Biểu diễn tích vô hạn của hàm Gamma và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2013
Tác giả
Đỗ Thị Út Lộc
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Biểu diễn tích vô
hạn của hàm gamma và ứng dụng" được hoàn thành theo quan điểm
riêng của cá nhân tôi.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2013
Tác giả
Đỗ Thị Út Lộc
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8
1.1. Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức . . . . . . . . 8
1.1.1. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số phức . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2. Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 2. TÍCH VÔ HẠN 25
2.1. Một số khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . 25
2.2. Mối liên hệ giữa tích vô hạn và chuỗi . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Tích vô hạn hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Định lý Tannery và hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Định lý Tannery đối với chuỗi . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2. Định lý Tannery đối với tích vô hạn . . . . . . . . . 35
2.5. Công thức tích Euler và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1. Công thức tích Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.2. Ứng dụng công thức tích của Euler . . . . . . . . . 39
2.6. Tích chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chương 3. BIỂU DIỄN TÍCH VÔ HẠN CỦA HÀM GAMMA
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 43
3.1. Biểu diễn tích vô hạn của hàm gamma . . . . . . . . . . . 43
3.1.1. Công thức tích vô hạn thứ nhất . . . . . . . . . . . 43
3.1.2. Công thức tích vô hạn thứ hai . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3. Một số tính chất của hàm gamma . . . . . . . . . . 46
3.2. Mối quan hệ giữa hàm gamma với các hàm khác . . . . . . 53
3.2.1. Hàm zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2. Hàm beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Biểu diễn một số tích phân qua hàm gamma. . . . . . . . . 56
3.3.1. Tích phân Wallis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2. Tích phân Rabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4. Ứng dụng công thức tích vô hạn để tính một số giá trị của
hàm zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong toán học có thể nói rằng hàm gamma luôn thu hút được sự
quan tâm của các nhà toán học nổi tiếng nhất ở mọi thời đại. Về mặt lịch
sử đã có nhiều tài liệu phản ánh sâu sắc về ý nghĩa cũng như tầm quan
trọng của hàm gamma. Tuy nhiên, đáng kể hơn cả người ta phải kể đến
bài báo của nhà toán học Philip J. Davis mà ông đã giành giải thưởng
Chauvenet năm 1963. Trong đó, ông đã phản ánh nhiều các diễn biến nổi
bật của nền toán học từ thế kỷ 18. Theo lời của Davis: “Mỗi thế hệ đều đã
tìm thấy một cái gì đó quan tâm để nói về hàm gamma. Có lẽ các thế hệ
tiếp theo cũng sẽ còn như vậy”.
Vấn đề mở rộng khái niệm giai thừa với đối số không phải là số
nguyên được xem xét đầu tiên bởi Daniel Bernoulli và Christian Goldbach
trong những năm 1720. Nó đã được giải quyết vào cuối thập kỷ này bởi
Leonhard Euler.
Trong một bức thư ngày 13 tháng 10 năm 1729 gửi cho nhà toán học
Goldbach, ông đưa ra định nghĩa đầu tiên của hàm này dưới dạng
n! =
∞

k=1

1 +
1
k

k
1 +
n

k
.
Ông viết cho Goldbach một lần nữa vào ngày 08 tháng 01 năm 1730,
công bố khám phá của ông về biểu diễn dưới dạng tích phân của giai thừa
n! =
1

0
(−ln s)
n
ds; n > 0.
Bằng cách đổi biến t = −ln s, công thức trên trở thành tích phân Euler
quen thuộc ngày nay. Ông công bố kết quả của mình trong bài báo “De
4
progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice
dari nequeunt” tại học viện St Petersburg ngày 28 tháng 11 năm 1729.
Ngoài ra, Euler cũng phát hiện được thêm một số tính chất quan trọng
khác của hàm gamma.
Tới thế kỷ 19, Carl Friedrich Gauss đã viết lại tích của Euler dưới
dạng
Γ(z) = lim
m→∞
m
z
m!
z(z + 1)(z + 2) (z + m)
và sử dụng công thức này để thu được nhiều tính chất mới của hàm gamma.
Mặc dù Euler là người tiên phong trong lý thuyết của hàm biến phức,
nhưng ông không đi đến được việc xem xét giai thừa của một số phức.
Gauss là người đầu tiên đã làm điều đó, ông chứng minh định lý về tích

của hàm gamma. Bên cạnh đó, ông cũng phát hiện ra mối liên hệ giữa hàm
gamma và tích phân elliptic.
Nhà toán học Weierstrass thiết lập thêm nữa vai trò của hàm gamma
trong giải tích phức, bắt đầu từ việc đưa ra biểu diễn tích khác của hàm
này dưới dạng
Γ(z) =
e
−γz
z
∞

k=1

1 +
z
k

−1
e
z
k
ở đó γ là hằng số Euler-Mascheroni. Đầu tiên, Weierstrass viết dạng tích
của hàm
1
Γ (z)
được lấy trên các không điểm chứ không phải là cực điểm
của nó.
Từ kết quả này, ông đã chứng minh được định lý mà như ngày nay được
biết với tên gọi “Định lý thác triển Weierstrass ” - bất kỳ hàm nguyên nào
cũng có thể viết dưới dạng một tích trên các không điểm của nó trong mặt

phẳng phức. Đây là một dạng tổng quát định lý cơ bản của đại số. Tên
và ký hiệu của hàm gamma đã được giới thiệu bởi Legendre vào khoảng
năm 1811, Legendre cũng viết lại định nghĩa dạng tích phân của Euler như
đang dùng hiện tại.
Hầu hết ứng dụng của các hàm đặc biệt trong toán học ra đời từ việc
5
giải các phương trình vi phân xuất hiện trong lĩnh vực Vật lý và nhiều
ngành khoa học khác. Tuy nhiên, hàm gamma không xuất hiện từ việc tìm
lời giải cho bất kỳ phương trình vi phân đơn giản nhất. Năm 1887, H ¨oder
đã chứng minh rằng hàm gamma không thỏa mãn bất kỳ phương trình vi
phân đại số nào.
Với ý nghĩa và tầm quan trọng về hàm gamma, được sự định hướng
của người hướng dẫn em chọn đề tài “Biểu diễn tích vô hạn của hàm
gamma và ứng dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ chuyên ngành
Toán giải tích.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Luận văn nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức; khái niệm và các
tính chất cơ bản của tích vô hạn, hàm gamma.
- Nghiên cứu diểu diễn của hàm gamma qua tích vô hạn. Biểu diễn một
số tích phân quan trọng thông qua giá trị của hàm gamma, dùng tích vô
hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và hàm gamma.
- Biểu diễn một số tích phân thông qua giá trị của hàm gamma.
- Dùng tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm zeta-Riemann.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có vận dụng cho
mục đích nghiên cứu đề tài.
6

5. Dự kiến đóng góp của đề tài
Luận văn trình bày chi tiết nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn; khái
niệm và các tính chất cơ bản về hàm gamma. Ngoài ra, luận văn đưa ra
ứng dụng của hàm gamma về biểu diễn một số tích phân qua hàm này và
sử dụng công thức biểu diễn tích vô hạn để tính một số giá trị của hàm
zeta-Riemann.
7
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Số phức và sự hội tụ của dãy, chuỗi số phức
1.1.1. Các tính chất cơ bản
Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà
i
2
= −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ta kí hiệu tương ứng bởi
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R
2
bởi phép tương ứng
C → R
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i
2
= −1. Ta có
z
1
+ z

2
= (x
1
+ x
2
) + i (y
1
+ y
2
)
và
z
1
.z
2
= (x
1
+ iy
1
) (x
2
+ iy
2
) = x
1
x
2
+ ix
1
y

2
+ iy
1
x
2
+ i
2
y
1
y
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i (x
1
y
2
+ y
1
x
2
) .
Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phức z là
|z| =


x
2
+ y
2
.
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z = x −iy. Không
khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =
z + ¯z
2
; Imz =
z − ¯z
2i
8
và
|z|
2
= z.¯z;
1
z
=
¯z
|z|
2
với z = 0.
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e
iθ
với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định

một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và e
iθ
= cos θ + i sin θ.
Bởi vì


e
iθ


= 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta
lưu ý rằng nếu z = r.e
iθ
và w = s.e
iϕ
thì z.w = r.s.e
i(θ+ϕ)
.
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức
Dãy số phức {z
n
} được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và được viết là
w = lim
n→∞
z
n
⇔ lim
n→∞
|z

n
− w| = 0.
Dễ dàng kiểm tra rằng
w = lim
n→∞
z
n
⇔

lim
n→∞
Rez
n
= Rew
lim
n→∞
Imz
n
= Imw
Dãy số phức {z
n
} được gọi là dãy Cauchy nếu
|z
n
− z
m
| → 0 khi m, n → ∞.
Điều đó tương đương với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên dương N sao cho
|z
n

− z
m
| < ε với mọi n, m ≥ N.
1.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số phức
Giả sử ta có dãy số phức hoàn toàn xác định và khác ∞:
z
1
, z
2
, . . . , z
n
, . . .
Biểu thức

n1
z
n
= z
1
+ z
2
+ ··· + z
n
+ ··· . (1.1)
được gọi là một chuỗi số trên C, còn biểu thức
S
n
=

1kn

z
k
, (1.2)
được gọi là tổng riêng (thứ n) của chuỗi (1.1). Ta có định nghĩa sau đây
9
Định nghĩa 1.1. Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn hữu
hạn
lim
n→∞
S
n
= S.
Nghĩa là: ∀ε > 0, ∃N = N (ε) , N ∈ N : ∀n  N
⇒ |S
n
− S| < ε.
Số S được gọi là tổng của chuỗi (1.1). Nếu lim
n→∞
S
n
không tồn tại hoặc bằng
∞ thì ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ.
Điều kiện cần đối với sự hội tụ của chuỗi (1.1) thu được từ việc chuyển
qua giới hạn đẳng thức
S
n
− S
n−1
= z
n

và nó có dạng
lim
n→∞
z
n
= 0. (1.3)
Điều kiện đó chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều đủ, nghĩa là: nếu
điều kiện (1.3) không được thỏa mãn thì chuỗi không thể hội tụ. Nhưng
có những chuỗi (ví dụ như

n1
1
n
) thỏa mãn điều kiện (1.3) nhưng lại phân
kỳ.
Định lý 1.1. Chuỗi số phức

n1
z
n
, z
n
= x
n
+ iy
n
hội tụ khi và chỉ khi các
chuỗi

n1

x
n
;

n1
y
n
đồng thời hội tụ.
Chứng minh. Thật vậy ta đặt
S
n
= σ
n
+ iτ
n
=

1kn
x
k
+ i

1kn
y
k
.
Từ đó suy ra kết luận của định lý.
Định lý 1.1 cho phép ta đưa việc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số trong miền
10
phức về khảo sát các chuỗi số thực đã quen biết. Chẳng hạn, bằng cách áp

dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy S
n
ta thu được tiêu chuẩn Cauchy đối với
các chuỗi: Chuỗi số phức (1.1) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∃n > N (ε) :
∀n > N (ε) và ∀p ∈ N ⇒ |S
n+p
− S
n
| < ε. Cùng với việc xét chuỗi (1.1)
người ta còn xét chuỗi lập nên từ các modul của các số hạng của chuỗi ấy

k1
|z
k
|. (1.4)
Vì






1km
z
N+k








1km
|z
N+k
|
nên theo tiêu chuẩn hội tụ của Cauchy ta kết luận rằng nếu chuỗi (1.4) hội
tụ thì chuỗi (1.1) cũng hội tụ.
Định nghĩa 1.2. Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi (1.4)
hội tụ.
Từ tiêu chuẩn hội tụ Cauchy ta suy ra
Định lý 1.2. Giả sử z
n
= x
n
+ iy
n
. Chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối khi và chỉ
khi các chuỗi

n1
x
n
;

n1
y
n
đồng thời hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh. Thật vậy, điều kết luận của định lý được suy ra trực tiếp từ

bất đẳng thức kép sau đây
|x
n
|  |z
n
|  |x
n
| + |y
n
|
và
|y
n
|  |z
n
|  |x
n
| + |y
n
|
11
1.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f(z) được gọi là khả
vi phức hay C_ khả vi tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z
0
+ h) − f (z
0

)
h
; khi h → 0, (1.5)
ở đó 0 = h ∈ C với z
0
+ h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f

(z
0
) và gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại
điểm z
0
. Như vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f (z
0
+ h) − f (z
0
)
h
.
Hàm f gọi là chỉnh hình tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại một lân cận của điểm

z
0
để f là C_ khả vi tại mọi điểm trong lân cận đó. Hàm f được gọi là
chỉnh hình trên Ω nếu chỉnh hình tại mọi điểm thuộc Ω. Nếu M là tập
đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên một
tập mở nào đó chứa M. Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
Ví dụ 1.1. Hàm f(z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C
và f

(z) = 1. Thật vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f (z
0
+ h) − f (z
0
)
h
= lim
h→0
(z + h) − z
h
= 1.
Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a
0
+ a

1
z + + a
n
z
n
chỉnh hình trên mặt
phẳng C và
P

(z) = a
1
+ 2a
2
z + + na
n
z
n−1
.
Ví dụ 1.2. Hàm f (z) =
1
z
là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C không
chứa điểm gốc và f

(z) = −
1
z
2
. Thật vậy, ta có
f


(z
0
) = lim
h→∞
f (z
0
+ h) − f (z
0
)
h
= lim
h→∞
1
z + h
−
1
z
h
= lim
h→∞

−
1
z (z + h)

= −
1
z
2

.
12
Ví dụ 1.3. Hàm f(z) = z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta thấy
f (z
0
+ h) − f (z
0
)
h
=
z + h − ¯z
h
=
¯z +
¯
h − ¯z
h
=
¯
h
h
.
không có giới hạn khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.5) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z
0
∈ Ω nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z
0
+ h) − f (z

0
) − a.h = h.ψ (h) , (1.6)
với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim
h→0
ψ (h) = 0. Dĩ nhiên, ta
có a = f

(z).
Từ công thức (1.6) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục.
Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta cũng dễ dàng chứng minh
được các phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình.
Mệnh đề 1.1. Nếu g và f là các hàm chỉnh hình trên D thì
(i) f ± g chỉnh hình trên D và (f ± g)

= f

± g

.
(ii) f · g chỉnh hình trên D và (f · g)

= f

· g + f ·g

.
(iii) Nếu g (z
0
) = 0 thì
f

g
chỉnh hình tại z
0
và

f
g


=
f

· g − f ·g

g
2
.
Hơn nữa, nếu f : D → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì g ◦ f
cũng là hàm chỉnh hình trên D và ta có (g ◦ f)

(z) = g

(f (z)) ·f

(z).
Từ ví dụ (1.3), chúng ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái niệm
khả vi thông thường của hai hàm biến thực. Thật vậy, hàm f(z) =
z tương
ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm
này khả vi theo nghĩa thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến

tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm
riêng của các hàm tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo
hàm thực không bảo đảm tính khả vi phức. Để hàm f khả vi phức, ngoài
điều kiện khả vi của hai hàm biến thực chúng ta cần đến điều kiện Cauchy
− Riemann.
13
Định lý 1.3. (Điều kiện Cauchy − Riemann). Điều kiện cần và đủ
để hàm f (z) = u (x, y) + iv (x, y) khả vi phức tại điểm z = x + iy là các
hàm u (x, y) và v (x, y) khả vi thực tại (x, y), đồng thời thỏa mãn điều kiện
Cauchy − Riemann
∂u
∂x
=
∂v
∂y
;
∂u
∂y
=
∂v
∂x
.
1.3. Tích phân phức
Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh hình
là tích phân của hàm dọc theo đường cong. Trước tiên chúng ta trình bày
một số khái niệm về đường cong và miền.
Đường cong tham số là một hàm z (t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặt
phẳng phức. Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z

(t) trên

[a, b] và z

(t) = 0 với mọi t ∈ [a, b].
Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z (t) liên tục trên [a, b]
và tồn tại các điểm
a = a
0
< a
1
< . . . < a
n
= b
sao cho z (t) là trơn trên mỗi đoạn [a
k
, a
k+1
] , (0  k  n −1) .
Hai đường cong tham số
z : [a, b] → C và z : [c, d] → C
được gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t (s) từ
[c, d] vào [a, b] sao cho t

(s) > 0 và z (s) = z (t (s)). Điều kiện t

(s) > 0
đảm bảo rằng hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ c đến d
thì t chạy từ a đến b. Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với
z (t) xác định một đường cong γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn [a, b] qua z
với hướng cho bởi z khi t chạy từ a đến b. Chúng ta có thể xác định đường
cong γ

−
thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngược hướng. Như một
dạng tham số hóa đặc biệt đối với γ
−
, chúng ta có thể lấy z : [a, b] → R
2
14
xác định bởi
z (t) = z (b + a − t) .
Các điểm z (a) và z (b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong. Bởi
vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với t chạy
từ a đến b, nên một cách tự nhiên gọi z (a) là điểm đầu và z (b) là điểm
cuối của đường cong.
Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z (a) = z (b)
với tham số hóa bất kỳ của nó. Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được
gọi là đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là z (s) = z (t) trừ khi s = t.
Đường cong trơn, đóng được gọi là chu tuyến.
Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây
(i) D là tập mở.
(ii) Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong liên tục L ⊂ D nối a với b.
Miền giới hạn bởi chu tuyến gamma được ký hiệu là D
γ
. Miền D được gọi
là đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có D
γ
⊂ D. Miền thu
được từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n miền D
γ
1
, D

γ
2
, . . . , D
γ
n
không giao
nhau trong D được gọi là miền (n + 1)-liên (khi không cần phân biệt rõ,
chúng ta gọi chung là miền đa liên).
Quy ước. Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theo biên
thì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại là chiều
âm. Đối với miền D được xét, người ta thường ký hiệu là ∂D cũng là biên
của nó lấy theo chiều dương, ∂D
−
là biên lấy theo hướng âm.
Định nghĩa 1.3. Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hóa bởi
phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ. Tích phân của hàm
f dọc theo γ được cho bởi công thức

γ
f (z) dz =
b

a
f (z (t)) z

(t) dt.
Nếu γ là đường cong có phương trình tham số z = z (t) trơn trên mỗi
đoạn [a
k
, a

k+1
] , (0  k  n −1) thì chúng ta có
15

γ
f (z) dz =
n−1

k=0
a
k+1

a
k
f (z (t)) z

(t) dt.
Nếu viết f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) thì

b
a
f (z (t)) z

(t) dt =

b
a
[u (x (t) , y (t)) + iv (x (t) , y (t))] (x

(t) + iy


(y)) dt
=

b
a
[u (x (t) , y (t)) x

(t) dt − v (x (t) , y (t)) y

(t) dt]
+ i

b
a
[u (x (t) , y (t)) y

(t) dt + v (x (t) , y (t)) x

(t) dt] .
Từ đó chúng ta nhận được

γ
f (z) dz =

γ
u (x, y) dx −v (x, y) dy + i

γ
v (x, y) dx + u (x, y) dy.

Từ công thức trên đây chúng ta thấy tích phân của hàm biến phức trên
đường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường. Từ tính chất
của tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của
tích phân hàm biến phức.
Mệnh đề 1.2. Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có các
tính chất sau
(i)

γ
(αf (z) + βg (z)) dz = α

γ
f (z) dz + β

γ
g (z) dz; với mọi α, β ∈ C.
(ii) Nếu γ
−
là đường cong γ với hướng ngược lại thì

γ
−
f (z) dz = −

γ
f (z) dz.
(iii) Chúng ta có bất đẳng thức








γ
f (z) dz






 sup
z∈γ
|f (z)|. độ dài γ.
16
Ví dụ 1.4. Tính tích phân

γ
(z − z
0
)
n
dz; n = 0, ±1, ±2, . . .
trong đó γ là đường tròn tâm tại z
0
, bán kính r có phương trình tham số
z = z
0
+ re

it
, t ∈ [0, 2π].
Chúng ta có

γ
(z − z
0
)
n
dz =
2π

0

re
it

n

ire
it

dt = i
2π

0
r
n+1
e
i(n+1)t

dt.
Nếu n = −1 thì tích phân trên trở thành

γ
dz
z − z
0
= i
2π

0
dt = 2πi
Nếu n = −1 thì tích phân trên trở thành

γ
(z − z
0
)
n
dz = ir
n+1


2π

0
[cos (n + 1) t + i sin (n + 1) t] dt


= 0.

Ví dụ 1.5. Giả sử γ là đường cong trơn tùy ý có phương trình tham số
z = z (t) ; t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z (a) và z (b). Khi đó, chúng ta có

γ
dz =
b

a
z

(t) dt =
b

a
dx (t) + i
b

a
dy (t)
= (x (b) −x (a)) + i (y (b) − y (a)) = z (b) −z (a) ,
và

γ
zdz =
b

a
z (t) z

(t) dt =

1
2
b

a
d

z
2
(t)

=
1
2

z
2
(b) − z
2
(a)

.
Từ ví dụ (1.5), chúng ta thấy rằng các tích phân trên không phụ thuộc
vào hình dạng của đường lấy tích phân và tích phân bằng 0 theo đường
cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo một đường
cong đối với hàm chỉnh hình được cho bởi Định lý sau
17
Định lý 1.4. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên trong
C với biên ∂D gồm các chu tuyến trơn hoặc trơn từng khúc và f là hàm
chỉnh hình trên D, liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có


∂D
f (z) dz = 0.
Chứng minh. Nếu viết f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) thì

∂D
f (z) dz =

∂D
(udx − vdy) + i (vdx + udy).
Theo định lý Green, chúng ta có

∂D
F =

D
dF .
Nếu F = udx − vdy, theo điều kiện Cauchy-Riemann, chúng ta có

∂D
udx − vdy =

D

−
∂v
∂x
−
∂u
∂y


dxdy = 0.
Tương tự, tích phân phần ảo của f (z) trên ∂D cũng bằng 0.
Định lý 1.5. (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f là hàm chỉnh
hình trong một miền D và z
0
∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến bất kỳ γ ∈ D
mà z
0
∈ D
γ
⊂ D thì
f (z) =
1
2πi

γ
f (ζ)
ζ − z
0
dζ; với mọi z
0
∈ D
γ
.
Hơn nữa, nếu hàm f liên tục trên D và ∂D là một chu tuyến thì với mọi
z ∈ D ta có
f (z) =
1
2πi


∂D
f (ζ)
ζ − z
dζ
Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z
0
sao cho
D
γ
⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S (z
0
, ρ) tâm z
0
bán kính ρ chứa
18
trong D
γ
. Ký hiệu C
ρ
là biên của đĩa S (z
0
, ρ). Bởi vì
f (ζ)
ζ − z
0
là hàm chỉnh
hình với mọi z ∈ D
γ
\S (z

0
, ρ) nên chúng ta có

γ+C
−
ρ
f (ζ)
ζ − z
0
dζ = 0
Từ đó, chúng ta suy ra

γ
f (ζ)
ζ − z
0
dζ =

C
ρ
f (ζ)
ζ − z
0
dζ
Thực hiện phép đổi biến ζ − z
0
= ρe
it
; 0  t  2π, chúng ta nhận được


C
ρ
f (ζ)
ζ − z
0
dζ =
2π

0
f

z
0
+ ρe
it

ρe
it
iρe
it
dt = i
2π

0
f

z
0
+ ρe
it


dt
= i
2π

0

f

z
0
+ ρe
it

− f (z
0
)

dt + 2πif (z
0
)
Vì liên tục trên D nên khi ρ → 0 thì
lim
ρ→0
2π

0

f


z
0
+ ρe
it

− f (z
0
)

dt = 0
Do đó
lim
ρ→0

C
ρ
f (ζ)
ζ − z
0
dζ = 2πif (z
0
)
Từ đó, chúng ta suy ra
f (z
0
) =
1
2πi

γ

f (ζ)
ζ − z
0
dζ
Trường hợp f liên tục trên D và f chỉnh hình trên D thì ta có thể thay
∂D cho γ trong chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn.
Định lý 1.6. (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu
f là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f khả vi vô hạn lần trong D.
19
Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến nằm trong D, thì
f
(n)
(z
0
) =
n!
2πi

γ
f (z)
(z − z
0
)
n+1
dz; với mọi z
0
∈ D.
Chứng minh. Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n. Trường
hợp n = 0 theo công thức tích phân Cauchy chúng ta đều nhận được điều
phải chứng minh. Giả sử công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức là

f
(n−1)
(z
0
) =
(n − 1)!
2πi

γ
f (z)
(z − z
0
)
n
dz
Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z
0
+ h ∈ D
γ
, thương vi phân đối với hàm
f
(n−1)
được cho bởi công thức
f
(n−1)
(z
0
+ h) − f
(n−1)
(z

0
)
h
=
(n − 1)!
2πi

γ
f (ζ)
1
h

1
(ζ − z
0
− h)
n
−
1
(ζ − z
0
)
n

dζ.
Đặt
1
ζ − z
0
− h

= A,
1
ζ − z
0
= B, chúng ta nhận được
1
(ζ − z
0
− h)
n
−
1
(ζ − z
0
)
n
=
1
(ζ − z
0
− h)
−
1
(ζ − z
0
)

A
n−1
+ A

n−2
B + . . . + AB
n−2
+ B
n−1

Do đó, khi h → 0, thương vi phân hội tụ đến
(n − 1)!
2πi

γ
f (ζ)

1
(ζ − z
0
)
2
.
n
(ζ − z
0
)
n−1

dζ =
n!
2πi

γ

f (z)
(z − z
0
)
n+1
dz.
1.4. Lý thuyết thặng dư
1.4.1. Không điểm và cực điểm
Định nghĩa 1.4. Điểm z
0
được gọi là không điểm của hàm f(z) nếu
f (z
0
) = 0.
20
Định lý 1.7. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D, có một
không điểm tại z
0
∈ D và không đồng nhất bằng không trong D. Thế thì,
tồn tại một lân cận U của z
0
trong D và một hàm chỉnh hình g không
đồng nhất triệt tiêu trên U với một số nguyên dương lớn nhất k sao cho
f(z) = (z − z
0
)
k
g(z); với mọi z ∈ U.
Trong trường hợp của Định lý trên ta nói f có không điểm bậc k (hoặc bội
k) tại điểm z

0
. Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z
0
là không
điểm đơn.
Định nghĩa 1.5. Điểm z
0
∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của
hàm f(z) nếu tồn tại một lân cận thủng {z
0
∈ C : 0 < |z − z
0
| < R} của
điểm z
0
sao cho tại lân cận này hàm f chỉnh hình nhưng không chỉnh hình
tại z
0
.
Ví dụ 1.6. Hàm f(z) =
1
z − 1
nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô
lập.
Định nghĩa 1.6. Điểm bất thường cô lập z
0
được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim
z→z
0

f(z) = ∞;
(ii) cực điểm nếu lim
z→z
0
f(z) = ∞;
(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi
z → z
0
.
Ví dụ 1.7. Hàm số f(z) =
sin z
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường bỏ
được bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
sin z
z
= 1.
Hàm số f(z) =
1
z
nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
1

z
= ∞.
Hàm số f(z) = e
1
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
y=0,x>0
e
1
z
= lim
x→0
+
e
1
x
= ∞,
21
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
y=0,x<0
e
1
z

= lim
x→0
−
e
1
x
= 0.
Định lý 1.8. Nếu f(z) có một cực điểm tại z
0
∈ D, thì trong một lân cận
của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số nguyên
dương k lớn nhất sao cho
f(z) =
h(z)
(z − z
0
)
k
.
Số nguyên dương k trong Định lý 1.8 được gọi là bậc (hoặc bội) của cực
điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z
0
. Nếu cực điểm
là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Định lý 1.9. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, thì
f(z) =
a
−k

(z − z
0
)
k
+
a
−k+1
(z − z
0
)
k−1
+ ··· +
a
−1
(z − z
0
)
+ G(z),
ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z
0
.
1.4.2. Thặng dư và cách tính
Định nghĩa 1.7. Hệ số a
−1
trong khai triển
f(z) =
a
−k
(z − z
0

)
k
+
a
−k+1
(z − z
0
)
k−1
+ ··· +
a
−1
(z − z
0
)
+ G(z)
của hàm f tại cực điểm z
0
của nó được gọi là thặng dư của f tại cực điểm
đó, ký hiệu là Res
z=z
0
f. Như vậy Res
z=z
0
f = a
−1
.
Trong trường hợp hàm f có cực điểm đơn tại z
0

, rõ ràng chúng ta có
Res
z=z
0
f = lim
z→z
0
(z − z
0
) f(z).
Nếu cực điểm có bậc lớn hơn một, chúng ta có công thức tính thặng dư
dưới đây
Định lý 1.10. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, thì
Res
z=z
0
f = lim
z→z
0

1
(k − 1)!

d
dz

k−1
(z − z

0
)
k
f(z)

.
22
Nếu hàm f(z) có cực điểm bậc k tại z
0
thì theo Định lý 1.8, ta có biểu
diễn f(z) =
g(z)
(z − z
0
)
k
, với g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của điểm
z
0
. Trong trường hợp này ta cũng có thể tính thặng dư của f nhờ Định lý
sau
Định lý 1.11. Nếu f(z) =
g(z)
(z − z
0
)
k
, ở đó g là hàm chỉnh hình trong lân
cận của điểm z
0

, thì
Res
z=z
0
f =
g
(k−1)
(z
0
)
(k − 1)!
.
Trong trường hợp z
0
là cực điểm đơn hoặc bậc hai, chúng ta có thể tính
thặng dư của hàm f tại các điểm đó khá đơn giản nhờ kết quả sau đây
Hệ quả 1.1. Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận của điểm z
0
. Khi đó
(i) nếu f(z) =
g(z)
z − z
0
, thì Res
z=z
0
f = g(z
0
);
(ii) nếu f(z) =

g(z)
(z − z
0
)
2
, thì Res
z=z
0
f = g

(z
0
).
Trong trường hợp hàm f được cho dưới dạng một thương, chúng ta tính
thặng dư nhờ Định lý dưới đây
Định lý 1.12. Giả sử f(z) =
p(z)
h(z)
, ở đó p(z) và h(z) là các hàm chỉnh
hình trong một lân cận của điểm z
0
và h(z) có không điểm bậc k tại z
0
.
Nếu h(z) = (z − z
0
)
k
q(z), ở đó q(z) là chỉnh hình trong một lân cận của
z

0
và q(z
0
) = 0 thì
Res
z=z
0
f = c
k−1
,
ở đó c
k−1
là hệ số của số hạng bậc k − 1 trong khai triển luỹ thừa của
g =
p
q
trong lân cận của điểm z
0
.
Hệ quả 1.2. Giả sử p và h là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của
điểm z
0
và h có không điểm đơn tại z
0
. Khi đó
Res
z=z
0

p

h

=
p(z
0
)
h

(z
0
)
.
23
Định lý 1.13. (Công thức thặng dư Cauchy).Giả sử f là hàm chỉnh
hình trong một miền D, trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z
1
, z
2
, , z
N
nằm trong miền đó. Khi đó, chúng ta có công thức

γ
f(z)dz = 2πi
N

k=1
Res
z=z
k

f,
ở đó γ là chu tuyến nằm trong miền D sao cho {z
1
, z
2
, , z
N
} ⊂ D
γ
⊂ D.
24