Bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LƯU HỒNG PHONG
BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI
GIAN PHI TUYẾN
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN
VÀ KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LƯU HỒNG PHONG
BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI
GIAN PHI TUYẾN
VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN
VÀ KHÔNG GIAN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN
NGHỆ AN - 2014
i
Mục lục
Lời cám ơn 2
Lời nói đầu 3
Chương 1. Các kiến thức liên quan 8
1.1 Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue . . . . . . . . . 8
1.2 Định lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic
ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian
và không gian 19
2.1 Các kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 42
1
LỜI CÁM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại Đại Học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Phạm Hoàng Quân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình
đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và
nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm phòng Sau
đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa toán
ứng dụng Trường Đại Học Sài Gòn.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Toán của hai Trường
Đại Học Vinh và Đại học Sài Gòn nói chung, tổ Giải tích nói riêng, đã nhiệt tình giảng
dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bè
trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác
giả trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế,
thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Nghệ An, ngày 10 tháng 05 năm 2014
Tác giả
2
LỜI NÓI ĐẦU

Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát bài toán ngược đã được nêu ra từ lâu.
Bài toán ngược được quan tâm vì ứng dụng thực tế trong lĩnh vực địa lí, cơ học, xử
lý ảnh Một trong những bài toán ngược được xét đến là bài toán ngược thời gian
cho phương trình parabolic. Hơn nữa, khi xét sự truyền nhiệt trong vật thể một trong
các yếu tố quyết định là vật liệu của vật thể. Mỗi vật liệu có một hệ số dẫn nhiệt khác
nhau và các vật liệu thì có sự biến đổi theo thời gian và môi trường do sự ăn mòn,
oxy hóa Trong thực tế, dữ liệu thu nhập được do việc đo đạc và xử lý qua máy tính
hay một số thiết bị hỗ trợ nào đó, nên không tránh khỏi những sai số, dù sai số của
dữ liệu là rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn về nghiệm. Vì thế, chúng ta
cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho nghiệm chính xác của
bài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. Do đó,
trong luận văn này, chúng tôi xét
"BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ
THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN."
Mục đích của luận văn là thông qua tìm hiểu một bài báo về bài toán parabolic
ngược, trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan tới
vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo chứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minh
họa cho kết quả chỉnh hóa. Với mục đích đó, luận văn này chia thành hai chương.
Chương 1: Các kiến thức liên quan.
Chương này trình bày các kí hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toán không
chỉnh, sự chỉnh hóa, các bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski-Schwarz,
bất đẳng thức H¨older, không gian các hàm và tích phân Lebesgue, mệnh đề, định nghĩa,
nguyên lí, hệ quả, các bổ đề, các phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R), L
2
(R),
định lý Plancherel được sử dụng trong trình bày luận văn.
3
Chương 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số cho bài toán parabolic ngược thời gian

phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian.
Đây là phần chính yếu, cốt lõi nhất của luận văn với các nội dung sau:
Phần 1: Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa, chứng minh
tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác
và nghiệm chỉnh hóa.
Phần 2: Ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa.
Trong những năm gần đây, bài toán truyền nhiệt ngược đã được nhiều tác giả quan
tâm như Lattes và Lions [10], Showalter [8], Tautenhahn và Schr¨oter [9], Đinh Nho
Hào [2]. Cụ thể, Showalter đã dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát bài toán giá
trị cuối năm 1974 (trong [8]). Năm 1996, Tautenhahn và Schr¨oter nghiên cứu bài toán
truyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) và đã đưa ra ước lượng sai số tối ưu cho bài
toán (trong [9]). Gần đây, trong năm 2007, Fu, Xiong và Qian đã sử dụng phép biến
đổi Fourier cho bài toán truyền nhiệt ngược và đã đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm
chính xác và nghiệm xấp xỉ. Tuy nhiên, các tác giả trên chỉ xét bài toán parabolic với
hệ số hằng. Trong luận văn này, chúng tôi đề xuất việc nghiên cứu bài toán parabolic
ngược thời gian với hệ số không là hằng. Gần đây, có vài bài báo xem xét về bài toán
truyền nhiệt ngược với hệ số không là hằng.
Cụ thể, trong [7], các tác giả xét bài toán ngược cho phương trình parabolic với hệ
số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa mãn
a(t)u
t
(x, t) = u
xx
(x, t), (x, t) ∈ R ×[0, T ),
u(x, T ) = g(x), x ∈ R,
với a(t), g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0, ∀t ∈ [0.T ).
Hơn nữa, các tác giả đã đưa ra ước lượng sai số dạng H¨older tại thời điểm ban đầu
t = 0 và dạng logarit tại thời điểm t > 0 giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa.
4
Trong [2], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa cho

bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian

u
t
+ A(t)u = 0, 0 < t < T,
u(T ) −f 
H
≤ , f ∈ H,
trong đó H là một không gian Hilbert và A(t) (0 < t < T ) là toán tử dương tự liên hợp
không bị chặn từ D(A(t)) ⊂ H đến H và f là hàm dữ liệu cho trước. Trong [2], các tác
giả xem xét bài toán sau (trong [2] trang 8)

ω
t
+ B(t)ω = 0, 0 < t < T,
ω(T ) = f, α > 0,
trong đó
B(t) =

A(t), 0 ≤ t ≤ T,
A(2T − t), T < t ≤ 2T.
Khi đó họ đặt ω(2T ) = g và đề nghị nghiệm chỉnh hóa của bài toán như sau

υ
t
+ B(t)υ = 0, 0 < t < T,
αυ(0) + υ(2T ) = g, α > 0.
Trong [2], họ đã chứng minh được bài toán trên là một trường hợp tốt và đưa ra
được dạng H¨older của ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác
(xem trong [2], định lý 3.4) với một vài giả thiết (xem trong [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang

7) của hàm A. Đến nay có nhiều bài viết nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với
hệ số là hằng (xem [3]-[5],[9]). Mặt khác, rất ít bài viết nghiên cứu trong trường hợp
hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2],[7]). Vì thế, chúng tôi xét bài toán parabolic
ngược
u
t
(x, t) − a(x, t)u
xx
(x, t) = f (x, t, u, u
x
, u
xx
), (x, t) ∈ R ×[0, T ) , (1.1)
u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (1.2)
trong đó tồn tại các số p, q, L > 0 sao cho f(x, t, u, u
x
, u
xx
) và a(x, t) thỏa mãn
0 < p ≤ a(x, t) ≤ q (1.3)
5
và
|f(x, t, u
1
, v
1
, ω
1
) −f(x, t, u
2

, v
2
, ω
2
)| ≤ L(|u
1
− u
2
| + |v
1
− v
2
| + |ω
1
− ω
2
|),
với mọi (x, t, u
1
, v
1
, ω
1
), (x, t, u
2
, v
2
, ω
2
) ∈ R × [0; T ] × R

3
. Trong luận văn này, chúng tôi
xét nghiệm và dữ liệu của bài toán (1.1) và (1.2) lần lượt trong không gian H
2
(R) và
không gian L
2
(R). Chúng ta có thể thấy rằng hệ số truyền nhiệt a(x, t) của (1.1) là một
hàm phụ thuộc vào không gian và thời gian.
Trong suốt bài luận văn, chúng ta xác định phép biến đổi Fourier F : L
2
(R) → L
2
(R)
xác định bởi:
F(f )(ξ) =
1
√
2π
+∞

−∞
f(x)e
−iξx
dx.
Trong bài luận văn này, chúng ta giả sử k(t) = lim
x→∞
a(x, t) và đặt
b(x, t) = a(x, t) −k(t),
Từ (1.3), chúng ta có được 0 < p ≤ k(t) ≤ q. Từ đó, ta có được

|b(x, s)| = |a(x, s) −k(s)| ≤ |a(x, s)| + |k(s)| ≤ 2q, (1.4)
∀(x, s) ∈ R × [0; T ].
Sau đó, ta có được phương trình mới
u
t
(x, t) − k(t)u
xx
(x, t) = ϕ(u, u
x
, u
xx
)(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ) , (1.5)
u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (1.6)
trong đó
ϕ(u, u
x
, u
xx
)(x, t) = b(x, t)u
xx
(x, t) + f(x, t, u, u
x
, u
xx
).
Sử dụng phép biến đổi Fourier, chúng ta có thể tìm ra được nghiệm của bài toán
(1.1) và (1.2) như sau
u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u), (1.7)
6
trong đó

P (x, t) =
1
√
2π
+∞

−∞
e
ξ
2
(η(T )−η(t))
F(g)(ξ)e
iξx
dξ, (1.8)
K(x, t, u) =
1
√
2π
+∞

−∞


T
t
e
ξ
2
(η(s)−η(t))
F(ϕ(u, u

x
, u
xx
))(ξ, s)ds

e
iξx
dξ, (1.9)
và
η(t) =
t

0
k(s)ds. (1.10)
Trong bài luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để chỉnh
hóa nghiệm (1.7) của bài toán (1.1) và (1.2). Khi đó, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh
hóa cho (1.7) như sau
u

(x, t) = P

(x, t) − K

(x, t, u

), (1.11)
trong đó
P

(x, t) =

1
√
2π
∞

−∞
e
ξ
2
(η(T )−η(t))
F(g)(ξ)χ
[−a

,a

]
(ξ)e
iξx
dξ, (1.12)
K

(x, t, u

) =
1
√
2π
∞

−∞



T
t
e
ξ
2
(η(s)−η(t))
F(ϕ(u

, u
x
, u
xx
))(ξ, s)ds

χ
[−a

,a

]
(ξ)e
iξx
dξ,
(1.13)
trong đó, ta chọn hàm a

thỏa mãn a


→ ∞ khi  → 0.
7
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan được sử dụng trong
quá trình trình bày luận văn.
1.1. Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue
Không gian Banach
1.1.1 Định nghĩa. Cho (X, +, ·) là một không gian vectơ trên R. Một ánh xạ
 · : X → R
x → x
được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y ∈ X, α ∈ R,
i) x ≥ 0 và x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0,
ii) αx = |α|x,
iii) x + y ≤ x+ y.
Không gian vectơ (X, +, ·) với chuẩn · được gọi là không gian định chuẩn (X, +, ·,
 · ), hay vắn tắt là (X,  · ), hay vắn tắt là X, khi các phép toán, hàm chuẩn được
ngầm hiểu và không nhầm lẫn.
1.1.2 Định nghĩa. Cho (x
n
) là một dãy các phần tử của một không gian định
chuẩn (X,  ·). Ta nói
Dãy (x
n
) trong X được gọi là dãy Cauchy nếu ứng với mỗi  > 0, tồn tại n
0
∈ N sao
8
cho
x

n
− x
m
 < , ∀n, m ≥ n
0
.
Dãy (x
n
) trong X được gọi là hội tụ về x
0
∈ X, kí hiệu là x
n
→ x
0
khi n → ∞, nếu
lim
n→∞
x
n
− x
0
 = 0, nghĩa là ứng với mỗi  > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
− x
0
 < , ∀n ≥ n
0

.
1.1.3 Định nghĩa. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu
mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Tích phân Lebesgue
1.1.4 Định nghĩa. Một tính chất P (x), x thuộc không gian R
n
gọi là đúng hầu
khắp nơi nếu tồn tại một tập A có độ đo không, sao cho P (x) đúng với mọi x thuộc
R
n
\A.
1.1.5 Định nghĩa. (Tích phân của hàm đơn giản)
Cho A là tập đo được, f : A → [−∞; +∞] là hàm đơn giản, đo được trên A. Gọi
f
1
, f
2
, . . . , f
n
là các giá trị khác nhau đôi một của f (x).
Đặt A
k
= {x ∈ A : f(x) = f
k
}, k = 1, 2, . . . , n.
A =
n

k=1
A

k
và f(x) =
n

k=1
f
k
χ
A
k
(x), ∀x ∈ A.
Khi đó, tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo µ là số

A
f(x)dµ =
n

k=1
f
k
µ(A
k
).
1.1.6 Định nghĩa. (Tích phân của hàm không âm)
Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A → [0; +∞] là hàm đo được không âm.
9
Khi đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được f
n
(x) ≥ 0 hội tụ hầu khắp
nơi về f(x) trên A và tích phân của hàm f(x) trên A đối với độ đo µ là


A
f(x)dµ = lim
n→+∞

A
f
n
(x)dµ.
1.1.7 Định nghĩa. (Tích phân của hàm có dấu bất kỳ)
Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A → R là hàm đo được trên A. Khi đó, ta
có
f(x) = f
+
(x) −f
−
(x), với f
+
(x), f
−
(x) ≥ 0.
Các hàm số f
+
(x), f
−
(x) có các tích phân tương ứng trên A là

A
f
+

(x)dµ,

A
f
−
(x)dµ.
Nếu hiệu

A
f
+
(x)dµ −

A
f
−
(x)dµ có nghĩa trên R thì tích phân của hàm đo được f(x)
trên A với độ đo µ là

A
f(x)dµ =

A
f
+
(x)dµ −

A
f
−

(x)dµ.
Không gian L
p
(1 ≤ p ≤ ∞)
Trong phần này, ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong R
n
.
1.1.8 Định nghĩa. Cho f đo được trên Ω, nếu |f |
p
(1 ≤ p ≤ ∞) khả tích trên Ω ta
định nghĩa
f
L
p
(Ω)
=


Ω
|f|
p

1
p
.
Không gian chứa tất cả các hàm f thỏa |f|
p
(1 ≤ p ≤ ∞) khả tích trên Ω gọi là không
gian L
p

(Ω).
10
Trong bài luận văn này để ngắn gọn, ta kí hiệu chuẩn trong không gian L
2
(R) là
 ·
2
. Ta định nghĩa
w
2
=

+∞

−∞
|w(x)|
2
dx

1
2
,
với w ∈ L
2
(R).
1.1.9 Định nghĩa. Tập hợp tất cả các hàm bị chặn hầu khắp nơi (h.k.n) trên Ω
gọi là L
∞
(Ω), ta định nghĩa
f

L
∞
(Ω)
= inf{λ : λ ≥ |f(x)| h.k.n trên Ω}.
1.1.10 Định lí. Với Ω đo được trong R
n
và 1 ≤ p ≤ ∞ thì không gian (L
p
(Ω), .
L
p
(Ω)
)
là một không gian Banach.
Không gian mêtric đầy đủ
1.1.11 Định nghĩa. Cho tập X = ∅. Một ánh xạ
d : X × X → R
(x, y) → d(x, y)
được gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X,
i) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
ii) d(x, y) = d(y, x),
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Tập X với một mêtric d trên X được gọi là không gian mêtric (X, d) hay vắn tắt là
X khi mêtric d được ngầm hiểu và không nhầm lẫn.
1.1.12 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X, d). Ta nói dãy phần tử (x
n
) ⊂ X
11
hội tụ về phần tử x ∈ X nếu lim
n→∞

d(x
n
, x) = 0. Kí hiệu
x
n
d
−−−→ x
Nghĩa là, ứng với mỗi ε > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho d(x
n
, x) < ε, với mọi n ≥ n
0
.
1.1.13 Định nghĩa. Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy
đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Không gian Hilbert
1.1.14 Định nghĩa. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (K =
C hoặc K = R). Một ánh xạ
·, · : X × X → K
(x, y) → x, y
được gọi là một tích vô hướng trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn
∀x, x

, y, y

∈ X, ∀α, β ∈ K,
i) αx + βx

, y = αx, y + βx


, y,
ii) x, αy + βy

 = αx, y + βx, y

,
iii) x, y = y, x,
iv) x, x ≥ 0,
v) x, x = 0 ⇔ x = 0.
1.1.15 Bổ đề. Cho ·, · là một tích vô hướng trên một không gian vectơ X, với
mọi x, y ∈ X, ta có
i) Bất đẳng thức Schwarz
|x, y|
2
≤ x, x.y, y
12
ii) Bất đẳng thức Minkowski
x + y, x + y
1
2
≤ x, x
1
2
+ y, y
1
2
1.1.16 Định lí. Nếu ·, · là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ
 · : X → R
x → x, x

1
2
là một chuẩn trên X, được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
1.1.17 Định nghĩa. Cho ·, · là một tích vô hướng trên không gian vectơ X thì cặp
(X, ·, ·) gọi là một không gian tiền Hilbert. Do Định lí 1.1.16, ta có X là một không
gian định chuẩn và là một không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn. Nếu không
gian mêtric này đầy đủ, ta gọi (X, ·, ·) là một không gian Hilbert.
1.1.18 Định lí. Cho Ω là tập con của R
n
đo được, đặt
f, g =

Ω
f(x)g(x)dx và f =


Ω
|f(x)|
2

1
2
, ∀f, g ∈ L
2
(Ω).
Không gian L
2
(Ω) là một không gian Hilbert.
Không gian Sobolev W
m,p

(Ω) (1 ≤ p ≤ ∞)
1.1.19 Định nghĩa. Cho tập mở Ω ⊆ R
k
, k ∈ N. Ta đặt
L
1
loc
(Ω) = {f : Ω → R đo được : f ∈ L
1
(ω) với mọi ω ⊆ R
k
thỏa
ω là tập compăc chứa trong Ω}.
1.1.20 Định nghĩa. Với Ω ⊆ R
k
, k ∈ N. Ta kí hiệu C
d
(Ω), d ∈ N là không gian các
hàm khả vi liên tục đến cấp d và C
∞
(Ω) =
∞

d=1
C
d
(Ω). Còn C
C
(Ω) là không gian các hàm
13

số f liên tục trên Ω sao cho giá của f, tức là tập hợp
suppf = {x ∈ Ω; f(x) = 0}
là compact chứa trong Ω; kí hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp. Đặt
C
∞
C
(Ω) = C
∞
(Ω) ∩C
C
(Ω).
1.1.21 Định nghĩa. (Đạo hàm suy rộng)
Cho f ∈ L
1
loc
(Ω), α = (α
1
, , α
k
) ∈ Z
k
, α
i
≥ 0 (i = 1, , k). Hàm g
α
∈ L
1
loc
(Ω) gọi là
đạo hàm riêng suy rộng cấp α của f nếu


Ω
fD
α
ϕdx = (−1)
|α|

Ω
g
α
ϕdx,
với mọi ϕ ∈ C
∞
C
(Ω). Ở đây, |α| = α
1
+ + α
k
và D
α
ϕ =
∂
|α|
ϕ
∂x
α
1
1
∂x
α

k
k
.
1.1.22 Định nghĩa. (Không gian Sobolev)
Với m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa
W
m,p
(Ω) = {f ∈ L
p
(Ω) : D
α
f ∈ L
p
(Ω), |α| ≤ m}
với chuẩn f
W
m,p
(Ω)
=


|α|≤m
D
α
f
p
L
p
(Ω)


1
p
.
Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu H
m
(Ω) = W
m,2
(Ω).
Trong luận văn này, chúng tôi xét nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) trên không gian
H
2
(R) = W
2,2
(R) là không gian các hàm f(x) ∈ L
2
(R) sao cho f có đạo hàm đến cấp 2
và f
(n)
∈ L
2
(R), ∀n ∈ {1; 2}. Khi đó, chuẩn trong H
2
(R) được định nghĩa là
f
H
2
(R)
= (f
2
2

+ f
(1)

2
2
+ f
(2)

2
2
)
1
2
.
1.1.23 Định lí. Không gian H
m
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
f, g =

|α|≤m

Ω
D
α
fD
α
gdx.
14
1.1.24 Định nghĩa. Cho T > 0 và X là không gian Banach với chuẩn ·
X

. Không
gian C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm các hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn
|||u||| = sup
t∈[0,T ]
u(t)
X
.
1.2. Định lí ánh xạ co
1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một không gian Banach với chuẩn  · 
X
. Một ánh
xạ f : X → X sao cho tồn tại số k thỏa 0 < k < 1 và
f(x
1
) −f(x
2
)
X
≤ kx
1
− x
2

X
, ∀x
1
, x
2
∈ X,
được gọi là một ánh xạ co.

1.2.2 Định nghĩa. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f : X → X
nếu f(x) = x.
1.2.3 Định lí. (Nguyên lí ánh xạ co Banach)
Cho X là một không gian Banach. Khi đó mọi ánh xạ co f : X → X đều tồn tại
điểm bất động duy nhất.
1.3. Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh
1.3.1 Định nghĩa. (Bài toán chỉnh)
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, K : X → Y là một ánh xạ. Phương trình
Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau
i) Sự tồn tại: Với mỗi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y,
ii) Sự duy nhất: Với mỗi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y,.
iii) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mỗi dãy
(x
n
) ⊂ X sao cho Kx
n
→ Kx suy ra x
n
→ x.
1.3.2 Định nghĩa. (Bài toán không chỉnh)
15
Bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa ít nhất một trong ba điều kiện của
bài toán chỉnh.
1.4. Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn
1.4.1 Định lí. (Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwarz)
Cho n ∈ N, k = 1, n và x
k
, y
k
∈ R, ta có


n

k=1
x
k
y
k

2
≤

n

k=1
x
2
k

n

k=1
y
2
k

.
1.4.2 Định lí. (Bất đẳng thức H¨older)
Giả sử 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1

p
+
1
q
= 1, Ω ⊂ R. Khi đó, nếu f ∈ L
p
(Ω), g ∈ L
q
(Ω) thì
fg ∈ L
1
(Ω) và
fg
1
≤ f
p
g
q
.
Trong luận văn này, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức H¨older với trường hợp
f, g ∈ L
2
(R) tức là ta có bất đẳng thức sau
∞

−∞
|f(x)g(x)|dx ≤

∞


−∞
[f(x)]
2
dx
∞

−∞
[g(x)]
2
dx

1
2
.
1.4.3 Định lí. (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman)
Giả sử u(t), f(t) là các hàm số thực, liên tục, u(t) dương trên [a, b], f(t) không âm
trên [a, b] và với mọi t, t
0
thuộc (a, b), a, b ∈ R, thỏa mãn
u(t) ≤ c +

t
t
0
f(s)u(s)ds, t
0
≤ t,
trong đó, c là hằng số. Khi đó
u(t) ≤ ce


t
t
0
f(s)ds
, t
0
≤ t.
16
1.5. Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier trong L
1
(R)
1.5.1 Định nghĩa. Cho f ∈ L
1
(R), hàm

f định bởi

f(λ) =
1
√
2π
∞

−∞
f(t)e
−iλt
dt,
với λ ∈ R được gọi là phép biến đổi Fourier của f.
1.5.2 Định lí. Giả sử f ∈ L

1
(R), thì

f ∈ C
0
, với C
0
là không gian các hàm số liên
tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa


f
∞
≤
1
√
2π
f
1
.
1.5.3 Định lí. Giả sử f ∈ L
1
(R) và

f ∈ L
1
(R). Đặt
g(x) =
1
√

2π
∞

−∞

f(λ)e
iλx
dλ.
Khi đó
i) g ∈ C
0
, với C
0
là không gian các hàm số liên tục trên R và tiến dần về 0 tại vô
cực.
ii) g(x) = f (x) hầu khắp nơi trên R.
1.5.4 Định nghĩa. Hàm x →
1
√
2π
∞

−∞
F (λ)e
iλx
dλ được gọi là biến đổi Fourier ngược
của F. Tích phân ở trên là xác định nếu F ∈ L
1
(R).
1.5.5 Tính chất. Cho f, g ∈ L

1
(R) và c là một hằng số thuộc R. Khi đó, ta có
i)

f + g =

f + g,
ii)

cf = c

f,
iii) Nếu f ∗g ∈ L
1
(R) thì

f ∗g = 2π

f.g, với (f ∗ g)(x) =
∞

−∞
f(x −y)g(y)dy.
Biến đổi Fourier trong L
2
(R)
17
Ta có kết quả rất quan trọng, đó là phép biến đổi Fourier bảo toàn cấu trúc không
gian L
2

(R).
1.5.6 Định lí. (Định lí Plancherel - 1910)
Với mọi f ∈ L
2
(R), N > 0, ta đặt
F
N
{f}(λ) =
1
√
2π
N

−N
f(x)e
−iλx
dx.
Khi đó
i) F
N
{f} hội tụ trong L
2
(R) đến một hàm F{f} khi N → ∞. Hơn nữa
F{f }
2
2
=
∞

−∞

|F{f }(λ)|
2
dλ =
∞

−∞
|f(x)|
2
dx = f
2
2
.
ii) Nếu f ∈ L
2
(R) ∩L
1
(R) thì F{f} =

f hầu khắp nơi trên R.
iii) Đặt φ
N
(x) =
1
√
2π
N

−N
F{f }(λ)e
iλx

dλ, thì φ
N
hội tụ trong L
2
(R) đến f khi N → ∞.
iv) Toán tử F là một đẳng cấu từ L
2
(R) vào L
2
(R).
1.5.7 Định lí. (Đẳng thức Plancherel)
Cho f ∈ L
2
(R) và F{f}(λ) là biến đổi Fourier của f trong L
2
(R). Khi đó, ta có
F{f }
2
= f
2
.
18
CHƯƠNG 2
CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC
NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI
GIAN VÀ KHÔNG GIAN
Trong chương này, chúng tôi trình bày chứng minh tính duy nhất nghiệm của
bài toán chỉnh hóa, chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng
sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu chính xác,
ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo,

một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa.
Trong luận văn này, chúng tôi đặt , a

là các số dương và R(x) = 1 + x
2
+ x
4
. Để
cho đơn giản hơn, chúng tôi định nghĩa
ϕ(u

, u
x
, u
xx
)(ξ, s) = ϕ(u

)(ξ, s).
2.1. Các kết quả chỉnh hóa
Đầu tiên, chúng ta đến với kết quả khởi đầu sau.
2.1.1 Định lí.
Cho g ∈ L
2
(R) và a(·, ·) là hàm thỏa mãn điều kiện (1.3). Khi đó, nghiệm chỉnh
hóa u

(1.11) của bài toán (1.1)-(1.2) là duy nhất và u

∈ C


[0, T ] ; H
2
(R)

.
Chứng minh.
Đặt
W (u)(x, t) = P

(x, t) − K

(x, t, u

),
19
trong đó
P

(x, t) =
1
√
2π
+∞

−∞
e
ξ
2
(η(T )−η(t))
F(g)(ξ)χ

[−a

,a

]
(ξ)e
iξx
dξ,
K

(x, t, u

) =
1
√
2π
+∞

−∞


T
t
e
ξ
2
(η(s)−η(t))
F(ϕ(u

))(ξ, s)ds


× χ
[−a

,a

]
(ξ)e
iξx
dξ,
với η(t) =
t

0
k(s)ds.
Chúng ta sẽ chứng minh được rằng ∀u, v ∈ C

[0, T ] ; H
2
(R)

, k ≥ 1, ta có



W
(k)
(u)(·, t) − W
(k)
(v)(·, t)




2
H
2
(R)
≤
(T − t)
k
k!
T
k
K
2k
R
k
(a

)e
2ka
2

η(T )
|||u −v|||
2
, (2.1)
trong đó K =
√
3(L + 2q) và |||·||| là chuẩn sup trong C


[0, T ] ; H
2
(R)

.
Chúng ta chứng minh (2.1) bằng phương pháp quy nạp.
Với k = 1, ta có
W (u)(·, t) −W(v)(·, t)
2
H
2
(R)
= W (u)(·, t) −W(v)(·, t)
2
2
+ W
x
(u)(·, t) − W
x
(v)(·, t)
2
2
+ W
xx
(u)(·, t) − W
xx
(v)(·, t)
2
2

= (1 + ξ
2
+ ξ
4
)F(W (u)) −F(W (v))
2
2
=
+∞

−∞
R(ξ)|F(W (u))(ξ, t) − F(W (v))(ξ, t)|
2
dξ.
Mặt khác
F(W (u))(ξ, t) = e
ξ
2
(η(T )−η(t))
F(g)(ξ)χ
[−a

,a

]
(ξ)−
−
T

t

e
ξ
2
(η(s)−η(t))
F(ϕ(u))(ξ, s)ds ×χ
[−a

,a

]
(ξ).
Khi đó
|F(W (u))(ξ, t) −F(W (v))(ξ, t)| =
20
=




T

t
e
ξ
2
(η(s)−η(t))
[F(ϕ(u))(ξ, s) −F(ϕ(v))(ξ, s)]ds × χ
[−a

,a


]
(ξ)




.
Từ đó, ta có
W (u)(·, t) −W(v)(·, t)
2
H
2
(R)
=
+∞

−∞
R(ξ)χ
[−a

,a

]
(ξ)




T


t
.e
ξ
2
(η(s)−η(t))
[F(ϕ(u))(ξ, s) −F(ϕ(v))(ξ, s)]ds




2
dξ.
Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có
W (u)(·, t) −W(v)(·, t)
2
H
2
(R)
≤
+∞

−∞
R(ξ)χ
[−a

,a

]
(ξ)

T

t
ds

T

t




e
ξ
2
(η(s)−η(t))
[F(ϕ(u))(ξ, s) −F(ϕ(v))(ξ, s)]




2
ds

dξ
= (T − t)
+∞

−∞
R(ξ)χ

[−a

,a

]
(ξ)

T

t
e
2ξ
2
(η(s)−η(t))
|F(ϕ(u))(ξ, s) −F(ϕ(v))(ξ, s)|
2
ds

dξ.
Khi đó, ta có
W (u)(·, t) −W(v)(·, t)
2
H
2
(R)
≤ (T − t)R(a

)e
2a
2


η(T )
T

t

+∞

−∞
|F(ϕ(u))(ξ, s) −F(ϕ(v))(ξ, s)|
2
dξ

ds
= (T − t)R(a

)e
2a
2

η(T )
T

t

+∞

−∞
|ϕ(u)(x, s) − ϕ(v)(x, s)|
2

dx

ds.
Mặt khác, ta có
|ϕ(u)(x, s) − ϕ(v)(x, s)|
= |b(x, s)u
xx
(x, s) + f(x, s, u, u
x
, u
xx
) −b(x, s)v
xx
(x, s) − f(x, s, v, v
x
, v
xx
)|
≤ 2q|u
xx
(x, s) − v
xx
(x, s)| + |f(x, s, u, u
x
, u
xx
) −f(x, s, v, v
x
, v
xx

)|
21
≤ 2q|u
xx
(x, s) − v
xx
(x, s)| + L(|u(x, s) −v(x, s)| + |u
x
(x, s) − v
x
(x, s)|+
+|u
xx
(x, s) − v
xx
(x, s)|)
≤ (2q + L)(|u(x, s) −v(x, s)| + |u
x
(x, s) − v
x
(x, s)| + |u
xx
(x, s) − v
xx
(x, s)|).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwarz, ta có
|ϕ(u)(x, s) − ϕ(v)(x, s)|
2
≤ 3(2q + L)
2

(|u(x, s) − v(x, s)|
2
+ |u
x
(x, s) − v
x
(x, s)|
2
+
+|u
xx
(x, s) − v
xx
(x, s)|
2
).
Từ đó
W (u)(·, t) −W(v)(·, t)
2
H
2
(R)
≤ (T − t)R(a

)e
2a
2

η(T )
K

2
T

t

+∞

−∞
|u(x, s) − v(x, s)|
2
dx +
+∞

−∞
|u
x
(x, s) − v
x
(x, s)|
2
dx+
+
+∞

−∞
|u
xx
(x, s) − v
xx
(x, s)|

2
dx

ds
= (T − t)R(a

)e
2a
2

η(T )
K
2
T

t
u(·, s) − v(·, s)
2
H
2
(R)
ds
≤ (T − t)R(a

)e
2a
2

η(T )
K

2
T

0
|u −v|
2
ds
= (T − t)T K
2
R(a

)e
2a
2

η(T )
|u −v|
2
.
Từ đó, (2.1) đúng với k = 1. Giả sử, (2.1) đúng với k = n. Ta sẽ chứng minh (2.1)
đúng với k = n + 1. Thật vậy, ta có
W (u)
n+1
(·, t) − W (v)
n+1
(·, t)
2
H
2
(R)

=
+∞

−∞
R(ξ)|F(W
n+1
(u))(ξ, s) −F(W
n+1
(v))(ξ, s)|
2
dξ
22
=
+∞

−∞
R(ξ)|F(W (W
n
(u))(ξ, s) −F(W (W
n
)(v))(ξ, s)|
2
dξ
=
+∞

−∞
R(ξ)





T

t
e
ξ
2
(η(s)−η(t))
[F(ϕ(W
n
(u)))(ξ, s) −F(ϕ(W
n
(v)))(ξ, s)]ds ×χ
[−a

,a

]
(ξ)




2
dξ
≤
+∞

−∞

R(ξ)χ
[−a

,a

]
(ξ)(T −t)

T

t
e
2ξ
2
(η(s)−η(t))
|F(ϕ(W
n
(u)))(ξ, s)−F(ϕ(W
n
(v)))(ξ, s)|
2
ds

dξ
≤ (T − t)R(a

)e
2a
2


η(T )
T

t

+∞

−∞
|F(ϕ(W
n
(u)))(ξ, s) −F(ϕ(W
n
(v)))(ξ, s)|
2
dξ

ds.
Khi đó, ta có
W (u)
n+1
(·, t) − W (v)
n+1
(·, t)
2
H
2
(R)
≤ (T − t)R(a

)e

2a
2

η(T )
T

t

+∞

−∞
|ϕ(W
n
(u))(x, s) − ϕ(W
n
(v))(x, s)|
2
dx

ds.
Mặt khác
|ϕ(W
n
(u))(x, s) − ϕ(W
n
(v))(x, s)|
2
≤ 3(2q + L)

|W

n
(u)(x, s) − W
n
(v)(x, s)|
2
+ |W
n
x
(u)(x, s) − W
n
x
(u)(x, s)|
2
+
+|W
n
xx
(u)(x, s) − W
n
xx
(u)(x, s)|
2

.
Khi đó
W (u)
n+1
(·, t) − W (v)
n+1
(·, t)

2
H
2
(R)
≤ (T − t)R(a

)K
2
e
2a
2

η(T )
T

t
W
n
(u)(·, s) − W
n
(v)(·, s)
2
H
2
(R)
ds
≤ T R(a

)K
2

e
2a
2

η(T )
T

t
(T − s)
n
n!
.T
n
.K
2n
R
n
(a

).e
n
2na
2

η(T )|u −v|
2
ds
= T
n+1
R

n+1
(a

)K
2n+2
e
2(n+1)a
2

η(T )
|u −v|
2
T

t
(T − s)
n
n!
ds
23