Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG
MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THỊ HỒNG THANH
NGHỆ AN - 2014
MỤC LỤC
Lời nói đầu 2
1 Hệ hàm lặp và điều kiện tập mở 5
1.1 Hệ hàm lặp và tập tự đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Điều kiện tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập
mở 16
2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo Hausdorff
dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và sự cô lập của ánh
xạ đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Một số điều kiện kéo theo điều kiện tập mở . . . . . . . . . 29
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
1
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học Fractal là một lĩnh vực mới mẻ và hấp dẫn do có nhiều ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Vì thế, ngay từ khi ra đời hình học
Fractal đã nhanh chóng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
toán học. Công cụ chính để nghiên cứu hình học Fractal là độ đo và chiều

Hausdorff. Việc tính chiều Hausdorff là cần thiết nhưng lại rất khó. Đối
với những tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở
(Open Set Condition - OSC) người ta đã thiết lập được công thức để tính
chiều Hausdorff khá đơn giản. Do vậy, một câu hỏi được đặt ra một cách
tự nhiên là điều kiện tập mở tương đương với điều kiện gì hoặc điều kiện
gì sẽ kéo theo điều kiện tập mở. Bài toán này đã và đang được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu và bước đầu đã thu được một số kết quả.
Để tính chiều Hausdorff của một tập, người ta phải nghiên cứu cấu trúc
của tập đó, hay cụ thể hơn là phải dựa trên mối quan hệ giữa các ảnh của
tập đó qua các ánh xạ sinh ra tập đó. Trong trường hợp các ảnh của tập
đó qua các ánh xạ sinh ra nó rời nhau hay chỉ giao nhau rất "mỏng" ta
gọi là điều kiện tập mở.
Điều kiện tập mở được đưa ra đầu tiên bởi P. A. P. Moran vào năm
1946. Cho đến nay, có hai điều kiện tương đương với điều kiện tập mở,
một điều kiện dựa trên độ đo Hausdorff và một điều kiện dựa trên sự tách
biệt của ánh xạ đồng nhất đối với nhóm tất cả các ánh xạ đồng dạng. Dựa
vào độ đo Hausdorff, năm 1946, P. A. P. Moran ([10]) đã chỉ ra là nếu hệ
hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở thì độ đo của tập sinh bởi hệ hàm lặp
đó dương. Sau đó, năm 1994, A. Chief ([1]) đã chứng minh được mệnh đề
đảo của P. A. P. Moran. Sử dụng nhóm tôpô các ánh xạ đồng dạng, năm
1992, C. Bandt và S. Graf ([3]) đã chỉ ra một điều kiện để hệ hàm lặp thỏa
2
mãn điều kiện tập mở. Năm 2005, C Bandt, N. V. Hung và H. Rao ([2])
đã đưa ra khái niệm tập mở trung tâm và chỉ ra mối quan hệ giữa nó với
điều kiện tập mở. Sau đó, năm 2014, T. J. Ni và Z. Y. Wen ([12]) đã chỉ ra
mối liên hệ giữa tính chất PCF và OSC của cấu trúc tự đồng dạng. Ngoài
ra bài toán này còn được nghiên cứu bởi Y. Peres, M. Rams, K. Simon và
B. Solomyak ([13]), K. S. Lau, H. Rao và Y. L. Ye ([9]).
Vì vậy, để tập duyệt với NCKH và tìm hiểu về vấn đề này chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là

Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu về hệ hàm lặp, điều kiện tập mở và
các điều kiện để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở. Với mục đích
trên nội dung luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Hệ hàm lặp và điều kiện tập mở
Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các khái niệm
cơ bản cần dùng trong toàn luận văn. Mục 1.1 trình bày định nghĩa ánh
xạ đồng dạng, hệ hàm lặp, tập fractal và tập tự đồng dạng. Mục 1.2 trình
bày định nghĩa, tính chất và ví dụ về độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff.
Điều kiện tập mở được trình bày trong Mục 1.3.
Chương 2. Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều
kiện tập mở
Chương này, chúng tôi trình bày nội dung chính của luận văn. Trong
Mục 2.1, chúng tôi trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ
đo Hausdorff dương. Mục 2.2 trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập
mở và sự cô lập của ánh xạ đồng nhất. Mục 2.3 trình bày một số điều kiện
dẫn đến một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của cô giáo TS. Vũ Thị Hồng Thanh. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Cô, người đã chỉ dạy tác giả những kiến
thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân
3
thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm
khoa Sư phạm Toán học và quý Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Giải tích của
khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy
và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt
là bạn bè trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp
đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những

hạn chế, thiếu sót. Kính mong quý Thầy, Cô và bạn bè đóng góp ý kiến
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Tác giả.
4
CHƯƠNG 1
HỆ HÀM LẶP VÀ ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cần sử
dụng trong luận văn như: các loại ánh xạ, hệ hàm lặp, tập bất biến, tập
tự đồng dạng, độ đo, chiều và mêtric Hausdorff, sự phân bố khối lượng,
điều kiện tập mở, tập mở mạnh và công thức tính chiều Hausdorff của tập
fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở.
1.1 Hệ hàm lặp và tập tự đồng dạng
Trong phần này, chúng tôi trình bày định nghĩa ánh xạ co, ánh xạ đồng
dạng, tập fractal, tập tự đồng dạng và hệ hàm lặp.
1.1.1 Định nghĩa ([8]). Giả sử D ⊂ R
n
, D = ∅ (thường lấy D = R
n
).
i) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ co trên D nếu tồn tại
c ∈ [0, 1) sao cho
|f(x) −f(y)| ≤ c|x − y| với mọi x, y ∈ D,
c được gọi là tỷ số co.
ii) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đồng dạng trên D nếu
tồn tại c > 0 sao cho
|f(x) −f(y)| = c|x − y| với mọi x, y ∈ D,
c được gọi là tỷ số đồng dạng.
Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là ánh xạ đồng
dạng.

1.1.2 Mệnh đề ([8]). Cho f : D −→ D. Khi đó, f là ánh xạ đồng dạng
5
khi và chỉ khi f có thể biểu diễn được dưới dạng
f(x) = c × R × x + b,
trong đó c ∈ (0, 1) là tỷ số co của f, b ∈ R
n
và R là ma trận trực giao cấp
n.
1.1.3 Định nghĩa ([8]). Một họ hữu hạn các ánh xạ co {f
1
, . . . , f
m
} trên
D được gọi là một hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) trên D.
Cho A là một tập trong không gian mêtric (X, d). Với mỗi điểm x ∈ X
ta đặt d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}, trong đó d(x, y) là khoảng cách từ
x đến y với mọi y ∈ X.
Cho trước một số thực dương δ, kí hiệu A
δ
= {x ∈ X : d(x, A) ≤ δ}
được gọi là δ−bao của A.
1.1.4 Định lý ([8]). Cho D là tập compact khác rỗng trong R
n
. Gọi K là
lớp các tập con compact, khác rỗng của D. Khi đó, hàm
d
H
: K × K −→ R
(A, B) −→ d
H

(A, B) = inf{δ > 0 : A ⊂ B
δ
, B ⊂ A
δ
} (1.1)
thỏa mãn
i) d
H
(A, B) = max{sup
x∈A
d(x, B); sup
y∈B
d(y, A)}.
ii) d
H
là một mêtric trên K.
Hơn nữa, không gian (K, d
H
) là một không gian mêtric đầy đủ.
1.1.5 Định nghĩa ([8]). Mêtric d
H
trên K trong Định lý 1.1.4 được gọi
là mêtric Hausdorff trên K.
Mặc dù chưa có một định nghĩa chính thống nào về fractal nói chung,
nhưng J. E. Hutchinson ([6]) đã đưa ra một khái niệm về một số tập fractal
dựa trên họ hữu hạn các ánh xạ co như sau.
1.1.6 Mệnh đề ([6]). Cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m

} trên D. Ta xác định
6
ánh xạ
f : K −→ K
E −→ f(E) =
m

i=1
f
i
(E). (1.2)
Khi đó, f là ánh xạ co.
Từ Định lí 1.1.4 và Mệnh đề 1.1.6, ta có định lí sau.
1.1.7 Định lý ([6]). Cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} và f là ánh xạ được
xác định bởi công thức (1.2). Khi đó, tồn tại duy nhất tập F ∈ K sao cho
f(F ) = F. Hơn nữa, nếu có tập E ∈ K sao cho f
i
(E) ⊂ E (1 ≤ i ≤ m)
thì F =
∞

i=1
f
i
(E), với f
i

là sự lặp lại i lần ánh xạ f.
1.1.8 Định nghĩa ([6]). i) Tập F trong Định lý 1.1.7 được gọi là tập bất
biến hay tập hút (attractor) của hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
}.
ii) Nếu f
i
(1 ≤ i ≤ m) là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F
được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar set).
iii) Các tập bất biến được xem là các tập Fractal.
1.1.9 Ví dụ.1. Tam giác Sierpinski trong R
2
Tam giác Sierpinski được xây dựng bằng cách xuất phát từ một hình
tam giác đều, chia nó thành 4 tam giác đều nhỏ bởi các đường nối trung
điểm của các cạnh, giữ lại 3 tam giác xung quanh và bỏ đi tam giác ở
giữa, rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam giác còn lại, cứ thế tiếp tục mãi.
Khi đó, ta thu được tam giác Sierpinski. Ta chứng minh được tam giác
Sierpinski là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp {f
1
, f
2
, f
3
} trên R
2
có tỉ số
đồng dạng
1

2
. Đó là
7
f
1
(x, y) =

1
2
x;
1
2
y

;
f
2
(x, y) =

1
2
x +
1
2
;
1
2
y

;

f
3
(x, y) =

1
2
x +
1
4
;
1
2
y +
√
3
4

.
2. Tập Cantor
Tập Cantor được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng [0, 1] chia làm ba
đoạn bằng nhau, bỏ đi khoảng mở I
1
= (
1
3
,
2
3
) và giữ lại hai đoạn ở hai
đầu, nghĩa là giữ lại tập F

1
= [0,
1
3
] ∪[
2
3
, 1].
Tiếp tục cách làm tương tự đối với tập F
1
, bỏ đi tập I
2
= [
1
3
2
,
2
3
2
] ∪
[
7
3
2
,
8
3
2
] và giữ lại tập

F
2
= [0,
1
3
2
∪ [
2
3
2
,
3
3
2
] ∪[
6
3
2
,
7
3
2
] ∪[
8
3
2
, 1].
Lặp lại cách làm như vậy đối với mỗi đoạn còn lại của F
2
và cứ tiếp tục

mãi. Tập còn lại sau cả quá trình đó là tập Cantor.
Ta chứng minh được tập Cantor là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp
{f
1
, f
2
} trên R xác định bởi
f
1
(x) =
1
3
x;
f
2
(x) =
1
3
x +
2
3
.
3. Bụi Cantor
Xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia nó thành 16 hình vuông nhỏ có
độ dài cạnh là
1
4
, giữ lại 4 hình vuông và bỏ đi 12 hình vuông khác. Cứ
tiếp tục như thế cho đến bước thứ k ta có 4
k

hình vuông cạnh là
1
4
k
. Quá
trình này được lặp lại vô hạn lần. Khi đó, ta thu được bụi Cantor. Ta
cũng chứng minh được bụi Cantor là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp
8
{f
1
, . . . , f
4
} trên R
2
xác định bởi
f
1
(x, y) =

x
4
+
1
4
;
y
4

;
f

2
(x, y) =

x
4
+
3
4
;
y
4
+
1
4

;
f
3
(x, y) =

x
4
+
1
2
;
y
4
+
3

4

;
f
4
(x, y) =

x
4
;
y
4
+
1
2

.
1.2 Độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff
Phần này giới thiệu một số kiến thức cơ bản về độ đo, độ đo Hausdorff
và chiều Hausdorff.
1.2.1 Định nghĩa ([8]). Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng và C là
một họ các tập con của X. Khi đó, C được gọi là một đại số trên X nếu
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) X ∈ C và ∅ ∈ C;
ii) Nếu A ∈ C thì A
c
= X\A ∈ C;
iii) Nếu A
1
, . . . , A

n
∈ C thì
n

i=1
A
i
∈ C.
Nếu C thỏa mãn i), ii) và điều kiện
iii’) Nếu A
1
, A
2
, . . . ∈ C thì
∞

i=1
A
i
∈ C
thì C được gọi là σ-đại số trên X.
Cặp (X, C) với C là σ-đại số được gọi là không gian đo được. Tập A ∈ C
được gọi là tập đo được.
1.2.2 Định nghĩa ([8]). Giả sử C là một σ - đại số trên X. Khi đó, hàm
tập µ : C → R được gọi là độ đo nếu
i) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;
ii) µ(∅) = 0;
9
iii) µ là σ- cộng tính, nghĩa là nếu
A

i
∈ C (i = 1, 2, . . .), A
i
∩ A
j
= ∅ (i = j),
∞

i=1
A
i
∈ C,
thì
µ(
∞

i=1
A
i
) =
∞

i=1
µ(A
i
).
1.2.3 Định nghĩa ([8]). Giả sử C là một σ-đại số trên X. Khi đó, hàm
tập µ
∗
: C → R được gọi là độ đo ngoài nếu

i) µ
∗
(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;
ii) µ
∗
(∅) = 0;
iii) µ
∗
là σ-dưới cộng tính, nghĩa là nếu
A
i
∈ C (i = 1, 2, . . .),
∞

i=1
A
i
∈ C
thì
µ
∗
(
∞

i=1
A
i
) ≤
∞


i=1
µ
∗
(A
i
).
1.2.4 Định lý Caratheodory ([8]). Giả sử µ
∗
là một độ đo ngoài trên
X. Kí hiệu
L = {A ⊂ X : µ
∗
(E) = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E\A), với mọi E ⊂ X}.
Khi đó, L là đại số và µ = µ
∗
|L là một độ đo trên L.
• µ được gọi là độ đo sinh bởi độ đo ngoài µ
∗
.
• A ∈ L được gọi là tập µ
∗
-đo được.
1.2.5 Định lý ([8]). Giả sử µ là độ đo trên đại số C các tập con của X.
Khi đó, với mọi tập A ∈ ℘(X) (℘(X) là họ tất cả các tập con của X), đặt
µ
∗

(A) = inf{
∞

i=1
µ(A
i
) :

A
i
⊃ A, A
i
∈ C}
10
thì µ
∗
là một độ đo ngoài trên ℘(X) và µ
∗
(A) = µ(A), với mọi A ∈ C.
1.2.6 Định nghĩa ([8]). Giả sử µ là một độ đo trên R
n
.
i) Giá của độ đo µ ký hiệu sptµ là tập đóng bé nhất sao cho
µ(R
n
\sptµ) = 0.
ii) Cho A ⊂ R
n
ta nói µ là độ đo trên A nếu sptµ ⊂ A.
iii) Giả sử µ là một độ đo trên tập con bị chặn của R

n
thỏa mãn
0 < µ(R
n
) < +∞,
thì µ được gọi là một sự phân bố khối lượng (mass distributions) và
µ(A) được xem là khối lượng của A ⊂ R
n
.
1.2.7 Định nghĩa ([8]). i) Cho F ⊂ R
n
, F = ∅. Khi đó, kí hiệu
|F | = sup{|x −y| : x, y ∈ F }
được gọi là đường kính của tập F .
ii) Giả sử {U
i
} là một họ đếm được các tập con trong R
n
. Nếu F ⊂
∞

i=1
U
i
thì {U
i
} được gọi là một phủ của F . Nếu thêm điều kiện 0 < |U
i
| ≤ δ với
mọi i, trong đó δ > 0 cho trước thì {U

i
} được gọi là một δ−phủ của F .
1.2.8 Nhận xét ([8]). Với F ⊂ R
n
, s ≥ 0 và δ > 0 ta đặt
H
s
δ
(F ) = inf

∞

i=1
|U
i
|
s
: {U
i
} là δ −phủ F

. (1.3)
Khi đó, H
s
δ
(F ) là hàm nghịch biến theo δ, nghĩa là,
nếu δ
1
≤ δ
2

thì H
s
δ
2
(F ) ≥ H
s
δ
1
(F ).
Thật vậy, vì δ
1
≤ δ
2
nên, nếu {U
i
} là δ
1
−phủ F thì {U
i
} là δ
2
−phủ F .
Do đó,
{{U
i
} là δ
2
− phủ F } ⊇ {{U
i
} là δ

1
− phủ F }.
11
Suy ra
inf

∞

i=1
|U
i
|
s
: {U
i
} là δ
2
− phủ F

≤ inf

∞

i=1
|U
i
|
s
: {U
i

} là δ
1
− phủ F

.
Điều này dẫn đến
H
s
δ
2
(F ) ≤ H
s
δ
1
(F ).
Như vậy, khi cho δ dần về 0 thì H
s
δ
(F ) đơn điệu tăng. Do vậy, luôn tồn tại
lim
δ→0
H
s
δ
(F ) (dù giới hạn này có thể là ∞). Ta ký hiệu
H
s
(F ) = lim
δ→0
H

s
δ
(F ).
1.2.9 Định lý ([8]). Giả sử C là họ các tập con của R
n
, với mỗi s ≥ 0
hàm tập H
s
: C −→ R
n
xác định bởi
H
s
(F ) = lim
δ→0
H
s
δ
(F ) với mọi F ∈ C
là một độ đo ngoài trên C.
1.2.10 Định nghĩa ([8]). Độ đo sinh bởi độ đo ngoài H
s
được gọi là
độ đo Hausdorff trên σ−đại số L các tập con H
s
−đo được của R
n
. Tập
F ⊂ R
n

thỏa mãn 0 < H
s
(F ) < +∞ được gọi là s−tập.
1.2.11 Mệnh đề ([8]). Với δ > 0, t > s ≥ 0 và F ⊂ R
n
ta luôn có
H
t
δ
(F ) ≤ δ
t−s
H
s
δ
(F ).
Từ Mệnh đề 1.2.11, ta có nhận xét sau mà nó là cơ sở dẫn đến khái
niệm chiều Hausdorff.
1.2.12 Nhận xét ([8]). i) Cho t > s ≥ 0, nếu H
s
(F ) < ∞thì H
t
(F ) = 0.
ii) Nếu H
t
(F ) > 0 thì H
s
(F ) = ∞.
1.2.13 Hệ quả ([8]). Giả sử ∅ = F ⊂ R
n
là tập Borel. Khi đó, luôn tồn

tại duy nhất một giá trị s
F
∈ R
+
để
12
i) H
s
(F ) = 0 với mọi s > s
F
,
ii) H
s
(F ) = +∞ với mọi s < s
F
.
1.2.14 Định nghĩa ([8]). Cho F ⊂ R
n
, số s
F
∈ [0; +∞] trong Hệ quả
1.2.13 được gọi là chiều Hausdorff của F và ký hiệu là dim
H
F .
1.2.15 Nhận xét ([8]). Cho F ⊂ R
n
. Khi đó,
i) dim
H
F = inf{s: H

s
(F ) = 0} = sup{s: H
s
(F ) = ∞}.
ii) Nếu tồn tại s ∈ [0; +∞) để 0 < H
s
(F ) < ∞ thì dim
H
F = s.
Sau đây là một số tính chất của chiều Hausdorff.
1.2.16 Mệnh đề ([8]). i) Nếu E ⊂ F ⊂ R
n
thì dim
H
E ≤ dim
H
F (tính
đơn điệu);
ii) dim
H
∞

i=1
F
i
= sup
i=1,2,
{dim
H
F

i
} (tính ổn định đếm được);
iii) dim
H
F = 0 với mọi tập đếm được F ⊂ R
n
;
iv) Nếu F là tập mở trong R
n
, F = ∅ thì dim
H
F = n;
v) Nếu F là đa tạp con trơn m chiều trong R
n
thì dim
H
F = m.
Một độ đo thường dùng để nghiên cứu trong hình học fractal có tên gọi
là sự phân bố khối lượng, khái niệm này thường được mô tả một cách trực
quan như sau.
1.2.17 Nhận xét ([8]). Lấy ε
0
= {E} với E là tập Borel trong R
n
. Với
k = 1, 2, . . . ta ký hiệu ε
k
là tập hợp các tập con Borel rời nhau của E sao
cho mỗi U ∈ ε
k

đều được chứa trong một phần tử của ε
k−1
và chứa hữu
hạn các phần tử của ε
k+1
. Ta giả thiết rằng đường kính của tập lớn nhất
trong ε
k
dần về 0 khi k → ∞. Ta xây dựng một sự phân bố khối lượng
trên E như sau.
• Gán cho tập E một giá trị ký hiệu là µ(E) thuộc (0; +∞).
• Với mỗi U
i
∈ ε
1
= {U
1
, . . . , U
m
} ta gán cho µ(U
i
) một giá trị sao cho
m

i=1
(U
i
) = µ(E).
13
• Tương tự, ta gán cho các tập

U
i
j
∈ ε
2
= {U
i
1
, . . . , U
i
k
, . . . , U
m
1
, . . . , U
m
n
}
các giá trị sao cho

U
i
j
∈ε
2
µ(U
i
j
) =
m


i=1
µ(U
i
) = µ(E)
hay
k

j=1
µ(U
i
j
) = µ(U
i
) nếu U
i
∈ ε
1
chứa k phần tử U
i
1
, . . . , Ui
k
của ε
2
.
• Lặp lại quá trình trên, ta đi đến tổng quát là ở bước thứ k ta có

U
i

j
∈ε
2
µ(U
i
j
) = µ(E).
Khi đó, ta có thể mở rộng µ để trở thành một độ đo trên đại số các tập
con của R
n
và gán µ(R
n
) = µ(F ) ta được µ(R
n
) ∈ (0; +∞) và sptµ = E.
Do đó, µ là một sự phân bố khối lượng trên E.
1.2.18 Định lý ([8]). (Nguyên lý về sự phân bố khối lượng) Cho F là
một tập compact, khác rỗng trong R
n
và µ là một sự phân bố khối lượng
trên F. Nếu với mỗi s ≥ 0 tồn tại c > 0 và δ > 0 sao cho µ(U) ≤ c|U|
s
với mọi U mà |U| ≤ δ thì H
s
(F ) ≥
µ(F )
c
.
Chứng minh. Giả sử {U
i

} là δ−phủ F . Khi đó, ta có
0 < µ(F ) ≤ µ(
∞

i=1
U
i
) ≤
∞

i=1
µ(U
i
) ≤ c
∞

i=1
|U
i
|
s
.
Do đó, ta có
∞

i=1
|U
i
|
s

≥
µ(F )
c
với mọi {Ui} là δ−phủ F .
Dẫn đến H
s
δ
(F ) ≥
µ(F )
c
, nên H
s
(F ) ≥
µ(F )
c
.
1.3 Điều kiện tập mở
1.3.1 Định nghĩa ([8]). i) Ta nói rằng hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} trên R
n
thỏa mãn điều kiện tập mở (OSC – Open Set Condition) nếu tồn tại tập
14
mở V khác rỗng trong R
n
sao cho






m

i=1
f
i
(V ) ⊂ V ;
f
i
(V ) ∩f
j
(V ) = ∅, với mọi i = j.
(1.4)
ii) Cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} và F là tập bất biến qua hệ hàm lặp
đó. Khi đó, ta nói {f
1
, . . . , f
m
} thỏa mãn điều kiện tập mở mạnh (SOSC
- Strong Open Set Condition) nếu tồn tại tập mở V khác rỗng sao cho














m

i=1
f
i
(V ) ⊂ V ;
f
i
(V ) ∩f
j
(V ) = ∅, với mọi i = j;
V ∩ F = ∅.
1.3.2 Nhận xét. Nếu hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} thỏa mãn SOSC thì nó
cũng thỏa mãn OSC.
1.3.3 Định lý ([8]). Cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f

m
} trên R
n
thỏa mãn OSC,
gồm các ánh xạ đồng dạng với các tỷ số đồng dạng tương ứng là c
i
∈ (0, 1),
i = 1, . . . , m và F là tập bất biến qua hệ hàm lặp đó, tức là
F =
m

i=1
f
i
(F ).
Khi đó, dim
H
F = s với s là nghiệm duy nhất của phương trình
m

i=1
c
s
i
= 1. (1.5)
1.3.4 Định nghĩa ([8]). Nếu hệ hàm lặp là các ánh xạ đồng dạng với các
tỉ số đồng dạng là c
i
, i = 1, 2, , m thì nghiệm của phương trình
m


i=1
c
s
i
= 1
được gọi là chiều tự đồng dạng của tập tự đồng dạng sinh ra từ hệ hàm
lặp đó.
15
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện để một hệ
hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và đưa ra ví dụ minh họa về hệ hàm
lặp thỏa mãn các điều kiện đó.
2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo
Hausdorff dương
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày điều kiện cần và đủ để một hệ
hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở dựa vào độ đo Hausdorff của tập bất
biến sinh bởi hệ hàm lặp đó. Các kết quả này do A. Chief và K. J. Falconer
đưa ra trong tài liệu [1] và [8].
Trước hết ta cần bổ đề sau.
2.1.1 Bổ đề ([8]). Giả sử {V
i
} là họ các tập mở rời nhau trong R
n
sao
cho mỗi tập V
i
đều chứa một hình cầu bán kính a

1
r và V
i
lại được chứa
trong một hình cầu bán kính a
2
r. Khi đó, mọi hình cầu B bán kính r đều
có giao khác rỗng với nhiều nhất (1 + 2a
2
)
n
a
−n
1
các bao đóng V
i
của V
i
.
Chứng minh. Giả sử V
i
có giao với hình cầu B(x
0
, r) có bán kính r, tâm
x
0
nào đó trong R
n
. Theo giả thiết, V
i

nằm trong hình cầu B
i
(x
i
, a
2
r) có
bán kính a
2
r, tâm x
i
nào đó trong R
n
. Do đó, V
i
cũng nằm trong hình cầu
B
i
(x
1
, a
2
r). Suy ra, | V
i
|≤ 2a
2
r (trong đó |A| kí hiệu là đường kính của
tập A).
Đặt d
∗

(x
0
, V
i
) = sup{d(x, x
0
) : x ∈ V
i
}. Khi đó,
d
∗
(x
0
, V
i
) ≤ r + 2a
2
r = (1 + 2a
2
)r.
16
Suy ra, V
i
nằm trong hình cầu B

(x
0
, (1 + 2a
2
)r) có bán kính (1 + 2a

2
)r,
tâm x
0
.
Mặt khác, V
i
chứa hình cầu B

i
(x

i
, a
1
r) có bán kính a
1
r, tâm x

i
trong
R
n
.
Mà V
i
⊂ V
i
, nên B


i
(x

i
, a
1
r) ⊂ V
i
. Suy ra, hình cầu B

i
(x

i
, a
1
r) nằm
trong hình cầu B

(x
0
, (1 + 2a
2
)r) .
Gọi V
B

i
(x


i
,a
1
r)
và V
B

(x
0
,(1+2a
2
)r)
lần lượt là thể tích của hình cầu B

i
(x

i
, a
1
r)
và hình cầu B

(x
0
, (1 + 2a
2
)r). Khi đó,
V
B


i
(x

i
,a
1
r)
< V
B

(x
0
,(1+2a
2
)r)
(vì B

i
(x

i
, a
1
r) ⊂ B

(x
0
, (1 + 2a
2

)r)).
Giả sử có q tập
V
i
có giao với hình cầu B(x
0
, r). Khi đó, có q hình cầu
B

i
(x

i
, a
1
r) nằm trong hình cầu B

(x
0
, (1 + 2a
2
)r) . Suy ra, tổng thể tích
của q hình cầu B

i
(x

i
, a
1

r) nhỏ hơn thể tích của hình cầu B

(x
0
, (1+2a
2
)r).
Do đó, ta có
(a
1
r)
n
+ (a
1
r)
n
+ . . . + (a
1
r)
n
≤ [(1 + 2a
2
)r]
n
.
Suy ra, q(a
1
r)
n
≤ [(1 + 2a

2
)r]
n
.
Vậy, ta có q ≤ (1 + 2a
2
)
n
a
−n
1
.
Dựa vào bổ đề trên, ta chứng minh được kết quả sau.
2.1.2 Định lý ([8]). Trong R
n
, cho hệ hàm lặp {f
1
, . . . , f
m
} gồm các
ánh xạ đồng dạng thỏa mãn OSC và F là tập bất biến qua hệ hàm lặp đó,
nghĩa là F =
m

i=1
f
i
(F ). Khi đó, 0 < H
s
(F ) < +∞ với s = dim

H
F .
Chứng minh. Vì s = dim
H
F nên theo Định lý 1.3.3 thì s là nghiệm duy
nhất của phương trình
m

i=1
c
s
i
= 1, trong đó c
i
∈ (0, 1) là các tỷ số đồng
dạng tương ứng với các ánh xạ đồng dạng f
i
. Với mỗi k ∈ N, kí hiệu
I
k
= {i = (i
1
, . . . , i
k
) : i
j
= 1, . . . , m, j = 1, . . . , k}.
17
Cho trước tập A và với i = (i
1

, . . . , i
k
) ∈ I
k
, ta kí hiệu
f
i
= f
i
1
◦ . . . ◦f
i
k
,
A
i
= f
i
(A) = f
i
1
◦ . . . ◦f
i
k
(A),
c
i
= c
i
1

. . . c
i
k
.
Đặt I = {(i
1
, i
2
, . . .) : 1 ≤ i
j
≤ m, j = 1, 2, . . .}. Với dãy {(i
1
, . . . , i
k
)}
cho trước, ký hiệu tập
I
i
1
, ,i
k
= {(i
1
, . . . i
k
, q
k+1
, . . .): 1 ≤ q
j
≤ m, j > k}

gồm những dãy trong I với k số đầu là i
1
, . . . , i
k
. Ta xây dựng một sự
phân bố khối lượng µ trên I xác định bởi µ(I
i
1
, ,i
k
) = (c
i
1
. . . c
i
k
)
s
= c
s
i
.
Vì
(c
i
1
. . . c
i
k
)

s
= (c
i
1
. . . c
i
k
)
s
m

i=1
c
s
i
=
m

i=1
(c
i
1
. . . c
i
k
c
i
)
s
,

suy ra
µ(I
i
1
, ,i
k
) =
m

i=1
µ(I
i
1
, ,i
k
,i
).
Khi đó, µ là một sự phân bố khối lượng trên các tập con của I với µ(I) = 1.
Từ đó ta thiết lập một sự phân bố khối lượng trên F như sau:
Với mỗi tập con A của F, đặt

µ(A) = {(i
1
, i
2
, . . .): x
i
1
,i
2

,
=
∞

i=1
F
i
∈ A}.
Dễ chỉ ra được

µ thỏa mãn nguyên lý về sự phân bố khối lượng trên F (do

µ(F ) = 1).
Giả sử V là tập mở thỏa mãn (1.4). Ta có
V ⊃ f(V ) =
m

i=1
f
i
(V ). Từ
Định lý 1.1.7 và điều kiện tập mở (1.4) suy ra dãy giảm các tập f
k
(V )
hội tụ về F . Đặc biệt V ⊃ F và V
i
1
, ,i
k
⊃ F

i
1
, ,i
k
với mỗi dãy hữu hạn
(i
1
, . . . , i
k
) ∈ J
k
. Gọi B là hình cầu bất kỳ có bán kính r < 1. Ta ước
lượng

µ(B) bằng cách xét các tập V
i
1
, ,i
k
có đường kính có thể so sánh
được với đường kính của B và của F ∩ B.
Tiếp theo, ta rút gọn mỗi dãy vô hạn (i
1
, i
2
, . . .) ∈ I từ chỉ số thứ k
sao cho
( min
1≤i≤m
c

i
)r ≤ c
i
1
. . . c
i
k
≤ r (2.1)
18
và gọi Q là tập gồm tất cả những dãy (hữu hạn) đạt được theo cách thu
gọn trên. Khi đó, mỗi dãy vô hạn (i
1
, i
2
, ) ∈ I đều có đúng một giá trị
k sao cho (i
1
, . . . , i
k
) ∈ Q. Do V
1
, . . . , V
m
không giao nhau nên với mỗi
(i
1
, . . . , i
k
) ∈ Q thì các phần tử của dãy V
i

1
, ,i
k
,1
, . . . , V
i
1
, ,i
k
,m
cũng không
giao nhau. Do đó, lớp các tập mở {V
i
1
, ,i
k
: (i
1
, . . . , i
k
) ∈ Q} là không giao
nhau. Hơn nữa, ta có
F ⊂

Q
F
i
1
, ,i
k

⊂

Q
V
i
1
, ,i
k
.
Chọn a
1
và a
2
sao cho V chứa một hình cầu bán kính a
1
và đồng thời V lại
được chứa trong hình cầu bán kính a
2
. Khi đó, với mỗi (i
1
, . . . , i
k
) ∈ Q thì
tập V
i
1
, ,i
k
chứa một hình cầu bán kính c
i

1
. . . c
i
k
a
1
và V
i
1
, ,i
k
lại được chứa
trong hình cầu bán kính c
i
1
. . . c
i
k
a
2
. Do đó, nhờ (2.1) ta có V
i
1
, ,i
k
chứa
hình cầu bán kính ( min
1≤i≤m
c
i

)a
1
r và được chứa trong hình cầu bán kính a
2
r.
Lấy Q
1
là những dãy (i
1
, . . . , i
k
) ∈ Q sao cho B có giao với V
i
1
, ,i
k
. Theo
Bổ đề 2.1.1, có nhiều nhất q = (1 + 2a
2
)
n
a
−n
(min
i
c
i
)
−n
dãy trong Q

1
. Khi
đó,

µ(B) =

µ(F ∩B) = µ{(i
1
, i
2
. . .): x
i
1
,i
2

∈ F ∩ B} ≤ µ(

Q
1
I
i
1
, ,i
k
)
(vì nếu x
i
1
,x

2

∈ F ∩ B ⊂

Q
1
V
i
1
, ,i
k
thì có đúng một số tự nhiên k sao
cho (i
1
, . . . , i
k
) ∈ Q
1
). Vì vậy,

µ(B) ≤ µ



Q
1
I
i
1
, ,i

k


≤

Q
1
µ(I
i
1
, ,i
k
)
=

Q
1
(c
i
1
. . . c
i
k
)
s
≤

Q
1
r

s
= qr
s
.
(2.2)
Vì bất kỳ một tập U ⊂ R
n
đều được chứa trong một hình cầu có đường
kính là |U|. Nên, theo (2.1) ta có

µ(U) ≤ q|U|
s
. Theo Định lý 1.2.18, ta
có
H
s
(F ) ≥ q
−1
> 0. (∗)
19
Mặt khác, dễ chứng minh được f
i
= f
i
1
◦ . . . ◦ f
i
k
là ánh xạ đồng dạng
với tỷ số đồng dạng là c

i
= c
i
1
. . . c
i
k
. Ta có,
F =
m

i
1
=1
f
i
1
(F ) =
m

i
1
=1
f
i
1

m

i

2
=1
f
i
2
(F )

= . . .
=
m

i
1
=1
f
i
1

m

i
2
=1
f
i
2

. . .

m


i
k
=1
f
i
k
(F )

=

i∈I
k
F
i
.
Mặt khác, ta có
|F
i
| = |f
i
1
◦ . . . ◦f
i
k
(F )|
= c
i
1
. . . c

i
k
|F |
≤ c
k
max
|F |.
Khi đó, với mọi δ > 0, ta có thể chọn k đủ lớn sao cho
|F
i
| ≤ c
k
max
|F | ≤ δ
(vì c
k
max
|F | ≤ δ tương đương với c
k
max
≤
δ
|F |
dẫn đến k ≥ log
c
max
δ
|F |
,
nên luôn chọn được k).

Vì vậy, họ {F
i
} với i ∈ I
k
là một δ−phủ của F . Ta có,

i∈I
k
|F
i
|
s
=

i∈I
k
c
s
i
|F |
s
=

m

i
1
=1
c
s

i
1

m

i
2
=1
c
s
i
2

. . .

m

i
k
=1
c
s
i
k

|F |
s
= |F |
s
(dos là nghiệm của phương trình (1.5)).

Do đó, |F |
s
< +∞. Điều này dẫn đến H
s
(F ) < +∞. (∗∗)
Từ (∗) và (∗∗) ta suy ra 0 < H
s
(F ) < +∞.
2.1.3 Bổ đề [4]. Với bất kì hai số tự nhiên s, t > 1, tồn tại một số tự
nhiên R(s, t) = n sao cho nếu ta tô màu các cạnh của đồ thị đầy đủ bậc
20
n bởi hai màu xanh và đỏ thì luôn tồn tại một đồ thị con đầy đủ k
m
được
tô màu xanh hoặc một đồ thị con đầy đủ k
n
được tô màu đỏ và
R(m, n) ≤


m −1
m + n − 2


.
2.1.4 Định lý ([1]). Cho tập F ⊂ R
n
và dim
H
F = s. Khi đó, nếu

H
s
(F ) > 0 thì hệ hàm lặp sinh ra F thỏa mãn SOSC, do đó thỏa mãn
OSC.
Chứng minh. Giả sử {f
1
, . . . , f
m
} là hệ hàm lặp sinh ra tập F với các tỷ số
co tương ứng là c
1
, . . . , c
m
. Vì các c
i
có thể khác nhau, nên với 1 ≥ b > 0,
đặt
I
b
= {i = (i
1
, . . . , i
n
) : c
i
< b ≤ c
i
1
i
n−1

},
trong đó c
i
= c
i
1
. . . c
i
n
và c
i
1
i
n−1
= c
i
1
. . . c
i
n−1
. Khi đó, ta có
F =

i∈I
b
F
i
, với F
i
= f

i
(F ) = f
i
1
◦ . . . ◦f
i
n
(F ) .
Kí hiệu J = {i = (i
1
, . . . , i
k
) : i
j
∈ {1, . . . , m}, j = 1, . . . , k} (k > 0).
(1) Lấy x > 0. Khi đó, tồn tại các tập mở U
1
, , U
m
sao cho
U :=
m

i=1
U
i
⊃ F
và
m


i=1
|U
i
|
α
≤ (1 + x
α
)H
α
(F ) với α = dim
H
F.
Đặt δ = D (F, U
c
) = inf{d(x, y) : x ∈ F, y ∈ U
c
} với U
c
là phần bù của
U.
Ta chứng minh rằng, với mọi i, j ∈ I
b
sao cho c
j
> xc
i
thì
d(F
i
, F

j
) ≥ δc
i
.
Thật vậy, giả sử tồn tại i, j ∈ I
b
sao cho c
j
> xc
i
mà
d(F
i
, F
j
) < δc
i
.
21
Khi đó, vì D(F
i
, [f
i
(U)]
c
) = δc
i
> 0, nên ta có F
j
⊂ f

i
(U). Dẫn đến,
H
α
(F )c
α
i
(1 + x
α
) < H
α
(F )(c
α
i
+ c
α
j
) = H
α
(F
i
) + H
α
(F
j
)
= H
α
(F
i

∪ F
j
) ≤
m

i=1
|f
i
(U
i
)|
α
=
m

i=1
c
α
i
|U
i
|
α
≤ H
α
(F )c
α
i
(1 + x
α

),
điều này là mâu thuẫn.
(2) Lấy ε ∈ (0,
1
3
), với mỗi x ∈ F , ta kí hiệu U(ε, x) là hình cầu mở
tâm x có bán kính ε và đặt U(ε, F ) =

x∈F
U(ε, x). Khi đó, với mỗi k ∈ I
b
,
ta đặt
G
k
= U(εc
k
, F
k
), I(k) = {i ∈ I
|G
k
|
: F
i
∩ G
k
= ∅}
và γ = sup #I(k) (với #A kí hiệu là lực lượng của tập hợp A).
Không mất tính tổng quát ta giả sử |F | đủ bé để |G

k
| ≤ 1.
Ta chứng minh γ < +∞.
Vì c
j
≥ bc
min
> c
i
c
min
với i, j ∈ I
b
, nên ta có thể áp dụng chứng minh trên
cho x = c
min
và δ > 0 sao cho d(F
i
, F
j
) ≥ δc
i
với b bất kì, i, j ∈ I
b
, i = j.
Điều này kéo theo sự tồn tại của y ∈ F sao cho
d(f
i
(y), f
j

(y)) ≥ δc
i
. (∗)
Cho điểm z ∈ F sao cho d(y, z) < δ
c
min
3
, ta có
d(f
i
(y), f
i
(z)) < c
i
δ
3
và d(f
j
(y), f
j
(z)) < r
i
δ
c
min
3
,
vì vậy, (∗) đúng cho z với
δ
3

thay cho δ.
Do đó, ta cố định một tập hữu hạn Z nằm trong F sao cho
δ
3
- bao của
Z chứa tập F . Nghĩa là, giả sử Z = {z
1
, . . . , z
t
} thì F ⊂
t

i=1
B(z
i
,
δ
3
). Khi
đó, với mọi i, j ∈ I(k) khác k thì tồn tại z ∈ Z sao cho
d(f
i
(z), f
j
(z)) ≥ δ
c
i
3
≥ δd
c

min
3
22
(trong đó d = |G
k
|).
Sử dụng Bổ đề 2.1.3, ta cố định điểm z ∈ Z và xét I ⊂ I(k) sao cho với
2 phần tử của I thì z thỏa mãn bất đẳng thức trên. Ta chỉ cần chỉ ra rằng
#I bị chặn bởi một hằng số không phụ thuộc k. Trước hết, ta xét các tập
U(δd
c
min
6
, f
i
(z)), i ∈ I, rời nhau và được chứa trong U(|F
i
|+δd
c
min
6
, G
k
).
Điều này kéo theo (sử dụng tính chất của độ đo Lebesgue)
#I ≤
(d + 2c
i
|F | + δd
c

min
3
)
s
(δd
c
min
3
)
s
≤



1 + 2|F| + δ
c
min
3
δc
min



s
.
(3) Bây giờ chọn k sao cho γ = #I(k). Ta chỉ ra rằng với j bất kì thì
I(jk) = {ji : i ∈ I(k)}.
Theo tính chất của maximum, ta chỉ cần chỉ ra bao hàm thức ” ⊂ ”.
Ta có ∅ = F
i

∩ G
k
, điều này kéo theo
∅ = f
j
(F
i
∩ G
k
) = f
j
(F
i
) ∩f
j
(G
k
)
= F
ji
∩ f
j
(U(r
k
, F
k
))
= F
ji
∩ G

jk
.
Bây giờ, lấy l = j
1
. Vì F
l
được phủ bởi {F
l
: l ∈ I
|G
jk
|
, l
1
= l}, nên ta có
D(F
jk
, F
l
) ≥ εr
jk
.
(4) Để kết thúc chứng minh ta chỉ ra một tập mở thỏa mãn điều kiện tập
mở. Đặt
U =

j∈J
G
∗
jk

, với G
∗
i
= U(ε
r
i
2
, F
i
)
thì ta có F
k
⊂ G
∗
k
⊂ U và U là tập mở. Khi đó, với mỗi i thì
f
i
(U) =

j∈J
f
i
(G
∗
jk
) =

j∈J
G

∗
ijk
⊂ U. (∗∗)
Ta cần chứng minh
f
i
(U) ∩f
j
(U) = ∅, với mỗi i = j.
23
Giả sử ngược lại f
i
(U) ∩f
j
(U) = ∅, khi đó tồn tại i và j sao cho
G
∗
iik
∩ G
∗
jjk
= ∅ và r
iik
≥ r
ijk
.
Nếu y là một phần tử của sự giao nhau đó thì tồn tại y
1
∈ K
iik

sao cho
d(y, y
1
) < ε
r
iik
2
và d(y, y
2
) < ε
r
jk
2
.
Khi đó,
d(y
1
, y
2
) < εr
iik
.
Do đó, D(K
iik
, K
j
) < εr
iik
, điều này mâu thuẫn với (3). Vậy
f

i
(U) ∩f
j
(U) = ∅, với mỗi i = j. (∗ ∗∗)
Từ (∗∗) và (∗ ∗ ∗) ta có điều phải chứng minh.
2.1.5 Mệnh đề [1]. Các điều kiện sau là tương đương.
i) H
s
(F ) > 0.
ii) SOSC.
iii) OSC.
2.2 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và sự cô
lập của ánh xạ đồng nhất
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày điều kiện cần và đủ để một hệ
hàm lặp thỏa mãn OSC với sự cô lập của ánh xạ đồng nhất. Nội dung của
mục này chủ yếu được lấy trong tài liệu [3].
2.2.1 Các kí hiệu. Cho {f
1
, . . . , f
m
} là các ánh xạ đồng dạng với tỉ số
đồng dạng lần lượt là c
1
, . . . , c
m
và F là tập bất biến của hệ hàm lặp này.
Đặt

= {1, . . . , m},


n
= {i = i
1
i
2
. . . i
n
: i
j
∈

},

∗
=

n≥0

n
,

N
= {i = i
1
i
2
. . . : i
j
∈


}.
24