Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc dạy giải một số dạng toán ở tiểu học

Bộ giáo dục và đào tạo
TRờNG ĐạI HọC SƯ PHạM Hà NộI 2





Trần thị hải hậu




Phát huy tính tích cực của học sinh
thông qua việc dạy giải một số
dạng toán số học ở tiểu học



LUậN VĂN THạC Sĩ giáo dục HọC


Hà Nội, 2009





Bộ giáo dục và đào tạo
TRờNG ĐạI HọC SƯ PHạM Hà NộI 2

Trần thị hải hậu





PHáT HUY TíNH TíCH CựC CủA HọC SINH
THÔNG QUA VIệC DạY GIảI MộT Số
DạNG TOáN Số HọC ở TIểU HọC


Chuyên ngành: Giáo dục học (Bậc Tiểu học)
Mã số: 60 14 01


Cán bộ hớng dẫn: PGS.TS Nguyễn Phụ Hy

Hà Nội, 2009


Lời cam đoan

Công tác nghiên cứu phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc
dạy giải một số dạng toán số học ở Tiểu học là công trình nghiên cứu của riêng
bản thân tôi.
Các số liệu, căn cứ, kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực.
Đề tài cha đợc công bố trong bất kì công trình khoa học nào khác.

Hà Nội, ngày 8 tháng 9 năm 2009



Trần Thị Hải Hậu


Lời cảm ơn

Đợc học tập và tiếp cận với các thầy cô, đồng nghiệp cùng với kiến
thức khoa học rộng mở là điều mà bản thân tôi cảm thấy hạnh phúc nhất.
Tất cả đã tạo cho tôi một cách nhìn khoa học về các sự vật, hiện tợng và thêm
niềm tin vào cuộc sống.
Xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô Trờng Đại học S Phạm Hà Nội 2,
cảm ơn Quý thầy cô Phòng Sau đại học đã cho bản thân tôi những kiến thức
quý báu làm hành trang để tôi tự tin, vững bớc vào đời.
Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, nguyên cán bộ giảng
dạy khoa Toán - Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2 đã tận tình hớng dẫn.
Trong suốt quá trình làm việc nghiên cứu, thầy đã chỉ cho tôi từng đờng đi,
nớc bớc trong nghiên cứu khoa học. Qua đó, tôi có thêm sự hiểu biết và
tự tin hơn trong quá trình nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn tấm lòng và sự nhiệt tình hớng dẫn của Thầy.
Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cảm ơn nhiều nhà khoa học nh:
TS Khuất Văn Ninh, TS Nguyễn Văn Hùng, TS Nguyễn Năng Tâm,
TS Kiều Văn Hng, khoa Toán Trờng Đại học S Phạm Hà Nội 2 đã góp cho
tôi có thêm kiến thức để hoàn thành luận văn của mình.
Và tôi cũng xin cảm ơn sâu sắc sự động viên, chia sẻ, giúp đỡ về cả
tinh thần, vật chất của gia đình, ngời thân và bạn bè trong những lúc tôi gặp
khó khăn, trở ngại trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Mục lục

PHầN I. Mở ĐầU


1
1. Lí do chọn đề tài


1
2. Mục đích nghiên cứu


3
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu


3
4. Nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu


3
5. Phơng pháp nghiên cứu


3
6. Giả thuyết khoa học


4

7. Dự kiến cấu trúc luận văn


4
PHầN II. NộI DUNG


6
CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN


6
1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học


6
1.2 Một số yếu tố toán học hiện đại


10
1.3 Đặc điểm cấu trúc nội dung môn Toán Tiểu học


21
1.4 Thực tế việc dạy học giải một số dạng toán số học ở Tiểu học

24
1.5 Tổng quan về dạy học phát huy tính tích cực của học sinh

25
CHƯƠNG 2: Dạy học một số dạng toán số học theo
hớng phát huy tính tích cực của học sinh


37

2.1 Dạng toán về viết số, tìm chữ số


37
2.2 Dạng toán thực hiện một dãy các phép tính


44
2.3 Dạng toán tìm một số khi biết kết quả sau một dãy phép tính
liên tiếp



47

2.4 Dạng toán tìm số trung bình cộng


52
2.5 Dạng toán tìm hai số biết tổng, hiệu hoặc tỉ số của chúng


55

2.6 Dạng toán về cấu tạo thập phân của số


62
2.7 Dạng toán về chữ số tận cùng


71
2.8 Dạng toán định tính


76
2.9 Những sai lầm thờng gặp khi giải một số dạng toán số học và
cách khắc phục



80

Chơng 3: Thực nghiệm


93
Phần III. Kết luận

101
Tài liệu tham khảo
103
1
PHầN I. Mở ĐầU

1. Lí do chọn đề tài
Vấn đề phát huy tính tích cực học tập của học sinh đã đợc đặt ra trong
ngành giáo dục Việt Nam từ những năm 1960. ở thời điểm này, các trờng
s phạm đã có khẩu hiệu: Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo.
Trong cuộc cải cách giáo dục lần thứ hai, năm 1980, phát huy tính tích cực đã
là một trong các phơng hớng cải cách, nhằm đào tạo những ngời lao động
sáng tạo, làm chủ đất nớc. Từ đó, trong nhà trờng xuất hiện ngày càng
nhiều tiết dạy tốt của các giáo viên giỏi, theo hớng tổ chức cho học sinh hoạt
động, tự lực chiếm lĩnh tri thức mới. Tuy vậy, phơng pháp dạy học ở trờng
phổ thông và phơng pháp đào tạo giáo viên ở trờng s phạm phổ biến vẫn là
cách dạy thông báo kiến thức đọc - chép hay còn đợc gọi là truyền thụ một
chiều. Phơng pháp dạy học này dẫn đến sự thụ động của ngời học, nặng về
ghi nhớ lí thuyết, thiếu kĩ năng thực hành áp dụng
Sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nớc, sự thách thức của
quá trình hội nhập kinh tế toàn cầu đòi hỏi phải có nguồn nhân lực, ngời
lao động có đủ phẩm chất và năng lực đáp ứng yêu cầu của xã hội trong
giai đoạn mới. Ngời lao động phải có khả năng thích ứng, khả năng thu nhận
và vận dụng linh hoạt, sáng tạo tri thức của nhân loại vào điều kiện hoàn cảnh
thực tế, tạo ra những sản phẩm đáp ứng yêu cầu của xã hội.
Để có nguồn nhân lực trên, yêu cầu đặt ra là phải đổi mới giáo dục, trong
đó có đổi mới mục tiêu giáo dục, đổi mới nội dung giáo dục và phơng pháp
dạy và học. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy và học đã đợc xác định
trong Nghị Quyết Trung ơng 4 khóa VII (1-1993), Nghị quyết Trung ơng 2
khóa VIII (12- 1996) và đợc thể chế hóa trong Luật Giáo dục sửa đổi
ban hành ngày 27/6/2005, điều 2.4, đã ghi Phơng pháp giáo dục phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học;
2
Bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê
học tập và ý chí vơn lên.
Mỗi môn học ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển

những cơ sở ban đầu, rất quan trọng của nhân cách con ngời Việt Nam.
Trong các môn học ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn toán có vị trí
quan trọng, vì:
- Các kiến thức, kĩ năng của môn toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng
trong đời sống; chúng rất cần thiết cho ngời lao động, rất cần thiết
để học các môn học khác ở Tiểu học và học tập tiếp môn toán ở
Trung học.
- Môn toán giúp học sinh nhận biết các mối quan hệ về số lợng và
hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có
phơng pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và
biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống.
- Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phơng pháp
suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải quyết vấn đề;
nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập,

linh hoạt, sáng tạo; nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất
cần thiết và quan trọng của ngời lao động nh: cần cù, cẩn thận, có
ý thức vợt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong
khoa học.
Trong chơng trình toán Tiểu học, cùng với việc học các kiến thức về
hình học, đại lợng học sinh còn đợc học các kiến thức về số học.
Các kiến thức số học không đợc dạy thành môn riêng mà nó là một bộ phận
gắn bó mật thiết với các kiến thức hình học, đại số, đại lợng, giải toán
tạo thành một môn học thống nhất. Các kiến thức này hỗ trợ, bổ sung

cho nhau, góp phần phát triển toàn diện năng lực Toán học cho học sinh.
3
Các bài toán số học rất đa dạng, phong phú với nhiều dạng khác nhau.
Vấn đề đặt ra là phải phân loại và đa ra phơng pháp giải cho từng dạng
cụ thể, giúp học sinh giải các bài toán đó một cách tích cực, góp phần

nâng cao chất lợng dạy học môn toán ở Tiểu học.
Để đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ đó, đợc sự giúp đỡ, hớng dẫn
tận tình của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, tôi thực hiện nghiên cứu đề tài:
Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua việc dạy giải một số
dạng toán số học ở Tiểu học.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa và phân tích nội dung, phơng pháp giải một số dạng toán
số học ở Tiểu học, nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong việc học và
giải toán.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung chơng trình về việc dạy học giải một số dạng toán
số học ở Tiểu học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong việc học và
giải toán.
- Phạm vi đề tài là việc dạy học một số dạng toán số học cho học sinh
Tiểu học đạt kết quả cao.
4. Nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài Phát huy tính tích
cực của học sinh thông qua việc dạy giải một số dạng toán số học ở Tiểu học.
- Nghiên cứu nội dung chơng trình và phơng pháp dạy học một số
dạng toán ở Tiểu học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh.
- Nghiên cứu một số sai lầm thờng gặp khi giải một số dạng toán ở
Tiểu học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh.
5. Phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu lí luận.
- Phơng pháp nghiên cứu tài liệu.
4
- Phơng pháp quan sát.
- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu biết kết hợp giữa các phơng pháp dạy học truyền thống, hiện đại và

tâm lí học trong dạy học đồng thời phân loại đợc một số dạng toán số học và
đa ra phơng pháp giải cho từng dạng, sẽ phát huy đợc tính tích cực của
học sinh Tiểu học thông qua việc giải một số dạng toán số học. Từ đó
nâng cao năng lực t duy Toán học và kĩ năng giải toán cho học sinh, góp
phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán ở Tiểu học.
7. Dự kiến cấu trúc luận văn
Phần I. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu.
4. Nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Phơng pháp nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học.
7. Dự kiến cấu trúc luận văn.
Phần II. Nội dung
Chơng 1: Cơ sở lí luận
1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học.
1.2 Một số yếu tố Toán học hiện đại.
1.3 Đặc điểm cấu trúc nội dung môn toán Tiểu học.
1.4 Thực tế việc dạy học giải một số dạng toán số học ở Tiểu học.
1.5 Tổng quan về dạy học phát huy tính tích cực của học sinh.
Chơng 2: Dạy học một số dạng toán số học theo hớng phát huy tính
tích cực của học sinh
2.1 Dạng toán về viết số, tìm chữ số.
5
2.2 Dạng toán thực hiện một dãy các phép tính.
2.3 Dạng toán tìm một số khi biết kết quả sau một dãy phép tính
liên tiếp.
2.4 Dạng toán tìm số trung bình cộng.
2.5 Dạng toán tìm hai số biết tổng, hiệu hoặc tỉ số của chúng.

2.6 Dạng toán về cấu tạo thập phân của số.
2.7 Dạng toán về chữ số tận cùng.
2.8 Dạng toán định tính.
2.9 Những sai lầm thờng gặp khi giải một số dạng toán số học và cách
khắc phục.
Chơng 3: Thực nghiệm
Phần III. Kết luận


6
PHầN II. NộI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN
1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
1.1.1 Nhận thức cảm tính
1.1.1.1 Các cơ quan cảm giác
Thị giác, thính giác, khứu giác, vị giác, xúc giác đều phát triển và đang
trong quá trình hoàn thiện.
1.1.1.2 Tri giác
Tri giác của học sinh Tiểu học mang tính đại thể, ít đi vào chi tiết và
mang tính không ổn định: ở đầu tuổi Tiểu học tri giác thờng gắn với
hành động trực quan, đến cuối tuổi Tiểu học tri giác bắt đầu mang tính
xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật hiện tợng có màu sắc sặc sỡ, hấp hẫn,
tri giác của trẻ đã mang tính mục đích, có phơng hớng rõ ràng - tri giác có
chủ định (trẻ biết lập kế hoạch học tập, biết sắp xếp công việc nhà, biết làm
các bài tập từ dễ đến khó, )
Nhận thấy điều này chúng ta cần phải thu hút trẻ bằng các hoạt động
mới, mang màu sắc, tích chất đặc biệt khác lạ so với bình thờng, khi đó sẽ
kích thích trẻ cảm nhận, tri giác tích cực và chính xác.
1.1.2 Nhận thức lí tính
1.1.2.1 T duy

T duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm u thế ở t duy trực quan
hành động.
Các phẩm chất t duy chuyển dần từ tính cụ thể sang t duy trừu tợng
khái quát.
Khả năng khái quát hóa phát triển dần theo lứa tuổi, lớp 4, 5 bắt đầu
biết khái quát hóa lí luận. Tuy nhiên, hoạt động phân tích, tổng hợp kiến thức
còn sơ đẳng ở phần đông học sinh Tiểu học.
7
1.1.2.2 Tởng tợng
Tởng tợng của học sinh Tiểu học đã phát triển phong phú hơn so với
trẻ mầm non nhờ có bộ não phát triển và vốn kinh nghiệm ngày càng dày dạn.
Tuy nhiên, tởng tợng của các em vẫn mang một số đặc điểm nổi bật sau:
ở đầu tuổi Tiểu học thì hình ảnh tởng tợng còn đơn giản, cha
bền vững và dễ thay đổi.
ở cuối tuổi Tiểu học, tởng tợng tái tạo đã bắt đầu hoàn thiện,

từ những hình ảnh cũ trẻ đã tái tạo ra những hình ảnh mới. Tởng tợng
sáng tạo tơng đối phát triển ở giai đoạn cuối tuổi Tiểu học, trẻ bắt đầu
phát triển khả năng làm thơ, làm văn, vẽ tranh, Đặc biệt, tởng tợng của
các em trong giai đoạn này bị chi phối mạnh bởi các xúc cảm, tình cảm,
những hình ảnh, sự việc, hiện tợng đều gắn liền với các rung động tình cảm
của các em.
Qua đây, các nhà giáo dục phải phát triển t duy và trí tởng tợng của
các em bằng cách biến các kiến thức "khô khan" thành những hình ảnh có
cảm xúc, đặt ra cho các em những câu hỏi mang tính gợi mở, thu hút các em
vào các hoạt động nhóm, hoạt động tập thể để các em có cơ hội phát triển
quá trình nhận thức lí tính của mình một cách toàn diện.
1.1.3 Ngôn ngữ và sự phát triển nhận thức của học sinh Tiểu học
Hầu hết học sinh Tiểu học có ngôn ngữ nói thành thạo. Khi trẻ vào
lớp 1 bắt đầu xuất hiện ngôn ngữ viết. Đến lớp 5 thì ngôn ngữ viết đã

thành thạo và bắt đầu hoàn thiện về mặt ngữ pháp, chính tả và ngữ âm. Nhờ có
ngôn ngữ phát triển mà trẻ có khả năng tự đọc, tự học, tự nhận thức thế giới
xung quanh và tự khám phá bản thân thông qua các kênh thông tin khác nhau.
Ngôn ngữ có vai trò hết sức quan trọng đối với quá trình nhận thức
cảm tính và lí tính của trẻ, nhờ có ngôn ngữ mà cảm giác, tri giác, t duy,
tởng tợng của trẻ phát triển dễ dàng và đợc biểu hiện cụ thể thông qua
8
ngôn ngữ nói và viết của trẻ. Mặt khác, thông qua khả năng ngôn ngữ của trẻ
ta có thể đánh giá đợc sự phát triển trí tuệ của trẻ.
Ngôn ngữ có vai trò hết sức quan trọng nh vậy nên các nhà giáo dục
phải trau dồi vốn ngôn ngữ cho trẻ trong giai đoạn này bằng cách hớng
hứng thú của trẻ vào các loại sách báo có lời và không lời, có thể là sách
văn học, truyện tranh, truyện cổ tích, báo nhi đồng, đồng thời cũng có thể kể
cho trẻ nghe hoặc tổ chức các cuộc thi kể truyện đọc thơ, viết báo, viết truyện,
dạy trẻ cách viết nhật kí, Tất cả đều có thể giúp trẻ có đợc một

vốn ngôn ngữ phong phú và đa dạng.
1.1.4 Chú ý và sự phát triển nhận thức của học sinh Tiểu học
ở đầu tuổi Tiểu học chú ý có chủ định của trẻ còn yếu, khả năng
kiểm soát, điều khiển chú ý còn hạn chế. ở giai đoạn này chú không chủ định
chiếm u thế hơn chú ý có chủ định. Trẻ lúc này chỉ quan tâm chú ý đến
những môn học, giờ học có đồ dùng trực quan sinh động, hấp dẫn có nhiều
tranh ảnh, trò chơi hoặc có cô giáo xinh đẹp, dịu dàng, Sự tập trung chú ý
của trẻ còn yếu và thiếu tính bền vững, cha thể tập trung lâu dài và dễ bị
phân tán trong quá trình học tập.
ở cuối tuổi Tiểu học trẻ dần hình thành kĩ năng tổ chức, điều chỉnh
chú ý của mình. Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm u thế, ở trẻ đã có
sự nỗ lực về ý chí trong hoạt động học tập nh học thuộc một bài thơ, một
công thức toán hay một bài hát dài, Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu
xuất hiện giới hạn của yếu tố thời gian, trẻ đã định lợng đợc khoảng

thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố gắng hoàn thành công việc
trong khoảng thời gian quy định.
Biết đợc điều này các nhà giáo dục nên giao cho trẻ những công việc
hay bài tập đòi hỏi sự chú ý của trẻ và nên giới hạn về mặt thời gian. Chú ý
áp dụng linh động theo từng độ tuổi đầu hay cuối tuổi Tiểu học và chú ý đến
9
tính cá thể của trẻ, điều này là vô cùng quan trọng và ảnh hởng trực tiếp đến
kết quả giáo dục trẻ.
1.1.5 Trí nhớ và sự phát triển nhận thức của học sinh Tiểu học
Loại trí nhớ trực quan hình tợng chiếm u thế hơn trí nhớ từ ngữ lôgic
Giai đoạn lớp 1, 2 ghi nhớ máy móc phát triển tơng đối tốt và chiếm
u thế hơn so với ghi nhớ có ý nghĩa. Nhiều học sinh cha biết tổ chức việc
ghi nhớ có ý nghĩa, cha biết dựa vào các điểm tựa để ghi nhớ, cha biết cách
khái quát hóa hay xây dựng dàn bài để ghi nhớ tài liệu.
Giai đoạn lớp 4, 5 ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ từ ngữ đợc

tăng cờng. Ghi nhớ có chủ định đã phát triển. Tuy nhiên, hiệu quả của việc
ghi nhớ có chủ định còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố nh mức độ tích cực
tập trung trí tuệ của các em, sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lí
tình cảm hay hứng thú của các em
Nắm đợc điều này, các nhà giáo dục phải giúp các em biết cách
khái quát hóa và đơn giản mọi vấn đề, giúp các em xác định đâu là nội dung
quan trọng cần ghi nhớ, các từ ngữ dùng để diễn đạt nội dung cần ghi nhớ phải
đơn giản dễ hiểu, dễ nắm bắt, dễ thuộc và đặc biệt phải hình thành ở các em
tâm lí hứng thú và vui vẻ khi ghi nhớ kiến thức.
1.1.6 ý chí và sự phát triển nhận thức của học sinh Tiểu học
ở đầu tuổi Tiểu học hành vi mà trẻ thực hiện còn phụ thuộc nhiều vào
yêu cầu của ngời lớn (học để đợc bố cho đi ăn kem, học để đợc cô giáo
khen, quét nhà để đợc ông cho tiền, ). Khi đó, sự điều chỉnh ý chí đối với
việc thực thi hành vi ở các em còn yếu. Đặc biệt các em cha đủ ý chí để

thực hiện đến cùng mục đích đã đề ra nếu gặp khó khăn.
Đến cuối tuổi Tiểu học các em đã có khả năng biến yêu cầu của
ngời lớn thành mục đích hành động của mình, tuy vậy năng lực ý chí còn
thiếu bền vững, cha thể trở thành nét tính cách của các em. Việc thực hiện
hành vi vẫn chủ yếu phụ thuộc vào hứng thú nhất thời.
10
Để bồi dỡng năng lực ý chí cho học sinh Tiểu học đòi hỏi ở

nhà giáo dục sự kiên trì bền bỉ trong công tác giáo dục, muốn vậy thì trớc hết
mỗi bậc cha mẹ, thầy cô phải trở thành tấm gơng về nghị lực trong mắt trẻ.
Nói tóm lại, sáu tuổi vào lớp 1 là bớc ngoặt lớn của trẻ thơ. Môi trờng
thay đổi: đòi hỏi trẻ phải tập trung chú ý thời gian liên tục từ 30 - 35 phút.
Chuyển từ hiếu kì, tò mò sang tính ham hiểu biết, hứng thú khám phá.
Bớc đầu kiềm chế dần tính hiếu động, bột phát để chuyển thành tính kỉ luật,
nề nếp, chấp hành nội quy học tập. Phát triển độ tinh nhạy và sức bền vững
của các thao tác tinh khéo của đôi bàn tay để tập viết, Tất cả đều là thử thách
của trẻ, muốn trẻ vợt qua đợc tốt những điều này thì phải cần có sự
quan tâm giúp đỡ của gia đình, nhà trờng và xã hội dựa trên sự hiểu biết về
tri thức khoa học.
Với các đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học nh đã nêu, ta phải
lựa chọn phơng pháp dạy học trong quá trình giải một số dạng toán số học để
đạt đợc hiệu quả cao, để phát huy đợc tính tích cực học tập của học sinh,
giúp học sinh Tiểu học hiểu đợc bản chất bài toán, biết giải các bài toán một
cách khoa học, lôgic đồng thời phát triển khả năng t duy lôgic của các em.
1.2 Một số yếu tố Toán học hiện đại
1.2.1 Lớp tập hợp
1.2.1.1 Định nghĩa lớp tập hợp
- Nếu một tập hợp X mà các phần tử của nó lại là tập hợp thì ta gọi
tập hợp X là một họ (hay một lớp) tập hợp. Tập hợp X còn đợc gọi là
không gian.

Lớp tập hợp đợc kí hiệu bằng chữ in hoa (A, B, C).
1.2.1.2 Đại số tập hợp
* Định nghĩa: Một lớp tập hợp C



đợc gọi là một đại số tập hợp
hay đơn giản là một đại số, nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
11
i, Nếu A

C thì X\ A

C;
ii, Mọi họ hữu hạn bất kỳ (A
j
)
1
n
j


C (n

N
*
) thì
1
n
j

A
j


C.
* Tính chất:
1) Với mọi họ hữu hạn (A
j
)
1
n
j


C thì
1
n
j

A
j

C.
Thật vậy:
1
n
j

A

j

X


1
n
j

A
j
= X\(X\
1
n
j

A
j
) = X\(
1
n
j

(X\A
j
))
A
j

C (theo giả thiết)

X\A
j

C ( j=1, 2, 3,, n) (theo định nghĩa)


1
n
j

(X\A
j
)

C

X\(
1
n
j

(X\A
j
))

C

1
n

j

A
j

C.
2) Nếu A, B

C

A\B

C, B\A

C.
Thật vậy: A\B = A

(X\B) mà A

C, X\B

C (theo định nghĩa)


A

(X\B)

C

A\B

C.
Chứng minh tơng tự ta có: B\A

C.
3)


C.
Thật vậy, ta thấy A

C

A\A

C




C.
4) X

C.
Thật vậy,


C (tính chất 3)
X\

C

X

C
Định lý: Giả sử lớp M



gồm những tập con nào đấy của tậ
p X
(nói chung không phải là một đại số). Khi đó tồn tại duy nhất một đại số
C (M): C (M)

M và

C

M

C (M)

C
,
.
Đại số C (M) đợc gọi là đại số sinh bởi M
12
1.2.1.3

- đại số
* Định nghĩa: Lớp tập hợp F



(gồm các tập con của tập X) gọi là
một

- đại số nếu F thỏa mãn các điều kiện sau:
i, A

F

X\ A

F ;
ii, Với dãy đếm đợc

(A
n
)
1n




F

1

n



A
n


F .
Nhận xét: Ta nhận thấy một

- đại số cũng là một đại số.
Do đó

- đại số F có các tính chất của một đại số. Ngoài ra một

- đại số có tính chất sau:
Tính chất 5:

(A
n
)
1n




F

1

n



A
n

F .
Ví dụ: Đặt F = 2
x
(họ tất cả các tập con của tập X), dễ dàng kiểm tra
2
x
là một

- đại số.
1.2.2 Đại lợng
1.2.2.1 Khái niệm đại lợng
Để hiểu rõ đợc phép đo đại lợng, trớc tiên ta phải hiểu đợc
đại lợng là gì?
Ta gọi là đại lợng một tập hợp X cùng với một quan hệ tơng đơng
trên X. Kí hiệu (X,

).
Nh vậy, khi có một đại lợng (X,

) quan hệ

trên X xác định sự
chia lớp trên tập hợp X.

Tập thơng X/

gọi là tập hợp các giá trị của đại lợng (X,

):
Với x

X, giá trị của x theo đại lợng (X,

) kí hiệu là
x
và
x

X/

.
Với x, y

X, ta nói x có cùng giá trị theo đại lợng (X,

) với y khi và
chỉ khi x

y.
Ví dụ: Gọi A là tập hợp các đoạn thẳng. Với x, y

A , x

y nếu x có

độ dài bằng độ dài của y. Quan hệ

là quan hệ tơng đơng.
Vậy (A ,

) là một đại lợng.
13
a. Đại lợng vô hớng
Ta gọi là đại lợng vô hớng một đại lợng (X,

) cùng với một

quan hệ thứ tự toàn phần

trong X/

. Kí hiệu (X,

,

).
Ví dụ: Đại lợng (A ,

) xét trong ví dụ trên. Với
x
,
y

A /

, x

y nếu
x không dài hơn y. Quan hệ

không phụ thuộc vào việc lựa chọn các phần tử
đại diện của hai lớp
x
,
y
. Quan hệ

là quan hệ thứ tự toàn phần trong A /

.
Vậy (A ,

,

) là một đại lợng vô hớng.
b. Đại lợng cộng đợc
Ta gọi là một đại lợng cộng đợc (X,

) sao cho X/

là một vị nhóm
cộng giao hoán. Kí hiệu (X,

,+).
Ví dụ: Quan hệ bằng nhau (toàn đẳng)

giữa hai đoạn thẳng là một
đại lợng trong tập hợp E các đoạn thẳng.
Với
x
,
y

E/

, xác định a + b nh sau:
Trên đờng thẳng

lấy AB

a
, BC

b
sao cho hai véctơ
,AB


BC

là
hai véctơ cùng phơng, cùng chiều. Khi đó AC

a
+

b
. Việc xác định a + b
không phụ thuộc vào lấy đờng thẳng

.
(E,

,+) là một nhóm cộng giao hoán. Do đó (E,

,+) là một đại lợng
cộng đợc.
c. Đại lợng vô hớng cộng đợc
Ta gọi là đại lợng vô hớng cộng đợc một đại lợng (X,

) thỏa mãn
các điều kiện sau:
i/ Có quan hệ

trong X/

sao cho (X,

,

) là một đại lợng

vô hớng;
ii/ Có phép cộng trọng X/

sao cho (X,

,+) là một đại lợng

cộng đợc;
iii/ (X,

,+,

) là một vị nhóm cộng sắp thứ tự Acsimet mà mọi phần tử
khác không đều dơng.
14
Kí hiệu: (X,

,+,

) là đại lợng vô hớng cộng đợc.
Ví dụ: Xét tập E với quan hệ tơng đơng

và phép cộng

cùng quan hệ

:
Với
a
,
b

E/

, trên tia 0

lấy OA

a
, OB

b
, nếu và chỉ nếu điểm B
trùng với điểm A hoặc điểm B không thuộc đoạn OA.
Quan hệ

không phụ thuộc vào việc lựa chọn tia 0

.
Ta có: (E,

,

) là một đại lợng vô hớng.
(E,

,+) là một đại lợng cộng đợc.
(E,

,+,

) là một nhóm cộng sắp thứ tự Acsimet mà mọi phần tử
khác không đều dơng.
(E,

,+,

) là một đại lợng vô hớng cộng đợc.
1.2.2.2 Phép đo đại lợng
Định nghĩa: Cho G là một đại lợng vô hớng cộng đợc. R
+
là vị nhóm
cộng sắp thứ tự Acsimet mà phần tử khác không đều dơng. Ta gọi là phép đo
đại lợng G mọi đơn cấu đơn điệu m: G

R
+
đi từ vị nhóm cộng sắp thứ tự G
đến vị nhóm cộng sắp thứ tự các số thực không âm với một phần tử e

G
sao cho m(e)=1.
Với một giá trị a

G, số tơng ứng m(a) trong phép đo m đợc gọi là
số đo a. Phần tử e

G để cho m(e)=1 đợc gọi là đơn vị của phép đo.
Từ định nghĩa trên ta thấy, phép đo đại lợng chẳng qua là một ánh xạ đi từ G
đến R
+
thỏa mãn tính chất sau:
i,

e

G m(e)=1
ii,

a,b

G
Nếu a

b thì m(a)

m(b)
iii,

a,b

G
M
(a+b) = m(a) + m(b)
iiii,

a,b

G
Nếu a

b thì m(a)

m(b)

Cần lu ý rằng: Các phép toán trên tập G với phép toán trên tập R
+
là
khác nhau.
1.2.3 Độ đo
15
1.2.3.1 Hàm tập hợp
Định nghĩa: Họ M


gồm những tập con của tập X nào đấy. Ta gọi là
hàm tập hợp với mọi ánh xạ

, ánh xạ M vào tập số thực R.
Ví dụ: Các đại lợng độ dài, diện tích, thể tích đều là hàm tập hợp.
1.2.3.2 Độ đo trên một đại số tập hợp
Giả sử lớp C


gồm những tập con của tập X nào đấy. Hàm tập hợp M
ánh xạ C vào tập hợp số thực R đợc gọi là một độ đo nếu ánh xạ M thỏa mãn
các điều kiện sau:
i, C là đại số;
ii, (

A

C) đều có m(A)

0, m(

) = 0;
iii, (

A
n
)
1n



C thỏa mãn A
n

A
k
=

, (n

k),
1
n



A
n

C đều có

m(
1
n



A
n
) =
1
n



m( A
n
) (tính chất

- cộng tính của độ đo)
Nếu m(X) <+

thì m gọi là độ đo hữu hạn;
Nếu m(X) = +

(m(X) vô hạn) và X=
1
n

X
n
, X
n

C, m(X
n
)<+

, thì
m gọi là độ đo

- hữu hạn.
Ví dụ: C =2
x
gồm tất cả các tập con của tập X, x
0

X là phần tử cố định
(

A

C) đặt m(A) = 1, nếu x
0

A, m(A) = 0, nếu x
0

A.

Dễ dàng kiểm tra m là một độ đo.
Kết luận: Hàm tập hợp đã cho là một độ đo.
* Từ định nghĩa có thể chứng minh đợc các tính chất sau:
Tính chất 1:

A,B

C , A

B thì m(A)

m(B);
Tính chất 2:

A

C,

B

C,A

B, M(A)<+

thì m(A\B) = m(B) - m(A).
16
Tính chất 3: Với mọi dãy (

A
n

)
1n



C, A

C sao cho A

1
n



A
n
thì
m(A)

1
n



m( A
n
).
Tính chất 4: (

A

n
)
1n



C , A

C , A
n

A
k
=

, (n

k),
1
n



A
n

A
thì
1
n

m( A
n
)

m(A) .
Tính chất 5: Nếu dãy (

A
n
)
1n



C , mà m( A
n
) = 0,
1
n



A
n

C ,
1

n



m( A
n
) = 0.
Tính chất 6: Nếu có hai tập A,B

C , trong đó m(B) = 0 thì

m(A) = m(A

B) = m(A\B).
Tính chất 7: Giả sử có một dãy các tập (

A
n
)
1n



C,
A
1

A
2

A
n

,
1
n



A
n

C , thì m(
1
n



A
n
=
lim
n

m( A
n
)).
Tính chất 8: Nếu (

A
n
)
1n



C , A
1

A
2



A
n

, m(A
1
)<+


thì m(
1
n

A
n
) =
lim
n

m( A
n
)).
Tính chất 7 và 8 đợc gọi là tính chất liên tục của độ đo.
1.2.3.3 Thác triển độ đo
* Độ đo ngoài: Cho X là một tập nào đó khác tập rỗng, kí hiệu 2
x
là lớp
tất cả các tập hợp con của X, M
*
là hàm tập hợp ánh xạ 2
x
vào tập số thực R,
M
*
đợc gọi là độ đo ngoài trên X, M
*
nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i, (

A

X) M
*

(A)

0;
ii, M
*
(

) = 0;
iii, (

A

X), (

A
n
)
1n



2
x
, A

1
n

A
n
thì M
*
(A)

1
n



M
*
( A
n
).
17
Từ định nghĩa trên ta suy ra tính chất đơn điệu sau:

A,B

C , A

B ta đều có M
*
(A)

M
*
(B).

Định lý: Cho M
*
là độ đo ngoài trên X, ký hiệu L gồm tất cả các

tập con A của tập X, thỏa mãn hệ thức:
(

E

2
x
) M(E)= M
*
(E

A) + M
*
(E\A) (b). Khi đó L là một

- đại số và độ đo ngoài M
*
khi chỉ xét trên L , kí hiệu M
*
L là một độ đo
trên L (hay độ đo trên X).
Đặt M = M
*
L thì M đợc gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài M
*
.

Còn tập hợp A thỏa mãn điều kiện (b) gọi là tập M
*
- đo đợc.
Định lý thác triển độ đo: Cho m là độ đo trên đại số C trong đó C là
một lớp khác rỗng các tập con của tập X. Với mỗi tập con A của tập X ta đặt:
M
*
(A) = inf
1
1
( ); ,
i i i
i
i
m C A








= inf
1
1
( ); ,
i i i
i
i

m C A









Cách viết thứ hai với quy ớc nếu chỉ có hữu hạn các
i

mà hợp của
chúng chứa A thì ta bổ sung các tập rỗng để đợc một dãy các tập
i

. Khi đó
M
*
là một độ đo ngoài trên X.
Kí hiệu L là lớp tất cả các tập A

X thỏa mãn các điều kiện trên thì
độ ngoài M
*
L là một độ đo, còn L là một

- đại số. Hơn nữa chứng minh
đợc L

C và (A

C ), M (A)=m(A), nên độ đo M =M
*
L mở rộng thực sự
độ đo m từ đại số C

- đại số L và gọi là độ đo thác triển của độ đo m.
Hơn nữa có thể chứng minh đợc L chứa

- đại số sinh bởi C :
L

F (C)

C .
* Định nghĩa độ đo đủ: Độ đo M trên tập X đợc gọi là độ đo đủ, nếu
đối với tập bất kỳ A

L có M (A)=0 đều có (

B

A), B

L , M (A)=0. Độ đo
thác triển có các tính chất sau:
Tính chất 9: Độ đo M cảm sinh bởi độ đo ngoài M
*

bao giờ cũng là
độ đo đủ.
18
Tính chất 10: Khi m là độ đo hữu hạn (hay

hữu hạn) thì độ đo
thác triển M cũng là độ đo hữu hạn (hay

hữu hạn).
Tính chất 11: Với mọi tập hữu hạn phần tử hay đếm đợc đều có độ đo.
Độ đo thác triển M còn gọi là độ đo Lebesgue. A

L gọi là tập đo đợc
Lebesgue hay đo đợc (L).
1.2.4 Cơ sở phép đếm
1.4.4.1 Hai nguyên lý đếm cơ bản
a. Quy tắc cộng
- Số lợng cách chọn phần tử từ hai tập hợp không giao nhau
(gọi đơn giản là hai tập hợp rời nhau) bằng tổng các bản số của hai tập hợp đó,
điều đó có nghĩa là nếu hai tập A, B rời nhau (A

B=

) và hữu hạn thì
Card (A

B) = Card A + Card B. Tổng quát: Số lợng cách chọn 1 phần tử từ
m tập hợp (m

N

*
, m

2) rời nhau và hữu hạn là tổng các lực lợng của m
tập hợp cụ thể là có: A
1
, A
2
, , A
m
, mà các tập này đôi một không
giao nhau (rời nhau) thì lực lợng của hợp các tập hợp bằng tổng lực lợng
của các tập hợp đó: Card A (
1
m
k

A
k
) = Card A
1
+ Card A
2
++ Card A
m
.
Ngời tacó thể phát biểu quy tắc cộng dới dạng khác nh sau: Giả sử
có một nhiệm vụ nào đó đợc tách ra thành m việc (m

N

*
, m

2): A
1
, A
2
,,
A
m
, mỗi việc A
k
có thể làm bằng n
k
cách và không có hai việc nào có thể
làm đồng thời thì sẽ có n
1
+ n
2
++ n
k
cách thực hiện nhiệm vụ đã cho.
19
b. Quy tắc nhân
- Số lợng cách chọn 1 cặp phần tử có thứ tự (trớc - sau) từ 2 tập hợp
bằng số lợng cách chọn thành phần đầu tiên nhân với số lợng cách chọn
thành phần thứ 2, cụ thể là: Nếu có 2 tập hợp A, B hữu hạn thì
Card ( A

B) = Card A

Card B.
Tổng quát: Số lợng cách chọn 1 bộ m phần tử có thứ tự từ m tập hợp
A
1
, A
2
, , A
m
, m

N
*
, m

2 thì:
Card (A
1

A
2



A
m
) = Card A
1

Card A
2




Card A
m
.
Quy tắc nhân có thể diễn đạt bằng cách khác: Giả sử 1 nhiệm vụ nào đó
đợc thi hành bằng cách thực hiện m việc A
1
, A
2
,, A
m
(m

N
*
, m

2) nếu
việc A
k
có thể thực hiện bằng n
k
cách sau khi các việc A
1
, A

2
,, A
1k
, k

2
đã đợc thực hiện thì có n
1


n
2



n
m
cách thực hiện nhiệm vụ đã cho.
1.2.4.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
a. Hoán vị
- Hoán vị của 1 tập hợp các đối tợng khác nhau là 1 cách sắp xếp có
thứ tự các đối tợng đó, nói cách khác ta gọi là 1 hoán vị của n phần tử n

N
*

là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử đợc
kí hiệu:
P
n

= n! (n

N
*
)
- Ví dụ: Có bao nhiêu cách lựa chọn lấy 5 viên bi từ hộp đựng 10
viên bi?
áp dụng công thức ta có:
P
5
= 5! = 5

4

3

2

1 = 120 (kiểu).
b. Chỉnh hợp
- Một tập hợp có n phần tử n

N
*
, một
cách sắp xếp có thứ tự k phần tử
(0

k

n) của tập hợp n phần tử đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Kí hiệu:
20
A
k
n
= n

(n - 1)(n k + 1) = n! : (n - k)!
- Ví dụ: Tìm tất cả các số có 5 chữ số từ các số tự nhiên từ 1 đến 9.
áp dụng công thức ta có:
A
5
9
=
9! 9! 9 8 7 6 5 4!
(9 5)! 4! 4!



9

8

7

6

5 = 15120 (cách).
c. Tổ hợp

- Một tập hợp có n phần tử n

N
*
. Một tổ hợp chập k (0

k

n) của
tập hợp đã cho là 1 cách chọn không có thứ tự k phần tử của tập hợp đó.
Kí hiệu:
C
k
n
=
( 1) ( 1) !
! !( )!
n n n k n
n k n k




- Ví dụ: Có bao nhiêu cách lựa chọn 11 cầu thủ ra sân thi đấu từ danh
sách đăng kí 18 cầu thủ bóng đá?
Số cách lựa chọn là:
C
11
18
=

18! 18!
11! (18 11)! 11! 7!


31824 (cách).
1.2.4.3 Các phơng pháp đếm khác
a. Nguyên lí bù trừ
Giả sử một nhiệm vụ nào đó đợc tách ra thành hai việc, hai việc đó có
thể làm đồng thời. Số cách thực hiện nhiệm vụ đã cho bằng tổng số cách làm
mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc hay nói
cách khác nếu không giả thiết gì về sự rời nhau giữa hai tập hợp A và B thì:
|A

B| = |A| + |B| - |A

B|
Ví dụ: Có bao nhiêu số nguyên dơng có bốn chữ số khác nhau thành
lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 8, 9 sao cho mỗi số đó hoặc chia hết cho 2 hoặc
chia hết cho 5.