Nghiên cứu ảnh hưởng của thăng giáng lên độ cảm điện môi của hệ nguyên tử ba mức năng lượng trong sự có mặt của trường vi sóng

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
------*&*------

Mai văn quyền

nghiên cứu ảnh hởng của thăng giáng lên độ cảm điện môi của hệ
nguyên tử ba mức năng lợng trong sự có mặt của trờng vi sóng
Chuyên ngành: Quang học

Luận văn thạc sỹ vật lý

VINH - 2005

6


Mục lục

Trang
Mở đầu 2
Chơng I. Cơ sở lý thuyết về thăng giáng..................................................6
1.1. Lý thuyết thăng giáng cổ điển . 6
1.1.1. Thăng giáng nhỏ của hệ vĩ mô .. 6
1.1.2. Thăng giáng của các đại lợng nhiệt động trong hệ hạt đồng nhất .. 9
1.2. Hàm tơng quan . 12
12.1. Hàm tơng quan cổ điển .. 14
12.2. Hàm tơng quan lợng tử .... 14
1.3. Lý thuyết thăng giáng lợng tử .. 16
1.3.1. Chuyển động Braonơ .. 16
1.3.2. Thăng giáng của dòng điện khi chạy qua vật dẫn ...18

1.4. Mô hình thăng giáng pha của trờng laser 19
Chơng II. ảnh hởng thăng giáng pha ngẫu nhiên lên độ cảm điện môi của hệ
nguyên tử ba mức năng lợng .. 23
2.1. Hệ nguyên tử ba mức năng lợng 23
2.1.1. Hệ nguyên tử ba mức cấu hình chữ V . 23
2.1.2. Hệ nguyên tử ba mức cấu hình chữ ..24
2.1.3. Hệ nguyên tử ba mức cấu hình chữ xigma X ...25
2.2. Độ phân cực P của hệ nguyên tử .25
2.3. Phơng trình Bloch quang học khi có mặt thành phần .26
bc

2.4. Phơng trình Bloch quang học hiệu dụng trong sự có mặt của thăng giáng pha
là nhiễu trắng .............................................................................................. 34
2.5. Phơng trình Bloch quang học hiệu dụng trong sự có mặt của thăng giáng
pha là nhiễu điện tín (telegraph) 45
Kết luận 54
Phụ lục . 56
Tài liệu tham khảo ..57

7


Mở đầu
Vào năm 1900, khái niệm lợng tử đợc Planck đa ra, là một đóng góp vĩ đại
trong việc hoàn thiện những hiểu biết của con ngời về ánh sáng. Từ những năm
60 của thế kỷ trớc, ngời ta đà chế tạo ra đợc thiết bị khuếch đại ánh sáng. Các
chùm ánh sáng đợc khuếch đại này đợc gọi là các chùm laser. Nh vậy, chùm ánh
sáng laser là chùm ánh sáng có những đặc trng cơ bản tối u nh: tính kết hợp cao,
độ đơn sắc và hội tụ cao, công suất lớn. Có thể khẳng định rằng, trong bất kỳ
một lĩnh lực nào của vật lý hiện đại, việc hiểu rõ bản chất vật lý cơ bản của nó

đều có liên quan chặt chẽ với những kiến thức và những ứng dụng kỹ thuật của
quang học hiện đại. Chính vì thế mà quang học lợng tử đà có những bớc phát
triển nhảy vọt trong khoảng từ năm 1970 cho đến nay [4, 7-11, 13].
Khi các nguyên tử bị kích thích bởi các laser có tần số tơng ứng với tần số
chuyển mức của nguyên tử, chúng có thể phát ra nhiều photon. Một photon lại bị
các nguyên tử ở mức dới hấp thụ để nhảy lên trạng thái kích thích rồi trở về làm
phát xạ các photon mới. Phổ các photon phát xạ ở các tần số khác nhau chính là
cái mà chúng ta có thể thu đợc từ thực nghiệm, đó chính là hiệu ứng huỳnh
quang cộng hởng. Các thăng giáng của các đại lợng đặc trng cho trờng laser và
hệ lợng tử nh thăng giáng của pha, của tần số, của biên độ sẽ có những ảnh hởng
lên sự mở rộng của vạch phổ huỳnh quang đó. Vấn đề là xác định tính chất, đặc
trng của các ảnh hởng của thăng giáng đó lên phổ nh thế nào? Tiên đoán về lý
thuyết và giải thích các kết quả thực nghiệm về sự mở rộng của vạch phổ ra sao?
Khi chùm ánh sáng mạnh, một quá trình tán xạ phi tuyến của trờng laser
cộng hởng xuất hiện, trong đó có nhiều photon tham gia chứ không phải từng
photon đơn độc. Các quá trình nhiều photon trở nên quan trọng. Đối với các quá
trình nhiều photon, định luật bảo toàn năng lợng vẫn đúng song phổ huỳnh
quang không còn đơn sắc mà có sự mở rộng vạch một cách rõ ràng. Khi hệ
nguyên tử tơng tác với trờng laser nó có thể sẽ phát xạ cảm ứng hoặc hấp thụ
cộng hởng photon của trờng laser gây nên sự chuyển cảm ứng kết hợp giữa hai
mức của nguyên tử. Tần số của phép chuyển này gọi là tần số Rabi, tû lƯ víi cêng ®é chïm laser. Khi ®ã không chỉ mật độ c trú của các nguyên tử mà của
mômen lỡng cực nguyên tử cũng chịu tác động của dao động Rabi. Kết quả là
xuất hiện thêm những tần số vệ tinh ở trên và dới của trờng tới, tạo nên những

8


vạch phổ phụ (phổ của bức xạ do nguyên tử chuyển mức phát ra), hiện tợng có
thêm các vạch phổ phụ này đợc gọi là hiệu ứng Stark động học [2, 8, 13].
Về phơng diện lý thuyết, nếu giả thiết trờng tới là nguồn hoàn toàn đơn sắc,

các đại lợng đặc trng của nguồn (biên độ, pha hay độ điều biên tần số) không có
bất kỳ sự thăng giáng nào, thì từ phơng trình Bloch quang học tính toán cho các
phổ ta thu đợc các kết quả không hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm [7-11].
Điều đó cho thấy thực tế nguồn bức xạ laser không hoàn toàn đơn sắc mà phổ
của nó có một độ rộng nhất định nào đó. Cũng nh pha, biên độ hay độ điều biên
tần số không phải là những đại lợng cố định mà có những thăng giáng nhất định.
Điều đó sẽ ảnh hởng đến các quá trình quang học.
Trong những năm đầu của thËp kû 70 cđa thÕ kû XX ®· xt hiƯn một số
công trình lý thuyết nghiên cứu ảnh hởng của các thăng giáng lên quá trình tơng
tác của laser với hệ nguyên tử, đây chính là bài toán cơ bản của Quang học lợng
tử. Các công trình nghiên cứu đầu tiên về lĩnh vực này là các công trình của G.S
Argawal và J.H Eberly. Các ông đà xem thăng giáng của các đại lợng là các quá
trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian [33-36]. Với sự mô tả nh vậy, thì các
phơng trình động lực mô tả sự tiến triển của hệ nguyên tử và trờng sẽ trở thành
các phơng trình vi phân ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian. Trong quá trình phát
triển lý thuyết thăng giáng của Quang lợng tử, đà xuất hiện một số mô hình
thăng giáng, nh mô hình nhiễu trắng Gauss [9, 37], nhiễu màu Gauss [37, 38],
nhiễu điện tín [9, 37] và nhiễu tiền Gauss [7, 37]...
Khi đó, vì có thăng giáng để có thể xác định đợc sự thay đổi theo thời gian
của các thông số của hệ nguyên tử, chúng ta phải lấy trung bình các phơng trình
vi phân ngẫu nhiên trên, kết quả chúng ta có thể thu đợc các giá trị kỳ vọng của
các biến động lực.
Để mô tả sự tiến triển của các biến số động lực của hệ nguyên tử tơng tác
của trờng bức xạ chúng ta có thể xuất phát từ các phơng trình Bloch quang học.
Từ các phơng trình Bloch quang học có thể nghiên cứu các hiệu ứng về huỳnh
quang, các quá trình hồi phục trong nguyên tử, độ cảm điện môi, độ phân cực
của nguyªn tư, nghiªn cøu phỉ hÊp thơ … Híng nghiªn cứu này cũng phát triển
rất mạnh với hàng loạt các công trình nghiên cứu về các quá trình thăng giáng và
huỳnh quang dựa trên cơ sở là phơng trình Bloch quang học [8-11,13, 33-36].
Khi thăng giáng là quá trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian thì các phơng

9


trình Bloch quang học sẽ trở thành các phơng trình Bloch ngẫu nhiên. Tuỳ thuộc
vào mô hình các thăng giáng bằng cách lấy trung bình các phơng trình Bloch
ngẫu nhiên chúng ta sẽ thu đợc phơng trình Bloch hiệu dụng[4, 7-11, 13]. Trong
các phơng trình Bloch hiệu dụng có mặt các thành phần ma trận suy giảm, các
thành phần đó chữa đựng các yếu tố của thăng giáng và là nguyên nhân ảnh hởng lên các quá trình quang học.
Trong các công trình [4, 7-11, 13, 33-38] đà nghiên cứu ảnh hởng của các
thăng giáng ngẫu nhiên nh: thăng giáng của pha, thăng giáng biên độ (cờng độ),
thăng giáng của độ điều biênlên phơng trình Bloch quang học, trong công
trình [39, 40] đà nghiên cứu sự phụ thuộc của mômen lỡng cực nguyên tử vào
thăng giáng pha của laser. Tuy nhiên các công trình đà nghiên cứu chủ yếu sử
dụng gần đúng hai mức đối với hệ nguyên tử, điều này cho phép chúng ta đơn
giản hoá đợc rất nhiều khi tính toán. Trong thực tế không có hệ nguyên tử hai
mức, mà ngợc lại, các nguyên tử có cấu trúc các mức năng lợng phức tạp hơn rất
nhiều. Nhng nÕu cïng mét lóc chó ý hiƯu chØnh trong sù có mặt của quá nhiều
mức thì bài toán sẽ quá phức tạp, không thể nghiên cứu một cách giải tích đợc.
Khi khảo sát cho mô hình nguyên tử ba mức năng lợng ở một số công trình [13,
16-31] đà nghiên cứu cho trờng hợp xảy ra sự cộng hởng và trong trờng hợp
không có nhiễu của trờng tới đà thu đợc một số kết quả nhất định.
Vấn đề đặt ra là khi trờng tới có tần số lệch với tần số cộng hởng giữa các
mức năng lợng và có sự thăng giáng pha thì chúng ta có thể tính đợc các đại lợng
đặc trng của nguyên tử một cách giải tích hay không? các đại lợng đó sẽ thay đổi
nh thế nào? Bản luận văn này sẽ đề cập đến vấn đề đó.
Với tên đề tài "Nghiên cứu ảnh hởng của thăng giáng lên độ cảm điện
môi của hệ nguyên tử ba mức năng lợng trong sự có mặt của trờng vi sóng",
luận văn sẽ có bố cục nh sau: ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
phụ lục, nội dung chính của luận văn chia làm hai chơng.

Chơng I. Luận văn trình bày ảnh hởng của các thăng giáng lên hệ vĩ mô
thông qua hàm tơng quan cổ điển. Cũng trong chơng này, đề cập đến những vấn
đề mà khi mới xem ta có cảm tởng nh không hề có liên quan tới thăng giáng
trong quang lợng tử. Tuy nhiên khi nghiên cứu các hiệu ứng trong quang lợng tử,
chúng ta nhận thấy rằng các vấn đề đó sẽ giúp ta giải thích đợc nhiều hiện tợng
đặc biệt trong lĩnh vực laser và quang phi tuyến [4, 7, 8]. Trong chơng này còn

10


đa ra đợc mô hình thăng giáng pha đợc biểu diễn qua thăng giáng của tần số tức
thời là quá trình điện tín [9, 37]
Chơng II. Luận văn trình bày các cấu hình của hệ nguyên tử ba mức năng lợng [26-31]. Xuất phát từ phơng trình chuyển động của ma trận mật độ và với
việc khảo sát cấu hình chữ V, luận văn đà xây dựng đợc phơng trình Bloch quang
học. Từ đó dẫn ra đợc phơng trình Bloch hiệu dụng trong sự có mặt của thăng
giáng pha ngẫu nhiên và giải cho trờng hợp ở trạng thái dừng, luận văn đà tìm ra
đợc sự phụ thuộc của độ phân cực vào thăng giáng và độ lệch tần, các kết quả đợc biểu diễn bằng các đồ thị.

11


Chơng 1.

Cơ sở lý thuyết về thăng giáng
1.1. Lý thuyết thăng giáng cổ điển
1.1.1. Thăng giáng nhỏ của hệ vĩ mô
Từ các định nghĩa của vật lý thống kê, chúng ta thấy rằng sự tồn tại của
các thăng giáng là ®iỊu tÊt u [3, 4, 7, 8]. HƯ g©y ra thăng giáng có thể tự động
chuyển từ trạng thái có xác suất lớn sang trạng thái có xác suất bé hơn, đồng thời
quá trình này xảy ra cùng với quá trình ở đó có sự tăng entropi. Trong thực tế

hiện tợng thăng giáng có thể quan sát trong hai trờng hợp:
1/ Khi kích thớc của hệ đủ nhỏ, trong trờng hợp này sự thăng giáng sẽ xảy
ra thờng xuyên hơn và phạm vi của chúng lớn hơn.
2/ Khi kích thớc của hệ là lớn, trong trờng hợp này hiện tợng thăng giáng
xảy ra ít hơn và chuyển dịch của hệ khỏi trạng thái cân bằng ít xảy ra hơn.
Ta bắt đầu khảo sát hiện tợng thăng giáng với trờng hợp thø hai (víi kÝch
thíc cđa hƯ ®đ lín). XÐt mét hệ kín ở trạng thái cân bằng tĩnh có entropi S 0. Giả
sử hệ thay đổi sang trạng thái không cân bằng với entropi S. Ta cho rằng sự thay
đổi trạng thái của hệ có thể đặc trng bằng sự thay đổi thông số bên trong của hệ
, mà phụ thuộc vào trạng thái của toàn hệ. ở trạng thái cân bằng = 0, ở
trạng thái không cân b»ng   0.
Entropi cđa hƯ lµ hµm phơ thc (S = S()). Khi ở trạng thái cân bằng
S = S(0).
Đối với hệ có năng lợng không đổi, xác suất để hệ ở trong khoảng từ đến
+ d có thể tìm đợc từ công thức:
S   S  0  
 S  
dW Const. exp
d Const. exp
d

k
k



(1.1)

ở đây k là hằng số Boltzmann.
Xét sự thăng giáng xẩy ra trong hƯ tùa khÐp kÝn (gåm mét phÇn nhá cđa

hƯ khÐp kÝn), hƯ nµy cã thĨ xem lµ mét hƯ nhá nhúng vào bộ ổn nhiệt ở nhiệt độ

12


T0. Khi hệ đợc đặt trong bộ ổn nhiệt, trạng thái cân bằng của hệ sẽ không bị phá
vỡ và đợc đặc trng bởi thông số . Khi hệ chuyển từ trạng thái cân bằng sang
trạng thái không cân bằng, sẽ thay đổi từ 0 đến và có sự thay đổi các đại lợng nhiệt động đặc trng của hệ. Giả thiết rằng sự thay đổi thông số vĩ mô xẩy
ra là đủ chậm sao cho tại mỗi thời điểm hệ tồn tại sự cân bằng thống kê. Quá
trình chuyển hệ từ trạng thái cân bằng sang trạng thái không cân bằng có thể dới
tác dụng của nguồn ngoài. Khi thay đổi một đại lợng d = - 0 thì nguồn đÃ
thực hiện một công A .
Khi thông số thay đổi từ đến + d, entropi thay đổi một lợng
S S 0  S  ( S  lµ sù biến thiên entropi của hệ) và xác suất để hệ chuyển từ

trạng thái đến trạng thái + d dới tác dụng của nguồn ngoài đợc biểu thị
bằng biểu thøc:
 S  S 
dW Const. exp 0
 d
k



Gi¶ thiÕt các thông số vĩ mô thay đổi chậm, áp dụng định luật bảo toàn
năng lợng, ta tìm đợc:
A  
dW Const. exp 
 d
kT0 



(1.2)

Nh vËy trong trêng hợp tổng quát, giá trị xác suất của thăng giáng nhỏ ở
trong hệ vĩ mô bằng công cần thực hiện để thay đổi thông số thêm giá trị ,
nghĩa là sự thăng giáng chỉ xẩy ra khi có tác dụng từ bên ngoài. Chẳng hạn trong
hệ kín, công A có thể xem nh sự thay đổi thế năng khi hƯ dÞch chun trong trêng lùc

U    : A U     U  0  U   

nÕu chän U  0  làm gốc tính thế năng.

Khi đó ta viết lại (1.2) díi d¹ng:
 A   
dW Const. exp 
 d W d
kT0


(1.3)

Ta thu đợc biểu thức phân bố Boltzmann.
Để tính xác suất thăng giáng theo (1.2) hoặc (1.3) trong các trờng hợp, ta
tính công hoặc tính độ biến thiên thế năng trong các quá trình thăng gi¸ng. Khi

13


đó, sự nhiễu xạ là bé nên ta có thể phân tích

U

thành chuỗi theo luỹ thừa

0 và chỉ lấy những số hạng đầu, rồi thay vào (1.3) ta đợc:
U 0 0  2 
dW Const. exp  
 d
2kT0



(1.4)

Ph©n bè theo (1.4) gọi là phân bố dạng Gauss.
Giá trị U 0 phụ thuộc vào trờng lực mà trong đó có sự chuyển hệ từ
trạng thái 0 sang trạng thái . Từ (1.4) ta có giá trị trung bình của thăng giáng:
2

2

0 Const. 0 

2

 U  0    0  2
. exp

d
2kT0



Xác định hằng số từ điều kiện chuẩn hoá ta tìm đợc:

2
U 0     0  

 d
2kT0
k




2

U"
 U   0     0  
exp

d



 
2kT0







2 

Const .  



0  2 exp  

(1.5)
Khi ®ã phân bố xác suất có thể viết dới dạng:
  0  2 
dW 
exp  
 d
22
22

1

Xác suất giảm mạnh cùng với sự tăng cũng nh giảm của 2 . Vì 2 tỷ lệ
với nhiệt độ tuyệt đối, do đó sự giảm nhiễu xạ xẩy ra cùng với sự giảm nhiệt độ.
1.1.2. Thăng giáng của các đại lợng nhiệt động trong hệ hạt đồng nhất
ở phần này chúng ta khảo sát sự thăng giáng của các đại lợng nhiệt động đối
với hệ điều nhiệt. Công để chuyển hệ từ trạng thái đầu qua trạng thái cân bằng
đến trạng thái cuối của các quá trình thăng giáng là thớc đo xác suất của quá

trình thăng giáng.
Khi sự thăng giáng là nhỏ thì sự dịch chuyển có thể xem là thuận nghịch.
Công của sự dịch chuyển thuận nghịch đối với hệ ở trong môi trờng đợc biểu thị
theo công thức nhiệt động học tổng quát sau:

14


A E T0 S P0 V

(1.6)

ở đây E , S , V là sự biến đổi của các đại lợng tơng ứng khi chuyển từ trạng
thái đầu đến trạng thái cuối. Biểu thức cụ thể của công A có thể thu đợc đối
với các trờng hợp riêng khác nhau của từng quá trình. Trong phần này ta chỉ tính
công đối với sự thăng giáng của thể tích ở nhiệt độ không đổi và thăng giáng của
nhiệt độ ở thể tích không đổi.
Đầu tiên ta xét thăng giáng của thể tích ở nhiệt độ không đổi
Công của sự biến ®ỉi thĨ tÝch ®¼ng nhiƯt:
A E   TS   P0 V F  P0 V

T T0 const

.

(1.7)

Trong sù biến đổi đẳng nhiệt bé của V , ta phân tích năng lợng tự do ở
dạng dÃy số theo hàm mũ của V và xét quá trình thăng giáng ở trạng thái giả
ổn định (khi đó áp suất của hệ cân bằng với áp suất của môi trờng). Ta có:

P V
A

2
V T

2

(1.8)

Đặt (1.8) vào (1.2) ta đợc xác suất thể tích của hƯ n»m trong thĨ tÝch
V V  V lµ:
  P   V  2 
dW const. exp 

d
V T 2kT

(1.9)

Hằng số đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá:

P  V  2 
const. exp  

 dV 1

  V  T 2kT 

Tõ (1.8) vµ (1.9) ta thấy

P

phải
V T

(1.10)

luôn là đại lợng âm. Vì nếu điều kiện

này không thoả mÃn thì xác suất thăng giáng không phải là giảm mà là tăng dần.
Khi đó xẩy ra sự thăng giáng thể tích dẫn đến thể tích của hệ lớn lên vô cùng
hoặc giảm về không, hệ nằm ở trạng thái không bền vững. Nh vậy, điều kiện để
hệ nằm ở trạng thái bền vững là

P

0.
V T

Khi đó từ (1.10) ta cã:

15


1

const

2kT

P


V T

Phân bố xác suất của thăng giáng đẳng nhiệt của thể tích có dạng:
P 


  P  V  V0  2 
 V  T
dW const 
exp   

 dV
2kT
2kT 
  V  T

 V  2

V  V0 

 V  2



(1.11)

2

kT

(1.12)

 P 


 V  T

Thay (1.12) và (1.9) ta thu đợc:
1

dW

2 V

2

V  V  2 
0
exp  
 dV
 2 V 2

(1.13)

Từ (1.12) và (1.13) ta thấy xác suất thăng giáng tăng với sự tăng nhiệt độ
và sự nén đẳng nhiệt. Đối với khí lý tởng phơng trình (1.12) cã d¹ng:
 V  2



kT
 P 


 V  T



V 2 kT V 2

NkT
N

(1.14)

Bây giờ ta tìm thăng giáng bình phơng trung bình của mật độ khối lợng
1
của hạt



V0



m

V

(m là khối lợng chứa trong thể tích V có xẩy ra sự thăng

giáng).
Ta có:
2

2

m2
m2
1
2
 m 2     4  V   2
V
V
 V

kT
 P 
V2

 V  T

XÐt sù thay đổi thăng giáng tơng đối của mật độ trong thể tích V và xem V
cố định thì ta tìm đợc sự thăng giáng số hạt là:

16

 N  2



N 2 kT
1
V 2  P 


 V T

Bây giờ chúng ta nghiên cứu thăng giáng của nhiệt độ của hệ ở thể tích
không đổi. Công cần thiết để chuyển hệ từ trạng thái cân bằng ở nhiệt độ T0 về
trạng thái không cân bằng ở nhiệt độ T là

A E T0 S .

Phân tích sự biến

thiên năng lợng thành hàm số mũ của S và bỏ những vô cùng bé bậc cao, ta
tìm đợc xác suất để nhiệt độ nằm trong khoảng từ T đến T+T có thăng giáng là:
CV T T0  2 
dW const. exp 
 dT
2kT0



(1.15)

ChuÈn ho¸ sù bè (1.15) ta đợc:
CV T T0 2
CV
dW
. exp
dT
2kT0
2kT0



(1.17)

1.2. Hàm tơng quan
ở trên chúng ta đà trình bày các thăng giáng của các đại lợng vật lý. Rõ
ràng các thăng giáng này là không thể tránh khỏi khi có một sự thay đổi nào đó
của hệ (cả hệ vi mô và hệ vĩ mô), cho dù sự thay đổi đó là do bản thân nó tự thay
đổi hay do tác động từ bên ngoài. Các thăng giáng này xuất hiện và thay đổi một
cách ngẫu nhiên. Thăng giáng ở thời điểm này sẽ có ảnh hởng lên thăng giáng ở
thời điểm kế tiếp khi khoảng thời gian giữa chúng không quá xa nhau. Để xét
ảnh hởng của các thăng giáng này vào các thông số vật lý đặc trng cho hệ, theo
lý thuyết về thăng giáng, chúng ta cần lu tâm đến đại lợng gọi là hàm tơng quan
của đại lợng ngẫu nhiên đó [4, 7, 8, 11] .
Thông thờng chúng ta hay gặp các hàm ngẫu nhiên.Hàm f x đợc gọi là
hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của nó không phụ thuộc đơn giá vào biến số x .
Nghĩa là ở một giá trị của x hàm

f x

có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác

nhau. Khi đó ta chỉ có thể nói về xác suất để ở giá trị x cho trớc,

f x

có giá trị

nằm trong khoảng từ f  x   f  x   df x . Ta xem rằng đại lợng ngẫu nhiên phụ
thuộc thời gian. Khi đó, quá trình đợc mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian
đợc gọi là quá trình ngẫu nhiên. Đại lợng quan trọng của hàm ngẫu nhiên là hàm

17


tơng quan. Hàm tơng quan đợc định nghĩa là giá trị trung bình của tích các quá
trình ngẫu nhiên G mô tả quá trình ngẫu nhiên trong một hệ nào đó ở thời
điểm t và thời điểm t   :
1
T  T

G    lim

T

f  t  f  t   dt
0

hay
(1.18)

G    f  t  f  t  

đại lợng có thể âm hoặc dơng.
Cùng với việc lÊy trung b×nh theo thêi gian, ta cịng cã thĨ lấy trung bình
theo trọng số của các hệ vật lý trong đó xảy ra các quá trình ngẫu nhiên. Nh vậy,
hàm tơng quan chính là số đo định lợng mối liên kết giữa các giá trị của hàm
ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau. Giá trị của hàm tơng quan chỉ phụ
thuộc vào việc chọn giá trị của . Nếu giá trị của hàm ngẫu nhiên f x thay đổi
nhanh để cho giá trị của nó ở thời điểm t không phụ thuộc vào giá trị của
chính nó ở thời điểm t thì:
G    f  t  f  t     f  t 

f t 

Khi đủ lớn thì G 0 . Khi  0 th×
G    f

NghÜa là
khi 0 .

2

(1.19)

t

trùng với trung bình của bình phơng hàm ngẫu nhiên

G

f t

Dạng cụ thể của hàm tơng quan phụ thuộc vào bản chất của quá trình ngẫu
nhiên. Ta có thể khai triển hàm ngẫu nhiên f t dạng tích Fourie:
f t   f   exp it  d

Khi ®ã ta biĨu diƠn

f

2

t 



f

2

t 

díi d¹ng:


 I   d 2 I d


(1.20)

(1.21)

0

Hàm I đợc gọi là mật độ phổ, có các tính chất sau:

18


I    0
I    I 

Đặt (1.20) vào (1.21) ta đợc:


f

2

(1.22)

d d ' exp i    't  f   f  '

t 

  

f    f '

đợc biểu diễn nhờ phép biến đổi Fourie ngỵc. Ta cã:
f   

1
2



f  t  exp 

it  dt



Khi ®ã:
f    f   ' 



1
4

2

exp  i    't  f  t  f  t '

dtdt '

(1.23)

 

Đặt t' t , thay vào (1.23) và biến đổi ta đợc:
f f ' 

1
2



exp 

i ' G      ' d

(1.24)



Thay (1.24) vào (1.22) ta đợc:
f

2

t



1
2

exp

(1.25)

i ' G  t  d d

  

So s¸nh (1.25) và (1.21) ta đợc:
I

1
2



exp i G  d 



1





exp 

i G   d

(1.26)

0

Ta thÊy biÕt đợc hàm tơng quan của một đại lợng thăng giáng, chúng ta có
thể tính đợc phổ công suất của đại lợng đó.
1.2.1. Hàm tơng quan cổ điển
Hàm tơng quan cổ điển là hàm tơng quan của thăng giáng của các đại lợng
vật lý cổ điển, nh thăng giáng của thể tích, của nhiệt độ, của áp suất v.v
1.2.2. Hàm tơng quan lợng tử
Đối với trờng hợp các thăng giáng lợng tử thì việc nghiên cứu, khảo sát
quá trình tơng tác của hệ lợng tử với trờng, những ảnh hởng của các thăng giáng
của các thông số khác nhau là một yêu cầu không thể bỏ qua. Tuy nhiên, về mặt

19


lý thuyết việc đa thêm các thông số nhiễu vào sẽ làm cho phơng trình quang học
Bloch trở nên phức tạp. Nếu nhiễu đa vào có dạng là một nhiễu Gauss hỗn loạn
thì chúng ta không thể giải phơng trình quang học Bloch một cách giải tích.
Vì vậy trong các trờng hợp cụ thể khi nghiên cứu sự ảnh hởng của nhiễu
lên các thông số động lực đặc trng cho trờng chúng ta chỉ xét các nhiễu có hàm
tơng quan tơng ứng cụ thể, căn cứ vào đó chúng có thể giải phơng trình quang
học Bloch một cách giải tích.
Với sự có mặt của nhiễu ngẫu nhiên thì các phơng trình quang học Bloch
phải lấy trung bình. Nói cách khác, phơng trình quang học Bloch chúng ta xây
dựng phải là phơng trình cho các giá trị trung bình thống kê của các thông số
động lực. Phơng trình đó đợc gọi là phơng trình quang học Bloch hiệu dụng.

Khi có mặt nhiễu ngẫu nhiên x(t) thì phơng trình quang học Bloch cã d¹ng
[4, 7-11, 13]:
dV  t 
 M  x t   V  t   M 0  M 1 ( x(t ))V  t 
dt

(1.27)

trong ®ã: M0 là ma trận chứa các thành phần không đổi của các thông số về độ
lệch tần , 1, về tần số Rabi liên quan đến cờng độ trờng ngoài và hệ số
Einstein A đặc trng cho suy giảm tự phát; ma trận M1 là ma trận của nhiễu ngẫu
nhiên.
Nếu nhiễu mà chúng ta đa vào hoàn toàn hỗn loạn, không có dạng cụ thể
của hàm tơng quan thì ta không thể lấy trung bình thống kê phơng trình quang
học Bloch. Muốn lấy trung bình thống kê ta phải biết đợc chính xác hàm tơng
quan của nó. Vì vậy, trong các công trình nghiên cứu ngời ta thờng chỉ xem xét
ảnh hởng các nhiễu có dạng là: nhiễu trắng, nhiễu điện tín, hoặc nhiễu màu,...
Đối với trờng hợp nhiễu trắng thì hàm tơng quan khá đơn giản, không phản ánh
đợc các thăng giáng ngẫu nhiên.
Khi lấy trung bình thống kê các phơng trình quang học Bloch sẽ làm xuất
hiện biểu thức của ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có mặt nhiễu. Mặt khác, nh
trên chúng ta thấy, ma trận suy giảm này không những phụ thuộc vào loại nhiễu
mà còn phụ thuộc vào nguồn nhiễu. Do đó, để có dạng tờng minh cho ma trận
suy giảm ngoài việc để ý đến đặc tính của các nguồn nhiễu, chẳng hạn đó là
nguồn nhiễu pha, nguồn nhiễu độ lệch tần, hay nguồn nhiễu biên độ thì chúng ta

20


cần phải xác định đợc loại nhiễu là: nhiễu trắng, nhiễu điện tín, hoặc nhiễu

màu...
1.3. Lý thuyết thăng giáng lợng tử
1.3.1. Chuyển động Braonơ
Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến những vấn đề mà khi mới tiếp xúc
ta có cảm tởng nh không hề liên quan gì đến quang lợng tử cả. Tuy nhiên về sau
ngời ta mới thấy rằng những vấn đề này sẽ giúp chúng ta giải thích đợc rất nhiều
hiện tợng đặc biệt trong lĩnh vùc laser vµ trong quang phi tun [4, 7, 8].
HiƯn tợng mà chúng ta đề cập đến ở đây là chuyển động Braonơ. Trong trờng hợp khi hạt chuyển động trong chất lỏng, vận tốc của hạt này sẽ bị giảm đi
do một lực cản tỷ lệ với vận tốc của hạt. Khi nghiên cứu kĩ lỡng chuyển động của
hạt, chúng ta thấy rằng hạt đó thực hiện một chuyển động hỗn loạn, hiện tợng
này gọi là chuyển động Braonơ.
Xét hệ gồm hạt với môi trờng (thông thờng đợc gọi là bể nhiệt). Nguồn
nhiệt này gây nên hai hiện tợng:
1/ Làm giảm vận tốc chuyển động của hạt.
2/ Tạo nên những thăng giáng thống kê (ngẫu nhiên).
Chẳng hạn, nguyên tử chất khí luôn va chạm với các nguyên tử khác của
môi trờng. Bởi vậy, bể nhiệt (môi trờng trong đó có các hạt tồn tại) đóng vai trò
quan trọng khi xét đến chuyển động của một hạt nào đó tồn tại trong nó. Chẳng
hạn ta xét chuyện động Braonơ một chiều. Giả sử hạt có khối lợng m, ở thời
điểm t có vận tốc là v(t). Dới ảnh hởng của ngoại lực, hạt có gia tốc đợc xác định
bởi phơng trình Newton:
m

dv
K t
dt

(1.28)

ở đây K(t) gồm hai thành phần:

1) Lực cản tỷ lệ với vận tốc và ngợc chiều với vận tốc:
K c 0 v

(1.29)

2) Lực tơng tác của các hạt trong chất lỏng. Ta biểu diễn lực va chạm ngẫu
nhiên của các hạt khác nhau là:

21


F0  t     t  t j 1 j

(1.30)

j

Đại lợng đặc trng cho vận tèc cđa lùc, ký hiƯu  1 j chØ híng tác động
lên hạt tại thời điểm t. Giả thiết va đập bên phải và bên trái xảy ra cùng tần số.
Khi đó lấy trung bình theo va đập đó, ta có: F 0. trong rất nhiều trờng hợp
chúng ta phải biết hàm tơng quan của lực ngẫu nhiên (1.30). Bằng cách lấy trung
bình tích số các lực này ở hai thời điểm khác nhau chúng ta nhận đợc:
0

F0 t  F0  t ' C  t  t '

(1.31)

H»ng sè C tû lƯ víi  2 , nghÜa là đặc trng cho độ lớn của lực. Vậy lực K(t)
trong (1.28) bằng tổng hai lực: lực cản (1.29) và lực ngẫu nhiên (1.30). Nghĩa là:

m

dv
0 v F0  t 
dt

Sư dơng c¸c kÝ hiƯu:  

(1.32)

0
F t 
; F t   0
m
m

(1.33)

Khi ®ã (1.32) sÏ trë thành:
dv
v F t
dt

(1.34)

1.3.2. Thăng giáng của dòng điện khi chạy qua vật dẫn
Do ảnh hởng của các quá trình thăng giáng bên trong vật dẫn, trong mạch
điện xuất hiện thăng giáng của dòng. Ta khảo sát sự thăng giáng của mạch chữa
cuộn cảm L và điện trở thuần R. Quá trình thăng giáng ở đây đợc biểu hiện bởi
sự thăng giáng của suất điện động   t  . Sù thay ®ỉi cđa  t xảy ra trong một

thời gian rất ngắn so với thời gian tích thoát

T

L
R

của mạch. Theo định luật

Ôm, ta có [8, 12]:
L

di
Ri t
dt

(1.35)

Từ (1.35) ta thấy dòng điện ngẫu nhiên i (dòng cảm ứng) và suất điện
động tạo nên dòng đó có mối liên hệ nh dòng và suất điện động thông thờng.
Suất ®iƯn ®éng   t  lµ hµm thay ®ỉi theo t:

22


  t  0 ;

  t   t ' 0

(1.36)

Giải phơng trình (1.35) ta đợc:
i t  i0 e



t
T

e



t t
T

e



t'
T

  t ' dt '

0

(1.37)
Khi ®ã ta thu đợc hàm tơng quan của dòng điện là:

 t  t t  t'
    t T    t T   t T   t "
i t i t  T    i0 e T  e T e T   t ' dt'   i0 e T  e T  e T   t"dt"
0
0




(1.38)

BiÕt đợc hàm tơng quan của dòng điện (1.38) thì chúng ta có thể tính đợc
các đại lợng liên quan của dòng điện, nh mật độ phổ của nó theo công thøc sau:
g i   

1
2



i  t  i t T

e iT dT

(1.39)



Từ các định lt cđa vËt lý thèng kª, chóng ta thÊy r»ng sự tồn tại các
thăng giáng là tất yếu. Hệ gây ra thăng giáng có thể chuyển từ trạng thái có xác

suất lớn hơn sang trạng thái có xác suất bé hơn. Đối với hệ vi mô, giá trị xác suất
của những thăng giáng bé chỉ xảy ra khi có tác dụng từ bên ngoài. Sự thăng
giáng của các đại lơng nh quÃng đờng trung bình trong chuyển động Braonơ hay
các đại lợng nhiệt động liên quan đến sự thay đổi của các đại lợng khác của môi
trờng nh nhiệt độ, áp suất hay thể môi trờng chữa hạt. Ta có thể biểu diễn các đại
lợng thăng giáng thông qua hàm tơng quan. Biết hàm tơng quan của một đại lợng
thăng giáng, chúng ta có thể tính đợc phổ của đại lợng đó.

1.4. Mô hình thăng giáng pha của trờng laser
Im
Khi mô tả về ánh sáng laser có nhiều mô hình khác nhau [4, 7, 9, 13].
l
Nh mô hình laser đơn mốt với các thăng giáng biên
độ và thăng giáng pha, laser
đa mốt và ánh sáng hỗn loạn, laser thăng giáng bơm
Trong mục này chúng tôi sẽ xem xétmô hình laser mà trong đó xảy ra quá
n E
trình khuếch tán pha của trờng laser.
Re

Hình 1.1. Mô hình biểu diễn trờng điện từ nh là một véctơ phức:
sự khuếch tán pha là hoàn toàn do phát xạ tự phát

23


Chúng ta mô tả trờng điện từ nh là một véctơ phức (hình 1.1), trong đó
thăng giáng của trờng đợc thĨ hiƯn qua sù thay ®ỉi nhá cđa pha do kết quả của
sự phát xạ tự phát. Những thay đổi đó hoàn toàn là ngẫu nhiên, pha của trờng
khuếch tán từ từ và phân bố đều trong khoảng 2.

Chúng ta khảo sát trờng laser trong đó bỏ qua sự thăng giáng về biên độ.
Trờng

E t

có thể đợc viÕt nh sau [ 9, 13, 42]:
E     t   E0 exp  iL  i t

(1.40)

Trong đó E0 là cờng độ trung bình cđa trêng, nã tû lƯ víi sè photon cã tÇn
sè L . Sự phát xạ tự phát với tốc độ , sự phát xạ tự phát hoàn toàn ngẫu nhiên,
kết quả pha của điện trờng sẽ đợc biểu diễn một cách ngẫu nhiên. Vì thăng giáng
của biên độ đà đợc bỏ qua nên sự thay đổi ngẫu nhiên chỉ phụ thuộc vào góc
quay . Từ lý thuyết của quá trình ngẫu nhiên [42] chúng ta tìm đợc xác suất mà
khoảng l đợc dịch chuyển theo mỗi bớc t đợc cho bëi:
 l2 



 t 
1


P l  
e
  1 2

(1.41)

Và chúng ta thu đợc phân bố xác suất theo gãc dÞch chun :
 E2 
P     0 
 t 

Trong ®ã chóng ta sư dơng
theo phơng trình khuếch tán pha:

1/ 2

e

l E0

2

E02 / t



(hình 1.1). Ta thấy rằng

(1.42)
P

tuân

24

P
2 P
D
t
2

(1.43)


4E 02

(1.44)

D

với

Nh vậy, chúng ta đà thấy mô hình đơn giản mà trong đó yếu tố phát xạ tự
phát gây nên thăng giáng pha của trờng laser, dẫn tới phơng trình khuếch tán pha
cho P .
Tiếp theo, chúng ta xem xét hàm tơng quan hai thời gian ®èi víi trêng
E    t  E   t   
E     0  E     

. Gi¶ thiÕt rằng trờng dừng, do đó chúng ta chỉ cần xác định

. Từ hình 1.1 dễ dàng thấy:
E  t  E     t     E     0  E       E 02 e i Lt e i

(1.45)

Từ phơng trình (1.42) ta có:

do ®ã:

cos   P    e i d e  D

(1.46)

E     t  E     t    E 02 e  D e  i L t

(1.47)

Khi ®ã phỉ công suất thu đợc bằng phép biến đổi Fourier của hàm tơng
quan hai thời gian:
E2
1
D
S Re E     t  E     t    e it d  0
(1.48)

    L  2  D 2

Tõ (1.48) chúng ta thấy phổ có dạng Lorent, với độ rộng vạch:
2D


2 E 02

(1.49)

Sự suy luận đơn giản này của độ rộng vạch laser bắt nguồn từ mô hình
khuếch tán pha. Điều đó cho thấy rằng hệ số khuếch tán trong phơng trình (1.43)
gây ra độ rộng vạch. Mô hình khuếch tán pha đợc khảo sát ở trên với trờng E t
có độ rộng hữu hạn 2D có thể đợc mô tả bởi phơng trình (1.40). Trong đó giả
thiết rằng t là pha ngẫu nhiên tuân theo phân bố Gauss và nó đợc mô tả bởi
quá trình ngẫu nhiên Wiener - Levy:
t 0,

t   t ' Dt  t ' t  t ' 

(1.50)

25