Vận dụng cặp phạm trù nội dung hình thức trong dạy học toán ở trường phổ thông (thể hiện qua dạy học giải bài tập toán) luận văn tốt nghiệp đại học

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn
nhận đợc sự giúp đỡ của các thầy cô giáo, gia đình ngời thân, bạn bè.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới Thầy
giáo Ths Nguyễn Chiến Thắng - ngời đà trực tiếp tận tình hớng dẫn tôi
hoàn thành khoá luận.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô giáo
khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo Tổ
toán trờng THPT Nam Đàn 1 đà tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ cho tôi
trong quá trình hoàn thành khoá luận.
Gia đình, ngời thân, bạn bè luôn là nguồn cổ vũ động viên để tôi thêm
nghị lực hoàn thành khoá luận này.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Mặc dù rất cố gắng nhng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót,
tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn
đọc để khóa luận đợc hoàn chỉnh hơn.
Vinh, tháng 05 năm 2011.
Tỏc gi

MC LC
Trang
M ĐẦU
4
Chương I: Cơ sở lí luận.
9
1.1. Lí luận về cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức”
9
1.1.1. Khái niệm nội dung và hình thức
9
1.1.2. Mối liên hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức thể
10

2
hiện trong tốn học
1.2. Lí luận về “Bài tốn”
1.2.1. Một số quan niệm về “Bài toán”
1.2.2. Chức năng của bài toán
1.2.3. Phân loại bài toán
1.3. Dạy học giải bài tập Toán
1.4. Kết luận chương 1
Chương 2. Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình
thức trong dạy học giải bài tập Tốn ở trường Phổ thơng.
2.1 Hướng 1: Chuyển đổi nội dung của bài toán.
2.1.1. Chuyển đổi nội dung để đơn giản hoá bài toán.
2.1.2. Chuyển đổi bài tốn làm rõ nội dung bị hình thức che
lấp
2.1.3. Chuyển đổi nội dung để khắc sâu và khắc phục sai lầm
cho học sinh.
2.2. Hướng 2: Chuyển đổi hình thức của bài tốn.
2.2.1. Chuyển đổi hình thức bài tốn thơng qua chuyển đổi
ngôn ngữ giữa các bộ phận, môn học, mơ hình.
2.2.2. Chuyển đổi hình thức bài tốn thơng qua chuyển đổi
ngôn ngữ trong nội bộ môn học, từng bộ phận.
2.3 Sáng tạo bài toán dựa trên mối liên hệ biện chứng giữa nội
dung và hình thức.
2.3.1. Sáng tạo bài toán mới nhờ biến đổi nội dung bài toán.
2.3.2. Sáng tạo bài tốn mới nhờ biến đổi hình thức.
2.3.3. Luyện tập cho học sinh sáng tạo bài toán bằng cách khai
thác nội dung và hình thức
2.4. Kết luận chương 2

Chương 3. Thử nghiệm sư phạm.
Kết luận
Tài liệu tham khảo.

15
15
16
21
26
32
33
33
33
39
42
43
45
50
65
67
71
77
82
83
94
95


3

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Từ xưa đến nay toán học phát sinh và phát triển do những nhu cầu thực tế
của đời sống con người (và do cả nhu cầu của bản thân nó). Các lí thuyết của toán
học đã có dù gần hay xa đều có thể tìm thấy những ứng dụng trong khoa học kĩ
thuật. Tốn học là những chặng đường trên con đường dài của nhận thức từ trực
quan sinh động đến tư duy trừu tượng rời từ đó đến thực tiễn. Mơn Tốn là môn
cung cấp nhiều kiến thức, kĩ năng phương pháp góp phần xây dựng văn hóa phổ
thông của người lao động mới. Những kiến thức tốn phổ thơng sẽ giúp học sinh
có cơ sở để học các môn khoa học tự nhiên khác và từ đó nắm được quy luật khách
quan đồng thời rèn luyện cho học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy
luận, phương pháp giải quyết vấn đề, từ đó phát triển trí thông minh sáng tạo.
Theo quan điểm giáo dục hiện đại, việc học tập của học sinh diễn ra trong
hoạt động và bằng hoạt động. Hình thức hoạt động toán học chủ yếu của học sinh
là hoạt động giải bài tập toán. Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong mơn
tốn. Thơng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định
bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp,
những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán
học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ. Dạy học giải bài
tập tốn là một trong những tình huống điển hình trong dạy học bộ mơn Tốn.
Phương pháp duy vật biện chứng là cơ sở, nền tảng của quá trình tư duy, quá
trình nhận thức thế giới. Dạy học cũng là một quá trình nhận thức. Do đó, việc rèn
luyện kĩ năng tốn học cho học sinh cũng tuân theo những quy luật của phép biện
chứng duy vật. Hình thành một số kiến thức về phép biện chứng duy vật trong quá
trình dạy học toán vừa là nhiệm vụ, vừa là điều kiện giúp học sinh nhận thức tốt


4
hơn kiến thức toán học. Phép biện chứng duy vật có vai trò quan trọng trong hoạt
động nhận thức. Sự phát triển của toán học nói riêng và của các khoa học nói

chung đều có nguồn gốc từ thực tiễn. Quy luật phát triển của mỗi khoa học đều
phản ánh những tư tưởng triết học duy vật biện chứng. Nhiều kiến thức triết học
tiềm ẩn trong kiến thức mơn tốn. Bằng cách vận dụng các cặp phạm trù triết học
vào việc khai thác kiến thức toán học, đặc biệt là khai thác các bài tốn vừa góp
phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng vừa tạo điều kiện cho học sinh
phát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo.
Đối với học sinh trung học phổ thông, năng lực giải Toán thường thể hiện ở
khả năng lựa chọn phương thức biến đổi bài toán thích hợp để giải quyết vấn đề.
Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không
chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là
hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân mơn tốn học khác nhau trong
chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho
bài toán đặt ra. Rèn luyện khả năng khai thác bài toán đóng vai trò quan trọng
trong q trình giải tốn. Đặc biệt chú trọng khai thác cặp phạm trù Nội dung Hình thức để học sinh thấy rõ mối quan hệ logic của bài toán, từ đó sáng tạo được
nhiều bài toán mới phong phú, kích thích niềm đam mê toán học cho chính bản
thân các em. Làm tốt điều đó, học sinh hiểu rõ được vai trò và ý nghĩa của mỗi
phân môn một cách sâu sắc và cụ thể hơn. Chẳng hạn, trong mơn Hình học ở
trường THPT nhiều tính chất của hình học, hình dáng, vị trí cũng như quan hệ
giữa các yếu tố trong mỡi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại số, biểu thức
lượng giác, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình; hay trong chính nội bộ
bộ phận có sự chuyển hóa diễn đạt khác nhau như hình học tổng hợp, hình học
vectơ, hình học tọa độ.
Hiện nay, có nhiều luận văn cao học, bài báo nghiên cứu về các cặp phạm
trù của Triết học duy vật biện chứng vào dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng.
Tuy nhiên chưa có một cơng trình nào nghiên cứu một cách hệ thống về cặp phạm
trù Nội dung – Hình thức và vận dụng nó trong rèn luyện cho học sinh phổ thông


5
cách khai thác và sáng tạo bài toán mới. Hơn nữa, giáo viên chưa thực sự quan tâm

lồng ghép, tích hợp vốn kiến thức triết học duy vật biện chứng trong dạy học mơn
Tốn.
Với các lí do trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng cặp
phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy học Toán ở trường phổ thông (thể
hiện qua dạy học giải bài tập toán)”.
2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kiến thức tốn học ở phổ thơng, các
hướng khai thác và sáng tạo bài toán dựa vào cặp phạm trù Nội dung – Hình thức.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Làm sáng tỏ một số cơ sở lý luận về:
+) Cặp phạm trù Nội dung – Hình thức,
+) Dạy học giải bài tập toán,
+) Khái niệm bài toán, chức năng của bài toán.
Đề xuất được một số hướng khai thác và sáng tạo bài toán.
4.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
+) Hệ thống hoá một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu.
+) Đề xuất một số hướng khai thác và sáng tạo bài tốn thơng qua vận dụng cặp phạm
trù Nội dung – Hình thức trong dạy học giải bài tập toán.
+) Tiến hành thử nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính
hiệu quả của đề tài.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
+) Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học mơn
Tốn.
- Các sách báo về phương pháp giải toán phục vụ cho đề tài.
- Các cơng trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
+) Quan sát:


6

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập sách giáo khoa và các bài tập trong các tài liệu tham
khảo.
+) Thử nghiệm sư phạm:
Tiến hành thử nghiệm sư phạm với lớp học thử nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một lớp đối tượng.
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:
Nếu quan tâm đúng mức đến việc vận dụng cặp phạm trù Nội dung – Hình
thức vào việc khai thác và sáng tạo bài toán cho học sinh trong quá trình dạy học
giải bài tập tốn ở trường Phổ thơng thì sẽ nâng cao được hiệu quả giảng dạy mơn
Tốn, góp phần thực hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học
Toán trong giai đoạn hiện nay.
7. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI:
+) Về mặt lí luận:
Đưa ra được một số cơ sở lý luận về Nội dung – Hình thức, bài tốn, dạy
học giải bài tốn để làm sáng tỏ đề tài khóa luận.
+) Về mặt thực tiễn:
- Đề xuất một số hướng khai thác và sáng tạo bài toán trong dạy học giải bài tập
toán ở trường phổ thông cho học sinh.
- Một số kết luận rút ra từ thực tiễn việc tổ chức dạy học có vận dụng đề tài.
+) Khóa luận có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên ngành Tốn, giáo
viên dạy Tốn phổ thơng.
8. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận có 3
chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận.
1.1. Lí luận về cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức”.
1.2. Lí luận về “Bài toán”.
1.3. Dạy học giải bài tập Toán.

7
1.4. Kết luận chương 1.

Chương 2. Một số hướng khai thác cặp phạm trù Nội dung – Hình thức trong dạy
học giải bài tập Tốn ở trường Phổ thơng.
2.1. Hướng 1: Chuyển đổi nội dung của bài toán.
2.2. Hướng 2: Chuyển đổi hình thức của bài tốn.
2.3. Sáng tạo bài toán dựa trên mối liên hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức.
2.4. Kết luận chương 2.
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm.


8

Chương I: Cơ sở lí luận.
1.1. Lí luận về cặp phạm trù “Nội dung – Hình thức”:
Mọi sự vật và hiện tượng trong tự nhiên và xã hội đều có nội dung và hình thức.
1.1.1. Khái niệm nội dung và hình thức:


Nội dung là tổng hợp tất cả những mặt, những yếu tố, những q trình hợp

thành cơ sở tờn tại và phát triển của sự vật.


Hình thức là phương thức tồn tại và phát triển của sự vật, là hệ thống các

mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật đó, là cách tổ chức kết
cấu của nội dung.

Chẳng hạn:
Trong toán học hiện đại, phương pháp tiên đề đã trở thành một văn phong
trình bày các lý thuyết tốn học. Mỡi hệ tiên đề có nhiều mơ hình. Mỡi mơ hình là
một hình thức chứa đựng nội dung hàm ẩn trong hệ tiên đề.
Gần gủi nhất với chúng ta là hai mơ hình của hình học Ơclit rất phổ biến
trong nhà trường là hình học tổng hợp và hình học giải tích.
Hình học Lơbasepki cũng có nhiều mơ hình khác nhau, trong đó hai mơ hình
quen thuộc nhất là mơ hình Poăngcarê và mơ hình Kêli - Clanh.
Trong nội dung của tốn học sơ cấp ở trường phổ thông, chúng ta dễ thấy
cặp phạm trù này biểu hiện rất rõ ràng qua các bộ phận: số học, đại số, giải tích và
hình học. Đơn giản như nội dung của đại cương về phương trình bao gờm phương
trình một ẩn, tập xác định, nghiệm, điều kiện của phương trình, phương trình tương
đương, phép biến đổi tương đương, phương trình hệ quả, nghiệm ngoại lai, phương
trình nhiều ẩn, phương trình chứa tham số, còn hình thức của nó là cách tổ chức,
sắp xếp của các mục và các khái niệm, cách trình bày kiến thức của từng mục,
những khái niệm nào được được định nghĩa và dùng để định nghĩa khái niệm khác,
ví dụ nào về phương trình được đưa ra, ...


9

1.1.2. Mối liên hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức thể hiện trong tốn
học:
a) Tính thống nhất giữa nội dung và hình thức:
Từ khái niệm trên ta thấy được nội dung và hình thức có mối quan hệ qua
lại, quy định lẫn nhau, luôn gắn bó chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất;
khơng có hình thức nào tồn tại thuần tuý không chứa đựng nội dung và ngược lại,
cũng không có nội dung nào lại tồn tại trong một hình thức xác định, khơng có nội
dung nói chung, chỉ có nội dung cụ thể. Không có hình thức thuần tuý mà chỉ có
hình thức cụ thể của một nội dung nhất định. Chẳng hạn: Trong hình học, các hình

như đường thẳng, tam giác, đường tròn là những hình thức bên ngồi của những
quan hệ bên trong – nội dung, như hình vẽ đường tròn chứa đựng nội dung “sự
cách đều một điểm cố định”.
Nội dung và hình thức khơng tờn tại tách rời, nhưng khơng phải vì thế mà
lúc nào nội dung và hình thức cũng phù hợp với nhau, không phải một nội dung
bao giờ cũng chỉ thể hiện trong một hình thức nhất định mà một nội dung trong
quá trình phát triển có nhiều hình thức thể hiện; ngược lại, một hệ thống hình thức
có thể thể hiện nhiều nội dung khác nhau. Chẳng hạn, số tự nhiên là một khái niệm
trừu tượng được trừu xuất từ việc tìm ra một cách thuận tiện để so sánh các tập hợp
mà không cần trực tiếp thiết lập mối liên hệ 1 – 1 giữa các phần tử của tập hợp đó.
Nội dung của chúng chính là lực lượng của các tập hợp hữu hạn. Nội dung đó xuất
hiện dưới rất hiều hình thức, mà hình thức văn minh nhất là các số. Nhưng chính
các số cũng có nhiều hình thức biểu hiện, chẳng hạn như các số La Mã và các số Ả
Rập. Các số Ả Rập phổ biến nhất. Chúng lại có thể xuất hiện trong những hệ đếm
cơ số khác nhau, mỗi hệ đếm cũng được xem là một hình thức, trong đó phổ biến
nhất là hệ thập phân. Nói cách khác, các số cụ thể 1, 2, 3 , 4, ... chính là những
hình thức chứa đựng nội dung lực lượng các tập hợp. Đến lượt các chữ cái a, b, c,
x, y, ... lại là những hình thức để biểu diễn một cái gì đó khơng còn tương ứng với


10
lực lượng những tập hợp cụ thể nữa. Ví dụ như cho phương trình ax 2 + bx + c = 0
thì a, b, c có thể là bất cứ số thực nào còn x là một số chưa biết, phải tìm. Như vậy,
nội dung và hình thức cũng chỉ là những phạm trù có tính chất tương đối: Có cái ở
trong mối liên hệ này là hình thức thì ở trong mối liên hệ khác nó lại là nội dung.
b) Nội dung giữ vai trò quyết định hình thức còn hình thức phụ thuộc nội dung:
Sự biến đổi của sự vật bao giờ cũng bắt đầu từ sự biến đổi và phát triển của
nội dung, hình thức khơng tự mình biến đổi mà biến đổi dưới ảnh hưởng trực tiếp
của nội dung. Chẳng hạn, cùng một nội dung định lí Pitago: “Bình phương cạnh
huyền của một tam giác vng bằng tổng bình phương hai cạnh cịn lại” ta có thể

có nhiều hình thức, chẳng hạn đẳng thức số và đẳng
thức diện tích sau đây:
(1) a2 = b2 + c2, trong đó a = BC là cạnh huyền còn
b = AC và c = AB là hai cạnh góc vuông;

S1

B

S3

(2) S1 = S2 + S3, trong đó S1, S2, S3 lần lượt

c

a
b

là diện tích của các hình vng dựng trên

C

A

cạnh huyền BC và các cạnh góc vng AC,

S2

AB. (Xem hình 1)
Từ đây ta có thể biến đổi các hình thức đó để

(Hình 1)

đưa ra các bài tốn tổng qt, nhưng sự biến đổi của
các hình thức phải được thực hiện dưới tác động của nội dung là định lí Pitago, vì
vậy ta có bài tốn tổng qt sau đây:
S1 = S2 + S3, trong đó S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các hình đa giác đều n-cạnh
dựng trên cạnh huyền BC và các cạnh góc vuông AC, AB.
Thật vậy, trước hết ta tính diện tích của một đa giác đều ncạnh A1A2…An với độ dài của mỗi cạnh bằng x như sau (xem
O

hình 2):
Gọi O là tâm của đa giác đều, H là hình chiếu của O lên

x
180
 OA = 360 nên HOA

cạnh A1An. Ta có: A
, suy ra
1
n
n =


n



n

A1 H An
(Hình 2)


11
x
1
180
180
OH = HAn.cot
= .cot
, do đó diện tích của tam giác OA1An bằng
2
2
n
n

.OH.A1An =
là: S =

1 x
1
180
180 2
. .cot
.x = . cot
.x . Từ đó ta có diện tích của đa giác đều
2 2
4

n
n

n
n
180 2
180
. cot
.x . Vận dụng vào bài toán tổng quát trên ta có: S 1 = . cot
4
4
n
n

n
n
n
n
180 2
180 2
180
.a , S2 = . cot
.b , S3 = . cot
.c ; nên S2 + S3 = . cot
.(b2 + c2) = .
4
4
4
4
n

n
n
2

cot

180 2
. a = S1. Đây là điều phải chứng minh.
n

c) Hình thức có tính độc lập tương đối và tác động trở lại nội dung:
Hình thức khơng phải thụ động đối với nội dung mà hình thức có tác dụng
tích cực trở lại đối với nội dung. Sự tác động của hình thức đến nội dung thể hiện ở
chỗ, nếu phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều kiện thuận lợi là động lực
thúc đẩy nội dung phát triển, nếu không phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ cản
trở, kìm hãm sự phát triển của nội dung, hình thức có thể che lấp nội dung, khi đó
có mâu thuẫn giữa hình thức và nội dung: mâu thuẫn này kích thích việc nghiên
cứu để làm rõ sự thống nhất. Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội
dung những khó khăn và thuận lợi riêng. Chẳng hạn, mâu thuẫn giữa nội dung và
hình thức của đường trung bình và đường trung tuyến kích thích việc nghiên cứu
về các đường trung bình của một tứ giác và những nghiên cứu này làm rõ sự thống
nhất. Hay để nghiên cứu hình học Ơclit có thể dùng phương pháp giải tích, phương
pháp tổng hợp hoặc phương pháp vectơ. Phương pháp tổng hợp có cái hay là huy
động được nhiều trí tưởng tượng không gian và chính trí tưởng tượng đó nhiều khi
giúp ta tìm được các mắt xích logic nối giải thiết với kết luận, đưa đến những lời
giải hay, gọn, đẹp. Nhưng phương pháp tổng hợp có cái dở là mỗi bài tốn hình
học lại đòi hỏi một sự sáng tạo ra phương pháp giải riêng nhờ vào trực giác mà tìm
ra qua việc phân tích giả thiết và kết luận để tìm cách xây dựng cái cầu logic nối
chúng lại. Phương pháp tổng hợp lại ít khả năng đi vào cái vô cùng bé và cái vô
cùng lớn nên dễ bị trực giác đánh lừa, do đó dễ mắc sai lầm, dễ bỏ sót nghiệm. Cụ

12
thể như với phương pháp tổng hợp thì chỉ nghiên cứu được sự tiếp xúc bình
thường, khó mà nghiên cứu được sự mật tiếp giữa các đường, các mặt vì đối với
trực giác thì tiếp xúc bình thường hay mật tiếp cũng như nhau. Phương pháp tổng
hợp còn gây khó khăn ở chỗ phải phân biệt nhiều trường hợp ứng với hình vẽ khác
nhau, chẳng hạn đối với các đường bậc hai không suy biến phải chia ra trường hợp
(elip, hypebol, parabol). Phương pháp tổng hợp cũng không cho phép đưa được
các phần tử ảo vào nên phải phân biệt ra những trường hợp có cắt nhau hay không
cắt nhau, hoặc chỉ tiếp xúc với nhau (vấn đề trục đẳng phương của hai đường tròn).
Phương pháp giải tích cho ta cách giải tổng quát cho nhiều trường hợp; có người
nói rằng: “Khi dùng phương pháp giải tích mà đã đi đến được phương trình hay bất
phương trình rời thì giống như người đi đường lên được tàu hoả rồi. Lên được đó
rồi có thể ngủ mà vẫn đi tới đích nhờ các đường ray”. Với phương pháp giải tích,
ta có thể gói nhiều trường hợp khác nhau vào chung một phương trình, đưa các
phần tử ảo vào. Ví dụ, phương trình ax 2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 gói được
tất cả các đường cong bậc hai suy biến và không suy biến, có điểm thực hay không
có điểm thực. Phương pháp giải tích cho phép sử dụng cái vô cùng bé và vô cùng
lớn như sự mật tiếp, những hiện tượng xảy ra ở xa vô tận. Phương pháp giải tích
cho phép chuyển đổi số chiều không gian từ bé lên lớn một cách tương đối dễ
dàng. Ví dụ từ hình học phẳng lên hình học khơng gian chỉ cần thêm một toạ độ
thứ ba là cao độ (bên cạnh hoành độ và tung độ). Nó còn mở đường cho khái niệm
không gian nhiều chiều, thậm chí vô số chiều, trong lúc với phương pháp tổng hợp
chỉ chuyển từ hình học phẳng lên hình học khơng gian đã thấy rất khó. Chẳng hạn,
xét bài tốn: “Cho hình chóp tam giác đều S. ABC, cắt chóp bởi một mặt phẳng
cách đều tất cả các đỉnh của chóp. Tính diện tích thiết diện tạo thành nếu cạnh bên
của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 và độ dài trung đoạn của hình
chóp bằng a”. Bình thường để làm bài tốn này, bằng phương pháp tổng hợp chúng
ta thường vẽ một hình ứng với một trường hợp cụ thể làm điểm tựa trực quan dẫn

tới dễ bỏ sót trường hợp. Nhưng sử dụng phương pháp giải tích bẳng cách gán toạ
độ vào sẽ giải quyết được bài toán đầy đủ và trọn vẹn.


13
d) Tính chất phức tạp của mối quan hệ giữa nội dung và hình thức:
Điều này được thể hiện ở những khía cạnh sau:
Thứ nhất, một nội dung có thể phát triển trong nhiều hình thức khác nhau,
chẳng hạn: Cùng một nội dung là Hình học Euclide ở trường phổ thông (được xây
dựng theo phương pháp tiên đề) có hai hình thức tương ứng là hình học tổng hợp
(với các hình và những suy diễn trên các hình đó để tìm ra các tính chất của Hình
học Euclide) và hình học giải tích (với các tọa độ, các phương trình, các bất
phương trình, các đẳng thức và bất đẳng thức nhờ đó mà rút ra các tính chất của
Hình học Euclide). Tính nhiều vẻ của các hình thức khác nhau đó làm cho nội
dung thêm phong phú và có nhiều nét độc đáo. Hay ta xét một ví dụ cụ thể hơn như
để mô tả quan hệ giữa nội dung “Điểm O là trung điểm của đoạn AB” ta có những

O là trung điểm
của đoạn AB

hình thức sau:

1. A; B; O thẳng hàng và OA = OB
2. Đo: A→B ( B là ảnh của A qua
phép đối xứng tâm O)
3.
4. (phép vị tự tâm O tỉ số 1 biến A
thành B.
+B
5. O là tâm hình bình hành AMBN

6. MO là đường trung bình của tam
giác ACB; M là trung điểm AC

Thứ hai, cùng một hình thức có thể thể hiện những nội dung khác
nhau,

chẳng hạn: Ngược lại của ví dụ nêu trên, từ đẳng thức hình thức: OA
  OB
 có thể
liên tưởng đến các nội dung: O là trung điểm đoạn AB; hai vectơ OA và OB đối
nhau; A là ảnh của B qua phép vị tự Vo 1 .


14

1.2. Lí luận về “Bài tốn”:
1.2.1. Một số quan niệm về “Bài toán”:
Trong [15], GS. Nguyễn Bá Kim đã xây dựng khái niệm Bài tốn thơng qua
các khái niệm trước đó theo sơ đờ như sau:
Tình huống
Bài tốn
bài tốn
Theo đó thì “Trong một tình huống bài tốn, nếu trước chủ thể đặt ra mục đích tìm
Hệ thống

Tình huống

phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách
thể thì ta có một bài toán”.
Khái niệm “Bài toán” cũng được nhiều nhà khoa học khác trên thế giới và ở

Việt Nam quan tâm. Trong [13], tác giả Bùi Thị Hường đã thu thập được khá nhiều
quan niệm khác nhau về bài tốn. Chúng tơi xin điểm lại như sau:
a) Quan niệm về bài toán của một số nhà khoa học:
+) Theo Astobar: “Bài toán được chia làm hai loại: Bài toán chứng minh và bài
tốn tìm tịi.
- Bài tốn chứng minh mệnh đề A từ giả thiết B là sự đòi hỏi một dãy hữu hạn
các mệnh đề A1, A2, A3, ..., An thoả mãn điều kiện:


Mệnh đề cuối cùng An của dãy chính là mệnh đề A;



Mỗi mệnh đề Ai của dãy hoặc là tiên đề, hoặc là định lý, hoặc

là được rút ra từ những mệnh đề đúng trước nó nhờ một quy tắc suy luận
logic.
- Bài tốn tìm tịi là địi hỏi tìm miền đúng của hàm mệnh đề.”
+) Theo G. Polia:
“Bài tốn đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện
thích hợp để đạt được mục đích trơng thấy rõ ràng nhưng khơng đạt ngay được.”
+) Theo Fanghanel:
“Bài tốn là sự địi hỏi hành động trong đó quy định:
 Đối tượng của hành động


15
 Mục đích của hành động
 Các điều kiện của hành động.”
+) Theo Rubinstem:

“Về bản chất, bài toán là sự phát triển bằng lời của một vấn đề.”
+) Theo thầy Trần Văn Vuông và thầy Vũ Đức Mại (Đại học sư phạm Hà Nội II):
“Bài tốn là sự địi hỏi đạt được một mục đích nào đó. Mục đích nêu trong
bài tốn có thể là tập hợp bất kỳ (các số, các hình, các biểu thức, ...) sự đúng đắn
hoặc sai lầm của một hoặc nhiều kết luận. Bài toán được phát biểu nhờ thuật ngữ
của lĩnh vực chuyên môn nhất định gọi là bài toán của lĩnh vực chuyên mơn đó.”
Với cách hiểu này bài tốn sẽ đờng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, nhiệm vụ ...
b)

Theo một số sinh viên qua điều tra:
Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào của khoa học hay cuộc sống

cần được giải quyết. Với quan niệm này, vấn đề an tồn giao thơng, vấn đề ơ
nhiễm mơi trường, vấn đề dân số, ... cũng được coi là bài toán.
Theo nghĩa hẹp hơn, bài toán là vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống
cần được giải quyết bằng kiến thức và phương pháp Toán học.
Có quan niệm đơn giản: các bài tập trong sách giáo khoa toán, vật lí, hoá
học, ... đều là bài toán.
Như vậy, bằng cách tiếp cận khác nhau cho chúng ta những quan điểm khác
nhau về khái niệm bài tốn.
Trong khn khổ khố luận này, chúng tơi chọn quan niệm về Bài toán theo
GS Nguyễn Bá Kim (trong [15]), nhưng chỉ bó hẹp trong nội bộ mơn Tốn ở
trường Phổ thơng.
1.2.2. Chức năng của bài toán:
Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thống
của sách giáo khoa thường có hai phần riêng biệt. Phần lí thuyết và tiếp sau đó là
phần bài tập. Ngay trong phần lí thuyết, kiến thức lí thuyết (định nghĩa, định lí,
cơng thức, ...) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh hoạ hay
bài tập áp dụng. Dạy học các kiến thức lí thuyết luôn đóng vai trò trung tâm.

16
Cấu trúc này tương thích với mơ hình dạy học truyền thống, theo đó giáo
viên thường truyền thụ kiến thức trực tiếp cho học sinh, cho một vài ví dụ minh
hoạ và yêu cầu học sinh làm các bài tập áp dụng theo đúng mẫu mà giáo viên đã
trình bày. Nói cách khác là kiểu dạy cầm tay chỉ việc rất máy móc, rập khuôn.
Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm khuyết
đồng nhất bài toán (problem) với bài tập (exercise), và từ đó bó hẹp chức năng
của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ
năng, kĩ xảo hay kiểm tra kiến thức của học sinh.
Tuy nhiên, những nghiên cứu khoa học về lịch sử toán học đó chỉ rõ ràng
hầu hết các khái niệm và các lí thuyết toán học thường nảy sinh từ nhu cầu giải
quyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ toán học hay trong các
khoa học khác. Nói cách khác, tri thức tốn học khơng phải có sẵn mà được xây
dựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán. Như vậy, quan hệ thứ tự giữa kiến
thức lí thuyết và bài tập không còn là: Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng mà
chủ yếu là: Bài toán  Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng  Bài toán mới.
Từ đó, quan điểm sư phạm hiện đại về dạy học toán đang được áp dụng trên
nhiều nước là: Tập trung dạy học toán trên hoạt động của học sinh (phù hợp với
quan điểm dạy toán là dạy hoạt động toán học). Chính học sinh tự mình xây dựng
các kiến thức tốn học thơng qua hoạt động giải các bài tốn. Nói cách khác, giải
các bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học. Chức năng của bài
tốn khơng còn bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Sau đây chúng tôi
phân tích kĩ hơn về một số chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán
(Theo [23]):
1.2.2.1. Chức năng gợi động cơ:
Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động
và của đối tượng hoạt động.
a) Gợi độmg cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới.

17
Trong trường hợp này, bài toán sẽ tạo ra nhu cầu và hứng thú giải quyết vấn
đề đặt ra, từ đó tạo nên động cơ đi vào nghiên cứu một đối tượng mới.
Ví dụ: Bài toán sau đây là động cơ cho việc đi vào nghiên cứu phép tính giới
hạn trong chương trình giải tích lớp 11 hiện hành. Trong thần thoại Hi Lạp thần
Achilles (là con của nữ thần biển Thetis với vua Hi Lạp Peleus) biểu thị cho lòng
dũng cảm và sự nhanh nhẹn. Nhưng Zenon (thế kỉ III trước công nguyên) đã đưa ra
nghịch lí là Thần Achilles không đuổi kịp con rùa. Nhà triết học cổ Hy Lạp này đó
đưa ra lí luận như sau: Giả sử ban đầu Achilles ở vị trí A và con rùa ở vị trí R.
Achilles và con rùa xuất phát cùng một lúc. Khi Achilles chạy đến R thì trong
khoảng thời gian đó con rùa chạy đến vị trí R 1. Khi Achilles chạy đến R1 thì con
rùa chạy đến R2 , ... Cứ như thế, mãi mãi con rùa luôn ở trước Achilles một đoạn
x > 0, tức là Achilles không đuổi kịp rùa.
Giả sử khoảng cách giữa Achilles và rùa lúc đầu là 100 km và vận tốc
Achilles và rùa lần lượt là 100 km/h và 1 km/h. Để đi hết 1 km thì Achilles mất
1
1
giờ. Trong khoảng thời gian này con rùa đi được
km. Khoảng cách bây
100
100

giờ là

1
1
1
km. Để đi hết
km thì Achilles mất

giờ. trong khoảng thời
100
100
10000

gian này con rùa đi được

1
1
km. Khoảng cách bây giờ là
km, ... Như
10000
10000

vậy, tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là:
1

1
1
100

 ...( 
)
100 10000
99

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội là

1
. Bài tốn này sẽ

100

không giải quyết được nếu không có phép tính giới hạn.
b) Gợi động cơ nảy sinh khái niệm mới.
Trong toán học, bài tốn, ý tưởng và cơng cụ hình thành nên ba thành phần
chủ yếu của hoạt động toán học. Trong đó, bài toán cần qiải quyết là động cơ của


18
nghiên cứu, công cụ là phương tiện giải quyết vấn đề, còn ý tưởng là yếu tố trung
gian nối khớp bài tốn và cơng cụ. Trong mối quan hệ này bài toán đóng vai trò cơ
bản.
Ví dụ: Dạy học khái niệm đạo hàm của hàm số:
Đối với một khái niệm khó như khái niệm đạo hàm thì nên hình thành nó
bằng con đường quy nạp (kiến tạo), sẽ là một sai lầm lớn nếu chúng ta trình bày
ngay một cách tường minh về khái niệm đạo hàm cho học sinh rồi nhanh chóng
cho các em luyện tập. Định nghĩa đạo hàm không hề dễ nhớ, thậm chí đối với giáo
viên đôi khi đọc cho trôi chảy cũng là điều khó. Nếu giáo viên đưa ra một định
nghĩa áp đặt thì không giải quyết được vấn đề gợi động cơ học tập một chủ đề, học
sinh sẽ không hiểu được khái niệm đạo hàm xuất phát từ đâu và học nó để làm gì.
Cho nên về mặt tâm lý, họ sẽ không sẵn sàng học khái niệm đó. Trước hết, giáo
viên cần phải đưa ra những bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm để thấy được
nguồn gốc thực tiễn của khái niệm này. Thông thường, phương án được lựa chọn ở
đây là bài tốn tìm vận tốc tức thời của chuyển động thẳng, bài tốn tìm cường độ
dòng điện tức thời hay bài tốn tìm tốc độ tức thời của một phản ứng hoá học, ...
Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao đưa ra bài toán tìm vận tốc tức thời
của một chuyển động thẳng đặc biệt là rơi tự do (đã được học ở chương trình vật lí
10) còn sách giáo khoa ban cơ bản đưa ra hai bài toán: vận tốc tức thời của chuyển
động thẳng và cường độ tức thời của dòng điện. Dù bằng cách nào hay đưa ra mấy
bài tốn thì giáo viên cần phải nhấn mạnh rằng, để giải quyết được những bài toán

f ( x)  f ( x0 )
. Từ đó phát biểu định nghĩa đạo
x  x0
0

lim
trên thì cần phải tìm giới hạn : x 
x

hàm của hàm số tại một điểm.
Cách hình thành khái niệm đạo hàm theo quy trình trên cho phép làm rõ ý
nghĩa của khái niệm đạo hàm: Sự ra đời của khái niệm này không phải là ngẫu
nhiên mà xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề nãy sinh không chỉ trong nội
bộ toán học mà còn trong các khoa học khác.


19
1.2.2.2. Chức năng huy động kiến thức cũ:
Quá trình hình thành kiến thức mới luôn đòi hỏi vận dụng các kiến thức cũ.
Tuy nhiên không phải lúc nào học sinh cũng nhớ một cách đầy đủ các kiến thức cũ
này hoặc có nhớ nhưng đôi khi lại không biết vận dụng. Để đảm bảo rằng học sinh
đó sẵn sàng và dễ dàng huy động các kiến thức cần thiết cho dạy học nội dung mới
thì hoạt động giải các bài toán là một trong các cách thức tốt nhất để học sinh tìm
lại được các kiến thức và kỹ năng vì nó cho phép phát huy vai trò chủ động và tích
cực của học sinh.
1.2.2.3. Là phương tiện đưa vào kiến thức mới
Ở cấp độ thấp hơn, các bài toán cũng có thể được sử dụng như phương tiện
đưa vào kiến thức mới. Kiến thức mới này nãy sinh không phải như là công cụ mà
như là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề.
Ví dụ: Bài toán sau đây là phương tiện để dạy Định lí hàm số sin trong tam

giác. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c, R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
a) Tính sin A, sin B, sin C theo a, b, c.
b) Tìm mối liên hệ giữa ba cạnh, ba góc của tam giác ABC và R.
Lời giải :
a) Ta có: sin A = sin 900 = 1, sin B =

b
c
, sin C =
a
a

b) Chú ý rằng: a = 2R, do đó: sin B =

b
c
, sin C =
. Từ đó suy ra:
2R
2R

a
b
c


2 R (*).
sin A sinB sin C

Hệ thức (*) có đúng với tam giác đều không? (hiển nhiên đúng và ta dễ
dàng chứng minh được điều này)
Hệ thức (*) có đúng với tam giác bất kì khơng? (kết quả của việc giải quyết
vấn đề này là nội dung của định lí hàm số sin trong tam giác).


20
1.2.2.4. Chức năng củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ xảo
tốn học
Sau khi trình bày một định nghĩa, một định lí, một tính chất hay một tri thức
phương pháp chúng ta thường cho các ví dụ minh hoạ, các bài tập áp dụng. Đó
chính là các bài tập có mục đích củng cố các kiến thức mới vừa được xây dựng và
hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán.
Một trong những chức năng chủ yếu của phần bài tập trong mỗi bài, mỗi
chương là củng cố các kiến thức, rèn luyện các kĩ năng đó được đưa vào trong
phần lí thuyết hay hình thành kĩ năng mới và kĩ xảo có liên quan.
Việc giải các bài tập toán học không chỉ cho phép củng cố các kiến thức và
kĩ năng vừa mới được hình thành mà cả những kiến thức, kĩ năng đã có trước đó.
1.2.2.5. Chức năng phát triển các năng lực và các phẩm chất tư duy
Việc giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện các
thao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá, ... và
phát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo,
tính phê phán, ...
Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài tốn còn là cơ hội hình thành
ở học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ. Nó
cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh.
Mỡi bài tốn cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy
học nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cách tường
minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các chức năng này không bộc lộ
một cách một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau.

Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở thời điểm đang
xét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năng khác.
1.2.3. Phân loại bài toán: