Bất đẳng thức và cực trọ đại sô (Các bạn tham khảo nhé)

Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
I . Các kiến thức cần thiết
1. Các định nghĩa
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, )
xác định trên miền D :
M. đợc gọi là GTLN của f(x,y, ) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D
2. (x
0
, y
0
, ) |D sao cho f(x
0
, y
0
) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = f
max
với (x,y, ) |D
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, )
xác định trên miền |D :
M. đợc gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D
2. (x
0
, y
0
, ) |D sao cho f(x
0
, y
0

) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = f
min
với (x,y, ) |D
2. Các kiến thức th ờng dùng
2.1. Luỹ thừa :
a) x
2
0 x |R x
2k
0 x |R, k z - x
2k
0
Tổng quát : [f (x)]
2k
0 x |R, k z - [f (x)]
2k
0
Từ đó suy ra : [f (x)]
2k
+ m m x |R, k z
M - [f (x)]
2k
M
b)
x
0 x 0 (
x
)
2k

0 x0 ; k z
Tổng quát : (
A
)
2k
0 A 0 (A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a) |x| 0 x|R
b) |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0
c) |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y|
2.3. Bất đẳng thức côsi :
ai 0 ; i =
n,1
:
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
nN, n 2.
dấu "=" xảy ra a
1
= a

2
= = a
n
2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a
1
,a
2
, ,a
n
; b
1
, b
2
, ,b
n
ta có :
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ +a
n
b
n
)

2
(
) ).(
22
2
2
1
22
2
2
1 nn
bbbaaa ++++++
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 1
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Dấu "=" xảy ra
i
i
b
a
= Const (i =
n,1
)
Nếu bi = 0 xem nh ai = 0
2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :
Với a 0 : (1+a)
n
1+na n N.
Dấu "=" xảy ra a = 0.
Một số Bất đẳng thức đơn giản thờng gặp đợc suy ra từ bất đẳng thức (A+B)
2

0.
a. a
2
+ b
2
2ab
b. (a + b)
2
4ab
c. 2( a
2
+ b
2
) (a + b)
2
d.
e.
II. Một số phơng pháp cơ bản
giải bài toán cực trị đại số
Ph ơng pháp 01
( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất )
Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về
tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và những hằng số . Từ đó :
1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra :

Ryx
Myxf
| ),(
),(
00
sao cho f(x
0
,y
0
, ) = M
2. Để tìm Min f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra :





Ryx
myxf
| ),(
),(
00
sao cho f(x
0
,y
0
, ) = m
I. Các vi dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A
1

= x
2
+ 4x + 7
Giải :
Ta có : A
1
= x
2
+ 4x + 7 = x
2
+ 4x + 4x + 3 = (x + 2)
2
+ 3 3 vì (x + 2)
2
0.
A
1
min = 3 x + 2 = 0 x = -2
Vậy A
1
min = 3 x = -2
2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A
2
= -x
2
+ 6x - 15
Giải :
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 2
2+
a

b
b
a
baab +
+
411
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Ta có : A
2
= -x
2
+ 6x - 15 = - (x
2
- 6x + 9) - 6
A
2
= - (x - 3)
2
- 6 - 6 do -(x - 3)
2
0 x |R
A
2
max = - 6 x - 3 = 0 x = 3
Vậy A
2
max = - 6 x = 3
3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A
3
= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002

Giải :
Ta có : A
3
= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002
= (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002
= (x
2
-9x + 8) (x
2
- 9x + 20) + 2002
= {(x
2
-9x + 14) - 6}.{(x
2
-9x + 14) + 6} + 2002
= (x
2
-9x + 14)
2
- 36 + 2002
= (x
2
-9x + 14)
2
+ 1966 1966 vì (x
2
-9x + 14)
2
0 x
A

3
min = 1966 x
2
-9x + 14 = 0



=
=
7
2
x
x
Vậy A
3
min = 1966



=
=
7
2
x
x
4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
4
=
)1(
12

1102
2
2

+

x
xx
xx
Giải :
Ta có: A
4
=
22
2
2
2
)1(
9
1
6
2
)1(
9)1(6)12(2
12
1102



=

+
=
+

x
x
x
xxx
xx
xx
= -
331
1
3
2
+






+
x
vì -
x
x

+

01
1
3
2
A
4
Max = 3
01
1
3
=+
x
x = -2
Vậy : A
4
Max = 3 x = -2
5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A
5
=
yx
x
y
y

x
+
với x,y>0
Giải :
Ta có:A
5
=
yx
x
y
y
x
+
=
=
+
xy
xyyxyyxx

xy
yxyyxx )()(

A
5
=
xy
yxyx )).((

=
xy

yxyx ).()(
2

0 x,y > 0
A
5
min = 0
0= yx
x = y
Vậy : A
5
min = 0 x = y > 0
6. Ví dụ 6 : Cho x,y 0 và x + y = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A
6
= x
2
+ y
2
.
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 3
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Giải :
Do x; y 0 và x + y = 1 0 x;y 1 x
2
x, y
2
y
A
6

= x
2
+ y
2
x + y = 1 A
6
max = 1



=
=
1
0
y
x
hoặc



=
=
0
1
y
x
Mặt khác : x + y = 1 (x + y)
2
= 1 1 = x
2

+ 2xy + y
2
(x
2
+y
2
)-(x-y)
2
A
6
= x
2
+y
2
=
2
1
)(
2
1
2
1
2
+ yx
do (x - y)
2
0
A
6
min =

2
1
x - y = 0 x = y =
2
1
Vậy : A
6
max = 1



=
=



=
=
0
1
;
1
0
y
x
y
x
A
6
min =

2
1
x = y =
2
1
7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A
7
= xy + yz + zx - x
2
-y
2
-z
2
Giải :
Ta có : A
7
= xy + yz + zx - x
2
-y
2
-z
2
= -
2
1
(2x
2
+2y
2
+2z

2
-2xy-2yz-2xz)
A
7
= -
2
1
{(x-y)
2
+ (y-z)
2
+ (z-x)
2
} 0 x,y,z
A
7
Max = 0 x = y = z
Vậy : A
7
Max = 0 x = y = z
II. Nhận xét:
Phơng pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất đợc áp
dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thờng gặp khó
khăn trong công việc biến đổi để đạt đợc mục đích. Vậy còn những phơng pháp nào; để cùng
phơng pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trớc hết ta giải một số
bài toán sau để cùng suy ngẫm.
III. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a. A =x
2

- 10x + 20
b. B = (x-1)
2
+ (x-3)
2
c. C =
12
683
2
2
+
+
xx
xx
(x 1)
d. D = x
3
+ y
3
+ xy biết x + y = 1
e. E =
xyyx
xyyx
2
)(4
++
++
với x,y > 0
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :
a. A = - x

4
+ 2x
3
- 3x
2
+ 4x + 2002
b. B =
1
2
2
2
+
+
x
x
; C =
2510
196747
2
2
+
+
xx
xx
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 4
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
3. Tìm GTLN, GTNN của A =
32
64
2

2
++
++
xx
xx
Ph ơng pháp 02 :
( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản )
Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đa về 1 bất đẳng
thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng
thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng ta có thể tìm đợc cực trị của 1 biểu thức nào đó.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B
1
= a +
)(
1
bab
Giải :
Ta có : B
1
= a +
)(
1
bab
= b + (a-b) +
)(
1
bab
3.
3

).(
)(
bab
bab


(theo Côsi).
B
1
3 B
1
min = 3 b = a-b =
)(
1
bab




=
=
1
2
b
a
Vậy : B
1
min = 3

=
=
1
2
b
a
2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B
2
=
ab
1
+
22
1
ba +
Giải :
Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)(
yx
11
+
) 2
yx.
. 2
xy
1
= 4 (với x,y > 0)

yx
11

+

yx +
4
(1)
Ta có : ab (
2
ba +
)
2
=
4
1

ab
1
4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0
áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :
B
2
=
22222222
2
4
2
4
)
1
2
1

(
2
11
2
211
baabba
abab
ba
ab
ba
ab
++
+
+
++=
+
+=
+
+
B
2
2 +
6
)(
4
2
=
+ ba
do a + b = 1 B
2

min = 6 a = b =
2
1
Vậy : B
2
min = 6 a = b =
2
1
3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B
3
= x
4
+ y
4
+ z
4
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 5
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Giải :
Do xy + xz + yz = 4 16 = (xy + xz + yz)
2
(x
2
+y
2
+z
2
) (x
2
+y

2
+z
2
)
(Theo Bunhiacôpxki) 16 (x
2
+y
2
+z
2
)
2
(x
4
+ y
4
+ z
4
) (1
2
+1
2
+1
2
)
B
3
= x
4
+ y

4
+ z
4

3
16
B
3
min =
3
16
x = y = z =
3
32
Vậy : B
3
min =
3
16
x = y = z =
3
32
4. Ví dụ 4 : Cho |a| 1; |b| 1 và | a+ b| =
3
Tìm GTLN của B
4
=
22
11 ba +
Giải :

Ta có : (a-b)
2
0 a;b
2
22
22






+

+ baba
(1)
áp dụng (1) ta có :

2
1
2
)(2
2
11
2
11
22
22
22
2

22
ba
ba
baba +
=
+
=
+









+
Do
4
3
2
3
22
2
2
22
=

=






+

+ baba
(do | a + b| =
3
)

2
22
2
11

+ ba
1 -
4
3
=
4
1
(
111
22
+ ba
)
B
4
=
111
22
+ ba
B
4
Max = 1 a = b =
2
3
Vậy : B
4
Max = 1 a = b =
2
3

5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B
6
= | x + 7| + | x - 1995|
Giải :
Ta có : |x| + |y| | x + y| dấu "=" xảy ra x,y 0
Do vậy : B
6
= | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002
B
6
Min = 2002 (x + 7). (1995 - x) 0 -7 x 1995
Vậy : B
6
Min = 2002 -7 x 1995
6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
B
7
= | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
Giải :
Ta có : B
7
= | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
B
7
= | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)|
B
7
| x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010
B
7

min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 6
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Vậy : B
7
min = 2010
7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của
B = (1 + x
2
y + xy
2
)
2001
- 2001 xy (x+y) + 2001 với x
2
y + xy
2
0
Giải :
Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x
2
y + xy
2
)
2001
1 + 2001 (x
2
y + xy
2
)

B (1 + x
2
y + xy
2
)
2001
- 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001.
B 2002 B min = 2002 xy(x+y) = 0





=
=
=
yx
y
x
0
0
Vậy : B min = 2002





=
=
=

yx
y
x
0
0
8. Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3.
Tìm GTNN của B
8
= x
16
+ y
16
+ z
16
Giải :
Cách 1 :
Ta có : (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
0 a,b,c
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + ac + bc (1)

áp dụng bất đẳng thức (1) ta có :
B
8
= x
16
+ y
16
+ z
16
= (x
8
)
2
+ (y
8
)
2
+ (z
8
)
2
x
8
y
8
+ y
8
z
8
+ z

8
x
8
B
8
x
8
y
8
+ y
8
z
8
+ z
8
x
8
B
8
(x
4
y
4
)
2
+ (y
4
z
4
)

2
+ (z
4
x
4
)
2
x
4
y
4
. y
4
z
4
+ x
4
y
4
. z
4
x
4
+ y
4
z
4
. z
4
x

4
B
8
x
4
y
8
z
4
+ x
8
y
4
z
4
+ x
4
y
4
z
8
B
8
(x
2
y
4
z
2
)

2
+ (x
4
y
2
z
2
)
2
+ (x
2
y
2
z
4
)
2
x
6
y
6
z
4
+ x
6
y
4
z
6
+ x

4
y
6
z
6
B
8
(x
3
y
3
z
2
)
2
+ (x
2
y
3
z
3
)
2
+ (x
3
y
2
z
3
)

2
x
5
y
6
z
5
+ x
6
y
5
z
5
+ x
5
y
5
z
6
B
8
(xyz)
5
.x + (xyz)
5
.y + (xyz)
5
.z = x + y + z = 3
(do xyz = 1 và x + y + z = 3)
B

8
min = 3 x = y = z = 1
Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)
áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :
3 = x + y + z 9 = (x+ y + z)
2
(x
2
+ y
2
+ z
2
).3
3 (x
2
+ y
2
+ z
2
) 9 (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
(x
4
+ y

4
+ z
4
).3
3 x
4
+ y
4
+ z
4
9 (x
4
+ y
4
+ z
4
)
2
(x
8
+ y
8
+ z
8
).3
3 x
8
+ y
8
+ z

8
9 (x
8
+ y
8
+ z
8
)
2
(x
16
+ y
16
+ z
16
).3
B
8
= x
16
+ y
16
+ z
16
3 . B
8
min = 3 x = y = z = 1
Vậy : B
8
min = 3 x = y = z = 1

Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 7
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
II. Nhận xét :
Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán đợc giải quyết nhanh hơn. Song
việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận
dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp vừa nêu vẫn cha
đủ để giải quyết đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có
những phơng pháp khác tối u hơn và thực hiện đợc yêu cầu bài toán. Trớc khi đi nghiên cứu ph-
ơng pháp 03. Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau :
III. Một số bài tập đề nghị :
1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1
Tìm GTNN của A = (1+
a
1
) (1+
b
1
) (1+
c
1
)
2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1
Tìm GTNN của B =
22
32
ba
ab
+
+
3. Cho a,b,c > 0

a) Tìm GTNN của C =
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
b) Tìm GTNN của D =
c
ba
b
ac
a
cb
ba
c
ac
b
cb
a +
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
4. Cho x,y,z
4
3

và x + y + z = 1
Tìm GTLN E =
343434 +++++ zyx
5. Cho a,b,c 0 và a + b + c = 1
Tìm GTLN của F =
cbcaba +++++
6. Cho 0 x
3
4
. Tìm GTLN của G = 4x
2
- 3x
3
7. Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4. Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y)
8. Cho x,y,z,t 0 và 2x + xy + z + yzt = 1
Tìm GTLN của I = x
2
y
2
z
2

.t
9. Cho x,y,z,t 0 và xt + xy + z + yzt = 1
Tìm GTLN của K = xyzt
10. Tìm GTNN của M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 |
Ph ơng pháp 03 :
( Sử dụng phơng pháp đặt biến phụ )
Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tơng đơng. Sử dụng các bất đẳng thức
cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn.
I. Các ví dụ minh hoạ :
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 8
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của C
1
= x
4
+ 6x
3
+ 13x
2
+ 12x + 12
Giải :
C
1
= x
4
+ 6x
3
+ 13x
2
+ 12x + 12

C
1
= ( x
4
+ 6x
3
+ 19x
2
+ 30x + 25) - 6 (x
2
+ 3x + 5) + 17
C
1
= (x
2
+ 3x + 5)
2
- 6 (x
2
+ 3x + 5) + 17
Đặt : x
2
+ 3x + 5 = a
C
1
= a
2
- 6a + 17 = a
2
+ 6a + 9 + 8

C
1
= (a-3)
2
+ 8 8 do (a-3)
2
0 a.
C
1
min = 8 a - 3 = 0 a = 3 x
2
+ 3x + 2 = 0



=
=
2
1
y
x
Vậy : C
1
min = 8



=
=
2

1
y
x
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của C
2
= 2.








+
2
2
2
2
x
y
y
x
- 5
6+

+
x
y
y
x
với x,y > 0
Giải :
Đặt :
x
y
y
x
+
= a 2
2
2
2
2
x
y
y
x
+
= a
2
- 2
C

2
= 2.( a
2
- 2) - 5a + 6 = 2a
2
- 5a + 2
Ta thấy : a 2 C
2
= 2a
2
- 5a + 2 0
C
2
min = 0 a = 2 x = y > 0
Vậy : C
2
min = 0 x = y > 0
3. Ví dụ 3: Tìm GTNN của C
3
=
x
y
y
x
+
-
x
y
y
x

33
+ 2004 với x,y>0
Giải :
Đặt :
x
y
y
x
+
= a 2

x
y
y
x
+
= a
2
- 2
Khi đó : C
3
= (a
2
- 2) - 3a + 2004
C
3
= a
2
- 3a + 2004 = a
2

- 3a + 2 + 2002
C
3
= (a-1) (a-2) + 2000
Do ta có : a 2 a - 1> 0 ; a - 20 (a-1) (a-2) 0
C
3
= (a-1) (a-2) + 2000 2000
C
3
min = 2000 a = 2 x = y ; xy > 0
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 9
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Vậy C
3
min = 2000 x = y và xy > 0
4. Ví dụ 4: Cho x,y,z > 0
Tìm GTNN của C
4
=
yx
z
zx
y
zy
x
+
+
+
+

+
Giải :
Đặt : a =
zy +
; b =
zx +
; c =
yx +

zyx ++
=
2
cba ++

2
cba
x
++
=
;
2
cba
y
+
=
;
2
cba
z
+

=
Khi đó : C
4
=
222
cbacbacba +
+
+
+
++
C
4
=






+++++ 3)()()(
2
1
a
c
c
a
b
c
c
b

a
b
b
a
Theo Côsi với a,b,c >0 ta có :
2;2;2 +++
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
C
4

2
3
)3222(
2
1
=++
C
4
min =

2
3
a = b = c x = y = z > 0.
Vậy C
4
min =
2
3
x = y = z > 0.
5. Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của C
5
=
2222
2222
)1()1(
)1)((
yx
yxyx
++

Giải :
Ta có :
4
)(
2
ba +
a.b (1) a,b và
ab
ba

4
)(
2
(2) a,b
Đặt :
a
yx
yx
=
++
+
)1)(1(
22
22
và
b
yx
yx
=
++

)1)(1(
1
22
22
Khi đó : C
5
=a.b
Theo (1) và (2) ta có : -

4
)(
2
ba +
C
5
= ab
4
)(
2
ba +
-
2
22
2222
5
2
22
2222
)1)(1(
1
4
1
)1)(1(
1
4
1

++
+







++
+
yx
yxyx
C
yx
yxyx
-
2
22
22
5
2
22
22
)1)(1(
)1)(1(
4

1
)1)(1(
)1)(1(
4
1






++
+







++
+
yx
yx
C
yx
yx
-
2
2

2
1
1
.
4
1








+

x
x
C
5

2
2
2
1
1
.
4
1

+

y
y
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 10
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Ta có : 0
2
2
2
1
1








+

x

x
1 ; 0
2
2
2
1
1








+

y
y
1
Do đó :
2
2
2
1
1
4
1
4
1

+


x
x
C
5

4
1
1
1
4
1
2
2
2

+

y
y
C
5
min =
4
1

(x
2
- 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
x = 0
C
5
max =
4
1
(1 - y
2

)
2
= (1 + y
2
)
2
y = 0
Vậy : C
5
min =
4
1

x = 0
C
5
max =
4
1
y = 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của A = x
2
+ 4 - x +
1
1
2
+ xx

2. Tìm GTLN của B =

aaa 350321 +++
với a






3
50
;
2
3
3. Cho a -
2
1
; b -
2
1
; c -
2
1
và a+ b + c = 1
Tìm GTLN của C =
121212 +++++ cba
4. Cho x,y > 0. Tìm GTNN của D =
43
2
2
2

2
+








++
x
y
y
x
x
y
y
x
Ph ơng pháp 04 :
( Sử dụng biểu thức phụ )
Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi ngời ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể
so sánh đợc với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn.
Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức :
A
1
, -A,
kA, k + A, |A| , A
2
(k là hằng số).

I. Các vị dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTLN của A =
1
24
2
++ xx
x
Giải :
a) Xét x = 0 A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x 0 ta có A > 0.
b) Xét x 0 đặt P =
A
1
khi đó A
max
P
min

với cách đặt trên ta có : P =
1
11
2
2
2
24
++=
++
x
x
x
xx

Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 11
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
ta có : x
2
+
2
1
.2
1
2
2
2
=
x
x
x
(theo côsi)
P 2 + 1 = 3 P
min
= 3 x = 1
Do đó : A
max
=
3
1
x = 1
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của B =
2
)2002( +

x
x
với x > 0
Giải :
Đặt P
1
= - B nh vậy P
1max
M
min
Ta có : P
1
=
2
)2002( +x
x
với x > 0 P > 0
Đặt P
2
=
1
1
P
> 0 với x > 0 khi đó P
2 Min
P
1 Max
P
2
=

x
xx
x
x
22
2
20022002 2
)2002(
++
=
+
P
2
=
x
xxx 2002 420022002 2
22
++
P
2
=
80082002.42002.4
)2002(
2
=+

x
x
(do
x

x
2
)2002(
0 x > 0)
P
2 Min
= 8008 x = 2002
P
1 Max
=
8008
1
x = 2002
B
Min
= -
8008
1
x = 2002
Vậy B
Min
= -
8008
1
x = 2002
3. Ví dụ 3: Cho a,b,c dơng và a + b + c = 3
Tìm GTLN của C =
accbba 454545
+++++

Giải :
Do a,b,c > 0 C > 0
Đặt : P = C
2
khi đó
Max
P
C
Max
Ta có : P = (
accbba 454545
+++++
)
2
P (1
2
+ 1
2
+ 1
2
) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki
P 3.9(a + b + c) = 81 do a + b + c = 3
P
Max
= 81 a = b = c = 1

2
Max
C
= 81 a = b = c = 1

Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 12
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
C
Max
= 9 a = b = c = 1
Vậy C
Max
= 9 a = b = c = 1
4. Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > 0
Tìm GTNN của D =
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
Giải :
Đặt P = 2D ta có :
P =
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
)(2
2
)(22)(2
2
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
P=








+
+
+
+
+
+








+
+
+
+

+
+
+
+








+
+
+ t
tx
y
xt
x
ty
t
yx

yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
2
3
2
2
2
2
2
2
P=








++++++

+
+
+
+








+
+
+
+

+
+
+ t
y
t
x
y
x
y
t
x
t
x
y
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
2
3
2
2

2
2
2
2
P 2 + 2 + 2 +
6
3
.6 (theo côsi)
P 15 P
Min
= 15 x = y = t > 0
D
Min
=
2
15
x = y = t
Vậy D
Min
=
2
15
x = y = t
5. Ví dụ 5: Cho x, y > 0 và 7x + 9y = 63 Tìm GTLN của E = x.y
Giải :
Đặt : P = 63.E ta có :
P = 63xy = 7x.9y
2
2
97

+ yx
(theo côsi)
P
2
2
63






=
4
3969
P
Max =
4
3969
Dấu "=" xảy ra 7x = 9y =
2
63

=
=
2
7
2
9
y
x
E
Max
=
4
3969
: 63 =
4
63




=
=
5,3
5,4

y
x
6. Ví dụ 6 : Cho x
2
+ y
2
= 52 Tìm GTLN của F = 2x + 3y
Giải :
Xét : P
1
= |F| khi đó P
1
= |2x + 3y|
Đặt : P
2
=
2
1
P
khi đó P
2
= (2x + 3y)
2
Theo Bunhiacôpxky : P
2
(4 + 9) (x
2
+ y
2
) = 13.13.4

Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 13
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
P
2 Max
= 13.13.4



=
=
6
4
y
x
hoặc



=
=
6
4
y
x
P
1 Max
= 26
Do F |F| = P
F
Max

= 26



=
=
6
4
y
x
Vậy F
Max
= 26



=
=
6
4
y
x
7. Ví dụ 7: Cho x,y > 0
Tìm GTNN của G =
x
y
y
x
x
y

y
x
x
y
y
x
+++
2
2
2
2
4
4
4
4
Giải :
Đặt : P = G - 2 ta có :
P =
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x

+++
2
2
2
2
4
4
4
4
-2
P =








++








++

++








+
x
y
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
x

y
x
y
y
x
y
x
2 21.21.2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
4
P =
0
)(
11
2
2
2
2
2
2

2
2


+








+








+

xy
yx
x
y
y
x
x
y
y
x
P
Min
= 0 x = y > 0
Vậy G
Min
= 2 x = y > 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Cho x,y, z > 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
Tìm GTNN của A
y
zx
x

yz
z
xy
++=
2. Cho x 0.
Tìm GTNN của B =
4
48
1
x
xx ++
3. Cho x 0
Tìm GTLN của C =
1
816
8
++ xx
x
4. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Tìm GTLN của D = a + 2b + 3c
5. Cho a,b > 0 và a + b = 2
Tìm GTNN của E =

22
4
1
4
1
ba
6. Cho a, b, c, d > 0
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 14
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Tìm GTNN của F =
cba
ad
bad
dc
adc
cb
dcb
ba

++
+
+
++
+
+
++
+
=
++
+
7. Cho a,b |R
Tìm GTNN của G =
2222
)1()1( abba +++

Ph ơng pháp 05 :
( Phơng pháp miền giá trị )
Trong một số trờng hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc hai biến số
và đa đợc về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền già trị của hàm số để giải
và thấy rất hiệu quả.
Đờng lối chung là :
Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị nào đó của
f(x) với x D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm. Sau đó giải điều
kiện để phơng trình f(x)=y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số).
Thờng đa đến biểu thức sau : m yM
Từ đó Min f(x) = m với x D.
Max f(x) = M với x D.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x

2
+ 4x + 5
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = x
2
+ 4x + 5
x
2
+ 4x + 5 - y = 0 (có nghiệm)
' = 4 - 5 + y 0
y 1
Vậy f(x)
Min
= 1 x = -2
2. Ví dụ 2:
Tìm GTLN của f(x) = - x
2
+ 2x - 7
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = - x
2
+ 2x - 7
x
2
- 2x + y + 7 (có nghiệm)
' = 1 - y - 1 0
y - 6
Vậy f(x)

Max
= -6 x = 1
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 15
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
3. Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của f(x) =
32
64
2
2
++
++
xx
xx
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y =
32
64
2
2
++
++
xx
xx
yx
2
+ 2yx + 3y - x
2
- 4x - 6 = 0
(y - 1)x

2
+ 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 (có nghiệm)
* Nếu y = 1 x = -
2
3
* Nếu y 1 ' = (y - 2)
2
+ (3y - 6)(1 - y) 0
y
2
- 4y + 4 - 3y
2
+ 3y + 6y - 6 0
- 2y
2
+ 5y + 2 0

2
1
y 2
Ta thấy :
2
1
< 1 < 2
Do vậy : f(x)
Min
=
2
1
x = -3

f(x)
Max
= 2 x = 0
4. Ví dụ 4 :
Tìm GTNN của f(x) =
12
62
2
2
+
++
xx
xx
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y =
12
62
2
2
+
++
xx
xx

yx
2
+ 2yx + y - x
2
- 2x - 6 = 0

(y - 1)x
2
- 2(y + 1)x + y - 6 = 0 (có nghiệm)
* Nếu y = 1 x = -
4
5
* Nếu y 1 ' = (y + 1)
2
- (y - 1)(y - 6) 0
y
2
+ 2y + 1 - y
2
+ 6y + y - 6 0
9y - 5 0
y
9
5
Do
9
5
< 1 nên ta có Y
Min
=
9
5
x = -
2
7
Vậy f(x)

Min
=
9
5
x = -
2
7
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 16
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
5. Ví dụ 5: Tìm GTLN của f(x) =
1
2
2
2
+
+
x
x
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x).
Ta có : y =
1
2
2
2
+
+
x
x
yx

2
+ y - x
2
- 1 = 0
(y - 1)x
2
+ y - 2 = 0
(y - 1)x
2
= 2 - y (có nghiệm)
* Nếu y = 1 Phơng trình vô nghiệm
* Nếu y 1 x
2
=
1
2


y
y
(1)
(1) có nghiệm
1
2


y
y
0 1 < y < 2
Y

Min
= 2 x = 0
Vậy f(x)
Max
= 2 x = 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của :
a) A = 5x
2
+ x + 7 ; b) B =
744
3
2
+ xx
; c) C =
xx
x
44
25
2
+

2. Tìm GTLN của :
a) A = -x
2
+ x + 2 ; b) B =
184
11
2
+ xx

; c) C =
2510
196747
2
2
+
+
xx
xx
3. Tìm GTLN và GTNN của :
a) A =
1
1
2
2
+
++
x
xx
; b) B =
1
34
2
+
+
x
x
; c) C =
22
2

68
yx
xyx
+
+
Ph ơng pháp 06 :
( Phơng pháp xét từng khoảng giá trị )
Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, các bất đẳng thức cơ bản
phơng pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phơng pháp miền giá trị hàm
số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn có khi không thể tìm đợc. Những khi ta biết cách xét
từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm đợc cực trị trở nên đơn giản.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1:
Cho m, n N*. Tìm GTNN của A = |36
m
- 5
m
|
Giải :
Do m N* 36
m
có chữ số tận cùng là 6
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 17
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
n N* 5
m
có chữ số tận cùng là 5
Vì vậy : Nếu 36
m
> 5

m
thì A có chữ số tận cùng là 1
Nếu 5
m
> 36
m
thì A có chữ số tận cùng là 9
a) Xét A = 1 ta có : 36
m
- 5
m
= 1 (không xảy ra) vì
(36
m
- 1) : 7 còn 5
m
:7
b) Xét A = 9 ta có : 5
m
- 36
m
= 9 (không xảy ra) vì
(5
m
- 36
m
) : 9 còn 9 : 9
c) Xét A = 11 , xảy ra , chẳng hạn m = 1, n = 2
Vậy A
Min

= 11 m = 1; n = 2
2. Ví dụ 2: Cho m N* . Tìm giá trị lớn nhất của B =
n
n
2
2
Giải :
Với n = 1 ta có : B =
2
1
< 1
Với n = 2 ta có : B = 1
Với n = 3 ta có : B =
8
9
> 1
Với n = 4 ta có : B = 1
Với n = 5 ta có : B =
32
25
< 1
Với n = 6 ta có : B =
16
9
64
36
=
< 1

Ta dự đoán rằng với n 5, n N thì B < 1

Thật vậy : Ta chứng minh dự đoán bằng phơng pháp quy nạp.
a) Giả sử n 5, n N ta có B =
n
n
2
2
< 1 (*)
Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với (n+1) nghĩa là phải chứng minh :
1
2
)1(
1
2
<
+
+n
n

(n + 1)
2
< 2
n+1
(1)
Từ (*) ta có : n
2
< 2
n
2n
2
< 2

n+1
(2)
Để chứng minh (1) ta chứng minh (n + 1)
2
< 2n
2
n
2
+ 2n + 1 < 2n
2
n
2
- 2n - 1 > 0 (n - 1)
2
- 2 > 0 (đúng vì 5)
b) Kết luận : B =
n
n
2
2
< 1 n 5, n N*
Vậy B
max
=
8
9
n = 3
3. Ví dụ 3: Cho a, b, c, d N* và a + b = c + d = 20
Tìm GTNN và GTLN của T =
bdac

ab
+
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 18
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Giải :
Do T 0 nên đặt P =
a
d
b
c
T
+
1
Nh vậy : T
Min
P
Max
T
Max
P
Min
Do a, b, c, d N* và a + b = c + d = 20 1 a, b, c, d 19
* Xét a = b = 10 lúc đó P =
2
10
20
101010
==
+
=+

dcbc
* Xét b < a (trờng hợp b > a tơng tự)
b < 10 < a hay 1 b 19 ; 11 a 19
a) Trớc hết ta tìm T
Min
= P
Max
= 19 +
19
1
Ta xét 3 trờng hợp sau :
a
1
) 1 b < 10 = c = d < a 19
Khi đó : P =
111
1
101010
=+<+=+
aba
d
b
c
a
2
) 1 c b < 10 < a d 19. Khi đó : P =
3
11
19
1 <+<+

a
d
b
c

a
3
) 1 d b < 10 < a c 19Nếu b > 1 thì P
111
2
19
<+
Nếu b = 1 thì P
19
1
19
19
1
1
19
+=+
Kết hợp cả 3 trờng hợp ta thấy P
Max
=
19
172
19
1
19 =+
Do đó T

Min
=
172
19
a =19, b = 1 , c = 19 , d = 1
b) Bây giờ ta tìm T
Max
= P
Min
với 1 b 9 ; 11 a 19
P =
a
c
aba
c
b
c
a
d
b
c 201120
+






=

+=+
Ta có :
0
11
>
ab
; đặt A =
ab
11

Ta có : P = A.C +
a
20

Vì A > 0 nên P
Min
với C = 1
* Xét P =
bbabaab
+=+=+
20
1911912011
Đặt P
b
=
bb
+
20
191
* Xét P

b+1
- P
b
: 1 b 9 ; b N
P
b+1
- P
b
=
)20)(19)(1(
3805818
2
bbbb
bb
+
+
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 19
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
Ta có : b(1 + 1)(19 - b)(20 - b) > 0 1 b 9 , b N
Do vậy : Xét t = 18b
2
+ 58b - 380 (*)
Nghiệm dơng t
o
của (*) là t =
18
768129 +
Ta có bảng xét dấu :
b -
18

768129 +
18
768129 +
+
t + 0 - 0 +
Với 0 < b < b
o
thì t < 0 P
b+1
< P
b
b > b
o
thì t > 0 P
b+1
> P
b
Luôn luôn chứng minh đợc 3 < b
o
< 4
Xét P
3
=
51
23
1
7
19
3
1

=+
P
4
=
16
7
1
16
7
1 =+
Nên : a = 16 , b = 4, c = 1, d = 19 thì P
Min
=
23
16
16
23
max
= T
Vậy : T
Max
=
23
16
; T
Min
=
172
19
II. Các bài tập đề nghị :

1. Tìm GTNN của A = |11
m
- 5
m
| với m,n N*
2. Cho a, b, c, d N* và a + b = c + d = 1000.
Tìm GTLN của B =
d
b
c
a
+
3. Cho m, n N và 1 m ; n 1981 và (n
2
- mn - m
2
)
2
= 1
Tìm GTLN của C = m
2
+ n
2

Ph ơng pháp 07 :
( Phơng pháp hình học )
Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn
bậc hai của các tam thức thì ta có thể đa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ dài
của các đoạn thẳng bằng việc chọn các điểm có toạ độ thích hợp chứa các đoạn thẳng đó.
Lý thuyết cần vận dụng.

+ Nếu A(x
1
, y
1
); B (x
2
, y
2
) AB =
2
21
2
21
)()( yyxx +
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 20
P
3
> P
4
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
+ Với 3 điểm M, A, B bất kỳ ta có :
|MA - MB| AB MA + MB
Các ví dụ minh họa.
1.Ví dụ 1: Cho f(x) =
501054
22
++ xxxx
Hãy tìm giá trị lớn nhất của f(x) .
Giải :
Ta có : f(x) =

25)5(1)2(
22
++ xx
Chọn trong mặt phẳng toạ độ 3 điểm : A (2,1); B(5, 5); M (x, 0)
Ta có : MA =
22
1)2( +x
;MB =
22
5)5( +x
AB =
52543
22
==+
Mặt khác ta có : |MA - MB| AB
hay |
22
1)2( +x
-
22
5)5( +x
| 5
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5
khi và chỉ khi 3 điểm M, A, B thẳng hàng.
Ta lại có phơng trình của đờng thẳng qua A và B là : d =
3
5
3
4
x

d cắt ox tại M (
4
5
; 0)
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 đạt tại x =
4
5
2. Ví dụ 2:
Cho f(x) =
168510040564325205
2222
+++++++ xxxxxxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) (1)
Giải :
Ta có :
222
)22()4(205 +=+ xxx
222
)102(100405 +=+ xxxx
Chọn A (4 , -2) ; B(x , 2x) ; C (0, 10)
AB =
22
)22()4( ++ xx
; BC =
22
)102( + xx
; AC =
104
Ta có : AB + BC AC

205
2
+x
+
100405
2
+ xx

104
(2)
Ta lại có :
222
)82(64325 +=+ xxxx
222
)2()4(1685 xxxx +=+
chọn D (x, 8); E (0, 2x) ; F (x-4, 0)
DE =
22
)82( + xx
; EF =
22
)2()4( xx +
; DF =
54
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 21
Bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS
ta có : DE + EF DF

54)2()4()82(

2222
+++ xxxx
(3)
Cộng (2) và (3) ta có :
VT 4(
5
+
10
)
VT = 4(
5
+
10
) khi và chỉ khi
A,B,C thẳng hàng PT đờng thẳng đi qua AB nhận C (0, 10) là nghiệm


D,E,F thẳng hàng PT đờng thẳng đi qua DE nhận F (x-4, 0) là nghiệm
Giải điều kiện ta tìm đợc x = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) = 4 (
5
+
10
) tại x = 2.
Nhận xét : Vận dụng phơng pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏi ngời giải phải rất
tinh tế khi chọn điểm để thảo mãn những yêu cầu bài toán.
Bài tập tham khảo :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) =
10252
22

++++ xxxx
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) =
124124
22
+++ xxxx
Chuyên đề bất đẳng thức THCS - Giáo viên: Nguyễn Anh Tuấn Trang 22