Ảnh hưởng của sự định hướng giữa các mômen lưỡng cực điện lên sự đảo lộn độ cư trú trong hệ nguyên tử ba mức

MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
PHỤ LỤC Error: Reference source not found4 2
MỞ ĐẦU 2
Chương I 5
TƯƠNG TÁC GIỮA HỆ NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG LASER 5
1.1 Ma trận mật độ 5
1.2 Phương trình Liouville 8
1.3 Hệ nguyên tử hai mức 10
1.4 Hệ nguyên tử ba mức 15
KẾT LUẬN CHƯƠNG I 22
Chương 2 23
ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ ĐỊNH HƯỚNG GIỮA CÁC MÔMEN LƯỠNG CỰC
ĐIỆN LÊN SỰ ĐẢO LỘN ĐỘ CƯ TRÚ TRONG HỆ NGUYÊN TỬ BA MỨC
CẤU HÌNH BẬC THANG 23
2.1 Hệ các phương trình ma trận mật độ của nguyên tử ba mức 23
2.2 Biểu thức hiệu độ cư trú 31
2.3 Khảo sát sự đảo lộn độ cư trú trong hệ nguyên tử ba mức 39
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 51
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
PHỤ LỤC 56
PHỤ LỤC Error: Reference source not found 4
MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, nguyên lí làm việc của máy phát Laser là dựa trên
hiện tượng khuếch đại ánh sáng bằng bức xạ cưỡng bức. Điều đó chỉ có thể thực
hiện được khi tồn tại trạng thái đảo lộn độ cư trú (tức là, số hạt ở mức trên E
2
phải cao hơn ở mức dưới E
1
). Tuy nhiên, mật độ cư trú giữa các mức trong

nguyên tử tuân theo định luật phân bố Boltzmann – là hàm phụ thuộc năng lượng
và nhiệt độ của các mức năng lượng nguyên tử, các mức kích thích càng cao thì
độ cư trú càng nhỏ và ngược lại. Để có đảo lộn độ cư trú giữa các mức năng
lượng bên trong hệ nguyên tử thì theo truyền thống phải sử dụng các quá trình
bơm quang học. Tuy nhiên, trong vài năm gần đây đã có rất nhiều sự quan tâm
nghiên cứu về việc tạo ra đảo lộn độ cư trú không bằng cách bơm quang học,
một trong số đó là dựa trên hiệu ứng giao thoa lượng tử giữa các kênh dịch
chuyển bên trong hệ nguyên tử. Ưu điểm của phương pháp này là tạo ra môi
trường đảo lộn độ cư trú, đồng thời giảm đáng kể sự hấp thụ của tín hiệu.
Hiện tượng giao thoa ánh sáng có thể quan sát không chỉ giữa hai chùm
ánh sáng mà còn giữa các bức xạ phát ra từ một số lượng nhỏ của các nguyên tử
hay phân tử, hoặc thậm chí trong các bức xạ phát ra từ một hệ nguyên tử nhiều
mức [16]. Trong một hệ nguyên tử thì các quá trình chuyển mức trong nguyên tử
có thể được coi là các nguồn điểm bức xạ, tương tự như các khe trong thí nghiệm
2
của Young. Kết quả giao thoa trong trường hợp này là từ sự chồng chất của các
biên độ xác suất dịch chuyển giữa các trạng thái lượng tử của hệ nguyên tử, và
hiện tượng này được gọi là giao thoa lượng tử.
Giao thoa lượng tử có thể dẫn đến nhiều hiệu ứng thú vị như phát laser mà
không có sự nghịch đảo mật độ cư trú (LWI) [14,15], tăng cường hệ số khúc xạ
mà không có sự hấp thụ [10], sự trong suốt cảm ứng điện từ [8], cộng hưởng siêu
hẹp trong phổ huỳnh quang [11], lưỡng ổn định và đa ổn định quang học [4],…
Sự giao thoa giữa các kênh phát xạ tự phát khác nhau cũng có thể tạo ra
trạng thái chồng chất kết hợp. Hiệu ứng giao thoa được gây ra bởi phát xạ tự
phát được gọi là “độ kết hợp được tạo bởi phát xạ tự phát” (spontaneously
generated coherence – SGC) [7, 15] hay một số tác giả khác dùng thuật ngữ “độ
kết hợp được cảm ứng bởi phát xạ tự phát” (spontaneously induced coherence –
SIC) [3]. Những nghiên cứu ban đầu về hiệu ứng giao thoa này được thực hiện
đối với hệ nguyên tử ba mức năng lượng, độ kết hợp này có thể được tạo ra bởi
sự giao thoa của phát xạ tự phát của cả hai mức năng lượng gần nhau tới một

mức chung (cấu hình chữ V) [3], hoặc bởi một trạng thái kích thích tới hai mức
cơ bản gần nhau (cấu hình lambda) [7]. Trong cấu hình bậc thang [12], độ kết
hợp này cũng có thể được tạo ra trong trường hợp các mức nguyên tử có khoảng
cách đều nhau. Năm 1996, Xia và cộng sự [6] lần đầu tiên nghiên cứu thực
nghiệm về các hiệu ứng giao thoa tăng cường và triệt tiêu trong phát xạ tự phát.
Sự tồn tại của các hiệu ứng SIC phụ thuộc vào tính không trực giao của các phần
tử ma trận lưỡng cực
12
µ
ur
và
23
µ
ur
[7].
Với tầm quan trọng của lĩnh vực này, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu
“ Ảnh hưởng của sự định hướng giữa các mômen lưỡng cực điện lên sự đảo
lộn độ cư trú trong hệ nguyên tử ba mức” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của
3
mình. Trong khuôn khổ luận văn chúng tôi tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của
hiệu ứng SIC lên sự đảo lộn độ cư trú giữa các mức trong hệ nguyên tử ba mức
cấu hình bậc thang.
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận chung, luận văn được trình bày trong
hai chương với nội dung như sau:
Chương I. Tương tác giữa hệ nguyên tử với trường Laser
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về ma trận
mật độ, thiết lập phương trình Liouville mô tả tương tác giữa hệ nguyên tử với
trường laser. Đồng thời đưa vào mô hình dao động Rabi là một mô hình đơn giản
dùng để mô tả dao động của độ cư trú giữa hai mức năng lượng của hệ nguyên tử
dưới sự kích thích bởi một trường ánh sáng đơn sắc. Dựa trên các khái niệm cơ

bản trên, chúng tôi lần lượt xét sự tương tác của hệ nguyên tử hai mức và ba mức
với các trường ánh sáng khi tính đến các quá trình phân rã. Chúng tôi cũng giới
thiệu một số hiệu ứng thú vị trong hệ nguyên tử ba mức là kết quả của hiện
tượng giao thoa lượng tử giữa các kênh dịch chuyển trong nguyên tử khi được
kích thích kết hợp bởi hai trường laser. Dẫn ra khái niệm về “độ kết hợp được
cảm ứng bởi phát xạ tự phát”. Đây là cơ sở cho việc nghiên cứu ảnh hưởng của
độ kết hợp này trong chương tiếp theo.
Chương II. Ảnh hưởng của sự định hướng giữa các mômen lưỡng cực điện
lên sự đảo lộn độ cư trú trong hệ nguyên tử ba mức
Chúng tôi xây dựng hệ phương trình ma trận mật độ đối với hệ nguyên tử
ba mức cấu hình bậc thang tương tác với hai trường laser khi kể đến số hạng giao
thoa lượng tử sinh ra từ sự định hướng không trực giao giữa các momen lưỡng
cực điện. Từ đó dẫn ra biểu thức hiệu độ cư trú giữa các mức trong nguyên tử.
4
Nghiên cứu sự ảnh hưởng của sự định hướng giữa các mô men lưỡng cực điện
lên hiệu độ cư trú giữa các mức. Rút ra bộ thông số phù hợp có thể tạo sự đảo
lộn độ cư trú lớn nhất có thể. So sánh kết quả bằng phương pháp giải tích trong
luận văn với kết quả bằng phương pháp số trong công trình [17].
Chương I
TƯƠNG TÁC GIỮA HỆ NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG LASER
Khi xét một bài toán tương tác thường có ba cách để mô tả bài toán đó là :
cổ điển, bán cổ điển và lượng tử. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi trình
bày cách mô tả bán cổ điển, ở đó hệ nguyên tử (phân tử) tuân theo các quy luật
lượng tử và được gọi là “hệ lượng tử”. Khảo sát tương tác của trường kích thích
với hệ lượng tử, chúng ta tìm được thay đổi của các thông số đặc trưng cho hệ
thông qua việc giải phương trình chuyển động. Đó là phương trình liên quan đến
thay đổi các thông số đặc trưng cho hệ theo thời gian.
1.1 Ma trận mật độ
Xét một hệ lượng tử mà trạng thái của hệ được đặc trưng bởi hàm sóng
),( tr

r
Ψ
. Giả sử xác định hoàn toàn được trạng thái của hệ lượng tử ở trạng thái
( , )
i
r t
Ψ
r
. Hàm sóng này tuân theo phương trình Schrödinger [1]
( , )
ˆ
( , )
i
i
r t
i H r t
t
ψ
ψ
∂
=
∂
r
r
h
(1.1)
trong đó
ˆ
H
là toán tử Hamilton toàn phần của hệ và được xác định

0
ˆ ˆ ˆ
( )
I
H H H t
= +
. (1.2)
5
0
ˆ
H
là Hamilton cho nguyên tử tự do và
( )
ˆ
I
H t
biểu diễn năng lượng tương tác.
Hàm sóng
( , )
i
r t
Ψ
r
được khai triển :
( , ) ( ) ( )
i
n n
n
r t C t U r
Ψ =

∑
r r
(1.3)
ở đây
( )
n
C t
,
)(rU
n
r
tương ứng là trị riêng và hàm riêng của một toán tử A đặc
trưng cho một đại lượng vật lý nào đó, nghĩa là :
( ) ( ) ( )
( , ) ( )
n n n
n n
n
A U r C t U r
A r t C A U r
=
⇒ Ψ =
∑
r r
r r
. (1.4)
Các hàm riêng
( )
n
U r

r
thoả mãn tính chất trực giao và chuẩn hóa theo hệ thức:
( ) | ( )
m n mn
U r U r
δ
=
r r
. (1.5)
với
1
mn
δ
=
khi m = n và
0
mn
δ
=
khi m
≠
n.
Ký hiệu giá trị trung bình ( giá trị kì vọng ) của đại lượng vật lý A trong trạng
thái
( , )
i
r t
Ψ
r
là

A
thì
( ) ( )
, ,
i i
A r t A r t
ψ ψ
=
r r
, ta có:
* *
, ,
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i
m n m n m m n n
n m n m
r t A r t C t C t U r A U r C t U r A U r C
Ψ Ψ = =
∑ ∑
r r r r r r

*
,
( ) ( )
m mn n
n m
C t A C t
=
∑
,

Như vậy
*
,
m mn n
m n
A C A C
=
∑
. (1.6)
Trong đó
( ) ( )
mn m n
A U r A U r
=
r r
là yếu tố ma trận của toán tử
ˆ
A
đối với hàm riêng
( )
n
U r
r

Nếu trạng thái
( , )
i
r t
Ψ
r

hoàn toàn xác định ta gọi trạng thái đó là trạng thái
thuần khiết. Khi đó sự tiến triển theo thời gian của hệ sẽ được mô tả từ phương
trình (1.1) đến (1.6). Tuy nhiên, các hệ lượng tử thường gặp vì một nguyên nhân
6
nào đó ví dụ do sự va chạm giữa các nguyên tử nên trạng thái của hệ không xác
định được chính xác. Trạng thái đó gọi là trạng thái hỗn hợp.
Trạng thái hỗn hợp của hệ lượng tử theo nguyên lí chồng chất trạng thái:
( , ) ( , )
i
i
i
r t C r t
Ψ = Ψ
∑
r r
với xác suất để hệ lượng tử ở trạng thái i là
2
i i
P C
=
. Ở
đây
i
P
là một số thực dương thỏa mãn hệ thức
1
i
P
=
∑

.
Ta định nghĩa các phần tử của ma trận mật độ của hệ như sau
*i i
nm i m n
i
PC C
ρ
=
∑
. (1.7)
Các phần tử ma trận mật độ có ý nghĩa vật lý như sau: phần tử đường chéo
nn
ρ
cho ta xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái riêng
n
. Các phần tử ngoài đường
chéo
nm
ρ
cho “sự kết hợp” giữa mức
n
và
m
, với ý nghĩa này
nm
ρ
sẽ chỉ khác 0
nếu hệ là chồng chất kết hợp của trạng thái riêng năng lượng
n
và

m
. Các phần
tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ trong một số trường hợp xác định sẽ tỷ
lệ với mô men lưỡng cực điện của nguyên tử.
Với cách mô tả này chúng ta có thể tính giá trị kì vọng của biến số động
lực A bất kì. Như đã trình bày ở trên, khi trạng thái của hệ được biết chính xác
biểu diễn bởi hàm sóng
( , )
i
r t
Ψ
r
thì giá trị kì vọng được tính bởi
*
i i
m n mn
i
A C C A
=
∑
, do đó đối với trường hợp trạng thái của hệ không được biết chính xác thì giá trị
kì vọng sẽ nhận được bằng cách lấy trung bình phương trình (1.6) trên toàn bộ
trạng thái khã dĩ của hệ
*i i
i m n mn
i nm
A P C C A
=
∑ ∑
. (1.8)

Từ (1.7) có thể viết lại (1.8) dưới dạng
7
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
nm mn nm mn nn
nm n m n
A A A A tr A
ρ ρ ρ ρ
= = = ≡
∑ ∑ ∑ ∑
(1.9)
Ở đây chúng ta đưa vào vết của toán tử, nó được định nghĩa cho một toán tử
ˆ
M

bất kì là
ˆ
( )
nn
n
Tr M M
=
∑
[1]. Do đó giá trị kì vọng của A được cho bởi
ˆ
ˆ
( )A tr A
ρ
=

(1.10)
Với
ˆ
ρ
là toán tử mật độ có phần tử ma trận là
mn
ρ
,
ˆ
ˆ
A
ρ
là tích của toán tử
ˆ
ρ

với
toán tử
ˆ
A
và
ˆ
ˆ
( )
nm
A
ρ
là phần tử ma trận của tích này.
Ma trận mật độ ρ là một ma trận vuông , nó xác định hoàn toàn trạng thái
của hỗn hợp của hệ, vì biết được ma trận mật độ ta có thể tính được giá trị trung

bình của một đại lượng vật lí A bất kì từ công thức (1.9). Bằng cách đo các giá trị
trung bình của một số đại lượng trong trạng thái pha trộn, ta có thể tìm được ma
trận mật độ của trạng thái đang xét, nghĩa là xác định được tất cả các phần tử (nói
chung là phức ) của ma trận này. Một kết quả quan trọng khác là
1tr
ρ
=
. Kết quả
này được suy ra từ điều kiện chuẩn hóa.
Ma trận vuông phức với N hàng sẽ có N
2
phần tử phức. Do ma trận mật độ
là ecmitic hay
*
mn nm
ρ ρ
=
dẫn đến N
2
phần tử phức chuyển thành N
2
phần tử thực.
Kết hợp với điều kiện chuẩn hóa ta có việc xác định trạng thái pha trộn sẽ đưa về
việc đo N
2
-1 đại lượng độc lập.
1.2 Phương trình Liouville
Để tìm phương trình chuyển động của ma trận mật độ, ta đạo hàm biểu
thức (1.7) theo thời gian
*

* *
i i
i i i i
i n m
nm m n i m n
i i
dP dC dC
C C P C C
dt dt dt
ρ
 
= + +
 ÷
 
∑ ∑
&
. (1.11)
8
Giả sử
i
P
không thay đổi theo thời gian, số hạng thứ nhất trong biểu thức này sẽ
triệt tiêu. Số hạng thứ hai được tính trực tiếp nhờ phương trình Schrödinger.
Ta có : Từ biểu thức ( 1.1) suy ra
( )
ˆ
( ) ( ) ( )
i
i
n

n n n
n n
dC t
i u r C t Hu r
dt
=
∑ ∑
r r
h
. (1.12)
Nhân vô hướng hai vế của (1.12) với
( , )
i
r t
Ψ
r
và sử dụng điều kiện chuẩn hóa :
Ta thu được:
* *
.
i
i i i
n
m m n
dC
i
C C H C
dt
υ υ
υ

−
=
∑
h
(1.13)
Tương tự lấy liên hợp phức hai vế (1.12) rồi nhân vô hướng hai vế với
( , )
i
r t
Ψ
r
:
*
* * *
.
i
i i i i i
m
n n m n m
dC
i i
C C H C C H C
dt
υ υ υ υ
υ υ
= =
∑ ∑
h h
(1.14)
Thay (1.13), (1.14) và bỏ qua số hạng thứ nhất bên vế phải của (1.11) ta có

* *
( )
i i i i
nm i n m m n
i
i
P C C H C C H
υ υ υ υ
υ
ρ
= −
∑ ∑
&
h
. (1.15)
Sử dụng (1.7), phương trình (1.15) được viết đơn giản như sau
( ),
nm n m n m
i
H H
υ υ υ υ
υ
ρ ρ ρ
= −
∑
&
h
(1.16)
cuối cùng lấy tổng trên
ν

ta thu được phương trình
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) ,
mn mn
mn
i i
H H H
ρ ρ ρ ρ
−
 
= − =
 
&
h h
(1.17)
Phương trình (1.17) mô tả sự tiến triển theo thời gian của các phần tử ma trận
mật độ như là kết quả của các tương tác được bao gồm trong Hamilton
ˆ
H
. Và
phương trình này có thể viết dưới dạng :
ˆ
ˆ
ˆ
,
i
H
t
ρ

ρ
∂
 
= −
 
∂ h
(1.18)
9
Phương trình (1.18) gọi là phương trình Liouville cho ma trận mật độ, nó dùng
để mô tả tương tác của hệ nguyên tử với trường điện từ.
1.3 Hệ nguyên tử hai mức
1.3.1 Dao động Rabi
Mô hình dao động Rabi là một mô hình đơn giản được đưa vào để mô tả
dao động của nguyên tử dưới sự kích thích bởi một trường ánh sáng đơn sắc
(chẳng hạn như laser). Xét hệ nguyên tử hai mức có trạng thái cơ bản là
1
và
trạng thái kích thích là
2
, W
1
và W
2
là các giá trị năng lượng tương ứng, thỏa
mãn điều kiện dịch chuyển lưỡng cực tương tác với trường laser có tần số ω
c
gần
với tần số dịch chuyển của nguyên tử ω
12
như trên hình 1.1.

Hình 1.1. Mô hình nguyên tử hai mức tương tác với trường laser có tần số
ω
c
gần
cộng hưởng với tần số dịch chuyển nguyên tử
ω
12
.
Do quá trình hấp thụ và bức xạ, độ cư trú của hệ (biễu diễn bằng số các
dấu chấm như trong hình 1.2) ở trạng thái dưới và trên thay đổi tuần hoàn với
cùng theo tần số Ω
R
(còn được gọi là tần số Rabi) [9]:
10
2
12
12R
E
µ
Ω = ∆ +
h
(1.19)
trong đó ∆
12
=
ω
c
-
ω

12
là độ lệch tần,
µ
12
là phần tử ma trận mômen lưỡng cực
dịch chuyển, còn E là cường độ điện trường của trường laser.
Chúng ta thấy rằng khi độ lệch tần tăng thì tần số Rabi tăng do đó chu kỳ dao
động Rabi (T
R
= 2π/Ω
R
) giảm xuống. Vì vậy, khi tần số trường ngoài xa với tần
số cộng hưởng thì ảnh hưởng của trường lên sự thay đổi độ cư trú có thể bỏ qua.
Hình 1.2. Sự thay đổi độ cư trú theo thời gian (dao động Rabi) của nguyên tử hai mức
dưới tác động của trường ngoài sau một chu kì dao động Rabi.
1.3.2 Các quá trình dịch chuyển trong nguyên tử hai mức
Vào đầu thế kỷ 20, sử dụng mô hình Bohr kết hợp với tính ngẫu nhiên
trong tương tác giữa ánh sáng với các nguyên tử, Einstein đã đưa ra ba quá trình
cơ bản trong tương tác giữa ánh sáng với vật chất: hấp thụ, phát xạ cưỡng bức và
phát xạ tự phát.
Phát xạ tự phát là quá trình các nguyên tử đang ở trạng thái có mức năng
lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn. Quá trình
hấp thụ là quá trình khi có tác động của trường ánh sáng ngoài, các nguyên tử ở
mức cơ bản nhận năng lượng của photon ánh sáng để nhảy lên mức kích thích.
Và quá trình phát xạ cưỡng bức là quá trình khi có tác động của trường ngoài,
11
thời gian
các nguyên tử nhảy từ mức kích thích xuống mức cơ bản do cưỡng bức bởi
photon ánh sáng. Gọi P
m

, P
n
tương ứng là xác suất tìm thấy nguyên tử ở trạng
thái m và n. Theo định luật Boltzmann, P
m
được xác định như sau:
.
m
W
kT
m
P C e
−
=
(m = 1,2). (1.20)
Khi đó xác suất phát xạ tự phát của nguyên tử trên một đơn vị thời gian kí hiệu là
được xác định:

21
TN
dP
A
dt
=
. (1.21)
Trong đó A là hệ số Einstein, hệ số này phụ thuộc vào bản chất nguyên tử và chỉ
xác định được bằng thực nghiệm. Gọi
γ
là tốc độ phân rã trong phát xạ tự phát,
ta có:

1
2
R
A
γ
τ
= =
. (1.22)
Xác suất hấp thụ và xác suất phát xạ cưỡng bức trên một đơn vị thời gian
được xác định:
12
HT
dP
B
dt
ρ
=
,
21
CB
dP
B
dt
ρ
=
. (1.23)
Einstein đã chứng minh được rằng, trong trạng thái cân bằng nhiệt động số
photon bị hấp thụ và số photon được phát xạ bằng nhau và quan hệ giữa các hệ
số: B

12
= B
21
= B (1.24)

3
2 3
A
B c
ω
π
=
h
, (1.25)
trong đó
3
2
3
3
o
A
c
ω
µ
πε
=
h
(1.26)
với
µ

là mômen lưỡng cực điện của hệ. Vì vậy, tốc độ hấp thụ/phát xạ cưỡng bức
12
của ánh sáng bởi môi trường sẽ tỷ lệ với hệ số Einstein B nhân với độ cư trú
ρ
ii
(i
= 1, 2) của trạng thái đầu tiên của quá trình:
12
11
21 22
hâp thu
.
phát xa cuong buc
B
B
ρ
ρ
=
(1.27)
Theo mô hình này, chúng ta có các hệ quả sau:
+ Vì B
12
= B
21
nên để có độ khuếch đại thì cần phải có nghịch đảo độ cư trú
(
22
ρ
>
11

ρ
)
+ Chúng ta không thể tạo môi trường khuếch đại từ các nguyên tử hai mức
vì quá trình hấp thụ và phát xạ cưỡng bức luôn luôn đi cùng nhau nên cực đại
của độ cư trú của mức trên chỉ bằng độ cư trú mức dưới. Nghĩa là môi trường
hoạt cho laser chỉ có thể là từ 3 mức trở lên.
1.3.3 Tương tác giữa hệ nguyên tử hai mức với trường khi có phân rã
Theo lý thuyết bán cổ điển thì hệ nguyên tử là một hệ lượng tử (trong đó
các mức năng lượng của hệ đã được lượng tử hoá), còn trường điện từ vẫn được
xem là trường cổ điển (tức là trường vẫn được mô tả bởi hàm thông thường của (
BE
rr
,
)). Ở đây, ta chỉ xét nguyên tử hai mức năng lượng [1] và không suy biến
nên toán tử
0
H
trong (1.2) là :






=
2
1
0
0
0

W
W
H
. (1.28)
Cường độ trường ngoài được biểu diễn dưới dạng :
( )
rktEE
L
r
r
−=
ω
cos
0
, (1.29)
ở đây
k
r
là véc tơ sóng. Với ánh sáng nhìn thấy thì
( )
17
10/2
−
≈= mk
λπ
và với bán
kính nguyên tử
mr
10
10

−
≈
, thì có thể lấy
0
≈
kr
. Trong phép gần đúng như thế gọi
là phép gần đúng lưỡng cực điện.
13
( )
titi
LL
ee
E
E
ωω
−
+=
2
0
. (1.30)
Thông thường ta chọn gốc toạ độ tại trọng tâm nguyên tử nên có thể đặt
0
0
r
r
=r
,
lực
F

r
tác dụng lên êlectron là
EeF
rr
−=
, khi đó thế năng tương tác là :
µ
°
I
H E
µ
= −
, (1.31)
µ
ˆ
er
µ
= −
chỉ toán tử mômen lưỡng cực điện của nguyên tử,
°
E
là cường độ trường
laser phụ thuộc thời gian.
Các phần tử ma trận chéo
I
H
được lấy bằng không:
11 22
0
µ µ

= =
,
điều này là thích hợp với các dịch chuyển giữa các trạng thái có tính chẵn xác
định. Không mất tính tổng quát ta có thể lấy các hàm riêng sao cho
21 12
µ µ µ
= =

là thực. Khi đó ta có thể viết :
( )
( )
0
0
I
E t
H
E t
µ
µ
 
−
=
 
−
 
. (1.32)
Trạng thái của hệ nguyên tử hai mức được mô tả bằng toán tử ma trận mật độ với
các thành phần :







=
2221
1211
ρρ
ρρ
ρ
. (1.33)
Khi đó ta viết lại (1.18) như sau:
[ ]
nmnm
H
i
,,
,
ρρ

&
=
. (1.34)
Phương trình (1.34) chỉ là trường hợp lý tưởng chỉ đúng khi cường độ, pha
và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và các mức năng lượng của
hệ lượng tử không suy biến. Tuy nhiên, trong thực tế không phải như vậy, do
nhiều nguyên nhân, các thông số thường có thể thăng giáng và năng lượng của
14
hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nào đó. Sự mở rộng đó có thể do va
chạm, do sự mở rộng tự nhiên, do sự mở rộng Doppler Vì vậy, để tổng quát

hơn, chúng ta phải bổ sung ảnh hưởng của các thăng giáng này vào phương
trình, tức là phải đưa thêm vào ma trận suy giảm tương ứng với các thăng giáng,
các quá trình phân rã. Khi đó phương trình của hệ nguyên tử với trường có dạng:
[ ]
( )
,
, ,
,
m n
m n m n
i
H
ρ ρ ρ
= − Γ
&
h
(1.35)
Г là toán tử mô tả quá trình tích thoát do phân rã tự phát, do va chạm,
ρ
là toán
tử ma trận mật độ.
Trong công thức (1.35) chúng ta có
11
ρ
và
22
ρ
mô tả xác suất tồn tại hay độ
cư trú của hạt ở các mức
1

và
2
còn
12
ρ
,
21
ρ
mô tả xác suất chuyển hạt giữa
hai mức (phép chuyển lưỡng cực) hay còn được gọi là độ liên kết giữa hai mức.
1.4 Hệ nguyên tử ba mức
1.4.1 Tương tác giữa hệ nguyên tử ba mức với các trường khi có phân rã
Như đã biết trong hệ nguyên tử hai mức, dưới tác dụng của một trường
điều khiển thì độ cư trú ở hai trạng thái của hệ sẽ thay đổi theo thời gian theo dao
động Rabi. Tuy nhiên, nếu có thêm một trường nữa cùng tác dụng thì mô hình
nguyên tử hai mức không thể mô tả được và phải sử dụng mô hình nguyên tử
nhiều mức. Minh họa cho điều này là hệ nguyên tử ba mức được kích thích bởi
hai trường laser. Lúc đó, có thể xảy ra nhiều hiệu ứng thú vị mà ta không thể
quan sát được trong nguyên tử hai mức. Tính chất quan trọng mà dẫn tới sự khác
biệt giữa các hệ ba mức hoặc nhiều mức so với các hệ hai mức đó là sự liên kết
của hai trường laser với các tần số khác nhau. Một tập hợp các nguyên tử hai
mức khác nhau có thể cộng hưởng với nhiều hơn một trường đơn sắc. Tuy nhiên,
15
mỗi trường laser chỉ cộng hưởng với một loại của nguyên tử và thậm chí nếu
cường độ là đủ cao để đẩy các nguyên tử ra xa trạng thái cân bằng, thì mỗi
trường laser không có ảnh hưởng lên nhau và do đó không có sự liên kết giữa
các chùm khác nhau. Còn trong hệ nguyên tử ba mức, thì hai sóng laser với các
tần số khác nhau có thể tương tác với cùng một nguyên tử. Nếu chúng là đủ
mạnh để đẩy hệ nguyên tử ra xa sự cân bằng, thì mỗi sóng quang học có thể ảnh
hưởng khác nhau – môi trường trở nên “trộn” các sóng và do đó hệ nguyên tử có

thể liên kết thông tin pha và biên độ giữa các chùm.
Chúng ta xét trường hợp đơn giản là nguyên tử ba mức tương tác với hai
trường ngoài. Có ba cấu hình cơ bản sử dụng kích thích kép này và được mô tả
như trên hình 1.3. Trong các cấu hình nói trên thì dịch chuyển giữa
1
và
3

(đối với a), giữa
1
và
2
(đối với b), giữa
3
và
2
(đối với c) là bị cấm theo
quy tắc dịch chuyển lưỡng cực.
Hình 1.3. Các cấu hình cơ bản của nguyên tử 3 mức tương tác với các trường: (a) –
cấu hình bậc thang, (b)-cấu hình Lambda (Λ), (c)- cấu hình chữ V (V).
16
(a)
(b)
(c)
Đưa vào hệ nguyên tử ba mức năng lượng hai trường laser có tần số và
cường độ thích hợp, một trường điều khiển cường độ (E
c
) và một trường dò có
cường độ (E
p

) để điều hưởng hai dịch chuyển của nguyên tử có một mức chung.
Phương trình mô tả tương tác giữa hệ nguyên tử ba mức với hai trường
ánh sáng laser có dạng như sau:
[ ]
ˆ
ˆ
,
mn
i
H
t
ρ
ρ ρ
∂
= + Λ
∂
h
(1.36)
trong đó, số hạng
ρ
Λ
mô tả các quá trình phân rã.
Ứng với hệ ba mức năng lượng,
ρ
là toán tử ma trận mật độ cỡ (3
×
3):











=
333231
232221
131211
ρρρ
ρρρ
ρρρ
ρ
(1.37)
mn
ρ
là các phần tử ma trận mật độ (m, n = 1,2,3).
*
mn m n
C C
ρ
=
phải thoả mãn điệu kiện chuẩn hóa
1
332211
=++
ρρρ
và

*
mn nm
ρ ρ
=
.
Để tìm được sử tiến triển của hệ ta cần giải hệ các phương trình (1.36) cho
tất cả các thành phần ma trận mật độ của ρ
ij
. Vì vậy, sự phức tạp của bài toán sẽ
phụ thuộc vào số lượng trường điện từ tương tác với hệ và số lượng các mức
năng lượng tham gia vào quá trình tương tác.
Dưới đây, chúng ta xét vài hiệu ứng sinh ra khi hệ nguyên tử ba mức
tương tác kết hợp với hai trường laser.
1.4.2 Các hiệu ứng kết hợp trong hệ nguyên tử ba mức
Một trong những hiệu ứng kết hợp được quan sát khi nghiên cứu tương tác
giữa các nguyên tử ba mức với hai trường laser là hiệu ứng trong suốt cảm ứng
điện từ EIT (EIT-Electromagnetically Induced Transparency). Theo đó, khi
chiếu một chùm laser vào môi trường thì nó bị hấp thụ, nhưng nếu chiếu đồng
17
một chùm có cường độ mạnh và một chùm còn lại có cường độ yếu thì môi
trường lúc đó trở nên “trong suốt” (không bị hấp thụ) đối với chùm có cường độ
yếu này. Sự loại bỏ hấp thụ của môi trường trong trường hợp này là do hiệu ứng
ứng giao thoa lượng tử giữa các kênh dịch chuyển do chùm có cường độ mạnh
tạo ra. Sự giao thoa này còn dẫn đến một số các hiện tượng thú vị khác như: phát
laser không cần đảo lộn độ cư trú [14, 15], tăng cường hệ số khúc xạ mà không
có sự hấp thụ [10].v.v.
Để có sự phát laser theo phương pháp thông thường, người ta dùng bơm
quang học với điều kiện công suất bơm Q phải vượt qua công suất ngưỡng Q
th

được xác định bởi [14]:
th
th
N
Q
ω
τ
∆
=
h
, (1.38)
trong đó ∆N
th
> 0 là hiệu độ cư trú tại điều kiện ngưỡng laser thứ nhất, τ là thời
gian sống của mức laser trên. Gọi κ là độ mất mát của buồng cộng hưởng thì
∆N
th
=

2
κ
/ħ
ω
B(
ω
), với B(
ω
) là hệ số Einstein tại tần số
ω
. Với môi trường mở

rộng vạch phổ với hàm chuẩn hóa độ rộng g(
ω
), lúc đó B(
ω
) = Bg(
ω
), vì vậy ta
có:
3
2 3
2 2
( ) ( )
th
A
Q
g B c g
κ κ
ω
ω π
ω
= =
h
. (1.39)
Do tính chất chuẩn hóa nên ta có
( ). 1g
ω
ω
∆ :
. Với trường hợp mở rộng tự
nhiên, theo hệ thức bất định Heisenberg ta có

1/
ω τ
∆ =
, trong đó
1/ A
τ
=
. Với
trường hợp mở rộng Doppler thì ∆
ω
có bậc cỡ
ω
và không phụ thuộc mô men
lưỡng cực điện. Vì vậy theo phương trình (1.39), công suất bơm ngưỡng có bậc
cỡ
ω
6
và
2
µ
đối với mở rộng tự nhiên, còn với trường hợp mở rộng Doppler thì
công suất bơm ngưỡng tỷ lệ với
ω
4
. Từ các lập luận này ta thấy rằng, khi tăng tần
số laser lên miền bước sóng ngắn thì công suất ngưỡng tăng mạnh, nghĩa là trong
18
miền này rất khó tạo sự đảo lộn độ cư trú để phát laser như cách làm thông
thường. Tuy nhiên, dựa trên ý tưởng về bẫy độ cư trú kết hợp [5] thì có thể tạo
môi trường hoạt laser mà ở đó quá trình hấp thụ bị triệt tiêu và do đó sự phát

laser có thể xảy ra mà không cần có đảo lộn độ cư trú. Thực vậy, do sự ‘‘trong
suốt” của môi trường cộng hưởng khi có mặt của trường ánh sáng điều khiển thì
trong những điều kiện nhất định, sự khuếch đại (phát xạ cưỡng bức) sẽ đáng kể
hơn so với sự hấp thụ cho dù mật độ cư trú ở trạng thái dưới lớn hơn trạng thái
trên. Đây chính là hiệu ứng phát laser không có đảo lộn độ cư trú LWI (LWI-
Laser Without Inversion) [14, 15].
1.4.3 Sự định hướng giữa các mômen lưỡng cực điện
Khi sự định hướng giữa các mômen lưỡng cực điện do hai trường laser đặt
vào hai dịch chuyển bên trong hệ nguyên tử nhiều mức không trực giao thì có thể
sinh ra hiệu ứng giao thoa giữa các kênh phát xạ tự phát của các dịch chuyển đó.
Nhờ sự giao thoa này mà có thể tạo ra trạng thái chồng chất kết hợp. Để thấy rõ
được mối quan hệ này, chúng ta khảo sát hệ nguyên tử ba mức bậc thang với các
mức cách đều như mô tả trên hình 1.4. Tốc độ phân rã tự phát từ các trạng thái
2
và
3
lần lượt là
1
Γ
và
2
Γ
. Hai trường kết hợp có các tần số
p
ω
và
c
ω
với các
tần số Rabi

12 p
p
E
µ
Ω =
h
và
23 c
c
E
µ
Ω =
h

điều khiển các dịch chuyển
2
↔
1
và
3
↔
2
, tương ứng.
Vì các momen lưỡng cực không trực giao nên chúng ta có thể khảo sát sự
sắp xếp sao cho mỗi trường chỉ tác dụng vào một dịch chuyển, như được mô tả
trong hình 1.5. Gọi
12
µ
ur
và

23
µ
ur
lần lượt là véctơ mômen lưỡng cực điện đối với
19
các dịch chuyển
2
↔
1

và
3
↔
2

dưới tác dụng của chùm dò và chùm điều
khiển.
Bây giờ, chúng ta chú ý rằng, khi khoảng cách giữa các mức cách đều
nhau thì ảnh hưởng của độ kết hợp phát xạ tự phát là quan trọng, sẽ được giải
thích ở phần sau của luận văn. Tham số mô tả hiệu ứng giao thoa lượng tử sinh
ra từ sự liên kết chéo giữa các kênh phát xạ tự phát là [13]:
3 3
12 21 12 23 1 2 1 2
3
0
. os
3
p c
c p
c

ω ω
µ µ θ
πε
Γ = Γ = = Γ Γ = Γ Γ
r r
h
(1.40)
Hình 1.4. Cấu hình 3 mức bậc thang được điều kiển bởi hai trường kết hợp ω
c
và ω
p
.
1
Γ
và
2
Γ
là tốc độ phát xạ tự phát, Δ
c
và Δ
p
là độ lệch tần của các trường kết hợp.
20
3
2
1
c
∆
p
∆

c
ω
p
ω
2
Γ
1
Γ
12
µ
r
23
µ
r
p
E
r
c
E
r
θ
Hình 1.5. Sự định hướng giữa hai mômen lưỡng cực
12
µ
ur
và
23
.
µ
ur

trong đó :
3 2
12
1
3
0
3
p
c
ω µ
πε
Γ =
h
,
3 2
23
2
3
0
3
c
c
ω µ
πε
Γ =
h
,
θ
là góc giữa hai vectơ
12

µ
ur
và
23
µ
ur
. Tham số
12 23
12 23
.
os
.
p c
µ µ
θ
µ µ
= =
ur ur
ur ur
biểu thị sự định hướng giữa hai momen lưỡng cực điện, đặc
trưng cho cường độ giao thoa. Do (
0
0 90
θ
≤ ≤
) suy ra
0 1p≤ ≤
. Tham số p đóng
vai trò rất quan trọng trong sự tạo ra độ kết hợp cảm ứng bởi phát xạ tự phát. Khi
hai mômen lưỡng cực song song thì ảnh hưởng của hiệu ứng giao thoa lượng tử

là lớn nhất p = 1 =>
12 1 2
Γ = Γ Γ
, ngược lại, khi hai momen lưỡng cực trực giao
thì không có sự giao thoa do phát xạ tự phát hay p=0
=>
12
0Γ =
.
Phương trình Liouville mô tả sự tiến triển của các phần tử ma trận mật độ
khi kể đến số hạng giao thoa lượng tử trong phát xạ tự phát là [16]:
2
ij
, 1
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, ( 2 )
i j i j j i
i j
i
H S S S S S S
t
ρ
ρ ρ ρ ρ
+ − + − − +
=
∂
 
= − − Γ + −

 
∂
∑
h
(1.41)
Chúng tôi sử dụng phương trình này để dẫn ra hệ các phương trình ma trận mật
độ tiến triển theo thời gian và từ đó dẫn ra biểu thức hiệu độ cư trú giữa các mức.
21
KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày lý thuyết bán cổ điển mô tả tương
tác giữa nguyên tử với trường ánh sáng dựa trên hình thức luận ma trận mật độ.
Theo đó, trạng thái của hệ nguyên tử được mô tả theo phương trình Liouville.
Trong trường hợp đơn giản nhất, hệ nguyên tử tương tác với một trường
laser và được mô tả theo mô hình nguyên tử hai mức. Trong mô hình này, độ cư
trú của các trạng thái sẽ dao động kết hợp theo tần số Rabi.
Khi có hai trường cùng tương tác, lúc này số mức năng lượng tham gia
vào quá trình tương tác tăng lên so với trường hợp nguyên tử hai mức. Kèm theo
sự gia tăng số mức năng lượng tham gia tương tác, trong hệ nguyên tử nhiều
mức sẽ xuất hiện một số hiệu ứng mới mà trong hệ nguyên tử hai mức không có.
Sự khác biệt này do kết quả của giao thoa giữa các kênh dịch chuyển trong
22
nguyên tử (giao thoa lượng tử). Tiêu biểu cho giao thoa lượng tử trong nguyên tử
là một số hiệu ứng như bẫy độ cư trú kết hợp, phát laser không cần đảo lộn độ cư
trú, hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ.
Các hiệu ứng giao thoa lượng tử phụ thuộc vào tốc độ phân rã tự phát và
sự định hướng giữa các mô men lưỡng cực điện dịch chuyển. Sự ảnh hưởng này
lên độ cư trú sẽ được nghiên cứu chi tiết ở chương 2.
Chương 2
ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ ĐỊNH HƯỚNG GIỮA CÁC MÔMEN LƯỠNG
CỰC ĐIỆN LÊN SỰ ĐẢO LỘN ĐỘ CƯ TRÚ TRONG HỆ NGUYÊN

TỬ BA MỨC CẤU HÌNH BẬC THANG
2.1 Hệ các phương trình ma trận mật độ của nguyên tử ba mức
Sự sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái lượng tử dưới sự kích
thích kết hợp của chùm laser dò và laser liên kết có thể được mô tả thông qua ma
trận mật độ bởi phương trình:
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
,
i
H
t
ρ
ρ ρ
∂
 
= − + Λ
 
∂ h
. (2.1)
trong đó:
•
ˆ
H
là Haminton toàn phần của hệ và được xác định bằng:
0
ˆ ˆ ˆ
I
H H H
= +

, (2.2)
23
0
ˆ
H
là Haminton của nguyên tử tự do được xác định theo công thức :
0 1 2 3
ˆ
1 1 2 2 3 3H
ω ω ω
= + +h h h
, (2.3)
và dạng ma trận của nó là :
1
0 2
3
0 0
ˆ
0 0
0 0
H
ω
ω
ω
 
 
=
 
 
 

h
h
h
. (2.4)
I
ˆ
H
là Haminton tương tác của hệ nguyên tử và hai trường ngoài. Trong gần đúng
lưỡng cực điện, nó được xác định [2]:
µ
I
ˆ
H .E
µ
= −
%
, (2.5)
ở đây
µ
µ
là toán tử mômen lưỡng cực điện,
E
%
là cường độ điện trường tổng hợp.

( ) ( ) ( )
3
ij ij 12 12 23 23
1
2 1 1 2 3 2 2 3

I
i j
H E i j j i E E
µ µ µ
≠ =
= − + = − + − +
∑

(2.6)
Hay
( )
( )
2 1 1 2 3 2 2 3
p p
c c
i t i t
i t i t
I p c
H e e e e
ω ω
ω ω
−
−
= − Ω + − Ω +
h h
.
trong đó:

12
2

p
p
E
µ
Ω =
h
tần số Rabi của chùm laser dò,

23
2
c
c
E
µ
Ω =
h
tần số Rabi của chùm laser điều khiển.
Các Hamilton tương tác được diễn dưới dạng ma trận như sau:
0 0
0
0 0
p
p
c
c
i t
p
i t
i t
I p c

i t
c
e
H e e
e
ω
ω
ω
ω
−
−
 
− Ω
 
= − Ω − Ω
 
 
− Ω
 
 
h
h h
h
.
Ta có Hamilton toàn phần là:
24
1
0 2
3
0

0
p
p
c
c
i t
p
i t
i t
I p c
i t
c
e
H H H e e
e
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
 
− Ω
 
= + = − Ω − Ω
 
 

− Ω
 
 
h h
h h h
h h
(2.7)
Thay (1.37) và (2.7)vào thành phần thứ nhất của vế phải phương trình (2.1)ta có:
[ ]
1
11 12 13
21 22 23 2
31 32 33 3
0
,
0
p
p
c
c
i t
p
i t
i t
p c
i t
c
e
H e e
e

ω
ω
ω
ω
ω
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ω
ρ ρ ρ ω
−
−
 
− Ω
 
 
 
= − Ω − Ω
 
 
 
 
− Ω
 
 
 
h h
h h h
h h

1
11 12 13

2 21 22 23
3 31 32 33
0
0
p
p
c
c
i t
p
i t
i t
p c
i t
c
e
e e
e
ω
ω
ω
ω
ω
ρ ρ ρ
ω ρ ρ ρ
ω ρ ρ ρ
−
−
 
− Ω

 
 
 
− − Ω − Ω
 
 
 
 
− Ω
 
 
 
h h
h h h
h h
(2.8)
Từ phương trình trên ta có hệ phương trình sau :
[ ]
21 12
11
, ( ),
p p
i t i t
p
H e e
ω ω
ρ ρ ρ
−
= Ω −h
(2.9a)

[ ]
2 1 12 22 11 13
12
, ( ) ( ) ,
p
c
i t
i t
p c
H e e
ω
ω
ρ ω ω ρ ρ ρ ρ
−
= − + Ω − − Ωh h h
(2.9b)
[ ]
3 1 13 23 12
13
, ( ) ,
p
c
i t
i t
p c
H e e
ω
ω
ρ ω ω ρ ρ ρ
= − + Ω − Ωh h h

(2.9c)
[ ]
1 2 21 11 22 31
21
, ( ) ( ) ,
p
c
i t
i t
p c
H e e
ω
ω
ρ ω ω ρ ω ρ ρ ρ
−
= − + − + Ωh h h
(2.9d)
[ ]
12 21 32 23
22
, ( ) ( ),
p p
c c
i t i t
i t i t
p c
H e e e e
ω ω
ω ω
ρ ω ρ ρ ω ρ ρ

−
−
= − + −h h
(2.9e)
[ ]
3 2 23 13 33 22
23
, ( ) ( ),
p
c
i t
i t
p c
H e e
ω
ω
ρ ω ω ρ ρ ρ ρ
−
= − + Ω + Ω −h h h
(2.9f)
[ ]
1 3 31 32 21
31
, ( ) ,
p
c
i t
i t
p c
H e e

ω
ω
ρ ω ω ρ ρ ρ
−
−
= − − Ω − Ωh h h
(2.9g)
[ ]
2 3 32 31 22 33
32
, ( ) ( ),
p
c
i t
i t
p c
H e e
ω
ω
ρ ω ω ρ ρ ρ ρ
−
= − − Ω + Ω −h h h
(2.9h)
[ ]
23 32
33
, ( ).
c c
i t i t
c

H e e
ω ω
ρ ρ ρ
−
= Ω −
h
(2.9i)
Thành phần
ˆ
ρ
Λ
được xác định như sau [16]:
2
ij
, 1
ˆ
( 2 )
i j i j j i
i j
S S S S S S
ρ ρ ρ ρ
+ − + − − +
=
Λ = − Γ + −
∑
(2.10)
25