Sự tồn tại điểm bất động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
………………………………….


NGUYỄN TIẾN TUẦN


SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ
THỨ TỰ BỘ PHẬN



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




NGHỆ AN - 2014
2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
………………………………….


NGUYỄN TIẾN TUẦN

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ
THỨ TỰ BỘ PHẬN


CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02


Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG

NGHỆ AN - 2014
3


Không gian mêtric và lý thuyết điểm bất động là đối tượng nghiên cứu quan
trọng của giải tích, nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi
cũng như trong nhiều ngành khoa học ứng dụng khác. Một số kết quả về sự tồn tại
điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến
nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Với việc chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất
động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp
hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý ánh xạ co Banach đã được vận dụng rất phổ
biến và thành công trong việc chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp
xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích. Có nhiều hướng
nghiên cứu, tìm cách mở rộng khái niệm không gian mêtric thành các lớp không
gian tổng quát hơn hoặc các lớp không gian có cấu trúc tương tự, đồng thời các
định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric cũng được nghiên
cứu phong phú cho nhiều loại ánh xạ trên nhiều lớp không gian khác nhau.
Huang và Zhang

( 3 )


đã mở rộng khái niệm không gian mêtric bằng cách thay
tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi không gian Banach có thứ tự và đã đưa ra
khái niệm không gian mêtric nón.
Cũng tương tự như đối với không gian mêtric nón, có thể đưa ra khái niệm
không gian giả mêtric nón bằng cách thay giả thiết hàm giả mêtric nhận giá trị
trong tập các số thực không âm bởi nhận giá trị trong nón định hướng trong không
gian Banach. Với cách làm này, trong
1


,Lê Thị Dung đã giới thiệu khái niệm
không gian giả mêtric nón và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co trong không gian giả mêtric nón.
4

Trong lý thuyết điểm bất động, vấn đề tìm điều kiện đủ để cho các ánh xạ xác
định trên các không gian có trang bị thứ tự, có điểm bất động cũng được nhiều nhà
Toán học quan tâm nghiên cứu Xem [4]; [5] .
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này
nhằm tìm hiểu các tính chất của không gian giả mêtric nón, tìm các điều kiện để
cho các ánh xạ co suy rộng có điểm bất động trên các không gian giả mêtric nón có
thứ tự bộ phận. Vì thế, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Về sự tồn tại điểm bất
động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận”.
Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương.
Chương I. Không gian giả mêtric nón
Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian giả
mêtric nón.

Chương II. Sự tồn tại điểm bất động trong không gian giả mêtric nón có thứ
tự bộ phận
Chương này là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương này đưa ra
một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và co suy rộng trong
không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Phần thứ hai đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp
ánh xạ tăng yếu trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Các kết quả trong Chương II là mới, đó là sự mở rộng một số kết quả đã có
trong không gian mêtric hoặc không gian mêtric nón cho không gian giả mêtric
nón.
5

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả
những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Tác giả chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Chủ Nhiệm Khoa
sư phạm Toán – Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ về chuyên môn cũng
như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành tốt luận văn.

Vinh, tháng 5 năm 2014
Tác giả

6

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng
trong luận văn. Các kết quả này được lấy từ
2


và
3


.
1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp . Họ  các tập con của  được gọi là tôpô trên
 nếu thỏa mãn điều kiện
(T
1
) ,  ;
(T
2
) Nếu 
i
 ,   




i
 ;
(T
3
) Nếu 
1
,
2
  thì 
1



2


.
Tập hợp  cùng với tôpô  trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là
(,hoặc.
Các phần tử của  được gọi là điểm trong không gian tôpô.
Các phần tử thuộc được gọi là tập mở.
Giả sử   . Tập  được gọi là tập đóng nếu \ là tập mở.
1.1.2. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập con A của  được gọi là lân cận
của điểm  

 nếu tồn tại tập mở    sao cho    A.
Cho không gian tôpô ,  

, () là họ tất cả các lân cận tại . Họ  ()
 




được gọi là cơ sở lân cận của  nếu với mọi    tồn tại   
sao cho   .
1.1.3. Định nghĩa. Dãy{
n
}trong không gian tôpô  được gọi là hội tụ tới  
nếu với mỗi lân cận  của  tồn tại 
0
 cho

n
 với mọi   
0
.
7

Khi đó, ta viết
n
xx
hoặc
lim
n
x
xx


.
1.1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ

nhất nếu tại mỗi điểm  có một cơ sở lân cận () có lực lượng đếm được.
Không gian tôpô  được gọi là
1
T


– không gian nếu với mọi ,   ,   
tồn tại lân cận  của  và lân cận  của  sao cho    và   .
Không gian tôpô của  được gọi là
2
T
–không gian hay không gian Hausdorff
nếu hai điểm bất kỳ ,     tồn tại các lân cận tương ứng
,
xy
UU
của 
sao cho
UU
xy
  
.
Nếu  là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong  mà hội tụ thì hội tụ tới
một điểm duy nhất.
1.1.5. Định nghĩa. Giả sử
,XY
là hai không gian tôpô và
: XYf 
. Ánh xạ
f

được gọi là liên tục tại
xX
nếu với mỗi lân cận
V
của
()fx
, tồn tại lân cận
U

của  sao cho
()f U V
. Ánh xạ
f
được gọi là liên tục trên  nói gọn là liên tục
nếu nó liên tục tại mọi điểm của .
1.1.6. Định lý. Giả sử  và  là các không gian tôpô
f
:   . Khi đó các điều
kiện sau đây tương đương
i)
f
liên tục trên ;
ii) Nếu  là tập mở trong  thì
1
f

() mở trong ;
iii) Nếu  là tập đóng trong  thì
1

f

() đóng trong .
1.1.7. Định nghĩa: Giả sử  là các tập khác rỗng và
:d X X R
. Hàm  được
gọi là một mêtric trên  nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i) 0  với mọi  
X
và = 0 khi và chỉ khi  ;
ii) 



 



với mọi 
X

;
iii) 



 




 



với mọi  
X
.
8

Tập  cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian metric và ký hiệu là
( , )X d
hoặc .
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử  là các tập khác rỗng và ánh xạ
:d X X R

  
được gọi là giả khoảng cách hay giả mêtric trên
X
nếu
d
thỏa mãn 3 tiên đề sau
đây với bất kỳ  thuộc vào
X

i) 0 



   nếu   ;
ii) 




 



;
iii) 



 



 




Tập
X
cùng với giả khoảng cách d được gọi là không gian giả mêtric và ký
hiệu là
( , )Xd
.
1.1.9. Định nghĩa. Giả sử  là không gian vectơ trên trường  =  hoặc  = C .
Hàm :    thỏa mãn các điều kiện
i)  (x)  0   và 




 khi và chỉ khi   ;
ii) 

 

 



    ;
iii) 

 

 



 



  
được gọi là một chuẩn trên không gian vectơ . Số 




được gọi là chuẩn của
vectơ  . Ta thường ký hiệu chuẩn của  là   . Không gian vectơ  cùng
với chuẩn xác định trên nó được gọi là một không gian định chuẩn.
1.1.10. Mệnh đề. Nếu  là không gian định chuẩn thì công thức




     
9


xác định một mêtric trên . Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric
chuẩn.
1.1.11. Định nghĩa. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ
theo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là một không gian Banach.
1.1.12. Định lý. Nếu  là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn
  
x
 ;
phép cộng: (   



  
và phép nhân với vô hướng:  



   là các ánh xạ liên tục.

1.1.13. Định lý. Giả sử  là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi   và mỗi
 ,  các ánh xạ
  ,
  
xE

là các phép đồng phôi  lên .
1.2. Nón trong không gian Banach
Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach
1.2.1. Định nghĩa ([4]). Cho  là không gian Banach trên trường số thực . Tập
con  của  được gọi là một nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i)  là tập đóng ,   và 




ii) Với mọi    mọi   ta có    
iii) Nếu    và   thì  .
10

1.2.2. Ví dụ ([4]). 1. Trong không gian các số thực với chuẩn thông thường, tập
=

     

là một nón.
2. Giả sử  = 
2
, ={(     
2

. Khi đó,  thỏa mãn ba điều kiện
i)  là tập đóng ,  ≠ Ø và  ≠ {0};
ii) Với mọi (, (  , mọi   , 0 ta có
 (  (  
iii) Với (  P và (  ta có (= (0,0) .
Vậy  là một nón trên E .
3. Giả sử C
[a,b]
là tất cả các hàm số nhận giá trị thực, liên tục trên



. Ta đã biết
C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
,
sup ( )
x a b
f f x




  C
[a,b]
.
Trên C
[a,b]
có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường  được xác định bởi  C

[a,b]

  







 




Đặt
    
[a,b]
: 0  }
Khi đóthỏa mãn ba điều kiện
i)  là tập đóng,    



;
ii)Với mọi  , 0 và với mọi  ta có 



 




với
mọi  



Do đó    
iii)Với   và  ta có   
Vập  là một nón trên .
Cho  là một nón trong không gian Banach . Khi đó, trên  xét quan hệ thứ
tự xác định bởi  như sau  nếu và chỉ nếu     Chúng ta quy ước
  nếu   và   còn    nếu     với  là phần trong
của .
11

1.2.3. Định nghĩa ([4]). Cho  là một nón trong không gian Banach E
1) Nón  được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực > 0 sao cho mọi ,   
và     ta có       . Số thực dương  nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện
này được gọi hằng số chuẩn tắc của .
2) Nón  được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong  đều
hội tụ. Nghĩa là, nếu {
n
} là dãy trong E sao cho

1




2


…  
n
 …  với   
thì tồn tại     
n
-

    khi 



.
Định lý sau nói về mối quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc.
1.2.4. Định lý ([4]). Mọi nón chính quy trong không gian Banach là nón chuẩn tắc.
1.2.5. Nhận xét ([4]). Điều ngược lại của Định lý 1.2.4 là không đúng, tức là có
những nón chuẩn tắc nhưng không chính quy . Thậy vậy, xét không gian Banach
E = 

[0,1] với chuẩn sup :
0.1

sup
x
f





|



| .
Đặt  = {  :  Khi đó, là một nón với hằng số chuẩn tắc    Thật
vậy, giả sử    và   Khi đó, 0 



 



với mọi  



và
ta có
0;1 0;1 0;1 0;1
sup ( ) sup ( ) sup ( ) sup ( )
x x x x
f f x f x g x g x g
       
       
   
    
.

Chứng tỏ  là nón chuẩn tắc
Bây giờ, ta chứng minh  không phải là nón chính quy. Thật vậy, lấy dãy{
n
}
trong  cho bởi
()
n
n
f x x
với  



. Rõ ràng dãy {
n
} giảm và bị chặn dưới
nhưng {
n
} không hội tụ trong . Vây  không phải là nón chính quy .
12

1.2.6. Bổ đề ([4]). Giả sử  là nón trong không gian Banach ,    và  là
số thực dương . Khi đó,
i) Nếu
ab
và
bc
thì
ac
;

ii) Nếu
ab
và
bc
thì
ac
;
iii) Nếu
ab
,
cd
thì
a c b d  
;
iv)   ;
v) Với mỗi > 0 và    tồn tại 0 <       < ;
vi) Với mỗi 
1
  và 
2
 tồn tại   
1
  và
c
2
 
vii) Với mọi 
1,

2

  tồn tại e   sao cho e  
1
và e  
2
;
viii) Nếu    và a với mọi   thì   
ix) Nếu
aa


với
aP
,
01


thì   ;
x) Nếu 0 
n
y
n
với mỗi n  và
lim ,lim
nn
nn
x x y y
 

thì
0 xy

.
Chứng minh. i) Vì phép cộng liên tục nên +   . Nếu a và
   thì    và    Suy ra – =–+ –  +
Vậy  
ii) Để ý rằng  +  = 


  

là tập mở và là nón nên suy ra
 +   . Do đó  +   . Nếu    và b  thì   và
 –   . Suy ra – =  – + –   +    hay  –   
Vậy   .
iii) Ta có a       và d – c  suy ra b – a + d
– c   hay (b +d) – (a + c)   do đó a + c  .
iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên   .
13

v) Với mỗi > 0 và    chọn số tự nhiên  > 1 sao cho


< 1
Khi đó, với mỗi  =


thỏa mãn: 0 <  < 1 và
  




  

   
 


 
vi) Chọn  sao cho
1
+  (0, )   trong đó
   
0, : x E x

  
.
Do tính hút của (0,tồn tại    sao cho c
2


 suy ra

2
  và 
1
– 
2
 . Đặt  = 
1
– 
2

. Khi đó, d thỏa mãn vi).
vii) Chọn  > 0 sao cho 
1
+ (0,’)  , 
2
+(0,)  trong đó
(0,) = { x     <  }. Do tính hút của (0,) tồn tại m > 0 sao cho

1
 , 
2
 , suy ra – 
1


, 
2
  và

1
– 
1
 , 
2
– c
2
 . Đặt
e
= 
1

– 
1
+ 
2
– 
2
. Khi đó,
e
thỏa
mãn vii).
viii) Giả sử   . Từ giả thiết suy ra  


với mọi  



 với mọi    





 


 Do đó


   .

Mặt khác, vì dãy {


   và  đóng trong  nên –  .
Như vậy,  và    Vì  là nón nên  = 0 .
ix)Vì    nên     hay

 

     nên
   .Từ đó suy ra – =


  hay  . Như vậy  và  Vì
 là nón nên  = 0 .
x) Ta có 
n
 
n
 ra 
n
– 
n
 . Do  đóng nên
n
lim

(
n
– 

n
) =  – 
14

Từ đó suy ra  –    do đó   Hoàn toàn tương tự như trên ta chứng minh
được   
n
suy ra 0 . Vậy 0    .
1.2.7. Bổ đề. Giả sử  là nón trong không gian Banach E và {x
n
} là dãy trong .
Khi đó,nếu
x
n
 thì với mỗi c  int tồn tại n
0
  sao cho x
n
 c với mọi nn
0
.Hơn nữa
nếu  chuẩn tắc thì khẳng định ngược lại cũng đúng .
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong  và x
n
0. Với mọi c vì
 là tập mở nên tồn tại   sao cho B
E
(0,)  Do đó,

nếu x E mà    <    Với  xác định như trên tồn tại

0
 N sao cho
 
n
 <  
n
> 
0.
Suy ra c – x   với mọi   
0
. Do đó x
n
 c với mọi   
0.
Ngược lại, giả sử  chuẩn tắc và với mọi c   tồn tại  
0
n
sao cho
x
n
. Gọi  là hằng số chuẩn tắc của P. Với mỗi  > 0, chọn c  sao cho
0   và     , từ giả thiết tồn tại 
0
  sao cho

n
xc
với mọi

0
nn

Vì  là chuẩn tắc với hằng số K nên x
n
      <  với mọi
0
nn
. Do đó
x
n
  0.
Vậy x
n
 
.
1.3 Không gian giả mêtric nón
Từ đây về sau ta quy ước  là một nón không gian Banach thực
E
sao cho
 ; ; ;<< là các thứ tự bộ phận trên
E
được xác định bởi .
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử là tập khác rỗng và
15

    
  
Ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách nón hay là giả mêtric nón trên  nếu thỏa
mãn các điều kiện sau

i)  



với mọi   ,= 0 nếu  
ii)   với mọi  ;
iii) 



 



 



 với mọi   .
Tập  cùng với giả khoảng cách nón d trên  được gọi là không gian giả
mêtric nón và ký hiệu là (,d) hoặc .
1.3.2 Ví dụ 1). Giả sử L
[a,b]
là tập các hàm nhận giá trị thực, khả tích trên đoạn
[a,b] và d: L
[a,b]
x L
[a,b]
  là hàm được cho bởi







( ) ( )f x g x
 


L
[a,b]
.
Khi đó,  là giả mêtric nón trên L
[a,b]
và do đó L
[a,b]
là không gian giả mêtric nón.
Chứng minh. Đặt  = [0,). Khi đó,  là nón trong không gian Banach các
số thực . Hơn nữa thứ tự bộ phận  trên được xác định bởi  chính là thứ tự
nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên .
Rõ ràng 



 



  nếu    và 




 



với mọi
  

. Giả sử   

. Ta có




 





 



 









 



 



 







16

 





 




 








 



 





 




Vậy  là giả mêtric nón trên 

.

Chú ý. 1) Nếu  là giả mêtric trên  và thỏa mãn theo điều kiện 



 
kéo theo    thì  là mêtric nón trên . Như vậy, không gian mêtric nón là
trường hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón.
2)Trong ví dụ trên  không phải là mêtric nón trên 

.Thật vậy lấy và  với








  
 
1
0
neáu a x b
neáu x b






  



.
Khi đó  khả tích trên



, nghĩa là  và   



. Rõ ràng   nhưng











 

  



.
3) Trong  xét nón  như trong Ví dụ 1) thì ta thấy rằng mọi không gian giả
mêtric là giả mêtric nón.
Ví dụ 2). Ta đã biết  

 



  

là nón trong không gian Banach




các hàm liên tục trên



, nhận giá trị trong . Hơn nữa quan hệ ≤ trên




được xác định bởi  trùng với quan hệ ≤ thông thường trên



. Ta kí hiệu

 

,
:
ab
X f C
có đạo hàm liên tục trên

,ab



và xác định hàm     bởi công thức 







 


với mọi
  , tức là 













 




  



. Khi đó, 
thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức  là giả mêtric nón trên .
Ta thấy rằng  không là mêtric nón. Thật vậy, nếu ta xét các hàm    với




 



   




thì   nhưng 



 .
17

Từ đây về sau, ta giả thiết  là không gian giả mêtric nón với  nhận giá
trị trong nón .
1.3.3 Định nghĩa. Giả sử  là không gian giả mêtric nón, với bất kỳ   và
 . Đặt






   


Tập  được gọi là hình cầu mở tâm , bán kính .
1.3.4 Mệnh đề. Đặt
 

       


Khi đó,
i)  là một tôpô trên ;

ii) Với mọi    và mọi   , hình cầu mở 



là lân cận của mỗi
điểm thuộc ;
iii)  không là 

 không gian.
Chứng minh.
i)   và    vì với mỗi    và    ta có 



 .
Giả sử



  

là các họ phần tử thuộc . Khi đó 

 , với mọi   . Ta
cần chứng minh




  


 .
Giả sử  



  

. Khi đó tồn tại    sao cho  

. Vì 

  nên
tồn tại    sao cho 



 

. Suy ra




 






  


Do đó




  

  .
Giả sử    . Lấy bất kỳ   . Khi đó,     . Do  
   nên tồn tại 

và 

  sao cho 

  và 

 . Theo Bổ
18

đề 1.2.6.vii) tồn tại   sao cho  

và  

. Từ đó suy ra  



  

  . Do đó,    .
Vậy  là một tôpô trên .
ii) Giả sử  



. Khi đó    . Đặt 

  . Vì
   nên ta có 

 . Với mọi   




ta có   

. Do đó
từ điều kiện iii) của Định nghĩa 1.3.1, suy ra




 




 



 

 



  



 



 .
Từ đó  



và do đó 




 




.
Vậy 



 .
iii) Lấy    sao cho    và 



 . Khi đó mọi hình cầu 




đều chứa . Từ đó suy ra  không là 

 không gian. 
Chú ý: Nếu  là không gian giả mêtric nón mà 



  với mọi   thì
 là không gian mêtric nón. Do đó  là 

 không gian.
Từ đây về sau, khi nói tới không gian giả mêtric nón  ta hiểu tôpô trên  là
tôpô  nói ở Mệnh đề 1.3.4.

1.3.5 Hệ quả. Mọi hình cầu mở trong X là tập mở trong X.
Chứng minh. Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.4.ii) suy ra 



là tập mở. 
1.3.6 Định lý. Giả sử (X,d) là không gian giả mêtric nón,




  . Khi đó,
i)




hội tụ tới a khi và chỉ khi với mỗi    tồn tại số tự nhiên 

sao
cho 





  với mọi   

.
ii) Nếu P là nón chuẩn tắc thì 


  khi và chỉ khi





  .
Chứng minh.
i) Giả sử 

 . Khi đó, với mỗi   . Vì 



  nên tồn tại số tự
nhiên 

sao cho 

 



với mọi   

. Do đó, 





  với mọi
  

.
19

Ngược lại, giả sử với mỗi    tồn tại số tự nhiên 

sao cho 





 với mọi  

. Với mỗi lân cận  của  tồn tại    sao cho 



 .
Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên 

sao cho 

 




  với mọi  

. Do
đó, 

 .
ii) Từ i) và Bổ đề 1.2.7, suy ra điều cần chứng minh. 
1.3.7 Mệnh đề. Giả sử




là dãy trong X, a và  . Khi đó,
i) Nếu 

  và 

  thì 



 
ii) 

  khi và chỉ khi 

  với mọi   

, trong đó





  



 

.
Chứng minh. i) Với mọi  ta có  








 

. (1) Vì


  và 

  nên từ Định lý 1.3.6.i) suy ra mỗi   tồn tại số tự nhiên


sao cho 


 


và 

 


với mọi   

. Kết hợp với (1) suy ra
   với mọi  . Theo Bổ đề 1.2.6, thì 



 .
ii) Điều kiện cần. Giả sử 

 . Ta cần chứng minh 

 , với mọi  

. Thật
vậy, từ 

  suy ra với mọi   tồn tại 

  sao cho 


  với
mọi   

. Với mọi  

ta có 



 . Do đó
 











 



   

.
Từ đó suy ra: 


 .
Điều kiện đủ. Vì   

nên điều cần chứng minh là hiển nhiên. 
1.3.8 Mệnh đề. Giả sử  là không giả mêtric nón,   và  . Khi đó,
họ  







 

là một cơ sở lân cận tại điểm a, do đó X là không
gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh. Giả sử  là lân cận bất kỳ của điểm . Khi đó, tồn tại   
sao cho  . Vì


  khi   và   nên Bổ đề 1.2.7, suy ra tồn
20

tại sao cho


 . Do đó, 






   . Suy ra  là cơ sở lân cận tại
điểm .
Hiển nhiên  là tập đếm được. Do đó  là không gian thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất. 
1.3.9 Mệnh đề. Giả sử  là không gian giả mêtric nón và   . Đặt 



 



 

.
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.
i) Với mọi b và 

 

  

ta có 




 

;
ii) 

là tập đóng;
iii) Với mọi    ta có



 



  

  

.
Chứng minh. i) Với mọi b và 

 

ta có
 




 




 




 
Do đó 




 . Với mọi  

ta có

       
, , , ,





d x b d x b d b b d x b
(1)
và






 



 




  . (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra 



 

.
ii) Giả sử




 

và 

   . Vì  thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nên

để chứng minh 

đóng ta chỉ cần chứng minh  

. Vì 

  nên với mọi
  tồn tại số tự nhiên 

sao cho 

   với mọi  

. Vì 

 


với mọi nên 





  với mọi    Do đó




 





 





 




   

.
Từ đó suy ra   với mọi   . Do đó theo Bổ đề 1.2.6 thì 




, tức  

. Vậy 

là tập đóng.
iii) Từ bất đẳng thức tam giác suy ra
21





 



 



   




và








 




  




Do đó 



 



. 

22

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN
Trong chương này, ta giả thiết  là không gian giả mêtric nón với giả
mêtric nón  nhận giá trị trong nón , trong đó  là nón trong không gian Banach
thực    và  là hai thứ tự bộ phận trên  được xác định bởi . Mặt
khác, ta cũng giả thiết rằng, trên  có thứ tự bộ phận và cũng được kí hiệu bởi .
2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong
không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong không gian giả mêtric nón có
thứ tự bộ phận.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử   . Điểm   được gọi là điểm bất động của
nếu 



 
Ánh xạ  được gọi là co theo thứ tự nếu tồn tại 

 sao cho





 



      .
Từ Mệnh đề 1.3.8 suy ra Bổ đề sau.
2.1.2 Bổ đề. Cho các không gian giả mêtric nón ,  và tập hợp không
rỗng   . Hàm   liên tục tại điểm 

  khi và chỉ khi với mọi dãy




  sao cho 

 

thì 




 





.
2.1.3 Định lý. Giả sử  là không gian giả mêtric nón đầy đủ và    là
ánh xạ thỏa mãn các điều kiện
(i)  là co theo thứ tự;
(ii)  không giảm và tồn tại 

  sao cho 

 

;
(iii)  liên tục hoặc
23

(iii’) Từ




là dãy không giảm trong  và hội tụ tới   kéo theo 

 
với mọi .
Khi đó,  có điểm bất động trong .
Chứng minh.Ta xác định dãy





trong  bởi


 

  
Từ điều kiện (ii) suy ra 

 

  . Do đó, sử dụng điều kiện (i) ta có







 






 





 













  








  
Từ đó, suy ra rằng với mọi   và mọi    Ta có








 






 






  











 


  










 

  

  










  









Vì  

 nên
n
1









  khi   . Do đó với mọi    tồn tại
số tự nhiên 

sao cho với mọi   

và mọi   ta có





 
n
1









 .
Điều này chứng tỏ




là dãy Cauchy. Vì  đầy đủ nên tồn tại    sao cho


  .
Bây giờ, giả sử  liên tục. Khi đó, 

 

 . Do đó theo Mệnh đề
1.3.7 ta có 




 . Vậy  là điểm bất động của .
Giả sử (iii’) được thỏa mãn. Khi đó, vì 

 

  và 

  nên 

 
với mọi . Do đó, theo điều kiện (i) ta có




 




 






24

 




 






 




 







  
Từ 

 , sử dụng Định lý 1.3.6.i) suy ra rằng với mọi   tồn tại số tự
nhiên 


sao cho với mọi   

ta có




 




 





  .
Theo Bổ đề 1.2.6 (viii) ta có 



 . Vậy  là điểm bất động của . 
2.1.4 Định lý. Giả sử  là không gian giả mêtric nón đầy đủ,    và
   

 là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện
(i)  là hàm không giảm;

(ii)  là hàm không giảm và tồn tại 

  sao cho 

 

;
(iii) 



 







   ;
(iv)  liên tục hoặc
(iv’) Nếu




là dãy không giảm trong  và 

    thì 


  với mọi n.
Khi đó, f có điểm bất động trong X.
Chứng minh. Ta xác định dãy




trong  bởi


 

  
Khi đó, từ 

 

và  là hàm không giảm, suy ra




 

 
Do đó, theo điều kiện (iii) ta có








 







 













 







.
Với mọi   .Vì  không giảm nên








 









  
Từ đó, ta có








 














 






















25









































  
Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức tam giác ta có







 







 






  





















 

































 












  






























  


















  
   (1)
Vì 






 

 nên












  

















  
Do đó với mọi   tồn tại số tự nhiên 

sao cho với mọi   

ta có












  

















 
Kết hợp với (1) suy ra





   

  
Do đó




là dãy Cauchy. Vì  đầy đủ nên tồn tại    sao cho 

 .
Giả sử  liên tục. Khi đó 

 

 . Do đó, theo Mệnh đề 1.3.7 ta có




 . Vậy  là điểm bất động của .