Bất đẳng thức Berry-esseen cho phép chiếu của các vectơ ngẫu nhiên có tọa độ đối xứng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.58 KB, 30 trang )
MỤC LỤC
Mở đầu
2
1 Kiến thức chuẩn bị
4
1.1
Một số kiến thức cơ sở của lý thuyết xác suất . . . . . . . .
1.2
4
Bất đẳng thức hàm mũ đối với các biến ngẫu nhiên độc lập
không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
Bất đẳng thức Berry-Esseen cho biến ngẫu nhiên độc lập . . 12
2 Bất đẳng thức Berry-Esseen cho phép chiếu của vectơ ngẫu
nhiên có tọa độ đối xứng
2.1
14
Bất đẳng thức Berry-Esseen cho phép chiếu của vectơ ngẫu
nhiên có tọa độ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2
Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tài liệu tham khảo
29
1
LỜI MỞ ĐẦU
Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên. Định lý giới hạn trung
tâm khẳng định rằng dưới một số điều kiện nào đó, tổng
n
Sn =
Xi
i=1
có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn khi n đủ lớn. Một câu hỏi tự nhiên
được đặt ra là nghiên cứu tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm.
Andrew C. Berry (1941) và Carl-Gustav Esseen (1942) là hai nhà toán học
đầu tiên nghiên cứu vấn đề này độc lập với nhau. Kết quả đó được gọi là
bất đẳng thức Berry-Esseen. Từ đó đến nay, hướng nghiên cứu này khơng
ngừng được phát triển, và có rất nhiều ứng dụng trong thống kê, hình học
ngẫu nhiên, giải tích chuỗi thời gian, lý thuyết đồ thị ngẫu nhiên,...
n
Cho ξ1 , ξ2 , . . . , ξn là các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0 và
i=1
Eξi2 = 1. Bất đẳng thức Berry-Esseen là mệnh đề khẳng định
n
sup |P(
x∈R
n
E|ξi |3
ξi ≤ x) − Φ(x)| ≤ C
i=1
i=1
trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc vào n và Φ(x) là phân phối của
phân phối chuẩn N (0, 1)
x
1
Φ(x) = √
2π
e−t
2
/2
dt.
−∞
Cũng như khi nghiên cứu các định lí giới hạn khác, các nhà xác suất
luôn muốn thay thế điều kiện độc lập của dãy các biến ngẫu nhiên bởi các
điều kiện phụ thuộc khác nhau. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu
đề tài “Bất đẳng thức Berry-Esseen cho phép chiếu của các vectơ
ngẫu nhiên có tọa độ đối xứng”.
2
Luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ sở liên quan
đến nội dung của chương sau. Cụ thể, chúng tơi trình bày các khái niệm
cơ sở của lý thuyết xác suất và bất đẳng thức Berry-Esseen đối với các
biến ngẫu nhiên độc lập.
Chương 2. Bất đẳng thức Berry-Esseen cho phép chiếu của
vectơ ngẫu nhiên có tọa độ đối xứng.
Đây là nội dung chính của luận văn, bao gồm 2 mục. Mục 1 chúng tơi
tìm hiểu về bất đẳng thức Berry-Esseen cho phép chiếu của vectơ ngẫu
nhiên có tọa độ đối xứng. Mục 2 chúng tơi tìm hiểu ứng dụng của bất đẳng
n
thức trong việc tổng quát hóa độ đo cone Cp .
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo và hết sức nghiêm khắc của thầy giáo TS. Lê Văn Thành.
Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời tác giả
xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS. Nguyễn Văn Quảng cùng các thầy,
cô giáo trong tổ Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, ban chủ nhiệm
Khoa Toán, các thầy, cơ giáo trong Khoa Tốn, phịng Sau đại học. Cuối
cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp cao học 20 và các
đồng nghiệp tại trường THCS Nguyễn Du đã động viên, giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt q trình học tập và hồn thành
luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót về cả nội dung và hình thức. Vì vậy tác giả rất mong nhận được
những lời chỉ bảo q báu của các thầy, cơ giáo và những góp ý của bạn
đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 9 năm 2014
Tác giả
3
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ sở của
lý thuyết xác suất và một số kiến thức liên quan. Các kiến thức này có
thể được tìm thấy trong tài liệu [1] [2] và [3]. Nội dung chính của Chương
1 là bất đẳng thức Beerry - Esseen cho biến ngẫu nhiên độc lập. Kết quả
chính của chương này được trích dẫn từ Shevtsova [10].
1.1
Một số kiến thức cơ sở của lý thuyết xác suất
1.1.1. Không gian xác suất
Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng, F là một σ - đại số các tập con của
Ω. Khi đó, cặp Ω, F được gọi là một không gian đo.
Giả sử Ω, F là một không gian đo. Một ảnh xạ P : F → R được gọi là
độ đo xác suất trên F nếu
(i) P (A) = 0 với ∀A ∈ F (tính khơng âm);
(ii) P (A) = 1 (tính chuẩn hóa);
(iii) Nếu An ∈ F(n = 1, 2, . . . , n), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅(i = j) thì
∞
P(
∞
An ) =
n=1
P (An )
n=1
(tính cộng đếm được).
Các điều kiện (i) (ii) (iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác
suất. Bộ ba (Ω, F, P ) được gọi là không gian xác suất.
Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.
σ - đại số F được gọi là σ - đại số các biến cố.
4
Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố.
Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn.
Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có.
Biến cố A = Ω\A gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc.
Không gian xác suất (Ω, F, P ) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu
mọi tập con của biến cố có xác suất khơng đều là biến cố.
1.1.2. Các tính chất của xác suất
Giả sử A, B, C . . . là những biến cố. Khi đó, xác suất của chúng có các
tính chất sau
1. P (∅ = 0);
2. Nếu AB = ∅ thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B);
3. P (A) = 1 − P (A);
4. Nếu A ⊂ B thì P (BA) = P (B) − P (A) và do đó P (A) ≤ P (B);
5. P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (AB);
6.
∞
P(
∞
An ) ≤
n=1
P (An ).
i=1
1.1.3. Biến ngẫu nhiên
Ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là ánh xạ đo được,
tức là với mọi a ∈ R thì
{ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F.
Trong suốt chương này, nếu khơng nói gì thêm tất cả các biến ngẫu nhiên
được xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω, F, P ).
Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó
σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)}
là một σ -đại số và được gọi là σ - đại số sinh bởi X .
5
Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu
P(
Ai ) =
i∈I
P (Ai )
i∈I
với Ai ∈ Fi , (i ∈ I ) bất kỳ.
Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} các σ - đại số con của F được gọi là độc lập (độc
lập đôi một) nếu mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập (tương ứng độc lập
đôi một).
Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc lập (độc lập đôi
một) nếu các σ - đại số sinh bởi chúng {σ(Xi ), i ∈ I} độc lập (tương ứng
độc lập đôi một).
Họ các biến cố {Ai , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu
nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập.
1.1.4. Phân phối xác suất
Giả sử X : Ω −→ R là biến ngẫu nhiên. Khi đó hàm tập
PX : B(R) −→ R
B → PX (B) = P (X −1 (B))
được gọi là phân phối xác suất của X .
1.1.5. Tính chất của phân phối xác suất
1. PX là độ đo xác suất trên B(R).
2. Nếu Q là độ đo xác suất trên B(R) thì Q là phân phối xác suất của
một biến ngẫu nhiên X nào đó.
1.1.6. Biến ngẫu nhiên cùng phân phối
Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của chúng không
phải là tương ứng 1 − 1. Những biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác
suất được gọi là những biến ngẫu nhiên cùng phân phối.
1.1.7. Hàm phân phối
Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số
FX (x) = P (X ≤ x) = P (ω : X(ω) ≤ x)
6
được gọi là hàm phân phối của X .
1.1.8. Tính chất hàm phân phối
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1.
2. Nếu a < b thì F (b) − F (a) = P (a ≤ X < b) suy ra F (x) là hàm không
giảm.
3. Với mọi x0 ∈ R, F (x0 ) = lim F (x).
x→x0
4. lim F (x) = 1; lim F (x) = 0.
x→+∞
x→−∞
1.1.9. Một số hàm phân phối thường gặp
Phân phối nhị thức.
Tiến hành một dãy n phép thử Bernouli với xác suất thành công ở mỗi
phép thử là p, 0 ≤ p ≤ 1. Giả sử X là số lần thành công trong n phép thử
đó. Rõ ràng X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị S = {0, 1, ..., n}
và
k
P (X = k) = Cn pk (1 − p)n−k , k ∈ S.
Khi đó X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p hay nói
gọn X có phân phối B(n, p) (ta còn viết X ∼ B(n, p)).
Phân phối Poisson. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson
với tham số λ > 0(X ∼ P (λ)) nếu X có miền giá trị S = N = {0, 1, ...}
và
λk e−λ
, k = 0, 1, ...
P (X = k) =
k!
Phân phối chuẩn. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn
(Gauss) với tham số µ ∈ R, σ > 0, ký hiệu X ∼ N (µ, σ 2 ) nếu X có hàm
mật độ
2
1
− (x−µ)
2
p(x) = √ .e 2σ .
σ 2π
Nếu µ = 0, σ = 1 thì X ∼ N (0, 1) được gọi là phân phối chuẩn tắc và
x2
1
p(x) = √ e− 2 .
2π
Phân phối mũ. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với
7
tham số λ > 0, ký hiệu X ∼ ε(λ) nếu X có hàm mật độ
p(x) =
0 nếu x ≤ 0,
λ.e−λx nếu x > 0.
Phân phối đều. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên
[a, b] nếu
1
nếu a ≤ x ≤ b,
p(x) = b − a
0 nếu x ∈ [a, b].
Phân phối Gamma.Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma
với tham số α, β > 0 nếu X có hàm mật độ
1 xα−1 e −x nếu
β
f (x) = Γ(α)β α
0 nếu x ∈ (0, ∞).
/
x ∈ (0, ∞),
1.1.10. Kỳ vọng
Ta không nhắc lại cách xây dựng tích phân Lebesgue cho một hàm đo được
khơng âm. Kí hiệu L1 là tập tất cả các đại lượng ngẫu nhiên X : Ω → R
khả tích Lebesgue, tức là
|X|dP < ∞.
Ω
Đặt X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0). Khi đó
X = X + − X −.
Nếu có ít nhất X + ∈ L1 , hoặc X − ∈ L1 , thì ta gọi số
X − dP
X + dP −
EX =
Ω
Ω
là kỳ vọng ( hay giá trị trung bình) của X . Giả sử
X : (Ω, F, P ) → (R, B(R))
là biến ngẫu nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu
tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X và kí hiệu là EX.
1.1.11. Tính chất của kỳ vọng
Kỳ vọng có các tính chất sau đây
8
1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu C là hằng số thì EC = C .
3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = CEX.
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY.
5. Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0.
6. Giả sử F là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X và g : R → R là
một hàm đo được. Khi đó
+∞
Eg(X) =
g(x)dF (x).
−∞
1.1.12. Vectơ có tọa độ đối xứng
Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là cùng phân phối nếu hàm phân
phối của chúng bằng nhau. Khi đó, ta ký hiệu
X =d Y.
Một vectơ Y = (Y1 , . . . , Yn ) là vectơ ngẫu nhiên n chiều thỏa mãn
(Y1 , . . . , Yn ) =d (e1 Y1 , . . . , en Yn )
với (e1 , . . . , en ) ∈ {−1, 1}n thì ta nói vectơ Y có tọa độ đối xứng.
1.1.13. Nhận xét Giả sử Y = (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) ∈ Rn là vectơ ngẫu
nhiên có tọa độ đối xứng. Khi đó ta có
Yi =d Yi với mọi i = 1, 2, . . . , n
và
(Yi , Yj ) =d (−Yi , Yj ) với mọi i = j ∈ {1, . . . , n}.
2
Nếu thêm giả thiết EYi2 = vi < ∞, với mọi i = 1, 2, . . . , n thì EYi = 0
2
và EYi Yj = vi δij , trong đó
δij =
0 nếu i = j,
1 nếu i = j.
1.1.14. Cỏc bt ng thc
Bt ng thc Hălder
o
Trong gii tớch toỏn hc, bt ng thc Hălder, t theo tờn nh toỏn học
o
9
c Otto Hălder, l mt bt ng thc c bn liên quan đến không gian
o
p
n
p
i=1 |xi |
= {x = (x1 , x2 , . . . , xn )|
< ∞}.
Giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa mãn
đồng thời f thuộc
p
S
q
S.
và g thuộc
Khi đó f g thuộc
1
S
1 1
+ = 1,
p q
và
||f g||1 ≤ ||f ||p ||g||q .
Các số p và q nói trờn c gi l liờn hp Hălder.
o
Bt ng thc Hălder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác
o
tổng quát trong không gian
chứng minh
p
p,
là đối ngẫu với
bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để
q.
Trường hợp đặc biệt, nếu S = N , khi đó chúng ta có được bất ng
thc Hălder cho cỏc dóy trong khụng gian
o
1
p
|xn |p
|xn .yn | ≤
n=1
n=1
p
1
q
∞
|yn |q
.
∀x ∈
p
,y ∈
q
.
n=1
Bất đẳng thức Markov
Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ và 0 < p < ∞. Khi đó với mọi
bất kỳ ta đều có
P (|X| > ) ≤
E|X|p
p
>0
.
Bất đẳng thức Jensen
Giả sử ϕ : R → R là hàm lồi, X và ϕ(X) là các biến ngẫu nhiên khả tích.
Khi đó
Eϕ(X) ≥ ϕ(EX).
1.1.15. Phép chiếu
Giả sử θ = (θ1 , . . . , θn ) ∈ Rn và Y = (Y1 , . . . , Yn ) là một vectơ ngẫu nhiên
n chiều. Khi đó, ta ký hiệu
n
Yθ = θ· Y =
θi Yi .
i=1
Biến ngẫu nhiên Yθ được gọi là phép chiếu của vectơ Y = (Y1 , . . . , Yn )
theo phương θ.
10
1.1.16. Nhận xét
Giả sử θ = (θ1 , θ2 , . . . , θn ) ∈ Rn thỏa mãn
||θ|| =
2
2
θ1 + · · · + θn = 1
và Y = (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) là vectơ ngẫu nhiên n chiều có tọa độ đối xứng có
2
EYi2 = vi < ∞, với mọi i = 1, 2, . . . , n.
n
i=1 θi Yi
Khi đó, với Yθ = θ.Y =
2
và vθ =
n
2 2
i=1 θi vi
ta có
2
V ar(Yθ ) = vθ .
EYθ = 0,
Áp dụng bt ng thc Hălder vi 1/s + 1/t = 1 ta có
o
n
2
θi
1=
|θi |2s
≤
i=1
n
suy ra n−s/t ≤
1/s
n
.n1/t
i=1
|θi |2s với 1/s + 1/t = 1.
i=1
1.1.17. Độ đo cone
Cho không gian
1
p
n
n
p
|xi |p
= {x = (x1 , x2 , , . . . , xn ) ∈ R; ||x|| =
}
i=1
khi đó,
n
S(
n
p)
n
||xi ||p = 1}
= {x ∈ R :
i=1
là mặt cầu đơn vị và
n
B(
n
p)
||xi ||p ≤ 1}
n
= {x ∈ R :
i=1
là hình cầu đơn vị trong khơng gian
n
p.
Với µn là độ đo Lebesgue trong Rn , độ đo cone của A ⊂ S( n ) được cho
p
bởi cơng thức
n
Cp (A)
µn ([0, 1]A)
= n
µ (B( n ))
p
với [0, 1]A = {ta : a ∈ A, t ∈ [0, 1]}.
11
Trường hợp p = 1 và p = 2 là trường hợp đặc biệt quan trọng, tương
ứng với phân phối chuẩn trên bề mặt đơn hình đơn vị và hình cầu đơn vị.
Xem [4], [11].
1.2
Bất đẳng thức hàm mũ đối với các biến ngẫu nhiên độc
lập không âm
Trong mục này chúng tơi trình bày một bất đẳng thức cho các biến ngẫu
nhiên độc lập không âm ( xem Lai, Shao [8], định lí 2.19).
n
Cho ξi , 1 ≤ i ≤ n, là các biến ngẫu nhiên độc lập không âm với a :=
và b2 :=
n
i=1
Eξi2 < ∞ và 0 < x < a,
n
ξi ≤ x
P
≤ exp −
i=1
1.3
Eξi
i=1
(a − x)2
2b2
.
Bất đẳng thức Berry-Esseen cho biến ngẫu nhiên độc lập
Nội dung chính của mục này là bất đẳng thức Berry - Esseen cho biến
ngẫu nhiên độc lập được trích dẫn từ bài báo của Shevtsova [10].
Cho ξ1 , ξ2 , . . . , ξn là các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0 và
n
Eξi2 = 1.
i=1
Bất đẳng thức Berry-Esseen là mệnh đề khẳng định
n
sup |P(
x∈R
n
E|ξi |3
ξi ≤ x) − Φ(x)| ≤ C
i=1
i=1
trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc vào n và Φ(x) là phân phối của
phân phối chuẩn N (0, 1)
1
Φ(x) = √
2π
x
e−t
2
/2
dt.
−∞
Nếu ξ1 , . . . , ξn là các biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn Eξi = 0,
12
E|ξi |3 < ∞ với 1 ≤ i ≤ n và
n
i=1
Eξi2 = 1,
n
sup |P (
x∈R
n
E|ξi |3 ).
ξi ≤ x) − Φ(x)| ≤ min(1, 0.7056
i=1
(1.1)
i=1
Đặc biệt, nếu ε1 , . . . , εn là các biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị
−1, +1 với xác suất bằng nhau và b1 , . . . , bn là những hằng số khác 0 thì
n
W =
bi εi thỏa mãn
i=1
n
|bi |3 /V 3 ),
sup |P (W ≤ x) − Φ(x/V )| ≤ min(1, 0.7056
x∈R
với V 2 =
i=1
n
i=1
b2 .
i
13
(1.2)
CHƯƠNG 2
BẤT ĐẲNG THỨC BERRY-ESSEEN CHO PHÉP
CHIẾU CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN CĨ TỌA
ĐỘ ĐỐI XỨNG
Trong chương này chúng tơi trình bày một số áp dụng các kết quả của
Chương 1. Chương 2 gồm có hai mục, tương ứng trình bày về bất đẳng
thức Berry-Esseen cho phép chiếu của vectơ ngẫu nhiên có tọa độ đối xứng
n
và ứng dụng của nó trong việc tổng quát độ đo cone Cp .
2.1
Bất đẳng thức Berry-Esseen cho phép chiếu của vectơ
ngẫu nhiên có tọa độ đối xứng
Bổ đề 2.1.1. Cho Y = (Y1 , . . . , Yn ) là một vectơ ngẫu nhiên có tọa độ
đối xứng trong Rn có các thành phần tọa độ thỏa mãn P (Yi = 0) = 0 với
∀i = 1, 2, . . . , n.
Đặt εi = sign(Yi ) là hàm dấu của Yi , khi đó các ε1 , ε2 , . . . , εn của các
thành phần Y1 , Y2 , . . . , Yn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
nhận giái trị đều trong {−1, 1} và
(ε1 , ε2 , . . . , εn ) và (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) độc lập với nhau.
Chứng minh. Đặt A1 , . . . , An là các tập con đo được của (0, +∞) và
(e1 , e2 , . . . , en ) ∈ {−1, 1}n .
Vì Y có tọa độ đối xứng nên ta có
P (ε1 = e1 , . . . , εn = en , |Y1 | ∈ A1 , . . . , |Yn | ∈ An )
14
= P (ε1 = e1 , . . . , εn = en , ε1 Y1 ∈ A1 , . . . , εn Yn ∈ An )
= P (e1 Y1 ∈ A1 , . . . , en Yn ∈ An )
= P (Y1 ∈ e1 A1 , . . . , Yn ∈ en An )
1
P (Y1 ∈ γ1 A1 , . . . , Yn ∈ γn An )
= n
2
n
(γ1 ,...,γn )∈{−1,1}
n
P (εi = ei ) P (|Y1 | ∈ A1 , . . . , |Yn | ∈ An ).
=
i=1
Tính độc lập được cung cấp ở Bổ đề 2.1.1 chính là “chìa khóa” quan
trọng cho định lí sau
Định lý 2.1.2. Cho Y = (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) là một vectơ ngẫu nhiên có tọa
độ đối xứng trong Rn các thành phần tọa độ thỏa mãn P (Yi = 0) = 0 có
2
phương sai vi hữu hạn ∀i = 1, 2, . . . , n. Với θ ∈ Rn , || θ ||= 1.
Đặt
Yθ = θ · Y
n
2
vθ
=
i=1
2 2
θi vi
và
Vθ2
n
=
i=1
2
θi Xi2
với Xi = |Yi |/vθ .
Khi đó, hàm Φ (x) là hàm phân phối của phân phối chuẩn tắc N (0, 1)
và Wθ = Yθ /vθ thỏa mãn
sup |P (Wθ ≤ x) − Φ (x) | ≤ 4.2E|Vθ2 − 1|I{|Vθ2 − 1| > 1/2}
(2.1)
x∈R
+ 0.4E Vθ2 − 1
2
I{Vθ2 − 1| ≤ 1/2} + 2
n
|θi |3 E|Xi |3 .
i=1
Điều này kéo theo
n
sup |P (Wθ ≤ x) − Φ (x) | ≤
x∈R
8.4E|Vθ2
2
|θi |3 E|Xi |3 .
− 1| + 2
i=1
Chứng minh.
Theo giả thiết ta có
n
Wθ = Yθ /vθ = (
n
i=1
n
=
i=1
n
εi θi |Yi |/vθ
εi θi εi Yi /vθ =
i=1
ε2 θi Yi )/vθ
i
θi Yi )/vθ = (
i=1
15
(2.2)
n
mà Xi = |Yi |/vθ nên Wθ =
εi θi Xi .
i=1
Theo bổ đề 2.1.1 các hàm dấu sign ε1 , ε2 , . . . , εn của các thành phần
Y1 , Y2 , . . . , Yn là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhận giá trị
1
đều trong {−1, 1} với P (εi = 1) = P (εi = −1) = .
2
Từ đó suy ra
n
EYi = 0,
DYi =
EYi2
2
− (EYi ) =
EYi2
=
2
vθ
2 2
θi vi .
=
i=1
Ta lại có Xi = |Yi |/vθ suy ra
n
2
EXi2 = E|Yi |2 /vθ =
hay
n
EYi2
n
2 2
θi vi
i=1
=
i=1
n
i=1
2 2
θi vi
= 1,
2 2
θi vi
n
2
θi EXi2
2
θi = (||θ||)2 = 1.
=
i=1
i=1
Giả sử Z ∼ N (0, 1) là biến ngẫu nhiên độc lập với Vθ , Φ(x) = P (Z ≤ x)
là hàm phân phối.
Ta sử dụng kí hiệu E(I(A)|B) = P (A|B).
Khi đó, do {ε1 , . . . , εn } độc lập với {X1 , . . . , Xn } nên
P (Wθ ≤ x|{Xi }1≤i≤n ) = P (Wθ ≤ x).
Điều đó kéo theo
P (Wθ ≤ x) − P (Z ≤ x)
= P (Wθ ≤ x) − P (Z ≤ x/Vθ ) + P (Z ≤ x/Vθ ) − P (Z ≤ x)
= P (Wθ ≤ x) − Φ(x/Vθ ) + Φ(x/Vθ ) − Φ(x)
= E(P (Wθ ≤ x|{Xi }1≤i≤n ) − Φ(x/Vθ )) + E(Φ(x/Vθ ) − Φ(x))
:= R1 + R2
với R1 = E(P (Wθ ≤ x|{Xi }1≤i≤n ) − Φ(x/Vθ ))
và R2 = E(Φ(x/Vθ ) − Φ(x)).
16
Áp dụng bất đẳng thức Berry-Esseen cho biến ngẫu nhiên độc lập (1.2),
ta có
|R1 | = |E(P (Wθ ≤ x|{Xi }1≤i≤n ) − Φ(x/Vθ ))|
n
|θi |3 |Xi |3
0.7056
i=1
≤ E{min(1,
)}
Vθ3
n
|θi |3 |Xi |3
0.7056
i=1
≤ min{(E1 , E
)}
Vθ3
n
|θi |3 |Xi |3
≤ min{(1, 0.7056E i=1
n
)}
Vθ3
|θi |3 E|Xi |3
≤ min{(1, 0.7056 i=1
)}
Vθ3
n
|θi |3 E|Xi |3
≤ P (Vθ2 < 1/2) + 0.7056 i=1
(1/2)3/2
n
=
P (|Vθ2
˙
− 1| ≥ 1/2) + 0.7056(2)3/2
|θi |3 E|Xi |3 .
i=1
Mặt khác, theo bất đẳng thức Markov
P ((Vθ2 − 1) ≥ 1/2) ≤ E|Vθ2 − 1|/(1/2).
Điều này kéo theo
n
|R1 | ≤
P (|Vθ2
|θi |3 E|Xi |3
− 1| ≥ 1/2) + 2
i=1
n
≤ E|Vθ2 − 1|/(1/2) + 2
|θi |3 E|Xi |3
i=1
n
≤
2E|Vθ2
−
1|I{|Vθ2
|θi |3 E|Xi |3 .
− 1| > 1/2} + 2
i=1
17
Ta xét R2 , ta có
|R2 |
= |P (Z ≤ x/Vθ ) − P (Z ≤ x)|
= |P (Z ≤ x/Vθ , |Vθ2 − 1| ≤ 1/2) − P (Z ≤ x, |Vθ2 − 1| ≤ 1/2)
+ P (Z ≤ x/Vθ , |Vθ2 − 1| > 1/2) − P (Z ≤ x, |Vθ2 − 1| > 1/2)
≤ |P (Z ≤ x/Vθ , |Vθ2 − 1| ≤ 1/2) − P (Z ≤ x, |Vθ2 − 1| ≤ 1/2)|
+ |P (Z ≤ x/Vθ , |Vθ2 − 1| > 1/2) − P (Z ≤ x, |Vθ2 − 1| > 1/2)|
≤ |P (Z ≤ x/Vθ , |Vθ2 − 1| ≤ 1/2) − P (Z ≤ x, |Vθ2 − 1| ≤ 1/2)|
+ P (|Vθ2 − 1| > 1/2),
mà theo bất đẳng thức Markov
P ((Vθ2 − 1) ≥ 1/2) ≤ E|Vθ2 − 1|/(1/2)
nên
|R2 | ≤ |P (Z ≤ x/Vθ , |Vθ2 − 1| ≤ 1/2) − P (Z ≤ x, |Vθ2 − 1| ≤ 1/2)|
+ 2E|Vθ2 − 1|I{|Vθ2 − 1| > 1/2}
:= R3 + 2E|Vθ2 − 1|I{|Vθ2 − 1| > 1/2}
với
R3 = |P (Z ≤ x/Vθ , |Vθ2 − 1| ≤ 1/2) − P (Z ≤ x, |Vθ2 − 1| ≤ 1/2)|
= |E
Φ(x/Vθ ) − Φ(x) I{|Vθ2 − 1| ≤ 1/2} |.
Xét hàm số f (x) =
(1 + x)−1/2 − 1 + x/2
với |x| ≤ 1/2
x2
ta có
− x2 /2(
f (x) =
1
1
+ 1) + 2x( √
+ 1)
1+x
(1 + x)3
x4
< 0 ∀|x| ≤ 1/2
suy ra
√
|f (x)| ≤ |f (−1/2)| = 4 2 − 5 := c0 ∀|x| ≤ 1/2.
Giả sử |Vθ2 − 1| ≤ 1/2 ta thấy
1/Vθ = (1 + Vθ2 − 1)−1/2 = 1 − (1/2)(Vθ2 − 1) + γ1 (Vθ2 − 1)2
18
với |γ1 | ≤ c0 .
Ta tiến hành khai triển taylor cho hàm Φ
Φ(x/Vθ ) − Φ(x)
= xφ(x)(1/Vθ − 1) + (1/2)x2 (1/Vθ − 1)2 φ (xγ2 )
= xφ(x){−(1/2)(Vθ2 − 1) + γ(Vθ2 − 1)2 }
(Vθ2 − 1)2
2
,
+ (1/2)x φ (xγ2 )
(vθ (Vθ + 1))2
√
với điều kiện (2/3)1/2 ≤ γ2 ≤ 2 khi |Vθ2 − 1| ≤ 1/2.
Đặt c1 = supx∈R |xφ(x)|
1
1
c1 = sup |xφ(x)| = √ e−1/2 ≤ √ ≤ 0.24198
2π
2π
x∈R
và
sup
x
= sup
x
= sup
x
sup
|x2 φ (xγ2 )|
(2/3)1/2 ≤γ2 ≤ 2
sup
√
(2/3)1/2 ≤γ2 ≤ 2
√
|x3 γ2 φ(xγ2 )|
γ −2 |xγ2 |3 φ
√ 2
(2/3)1/2 ≤γ2 ≤ 2
sup
(xγ2 )|
3(3/e)3/2
3
√
sup |x|3 φ(x) =
= c2 ≤ 0.6939.
2 x
2 2π
Khi E(Vθ2 − 1) = 0 ta có
≤
R3 = |E{(xφ(x){−(1/2)(Vθ2 − 1) + γ1 (Vθ2 − 1)2 }
(Vθ2 − 1)2
2
+ (1/2)x φ (xγ2 )
)I{|Vθ2 − 1| ≤ 1/2}}|
2
(Vθ (Vθ + 1))
= |(1/2)xφ(x)E(Vθ2 − 1)I{|Vθ2 − 1| > 1/2}
+ xφ(x)γ1 E(Vθ2 − 1)2 I{|Vθ2 − 1| ≤ 1/2}
(Vθ2 − 1)2
2
+ (1/2)x φ (xγ2 )E{
I{|Vθ2 − 1| ≤ 1/2}}|
2
(Vθ (Vθ + 1))
≤ |(1/2)c1 E(Vθ2 − 1)I{|Vθ2 − 1| > 1/2}
+ (c0 c1 + (1/2)c2 c3 )E(Vθ2 − 1)2 I{|Vθ2 − 1| ≤ 1/2}
= |(1/2)c1 E(Vθ2 − 1)I{|Vθ2 − 1| > 1/2}
+ c4 E(Vθ2 − 1)2 I{|Vθ2 − 1| ≤ 1/2},
19
1
1
)2 và c4 = c0 c1 + c2 c3 ≤ 0.4.
2
2−1/2 (1 + 2−1/2 )
Từ các điều trên ta có
với c3 = (
|P (W ≤ x) − P (Z ≤ x)|
≤ (4 + c1 /2)E|Vθ2 − 1|I{|Vθ2 − 1| > 1/2}
n
+
c4 E(Vθ2
≤
4.2E|Vθ2
+
0.4E(Vθ2
2
− 1)
I{|Vθ2
|θi |3 E|Xi |3
− 1| ≤ 1/2} + 2
i=1
−
1|I{|Vθ2
− 1| > 1/2}
n
− 1)
2
I{|Vθ2
|θi |3 E|Xi |3 .
− 1| ≤ 1/2} + 2
i=1
Mặt khác, ta lại có
4.2E|Vθ2 − 1|I{|Vθ2 − 1| > 1/2} + 0.4E(Vθ2 − 1)2 I{|Vθ2 − 1| ≤ 1/2}
≤ 8.4E(Vθ2 − 1)2 I{Vθ2 − 1| > 1/2} + 0.4E(Vθ2 − 1)2 {|Vθ2 − 1| ≤ 1/2}
≤ 8.4E(Vθ2 − 1)2
nên
n
sup |P (Wθ ≤ x) − Φ (x) | ≤
x∈R
2.2
8.4E|Vθ2
2
|θi |3 E|Xi |3 .
− 1| + 2
(2.3)
i=1
Ứng dụng
Trong chương này chúng tơi trình bày một ứng dụng của Định lí 2.1.2
n
liên quan tới tổng qt hóa của độ đo cone Cp (xem Larry Goldstein, Qi-
Man Shao [10]).
Giả sử { ε1 , . . . , ε2 } là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối
Bernoulli
1
với 1 k n.
2
G1 , . . . , Gn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối Gamma
P (εk = −1) = P (εk = 1) =
Γ(1/p, 1), nghĩa là với mọi 1
k n, Gk có hàm mật độ
1
1 p −1 −x
f (x) =
x e I(x 0).
1
Γ( )
p
20
ε1 , . . . , εn độc lập với G1 , . . . , Gn .
1
1
G1 p
G1 p
Đặt G1,n = n Gi và Y = (ε1 (
) , . . . , εn (
) ).
i=1
G1,n
G1,n
n
Theo Schechtman - Zinn [11, tr. 218], độ đo Cp (Định nghĩa 1.1.17) là
trường hợp đặc biệt khi F là phân phối Gamma Γ(1/p, 1).
Định lý 2.2.1. (Schechtman - Zinn 1990)
Với các kí hiệu như trên, ta có
n
Cp (A) = P (Y ∈ A).
n
Định lý 2.2.2. Cho Y như đã xây dựng ở trên có phân phối Cp,F với p > 0
2+4/p
và G1 có phân phối là F thỏa mãn EG1
< ∞. Khi đó luôn tồn tại một
hằng số cp,F phụ thuộc vào p và F sao cho với mọi θ ∈ Rn , ||θ|| = 1 thỏa
mãn
n
|θi |3 ,
sup |P (Wθ ≤ x) − Φ(x)| ≤ cp,F
x∈R
i=1
trong đó
Wθ = Yθ /vθ với Yθ = θ· Y và
Chứng minh.
2
vθ
G1
=E
G1,n
2/p
.
n
Theo định lí 2.2.1 ta có Y cùng phân phối với Cp,F .
2
Để thuận tiện ta lấy r = 1/p, ta thấy rằng với vn = V ar(Y1 ), và
2
n−2r = O(vv )
(2.4)
với ẩn không đổi trong biểu thức sau có thể phụ thuộc vào p và F .
Thật vậy, khi r ≥ 1/2 ta có hàm số : g(x) = x2r với x ∈ R+ là hàm lồi.
Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có
G1
E
G1,n
2r
2r
G1
≥ E
G1,n
= n−2r ,
suy ra
2
vn
G1 r
G1
) =E
= V ar ε1 (
G1,n
G1,n
2r
G1
≥ E
G1,n
Khi 0 < r < 1/2 đặt c = E(G1 )/(2(EG1 + 2
2r
= n−2r .
V ar(G1 ))),
ta thấy
G1
E
G1,n
2r
G1
≥E
I{G1 /G1,n ≥ c/n}
G1,n
21
2r
≥ (c/n)2r P (G1 /G1,n ≥ c/n).
Mặt khác, ta lại có
P (G1 /G1,n ≥ c/n)
≥ P ((n − 1)G1 ≥ c(G1,n − G1 ))
≥ P (G1 ≥ E(G1 )/2, G1,n − G1 ≤ (n − 1)(EG1 + 2 V ar(G1 )))
= 1 − P G1 < E(G1 )/2
1 − P (G1,n − G1 > (n − 1)(EG1 + 2 V ar(G1 ))) .
Theo bất đẳng thức hàm mũ đối với các biến ngẫu nhiên độc lập khơng
âm với n=1 ta có
P G1 < E(G1 )/2 ≥ exp − (EG1 )2 /(8EG2 )
1
và bất đẳng thức Chebyshev ta có
P (G1,n − G1 > (n − 1)(EG1 + 2 V ar(G1 ))) ≤
1
4(n − 1)
ta suy ra
P (G1 /G1,n ≥ c/n) ≥ 1 − exp − (EG1 )2 /(8EG2 )
1
1−
1
.
4(n − 1)
Vậy
G1
E
G1,n
2r
G1
≥E
I{G1 /G1,n ≥ c/n}
G1,n
≥ (c/n)2r 1 − exp − (EG1 )2 /(8EG2 )
1
2r
(1 −
1
)
4(n − 1)
2
2
hay n−2r = O(vv ) với vn = V ar(Y1 ).
Bây giờ ta đi chứng minh
E(G1 /G1,n )3r = O(n−3r )
và
(2.5)
n
E(Vθ2
2
4
θ1 ).
− 1) = O(
i=1
22
(2.6)
Đặt µ = EG1 , ý tưởng chính là sử dụng G1,n /n có xác suất gần bằng
µ theo luật số lớn và sử dụng khai triển Taylor
(1 + x)−2r = 1 − 2rx + γ1 x2 với x > −1/2
(2.7)
(1 + x)−2r = 1 + γ2 x với x > −1/2
(2.8)
và
với
|γ1 | ≤ r(2r + 1)22r+2 và |γ2 | ≤ r22r+2 .
Ta dễ thấy
(nµ)2r E(G1 /G1,n )2r = EG2r + O(n−1 ).
1
(2.9)
Đặt ∆n = (G1,n − nµ)/(nµ) suy ra
G1,n = nµ(1 + ∆n ).
Điều này kéo theo
(nµ)2r E(G1 /G1,n )2r = (nµ)2r E(G1 /G1,n )2r I{G1,n ≤ nµ/2}
+ (nµ)2r E(G1 /G1,n )2r I{G1,n > nµ/2}
= (nµ)2r E(G1 /G1,n )2r I{G1,n ≤ nµ/2}
+ E(G2r (1 + ∆n )−2r )I{∆n > −1/2}
1
:= R4 + R5 .
(2.10)
Áp dụng bất đẳng thức hàm mũ đối với các biến ngẫu nhiên độc lập không
âm, ta có
P (G1,n
(nµ/2)2
≤ nµ/2) ≤ exp −
2nEG2
1
nµ2
= exp −
.
8EG2
1
(2.11)
Điều đó kéo theo
R4 ≤ (nµ)2r P (G1,n ≤ nµ/2) = O(n−2 ).
23
(2.12)
Theo (2.7), ta có
R5 = E(G2r (1 − 2r∆n + γ1 ∆2 ))I{∆n > −1/2}
1
n
= E(G2r (1 − 2r∆n )) − E(G2r (1 − 2r∆n ))I{∆n ≤ −1/2}
1
1
+ EG2r γ1 ∆2 I{∆n > 1/2}
1
n
= EG2r − 2rEG2r (G1,n − nµ)/(nµ) − E(G2r (1 − 2r∆n ))I{∆n ≤ −1/2}
1
1
1
+ EG2r γ1 ∆2 I{∆n > −1/2}
1
n
= EG2r − 2rEG2r (G1 − µ)/(nµ) + R5,1 ,
1
1
(2.13)
với
R5,1 = −E(G2r (1 − 2r∆n ))I{∆n ≤ −1/2} + EG2r γ1 ∆2 I{∆n > 1/2}.
1
1
n
Áp dụng bất ng thc Hălder vi n 1 ta cú
o
EG2r 1 ∆2 I{∆n > 1/2} ≤ O(1)EG2r ∆2 .
1
n
1
n
Điều này kéo theo
|R5,1 | = | − E(G2r (1 − 2r∆n ))I{∆n ≤ −1/2} + EG2r γ1 ∆2 I{∆n > 1/2}|
1
1
n
(2.14)
≤
E(G2r (1
1
≤ (1 − 2r)
− 2r∆n ))I{∆n ≤ −1/2} + O(1)EG2r ∆2
1
n
(2r+1)/(2r+2)
2r(2r+2)/(2r+1)
p1/(2+2r) (∆n
EG1
≤ −1/2)
+ O(1)EG2r ∆2
1
n
= O(1)p1/(2+2r) (∆n ≤ −1/2)
n
−2
+ O(1)(nµ)
EG2r (G1
1
2
− µ) +
EG2r E(
1
(Gi − µ)2 )
i=2
−1
= O(n ).
(2.15)
Để chứng minh công thức (2.5) ta áp dụng (2.11)
n3r E(G1 /G1,n )3r = n3r E(G1 /G1,n )3r I{G1,n ≤ nµ/2}
+ n3r E(G1 /G1,n )3r I{G1,n < nµ/2}
≤ n3r P (G1,n ≤ nµ/2) + EG3r /(µ/2)3r
1
= O(1),
24
suy ra
E(G1 /G1,n )3r = O(n−3r ).
Sau đây ta đi chứng minh cơng thức (2.6), ta có
Vθ2 − 1 = (Vθ2 − 1)I{G1,n ≤ nµ/2} + (Vθ2 − 1)I{G1,n > nµ/2}. (2.16)
với chú ý rằng Vθ2 = O(n2r ) theo (2.4), tương tự như (2.12) từ (2.11) ta
suy ra
E(Vθ2 − 1)2 I{G1,n ≤ nµ/2} = O(n4r P (G1,n ≤ nµ/2) = O(n−1 ). (2.17)
Xét vế phải của công thức (2.16), ta có
(Vθ2 − 1)I{G1,n > nµ/2}
I{∆n > −1/2} −2r
{G1,n
=
2
vθ
=
(2.18)
n
2
2
θi G2r − vθ }
i
i=n
−2r
I{∆n > −1/2}(nµ)
2
vθ
n
−2r
i=n
n
−2r
=
I{∆n > −1/2}(nµ)
2
vθ
=
2
θi G2r − EG2r + O(n−1 )}
i
1
{(1 + γ2 ∆n )
i=n
n
−2r
I{∆n > −1/2}(nµ)
2
vθ
2
θi G2r − (nµ)2r E(G1 /G1,n )2r }
i
{(1 + ∆n )
n
2
θi (G2r
i
{
−
EG2r )
i
i=1
2
θi G2r + O(n−1 )}
i
+ γ2 ∆n
i=1
:= R6 + R7 + R8 ,
(2.19)
với
I{∆n > −1/2}(nµ)−2r n 2 2r
θi (Gi − EG2r ),
R6 =
i
2
vθ
i=1
n
I{∆n > −1/2}(nµ)−2r
2
γ2 ∆n θi G2r ,
R7 =
i
2
vθ
i=1
I{∆n > −1/2}(nµ)−2r
R8 =
O(n−1 ).
2
vθ
Từ (2.9) ta suy ra
(nµ)−2r
= O(1)
2
vθ
25
(2.20)
