tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.89 MB, 23 trang )
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
============================================================ 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG
TIỂU LUẬN
Đề tài: Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên thực hiện : Lê Xuân Đại
Lớp: Toán-Tin 2-k51.
Hà Nội, tháng 11 năm 2009
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 2
Phần A : Mở Đầu
I – Maple là gì?
Maple là một phần mềm tính toán do hang Maple Soft,một bộ
phận của liên hợp công ty Waterloo Maple phát triển.
Cho đến nay Maple đã được phát triển qua nhiều phiên bản
khác nhau và ngày càng hoàn thiện.
Với phần mềm Maple, chúng ta có thể :
- Thực hiện tính toán khối lượng lớn , với thời gian nhanh
và độ chính xác cao.
- Sử dụng các gói chuyên dụng của Maple để giải các bài
toán cụ thể như : vẽ đồ thị (gói plot),hình học giải tích
(gói geometry),đại s
ố tuyến tính(gói linalg), …
- Ngoài ra với ngôn ngữ lập trình Maple người dùng có thể
tập hợp các thao tác lại và soạn thảo thành một chương
trình, một modul để giải các bài toán đặt ra.
- V v…
II – Nói qua về đề tài
a- Yêu cầu của bài toán :
Cho ma trận
vuông cấp n ;
Sử dụng Maple để tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A với
hai phương pháp Đanhilepski và A.N-Cờrưlốp .
b- Các bước thực hiên :
- Khái niệm về trị riêng và vecto riêng của ma trận .
- Trị riêng và vecto riêng của các ma trận đồng dạng.
- Phương pháp Đanhilepski .
- Phương pháp A.N-Cờrưlốp.
- Một số ví dụ được giải bằng Maple.
- Các gói thủ tục và hàm được sử dụng.
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 3
Phần B : Nội Dung
I- Cơ sở lý thuyết
1.Khái niệm về trị riêng và vecto riêng
Cho ma trận vuông cấp n;
Hãy tìm vecto X ≠ Ø
thỏa mãn điều kiện:
AX = λ X (1)
Số λ thỏa mãn (1) để tồn tại vecto X ≠ Ø ,được gọi là trị riêng,còn
vecto riêng X ≠ Ø tương ứng với λ để (1) thỏa mãn,gọi là vecto
riêng.
Ý nghĩa của bài toán (1) là , với vecto Y ≠ Ø, thì nói chung các
vecto AY và Y không có tỷ lệ với nhau.Nhưng nếu có λ để thỏa
mãn AX = λ X (X ≠ Ø ) thì AX và X tỷ lệ với nhau theo hệ số tỷ lệ
là λ.
Từ (1) ta có :
(A- λE)X = 0 (2)
Để tồn tại X ≠ Ø thỏa mãn (2) thì điều kiện là :
det(A- λE) = | A- λE | =0 (3)
Đa thức P(λ) = | A- λE | gọi là đa thức đặc trưng.
Giải (3) ta được các trị riêng λ,ứng với λ giải phương trình (2) ta
được các vecto riêng X ≠ Ø tương ứng.
Tuy vậy, số lượng các phép tính để tính đa thức đặc trưng
P() = | A-E | là quá lớn khi n lớn .
Để giảm s
ố lượng phép tính, ta xét vài phương pháp sẽ trình bày
sau đây:
2.Trị riêng và vecto riêng của các ma trận đồng dạng
Cho 2 ma trận A và B vuông cấp n.
Ta nói hai ma trận này đồng dạng với nhau, ký hiệu A~B , nếu
tồn tại ma trận T không suy biên (detT≠ Ø) sao cho :
B = TAT
Ta đã biết:
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 4
a.Nếu X là vecto riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ thì vecto
CX (C=const) cũng là vecto riêng ứng với trị riêng λ đó.
b.Nếu A ~B thì B ~ A
c.Nếu A~ B , B ~ C thì A ~ C
d.Nếu A ~ B thì A và B có cùng trị riêng
Như vậy tìm trị riêng của ma trận A, ta có thể tìm ma trận đồng
dạng của ma trận đồng dạng với ma trận A mà đa thức đặc trưng
của nó có thể tìm một cách dễ dàng.
3.Phương pháp Đanhilepski
Phương pháp này là đưa ma trận A v
ề dạng ma trận đồng dạng
với ma trận P nào đó , rồi từ A ~ P ta có thể tìm được đa thức đặc
trưng thuận lợi hơn.
a- Đa thức đặc trưng của ma trận dạng Phờrôbơniuýt
Ma trận Phờrôbơniuýt có dạng :
Đa thức đặc trưng của ma trận P sẽ là:
(4)
Khai triển (4) bằng quy nạp ta được
P(λ) = det(P-λE) =
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 5
Như vậy ta tìm cách đưa ma trận A tới ma trận đồng dạng với A có
dạng P,thì đa thức đặc trưng của P cũng là đa thức đặc trưng của
A.
b-Quá trình biến đổi ma trận A về dạng P
Để cách trình bày được đơn giản ta xét ma trận cấp 4 sau:
Bước 1: Đặt
,
Giả sử
Chọn
Thì det
= ≠ 0 nên tồn tại và
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 6
Khi đó
Hay
(Được hàng cuối cùng của ma trận P)
Bước 2: Giả thiết
Chọn
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 7
=>
=>
Hay
(được hàng cuối cùng của ma trận dạng P)
Bước 3: Giả thiết
Chọn
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 8
Ö
Hay
Là ma trận dạng P
Vậy
Đặt
Và
.Vậy
=>P~A
Từ đó theo (5) ta được đa thức đặc trưng của ma trận P.
Chú ý :
- với ma trận cấp 4 ta phải tiến hành 3 bước vậy với ma
trận cấp n ta phải tiến hành n-1 bước.
- Trong các bước ta đều phải giả thiết
Nếu
nào đó bằng “0” thì có 2 khả năng xảy ra là:
a.Mọi phần tử trong hàng đó đứng trước nó đều bằng “0”.chẳng
hạn
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 9
Thì đa thức đặc trưng sẽ là :
Nghĩa là ta chỉ cần biến đổi với ma trận cấp ba.
b.trường hợp trong hàng đó, các phần tử đứng trước nó có phần
tử khác “0”
Chẳng hạn
Ta tạo ra ma trận
có phần tử
như sau:
Chọn ma trận C:
Trong đó
Det C = -1 ≠ 0
Vậy tồn tại
(ma trận C là ma trận đơn vị mà ta đổi cột 2 và 3
cho nhau)
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 10
Vậy AC chính là đổi hai cột 2 và 3 cho nhau, Còn
Là đổi tiếp hàng 2 và 3 cho nhau. Với
có
Thực hiện như trên ta được kết quả.
c. Vecto riêng của ma trận A ứng với trị riêng nào đó
Từ ma trận cấp 4 đã xét theo công thức (6) ta có:
Nếu Y là một vecto riêng ứng với tri riêng λ của ma trận P thì
PY=λY,từ(7) ta suy ra
Hay
Đặt
Thì ta được AX=λX
X là vecto riêng ứng với trị riêng λ của ma trận A. Bây giờ ta đi
tìm Y là vecto riêng ứng với trị riêng λ của ma trận P.
Từ PY=λY với
Thì
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 11
Hay
(9)
Do các vecto riêng khác nhau hằng số nhân, nên trong hệ (9) ta
chọn
thì
,
, và khi đó chúng thỏa mãn phương trình
đầu của hệ (9) vì
là đa thức đặc trưng của
ma trận P.
Vậy
Theo (8) ta được vecto riêng X của ma trận A ứng với trị riêng λ:
Trường hợp A là ma trận vuông cấp n ,thì P cũng là ma trận cấp n,
ứng với trị riêng λ của ma trận của P thì vecto riêng tương ứng Y
sẽ là
Từ đó suy ra vecto riêng X ứng với trị riêng λ của ma trận A.
4.Phương pháp A.N-Cờrưlốp
a.Nội dung phương pháp
Dựa vào đồng nhất thức Hamintôn-Keli
Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là :
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 12
Ta cần tìm các hệ số
Ta đã biết , nếu (11) là đa thức đặc trưng của ma trận A thì A thỏa
mãn phương trình ma trận :
Trong đó E là ma trận cùng cấp với A.
Chọn vecto bất kỳ
Nhân hai vế của (12) với vecto
Đặt
Từ (13)ta được
Hay
Giải hệ(15) được nghiệm
là hệ số đa thức đặc trưng của ma trận A.
b.Thuật toán
Chọn vecto
bất kỳ và tính
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 13
Từ đó ta suy ra hệ (16).Giải hệ (16) được kết quả.
Chú ý: nếu hệ (16) có nghiệm duy nhất thì nó là hệ số của ma trận
đặc trưng (11) .Trong trường hợp không có nghiệm duy nhất thì ta
phải chọn lại
để hệ (16) có nghiệm duy nhất.
c. vecto riêng
Theo phương pháp Cờrưlốp ta được đa thức đặc trưng:
Khác nhau dấu cộng hoặc trừ.
Để đơn giản, giả thiết phương trình đặc trưng (17) có các nghiệm
phân biệt là
Các vecto tương ứng là
độc lập tuyến tính cần
tìm.
Theo phương pháp Cờrưlốp ta có:
Đồng thời
(18)
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 14
Đặt
Các hệ số
Sẽ được xác định như sau:
Từ (18) ta suy ra :
Nếu đặt
Thì rõ ràng
Từ (19) ta suy ra
Như vậy nếu
thì vecto riêng
tương ứng với
sẽ
là :
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 15
(vì các vecto riêng chỉ khác nhau hằng số nhân)
Từ (19) và (*) ta suy ra hệ số
Chính là các hệ số của đa thức thương
Dễ dàng ta tìm được theo sơ đồ Hoocne.
II- Một số ví dụ
Sau đây ta sẽ dùng Maple để giải một số ví dụ bằng phương pháp
Đanhilepski và A.N-Cờrưlốp.
Ví dụ 1 : Bằng phương pháp Đanhilepski tìm trị riêng và vecto
riêng của ma trận :
Giải bằng Maple
-Phương pháp Đanhilepski :
>
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 16
>
>
>
>
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 17
>
>
> with(Student[LinearAlgebra]);P:=Matrix(4, 4, {(1, 1) =
26-lambda, (1, 2) = 164, (1, 3) = -722, (1, 4) = -1, (2, 1)
= 1, (2, 2) = -lambda, (2, 3) = 0, (2, 4) = 0, (3, 1) = 0,
(3, 2) = 1, (3, 3) = -lambda, (3, 4) = 0, (4, 1) = 0, (4,
2) = 0, (4, 3) = 1, (4, 4) = -lambda});
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 18
>
>
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 19
>
>
>
>
Ví dụ 2:Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A :
Giải bằng Maple với phương pháp A.N Cờrưlốp :
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 20
>
>
>
>
>
>
>
>
>
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 21
(*)Trong các ví dụ trên có sử dụng các gói thủ tục và hàm của
Maple :
- Gói thủ tục LinearAlgebra : cung cấp những thủ tục để
xây dựng và thao tác trên các ma trận và vecto ,bao gồm
các việc như : tính toán các thao tác tiêu chuẩn, câu hỏi
kết quả và giải quyết các vấn đề về đại số tuyến tính.khi
bạn nạp bằng lệnh with bạn sẽ thấy tất cả các hàm trong
bộ chương trình đó :
>
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 22
- Hàm evalm : cho phép chúng ta thực hiện các phép tính
trên ma trận và vecto :
+)
Cộng vecto hoặc ma trận >evalm(A+B),
+)
Nhân ma trận hoặc vecto với ma trận
>evalm(A&*B); >eval(A&*v);
+)
Nghịch đảo ma trận : >evalm(A^(-1));
+)
Lũy thừa của ma trận : >evalm(A^n); n : nguyên
+)
Tích vô hướng :
>evalm(2*A&*B-C&* (a*v));
+)
Đồng nhất ma trận :
>evalm(A - lambda * &*())
- LinearSolve(A,b) : hàm giải phương trình AX=b.
>evalm(LinearSolve(A,b));
- Determinant(A): Hàm tính định thức của ma trận.
>Determinant(A);
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận
============================================================ 23
Phần C : Kết luận
Đề tài nói được khái niệm về trị riêng và vecto riêng của ma
trận, cách tìm đa thức đặc trưng ,trị riêng ,vecto riêng bằng các
phương pháp Đanhilepski và A.N Cờrưlốp .
Sử dụng Maple để tìm trị riêng vecto riêng theo hai thuật toán
nói trên.
Biết được bộ chương trình đại số tuyến tính LinearAlgebra và
with với 1 số phép toán trên ma trận và vecto trong Maple.
Do khả năng có hạn nên bài làm còn nhiều chỗ thiếu sót rất
mong sự đóng góp ý kiến của thầy để
em có thể làm tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
1.Giáo trình : Giải tích số - Lê Trọng Vinh , NXB khoa học
và kỹ thuật .
2.Hướng dẫn sử dụng Maple – Nguyễn Hữu Điển.
3.Các tài liệu lấy trên internet.
….
===============================================================
Giảng viên : Nguyễn Hữu Điển
Sinh viên : Lê xuân Đại Lớp : Toán tin 1-K51 ĐH Bách Khoa Hà nội
