Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung

i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của cô giáo - Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin bày
tỏ lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Cô đã hướng dẫn
và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc chương trình Cao học và
hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Lập Thạch,
Tập thể hội đồng sư phạm nhà trường đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả
học tập và hoàn thành tốt khóa học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn
bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 15 đợt 1 niên khóa
2011 - 2013 để tác giả hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2013
Tác giả
Dương Chiến Thắng
ii
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại Trương Đại học Sư phàm Hà Nội 2 dưới
Sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành không trùng với bất kỳ
luận văn nào khác.
Hà Nội, tháng 8 năm 2013
Tác giả
Dương Chiến Thắng
Mục lục

Mở đầu 1
1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 3
1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach. . . . . 3
1.2 Toán tử giả nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung. 6
1.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều. . . . . . . . 7
1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát. . . . . . 9
2 Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 17
2.1 Nhiễu của các toán tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Ứng dụng vào lý thuyết khung. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Mở rộng lý thuyết khung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
iii
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1877, Carl Neumann đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Nếu X
là một không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính thỏa
mãn I − T < 1 thì T là một ánh xạ khả nghịch. Định lý này nói rằng
nếu T đủ gần với ánh xạ đồng nhất I thì T khả nghịch. Thực ra điều kiện
để T khả nghịch có thể yếu hơn nhiều.
Năm 1948, Hilding [7] đã chứng minh định lý ở dạng tổng quát hơn:
Nếu X là không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính,
λ ∈ [0; 1) và với mọi x ∈ X, (I − T )x ≤ λ(x + T x) thì T là ánh
xạ khả nghịch.
Thay vì gắn với I, nếu xét toán tử V gần với một toán tử khả nghịch
U theo một nghĩa tương tự như của Hilding thì cũng có thể khẳng định
được V khả nghịch. Kết quả trên đặc biệt có ý nghĩa khi ứng dụng vào lý
thuyết khung.
Khung trong không gian Hilbert được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer

[6] vào năm 1952 khi đang nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức
là chuỗi thiết lập từ

e
iλ
n
x

n∈Z
trong đó λ
n
∈ R hoặc C, ∀n ∈ Z . Tuy
nhiên khung không nhận được sự quan tâm rộng rãi cho đến khi bài báo
của Daubechies, Grossmann và Meyer [5] ra đời năm 1986. Kể từ đó, lý
thuyết khung bắt đầu phát triển mạnh mẽ do những ứng dụng trong xử
lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử. . .
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán nhiễu của các toán
tử và sử dụng chúng vào nghiên cứu tính ổn định của các khung dưới
các nhiễu trong cả không gian Hilbert và Banach, nhờ sự giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của Cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn
1
2
nghiên cứu đề tài: ”Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết
khung ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiễu của các toán tử và ứng
dụng vào lý thuyết khung.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về nhiễu của các toán tử.
Nghiên cứu tính ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả không

gian Hilbert và Banach.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái niệm
và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung, nhiễu của các toán tử và ứng
dụng vào lý thuyết khung.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung.
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu và các bài báo về nhiễu của các toán tử và ứng dụng
vào lý thuyết khung.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán nhiễu của các toán tử
và ứng dụng vào lý thuyết khung.
Chương 1
Một số khái niệm và kết quả ban
đầu
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽ dùng
trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [3], [9], [10].
1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach.
Toán tử tuyến tính T từ không gian Banach H vào không gian Banach
K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c>0 sao
cho
T x ≤ c x, với mọi x ∈ X (1.1)
Ký hiệu B(X,Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X
vào Y. Khi X=Y thì B(X,Y ) được ký hiệu đơn giản là B(X ).
Chuẩn của T ∈ B(X, Y ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói một cách tương đương,
T  = sup {Tx : x ∈ X, x ≤ 1}
= sup {T x : x ∈ X, x = 1}.

Gọi X’ là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X,
X’ được gọi là không gian đối ngẫu của không gian X.
3
4
Ký hiệu x ∈ X, x
∗
∈ X

v`a x, x
∗
 := x
∗
(x)
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X,Y,Z là các không gian Banach.
Nếu T ∈ B(X, Y ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T
∗
∈ B(Y

, X

) sao
cho T x, y
∗
 = x, T
∗
y
∗
, (x ∈ X, y
∗
∈ Y


) .
Hơn nữa
i)(aS + bT )
∗
= aS
∗
+ bT
∗
.
ii)(RS)
∗
= S
∗
R
∗
.
iii) Nếu T khả nghịch thì T
∗
cũng khả nghịch và

T
−1

∗
= (T
∗
)
−1
,

trong đó S, T ∈ B(X, Y ) và R ∈ B(Y, Z), a, b ∈ C.
Toán tử T
∗
ở mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B(X, Y ) và S ∈ B (Y, Z) . Khi đó
i) T x ≤ T x, ∀x ∈ X.
ii) ST  ≤ ST .
iii) T  = T
∗
.
Giả sử X là không gian Banach, M là không gian con của X và N là
không gian con của X’. Ta định nghĩa
M
⊥
= {x
∗
∈ X

: x, x
∗
 = 0, ∀x ∈ M},
⊥
N = {x ∈ X : x, x
∗
 = 0, ∀x
∗
∈ N}.
Giả sử T ∈ B(X, Y ).Ta ký hiệu
N(T ) = {x ∈ X : Tx = 0},
R(T ) =


y ∈ Y : y = T x với x ∈ X

.
Định lý 1.1.3. Giả sử X,Y là các không gian Banach, T ∈ B(X, Y ). Khi
đó N (T
∗
) = R(T )
⊥
và N (T ) =
⊥
R(T
∗
).
Trong trường hợp các không gian là Hilbert thì ta có
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử H,K,L là các không gian Hilbert.
5
Nếu T ∈ B(H, K)thì tồn tại duy nhất một phần tử T
∗
∈ B(K, H) sao
cho T
∗
x, y = x, Ty, ∀x ∈ K,∀y ∈ H
Hơn nữa
i) (aS + bT)
∗
= aS
∗
+ bT
∗

ii) (RS)
∗
= S
∗
R
∗
iii) (T
∗
)
∗
= T
iv) I
∗
= I
v) Nếu T khả nghịch thì T
∗
cũng khả nghịch và

T
−1

∗
= (T
∗
)
−1
,
trong đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K,L) và a,b ∈ C.
Toán tử T
∗

ở mệnh đề 1.1.4 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.
Mệnh đề 1.1.5. Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K,L). Khi đó
i) T x ≤ T x, ∀x ∈ X.
ii) ST  ≤ ST .
iii) T  = T
∗
.
iv) T
∗
T  = T 
2
.
Định lý 1.1.6. Nếu T ∈ B(H) thì N (T
∗
) = R(T )
⊥
và N (T ) = R(T
∗
)
⊥
.
Định nghĩa 1.1.7. Cho H là không gian Hilbert và T ∈ B(H). T được
gọi là toán tử tự liên hợp nếu T
∗
= T, là unita nếu T
∗
T = T T
∗
= I .
T được gọi là dương ( ký hiệu T ≥ 0 ) nếu T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H.

T, K ∈ B(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0.
Mệnh đề 1.1.8. Cho H là không gian Hilbert. Giả sử T ∈ B(H). Khi đó
các điều kiện sau đây là tương đương.
i) T là dương.
ii) T=S
2
trong đó S là toán tử dương.
iii) T=V
∗
V trong đó V ∈ B(H).
Toán tử S trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T, ký hiệu
là T
1
2
.
6
1.2 Toán tử giả nghịch đảo.
Từ đại số ma trận ta biết rằng không phải tất cả các ma trận đều có
ma trận nghịch đảo. Ta muốn tìm một dạng “nghịch đảo suy rộng” trong
trường hợp không tồn tại nghịch đảo mà vẫn nắm giữ ít nhất một vài đặc
tính hữu ích.
Cho ma trận E(mxn), chúng ta xem nó như là một ánh xạ tuyến tính
từ C
n
vào C
m
. E không nhất thiết là một đơn ánh, nhưng bằng cách giới
hạn E trên phần bù trực giao của hạch N
E
, chúng ta có một ánh xạ tuyến

tính đơn ánh.

E : N
⊥
E
→ C
m
E và

E có cùng miền giá trị, R

E
= R
E
do vậy

E được xem như là một
ánh xạ tuyến tính từ N
⊥
E
đến R
E
có một nghịch đảo


E

−1
: R
E

→ N
⊥
E
.
Chúng ta có thể mở rộng


E

−1
thành một toán tử E
†
: C
m
→ C
n
bằng cách định nghĩa:
E
†
(y + z) =


E

−1
y nếu y ∈ R
E
, z ∈ R
⊥
E

(1.2)
Với định nghĩa này
EE
†
x = x, ∀x ∈ R
E
. (1.3)
Toán tử E
†
được gọi là giả nghịch đảo của E. Từ định nghĩa đó chúng
ta có:
N
E
†
= R
⊥
E
= N
E
∗
, R
E
†
= N
⊥
E
= R
E
∗
(1.4)

1.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung.
Trong nghiên cứu không gian véc tơ một trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được viết
như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên,
điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các thành phần và đôi khi chúng ta thậm chí yêu cầu các thành phần
trực giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc
thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lí
7
do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn.
Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian véc tơ được
trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian
được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,
nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung là không cần thiết.
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ
bản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2. Các kết quả của mục
này có thể tham khảo trong [1], [3].
Trước tiên chúng ta xem xét trường hợp không gian là hữu hạn chiều.
1.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều.
Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, được trang bị một tích
vô hướng <.,.>. Nhớ lại rằng một dãy {e
j
}
m
j=1
trong V là một cơ sở của
V nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn
i) V =span {e
j
}

m
j=1
.
ii) {e
j
}
m
j=1
là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu
m

j=1
c
j
e
j
= 0 với các hệ
số vô hướng {c
j
}
m
j=1
thì c
j
= 0, (j=1,2, ,m).
Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ V có một biểu diễn duy
nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại các hệ số vô hướng
duy nhất {c
j
}

m
j=1
sao cho
f =
m

j=1
c
j
e
j
(1.5)
Nếu {e
j
}
m
j=1
là một cơ sở trực chuẩn, nghĩa là là một cơ sở với
e
i
, e
j
 = δ
ij
=

0 nếu i = j
1 nếu i = j
,
Khi đó hệ số {c

j
}
m
j=1
rất dễ tìm, đó chính là tích trong của f trong (1.5)
8
với một e
j
tùy ý
f, e
j
 =

m

i=1
c
i
e
i
, e
j

=
m

i=1
c
i
e

i
, e
j
 = c
j
Vì vậy
f =
m

j=1
f, e
j
e
j
(1.6)
Bây giờ ta giới thiệu về khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung {f
j
}
m
j=1
cũng cho ta một biểu diễn như (1.5).
Định nghĩa 1.3.1. Một họ đếm được của các véc tơ {f
j
}
j∈J
trong V được
gọi là một khung của V nên tồn tại các hằng số A,B>0 sao cho
Af
2
≤


j∈J
|f, f
j
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ V (1.7)
Các số A,B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận
khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận
khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng
các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Trong không gian véc tơ hữu hạn chiều sẽ là không tự nhiên(mặc dù có
thể) khi xét các họ {f
j
}
j∈J
có vô hạn các phần tử. Trong phần này chúng
ta chỉ xem xét các họ hữu hạn {f
j
}
m
j=1
, m ∈ N. Với hạn chế này, bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz chỉ ra rằng
m

j=1
|f, f

j
|
2
≤
m

j=1
f
j

2
f
2
với mọi f ∈ V , nghĩa là, điều kiện khung
trên tự động được thỏa mãn. Tuy nhiên, ta có thể tìm một cận khung trên
tốt hơn
m

j=1
f
j

2
.
Để cho điều kiện dưới trong (1.7) thỏa mãn, cần thiết rằng
span {f
j
}
m
j=1

= V . Điều kiện này là đủ; mọi dãy hữu hạn là một khung
cho bao tuyến tính của nó.
Mệnh đề 1.3.2. Cho {f
j
}
m
j=1
là một dãy trong V. Khi đó {f
j
}
m
j=1
là một
9
khung cho span {f
j
}
m
j=1
.
Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các f
j
đều
bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với B =
m

j=1
f
j


2
. Bây giờ lấy W :=span {f
j
}
m
j=1
và xem xét ánh xạ liên tục
∅ : W → R, ∅ (f) :=
m

j=1
|f, f
j
|
2
.
Hình cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với
g = 1 sao cho
A :=
m

j=1
|g, f
j
|
2
= inf




m

j=1
|f, f
j
|
2
: f ∈ W , f = 1



.
Rõ ràng là A>0. Bây giờ ta lấy f ∈ W , f = 0, ta có
m

j=1
|f, f
j
|
2
=
m

j=1





f

f
, f
j





2
f
2
≥ Af
2
.
Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 1.3.3. Một họ các phần tử {f
j
}
k
j=1
trong V là một khung của V
khi và chỉ khi span {f
j
}
k
j=1
= V.
Hệ quả 1.3.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để làm cơ sở. Đặc biệt, nếu {f
j

}
k
j=1
là một khung của V và
{g
j
}
m
j=1
là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì
{f
j
}
k
j=1
∪ {g
j
}
m
j=1
cũng là một khung của V.
1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát.
Cho H là một không gian Hilbert tách được, với tích vô hướng < ., . >
tuyến tính theo thành phần thứ nhất. Họ các phần tử {f}
∞
i=1
⊆ H được
10
gọi là dãy Bessel nếu ∃B > 0 :
∞


i=1
|f, f
i
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ H. Một dãy
Bessel {f
i
}
∞
i=1
là một khung nếu ∃A > 0 : Af
2
≤
∞

i=1
|f, f
i
|
2
, ∀f ∈ H.
Điều đó có nghĩa là dãy {f
i
}
∞
i=1

trong H là một khung nếu tồn tại hai
hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho
Af
2
≤
∞

i=1
|f, f
i
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ H.
Khung {f
i
}
∞
i=1
được gọi là chặt nếu A=B và được gọi là khung Parseval
nếu A=B=1.
Ví dụ 1.3.4. Lấy H = C
2
, e
1
= (0, 1)
T
, e
2

=

√
3
2
,
1
2

T
, e
3
=

√
3
2
, −
1
2

T
.
{e
1
, e
2
, e
3
} là một khung chặt với cận khung là

3
2
. Thật vậy, với x =
(x
1
, x
2
)
T
∈ H bất kỳ, ta có
3

j=1
|x, e
j
|
2
= |x
2
|
2
+





√
3
2

x
1
+
1
2
x
2





2
+





√
3
2
x
1
−
1
2
x
2






2
=
3
2

|x
1
|
2
+ |x
2
|
2

=
3
2
x
2
.
Ví dụ 1.3.5. Giả sử {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H.

(i) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {e
k
}
∞
k=1
2 lần ta thu được
{f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
2
, } khi đó {f
k
}
∞
k=1
là khung chặt với cận khung
A=2.
Thật vậy, ta có
∞

k=1

|f, f
k
|
2
= 2
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= 2f
2
, ∀f ∈ H.
Nếu chỉ e
1
được lặp lại ta thu được {f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
3

, } khi đó
11
{f
k
}
∞
k=1
là một khung với cận A=1,B=2. Thật vậy, ta có
∞

k=1
|f, f
k
|
2
= |f, e
1
|
2
+
∞

k=1
|f, e
k
|
2
≤
∞


k=1
|f, e
k
|
2
+
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= 2
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= 2f
2
.
Mặt khác |f, e
1
|
2
+
∞


k=1
|f, e
k
|
2
≥
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= f
2
Do đó f
2
≤
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ 2f
2
, ∀f ∈ H.
Vì vậy {f

k
}
∞
k=1
là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận
khung trên là 2.
(ii) Giả sử {f
k
}
∞
k=1
:=

e
1
,
1
√
2
e
2
,
1
√
2
e
2
,
1
√

3
e
3
,
1
√
3
e
3
,
1
√
3
e
3
,

, nghĩa là
{f
k
}
∞
k=1
là dãy mà mỗi véc tơ
1
√
k
e
k
được lặp lại k lần. Khi đó với mỗi

f ∈ H có
∞

k=1
|f, f
k
|
2
=
∞

k=1
k





f, f
1
√
k
e
k





2

= f
2
Vì thế {f
k
} là một khung chặt của H với cận khung A=1.
Ví dụ 1.3.6. Cho K = L
2
(T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo
Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó

e
ins
: n ∈ Z

là một cơ sở trực chuẩn tiêu
chuẩn cho L
2
(T ). Nếu E ⊆ T là tập đo được bất kỳ thì

e
ins


E
: n ∈ Z

là một khung Parseval cho L
2
(E).
Chứng minh. Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.7. Cho H là một không gian Hilbert và K là một không gian
con đóng của H. Gọi P là phép chiếu trực giao từ H lên K và {e
i
}
i∈I
là một
cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó {P e
i
}
i∈I
là một khung Parseval của K.
12
Chứng minh. Gọi f là một phần tử thuộc K bất kỳ. Khi đó P f = f.
Ta có

i∈I
|f, Pe
i
|
2
=

i∈I
|P f, e
i
|
2
=

i∈I

|f, e
i
|
2
= f
2
.
Do đó {P e
i
}
i∈I
là một khung Parseval của K.
Cho f ∈ L
2
(E). Đặt

f(t) =

f(t) nếu t ∈ E
0 nếu t ∈ T\E
Khi đó

f (t) ∈ L
2
(T ). Do đó bằng cách đồng nhất f v`a

f ta có thể coi
L
2
(E) là một không gian con đóng của L

2
(T ). Gọi P là phép chiếu trực
giao từ L
2
(T ) lên L
2
(E) khi đó P (e
ins
) = e
ins


E
. Do

e
ins

n∈Z
là cơ sở
trực chuẩn của L
2
(T ) nên theo bổ đề 1.3.7

e
ins


E


n∈Z
là khung Parseval
cho L
2
(E).
Từ định nghĩa ta suy ra nếu {f
i
}
∞
i=1
là một khung hoặc chỉ là dãy Bessel
thì dãy {f, f
i
}
∞
i=1
là dãy thuộc l
2
(N). Ta có thể định nghĩa toán tử:
U : H → l
2
(N), U f = {f, f
i
}
∞
i=1
Rõ ràng toán tử U là tuyến tính.
Do Uf
2
=

∞

i=1
|f, f
i
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ H.
nên U là bị chặn và U ≤
√
B.
Nếu U là một khung thì Uf
2
≥ Af
2
, ∀f ∈ H nên U phải là một
đơn ánh.
Ký hiệu e
j
= (0, , 0, 1, 0, , 0) trong đó 1 ở vị trí thứ j và 0 ở các vị
trí còn lại. Khi đó {e
i
}
∞
i=1
làm thành cơ sở trực chuẩn của l
2
(N). Cơ sở

trực chuẩn này thường được gọi là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l
2
(N).
Gọi T : l
2
(N) → H là toán tử liên hợp của U. Theo định nghĩa toán tử
liên hợp thì:
f, Te
j
 = Uf, e
j
 =

∞

i=1
f, f
i
e
i
, e
j

= f, f
j
, ∀f ∈ H.
13
Do đó T e
j
= f

j
, ∀j ∈ N. Do U là toán tử tuyến tính bị chặn nên toán
tử T cũng là tuyến tính bị chặn và vì vậy
T

∞

i=1
c
i
e
i

=
∞

i=1
c
i
T e
i
=
∞

i=1
c
i
f
i
.

Do T  = U và U ≤
√
B nên T  ≤
√
B.
Toán tử U thường được gọi là toán tử phân tích, toán tử T thường được
gọi là toán tử tổng hợp.
Toán tử S định nghĩa bởi S = TU thường được gọi là toán tử khung.
Lấy liên hợp ta có S
∗
= (T U)
∗
= U
∗
T
∗
= T U = S. Vậy S là toán tử tự
liên hợp.
Ta có: Sf = T Uf = T ({f, f
i
}
∞
i=1
) =
∞

i=1
f, f
i
f

i
Và Sf, f =

∞

i=1
f, f
i
f
i
, f

=
∞

i=1
f, f
i
f
i
, f =
∞

i=1
|f, f
i
|
2
.
Do đó {f

i
}
∞
i=1
là một khung khi và chỉ khi
A f, f ≤ Sf, f ≤ B f, f, ∀f ∈ H.
Điều đó có nghĩa là AI ≤ S ≤ BI với A,B>0. Do đó S là toán tử dương
và bị chặn dưới bởi hằng số A>0.
Bổ đề 1.3.8. Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn S trên H là bị chặn dưới
bởi một hằng số dương chặt A thì S là khả nghịch và S
−1
bị chặn bởi
1
A
.
Chứng minh. Gọi R(S) = {f ∈ H : f = Sg, g ∈ H}. Ta sẽ chứng minh
R(S) là một không gian con đóng của H. Điều này có nghĩa là mọi dãy
Cauchy trong R(S) có giới hạn trong R(S).
Thật vậy, giả sử {f
n
} là một dãy Cauchy trong R(S). Khi đó f
n
= Sg
n
với g
n
∈ H.
Ta có g
n
− g

m

2
≤
1
A
S (g
n
− g
m
) , g
n
− g
m
 ≤
1
A
S (g
n
− g
m
)g
n
− g
m

do S ≥ AI nghĩa là Sf, f ≥ Af
2
, ∀f ∈ H. Từ đó suy ra
g

n
− g
m
 ≤
1
A
S(g
n
− g
m
) =
1
A
f
n
− f
m
. Vì vậy {g
n
}là dãy Cauchy
14
trong H. Do đó nó phải có giới hạn g . Do S là liên tục nên Sg = lim
n→∞
Sg
n
=
lim
n→∞
f
n

. Vậy R(S) là không gian con đóng của H.
Bây giờ ta sẽ đi chứng minh phần bù trực giao của R(S) là {0}.
Thật vậy, nếu f, Sg = 0, ∀g ∈ H, thì đặc biệt f, Sf = 0.
Nhưng f, Sf ≥ Af
2
. Vì vậy f = 0 và do đó f = 0. Kết hợp với
R(S) là không gian con đóng của H nên R(S) = H và vì vậy S là toàn
ánh. Do f, Sf ≥ Af
2
nên S là đơn ánh. Vậy S là khả nghịch.
Với bất kỳ f ∈ H ta có thể viết f = Sg hay tương đương S
−1
f = g.
Hơn nữa A


S
−1
f


2
≤

SS
−1
f, S
−1
f


=

f, S
−1
f

≤ f


S
−1
f


. Do
đó


S
−1
f


≤
1
A
f, ∀f ∈ H tức là S bị chặn bởi
1
A
.

Ta có khai triển khung sau:
f = SS
−1
f =
∞

i=1

S
−1
f, f
i

f
i
=
∞

i=1

f, S
−1
f
i

f
i
, ∀f ∈ H.
Ta có thể chứng minh được


S
−1
f
i

là một khung của H.
Thật vậy
∞

i=1



f, S
−1
f
i



2
=
∞

i=1



S
−1

f, f
i



2
=


S
−1
f


2
≤


S
−1


2
f
2
, ∀f ∈ H.
Mặt khác


S

−1
f


2
≥
1
S
2
f
2
.
Vậy
1
S
2
f
2
≤
∞

i=1



f, S
−1
f
i




2
≤


S
−1


2
f
2
, ∀f ∈ H.
Do đó

S
−1
f
i

là một khung.

S
−1
f
i

được gọi là khung đối ngẫu của khung {f
i

}
∞
i=1
.
Với mỗi f ∈ H ta có f =
∞

i=1

f, S
−1
f
i

f
i
, nghĩa là f = T

f, S
−1
f
i

∞
i=1

.
Từ đó ta suy ra toán tử tổng hợp T là toàn ánh.
Định nghĩa 1.3.9. Một cơ sở Riesz là một họ có dạng {f
i

}
∞
i=1
= {T e
i
}
∞
i=1
15
ở đây {e
i
}
∞
i=1
là một cơ sở trực chuẩn của H và T ∈ £ (H) . Trong đó
£ (H) ký hiệu là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục khả nghịch từ
H → H.
Mệnh đề 1.3.10. {f
i
}
∞
i=1
là cơ sở Riesz khi và chỉ khi {f
i
}
∞
i=1
là một
khung và
∞


i=1
c
i
f
i
= 0, {c
i
}
∞
i=1
∈ l
2
(N) ⇒ c
i
= 0, ∀i
Chứng minh. (⇒) Giả sử {f
i
}
∞
i=1
là cơ sở Riesz của không gian Hilbert H,
nghĩa là f
i
= T e
i
, ∀i, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch
và {e
i
}

∞
i=1
là một cơ sở trực chuẩn của H.
Với ∀f ∈ H ta có
∞

i=1
|f, f
i
|
2
=
∞

i=1
|f, Te
i
|
2
= T
∗
f
2
≤ T
∗

2
f
2
= T 

2
f
2
.
Đặt g = T
∗
f khi đó f = (T
∗
)
−1
g.
T
∗
f
2
= g
2
≥

(T
∗
)
−1
g

2

(T
∗
)

−1

2
=
f
2

(T
−1
)
∗

2
=
f
2
T
−1

.
Vì vậy
1
T
−1

2
f
2
≤
∞


i=1
|f, f
i
|
2
≤ T 
2
f
2
, ∀f ∈ H.
Vậy {f
i
} là một khung.
Giả sử
∞

i=1
c
i
f
i
= 0 với {c
i
}
∞
i=1
∈ l
2
(N). Khi đó

0 =
∞

i=1
c
i
f
i
=
∞

i=1
c
i
T e
i
= T

∞

i=1
c
i
e
i

Do T khả nghịch nên
∞

i=1

c
i
e
i
= 0.
Do {e
i
} là cơ sở trực chuẩn nên c
i
= 0, ∀i.
(⇐) Giả sử {f
i
} là một khung và
∞

i=1
c
i
f
i
= 0 với {c
i
}
∞
i=1
∈ l
2
(N) thì
c
i

= 0, ∀i.
Gọi {e
i
} là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l
2
(N). Do {f
i
} là một khung
nên toán tử tổng hợp T là toàn ánh.
Điều kiện

c
i
f
i
= 0 kéo theo c
i
= 0, ∀i nói lên T là đơn ánh. Vậy T là
song ánh thỏa mãn f
i
= T e
i
, ∀i. Do đó {f
i
} là cơ sở Riesz.
Mệnh đề được chứng minh.
Trong những ứng dụng của các khung, điều quan trọng là phải biết sự
16
khác nhau giữa một khung và một cơ sở Riesz. Một phương pháp tiếp cận
là đưa ra một cơ sở gần Riesz như là một khung chứa một cơ sở Riesz thêm

vào hữu hạn phần tử. Hướng tiếp cận thứ hai là đưa ra một khung Riesz
được định nghĩa như là một khung, ở đó mọi họ con đều là một khung của
bao tuyến tính đóng của nó, với các cận A,B chung cho tất cả các khung
này. Khung Riesz chung nhiều tính chất với cơ sở Riesz và chúng luôn luôn
chứa một cơ sở Riesz như là một họ con.
Chương 2
Nhiễu của các toán tử và ứng dụng
vào lý thuyết khung.
Một kết quả cổ điển đã được phát biểu là: Một toán tử U trên một không
gian Banach là khả nghịch nếu nó đủ gần toán tử đồng nhất I nghĩa là
I − U < 1. Ở đây chúng ta chứng minh U thật sự khả nghịch dưới một
điều kiện yếu hơn. Như một ứng dụng, chúng ta chứng minh những định lí
liên quan đến sự ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả các không
gian Banach và các không gian Hilbert.
Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong các tài liệu [1], [2],
[4], [7], [8].
2.1 Nhiễu của các toán tử.
Trong mục này X và Y là các không gian Banach. Tập những toán tử
khả nghịch, tuyến tính, bị chặn từ X vào Y được ký hiệu là £(X,Y) hoặc
£(X) nếu X = Y.
Chúng ta bắt đầu với một điều kiện để một toán tử giữa những không
gian Banach là khả nghịch. Hầu hết việc chứng minh liên quan đến điều
kiện kéo theo toán tử là toàn ánh. Hilding mới chỉ xét trong trường hợp
toán tử trên không gian Hilbert nhưng chứng minh của ông được sử dụng
trong trường hợp tổng quát hơn mà ta đang thảo luận ở đây.
17
18
Bổ đề 2.1.1. Cho U : X → X là một toán tử tuyến tính và giả sử rằng tồn
tại các hằng số λ
1

, λ
2
∈ [0; 1) sao cho Ux − x ≤ λ
1
x+ λ
2
Ux ∀x ∈
X . Khi đó U ∈ £ (X) và
1−λ
1
1+λ
2
x ≤ Ux ≤
1+λ
1
1−λ
2
x;
1−λ
2
1+λ
1
x ≤


U
−1
x



≤
1+λ
2
1−λ
1
x, ∀x ∈ X.
Chứng minh. Đặt λ = max {λ
1
, λ
2
}và ε=
1−λ
1+λ
. Chúng ta chứng minh Bổ
đề 2.1.1 theo hai bước.
Bước 1: Với bất kỳ α ≤ 0, αx − Ux ≥ ε x với mọi x ∈ X.
Để chứng minh ta có:
x − Ux ≤ λ x + λ Ux
= λ x + λ αx − Ux −αx
≤ λ x + λ (αx −Ux+ αx)
= λ x + λ αx − Ux + λ (−α) x
≤ λ αx − Ux + λ(1 − α) x.
Và
x − Ux = (1 − α) x + (αx −Ux)
≥ (1 − α) x −αx −Ux.
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có:
(1 − α) x − αx − Ux ≤ x − Ux
≤ λ αx − Ux + λ (1 − α) x
Do α ≤ 0 nˆen 1-α ≥ 1 và
αx −Ux ≥

(1 − λ) (1 − α)
1 + λ
x ≥ ε x.
Bước 2. U là toàn ánh.
Đặt E =

α ≤ 0 : αx
∗
− U
∗
x
∗
 ≥
ε
2
x
∗
, ∀x
∗
∈ X
∗

19
E đóng và khác rỗng, vì α = −(1 + U
∗
) ∈ E.
Thật vậy
αx
∗
− U

∗
x
∗
 ≥ αx
∗
 − U
∗
x
∗

= −α x
∗
 − U
∗
x
∗

≥ −α x
∗
 − U
∗
x
∗

= −(α + U
∗
) x
∗
.
Do đó khi α = −(1 + U

∗
) tức là −α −U
∗
 = 1 thì
αx
∗
− U
∗
x
∗
 ≥ x
∗
. Do 0 < ε ≤ 1 nên x
∗
 ≥
ε
2
x
∗

Vì vậy αx
∗
− U
∗
x
∗
 ≥
ε
2
x

∗
, ∀x
∗
∈ X
∗
. Điều này có nghĩa là α ∈ E.
Nếu α ∈ E, thì (αI
∗
− U
∗
) là một đơn ánh và do đó αI − U là một
toàn ánh.
Theo bước 1 thì αI −U là một đơn ánh. Vậy αI −U là phép đẳng cấu.
Ta có



(αI
∗
− U
∗
)
−1



=





(αI − U)
−1

∗



=



(αI − U)
−1



Do theo bước 1 (αI −U) x ≥ ε x, ∀x ∈ X
nên
(αI−U)x
ε
≥



(αI − U)
−1
(αI − U) x




, ∀x ∈ X.
Vì vậy



(αI − U)
−1



≤
1
ε
Do đó, với mỗi x
∗
∈ X

ta có (αI
∗
− U
∗
) x
∗
 ≥ ε x
∗
 .
Thật vậy do




(αI
∗
− U
∗
)
−1



≤
1
ε
và
ε x
∗
 = ε



(αI
∗
− U
∗
)
−1
(αI
∗
− U
∗

) x
∗



≤ ε



(αI
∗
− U
∗
)
−1



. (αI
∗
− U
∗
) x
∗

≤ (αI
∗
− U
∗
) x

∗

20
nên ε x
∗
 ≤ (αI
∗
− U
∗
) x
∗
 và theo bất đẳng thức tam giác




α +
ε
2

I
∗
− U
∗

x
∗




≥ (αI
∗
− U
∗
)x
∗
 −
ε
2
x
∗

≥
ε
2
x
∗
.
Điều trên chỉ ra rằng với mỗi α ∈ E ta có E ∩

α, α +
ε
2

⊂ E.
Do đó 0 ∈ E và U* là một đơn ánh và do đó suy ra U là toàn ánh.
Ta kết thúc bằng việc chỉ ra ước lượng chuẩn. Cho x ∈ X.
Ux ≤ Ux − x + x ≤ (1 + λ
1
) x + λ

2
Ux
Do đó Ux ≥
1−λ
1
1+λ
2
x. Điều này kéo theo U bị chặn.
Tương tự ta có ước lượng sau:
Ux ≥ x −Ux − x ≥ (1 − λ
1
) x − λ
2
Ux.
Do đó U x ≥
1−λ
1
1+λ
2
x.
Do λ
1
, λ
2
∈ [0; 1) nên
1−λ
1
1+λ
2
> 0. Do đó nếu Ux = 0 thì Ux = 0. Vì

vậy x = 0 và x=0. Điều này suy ra U là đơn ánh. Vậy U là khả nghịch.
Vậy U ∈£(X). Bằng việc thay x bởi U
−1
x trong những bất đẳng thức trên
chúng ta có được phần còn lại của bổ đề.
Nhận xét:
Chú ý rằng kết quả này mạnh hơn kết quả cổ điển là toán tử U là khả
nghịch nếu I − U < 1.
Ta chứng minh bởi một ví dụ:
Ví dụ 2.1.2.
Cho {e
i
}
∞
i=1
là một cơ sở trực chuẩn của một không gian Hilbert H. Ta
định nghĩa toán tử U : H → H cho bởi Ue
i
:= e
i
+
1
i
e
i+1
, i=1,2, và
được thác triển nhờ tính tuyến tính. Tác động U trên một phần tử
21
f =
∞


i=1
< f, e
i
> e
i
là U f =
∞

i=1
< f, e
i
>

e
i
+
1
i
e
i+1

.





∞


i=1
< f, e
i
>
1
i
e
i+1





2
=
∞

i=1
|f, e
i
|
2
1
i
2
≤
∞

i=1
|f, e

i
|
2
= f
2
Do đó




∞

i=1
< f, e
i
>
1
i
e
i+1




≤ f, ∀f ∈ H.
U f − f =






∞

i=1
< f, e
i
>
1
i
e
i+1





≤ f, ∀f ∈ H.
Vì Ue
1
− e
1
= e
2
do đó I-U  = 1.
Do đó kết quả cổ điển không chứng minh được U là khả nghịch. Nhưng
chúng ta có thể chứng minh khi sử dụng bổ đề 2.1.1.
Trước hết chú ý rằng U ≤ U − I + I = 2
và
Uf
2

=





f, e
1
e
1
+
∞

i=2

f, e
i
 +
1
i − 1
f, e
i−1


e
i






2
= |f, e
1
|
2
+





∞

i=2

f, e
i
 +
1
i − 1
f, e
i−1


e
i






2
≥ |f, e
1
|
2
, ∀f ∈ H .
22
Do đó
Uf − f
2
=
∞

i=1




1
i
f, e
i





2

= |f, e
1
|
2
+
∞

i=2
1
i
2
|f, e
i
|
2
≤ |f, e
1
|
2
+
1
4
∞

i=1
|f, e
i
|
2
= |f, e

1
|
2
+
1
4
f
2
≤ Uf
2
+
1
4
f
2
≤

Uf +
1
2
f

2
Do đó ta được
Uf − f ≤ Uf +
1
2
f
≤
7

8
Uf +
1
8
Uf +
1
2
f
=
7
8
Uf +
3
4
f
Theo bổ đề 2.1.1 thì U ∈ £ (H).
Tổng quát hơn chúng ta có thể xem xét một toán tử V gần toán tử khả
nghịch U.
Định lý 2.1.3. Cho U ∈ £ (X, Y ) và V: X → Y là tuyến tính. Nếu tồn
tại hai hằng số λ
1
, λ
2
∈ [0; 1) sao cho
Ux − V x ≤ λ
1
Ux + λ
2
V x , ∀x ∈ X (2.1)
thì V ∈ £ (X, Y ) và

1 − λ
1
1 + λ
2
Ux ≤ V x ≤
1 + λ
1
1 − λ
2
Ux, ∀x ∈ X