Về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ cyclic tựa co và co suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
—————————————–
TRẦN THỊ LIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TỰA CO VÀ CO SUY RỘNG
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS: ĐINH HUY HOÀNG
Nghệ An - 10/2014
Mục lục
Mở đầu 2
1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian
mêtric 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không
gian mêtric 13
2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh
xạ T-cyclic tựa co trong không gian mêtric . . . . . . . . . . 13
2.2 Về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T - cyclic
co kiểu Hardy - Rogers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kết luận 29
1
Lời mở đầu
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của giải tích hàm. Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kĩ thuật.
Kết quả đầu tiên là phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh
xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach. Người ta đã tìm cách mở

rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau.
Một trong những mở rộng đó là đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic tựa co, co suy
rộng và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của nó. Năm 2003, Kirk và các
cộng sự [6] đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp các ánh xạ thỏa
mãn điều kiện co cyclic. Sau đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu
về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co suy rộng và tựa co. . . trong
không gian mêtric. Năm 2012, P. Chaipunya và các cộng sự [4] đã giới thiệu
khái niệm ánh xạ cyclic tựa co và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểm
bất động của loại ánh xạ này trong không gian mêtric.
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động
chúng tôi tiếp cận hướng này để nghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động và bất
động chung các ánh xạ cyclic co suy rộng và tựa co trong không gian mêtric.
Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian
mêtric
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả
cơ bản về không gian mêtric mà chúng có liên quan đến nội dung của luận văn.
2
3
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ cyclic thỏa mãn các điều kiện co trong không gian mêtric đã có trong tài
liệu tham khảo.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong
không gian mêtric
Trong mục thứ nhất của chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm cặp ánh xạ
cyclic tựa co và đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp
ánh xạ này, đó là Định lý 2.1.2 và các hệ quả 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, trong đó
Hệ quả 2.1.3 chính là Định lý 2.4 trong tài liệu [4]. Trong mục thứ hai, chúng
tôi đưa ra khái niệm cặp ánh xạ T − cyclic co kiểu Hardy - Rogers và đưa ra
một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T − cyclic

co kiểu Hardy - Rogers, đó là Định lý 2.2.2 và các Hệ quả 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5,
2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, trong đó Hệ quả 2.2.6 là kết quả chính trong [7].
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình và nghiêm khắc của PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình đến Thầy.
Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa
Toán- Trường Đại học Vinh.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa
Toán- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn
trong lớp Cao học khóa 20 - Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác, giúp đỡ và
động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt kiến thức và
thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý Thầy
Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Chương 1
Sự tồn t ại điểm bất động của các ánh xạ
cyclic trong không gian mêtric
Chương này tr ình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ cyclic trong không gian mêtric.
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric
và ánh xạ mà chúng cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([1]). Cho tập hợp X và hàm d : X × X → R. Hàm d được
gọi là mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x=y ;
(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và kí hiệu
là (X,d) hoặc X.
4
5
1.1.2 Định nghĩa. ([1]). Cho X là không gian mêtric, dãy {x
n
} trong X được
gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n
0
∈ N
∗
sao cho với mọi m, n ≥ n
0
thì d(x
n
, x
m
) < ε .
Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy .
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều
hội tụ.
Tập con A ⊂ X gọi là đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh .
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng
của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.
1.1.3 Định lí. ([1]). Giả sử Y là tập con của không gian mêtric(X, d). Khi đó,
Y đóng trong X khi và chỉ khi mọi dãy {y
n
} trong Y mà {y
n

} hội tụ tới x ∈ X thì
x ∈ Y.
1.1.4 Định nghĩa. ([1]). Cho (X,d) là một không gian mêtric. Ánh xạ f : X → X
được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho
d( f x, f y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ X.
1.1.5 Định nghĩa. ([1]). Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ
f : X → X. Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a.
1.1.6 Định lí. ([1]). (Nguyên lý co Bannach). Mọi ánh xạ co trên không gian
mêtric đầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động.
1.1.7 Định nghĩa. ([4]). Giả sử f , g là hai ánh xạ từ X vào X. Điểm x ∈ X được
gọi là điểm trùng nhau hay điểm chung của f và g nếu f (x) = g(x).
Nếu x là điểm chung của f và g thì điểm y = f x = gx được gọi là giá trị
chung của f và g.
Tương tự như trên ta định nghĩa điểm chung và giá trị chung cho ba, bốn,
ánh xạ.
Hai ánh xạ f , g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán với nhau tại
các điểm chung, tức là nếu x ∈ X là điểm chung của f và g thì f gx = g f x.
6
1.1.8 Bổ đề. ([5]). Giả sử X là tập khác rỗng và T là ánh xạ từ X vào X. Khi
đó, tồn tại tập con Y ⊂ X sao cho T (Y ) = T (X ) và T : Y → X là đơn ánh.
1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ cyclic trong không gian mêtric
Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ
cyclic thoả mãn các điều kiện co trong không gian mêtric.
1.2.1 Định nghĩa. ([6]). Cho A
1
, A
2
, , A
p

, A
p+1
= A
1
là các tập hợp khác rỗng
của không gian mêtric X và ánh xạ T :
p

i=1
A
i
→
p

i=1
A
i
. Ánh xạ T được gọi là
p −cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (A
i
) ⊂ A
i+1
với mọi i = 1, 2, , p.
Chú ý. Từ định nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p − cyclic và T có điểm bất
động x thì x ∈
p

i=1
A
i

.
1.2.2 Bổ đề. Nếu X là không gian mêtric đầy đủ, F : X → X là ánh xạ liên tục
và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho
d(Fx, F
2
x) ≤ kd(x, Fx) ∀x ∈ X
thì F có điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mỗi x
0
∈ X, dãy {F
n
(x
0
)} hội tụ
tới điểm bất động của F.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ X và đặt x
n
= Fx
n−1
với mọi n = 1, 2, Khi đó, với
mỗi n = 1, 2, ta có
d(x
n
, x
n+1
) = d(Fx
n−1
, F
2

x
n−1
) ≤ kd(x
n−1
, Fx
n−1
)
= kd(Fx
n−2
, F
2
x
n−2
) ≤ k
2
d(x
n−2
, Fx
n−2
)
≤ ≤ k
n
d(x
0
, Fx
0
) = k
n
d(x
0

, x
1
).
7
Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có
d(x
n
, x
n+m
) ≤ d(x
n
, x
n+1
) +d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
n+m−1
, x
n+m
)
≤ (k
n
+ k
n+1
+ + k
n+m−1
)d(x
0

, x
1
)
= k
n
1 −k
m
1 −k
d(x
0
, x
1
) ≤
k
n
1 −k
d(x
0
, x
1
).
với mọi n = 1, 2, , với mọi m = 0, 1,
Vì k ∈ [0, 1) nên
k
n
1 −k
d(x
0
, x
1

) → 0 khi n → ∞, với mọi m = 0, 1
Từ đó suy ra {x
n
} là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên x
n
→ x ∈ X . Vì F liên tục
nên x
n+1
= Fx
n
→ Fx. Do đó, x = Fx.
1.2.3 Định lí. ([6)] . Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian
mêtric đầy đủ X, và giả sử F : X → X thoả mãn các điều kiện sau
(1) F(A) ⊆ B và F(B) ⊆ A;
(2) d(Fx, Fy) ≤ kd(x, y) ∀x ∈ A và y ∈ B, trong đó k ∈ (0, 1).
Khi đó, F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ A ∪ B, từ (1) và (2) suy ra
d(Fx, F
2
x) ≤ kd(x, Fx)
Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A ∪B và A∩B đóng trong X. Do X đầy đủ
nên A ∪ B và A ∩B đầy đủ. Theo cách chứng minh của Bổ đề 1.2.2 thì
{
f
n
x
}
là
dãy Cauchy trong A ∪ B. Do đó, f
n

x → z ∈ A ∪ B. Từ cách xây dựng dãy
{
f
n
x
}
thì có một dãy con nằm trong A và một dãy con nằm trong B. Vì A và B đóng
và hai dãy con này hội tụ tới z nên z ∈ A ∩ B. Như vậy , A ∩ B = /0 và đầy đủ . Từ
điều kiện (2) suy ra F |
(A∩B)
là ánh xạ co trên A ∩ B. Do đó, theo Nguyên lý ánh
xạ co Banach thì F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B.
1.2.4 Hệ quả. ([6]). Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian
mêtric đầy đủ X. Cho f : A → B và g : B → A là hai hàm số sao cho
d( f x, gy) ≤ kd(x, y) ∀x ∈ A và y ∈ B
8
trong đó k ∈ (0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất x
0
∈ A ∩ B sao cho
f x
0
= gx
0
= x
0
.
Chứng minh. Ta xác định ánh xạ F : A ∪ B → A ∪ B bởi
Fx =






f x nếu x ∈ A;
gx nếu x ∈ B.
Khi đó, F thoả mãn điều kiện của Định lý 1.2.3. Do đó F có duy nhất điểm
bất động x
0
∈ A∩B. Mặt khác, ta có f x = gx nếu x ∈ A∩B. Do đó, Fx
0
= f x
0
=
gx
0
= x
0
.
1.2.5 Định lí. ([7]). Cho A
1
, A
2
, , A
p
, A
p+1
là các tập con đóng khác rỗng
của không gian mêtric đầy đủ X, T :
p


i=1
A
i
→
p

i=1
A
i
là ánh xạ cyclic, và tồn
tại a ∈ [0, 1), b ∈ [0,
1
2
), c ∈ [0,
1
2
) sao cho với mỗi cặp (x, y) ∈ A
i
× A
i+1
với
1 ≤ i ≤ p, ít nhất một trong các điều sau đây là đúng:
(1) d(T x, Ty) ≤ ad(x, y);
(2) d(T x, Ty) ≤ b[d(x, T x) + d(y, Ty)];
(3) d(T x, Ty) ≤ c[d(x, Ty) + d(y, T x)].
Khi đó
(i) T có duy nhất điểm bất động x
∗
trong
p


i=1
A
i
;
(ii) Dãy lặp Picard {x
n
} cho bởi
x
n+1
= T x
n
, n ≥ 0
9
hội tụ đến x
∗
với bất kì điểm x
0
∈
p

i=1
A
i
;
(iii) Các đẳng thức sau là đúng
d(x
n
, x
∗

) ≤
λ
n
1 −λ
d(x
0
, x
1
), n ≥ 0,
d (x
n+1
, x
∗
) ≤
λ
1 −λ
d (x
n
, x
n+1
), n ≥ 0;
(iv) Tốc độ của sự hội tụ của dãy lặp Picard được cho bởi
d(x
n
, x
∗
) ≤ λ d (x
n−1
, x
∗

), n = 1, 2,
trong đó λ = max{a,
b
1 −b
,
c
1 −c
}.
Chứng minh. Lấy i ∈ {1, 2, , p} và hai điểm x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
. Dùng tiên đề
mêtric ta dễ dàng chứng minh mỗi một trong ba hệ thức (1), (2), (3) có thể được
viết tương đương như sau
d(T x, Ty) ≤ λ d(x, y) + 2λ d(x , T x), (1.1)
và
d(T x, Ty) ≤ λ d(x, y) + 2λ d(x , Ty), (1.2)
trong đó λ = max

a,
b
1 −b
,
c
1 −c

.
(i) Lấy x
0

∈
p

i=1
A
i
và lấy x
n
= T
n
x
0
, n = 1, 2, , là dãy Picard. Do vậy, tồn
tại i ∈ {1, 2, , p} sao cho x
0
∈ A
i
và x
1
= T x
0
∈ A
i+1
, doT (A
i
) ⊂ A
i+1
với mọi
i = 1, 2, , p,. Ngoài ra, từ (1.2) ta được d(x
1

, x
2
) ≤ λ d(x
0
, x
1
). Từ bất đẳng thức
này có thể tổng quát hoá bằng phép quy nạp cho d(x
n
, x
n+1
) ≤ λ
n
d(x
0
, x
1
), n ≥
0. Do đó, với bất kì số n, m ∈ N, m > 0 ta có
d(x
n
, x
n+m
) ≤
m+n−1
∑
k=n
d(x
k
, x

k+1
) ≤
λ
n
(1 −λ
m
)
1 −λ
d(x
1
, x
0
). (1.3)
Vì λ ∈ [0, 1) nên λ
n
→ 0 khi n → ∞. Do đó, {x
n
} là dãy Cauchy trong
p

i=1
A
i
.
Hơn nữa, dãy {x
n
} hội tụ tới x
∗
∈
p


i=1
A
i
. Do T là ánh xạ cyclic nên dãy{x
n
}
10
có vô số số hạng trong A
i
, với mọi i ∈ {1, 2, , p}. Do đó, x
∗
∈
p

i=1
A
i
= /0. Để
chứng minh rằng x
∗
là điểm bất động của T ta sẽ sử dụng ( 1.1)
d(x
∗
, T x
∗
) = lim
n→∞
d(x
n

, T x
∗
) ≤ lim
n→∞
[λ d(x
n−1
, x
∗
) +2λ d(x
n−1
, x
n
)] = 0.
Do đó d(x
∗
, T x
∗
) = 0 hay T x
∗
= x
∗
.
Bây giờ, giả sử T có điểm bất động khác y
∗
∈
p

i=1
A
i

, x
∗
= y
∗
. Sử dụng (1.1)
ta có
d(x
∗
, y
∗
) = d(T x
∗
, Ty
∗
) ≤ λ d(x
∗
, y
∗
) +2λ d(x
∗
, T x
∗
)
nên suy ra d(x
∗
, y
∗
) = 0, vì λ < 1, tức là x
∗
là điểm bất động duy nhất của T

trong
p

i=1
A
i
.
(ii) Cho m → ∞ trong (1.3) ta được (1.1). Lấy x := x
n
và y := x
n−1
trong (1.2)
ta được
d(x
n
, x
n+1
) ≤ λ d(x
n−1
, x
n
). (1.4)
Do đó, bằng phép quy nạp ta có
d(x
n+k
, x
n+k+1
) ≤ λ
k+1
d(x

n−1
, x
n
), k ≥ 0.
Từ đó suy ra
d(x
n+k
, x
n+k+1
) ≤
m−1
∑
k=0
d(x
n+k
, x
n+k+1
)
≤
m−1
∑
k=0
λ
k+1
d(x
n−1
, x
n
) ≤
λ (1 − λ

m
)
1 −λ
d(x
n−1
, x
n
).
Trong bất đẳng thức cuối cùng cho m → ∞ ta được (1.1).
(iii) Giả sử x ∈
p

i=1
A
i
. Khi đó, với bất kì n > 0 tồn tại i
n
∈ {1, 2, , p} sao cho
x
n
∈ A
i
n
. Vì x
∗
∈
p

i=1
A

i
nên ta có thể xem x
∗
∈ A
i
n
+1
. Khi đó, từ (1.1) với x := x
∗
và y := x
n
, ta được bất đẳng thức cần tìm.
1.2.6 Định lí. ([4].Theorem 2.3). Giả sử {A
i
}
p
i=1
là họ các tập con đóng khác
rỗng trong không gian mêtric đầy đủ X và T:
p

i=1
A
i
→
p

i=1
A
i

là ánh xạ cyclic,
11
tức là T (A
i
) ⊂ A
i+1
với mọi i = 1, 2, , p, trong đó A
p+1
= A
1
. Khi đó, nếu tồn
tại α ∈ [0,
1
2
] sao cho
d(T x, Ty) ≤ α max{d(x, y), d(x, T x), d(y, Ty), d(x, Ty), d(y, Tx)}
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
và i = 1, 2, , p
thì T có điểm bất động duy nhất x
∗
trong
p

i=1
A
i
.Hơn nữa, với mọi x

0
∈ A
i
(i =
1, 2, , p), dãy {T
n
x
0
} hội tụ đến x
∗
.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ A
i
với i nào đó, mà 1 ≤ i ≤ p . Đặt x
1
= T x
0
, x
2
=
T x
1
, , x
n
= T x
n−1
= T
n

x
0
, Khi đó, vì T là ánh xạ cyclic nên nếu x
n
∈ A
i
thì
x
n+1
∈ A
i+1
, 1 ≤ i ≤ p. Do đó, với mọi n = 1, 2, ta có
d(x
n
, x
n+1
) = d(T x
n−1
, T x
n
)
≤ α max
{
d(x
n−1
, x
n
), d(x
n−1
, T x

n−1
),
d(x
n
, T x
n
), d(x
n−1
, T x
n
), d(x
n
, T x
n−1
)
}
= α max{d(x
n−1
, x
n
), d(x
n
, x
n+1
), d(x
n−1
, x
n+1
)}
≤ α max{d(x

n−1
, x
n
), d(x
n
, x
n+1
), d(x
n−1
, x
n
), d(x
n
, x
n+1
)}
≤ α [d(x
n−1
, x
n
) +d(x
n
, x
n+1
)].
Từ đó, với mỗi n = 1, 2, ta có
d(x
n
, x
n+1

) ≤
α
1 −α
d(x
n−1
, x
n
).
Đặt r =
α
1 −α
. Vì α ∈

0,
1
2

nên r ∈ [0, 1). Từ bất đẳng thức trên ta suy ra
d(x
n
, x
n+1
) ≤ rd(x
n−1
, x
n
) ≤ r
2
d(x
n−2

, x
n−1
)
≤ ≤ r
n
d(x
0
, x
1
) ∀n = 1, 2,
Sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức này ta có
d(x
n
, x
n+m
) ≤ d(x
n
, x
n+1
) +d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
n+m−1
, x
n+m
)
≤ (r
n

+ r
n+1
+ + r
n+m−1
)d(x
0
, x
1
)
= r
n
1 −r
m
1 −r
d(x
0
, x
1
) ≤
r
n
1 −r
d(x
0
, x
1
) → 0 khi n → ∞.
12
Do đó, d(x
n

, x
n+m
) → 0 khi n → ∞ với mọi m = 0, 1, Vậy {x
n
} là dãy Cauchy.
Vì X đầy đủ nên x
n
→ x
∗
∈ X. Mặt khác, từ cách xây dựng {x
n
} suy ra, với mỗi
i = 1, 2, , p đều tồn tại dãy con của {x
n
} nằm trong A
i
, mà A
i
là tập con đóng
của X nên x
∗
∈ A
i
. Do đó x
∗
∈
p

i−1
A

i
.
Tiếp theo ta chứng minh x
∗
là điểm bất động của T. Vì x
∗
∈
p

i=1
A
i
nên ta có
d(x
∗
, T x
∗
) ≤ d(x
∗
, x
n+1
) +d(x
n+1
, T x
∗
)
= d(x
∗
, x
n+1

) +d(T x
n
, T x
∗
) ≤ d(x
∗
, x
n+1
)
+ α max
{
d(x
∗
, x
∗
), d(x
n
, x
n+1
), d(x
∗
, T x
∗
), d(x
n
, T x
∗
), d(x
∗
, T x

n+1
)
}
≤ d(x
∗
, x
n+1
) +α max
{
d(x
n
, x
∗
), d(x
n
, x
n+1
), d(x
∗
, T x
∗
), d(x
n
, x
∗
)
+ d(x
∗
, T x
∗

), d(x
∗
, x
n+1
)
}
≤ d(x
n+1
, x
∗
) +α [d(x
n
, x
∗
) +d(x
∗
, x
n+1
) +d(x
∗
, T x
∗
)].
Vì x
n
→ x
∗
nên vế phải của bất đẳng thức trên dần tới αd(x
∗
, T x

∗
). Do đó
0 ≤ d(x
∗
, T x
∗
) ≤ α d(x
∗
, T x
∗
).
Kết hợp với α ∈

0,
1
2

suy ra d(x
∗
, T x
∗
) = 0 , tức x
∗
= T x
∗
. Vậy x
∗
là điểm bất
động của T.
Cuối cùng, giả sử y

∗
∈
p

i=1
A
i
cũng là điểm bất động của T. Khi đó, từ x
∗
và
y
∗
∈
p

i=1
A
i
nên
d(x
∗
, y
∗
) = d(T x
∗
, Ty
∗
)
≤ α max
{

d(x
∗
, y
∗
), d(x
∗
, T x
∗
), d(y
∗
, Ty
∗
), d(x
∗
, Ty
∗
), d(y
∗
, T x
∗
)
}
= α d(x
∗
, y
∗
).
Từ α ∈ [0,
1
2

) suy ra d(x
∗
, y
∗
) = 0 hay x
∗
= y
∗
. Vậy, điểm bất động của T là duy
nhất.
Chương 2
Sự tồn t ại điểm bất động chung của các
ánh xạ cyclic trong không gian mêtric
Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại của điểm bất động chung
của các ánh xạ T-cyclic tựa co và T-cyclic co kiểu Hardy - Rogers.
2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của
cặp ánh xạ T-cyclic tựa co trong không gian mêtric
Trong mục này, chúng ta sẽ đưa ra một định lý và một số hệ quả của nó về sự
tồn tại điểm bất động của cặp ánh xạ T-cyclic tựa co trong không gian mêtric
đầy đủ.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử A
1
, A
2
, , A
p
là các tập hợp con khác rỗng trong
không gian mêtric (X,d) ; f , g và T là ba ánh xạ từ

p

i=1
A
i
và chính nó
1) Ánh xạ f được gọi là cylic tựa co nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại α ∈ [0,
1
2
)
13
14
sao cho
d( f x, f y) ≤ α max{d(x, y), d(x, f x), d(x, f y), d(y, f x), d(y, f y)} (2.1)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, với mọi i=1,2, ,p; trong đó A
p+1
= A
1
.
2) Hai ánh xạ f , g được gọi là cặp T-cyclic tựa co nếu thỏa mãn điều kiện sau
(i) f (A
i
) ∪g(A
i
) ⊂ T (A
i+1
) với mọi i=1,2, ,p, trong đó A
p+1

= A
1
;
(ii) Tồn tại α ∈ [0,
1
2
) sao cho
d( f x, gy) ≤ αmax{d(T x, Ty), d(T x , f x), d(T x, gy), d(Ty, f x), d(Ty, gy)}
(2.2)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, i = 1, 2, , p; trong đó A
p+1
= A
1
.
Chú ý. Trong Định nghĩa 2.1.1.2) nếu lấy T x = x và gx = f x với mọi x ∈ X
thì f là ánh xạ cyclic tựa co.
2.1.2 Định lí. Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A
1
, A
2
, , A
p
là các
tập con khác rỗng trong X; f ,g, T là các ánh xạ từ
p


i=1
A
i
vào chính nó, thỏa mãn
điều kiện sau
(1) T đơn ánh và T (A
i
) là tập con đóng trong X với mọi i = 1, 2, , p;
(2) f và g là cặp T-cyclic tựa co.
Khi đó, f, g và T có điểm trùng (tức là điểm chung) và có duy nhất một giá trị
chung. Hơn nữa nếu ( f ,T) và (g, T ) là các cặp ánh xạ tương thích yếu thì f , g
và T có duy nhất một điểm bất động chung.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ A
i
với i nào đó thuộc {1, 2, , p}. Vì f x
0
∈ T (A
i+1
) nên
tồn tại x
1
∈ A
i+1
sao cho f x
0
= T x
1
. Vì gx

1
∈ T (A
i+2
) nên tồn tại x
2
∈ A
i+2
sao
cho gx
1
= T x
2
. Do f x
2
∈ T (A
i+3
) nên tồn tại x
3
∈ A
i+3
sao cho f x
2
= T x
3
. Tiếp
tục lý luận tương tự ta xây dựng được dãy {x
n
} trong ∪
p
i=1

A
i
thỏa mãn điều kiện
sau
(a) Nếu x
n
∈ A
i
thì x
n+1
∈ A
i+1
với i ∈ {1, 2, , p} trong đó Ap + 1 = A
1
;
15
(b) f x
2n
= T x
2n+1
,gx
2n+1
= T x
2n+2
, ∀n = 0, 1
Vì f và g là cặp T −cyclic tựa co nên theo điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.1.1
tồn tại α ∈ [0,
1
2
) sao cho

(T x
2n+1
, T x
2n+2
) = d( f x
2n
, gx
2n+1
)
≤ α max{d(T x
2n
, T x
2n+1
), d(T x
2n
, T x
2n+2
),
d(T x
2n+1
, T x
2n+1
), d(T x
2n+1
, T x
2n+1
), d(T x
2n+1
, T x
2n+2

)}
≤ α [d(T x
2
n, T x
2n+1
) +d(T x
2n+1
, T x
2n+2
)]
với mọi n = 0, 1,
Do đó ta có
d(T x
2n+1
, T x
2n+2
) ≤
α
1 −α
d(T x
2n
, T x
2n+1
) (2.3)
với mọi n = 0, 1,
Đặt λ =
α
1 −α
. Vì α ∈ [0,
1

2
) nên λ ∈ [0, 1). Tương tự như trên ta cũng chứng
minh được
d(T x
2n
, T x
2n+1
) ≤ λ d(T x
2n−1
, T x
2n
), ∀n = 0, 1, (2.4)
Từ (2.3) và (2.4) suy ra
d(T x
n
, T x
n+1
) ≤ λ d(T x
n−1
, T x
n
) ≤ λ
2
d(T x
n−2
, T x
n−1
)
≤ ≤ λ
n

d(T x
0
, T x
1
) ∀n = 1, 2, (2.5)
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và (2.5) ta có
d(T x
n
, T x
n+p
) ≤ d(T x
n
, T x
n+1
) +d(T x
n+1
, T x
n+2
) + + d(T x
n+p−1
, T x
n+p
)
≤ (λ
n
+ λ
n+1
+ + λ
n+p−1
)d(T x

0
, T x
1
)
= λ
n
.
1 −λ
p
1 −λ
d(T x
0
, T x
1
)
≤
λ
n
1 −λ
d(T x
0
, T x
1
), (2.6)
với n = 1, 2, và mọi p = 0, 1,
Vì λ ∈ [0, 1) nên vế phải của (2.6) dần tới không khi n → ∞. Từ đó suy ra {T x
n
}
16
là dãy Cauchy. Do (X, d) đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho T x

n
→ y. Từ cách
xây dựng dãy {x
n
} ta thấy rằng, với mỗi i ∈ {1, 2, , p}, tồn tại dãy con {T x
i,n
}
của dãy {T x
n
} sao cho {T x
i,n
} ⊂ T (A
i
) . Do T x
n
→ y nên kết hợp với tính đóng
của T (A
i
) suy ra y ∈ T (A
i
) với mọi i = 1, 2, , p. Do đó y ∈
p

i=1
T (A
i
) .
Mặt khác, theo giả thiết T là đơn ánh nên từ y ∈
p


i=1
T (A
i
) suy ra tồn tại
x ∈
p

i=1
A
i
sao cho y = T x. Như vậy T x
n
→ T x.
Bây giờ, ta chứng minh x là điểm chung của f ,g và T . Vì x ∈
p

i=1
T (A
i
) nên
theo điều kiện (2.2) ta có
d(y, f x) ≤ d(y, T x
2n+2
) +d(T x
2n+2
, f x)
= d(y, T x
2n+2
) +d( f x, gx
2n+1

)
≤ d(y, T x
2n+2
) +αmax
{
(T x, T x
2n+1
)d(T x, f x), d(T x, T x
2x+2
),
d(T x
2n+1
, f x), d(T x
2n+1
T x
2n+1
)
}
(2.7)
với mọi n=0,1, Vì T x
n
→ T x = y nên T x
2n+1
→ T x, T x
2n+2
→ T x. Từ đó suy
ra vế phải của (2.7) dần tới αd(y, f x). Kết hợp với (2.7) ta có
d(y, f x) ≤ α d(y, f x).
Do α ∈ [0,
1

2
) nên d(y, f x) = 0, tức là y = f x.
Tương tự ta chứng minh được y = gx. Như vậy ta có
y = f x = gx = T x.
Do đó x là điểm chung (hay điểm trùng) của f ,g và T và y giá trị chung của f , g
và T .
Giả sử f , g và T có một giá trị chung nữa là v. Khi đó, tồn tại u ∈
p

i=1
A
i
sao
cho f u = gu = Tu = v. Từ giả thiết f , g là cặp T −cyclic tựa co suy ra u ∈
p

i=1
A
i
.
17
Do đó theo điều kiện (2.2) ta có
d(y, v) = d( f x, gu)
≤ α max{d(y, v), d(y, y), d(y, v), d(v,y), d(v, v)}
= α d(y, v).
Vì α ∈ [0,
1
2
) nên d(y, v) = 0, tức y = v. Do đó giá trị chung của f ,g và T là duy
nhất .

Cuối cùng, giả sử ( f , T ) và (g, T ) là các cặp tương thích yếu. Khi đó, vì x là
điểm chung của f, g và T nên
T f x = f T x; T gx = gT x .
Từ đó suy ra Ty = f y = gy. Do đó z = f y = gy = Ty cũng là một giá trị chung
của f , g và T . Vì giá trị chung của f , g và T là duy nhất nên
f y = gy = Ty = y
Vậy y là điểm bất động chung duy nhất của f , g và T .
Sau đây là một số hệ quả của Định lý 1.1.2.
2.1.3 Hệ quả. ([4]. Therorem 2.4). Giả sử A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con đóng
khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ (X, d). Khi đó, nếu f :
p

i=1
A
i
→
p

i=1
A
i
là ánh xạ cyclic tựa co thì f có duy nhất điểm bất động z ∈
p


i=1
A
i
và dãy { f
n
x
0
}
hội tụ tới z với mọi x
0
∈
p

i=1
A
i
.
Chứng minh. Trong Định lý 2.1.2, lấy T là ánh xạ đồng nhất trên X (tức T x = x
với mọi x ∈ X )và lấy g = f , ta nhận được Hệ quả 2.1.3.
18
Trước khi phát biểu hệ quả tiếp theo của Định lý 2.1.2, ta cần các khái niệm
sau
2.1.4 Định nghĩa. ([4]). Cho X là một tập hợp khác rỗng và f , g là hai ánh xạ
từ Xvào X. Tập
p

i=1
X
i
được gọi là một biểu diễn cyclic của X giữa f và g nếu

thỏa mãn các điều kiện sau
1) X =
p

i=1
X
i
;
2) X
i
là tập con khác rỗng của X với mọi i = 1, 2, , p;
3) f (X
i
) ⊆ g(X
i+1
), với mọi i = 1, 2, p; trong đó X
p+1
= X
1
.
2.1.5 Định nghĩa. ([4]). Cho A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con đóng khác rỗng của
không gian mêtric (X, d), Y =
p


i=1
A
i
; f , T là hai ánh xạ từ Y vào chính nó. Ta
nói rằng f và T là ( f ,T) - tựa co cyclic với hằng số α nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn
1)
p

i=1
A
i
là một biểu diễn cyclic của Y giữa f và T ;
2) Tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d( f x, f y) ≤ α max{d(T x, Ty), d( f x, T x), d( f y, Ty), d( f x, Ty), d( f y, T x)},
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, với mọi i = 1, 2, , p.
2.1.6 Hệ quả. Cho A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con khác rỗng của không gian mêtric
đầy đủ (X, d) và Y :=
p


i=1
A
i
. Giả sử f , T là hai ánh xạ từ Y vào chính nó sao
cho
1) f và T là ( f , T ) là tựa co cyclic với hằng số α ∈ [0,
1
2
);
2) T đơn ánh và T (A
i
) là tập con đóng trong X với mọi i = 1, 2, , p.
Khi đó, f và T có duy nhất một giá trị chung hơn nữa nếu thêm giả thiết ( f , T )
là cặp tương thích yếu thì f và T có duy nhất một điểm bất động chung.
19
Chứng minh. Trong Định lý 2.1.2, nếu lấy g = f thì ta thấy Hệ quả này là trường
hợp đặc biệt của Định lý 2.1.2. Do đó điều cần chứng minh được suy ra từ Định
lý 2.1.2.
2.1.7 Nhận xét. Hệ quả 2.1.6 là trường hợp đặc biệt của Định lý 3.5 trong [4]
khi T là đơn ánh.
Ví dụ sau đây minh họa cho việc ứng dụng của Định lý 2.1.2.
2.1.8 Ví dụ. Giả sử X = {1, 2, 3, 4} và d : X
2
→ X là hàm được xác định bởi
d(x, y) =


















0 nếu x = y
1 nếu(x , y) ∈ {(2, 4), (4, 2)}
2 nếu(x , y) ∈ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2)}
3 nếu(x , y) ∈ {(3, 4), (4, 3)}.
Ta dễ dàng kiểm tra được d là mêtric trên X và (X, d) là không gian mêtric đầy
đủ.
Đặt A
1
= {1, 4}, A
2
= {2, 3, 4}. Khi đó, A
1
, A
2
là hai tập con đóng trong X.
Ta xác định các ánh xạ f , g, T từ A
1
∪ A

2
và chính nó bởi
f 1 = 2, f 2 = f 3 = f 4 = 4;
g1 = g2 = g3 = g4 = 4;
T 1 = 3, T 2 = 1, T 3 = 2, T 4 = 4.
Ta kiểm tra được f , g, T thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 2.1.2 với α =
1
3
.
Do đó, Định lý 2.1.2 áp dụng được cho f , g và T . Ta cũng thấy rằng f , g và T
có điểm bất động chung duy nhất là 4.
20
2.2 Về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ
T - cyclic co kiểu Hardy - Rogers
Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm cặp ánh xạ T − cyclic co kiểu
Hardy − Rogers và chứng minh một vài kết quả về sự tồn tại điểm chung và
điểm bất động chung của cặp ánh xạ này.
2.2.1 Định nghĩa. Giả sử A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con khác rỗng của không gian
mêtric (X,d); f , g và T là các ánh xạ từ
p

i=1
A
i

vào chính nó. Hai ánh xạ f và g
được gọi là cặp T − cyclic co kiểu Hardy − Rogers nếu
(i) f (A
i
) ∪g(A
i
) ⊂ T (A
i+1
) với mọi i=1,2, ,p;
(ii) Tồn tại các hằng số không âm α
1
, α
2
, , α
5
với α
1
+ α
2
+ + α
5
< 1 sao
cho
d( f x, gy) ≤ α
1
d(T x, Ty)+α
2
d(T x, f x)+α
3
d(T x, gy)+α

4
d(Ty, f x)+α
5
d(Ty, gy)
(2.8)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, với mọi i = 1, 2, , p, trong đó A
p+1
= A
1
.
2.2.2 Định lí. Giả sử A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con khác rỗng của không gian
mêtric đầy đủ (X, d); f, g và T là các ánh xạ từ
p

i=1
A
i
vào chính nó thoả mãn
các điều kiện sau
(i) T đơn ánh và T (A

i
) là tập con đóng trong X với mọi i = 1, 2, , p;
(ii) f và g là cặp T - cyclic co kiểu Hardy - Rogers với α
1
, α
2
, , α
5
thoả mãn
thêm điều kiện (α
2
−α
5
)(α
3
−α
4
) ≥ 0 (2.9)
Khi đó f ,g và T có điểm trùng nhau và có duy nhất một giá trị chung. Hơn nữa,
nếu thêm giả thiết ( f , T) và (g, T ) là hai cặp ánh xạ tương thích yếu thì f , g và
T có duy nhất một điểm bất động chung.
21
Chứng minh. Lấy x
0
∈ A
i
với i nào đó thuộc {1, 2, , p}. Vì f (A
i
) ⊆ T (A
i+1

)
nên f x
0
∈ T (A
i+1
) suy ra tồn tại x
1
∈ A
i+1
sao cho f x
0
= T x
1
. Vì g(A
i+1
) ⊂
T (A
i+2
) nên gx
1
∈ T (A
i+2
) nên tồn tại x
2
∈ A
i+2
sao cho gx
1
= T x
2

. Tiếp tục
lý luận tương tự ta xây dựng được dãy {x
n
} trong
p

i=1
A
i
thoả mãn các điều kiện
sau
(a) Nếu x
n
∈ A
i
thì x
n+1
∈ A
i+1
;
(b) f x
2n
= T x
2n+1
; gx
2n+1
= T x
2n+2
, ∀n = 0, 1,
Vì f và g là cặp T − cyclic co kiểu Hardy - Rogers nên tồn tại các hằng số

không âm α
1
, α
2
, α
5
với α
1
+ α
2
+ α
3
+ α
4
+ α
5
< 1 sao cho
d(T x
2n+1
, T x
2n+2
) = d( f x
2n
, gx
2n+1
) ≤ α
1
d(T x
2n
, T x

2n+1
) +α
2
d(T x
2n
, T x
2n+1
)
+ α
3
d(T x
2n
, T x
2n+2
) +α
4
d(T x
2n+1
, T x
2n+1
)
+ α
5
d(T x
2n+1
, T x
2n+2
)
≤ α
1

d(T x
2n
, T x
2n+1
) +α
2
(T x
2n
, T x
2n+1
)
+ α
3
[d(T x
2n
, T x
2n+1
) +d(T x
2n+1
, T x
2n+2
)]
+α
5
d(T x
2n+1
, T x
2n+2
)∀n = 0, 1, 2,
Suy ra

d(T x
2n+1
, T x
2n+2
) ≤
α
1
+ α
2
+ α
3
1 −α
3
− α
5
d(T x
2n
, T x
2n+1
)
Mặt khác ta có
d(T x
2n
, T x
2n+1
) = d(gx
2n−1
, f x
2n
) = d( f x

2n
, gx
2n−1
)
≤ α
1
d(T x
2n
, T x
2n−1
) +α
2
d(T x
2n
, T x
2n+1
) +α
3
d(T x
2n
, T x
2n
)
+α
4
d(T x
2n−1
, T x
2n+1
) +α

5
d(T x
2n−1
, T x
2n
)
≤ (α
1
+ α
5
)d(T x
2n−1
, T x
2n
) +α
2
d(T x
2n
, T x
2n+1
)
+α
4
[d(T x
2n−1
, T x
2n
) +d(T x
2n
, T x

2n+1
)]
Suy ra
d(T x
2n
, T x
2n+1
) ≤
α
1
+ α
5
+ α
4
1 −α
2
− α
4
d(T x
2n−1
, T x
2n
) ∀n = 1, 2,
22
Đặt
α
1
+ α
2
+ α

3
1 −α
3
− α
5
= q,
α
1
+ α
5
+ α
4
1 −α
2
− α
4
= r
Ta có d(T x
2n
, T x
2n+1
) ≤ rd(T x
2n−1
, T x
2n
) (2.10)
d(T x
2n+1
, T x
2n+2

) ≤ qd(T x
2n
, T x
2n+1
) (2.11)
Đặt α = qr. Từ (2.9) suy ra α ∈ [0, 1). Từ (2.10) và (2.11) ta có
d(T x
2n+1
, T x
2n
) ≤ qd(T x
2n
, T x
2n−1
) ≤ qrd(T x
2n−1
, T x
2n−2
)
≤ q
2
rd(T x
2n−2
, T x
2n−3
)
≤ ≤ q(qr)
n
d(T x
1

, T x
0
) = qα
n
d(T x
0
, T x
1
) (2.12)
và
d(T x
2n+2
, T x
2n+1
) ≤ rd(T x
2n+1
, T x
2n
) ≤ r
n
pd(T x
2n
, T x
2n−1
)
≤ ≤ α
n+1
d(T x
0
, T x

1
), ∀n = 0, 1, (2.13)
Từ (2.12) và (2.13) suy ra
d(T x
n
, T x
n+1
) ≤ max

qα

n
2

, α

n
2


d(T x
0
, T x
1
)
với mọi n = 1, 2, , trong đó

n
2


là phần nguyên của
n
2
.
Do đó, ta có d(T x
n
, T x
n+1
) ≤ (q+1)α

n
2

d(T x
0
, T x
1
) (2.14)
với mọi n = 1, 2,
Sử dụng bất đẳng thứ tam giác và (2.14) ta có
d(T x
n
, T x
n+p
) ≤ d(T x
n
, T x
n+1
) +d(T x
n+1

, T x
n+2
) + + d(T x
n+p−1
, T x
n+p
)
≤ (q + 1)(α

n
2

+ α

n +1
2

+ + α

n + p −1
2

)d(T x
0
, T x
1
)
≤ 2(q + 1)(α

n

2

+ α

n
2

+1
+ )d(T x
0
, T x
1
). (2.15)
23
với mọi n =1,2, , với mọi p= 0,1,2, Vì α ∈ [0, 1) nên chuỗi số
∞
∑
i=1
α
i
hội tụ.
Từ đó suy ra vế phải của bất đẳng thức ( 2.15) dần tới 0 khi n → ∞. Từ đó suy ra
{T x
n
} là dãy Cauchy. Do (X, d) đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho T x
n
→ y. Từ
cách xây dựng dãy {x
n
}, ta thấy với mỗi i ∈ {1, 2, , p} tồn tại dãy con {T x

i,n
}
của dãy {T x
n
} sao cho T x
i,n
⊂ T (A
i
).
Do T x
n
→ y nên T x
i,n
→ y. Kết hợp với tính đóng của T (A
i
) suy ra y ∈ T (A
i
),
với mọi i = 1, 2, , p. Do đó y ∈
p

i=1
T (A
i
).
Mặt khác theo giả thiết T là đơn ánh nên từ y ∈
p

i=1
T (A

i
) suy ra tồn tại
x ∈
p

i=1
T (A
i
) sao cho y = T x. Như vậy T x
n
→ T x.
Bây giờ, ta chứng minh x là điểm chung của f ,g và T . Vì x ∈
p

i=1
T (A
i
) nên
theo điều kiện (2.8) ta có
d(y, f x) ≤ d(y, T x
2n+2
) +d(T x
2n+2
, f x) = d(y, T x
2n+2
) +d( f x, gx
2n+1
)
≤ d(y, T x
2n+2

) +α
1
d(T x, T x
2n+1
) +α
2
d(T x, f x) + α
3
d(T x, T x
2n+2
)
+ α
4
d(T x
2n+1
, f x) + α
5
d(T x
2n+1
, T x
2n+2
)
≤ d(y, T x
2n+2
) +α
1
d(T x, T x
2n+1
) +α
2

d(T x, f x) + α
3
d(T x, T x
2n+2
)
+ α
4

d(T x
2n+1
, y) +d(y, f x)

+ α
5
d(T x
2n+1
, T x
2n+2
). (2.16)
Do T x
n
→ T x nên T x
2n+1
→ T x, T x
2n+2
→ T x. Do đó với vế phải của (2.16)
dần tới (α
2
+ α
4

)d(y, f x) từ (α
2
+ α
4
) < 1 suy ra d(y, f x) = 0. Do đó y = f x.
Tương tự, ta chứng minh được y = gx. Như vậy ta có y = gx = T x. Do đó x là
điểm chung (hay điểm trùng) của f, g và T còn y là giá tri chung của f, g và T .
Giả sử f ,g và T có một giá trị chung nữa là v. Khi đó, tồn tại u ∈
p

i=1
T (A
i
), sao
cho f u = gu = Tu = v. Vì u ∈
p

i=1
T (A
i
) nên
d(y, v) = d( f x, gu) ≤ α
1
d(y, v) + α
2
d(y, y) + α
3
d(y, v) + α
4
d(v, y) + α

5
d(v, v)
= (α
1
+ α
3
+ α
4
)d(y, v).
24
Từ α
1
+ α
3
+ α
4
< 1 suy ra d(y, v) = 0 , tức y = v. Do đó giá trị chung của f , g
và T là duy nhất.
Cuối cùng, giả sử ( f , T) và (g, T ) là cặp tương thích yếu. Khi đó, vì x là điểm
chung của f, g và T nên
T f x = f T x; T gx = gT x
Từ đó suy ra Ty = f y = gy. Do đó z = Ty = f y = gy cũng là giá trị chung của
f , g và T . Vì giá trị chung của f , g và T là duy nhất nên
f y = gy = Ty = y.
Vậy y là điểm bất động duy nhất của f, g và T .
Sau đây là các hệ quả của Định lý 2.2.2.
2.2.3 Hệ quả. Giả sử A
1
, A
2

, , A
p
là các tập con đóng khác rỗng của không
gian mêtric đầy đủ (X, d); f và g là ánh xạ từ
p

i=1
A
i
vào chính nó thỏa mãn điều
kiện sau
(i) f và g là hai ánh xạ cyclic;
(ii) Tồn tại các số không âm α
1
, α
2
, , α
5
với
α
1
+ α
2
+ + α
5
< 1,
(α
2
− α
5

)(α
3
− α
4
) ≥ 0
và
d( f x, gy) ≤ α
1
d(x, y) + α
2
d(x, f x) +α
3
d(x, gy) + α
4
d(y, f x) +α
5
d(y, gy)
với mọi x ∈ A
i
và y ∈ A
i+1
, với mọi i = 1, 2, , p trong đó A
p+1
= A
1
. Khi đó, f
và g có điểm bất động chung duy nhất trong
p

i=1

A
i
.
Chứng minh. Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.2 khi lấy T :
X → X là ánh xạ đồng nhất.