + e
m
2
R

T
0
a(s)ds
 :

1


c(t)
= 
F (t)
F (T )
 
pt
qT
:
Bổ đề 1.3.3 đã được chứng minh.
13
Chương 2
Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ
minh họa
Trước hết, ta xét nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3) như sau
u (x; t) =
1
X
m=1
u
m
(t) sin (mx) ; (x; t) 2 [0; ]  [0; T ] ; (2.1)
trong đó

u
m
(t) =
e
m
2
F (t)
e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
t
e
m
2
(F (s)F (t)F (T ))
e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds: (2.2)
Như vậy
u

m
(0) = e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
0
e
m
2
F (s)
f
m
(s) ds:
Để xấp xỉ cho nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3), chúng tôi sử dụng nghiệm
chỉnh hóa sau
u

(g) (x; t) =
1
X
m=1
2
4
e
m

2
F (t)
 + e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
t
e
m
2
(F (s)F (t)F (T ))
 + e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds
3
5
sin (mx) ;
(2.3)
trong đó
g
m

=
2


Z
0
g (x) sin (mx) dx; f
m
(s) =
2


Z
0
f (x; s) sin (mx) dx; F (t) =
t
Z
0
a (s) ds;
và  =  () là tham số chỉnh hóa sẽ được chọn sau sao cho lim
!0
 () = 0:
14
2.1 Tính ổn định của phương pháp điều chỉnh
Định lý sau đây chứng minh tính ổn định của phương pháp điều chỉnh được đưa
ra trong luận văn.
Định lý 2.1.1 ([2]) Giả sử u

(g) và u


(h) là hai nghiệm được định nghĩa trong (2.3)
lần lượt ứng với các giá trị cuối g và h thuộc L
2
(0; ). Khi đó, ta có
ku

(g) (:; t)  u

(h) (:; t)k  
qt
pT

q
p
kg hk; với mọi t 2 [0; T):
Chứng minh. Giả sử u

(g) và u

(h) là hai nghiệm được định nghĩa trong (2.3) ứng
với các giá trị cuối g và h, ta có
u

(g) (x; t) =
1
X
m=1
u

m

(g) (t) sin (mx) ;
u

(h) (x; t) =
1
X
m=1
u

m
(h) (t) sin (mx) ;
trong đó
u

m
(g) (t) =
e
m
2
F (t)
 + e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
t

e
m
2
(F (s)F (t)F (T ))
 + e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds;
u

m
(h) (t) =
e
m
2
F (t)
 + e
m
2
F (T )
h
m

T
Z
t
e

m
2
(F (s)F (t)F (T ))
 + e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds;
và
g
m
=
2


Z
0
g (x) sin (mx) dx;
h
m
=
2


Z
0
h (x) sin (mx) dx;
f

m
(s) =
2


Z
0
f (x; s) sin (mx) dx:
Ứng dụng Bổ đề 1.3.2, ta có ước lượng sau
ku

(g) (:; t)  u

(h) (:; t)k
2
=

2
1
X
m=1
j(u

m
(g) (t)  u

m
(h) (t))j
2
=


2
1
X
m=1





e
m
2
F (t)
 + e
m
2
F (T )
(g
m
 h
m
)





2
 

2qt
pT

2q
p
kg hk
2
:
15
Từ đó, ta có
ku

(g) (:; t)  u

(h) (:; t)k  
qt
pT

q
p
kg hk:
Định lý 2.1.1 đã được chứng minh.
2.2 Kết quả chỉnh hóa
Chúng ta có thể thấy được sự ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác của bài toán
(1)-(3) và nghiệm chỉnh hóa (2.3) tương ứng với dữ liệu đo g

trong định lý sau đây.
Định lý 2.2.1 ([2]) Cho  2 (0; T), g

, g

ex
2 L
2
[0; ], u là nghiệm chính xác của bài
toán (1)-(3) sao cho Q = 2 ku (:; 0)k
2
< 1 và
M = 4T
1
X
m=1
T
Z
0

Z
0




e
m
2
F (s)
u
t
(x; s)




2
+



e
m
2
F (s)
a (s) u
xx
(x; s)



2

dxds < 1:
Nếu  () = 
p
q
và u

(g

) (:; t) được cho bởi (2.3) thì với mọi t 2 [0; T ); ta có
ku

(g


) (:; t)  u (:; t)k  C
1

p
2
t
q
2
T
;
trong đó C
1
= 1 +
p
Q + M.
Chứng minh. Từ (2.3), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu
đo g

và dữ liệu chính xác g
ex
u

(g

) (x; t) =
1
X
m=1
u


m
(g

) (x; t) sin (mx) ; (2.4)
u

(g
ex
) (x; t) =
1
X
m=1
u

m
(g
ex
) (x; t) sin (mx) ; (2.5)
trong đó
u

m
(g

) (t) =
e
m
2
F (t)

 () + e
m
2
F (T )
g

m

T
Z
t
e
m
2
(F (s)F (t)F (T ))
 () + e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds;
u

m
(g
ex
) (t) =
e
m

2
F (t)
 () + e
m
2
F (T )
g
ex
m

T
Z
t
e
m
2
(F (s)F (t)F (T ))
 () + e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds:
16
Từ Định lý 2.1.1, ta được
ku

(g


) (:; t)  u

(g
ex
) (:; t)k  
qt
pT

q
p
kg

 g
ex
k (2.6)
 
qt
pT

q
p
:
Do (2.5) và (2.2), ta được
u
m
(t)  u

m
(g
ex

) (t) =
e
m
2
F (t)
e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
t
e
m
2
(F (s)F (t)F (T ))
e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds

0
@
e

m
2
F (t)
 + e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
t
e
m
2
(F (s)F (t)F (T ))
 + e
m
2
F (T )
f
m
(s) ds
1
A
=
e
m
2

F (t)
 + e
m
2
F (T )
0
@
e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
t
e
m
2
F (s)
f
m
(s) ds
1
A
: (2.7)
Dựa vào Bổ đề 1.3.3, ta có
ju
m

(t)  u

m
(g
ex
) (t)j 
e
m
2
F (t)
 + e
m
2
F (T )






e
m
2
F (T )
g
m

T
Z
t

e
m
2
F (s)
f
m
(s) ds






 
pt
qT






u
m
(0) +
t
Z
0
e
m

2
F (s)
f
m
(s) ds






:
Cho nên
ku

(g
ex
) (:; t)  u (:; t)k
2
=

2
1
X
m=1
ju

m
(g
ex

) (t)  u
m
(t)j
2
 
2pt
qT

2
1
X
m=1






u
m
(0) +
t
Z
0
e
m
2
F (s)
f
m

(s) ds






2
 
2pt
qT

2
1
X
m=1
2
4
2 ju
m
(0)j
2
+ 2






t

Z
0
e
m
2
F (s)
f
m
(s) ds






2
3
5
:
17
Vì thế
ku

(g
ex
) (:; t)  u (:; t)k
2
 
2pt
qT


1
X
m=1
ju
m
(0)j
2
+ 
2pt
qT

0
@
1
X
m=1
T
Z
0



e
m
2
F (s)
f
m
(s)




ds
1
A
2
 
2pt
qT

1
X
m=1
ju
m
(0)j
2
+ 2
2pt
qT
0
@
1
X
m=1
T
Z
0







e
m
2
F (s)

Z
0
f (x; s) sin (mx) dx






ds
1
A
2
= 
2pt
qT

1
X
m=1

ju
m
(0)j
2
+2
2pt
qT
0
@
1
X
m=1
T
Z
0






e
m
2
F (s)

Z
0
(u
t

(x; s)  a (s) u
xx
(x; s)) sin (mx) dx






ds
1
A
2
= 2
2pt
qT
ku
ex
(:; 0)k
2
+2
2pt
qT
0
@
1
X
m=1
T
Z

0







Z
0
e
m
2
F (s)
(u
t
(x; s)  a (s) u
xx
(x; s)) sin (mx) dx






ds
1
A
2
 2

2pt
qT
ku
ex
(:; 0)k
2
+2T 
2pt
qT
1
X
m=1
T
Z
0







Z
0



e
m
2

F (s)
(u
t
(x; s)  a (s) u
xx
(x; s))



dx






2
ds:
Suy ra
ku

(g
ex
) (:; t)  u (:; t)k
2
 2
2pt
qT
ku
ex

(:; 0)k
2
+ 2T 
2pt
qT
1
X
m=1
T
Z
0

Z
0
je
m
2
F (s)
u
t
(x; s)
e
m
2
F (s)
a (s) u
xx
(x; s) j
2
dxds

 2
2pt
qT
ku
ex
(:; 0)k
2
+ 4T 
2pt
qT
1
X
m=1
T
Z
0

Z
0
je
m
2
F (s)
u
t
(x; s) j
2
+je
m
2

F (s)
a (s) u
xx
(x; s) j
2
dxds
 
2pt
qT
(Q + M) ; (2.8)
trong đó
Q = 2 ku
ex
(:; 0)k
2
;
M = 4T 
pt
qT
1
X
m=1
T
Z
0

Z
0
h
je

m
2
F (s)
u
t
(x; s) j
2
+ je
m
2
F (s)
a (s) u
xx
(x; s) j
2
i
dxds:
18
Do đó, từ (2.6) và (2.8), ta có
ku

(g

) (:; t)  u (:; t)k  ku

(g

) (:; t)  u

(g

ex
) (:; t)k + ku

(g
ex
) (:; t)  u (:; t)k
 
qt
pT

q
p
 + 
pt
qT
p
Q + M:
Cho  () = 
p
q
, ta có ước lượng sau
ku

(g

) (:; t)  u (:; t)k 


p
q


qt
pT

q
p
 +


p
q

pt
qT
p
Q + M
 
t
T
+ 
p
2
t
q
2
T
p
Q + M
 C
1


p
2
t
q
2
T
;
trong đó C
1
= 1 +
p
Q + M:
Định lý 2.2.1 đã được chứng minh.
Cuối cùng, chúng tôi đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác của (1)-(2) và
nghiệm chỉnh hóa trong định lý sau.
Định lý 2.2.2 ([2]) Cho  2 (0; T), g

, g
ex
2 L
2
[0; ] và u là nghiệm chính xác của
bài toán (1)-(3) sao cho tồn tại một số dương  2 (0; qT) thỏa mãn

2
1
X
m=1
e

2m
2
u
2
m
(t) < A
2
2
, 8t 2 [0; T ] ;
trong đó u
m
(t) =
2

R

0
u (x; t) sin (mx) dx. Nếu giả sử rằng  = 
pT
q(T +)
và u

(g

) (:; t)
được cho bởi (2.3) thì với mọi t 2 [0; T ] ta có
ku (:; t)  u

(g


) (:; t)k  
t+
T +
+ A
2

p+
q
2
(T +)
:
Chứng minh. Từ (2.7), ta có
u
m
(t)  u

m
(g
ex
) (t) =

 + e
m
2
F (T )
u
m
(t) :
Vì vậy
ju

m
(t)  u

m
(g
ex
) (t)j =
e
m
2
 + e
m
2
F (T )
e
m
2
ju
m
(t)j
 

qT
e
m
2
ju
m
(t)j:
Do đó

ku

(g
ex
) (:; t)  u (:; t)k
2
=

2
1
X
m=1
ju

m
(g
ex
) (t)  u
m
(t)j
2
 
2
qT

2
1
X
m=1
e

2m
2
ju
m
(t)j
2
 
2
qT
A
2
2
: (2.9)
19
Vậy, từ (2.6) và (2.9), ta có
ku

(g

) (:; t)  u (:; t)k  ku

(g

) (:; t)  u

(g
ex
) (:; t)k + ku

(g

ex
) (:; t)  u (:; t)k
 
qt
pT

q
p
 + 

qT
A
2
:
Cho  = 
pT
q(T +)
, ta thu được kết quả ước lượng sau
ku

(g

) (:; t)  u (:; t)k 


pT
q(T +)

qt
pT


q
p
 +


pT
q(T +)


qT
A
2
= 
t+
T +
+ A
2

p
q
2
(T +)
:
Định lý 2.2.2 đã được chứng minh.
Nhận xét 2.2.3 ([2]) Trong Định lý 2.2.1, chúng ta dễ dàng thấy được sai số ước
lượng giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa là C
1

p

2
t
q
2
T
: Khi đó, nếu t dần về thời
điểm t = 0 thì sai số ước lượng tiến về 0 rất chậm. Đặc biệt, nếu t = 0 thì nghiệm
chỉnh hóa có thể không hội tụ về nghiệm chính xác. Để cải thiện vấn đề này, chúng tôi
chọn tham số chỉnh hóa khác là  = 
pT
q(T +)
(trong Định lý 2.2.2) và đạt được sai số
tốt hơn trong Định lý 2.2.1.
Nhận xét 2.2.4 ([2]) Trong Định lý 2.2.2, ta cần điều kiện để khai triển u
m
(t) và
ta xem như giả thiết

2
1
P
m=1
e
2m
2
u
2
m
(t) < A
2

2
không phụ thuộc vào hàm f (x; t) : Do đó,
điều kiện này là chấp nhận được.
2.3 Ví dụ minh họa
Ta xét bài toán parabolic tuyến tính không thuần nhất với hệ số phụ thuộc thời
gian sau
u
t
(x; t)  a (t) u
xx
(x; t) = f (x; t) ; (x; t) 2 (0; )  (0; 1) ;
u (x; 1) = g (x) ;
trong đó
a (t) = 2t + 1; f (x; t) = 
sin t sin x
e
t
2
+t
: (2.10)
20
Nghiệm chính xác của bài toán là
u
ex
(x; t) =
cot t sin x
e
t
2
+t

: (2.11)
Khi đó
u
ex
(x; 1) =
cot 1 sin x
e
2
: (2.12)
Từ (3), suy ra
u
ex
(x; 1) = g
ex
(x) =
cot 1 sin x
e
2
: (2.13)
Cho t = 0, từ (2.11), ta có
u
ex
(x; 0) = sin x: (2.14)
Xét dữ liệu đo sau
g

(x) =

1 + 
s

4e
4
 (cos 2 + 1)
!
g
ex
(x) ; (2.15)
khi đó
kg

 g
ex
k
2
= 
s
4e
4
 (cos 2 + 1)
kg
ex
k
2
= : (2.16)
Từ (2.3) và (2.15), ta có nghiệm chỉnh hóa cho trường hợp t=0
u

(g

) (x; 0) =

1
X
m=1
u

m
(g

) (0) sin (mx) ;
trong đó
u

m
(g

) (0) =
1
 () + e
2m
2
g

m

T
Z
t
e
m
2

(
s
2
+s2
)
 () + e
2m
2
f
m
(s) ds:
Xét các giá trị "
1
= 10
1
; "
2
= 10
5
; "
3
= 10
50
; "
4
= 10
60
; "
5
= 10

100
; với t = 0
ta có bảng sau
" ku
"
i
(g
"
i
) (:; 0)  u
ex
(:; 0)k
"
1
= 10
1
9:231542e  001
"
2
= 10
5
6:520434e  001
"
3
= 10
50
4:298486e  008
"
4
= 10

60
9:260810e  010
"
5
= 10
100
3:253301e  016
Sau đây là các hình minh họa cho nghiệm chính xác u
ex
(:; t) và nghiệm chỉnh
hóa u

i
(g

i
) (:; t) ; với i = 1; 2; 3; 4; 5:
21
Hình 2.1: Nghiệm chính xác u
ex
(:; t) và nghiệm chỉnh hóa u

i
(g

i
) (:; t) ; i = 1; 2:
Hình 2.2: Nghiệm chỉnh hóa u

i

(g

i
) (:; t) ; i = 3; 4; 5:
22
Hình 2.3: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm ban đầu t = 0:
Hình 2.1 và Hình 2.2 miêu tả nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm
t = 0:
Trong Hình 2.3, ta có thể thấy đường cong 0 biểu diễn nghiệm chính xác trùng với
các đường cong i biểu diễn nghiệm chỉnh hóa ứng với "
i
; i = 3; :::5:
23