Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ THỊ HẠNH
PHỔ CỦA TOÁN TỬ DIRAC VỚI TRƯỜNG THẾ
KHÔNG BỊ CHẶN TẠI VÔ CỰC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ THỊ HẠNH
PHỔ CỦA TOÁN TỬ DIRAC VỚI TRƯỜNG THẾ
KHÔNG BỊ CHẶN TẠI VÔ CỰC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí
Hà Nội - 2013
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Tạ Ngọc Trí -
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban Giám hiệu Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong
nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích
đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Lê Thị Hạnh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Lê Thị Hạnh
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Bảng kí hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Không gian định chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn. . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . 14
1.7. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn. . . . . . . . . 18
1.8. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. Toán tử Dirac và toán tử Schr¨odinger. . . . . . 19
2.1. Toán tử Dirac và một số tính chất. . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Toán tử Dirac tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
v
2.1.2. Toán tử Dirac trừu tượng. . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3. Từ trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Toán tử Schr¨odinger và một số tính chất . . . . . . . . 31
2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chương 3. Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn
tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Điều kiện để phổ của toán tử Dirac hoàn toàn rời rạc. . . . . 38
3.3. Điều kiện để phổ của toán tử Dirac hoàn toàn dương và rời rạc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4. Điều kiện để nửa âm của trục thực là phổ thiết yếu của toán tử
Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
vi
Bảng kí hiệu và viết tắt
R tập hợp số thực
R
n
không gian thực n - chiều
C tập hợp số phức
h không gian Hilbert

L
2

R
3

2
L

p
không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích
|x| môđun của x
L(X, Y ) tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y
L(X) = L(X, X)
T
∗
toán tử liên hợp của toán tử T
T bao đóng của toán tử T
ρ(T ) tập giải được của toán tử T
KerT nhân của toán tử T
RanT miền giá trị của toán tử T
divB độ phân tán của trường vectơ B
rotB độ xoáy của trường vectơ B
vol(Ω) thể tích của Ω
h.k.n hầu khắp nơi
vii
D (T ) miền của T
D ≡ C
∞
0

R
3

sup M cận trên đúng của tập M
inf M cận dưới đúng của tập M
suppf giá của hàm f
σ(T ) phổ của toán tử T
σ

p
(T ) phổ điểm của toán tử T
σ
d
(T ) phổ rời rạc của toán tử T
σ
ess
(T ) phổ thiết yếu của toán tử T
R
+
nửa dương của trục thực
R
−
nửa âm của trục thực
1 toán tử đơn vị
F phép biến đổi Fourier
S(R
n
) tập các hàm trơn giảm nhanh
ˆ
f = Ff
C
0
tập các hàm số liên tục
C
1
tập các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục
C
∞
0

(Ω) = C
∞
c
(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω
H
2
(R
n
) không gian Sobolev cấp hai
H
1
loc
không gian Sobolev địa phương
∇p (x) gradient của p (x)
∆ toán tử Laplace
O (p (x)) vô cùng lớn của p (x)
o (p (x)) vô cùng bé của p (x)
viii
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nghiên cứu về phổ của toán tử Dirac đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà khoa học. Việc nghiên cứu này sử dụng các công cụ trong
giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết phổ. Ngoài ra,
nghiên cứu về phổ của toán tử Dirac còn có vai trò quan trọng trong vật
lý. Gần đây, việc nghiên cứu toán tử Dirac
H =
3

j=1
α

j
D
j
+ p(x)β + q(x)I
4
trong không gian Hilbert

L
2

R
3

4
với điều kiện |p(x)| → ∞, q (x) =
o (p (x)) khi |x| → ∞ hoặc p (x) ≡ q (x) → ∞ khi |x| → ∞ xuất hiện
nhiều trên các tạp chí nghiên cứu Toán Lý. Vậy với toán tử Dirac H như
trên thì phổ của nó có cấu trúc toán học như thế nào? Luận văn sẽ tập
trung nghiên cứu và làm rõ vấn đề này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là phổ
của toán tử Dirac trong trường hợp trên, cùng với sự giúp đỡ tận tình
của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:
“Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại
vô cực”
ix
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được các khái niệm, tính chất của toán tử Dirac, toán tử Schr¨odinger
và các kết quả liên quan đến “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không
bị chặn tại vô cực” để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn
về toán giải tích, lý thuyết toán tử và lý thuyết phổ.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại
vô cực”.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Nghiên cứu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế
không bị chặn tại vô cực”.
• Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu
về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực”.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên
cứu.
• Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu thu thập
được qua những tài liệu liên quan đến đề tài.
• Tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn.
x
6. Những đóng góp của luận văn
• Trình bày lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về các
không gian, các toán tử tuyến tính bị chặn và không bị chặn.
• Tổng hợp kiến thức về toán tử Dirac và phổ của nó với trường thế
không bị chặn tại vô cực.
• Trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử Schr¨odinger.
xi
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở về các
không gian như không gian định chuẩn, không gian L
p
, không gian
Sobolev, không gian Banach, không gian Hilbert; các toán tử tuyến tính
bị chặn và không bị chặn. Đặc biệt, khái niệm về phổ và tính chất của

các toán tử giúp chúng ta dễ theo dõi hơn trong các chương sau. Những
kiến thức trong chương này không trình bày chứng minh. Xin xem chi
tiết hơn ở các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] và [8].
1.1. Không gian định chuẩn
Dưới đây trình bày một số khái niệm và kết quả quan trọng về không
gian định chuẩn, không gian Banach, không gian L
p
, các không gian hàm
và phép biến đổi Fourier.
Cho X là không gian vectơ trên trường số K (K = R hoặc K = C).
Định nghĩa 1.1.1. ([1], Định nghĩa 2.1.1) Ta gọi không gian định chuẩn
là không gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực
R, kí hiệu là .  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây
1
a. x ≥ 0 với mọi x ∈ X,
x = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X),
b. αx = |α|x với mọi số α ∈ K và mọi x ∈ X,
c. x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian
định chuẩn là X.
Định nghĩa 1.1.2. ([1], Định nghĩa 2.1.2) Dãy (x
n
) trong không gian
định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x
0
∈ X nếu
lim
n→∞
x
n

− x
0
 = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
, khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.3. ([1], Định nghĩa 2.1.3) Dãy (x
n
) trong không gian
định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy), nếu
lim
m,n→∞
x
m
− x
n
 = 0.
Định nghĩa 1.1.4. ([4], Trang 6) Cho A, B là các tập con trong X.
Tập A được gọi là trù mật trong B nếu với phần tử bất kỳ x ∈ B đều
tồn tại dãy các phần tử y
n

∈ A mà lim
n→∞
y
n
= x.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không
gian Banach.
2
Ví dụ 1.1.7. (Không gian các hàm khả tích L
p
). Cho Ω là tập mở trong
R
n
và 1 ≤ p < ∞.
L
p
(Ω) là không gian các hàm số thực f xác định trên Ω sao cho |f|
p
Lebesgue khả tích trên Ω và chuẩn trong L
p
được cho bởi
f
p
=


Ω
|f (x)|

p
dx

1
p
< ∞
Với p = ∞, ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.8. Ta gọi L
∞
(Ω) là không gian các hàm số thực f đo
được trên Ω, bị chặn cốt yếu đối với độ đo Lebesgue trên Ω và trên đó
ta định nghĩa
f
∞
= inf {M > 0 ||f (x)| ≤ M h.k.n}
Trong không gian L
p
, ta có các kết quả sau.
Định lí 1.1.9. ([4], Theorem III.1) Cho Ω là tập mở trong R
n
và 1 ≤
p ≤ ∞, khi đó
a. (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu f, g ∈ L
p
(Ω) thì
f + g
p
≤ f
p
+ g

p
b. (Riesz-Fisher) L
p
(Ω) đầy đủ.
c. (Bất đẳng thức H¨older) Cho p, q và r là các số dương p, q, r ≥ 1 và
p
−1
+q
−1
= r
−1
. Giả sử f ∈ L
p
(Ω) , g ∈ L
q
(Ω). Khi đó fg ∈ L
r
(Ω)
và
fg
r
≤ f
p
g
q
Định lí 1.1.10. ([1], Định lí 2.6.2) L
p
(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian
Banach với chuẩn f
p

xác định trong ví dụ 1.1.7 ở trên.
3
Định nghĩa 1.1.11. Cho f : Ω → R. Ta định nghĩa giá của f là tập
hợp
suppf = {x ∈ Ω |f (x) = 0};
tức là suppf là bao đóng của tập hợp {x ∈ Ω |f (x) = 0} trong R
n
.
Định nghĩa 1.1.12. Xét Ω ⊂ R
n
là tập mở (thường bị chặn) với biên
∂Ω. Hàm u = (x) , x ∈ Ω.
Ta có đạo hàm riêng
∂u
∂x
i
= u
x
i
, i = 1, n. Kí hiệu Du = ∇u = grad u =
(u
x
1
, u
x
2
, , u
x
n
) và D

α
u =
∂
α
1
+α
2
+ +α
n
u
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
, α = (α
1
, α
2
, , α
n
)
C

k
(Ω) là tập các hàm u : Ω → R hoặc C khả vi liên tục đến cấp k trên
Ω.
• Khi k = 0 thì C
0
(Ω) = C (Ω) là tập các hàm số liên tục trên Ω.
• Khi k = 1 thì C
1
(Ω) là tập các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục
trên Ω.
• Khi k = ∞ thì C
∞
(Ω) =
∞

k=0
C
k
(Ω) là tập các hàm số khả vi vô
hạn trên Ω.
C
k
0
(Ω) là tập các hàm số khả vi liên tục đến cấp k trên Ω và có giá
compact.
C
c
(Ω) = C
0
(Ω) = C

0
0
(Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω có giá
compact.
C
∞
c
(Ω) = C
∞
0
(Ω) =
∞

k=0
C
k
0
(Ω) là tập các hàm số khả vi vô hạn lần và
có giá compact.
Định nghĩa 1.1.13. ([8], Trang 18) Kí hiệu S hay S (R
n
) là tập các
hàm trơn f (xác định trên R
n
) sao cho
sup
x


x

β
∂
α
f (x)


< ∞, ∀α, β.
4
Ta có thể kiểm tra được S là không gian con trù mật đối với L
2
và
C
∞
0
⊂ S.
Ta định nghĩa
F (f) (ω) =
1
√
(2π)
n

R
n
f (x) e
−iωx
dx
Chúng ta kiểm tra được rằng
(F∂
α

f) (ω) = (iω)
α
(Ff) (ω) và F (x
α
f) (ω) = i
|α|
∂
α
F (ω)
với mọi f ∈ S và đa chỉ số α. Rõ ràng F (f) (ω) xác định tốt và là song
ánh từ S vào chính nó với phép biến đổi ngược

F
−1
f

(x) =
1
√
(2π)
n

R
n
(Ff) (ω) e
ixω
dω
Ở đây, f, g = Ff, Fg, f, g ∈ S. Do S trù mật trong L
2
(R

n
) nên ta
có thể mở rộng F tới mọi hàm trong L
2
(R
n
). Ta sẽ thu được phép biến
đổi Fourier đối với các hàm trong L
2
(R
n
). Đôi khi chúng ta viết
ˆ
f thay
cho Ff.
Định nghĩa 1.1.14. Ta kí hiệu D(Ω) = C
∞
0
(Ω). Không gian các hàm
phân bố hay hàm suy rộng trên Ω, kí hiệu là D

(Ω), gồm những phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω).
1.2. Không gian Sobolev
Phần này chúng ta nhắc lại khái niệm về không gian Sobolev W
m,p
và không gian H
m
Cho Ω là một tập mở con của R
n

có biên là ∂Ω.
5
Định nghĩa 1.2.1. Cho số nguyên m > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian
Sobolev được định nghĩa như sau
W
m,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω) |D
α
u ∈ L
p
(Ω) , |α| ≤ m}
W
m,p
là tập hợp tất cả các hàm thuộc L
p
(Ω) có đạo hàm suy rộng đến
cấp m cũng thuộc L
p
(Ω). Ta có W
m,p
(Ω) là một không gian vectơ. Trên
đó ta trang bị một chuẩn . 
m,p,Ω
như sau
. 
m,p,Ω
=



0≤|α|≤≤m
D
α
u
p
L
p
(Ω)

1/p
.
Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω). Ta có định
nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.2. Không gian Sobolev H
m
(Ω) được định nghĩa như
sau
H
m
(Ω) = W
m,2
(Ω) =

u ∈ L
2

(Ω)


D
α
u ∈ L
2
(Ω) , |α| ≤ m

.
Trường hợp đặc biệt, với Ω = R
n
• Khi m = 1 ta có không gian Sobolev cấp 1
H
1
(R
n
) =

u ∈ L
2
(R
n
)


Du ∈ L
2
(R
n

)

.
• Khi m = 2 ta có không gian Sobolev cấp 2
H
2
(R
n
) =

u ∈ L
2
(R
n
)


D
α
u ∈ L
2
(R
n
) , |α| ≤ 2

.
1.3. Không gian Hilbert
Dưới đây chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả trong không
gian Hilbert.
Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ: X × X → K, (x, y) → x, y được gọi là

một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
6
a. x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không
trong X,
b. y, x = x, y, ∀x, y ∈ X,
c. x + x

, y = x, y + x

, y, ∀x, x

, y ∈ X,
d. λx, y = λ x, y, ∀x, y ∈ X, λ ∈ K.
Các phần tử x, x

, y, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x, y
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y.
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuyến tính X trên trường K cùng với
một tích vô hướng (kí hiệu là (X, ., .) ) được gọi là không gian tiền
Hilbert. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn tương ứng đầy đủ thì
(X, ., .) là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.3. L
2
(R
n
) là không gian Hilbert với tích vô hướng
f, g
L
2
=


R
n

¯
f.g

(x) dx
và khi đó
f
2
= f, f
1
2
Định nghĩa 1.3.4. ([3], Trang 40) Ánh xạ A : X ×X → C được gọi là
một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinear form) nếu A (x, .) là tuyến tính,
A (., y) là liên hợp tuyến tính. Nghĩa là ánh xạ A thỏa mãn
a. A (x + y, z + w) = A (x, z) + A (x, w) + A (y, z) + A (y, w),
b. A (ax, by) = a
¯
bA (x, y),
với ∀x, y ∈ X, a, b ∈ C.
7
Định nghĩa 1.3.5. Hai vectơ u và v trong không gian Hilbert (X, ., .)
được gọi là trực giao nếu u, v = 0. Tập hợp {u
i
} các vectơ trong X
được gọi là hệ trực chuẩn nếu u
i
, u

i
 = 1, ∀i và u
i
, u
j
 = 0 nếu i = j.
Định lí 1.3.6. ([4], Theorem II.5) Mọi không gian Hilbert đều có hệ cơ
sở trực chuẩn.
1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn
Trong phần này, chúng ta trình bày một số khái niệm và kết quả quan
trọng liên quan đến toán tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.4.1. Toán tử tuyến tính bị chặn (viết tắt là toán tử bị
chặn) từ không gian tuyến tính định chuẩn (X
1
, .
1
) vào không gian
định chuẩn (X
2
, .
2
) là hàm T từ X
1
vào X
2
thỏa mãn
a. (Tính tuyến tính) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v),
với ∀u, v ∈ X
1
, ∀α, β ∈ K.

b. (Tính bị chặn) Tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho T v
2
≤ Cv
1
, ∀v ∈
X
1
.
Cận trên đúng của các hằng số C được gọi là chuẩn của T , kí hiệu
là T  hoặcT 
1,2
. Ta cũng có T = sup
v
1
=1
T v
2
Định lí 1.4.2. ([1], Định lí 2.2.1) Cho T là toán tử tuyến tính từ không
gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề
sau là tương đương
a. T liên tục với x ∈ X.
8
b. T liên tục tại điểm x
0
∈ X.
c. T bị chặn.
Định nghĩa 1.4.3. Chúng ta kí hiệu L (X, Y ) là tập tất cả các toán tử
tuyến tính bị chặn A từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không
gian tuyến tính định chuẩn Y . Chuẩn trong L (X, Y ) được xác định bởi
A = sup

x∈X,x=0
Ax
Y
x
X
Chuẩn này thường được gọi là chuẩn toán tử. Khi Y = K thì toán tử
tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất
• Ax ≤ A x, với mọi x ∈ X.
• Với ∀ε > 0, ∃x
ε
∈ X : A −ε < Ax
ε
.
Định nghĩa 1.4.4. Cho hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ), khi đó ta đưa vào
L (X, Y ) hai phép toán
a. Tổng của hai toán tử A và B là một toán tử, kí hiệu là A + B và
được xác định bởi biểu thức
(A + B) (x) = Ax + By, ∀x ∈ X.
b. Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A là một toán tử, kí hiệu là
αA và được xác định bởi biểu thức
(αA) (x) = α (Ax)
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L (X, Y ), αA ∈ L (X, Y ) và hai
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian véctơ. Khi đó, tập
L (X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C.
Nếu Y = X thì L (X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L (X).
9
Định nghĩa 1.4.5. Trong không gian L (X, Y ) nếu Y = C thì L (X, C)
được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu là X
∗

. Nói cách khác, X
∗
là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Định nghĩa 1.4.6. Cho không gian Hilbert H. Dãy (x
n
) ⊂ H gọi là hội
tụ mạnh tới x ∈ H nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0
Định nghĩa 1.4.7. ([1], Định nghĩa 3.3.3) Cho không gian Hilbert H.
Dãy (x
n
) ⊂ H gọi là hội tụ yếu tới x ∈ H nếu với mọi y ∈ H
lim
n→∞
x
n
, y = x, y
Nhận xét 1.4.8. Dãy (x
n
) ⊂ H hội tụ mạnh thì hội tụ yếu. Tuy nhiên
điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.4.9. Cho T ∈ L (X, Y ), tập các vectơ x ∈ X sao cho
T x = 0 được gọi là nhân của T, kí hiệu là KerT . Tập các vectơ y ∈ Y
sao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu là
RanT .
Định nghĩa 1.4.10. ([1], Định nghĩa 3.3.1) Cho T là toán tử tuyến

tính bị chặn từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán
tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với
toán tử T, nếu
T x, y = x, By, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là T
∗
.
10
Định lí 1.4.11. ([1], Định lí 3.3.3) Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn
ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại
toán tử T
∗
liên hợp với toán tử T ánh xạ không gian Y vào không gian
X.
Định nghĩa 1.4.12. ([1], Định nghĩa 3.3.2) Toán tử bị chặn T trong
không gian Hilbert được gọi là tự liên hợp nếu T = T
∗
.
Mệnh đề 1.4.13. ([4], Theorem VI.3) Ta có các mệnh đề sau tương
đương.
a. T → T
∗
là phép đẳng cấu đẳng cụ tuyến tính liên hợp từ L (H) lên
L (H).
b. (T S)
∗
= S
∗
T
∗

;
c. (T
∗
)
∗
= T .
d. Nếu T có toán tử ngược bị chặn T
−1
thì T
∗
có toán tử ngược bị chặn
và (T
∗
)
−1
=

T
−1

∗
.
e. Ánh xạ T → T
∗
luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng
nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều.
f. T
∗
T  = T 
2

.
Định nghĩa 1.4.14. ([3], Trang 68) Toán tử T trong không gian Hilbert
H được gọi là compact nếu ảnh của hình cầu đơn vị là hoàn toàn bị chặn.
Định nghĩa 1.4.15. ([3], Definition 1.2.2) Cho X là không gian Ba-
nach, L (X) tà tập các toán tử bị chặn trên X. Toán tử A ∈ L (X) được
11
gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ L (X) sao cho AB = BA = 1
(1 là toán tử đơn vị trong X). Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử
ngược của A và kí hiệu là B = A
−1
.
Chúng ta có kết quả quan trọng sau.
Định lí 1.4.16. ([4], Hellinger-Toeplitz Theorem, p. 84) Cho T là toán
tử tuyến tính xác định khắp nơi trong không gian Hilbert H với x, T y =
T x, y với ∀x, y ∈ H. Khi đó T bị chặn.
Từ định lí Hellinger-Toeplitz, chúng ta suy ra rằng các toán tử có thể
không xác định khắp nơi mà chỉ xác định trên không gian con D (T ) của
H. Chúng ta sẽ xét lớp toán tử như thế trong phần 1.6 ở sau.
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Dưới đây trình bày định nghĩa phổ, tập giải được của toán tử tuyến
tính bị chặn và một số tính chất quan trọng.
Nếu T là phép biến đổi tuyến tính trên C
n
thì các giá trị riêng của T
là các số phức λ sao cho det (T −λ1) = 0. Tập các số λ như thế được
gọi là phổ của T . Tập này có thể gồm n phần tử vì det (T −λ1) là đa
thức bậc n. Nếu λ không là giá trị riêng thì T −λ1 có nghịch đảo vì
det (T − λ1) = 0.
Định nghĩa 1.5.1. ([4], Trang 188) Cho toán tử T ∈ L (X). Số phức λ
được gọi là thuộc tập hợp giải được ρ (T ) của T nếu T − λ1 là song ánh

với toán tử ngược bị chặn. R
λ
(T ) = (T − λ1)
−1
được gọi là giải được
của T tại λ. Nếu λ /∈ ρ (T ) thì λ được gọi là thuộc phổ σ (T) của T ,
trong đó 1 là toán tử đơn vị.
12
Định nghĩa 1.5.2. Cho T ∈ L (H). Tập hợp giải được của T xác định
bởi
ρ (T ) =

λ ∈ C|(T − λ1)
−1
∈ L (H)

.
Chính xác hơn, số phức λ ∈ ρ (T ) khi và chỉ khi T − λ1 là song ánh với
toán tử ngược bị chặn. Phần bù của tập giải được gọi là phổ của T
σ (T ) = C\ρ (T) .
Định nghĩa 1.5.3. ([4], Trang 188) Cho T ∈ L (X).
a. x = 0, x ∈ X thỏa mãn Tx = λx với λ ∈ C được gọi là vectơ riêng
của T, λ tương ứng được gọi là giá trị riêng. Tập các giá trị riêng
được gọi là phổ điểm của T , kí hiệu là σ
p
(T ).
b. Nếu λ không là giá trị riêng và nếu Ran (T − λ1) không trù mật
thì λ thuộc phổ thặng dư.
Định lí 1.5.4. ([4], Theorem VI.5) Cho X là không gian Banach và
T ∈ L (X). Khi đó ρ (T ) là tập con mở của C.

Từ kết quả trên chúng ta suy ra σ (T ) là tập đóng. Nói cách khác,
phổ của toán tự bị chặn thì bị chặn.
Định lí 1.5.5. ([4], Trang 191) Cho X là không gian Banach và T ∈
L (X). Khi đó phổ của T là khác tập rỗng.
Định lí 1.5.6. ([4], Theorem VI.8) Cho T là toán tử tự liên hợp trên
không gian Hilbert H. Khi đó
a. T không có phổ thặng dư.
13
b. σ (T ) là tập con của R.
c. Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của T là
hệ trực giao.
Từ định lí trên ta suy ra một tính chất rất quan trọng về phổ của
toán tử tự liên hợp chính là các điểm nằm trên trục thực.
1.6. Toán tử tuyến tính không bị chặn
Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn. Ngoài
các toán tử bị chặn, chúng ta cũng cần xét các toán tử không bị chặn.
Trong phần này chúng ta giới thiệu một số khái niệm và định lí cơ bản
của toán tử tuyến tính không bị chặn. Theo định lí Hellinger-Toeplitz
(trong phần 1.4) nói rằng một toán tử T xác định khắp nơi thỏa mãn
x, T y = T x, y thì bị chặn. Điều này gợi ra cho chúng ta về toán tử
không bị chặn T sẽ chỉ xác định trên một tập con tuyến tính trù mật của
không gian Hilbert H. Do đó, một toán tử trong không gian Hilbert H
là ánh xạ tuyến tính từ miền của nó, là một không gian con tuyến tính
của H vào H. Chúng ta thường giả sử miền này trù mật. Kí hiệu miền
này là D (T ) được gọi là miền của toán tử T. Do đó để định nghĩa một
toán tử không bị chặn trong không gian Hilbert, điều đầu tiên chúng ta
phải đưa ra miền của nó sau đó xem nó tác động như thế nào trên không
gian con đó.
Định nghĩa 1.6.1. ([8], Trang 19) Toán tử không bị chặn T là một ánh
xạ tuyến tính xác định trên miền D (T ) là tập con tuyến tính trù mật

14