Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình của môn toán ở trường phổ thông (thể hiện qua nội dung đại số và giải tích)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN ANH DUY
SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG
TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH
CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
(Thể hiện qua nội dung Đại số và Giải tích)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGHỆ AN - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ANH DUY
SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG
TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH
CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
(Thể hiện qua nội dung Đại số và Giải tích)
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THUẬN
NGHỆ AN – 2014
Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn
Thuận người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành Luận văn này trong
thời gian qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm
khoa sau Đại học trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia
giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên
đề Thạc sĩ khoá XX, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn
Toán tại trường Đại học Vinh.

Tôi cũng xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô giáo tổ Toán trường
THPT Trần Quốc Đại, Gò Dầu, Tây Ninh - nơi tôi đang công tác, đã giúp đỡ và
tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của
các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ
môn Toán.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
những người luôn cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng Luận văn chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Nghệ An, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Phan Anh Duy
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
PTTQ Phương tiện trực quan
HS Học sinh
GV Giáo viên
TB Trung bình
GTLN Giá trị lớn nhất
GTNN Giá trị nhỏ nhất
SGK Sách giáo khoa
THPT Trung học phổ thông
YCBT Yêu cầu bài toán
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN 4
1. Lí do chọn đề tài 1
7. Đóng góp của luận văn 4
7.1. Về mặt lý luận 4

8. Cấu trúc luận văn 5
Trong chương này, chúng tôi triển khai một số kết quả nghiên cứu xuống
cơ sở thực nghiệm nhằm xem xét tính khả thi và hiệu quả của những quan
điểm trực quan tượng trưng cho học sinh khi giải toán mà luận văn đã đề
xuất đồng thời chúng tôi muốn kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết
khoa học 97
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 97
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 97
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 97
3.2.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm 98
Quá trình nghiên cứu, luận văn đã thu được một số kết quả sau đây: 106
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn
diện giáo dục và đào tạo đã khẳng định: “…Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương
pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt
một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích
tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực…”. Một trong những mục tiêu tổng quát của Nghị quyết cũng xác
định giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất
tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân. Khi đã xác định được mục tiêu
chung là giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện thì chương trình cần
quan tâm hơn đến những nội dung dạy học gắn liền với cuộc sống. Nói cách
khác là giáo dục con người phải có cả kiến thức, kỹ năng và vận dụng được vào
trong thực tiễn.
1.2. Đại thi hào William A.Ward một nhà giáo dục lỗi lạc người Mỹ cũng
từng nói: “Người thầy trung bình chỉ biết nói, người thầy giỏi biết cách giải
thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa, còn người thầy vĩ đại biết cách

truyền cảm hứng”. Do đó trong dạy học môn Toán để học sinh hiểu bài một cách
sâu sắc và có hệ thống, bên cạnh việc phối hợp nhuần nhuyễn các phương pháp
dạy học nhằm giúp cho học sinh có một phương pháp suy nghĩ, tìm tòi, khám
phá thì người thầy cần phải biết sử dụng phương tiện trực quan trong dạy học
nhằm dẫn dắt, minh họa cho bài giảng tạo sự đam mê hứng thú trong học tập cho
học sinh, tạo điều kiện cho học sinh có óc quan sát, nhật xét, so sánh, từ đó có
2
được niềm tin vào toán học, có được khả năng trình bày, chứng minh chặt chẽ
một mệnh đề toán học bằng cơ sở lập luận.
1.3. Toán học là một bộ môn khoa học chính xác và mang tính trừu tượng
cao. Đối với chương trình Toán phổ thông, nếu trình bày các định nghĩa, khái
niệm, tính chất một cách hàn lâm thì dễ cho người dạy, nhưng lại nặng nề, khó
hiểu cho người học. Cái khó nhất đối với người giáo viên là trình bày các khái
niệm Toán học cho dễ tiếp thu nhưng không làm mất đi tính chính xác của Toán
học. Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng giúp người học dễ tiếp thu kiến
thức mới, tạo hứng thú trong học tập. Rõ ràng, phương tiện trực quan tượng
trưng là một tiền đề cho sự khám phá mới trong tư duy, từ những hình ảnh tượng
trưng nhằm minh họa, thể hiện các kiến thức Toán học. Hơn nữa, bản chất của
quá trình học là quá trình nhận thức của học sinh, mà phương tiện trực quan
tượng trong dạy học Toán thể hiện được nguyên lý của sự nhận thức: “Từ trực
quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn”.
1.4. Vấn đề sử dụng phương tiện trực quan trong dạy học nói chung và bộ
môn Toán nói riêng đã từng được nghiên cứu. Tuy nhiên, việc sử dụng phương
tiện trực quan tượng trưng trong dạy học những nội dung cụ thể, những tình
huống điển hình của môn Toán chưa được quan tâm nghiên cứu một cách toàn
diện.
Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Sử
dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học những tình huống
điển hình của môn Toán ở trường phổ thông (Thể hiện qua nội dung Đại số
và Giải tích)”.

3
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề khi sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy học Đại
số và Giải tích đồng thời đề xuất các biện pháp thích hợp khi sử dụng PTTQ
tượng trưng trong dạy học góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở
trường THPT.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu: Tính khả thi khi sử dụng phương tiện trực quan tượng
trưng trong dạy học Toán.
3.2 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình giảng dạy, nếu biết khai thác và sử dụng hợp lý phương tiện trực
quan tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình môn Toán thì sẽ góp
phần nâng cao hiệu quả của hoạt động dạy và học ở trường phổ thông.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lý luận và thực tiễn, vai trò và chức năng của phương tiện
trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích.
- Nghiên cứu các tình huống sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong
từng nội dung cụ thể của quá trình dạy học Toán.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả khi
giảng dạy bằng phương tiện trực quan tượng trưng.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về cơ sở tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy
học Toán có liên quan đến đề tài cần nghiên cứu.
4
- Nghiên cứu các sách, bài báo khoa học trên các tạp chí, công trình Luận án của
nghiên cứu sinh, tài liệu viết về phương tiện trực quan tượng trưng; các quan
điểm về lý luận và phương pháp dạy học Toán.
6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Tiến hành dự giờ, trao đổi tổng kết rút kinh nghiệm.
- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và kỹ năng vận dụng phương tiện trực quan tượng
trưng vào dạy học.
- Phân tích những khó khăn, sai lầm và chướng ngại của học sinh trong những
nội dung cụ thể.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các
tình huống đã đề xuất thông qua việc so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp
thực nghiệm khi sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng vào quá trình dạy
học.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lý luận
- Hệ thống lại các lý luận về sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong
dạy học môn Toán.
- Xây dựng được các tình huống áp dụng phương tiện trực quan tượng trưng
trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Đề xuất những tình huống cụ thể nhằm sử dụng phương tiện trực quan tượng
trưng một cách có hiệu quả trong dạy học Đại số và Giải tích của chương trình
Toán phổ thông.
5
- Giáo viên Toán ở trường THPT có thể sử dụng luận văn này làm tài liệu tham
khảo trong quá trình giảng dạy.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo, luận văn
gồm có 3 Chương.
6
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán
1.2. Vấn đề trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích ở

trường phổ thông
1.3. Kết luận Chương 1
CHƯƠNG 2. SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG
TRƯNG TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH
CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
2.1. Các cơ sở căn cứ để đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng
trưng
2.2. Đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy học
những tình huống điển hình môn Toán
2.3. Kết luận Chương 2
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
7
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán.
1.1.1. Khái niệm phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán.
Chúng ta biết rằng phương tiện trực quan là một phận của phương tiện dạy
học, nó là công cụ để GV sử dụng làm khâu trung gian tác động đến HS trong
quá trình dạy học nhằm giúp giảm thiểu sự trừu tượng của kiến thức Toán học
trong quá trình nhận thức. Nói đến trực quan tức là sử dụng nhiều giác quan để
quan sát trực tiếp quá trình thu nhận và xử lý thông tin. Do đó phương tiện trực
quan có vai trò quan trọng trong quá trình dạy học môn Toán. Do đặc điểm của
toán học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất trong
môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức, kí
hiệu…). Phương tiện trực quan tượng trưng là một hệ thống ký hiệu quy ước
nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu, tách rời khỏi tất cả các tính chất

khác của đối tượng và hiện tượng nhằm cụ thể hóa cái trừu tượng của đối tượng
cần nghiên cứu. [36, tr.9]
Hoàng Chúng cho rằng: trực quan tượng trưng là một hệ thống quy ước
nên trực quan tượng trưng là một loại ngôn ngữ, do đó cũng như mọi ngôn ngữ
khác, nó phải được nghiên cứu, học tập, luyện tập mới có thể hiểu được, mới rõ
ràng trực quan được, mới trở thành một phương tiện dạy học có hiệu quả. Chẳng
hạn hình thành khái niệm là một quá trình tâm lý phức tạp theo sơ đồ: Cảm giác
– Tri giác – Biểu tượng, lúc này trực quan đóng một vai trò rất quan trọng để dẫn
tới việc định nghĩa của khái niệm. [36, tr.9]
8
Như vậy, theo chúng tôi trong quá trình dạy học Toán chúng ta sử dụng
các phương tiện như: mô hình, máy chiếu, các phần mềm Cabri, The Geometer's
Sketchpad, trình chiếu PowerPoint cũng được xem là phương tiện trực quan.
Tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ muốn đề cập đến một dạng
trực quan, đó chính là: Phương tiện trực quan tượng trưng. Ta gọi là tượng trưng
vì ta không cần đến máy móc thiết bị hay công cụ gì ghê gướm cả mà ta chỉ dùng
những gì thô sơ sẵn có như là : phấn với bảng, nhưng bằng sự khéo léo tinh tế
của người GV thì nhiều bài toán khó nếu chúng ta chịu khó để tâm vào đó thì sẽ
giải quyết được dễ dàng.
Ý nghĩa của chữ tượng trưng ở đây chính là: hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng
biểu, kí hiệu, thậm chí là tóm tắt một công thức Toán học theo cách riêng của
mình giúp cho HS tiếp thu kiến thức mới dễ dàng và việc ghi nhớ trở nên bền
vững hơn.
1.1.2. Vai trò của phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học môn
Toán
Triết học Mác - Lênin đã khẳng định con đường biện chứng của tư duy là
đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về
thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học, muốn đạt được hiệu quả chúng ta phải
tuân theo quy luật đó. Thực tế trong quá trình dạy học chúng tôi nhận thấy rằng
HS thường gặp khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức mới vì họ gặp khó khăn

khi chuyển từ cái cụ thể lên cái trừu tượng và khi đi từ cái trừu tượng lên cái cụ
thể của quá trình tư duy. Nguyên nhân là do: HS không phát hiện ra cái chung,
cái bản chất bị che lấp bởi cái riêng; trong khi vận dụng định nghĩa, đính lý, tính
chất vào giải bài tập HS cũng còn lúng túng do không hiểu được bản chất của
9
chúng. Một yếu tố có ảnh hưởng rất lớn đến quá trình tiếp thu kiến thức, giải
quyết vấn đề của học sinh chính là tính trực quan của tri thức được GV truyền
thụ. Do đó, với đặc thù riêng của bộ môn Toán việc nghiên cứu, khai thác và sử
dụng PTTQ tượng trưng là điều hết sức cần thiết.
Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học tạo điều kiện thuận lợi
cho việc tổ chức quá trình học tập. Bởi vì từ trực quan HS có được cảm nhận đầu
tiên về vấn đề cần tiếp thu. Điều đó giúp cho HS sau này khi gặp vấn đề cần phải có
sự liên tưởng tới kiến thức đã học thì HS sẽ có tư duy tốt hơn.
Trong dạy học Toán nói riêng việc sử dụng hợp lý các PTTQ tượng trưng
đóng một vai trò rất quan trọng. PTTQ tượng trưng không chỉ giúp cho việc
minh họa và tập trung sự chú ý của HS vào những thuộc tính và đặc điểm bên
ngoài của đối tượng mà còn giúp HS nhanh chóng phát hiện những thuộc tính
bên trong, những mối quan hệ bản chất của đối tượng và cho phép nhận ra nó
như một cái toàn bộ thống nhất.
Chúng ta thấy rằng PTTQ tượng tượng trưng không chỉ tham gia vào quá
trình hình thành khái niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải
bài tập toán và phát hiện ra những sai lầm thiếu sót của học sinh Phương tiện
trực quan tượng trưng là chiếc cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu
tượng hóa và cả trong giai đoạn cụ thể hóa.
Khẳng định của V.I. Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là rất
sâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba yếu
tố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đó đều cần
thiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được. Sự tác động lẫn
nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu chí cuối “Từ trực quan
10

sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con
đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách
quan” [36, tr.9]
1.1.3. Chức năng của phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học
môn Toán
Trong quá trình dạy học, phương tiện trực quan tượng trưng giúp học sinh
mở rộng kinh nghiệm cảm tính, làm nổi rõ cái chung, cái cơ bản qua cái riêng lẻ.
Từ đó giúp các em có khả năng hình thành và nắm vững khái niệm, lĩnh hội định
lý, giải bài tập cũng nhưng khắc phục những sai lầm thiếu sót của mình trong
quá trình học Toán. Khi mức độ trừu tượng của các đối tượng nhận thức trong
môn Toán được nâng cao thì các PTTQ tượng trưng lại trở thành phương tiện
nhận thức có hiệu quả, giúp học sinh tìm thấy được các mối liên hệ giữa các yếu
tố thành phần trong sự vật hiện tượng hoặc giữa các sự vật hiện tượng với nhau.
Trong dạy học toán vai trò và chức năng của PTTQ tượng trưng là rất
quan trọng, ảnh hưởng rất nhiều đến sự nhận thức, tư duy của học sinh trong quá
trình học tập. Phương tiện trực quan tượng trưng tác động một cách tích cực có
định hướng đến học sinh nhằm đạt được mục tiêu của bài dạy. Theo chúng tôi
PTTQ tượng trưng có những chức năng sau đây.
Chức năng 1: Truyền thụ tri thức.
- Tạo ra các hình ảnh, các biểu tượng về đối tượng nghiên cứu, giúp quá trình
nhận thức chuyển từ cái cụ thể đến cái trừu tượng. Tức là PTTQ tượng trưng
giúp học sinh biểu tượng về đối tượng đang được nghiên cứu.
- Phương tiện trực quan tượng trưng còn đóng vai trò diễn đạt khái niệm bằng sự
biểu thị khoa học chính xác dưới dạng ký hiệu.
11
Chức năng 2: Rèn luyện kỹ năng cho học sinh.
- Giúp học sinh vượt qua được một số khó khăn về mặt tư duy để từ đó phát triển
các kỹ năng cần thiết khi học toán.
- Hình thành cho học sinh quen với các phương pháp nghiên cứu Toán học.
Chức năng 3: Phát triển hứng thú học tập cho học sinh.

- Huy động được các giác quan của học sinh tham gia vào quá trình nhận thức,
làm cho việc tiếp thu kiến thức mới trở nên dễ dàng và việc ghi nhớ trở nên bền
vững hơn.
- Tái tạo cho học sinh nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng ngắn gọn
nhằm củng cố và áp dụng kiến thức.
Chức năng 4: Điều khiển quá trình dạy học.
- Phương tiện trực quan tượng trưng là công cụ hướng dẫn phương pháp trình
bày các chủ đề nghiên cứu cho GV.
- Nhanh chóng làm xuất hiện các thông tin học tập trong hoạt động nhận thức khi
kiểm tra và đánh giá kết quả học tập của học sinh.
1.2. Vấn đề trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích ở
trường phổ thông
1.2.1. Trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số
Chúng ta biết rằng trực quan chính là quan sát trực tiếp theo nghĩa thông
thường, tức là khi chúng ta muốn diễn giải vấn đề gì mang tính trừu tượng, khó
hiểu thì ta cần có một mô hình để nghiệm thấy làm cho vấn đề đỡ xa lạ hơn, dễ
hiểu hơn. Trực quan tượng trưng ở đây chính là: hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, ký
hiệu toán học thậm chí là có thể tóm tắt một công thức toán học theo cách riêng
của mình nhằm làm cho học sinh dễ hiểu hơn. Trực quan tượng trưng nhằm cụ
12
thể hóa cái trừu tượng trong một đối tượng. Thật sự mà nói, có nhiều bài toán
khó nhưng nếu chúng ta chịu khó để tâm vào đó nhằm đưa ra những hình vẽ trực
quan, những mối quan hệ thì vấn đề có thể giải quyết được dễ dàng hơn. Trong
trực quan tượng trưng ta chỉ dùng những công cụ thô sơ sẵn có, không cần đòi
hỏi về đầu tư máy móc thiết bị mà ta chỉ dùng phấn với bảng mà thôi để hỗ trợ
cho quá trình suy nghĩ đỡ trừu tượng hơn, gần gũi hơn và dễ hiểu hơn.
Sau đây là những ví dụ mang tính chất như vậy.
Ví dụ 1: Ta xét bài toán: Cho hàm số
1
2

2 1
y x m
m x
= − + +
− −
. Tìm m để
hàm số xác định trên [0;1).
Ta thấy rằng tìm tập xác định là một bài toán quen thuộc, tuy nhiên đây
không phải là bài toán tìm tập xác định một cách thông thường, mà bài toán yêu
cầu tìm điều kiện để hàm số xác định trên tập I. Thực tế dạy học thấy học sinh
thường lúng túng với dạng toán này nếu gặp lần đầu. Để làm được bài toán này
học sinh phải nắm được kiến thức sau: “Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D và
tập
I
⊂
¡
. Khi đó hàm số y=f(x) xác định trên tập I
I D⇔ ⊂
”.
Như vậy để giải được bài tập này đòi hỏi học sinh phải tìm được tập xác
định D của hàm số, từ đó theo yêu cầu bài toán, hàm số phải xác định trên [0;1)
tức là
[0,1) D⊂
. Do đó theo chúng tôi, khi giải những dạng toán như trên giáo
viên nên mô tả tượng trưng
I D⊂
bằng hình ảnh trên trục số, cách làm như vậy
giúp học sinh tiếp cận lời giải bài toán đỡ trừu tượng hơn và dễ dàng hơn.
Lời giải bài toán: Hàm số xác định khi
2 0 2

2 1 0 2 1
x m x m
m x x m
− + ≥ ≥ −
 
⇔
 
− − > < −
 
13
Xét hiệu:
( ) ( )
2m 1 m 2 m 1− − − = +
+) Trường hợp 1:
Nếu
1 0 1m m+ ≤ ⇔ ≤ −
thì
2m 1 m 2
− ≤ −
. (ta xếp 2m-1 đứng sau m-2 trên trục
số)
Ta có hình biểu diễn trên trục số như sau:
Hình 1.1
Vậy
2
2 1
x m
x
x m
≥ −


⇔ ∈∅

< −

.
Nên hàm số
1
2
2 1
y x m
m x
= − + +
− −
không tồn tại.
+) Trường hợp 2:
Nếu
1 0 1m m+ > ⇔ > −
thì
2m 1>m 2
− −
.
Vậy
2
2 2 1
2 1
x m
m x m
x m
≥ −


⇔ − ≤ < −

< −

.
Khi đó tập xác định của hàm số là
[ 2;2 1)D m m= − −
.
Ta có hình biểu diễn sau:
Hình 1.2
14
Hàm số xác định trên [0;1) khi và chỉ khi
[0;1) [ 2;2 1)m m⊂ − −
.
2 0 2
2 0 1 2 1 1 2
2 1 1 1
m m
m m m
m m
− ≤ ≤
 
⇔ − ≤ < ≤ − ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− ≥ ≥
 
(thỏa mãn m>-1).
Ví dụ 2: Tìm điều kiện để hàm số xác định trên một khoảng
Xét bài toán: Cho hàm số

2y x m x m= − + −
. Tìm m sao cho hàm số xác
định với mọi
2x ≥
.
Lời giải:
YCBT
0
2
2 0
x m
x
x m
− ≥

⇔ ∀ ≥

− ≥



; 2
; 2
2
x m x
m
x x
≥ ∀ ≥



⇔

≥ ∀ ≥


2
2
2
4
2
2
m
m
m
m
m
≤

≤


⇔ ⇔ ⇔ ≤
 
≤
≤



.
Vậy ta có

2m ≤
là giá trị cần tìm.
Chúng ta nhận thấy rằng bài toán này có yêu cầu giống như bài toán trên
cũng là một bài toán khó đối với học sinh lần đầu mới gặp. Nhưng cách xử lý để
đi đến lời giải theo một cách khác, cả hai cách đều dùng trục số để lý luận tìm tòi
lời giải.
Mặc dù hầu hết học sinh xác định được yêu cầu bài toán
0
2
2 0
x m
x
x m
− ≥

⇔ ∀ ≥

− ≥

nhưng lại không giải tiếp được. Học sinh sẽ không hiểu
được vì sao "
; 2x m x≥ ∀ ≥
thì
2m ≤
", bên cạnh đó giá trị m chưa biết là dương
15
hay âm nên việc giao hai điều kiện sẽ khó khăn vì phải chia nhiều trường hợp,
cho nên ta không làm việc đó. Ta dựa vào điều kiện
2x ≥
để tìm giá trị tham số

m của đề bài bằng cách vẽ hình minh họa trên trục số như sau:
Hình 1.3
Ta có
x m≥
là phần không bị gạch bỏ, còn điều kiện
2x ≥
ta thấy số 2
phải nằm bên phải của m như hình trên, nếu số 2 nằm bên trái của m, tức là nằm
vào phần bị gạch bỏ thì không thỏa mãn. Nhìn vào hình vẽ ta được
2m ≤
.
Một cách tương tự ta giải thích vì sao
; 2
2
m
x x≥ ∀ ≥
thì
2
2
m
≤
bằng hình vẽ trên
trục số như sau:
Hình 1.4
Ta lại có
2
m
x ≥
là phần không bị gạch bỏ, còn điều kiện
2x ≥

thì ta thấy
số 2 phải nằm bên phải của
2
m
như hình trên, nếu số 2 nằm bên trái của
2
m
thì
lại không thỏa vì rơi vào phần bị gạch bỏ. Nhìn vào hình vẽ ta được
2
2
m
≤
. Đến
đây bài toán giải quyết được dễ dàng vì hệ số của x không chứa tham số và nhờ
vào trực quan hình vẽ trên trục số. Ví dụ trên là một minh chứng của việc sử
dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong việc dạy và học môn Toán, nhiều
16
bài toán khó nhưng thông qua hình vẽ như thế thì lại thấy nó gần gũi hơn, lập
luận của chúng ta sẽ có căn cứ xác đáng hơn. Sau đây ta xem xét bài toán sau:
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số xác định với điều kiện cho trước.
Bài toán: Cho hàm số
( 1) 2y m x m mx m= + − + − +
. Tìm m sao cho hàm số
xác định với mọi
1x ≥
.
Nhận xét: Vừa nhìn qua chúng ta cứ ngỡ rằng có thể tìm tòi lời giải của
bài toán này theo hai cách đã làm ở trên. Nhưng nếu để ý chúng ta nhận thấy hệ
số của x còn chứa tham số, ta không thể rút x trong bất phương trình ra được vì

chưa biết m dương hay âm nên chưa biết dấu bất đẳng thức có đổi chiều hay
không. Như vậy đây là một bài toán khó đối với học sinh. Ta giải bài toán như
sau:
YCBT
( 1)x m 0, 1
2 0, 1
m x
mx m x
+ − ≥ ∀ ≥

⇔

− + ≥ ∀ ≥


1 0
( 1).1 m 0 0
0
0 1 0
.1 2 0
m
m m
m
m m
m m
+ ≥


+ − ≥ ≥



⇔ ⇔ ⇔ ≥
 
≥ + ≥



− + ≥

Vậy
0m ≥
là giá trị cần tìm.
Rõ ràng ta có lời giải trong sáng và ngắn gọn, dựa vào suy luận sau đây
bằng hình ảnh trực quan. Để giải một bất phương trình bậc nhất có kèm theo
điều kiện như
( 1)x m 0, 1m x+ − ≥ ∀ ≥
và
2 0, 1mx m x− + ≥ ∀ ≥
của bài toán trên
17
ta đi xét bài toán tổng quát như sau đây: Bất phương trình
0ax b+ ≥
xảy ra khi
1x ≥
.
Ta xét trường hợp a>0 ta có đồ thị tượng trưng như sau:
Hình 1.5
Ta diễn tả bất phương trình
0ax b+ ≥
khi

1x ≥
như sau: "Phần đường
thẳng ứng với
1x ≥
phải nằm phía trên Ox", nhìn vào hình vẽ ta thấy số 1 phải
nằm bên phải của giao điểm A của đường thẳng và trục hoành, nếu số 1 nằm bên
trái của điểm A thì ta thấy có một phần đường thẳng ứng với
1x ≥
lại nằm dưới
trục hoành do đó không thỏa mãn.
Khi số 1 nằm bên phải của A thì ta có
(1) 0f ≥
. Một cách tương tự khi
xem xét trực quan trên hình vẽ ta thấy trường hợp a<0 sẽ không xảy ra. Như vậy
18
một cách tổng quát ta có:
0
( ) ax b 0; 1
(1) 0
a
y f x x
f
>

= = + ≥ ∀ ≥ ⇔

≥

, còn trường
hợp a=0 chúng ta tiến hành xét riêng, nếu thỏa mãn thì ta nhận.

Qua ví dụ này GV nên có một chú ý đặc biệt khi giải phương trình bậc
nhất kèm theo điều kiện ta nên dựa vào đồ thị hàm số, từ đó GV có chú ý rất
quan trọng sau đây:
Xét hàm số
( ) ( 0)y f x ax b a= = + ≠
:
( ) 0,f x x m≥ ∀ ≥
0
( ) 0
a
f m
>

⇔

≥

(tức là phần đường thẳng ứng với
x m≥
phải
nằm trên Ox).
( ) 0,f x x m≥ ∀ ≤
0
( ) 0
a
f m
<

⇔


≥

(tức là phần đường thẳng ứng với
x m
≤
phải
nằm trên Ox).
( ) 0,f x x m≤ ∀ ≥
0
( ) 0
a
f m
<

⇔

≤

(tức là phần đường thẳng ứng với
x m≥
phải
nằm dưới Ox).
( ) 0,f x x m≤ ∀ ≤
0
( ) 0
a
f m
>

⇔


≤

(tức là phần đường thẳng ứng với
x m
≤
phải
nằm dưới Ox).
Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số tùy theo tham số m.
19
Xét bài toán: Cho hàm số
4
6
x m x
y
x
− + −
=
−
. Tùy theo m hãy tìm tập xác định
của hàm số.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
4 0
4 6
0 [4;6) ( ; ]
6 0
x
x
m x x m

x m
x
− ≥

≤ <


− ≥ ⇔ ⇔ ∈ ∩ −∞
 
≤


− >

• Trường hợp 1: Với m<4 thì
[4;6) ( ; ]x m x∈ ∩ −∞ ⇔ ∈∅
. Nên hàm số đã
cho không tồn tại.
Hình 1.6
Trường hợp 2: Với
4 6m≤ <
Ta có:
[4;6) ( ; ] [4; ]x m x m∈ ∩ −∞ ⇔ ∈
. Nên hàm số đã cho có tập xác định là
[4;m]D =
.
Hình 1.7
• Trường hợp 3: Với
6m ≥
.

Ta có:
[4;6) ( ; ] [4;6)x m x∈ ∩ −∞ ⇔ ∈
. Nên hàm số đã cho có tập xác định là
[4;6)D =
.
20
Hình 1.8
Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán khá hay, với nửa khoảng [4;6) là
một nửa khoảng cụ thể nên ta vẽ tập [4, 6) trước, còn giá trị m ta chưa biết là
nằm ở đâu trên trục số? Chúng ta không biết, do đó một cách tự nhiên ta phải
chia ra các trường hợp, nên tham số m chỉ có 3 vị trí như các hình vẽ trên, để cho
thuận lợi ta xếp m từ bên trái sang. Do đó, đối với những dạng toán như trên
chúng tôi nhận thấy rằng GV cần phải có hình vẽ minh họa để học sinh hiểu
được lời giải.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau:
2
6 1x x x+ − < −
Ta có:
2
2
2 2
6 0
6 1 1 0
6 ( 1)
x x
x x x x
x x x

+ − ≥


+ − < − ⇔ − >


+ − < −

2
6 0 2 3
1 1
7 7
3 3
x x x x
x x
x x
 
 
+ − ≥ ≥ ∨ ≤ −
 
⇔ > ⇔ >
 
 
 
< <
 
Biểu diễn nghiệm của hệ trên trục số: