Một số tính chất độ cao của hàm phân hình p - ADIC

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN CÔNG LÝ
MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO
CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An – 2014

2
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 3
1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ
¤
3
1.2. Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic
p
¤
7
1.3. Mở rộng đóng đại số đầy đủ
p
£
của trường các số
p
¤
12
Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH
P – ADIC 14
2.1. Đa giác định giá 14
2.2. Độ cao của chuỗi lũy thừa 18

2.3. Độ cao của hàm chỉnh hình 21
2.4. Độ cao của hàm phân hình 23
2.5. Các tính chất cơ bản của độ cao 24
KẾT LUẬN 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34
MỞ ĐẦU

3
Trong những năm cuối thế kỷ XX, lý thuyết hàm trên trường phi Ácsimét
phát triển mạnh mẽ và tìm thấy nhiều ứng dụng trong những vấn đề khác nhau của
toán học.
Lý thuyết độ cao của hàm chỉnh hình p-adic một hay nhiều biến đã được xây
dựng lần đầu tiên trong các công trình của Hà Huy Khoái. Luận văn của tôi dựa
trên tài liệu [3], [5] để tìm hiểu một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic.
Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, dự kiến luận văn
được chia thành hai chương như sau:
Chương 1. Trường các số phức p – adic
Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức về xây dựng trường số
hữu tỷ p-adic
p
¤
và dẫn ra một số kết qủa của quá trình xây dựng bao đóng đại
số, đầy đủ của trường
p
¤
để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau.
Chương 2. Một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic
Trong chương này chúng tôi trình bày độ cao của chuỗi lũy thừa, hàm chỉnh
hình, hàm phân hình và một số tính chất cơ bản của độ cao.
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình

của TS. Mai Văn Tư - Khoa Toán của Trường Đại Học Vinh. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận
văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điệu kiện giúp đỡ về mọi
mặt để luận văn này hoàn thành đúng kế hoạch.
Tôi xin cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại Học Trường
Đại Học Vinh và Trường Đại Học Đồng Tháp, quý Thầy Cô tham gia giảng dạy
khóa Cao học toán 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc công ơn dạy dỗ trong suốt quá
trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Đồng thời tôi cũng gửi lời cảm ơn đến tập

4
thể lớp Cao học Toán Khóa 20 đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
làm luận văn.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và thời gian học tập, nên luận văn
không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý
Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này.
Nghệ An, ngày 10 tháng 10 năm 2014
Tác giả

5
Chương 1. TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC
1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ
¤
.
1.1.1.Định nghĩa, sự phụ thuộc và sự độc lập
1.1.1.1. Định nghĩa
Giả sử
K
là một trường, giá trị tuyệt đối x trên
K

là hàm số tự
K
vào
¡
(ký hiệu
( ) ,v x x x
v
= ∀ ∈K
), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây:
a.
0
v
x ≥
, với mọi
x∈K
và
0
v
x =
khi và chỉ khi x = 0.
b.
v v v
xy x y=
với mọi
,x y∈K
.
c.
v v v
x y x y+ ≤ +
với mọi

,x y∈K
.
Một hàm giá trị tuyệt đối trên trường
K
được gọi là hàm giá trị tuyệt đối
phi Ácsimét nếu thỏa mãn điều kiện:
{ }
'. ax ,
v v v
c x y m x y
+ ≤
với mọi
,x y∈K
.
1.1.1.2. Chú ý
- Khi chỉ làm việc với một giá trị tuyệt đối ta sẽ viết
x
thay cho
v
x
và
nói về
.
như giá trị tuyệt đối trên trường
K
.
- Giá trị tuyệt đối trên trường
K
xác định một mêtric. Khoảng cách giữa
hai điểm x, y thuộc

K
trong mêtric đó bằng
x y−
. Như vậy giá trị tuyệt đối trên
trường
K
xác định một tôpô. Bộ
( )
,vK
gồm trường
K
và hàm giá trị tuyệt đối
v

trên
K
được gọi là trường định giá (còn gọi là trường định chuẩn).
1.1.1.3. Định nghĩa
Hai giá trị tuyệt đối trên một trường
K
được gọi là phụ thuộc (còn gọi là
tương đương) nếu chúng xác định cùng một tôpô trên
K
. Trong trường hợp trái
lại, chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương).

6
Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai giá trị tuyệt đối trên
một trường
K

là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương nhau).
1.1.1.4. Định lý
Giả sử
1
1
. .
v
=
và
2
2
. .
v
=
là hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trên
trường
K
. Chúng phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ thức
1
1x <
suy ra
2
1x <
. Nếu chúng phụ thuộc thì tồn tại số thực
0
λ
>
sao cho
1 2
x x

λ
=
với mọi
x∈K
.
Định lý sau đây nêu lên các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối
phi Ácsimét trên trường
K
.
1.1.1.5. Định lý
Giả sử
( )
, .K
là trường định chuẩn với đơn vị e, khi đó các điều kiện sau
là tương đương.
a.
.
phi Ácsimét.
b.
{ } { }
: 1 : 1x x x e x∈ < ∩ ∈ − < = ∅K
.
c. Tập hợp số tự nhiên
¥
bị chặn.
d.
2 1e ≤
.
Chứng minh. Lược đồ chứng minh định lý này là
.a b c d a⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+)
a b⇒
Giả sử tồn tại
x∈K
sao cho
1
1.
x
e x
 <


− <


Từ giả thiết của
{ }
1 ax , 1a e x x m e x x⇒ = − + ≤ − <
. Điều mâu thuẩn
này chứng tỏ
{ } { }
: 1 : 1 .x x x e x∈ < ∩ ∈ − < = ∅K K

7
+)
.b c⇒
Giả sử tập số tự nhiên
¥
không bị chặn, khi đó sẽ tồn tại
n∈¥

, bé nhất
sao cho
1
1 1.ne
ne
> ⇒ <
Khi đó
( 1)
1
1.
n e
e
ne ne
−
− = <
Đặt
1
x
ne
=
, với e là đơn vị của
K
thì
1
.
1
x
e x
 <



− <


Điều này mâu thuẩn
với giả thiết. Chứng tỏ
¥
là tập bị chặn bởi giá trị tuyệt đối đã cho.
) c d+ ⇒
. Hiển nhiên.
) .d a+ ⇒
Trước hết ta chứng tỏ
1,n n≤ ∀ ∈¥
. Thực vậy, viết số tự nhiên
1n >
trong hệ đếm cơ số 2, chúng ta có:
{ }
1
2 2 , 0,1 , 1.
s
o s j s
n a a a a a= + + + ∈ =
Suy ra
0
2 1.
s
s
n a a s≤ + + ≤ +
Trong bất đẳng thức trên chúng ta thay n bởi
{ }

1
2 2 , 0,1 , ( 1) .
m
k
n b b b m s k
o
j
= + + + ∈ < +
Khi đó ta nhận được:
1 ( 1) .
k
n m s k≤ + ≤ +
Cho
lim ( 1) 1.
k
k
k n s k
→∞
→ ∞ ⇒ ≤ + =
Mặt khác
1 1 1 1
( ) .
n n n n n n
n n
x y x C x y C xy y
− − −
+ = + + + +
Suy ra
{ }
ax ( 1) ,( 1) .

n n n
x y m n x n y+ ≤ + +
Cho
,n
→ ∞
ta có:
{ }
ax ,x y m x y+ ≤
. Nghĩa là có a.

8
Định lý được chứng minh.
1.1.2. Phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ
¤
Giả sử
0 x≠ ∈¤
, khi đó x có thể viết dưới dạng:
1 2
1 2

k
k
x p p p
α
α α
= ±
,
trong đó
, 1,2, ,
j

p j k=
là các số nguyên tố, đôi một khác nhau và
j
α
là các số
nguyên. Các số nguyên
j
α
được gọi là chỉ số lũy thừa của số nguyên tố
j
p
có
mặt trong sự phân tích trên của số hữu tỷ x.
Giả sử p là một số nguyên tố
Kí hiệu
, 1,2, , ,or 0
j
p j p
ord x j k d x
α
= = =
nếu
j
p p≠
.
Đặt
ord
p
x p
p

x−
=
nếu
0x ≠
và
0 0
p
=
.
1.1.2.1. Mệnh đề
Hàm
.
p
xác định như trên là một hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét,
trong đó p là một số nguyên tố bất kỳ.
Chứng minh. Hai tính chất đầu của định nghĩa được nghiệm đúng một cách dễ
dàng. Ta chứng minh tính chất còn lại.
{ }
ax , .x y m x y+ ≤
Thật vậy, giả sử
,
b c
x y
a d
= =
, khi đó
( )
{ }
{ }
{ }

or ( ) or or or ( )
min or ( ),or ( ) or ( )
min or ( ) or ( ),or ( ) or ( )
min or or ,or or
p p p p
p p p
p p p p
p p p p
ad bc
d x y d d ad bc d bd
bd
d ad d bc d bd
d ad d bd d bc d bd
d a d b d c d d
+
 
+ = = + −
 ÷
 
≥ −
= − −
= − −

9
(vì dễ thấy
or ( ) or or
p p p
d ab d a d b= +
)
=

{ }
min or ,or
p p
d x d y
.
Khi đó với mọi
, : ( ) 0x y xy x y+ ≠
. Chúng ta có:
{ }
{ }
or ( )
ax or , or

ax , .
p
p p
d x x y
p
m d x d y
p p
x y p
p
m x y
− +
− −
+ =
≤
=
Mệnh đề được chứng minh.
Người ta gọi

.
p
là giá trị tuyệt đối p – adic.
1.1.2.2. Nhận xét
Trên trường số hữu tỷ
¤
, ngoài giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị
tuyệt đối thông thường
. .
∞
=
, chúng ta đã chỉ ra một họ các giá trị tuyệt đối p –
adic. Vấn đề đặt ra là trên
¤
có tồn tại các giá trị tuyệt đối khác nữa hay không ?
Định lý Ostrowski sẽ trả lời cho câu hỏi đó.
1.1.2.3. Định lý (Ostrowski)
Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên
¤
đều tương đương (hay
phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ, hoặc
p = ∞
.
1.2. Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic
p
¤
.
1.2.1. Dãy Cauchy (dãy cơ bản)
Giả sử p là một số nguyên tố cố định. Dãy
{ }

n
x
các số hữu tỷ được gọi
là dãy cơ bản theo giá trị tuyệt đối p – adic
.
p
nếu với mọi
0
ε
>
, luôn tồn tại số
tự nhiên
0
n
sao cho với mọi
0
,m n n>
ta có:
m n
x x
ε
− <
.

10
1.2.2. Quan hệ tương đương
Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p –
adic
.
p

. Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên X như sau:
{ }
{ }
;
lim 0.
n j
j j
j
a a X b b X
a b a b
→∞
= ∈ = ∈
⇔ − =:
Rõ ràng
" ":
là quan hệ tương đương trên X.
Đặt
{ }
{ }
/ ,
p j
X a a= = =¤ :

trong đó
{ }
: 0 .
lim
j j j
j
a b X a b

→∞
 
= ∈ − =
 
 
Đặc biệt, với
x∈¤
ta kí hiệu
{ }
x
là dãy Cauchy hằng và
{ } { }
'x x:
khi
và chỉ khi
'x x=
. Giá trị tuyệt đối trên
p
¤
được cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối p –
adic
.
p
trên
¤
.
Nếu
{ }
j
a a=

, ta định nghĩa
lim
j
p
p
j
a a
→∞
=
, trong đó
{ }
j
a
là phần tử đại
diện của lớp tương đương
.a
Mệnh đề sau đây khẳng định rằng định nghĩa giá trị tuyệt đối trên
p
¤

như trên là hợp lý.
1.2.3. Mệnh đề
Tồn tại giới hạn của dãy
{ }
j
p
a
trong đó
{ }
j

a
là dãy cơ bản các số hữu
tỷ.
1.2.4. Phép toán trên
p
¤
Giả sử
{ }
j
a a=
,
{ }
j
b b= ∈
p
¤
. Ta xây dựng hai phép toán sau:

11
{ } { }
, .
j j j j
a b a b ab a b+ = + =
1.2.5. Mệnh đề
Các phép toán trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện.
1.2.6. Định lý
p
¤
cùng hai phép toán được xây dựng như trên lập thành một trường
gọi là trường các số hữu tỷ p-adic và

p
¤
là trường mở rộng của trường các số
hữu tỷ
¤
.
1.2.7. Bổ đề
Nếu
x∈¤
và
1
p
x ≤
, với mỗi j luôn tồn tại số nguyên
α
sao cho:
,
j
p
x p
α
−
− ≤
trong đó số nguyên
α
có thể chọn trong tập
{ }
0,1,2, , 1 .
j
p −

Chứng minh. Giả sử
a
x
b
=
là phân số tối giản, vì
1
p
x ≤
nên
( )
, 1,
j
b p
=
khi đó
tồn tại các số nguyên m,n sao cho
1.
j
mb np+ =

Đặt
.am
α
=
Chúng ta có:
1

.

p p
p p
j
p
p
j j
p
a a
x am bm
b b
x np
np p
α
−
− = − = −
=
≤ ≤

Mặt khác từ định lý về phép chia có dư ta có:
, 0 .
j j
kp r r p
α
= + ≤ <

Khi đó
{ }
max , .
j j j
p p

p p
r x kp x x kp p
α α
−
− = − − ≤ − ≤


12
Vậy số nguyên
α
có thể chọn trong tập
{ }
0,1,2, , 1 .
j
p −
Bổ đề được chứng minh.

Định lý sau đây làm cơ sở cho việc xác định các số nguyên p – adic.
1.2.8. Định lý
Với mỗi lớp tương đương
: 1
p
a a∈ ≤¤
, có đúng một dãy Cauchy
{ }
j
a

thỏa mãn hai điều kiện sau:
1

. 0 , 1,2,
. (mod ), 1,2,
j
j
j
j j
i a p j
ii a a p j
+
≤ < =
≡ =

1.2.9. Nhận xét
Trong định lý 1.2.8 ta luôn giả thiết
1.
p
a ≤
Vậy điều gì sẽ xảy ra khi
1.
p
a >
Để đi đến kết luận, chúng ta biến đổi như sau:
Vì
1
p
a >
nên
, , 1.
m
p

a p m N m
= ∈ ≥
Đặt
'
' . , '
m
a a p m m= ≥
. Rõ ràng
'
' 1
m
p p
a a p
−
= ≤
.
Khi đó
{ }
'
'
j
a a=
với
'
' .
m
a a p=
thỏa mãn giả thiết của định lý 1.2.8 và
'
'.

m
a a p
−
=
có đại diện tương ứng là
{ }
j
a
, trong đó
' '
. , .
m
j j
a a p j
−
= ∀

Để thuận lợi trong trình bày, chúng ta viết
'
j
a
trong hệ đếm cơ số p, nghĩa là:
' 1
0 1 1
,
j
j j
a b b p b p
−
−

= + + +
trong đó
j
b
là các chữ số,
0 , 1,2, , 1
i
b p i j≤ < = −

và
' 1
1 0 1 1
.
j j
j j j
a b b p b p b p
−
+ −
= + + + +
Như vậy với mọi
p
a∈¤
đều có dạng:

13
2
1
0 1 2
1
(*)

m m
m m
b b
a b b p b p
p p
− − +
−
= + + + + + +
trong đó
j
b
là các chữ số,
{ 0,1, , 1}.
j
b p∈ −
Biểu thức (*) được gọi là biểu diễn chính tắc của số hữu tỷ p - adic
p
a∈¤
.
Chúng ta đặt
{ }
: 1
p p
a a= ∈ ≤¢ ¤
, rõ ràng
p
¢
là tập hợp tất cả các số
thuộc
p

¤
mà trong biểu thức xác định chúng không chứa lũy thừa âm của số
nguyên tố p. Mỗi phần tử của
p
¢
được gọi là số nguyên p - adic. Vậy
2
0 1 2
, 0 , .
k
p k j
a a a a p a p a p a p j∈ ⇔ = + + + + + ≤ < ∀¢
và

0
j
j
j
a a p
∞
=
=
∑
suy ra
,
m
p
a p
−
=

trong đó
{ }
min : 0 .
j
m j a
= ≠

Chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau.
1.2.10. Mệnh đề
p
¢
là vành con của
p
¤
, không chứa ước của 0.
Đặt
*
1
:
p p p
a
a
 
= ∈ ∈
 
 
¢ ¢ ¢
là nhóm nhân các phần tử khả nghịch. Các phần tử
của
*

p
¢
còn gọi là các phần tử đơn vị (hay phần tử khả nghịch) của vành
p
¢
. Kết
quả sau đây cho chúng ta dấu hiệu nhận biết một số nguyên p - adic là đơn vị.
1.2.11. Mệnh đề
Số nguyên p - adic
p
a∈¢
là đơn vị khi và chỉ khi
0
0(mod )a p≡
, trong
đó
2
0 1 2
, 0 , .
k
k j
a a a p a p a p a p j= + + + + + ≤ < ∀ ∈¥
1.2.12. Hệ quả

14
Mọi số p - adic có dạng
m
p
α ε
=

, trong đó
,m
ε
∈¢

là phần tử khả
nghịch.
1.3. Mở rộng đóng đại số đầy đủ
p
£
của trường các số
p
¤
.
Trong trường hợp thực, bao đóng đại số của trường số thực
¡
là trường
số phức
£
. Có thể xem
£
là không gian vectơ hai chiều trên
¡
. Vấn đề đặt ra là
từ
p
¤
, bằng phương pháp tương tự có thể mở rộng nó thành một trường đóng đại
số và đầy đủ hay không? Câu trả lời là khẳng định song có những điểm khác
nhau, chẳng hạn giá trị tuyệt đối trên

¡
và trên
p
¤
khác nhau nên tôpô trên
chúng cũng khác nhau. Mặt khác, bao đóng đại số của
¡
là một trường đầy đủ,
còn bao đóng đại số của
p
¤
không có tính chất đó. Trong mục này chúng tôi dẫn
ra một số kết quả của quá trình xây dựng bao đóng đại số, đầy đủ của trường
p
¤
.
Ký hiệu
p
¤
là bao đóng đại số của
p
¤
. Nếu
p
α
∈¤
, thì
α
là nghiệm
của đa thức bất khả quy

[ ]
( ) :
p
f x x∈¤
1
1 1
( ) .
n n
n n
f x x a x a x a
−
−
= + + + +
Khi đó giá trị tuyệt đối của
α
trên
p
¤
được xác định bởi hệ thức:
n
p
p
a
α
=
Rõ ràng đây là một hàm mở rộng của hàm giá trị tuyệt đối trên
p
¤
. Ta
có định lý sau:

1.3.1. Định lý
p
¤
là trường không đầy đủ.
1.3.2. Định lý

15
p
£
là trường đóng đại số.
1.3.3. Định lý
.
p
i £
đóng đại số và đầy đủ.
.
p
ii £
là
p
¤
- không gian vectơ vô hạn chiều.
.
p
iii £
không compact địa phương.
.
p
iv £
tách được.

.v
Trường các lớp thặng dư của
p
£
là trường đóng đại số của trường
có p phần tử.
.vi
Nhóm giá trị của
p
£
là compact.

16
Chương 2.
MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC
2.1. Đa giác định giá
Giả sử
f
là hàm chỉnh hình trong
[ ]
1 2
,A r r
biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa:
( )
n
n
f z c z=
∑
.
Với r mà

1 2
r r r≤ ≤
ta đặt
{ }
( , ) inf :
n
n
r
k f r n Z c r f
= ∈ =

và
{ }
( , ) sup : .
n
n
r
K f r n Z c r f= ∈ =
Chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt, khi r = 0, f(0) = 0, ta định nghĩa
{ }
( ,0) 0; ( ,0) inf : .
n
n
r
k f K f n Z c r f
= = ∈ =
Số nguyên
( , )K f r
thường được gọi là chỉ số chính.
Giá trị r sao cho

( , ) ( , )K f r k f r>
được gọi là giá trị tới hạn.
2.1.1. Mệnh đề
Tập hợp các giá trị tới hạn của một chuỗi Laurent là tập hợp rời rạc.
2.1.2. Mệnh đề
Nếu các hàm
f
và
g
chỉnh hình trong
[ ]
1 2
,A r r
, khi đó:

( , ) ( , ) ( , )K fg r K f r K g r= +
và
( , ) ( , ) ( , )k fg r k f r k g r= +
Chứng minh. Ta chứng minh đẳng thức đối với K. Đẳng thức tương tự đối với k
được chứng minh bằng cách đổi biến z thành
1
z
−
. Ta viết
( ) , ( ) , ( )
n n n
n n n
f z a z g z b z fg z c z= = =
∑ ∑ ∑
.

Giả sử
( , ) ( , )m K f r K g r= +
. Khi đó ta có:

17
m i j
c a b=
∑
.
Khi các chỉ số là
( , ), ( , )i K f r j K g r= =
ta có:
/
m
i j
r
a b fg r
.
Nếu
( , )i K f r<
thì
( , )j K g r>
, nên
/
j
j
r
b g r
<
.

Mặt khác
/
i
i
r
a f r≤
nên
/
m
i j
r
a b fg r<
.
Tương tự,
/
m
i j
r
a b fg r<
nếu
( , )i K f r>
. Do đó
/
m
m
r
c fg r=
.
Từ đó suy ra rằng
( , ) ( , ) ( , )K fg r K f r K g r≥ +

Mặt khác, nếu
i j m+ >
thì
hoặc
( , ),i K g r>
hoặc
( , )j K g r>
.
Trong trường hợp này ta cũng có
( , ) ( , ) ( , )K fg r K f r K g r≤ +
.
Mệnh đề dược chứng minh.
2.1.3. Mệnh đề
Giả sử hàm
f
chỉnh hình trong
[ ]
1 2
,A r r
, r > 0 thỏa mãn điều kiện
( , ) ( , ).F f r k f r=
Khi đó hàm
f
khả nghịch trong
[ ]
1 2
,A r r
.
Chứng minh. Ta có
( , ) ( , )

m
K fz r K f r m= +
và
( , ) ( , )
m
k fz r k f r m= +
.
Như vậy, bằng cách nhân
f
với
( , )k f r
z
−
, một đơn vị trong
[ ]
1 2
,A r r
, ta có
thể giả thiết rằng
( , ) ( , ) 0.K f r k f r= =

18
Khi đó nếu
0
c
là từ hằng số của chuỗi Laurent xác định
f
thì từ giả thiết
( , ) ( , ) 0K f r k f r= =
suy ra rằng

0 0
r
f c c− <
tức là
1
0
1 1.
r
c f
−
− <
Như vậy
1
1 1 1 1 1 2 1 3
0 0 0 0 0
1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) .f c c f c c f c f
−
− − − − − −
   
= − − = + − + − +
   
Mệnh đề được chứng minh.
2.1.4. Đa giác định giá của các đa thức
Về sau, ta cần xét những dạng khác nhau của đa giác định giá đối với
hàm chỉnh hình và phân hình. Tuy nhiên, để hiểu rõ tính chất của đa giác định giá
và ảnh hưởng của nó đến phân phối không điểm của hàm, trước tiên ta xét trường
hợp các đa thức.
Ta bắt đầu với đa thức:
( )L z z a= −
. Rõ ràng ta có:

.
r
a a
L
r a
 ≤

=

≥


neáu r
neáu r
Hình sau đây cho ta đồ thị của
log
r
L
xét như một hàm của
logr
:

log | |
r
L

log | |a

logr
Chú ý rằng hệ số góc của đồ thị chứng tỏ hàm L(z) có không điểm với

z a=
.

19
Bây giờ ta xét
( ) ( ) ( )
n m
P z z a z b= − −
với
0 a b< <
. Khi đó ta có:
log log
log log log
( )log
r
n a m b a
P n r m b a r b
n m r b
 + ≤


= + ≤ ≤


+ ≥


neáu r
neáu
neáur .

Trong trường hợp này, đồ thị của
log
r
P
như hàm của
log
r
r
, có thể mô
tả như sau:

log | |
r
P

log | |a

log | |b

logr

Như vậy, ta lại được một đường gấp khúc mà các góc của nó cho thấy vị
trí của các không điểm của đa thức P. Hơn nữa, hiệu giữa hệ số góc bên phải và
bên trái tại mỗi điểm cho ta biết số không điểm có giá trị tuyệt đối tương ứng với
điểm đó. Đồ thị trên đây gọi là đa giác định giá của P.
Chú ý rằng, trong ví dụ trên đây:

( , ) , ( , ) 0, ( , ) , ( , )K P a n k P a K P b m n k P b n= = = + =
đồng thời K(P,r) = k(P,r) với mọi
,r a r b≠ ≠

.
Như vậy các điểm góc của đường gấp khúc (đa giác định giá) tương ứng
với các giá trị tới hạn.

20
Nếu P là một đa thức tùy ý, ta có thể viết
( ) ( ) .
m
m
j
P z cz z a= −
∏
Có thể thấy rằng
log ( )
r
P z
là một hàm tuyến tính từng khúc của
logr
,
đồng thời các điểm góc của đường gấp khúc tương ứng cho ta vị trí các không
điểm của đa thức, hơn nữa sự thay đổi của hệ số góc tại mỗi điểm cho biết số
không điểm tương ứng với giá trị tuyệt đối tại đó.
2.2. Độ cao của chuỗi lũy thừa
2.2.1. Định nghĩa
Độ cao của chuỗi lũy thừa
n
n
a z
∑
(1)

tại
( )v z t=
được xác định bởi hệ thức
{ }
0
( , ) min ( ) .
n
n
h t v a nt
≤ <∞
= +
∑
Chú ý rằng độ cao của chuổi lũy thừa có thể hữu hạn khi nó hội tụ và có
thể là
−∞
khi nó phân kì. Các ví dụ sau sẽ minh họa cho chú ý này.
2.2.2. Mô tả hình học
Với mỗi n chúng ta vẽ đồ thị
n
Γ
của hàm
( ) ( )
n
n n
v a z v a nt= +
. Đồ thị
này là một đường thẳng có độ dốc n. Do định nghĩa,
( , )h t
∑
là biên của giao tất cả

các nửa mặt phẳng nằm phía dưới các đường
n
Γ
,
( , )h t
∑
có thể
,−∞ ∅
hoặc là
một đường gấp khúc. Người ta gọi
( , )h t
∑
là đường đa giác (hay đa giác Newton)
của chuỗi lũy thừa. Điểm
( )t v z=
là đỉnh của đa giác được gọi là điểm tới hạn của
chuỗi lũy thừa. Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa tính hội tụ và độ cao của
chuỗi lũy thừa.
2.2.3. Định lý

21
Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa
r
D
khi và chỉ khi đường thẳng
0
log
p
t r= −
là đường tiệm cận của đường đa giác

( , )h t
∑
.
Định lý được chứng minh bởi bổ đề sau.
2.2.4. Bổ đề
(i). Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ tại
( )t v z=
khi và chỉ khi

{ }
lim ( )
n
n
v a nt
→∞
+ = ∞
.
(ii). Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại
0
z
thì nó hội tụ tại mọi điểm thuộc miền
{ }
0
: ( ) ( ) .
p
z C v z v z∈ >
Chứng minh. (i). Như đã biết trong các chương trước, chuỗi lũy thừa (1)
hội tụ khi và chỉ khi

{ }

{ }
( )
lim 0
lim 0
lim ( ) .
n
n
n
p
n
v a nt
n
n
n
a z
p
v a nt
→∞
− +
→∞
→∞
=
⇔ =
⇔ + = ∞
(ii). Theo mệnh đề (i), chuỗi (1) hội tụ tại
0
z
nên

{ }

0
lim ( ) ( )
n
n
v a nv z
→∞
+ = ∞
khi đó

{ }
0
0
lim [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
lim [ ( ) ( )]=
n n
n
n
v a nv z v a nv z
n v z v z
→∞
→∞
+ − +
= − ∞
với mọi
0
( ) ( )v z v z>
, bởi vậy
{ }
lim ( ) ( )
n

n
v a nv z
→∞
+ = ∞
. Chứng tỏ chuổi hội tụ tại
mọi điểm thuộc miền
{ }
0
: ( ) ( ) .
p
z C v z v z∈ >
2.2.5. Hệ quả

22
Nếu chuỗi lũy thừa (1) phân kỳ tại
0
z
thì nó phân kỳ tại mọi điểm thuộc
miền
{ }
0
: ( ) ( ) .
p
z C v z v z∈ <
Thực vậy từ mệnh đề (i) và giả thiết ta có:
0
lim[ ( ) ( )]
n
n
v a nv z

→∞
+ < ∞
.
Mặt khác
{ }
0
lim [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
n n
n
v a nv z v a nv z
→∞
+ − +
0
lim n[ ( ) ( )]=
n
v z v z
→∞
= − ∞
với mọi
0
( ) ( ).v z v z<
Chứng tỏ, với mỗi z,
0
( ) ( ).v z v z<
Khi đó
lim[ ( ) ( )]
n
n
v a nv z
→∞

+ < ∞
.
Vậy chuỗi (1) phân kỳ tại mọi điểm thuộc miền
{ }
0
: ( ) ( ) .
p
z C v z v z∈ <
Chứng minh định lý. Giả sử chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa
r
D
theo bổ đề 2.2.4
ta nhận được
{ }
lim ( )
n
n
v a nt
→∞
+ = ∞
với mọi
r
z D∈
.
Vì
p
z r<
nên
0
( )t z v t= >

,
r
z D∀ ∈
. Chứng tỏ
0
log
p
t r= −
là đường tiệm cận của
đa giác Newton. Ngược lại, nếu
0
log
p
t r= −
là đường tiệm cận của đa giác
( , )h t
∑
, khi đó với
0
0t t→ +
, ta có:
{ }
lim ( )
n
n
v a nt
→∞
+ = ∞
.
Sử dụng bổ đề chúng ta khẳng định rằng chuỗi (1) hội tụ trong đĩa

r
D
. Định lý
được chứng minh.
2.2.6. Ví dụ

23
(i) Xét chuỗi
2
0
.
n n
n
p z
∞
=
∑
Chúng ta có
2
( )
n
v a nt n nt+ = + → ∞
khi
n → ∞
, với mọi t. Vì
( )
n
v a nt+
triệt tiêu
khi

0
t n= −
, do đó nếu
n → ∞
thì
0
t → −∞
. Vậy chuỗi này hội tụ trên toàn mặt
phẳng
p
£
.
(ii) Cho chuỗi lũy thừa
2
0
.
n n
n
p z
∞
−
=
∑
Chúng ta nhận được
2
( )
n
v a nt n nt+ = − +
triệt tiêu khi
0

t n=
, do đó khi
n → ∞
, ta
có
0
t → ∞
, nghĩa là
0r →
. Vậy chuỗi này phân kỳ tại mọi điểm thuộc
{ }
\ 0
p
£
.
2.3. Độ cao của hàm chỉnh hình
Giả sử
( )f z
là hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị D, tương ứng với chuỗi
lũy thừa hội tụ.
0
( )
n
n
n
f z a z
∞
=
=
∑

Vì
{ }
lim ( )
n
n
v a nt
→∞
+ = ∞
, với mọi
( ) 0,t v z= >
chứng tỏ với t > 0 tồn tại n để
( )
n
v a nt+
đạt giá trị bé nhất. Ta ký hiệu
, ,
,
f t f t
n n
+ −
tương ứng là giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất sao cho
( )
n
v a nt+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đặt
, , , , , , ,
. , . , .
f t f t f t f t f t f t f t

h n t h n t h h h
+ + − − − +
= = = −
2.3.1. Định nghĩa
Chúng ta gọi
, , ,
, ,
f t f t f t
h h h
+ −
tương ứng là độ cao phải, độ cao trái và độ cao
địa phương của hàm chỉnh hình p – adic tại
( ) log .
p
p
t v z z= = −

24
2.3.2. Định nghĩa
Độ cao toàn phần (hay độ cao) của hàm chỉnh hình
( )f z
được xác định
bởi hệ thức:
{ }
( , ) min ( ) .
n
h t v a nt= +
∑
Ví dụ
Xét hàm

1
( ) log(1 ) ( 1)
n
n
n
z
f z z
n
∞
=
= + = −
∑
Khi đó như đã thấy trong phần trước, ta có
2
1
2
2
, 1
1
,
2
k
p
k
p
t
kt k p
pt
kt p k p
p t

Γ =
Γ = < <
Γ = −
Γ = < <
Γ = −
1
1
k
k k
t
p p
−
=
−
là các điểm tới hạn của
( )f z
và
, ,
, ,
1
,
1 1
1, 0,
(log(1 ), ) .
1
k k
k
f t f t
f t f t k
k

p
h h
p p
h h t t
p
h z t k
p
+ −
= =
− −
= = ∀ ≠
+ = − +
−
2.3.3. Mệnh đề
(i) Nếu t không là điểm tới hạn của
( )f z
thì
,f t
h
= 0,
( ) 0f z ≠
và
( , )
( ) .
h f t
p
f z p
−
=

25
(ii) Nếu t là điểm tới hạn của
( )f z
thì
,f t
h
≠
0,
( ) 0f z =
và
,f t
h t=
số
các không điểm của
( )f z
tại
( ) .v z t=
(iii) Số các không điểm của
( )f z
tại điểm tới hạn
( )v z t=
đúng bằng
, ,
,
f t f t
n n
− +
−
.
(iv) Trong mỗi đoạn hữu hạn

[r,s], 0 < r < s < ∞
, chỉ có hữu hạn các
điểm tới hạn của hàm
( )f z
.
2.4. Độ cao của hàm phân hình
Giả sử
( )x
ϕ
là hàm phân hình trong đĩa
r
D
, theo định nghĩa nó được xác
định bởi hệ thức
( )
( ) ,
( )
f x
x
g x
ϕ
=
trong đó
( ), ( )f x g x
là các hàm chỉnh hình không có
điểm chung.
2.4.1. Định nghĩa
Độ cao của hàm phân hình
( )
( )

( )
f x
x
g x
ϕ
=
được xác định bởi hệ thức

( , ) ( , ) ( , )h t h f t h g t
ϕ
= −
.
2.4.2. Nhận xét
Độ cao của hàm phân hình không phụ thuộc vào các ánh xạ biểu diễn nó.
Thực vậy nếu
.
.
f h
g h
ϕ
=
, bởi mệnh đề 2.5.4 (ii), chúng ta có
( , ) ( . , ) ( . , ) ( , ) ( , ).h t h f h t h g h t h f t h g t
ϕ
= − = −
2.4.3. Độ cao của ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ ảnh
( )
n
p
P £