Biến đổi Stockwell và mở rộng (LV00266)

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà
Nội 2, dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Tác giả xin bày
tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy. Thầy đã dành
nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh
nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tậ p và
vượt qua những khó k hăn t rong chuyên môn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà
Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giả i tích, quý thầy cô, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc t ốt đẹp chương trình cao
học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 11 năm 2009
Tác g iả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xi n cam đoan Luận văn l à công trình nghiên cứu của r iêng tôi
dưới sự hướng dẫn của ti ến sĩ Bùi Ki ên Cường.
Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả k hoa
học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2009
Tác g iả
Mục lục
Mở đầu 5
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả ban đầu 8
1.1 Một số kí hiệu và không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R
n
) . . . . . . . . . 12

1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S(R
n
) . . . . 13
1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R
n
) . . . . . . . . . 15
1.2.5. Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 16
1.3 Biểu diễn thời gian tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1. Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2. Biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. Biến đổi Stockwell 46
2.1 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi Fourier thời gian ngắn . . 46
2.2 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi tích chập . . . . . . . . . 48
2.3 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . 49
2.4 Tính chất của biến đổi Stockwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1. Nghịch đảo của biến đổi Stockwell và biến đổi Fourier . . . . . 51
2.4.2. Biến đổi Stockwell ngược liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Biến đổi Stockwell rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9
2.6.1. Biến đổi Stockwell hai chiều không đẳng hướng . . . . . . . . . 60
2.6.2. Biến đổi Stockwell cực hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6.3. Cấu trúc của biến đổi Sto ckwell hai chiều . . . . . . . . . . . . 65
2.6.4. Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7 Phép biến đổi Stockwell mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Kết luận 72
Tài liệu tham khảo 73
1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Phân tích phổ bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier đã là một
công cụ hữu hiệu trong việc phâ n tích các dữ liệu địa vật lý. Một hạn
chế của phép biến đổi Fourier là nó chỉ đưa ra được hình ảnh quang phổ
theo toàn bộ thời gi an. Điều này là phù hợp đối với chuỗi thời gian bất
biến. Tuy nhiên, trong lĩnh vực địa vật lý, sự đứng yên là sự lý tưởng
hóa phi thực tế. Lượng quang phổ thay đổi theo chuỗi thời gian, và biên
độ thời gian trung bình được tìm thấy bởi các phương pháp Fourier là
không đủ để mô tả các hiện tượng như vậy. Vì thế, những năm gần đây,
giải tích Four ier đã đưa ra được một số phương pháp cao cấp hơn trong
việc biểu diễn phổ, một đại diện của việc cải tiến kĩ thuật này là biểu
diễn thời gian-tần số hay còn gọi là phép biến đổi Forier thời gian ngắn,
biến đổi sóng nhỏ l iên tục.
Biến đổi Stockwell là phép biến đổi tích phân tiếp theo có những
ứng dụng thành công nhất trong lĩnh vực địa vật lý và xử lý ảnh tr ong y
học. Nó cũng g iống như biến đổi só ng nhỏ liên tục t rong việc có những
giải pháp liên tục để mô tả phổ của dấu hiệu, nhưng không giống như
biến đổi sóng nhỏ, biến đổi Stockwell hoàn toàn ghi nhớ được các pha
thông tin và t rả lời bằng một tần số có biên độ bất biến. Xem xét một
cách tuyệt đối các thông tin từng pha có nghĩa là thông tin cho b ởi biến
đổi Stockwell tham khảo đối số của hàm cosin tại thờ i điểm ban đầu.
Phép biến đổi Stockwell xác định những pha địa phương bằng con đường
trực quan, tại đỉnh quang phổ, cũng như ngoài đỉnh quang phổ, nơ i tốc
độ thay đổi của các pha dẫ n đến một kênh phân tích tần số tức thời.
Biến đổi Stockwell không chỉ ước l ượng được năng lượng quang phổ địa
phương mà còn ước lượng được cả pha quang phổ.
5
6
Biến đổi Stockwell mang tên chính tá c giả - mộ t nhà toán học trẻ
tuổi người Mỹ, Robert Stockwell, được giới thiệu lần đầu tiên vào năm

1996. Đến nay, các nỗ lực sự hiểu biết các nền tảng của toán học của
biến đổi St ockwell vẫn còn đang được tiến hành. Trong luận văn, chúng
tôi cũng mới chỉ dừng lại ở một số tính chất lý t huyết ban đầu. Những
ứng dụng thực tiễn phong phú của biến đổ i này sẽ tiếp tục được nghi ên
cứu, đây là một trong những lĩnh vực mới mẻ và lý thú của toán học
ứng dụng.
Vớ i tính chất thời sự, tính hiệu quả của lí thuyết của biến đổi
Stockwell trong các lĩnh vực toán học và ứng dụng, đồng thời xuất phát
từ sự ham thích nghiên cứu của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài sau để
thực hiện luận văn tốt nghiệp:
"Biến đổi Stockwell và mở rộng"
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích là nghiên cứu phép biến đổi Stockwell và một số mở
rộng của nó và hệ thống hóa những kiến thức về biến đổi Stockwell, tìm
những mở rộng của phép bi ến đổi này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell trong trường hợp một
chiều, biến đổi Stockwell rời rạc, biến đổi hai chiều.
3. Đ ố i tượng và phạm vi n ghiên cứu
Đưa ra và chứng minh được những kết quả mới, điển hình về phép
biến đổi Stockwell m ột chiều, biến đổi Stockwell hai chiều.
7
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu là sưu tầm, tổng hợp các tài liệu hình
thành bài viết tổng quan và tìm tòi, khám phá những chi tiết mới trong
vấn đề nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của
đề tài
Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell, làm rõ nguồn gốc hình
thành lý thuyết về biến đổi này. Đồng thời chứng minh chi ti ết một số

định lý trong các tài liệu tham khảo (mà ở đó không trình bày chứng
minh hoặc chứng minh vắn tắt), đưa ra được những ví dụ hoặc phản ví
dụ minh họ a.
Chương 1
Một số khái niệm và kết quả ban
đầu
1.1 Một số kí hi ệu và không gian hàm
N = {0, 1, 2, } là tập các số tự nhiên, Z
+
= {0, 1, 2, } là tập các
số nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị
ảo
√
−1 = i. Vớ i mỗi n ∈ N \ {0}, tập Z
n
+
= {α = (α
1
, α
2
, , α
n
), α
j
∈
Z
+
, j = 1, 2, , n}, R
n
= {x = (x

1
, x
2
, , x
n
), x
j
∈ R, j = 1, 2, , n}.
Lấy x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
. Tích vô
hướng x ·y của x và y được xác định bởi
x ·y =
n

j=1

x
j
y
j
và chuẩn | x | của x được cho bởi
| x |=

n

j=1
x
2
j

1
2
.
Giả sử Ω là một tậ p mở trong R
n
, k ∈ Z
+
. Khi đó, ta có kí hiệu
các tập như sau:
C
k
(Ω) = {u : Ω −→ C, u là hàm khả vi liên tục đến cấp k},
C(Ω) = {u : Ω −→ C liên tục trên Ω}
C
k
0

(Ω) = {u : Ω −→ C | u ∈ C
k
(Ω), suppu là tập compact},
C
∞
(Ω) =
∞

k=1
C
k
(Ω), C
∞
0
(Ω) =
∞

k=1
C
k
0
(Ω),
8
9
trong đó supp u = {x ∈ Ω | u(x) = 0}.
Vớ i mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, kí hiệu
L
p
(Ω) = {u : Ω
đđ

−−−−−→
Leb e sgue
C |

Ω
| u(x) |
p
dx < ∞},
với p = ∞, kí hiệu
L
∞
(Ω) = {u : Ω −→ C | esssup
x∈Ω
| u(x) |< ∞},
trong đó esssup
x∈Ω
| u(x) |= inf {M > 0 | µ{x ∈ Ω || u(x) |> M} = 0}, µ
là độ đo Lebesgue.
Ta kí hiệu các toán tử vi phân
∂
∂x
1
,
∂
∂x
2
, ,
∂
∂x
n

trên R
n
tương ứng
là
∂
1
, ∂
2
, , ∂
n
và các toán tử vi phân −i∂
1
, −i∂
2
, , −i∂
n
trên R
n
tương ứng là
D
1
, D
2
, , D
n
.
Vớ i đa chỉ số α = (α
1
, α
2

, , α
n
) , nghĩa là một bộ số nguyên không
âm; | α |=

n
j=1
α
j
là độ dài của α, ta ký hiệu ∂
α
= ∂
α
1
1
∂
α
2
2
∂
α
n
n
, và
D
α
= D
α
1
1

D
α
2
2
D
α
n
n
.
Định nghĩa 1.1. Không gian D(Ω) là tập hợp gồm các hàm ϕ ∈ C
∞
0
(Ω)
với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕ
j
}
∞
j=1
các hàm trong C
∞
0
(Ω) được gọi là
hội tụ đến hàm ϕ ∈ C
∞
0
(Ω) nếu
(i) Tồn tại tậ p compact K ⊂ Ω mà supp ϕ
j
⊂ K, j = 1, 2,
(ii) lim

j→∞
sup
x∈Ω
| ∂
α
ϕ
j
(x) − ∂
α
ϕ(x) | = 0, với mọi α ∈ Z
n
+
.
Định nghĩa 1.2. Ta nó i rằng f là một hàm suy rộng trên Ω nếu f là
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) . Tập tấ t cả các hàm suy
rộng trên Ω được k í hiệu là D

(Ω).
10
Hàm suy rộ ng f ∈ D

(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là
< f, ϕ > . Hai hàm suy rộng f, g ∈ D

(Ω) được gọi là bằng nhau nếu
< f, ϕ > = < g, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Định nghĩa 1.3. Không gian S(R
n
) là tập hợp
S(R

n
) = {ϕ ∈ C
∞
(Ω) | | x
α
∂
β
ϕ(x) |< C
α,β
, ∀x ∈ R
n
, ∀α, β ∈ Z
n
+
}
với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: dãy{ϕ
k
}
∞
k=1
trong S(R
n
)
được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R
n
) trong S(R
n
) nếu
lim
k→∞

sup
x∈R
n
| x
α
∂
β
ϕ
k
(x) − x
α
∂
β
ϕ(x) |= 0, ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Khi đó, ta viết S_ l im
k→∞
ϕ
k
= ϕ.
Định nghĩa 1.4. Cho hàm f ∈ D

(R
n
). Hàm suy rộng f được gọi là
hàm suy rộng tăng chậm nếu có một số tự nhiên m và một số dương C
sao cho
|< f, ϕ >|≤ C sup

x∈R
n



(1+ | x |
2
)
m

|α|≤m
| ∂
α
ϕ(x) |



, ∀ϕ ∈ D(R
n
).
Không gian các hàm suy rộng t ăng chậm S

(R
n
) là tập tất cả các
hàm suy rộng tăng chậm.
1.2 Biến đổi Fourier
1.2.1. Đạo hàm suy r ộng
Giả sử α = (α
1

, α
2
, , α
n
) là một vector với các thành phần nguyên
không âm. Hàm f
α
(·) ∈ L
1,loc
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α
trong miền Ω ⊂ R
n
của hàm f(·) ∈ L
1,loc
(Ω) nếu đối với hàm tuỳ ý
g(·) ∈ C
|α|
0
(
Ω) ta có đẳng thức

Ω
f(x)
∂
α
g(x)dx = (−1)
|α|

Ω
f

α
(x)g(x)dx. (1.1)
11
Nhận xét 1.1. a) Nếu hàm f(x) có đạo hàm suy r ộng cấp α thì đạ o
hàm suy rộng đó là duy nhất. Thật vậy, giả sử f
α
1
(x) và f
α
2
(x) là hai đạo
hàm suy rộng của f(x). Do (1.1) với Ω

cố định tuỳ ý mà Ω

⊂⊂ Ω và
với g( x) ∈ C
|α|
0
(Ω

) tuỳ ý ta có

Ω
[f
α
1
(x) − f
α
2

(x)]
g(x)dx = 0
f
α
1
(x) − f
α
2
(x) ∈ L
2
(Ω

), suy ra f
α
1
(x) − f
α
2
(x) = 0 hầu khắp nơi trên Ω

(theo bổ đề 1.1 bên dưới đây), có nghĩ a là hầu khắp nơi trên Ω.
Bổ đề 1.1. Với mọi hàm khả tích địa phương g trên R
n
, g kh ông bằng
0 hầu khắp nơi, tồn tại hàm ϕ ∈ D(R) sao cho

g(x)ϕ(x)dx = 0.
b) Nếu f(x) ∈ C
|α|
(

Ω) thì theo công thức Ostrogratski ta có

Ω
f(x)
∂
α
g(x)dx = (−1)
|α|

Ω
f
α
(x)
g(x)dx
với hàm tuỳ ý g(x) ∈ C
|α|
0
(
Ω). Có nghĩa là hàm f(x) có đạo hàm suy
rộng cấp α và f
α
(x) bằng ∂
α
f(x). Đặc biệt nếu hàm g(x) bằng hằng số
hầu khắp nơi trên Ω thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý f
α
(x) = 0.
c) Nếu g là hàm số trơn thì đạo hàm
∂
|α|

g
∂x
α
1
1
∂x
α
n
n
không phụ thuộc vào thứ
tự lấy vi phân, cho nên với cô ng thức (1.1) và sự duy nhất cuả đạo hàm
suy rộng, ta suy ra đạo hàm suy rộng cũng không phụ thuộc vào thứ tự
lấy vi phân.
d)Nếu các hàm số f
1
(x), f
2
(x) có đạo hàm suy rộng ∂
α
f
1
, ∂
α
f
2
trong
miền Ω thì hàm c
1
f
1

(x) + c
2
f
2
(x) với c
1
, c
2
là các hằng số, cũng có đạo
hàm suy rộng cấp α và
∂
α
(c
1
f
1
(x) + c
2
f
2
(x)) = c
1
∂
α
f
1
(x) + c
2
∂
α

f
2
(x).
12
e) Nếu ∂
α
f(x) là đạo hàm suy rộ ng của f(x) trên Ω ⊂ R
n
thì ∂
α
f(x)
cũng là đạo hàm suy rộng của g( x) trên một miền con tuỳ ý Ω

⊂ Ω vì
hàm g(x) ∈ C
|α|
0
(Ω

) và được thác triển thành 0 bên ngoài Ω

sẽ thuộc
C
|α|
0
(Ω). Do đó, nếu hàm f(x) có đạo hàm suy rộng trên Ω là D
α
f(x)
và f(x) = c (h.k.n) trên Ω


⊂ Ω thì ∂
α
f = 0 ( h.k.n) trên Ω. Đặc biệt
đạo hàm suy rộng (nếu nó tồn tại) của một hàm tiêu hạn f(x) trên Ω
sẽ tiêu hạ n trên Ω và vì vậy thuộc L
1
(Ω)
f) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng ∂
α
f(x) được xác định
ngay đối với cấp |α| mà khô ng cần giả thiết các đạ o hàm cấp thấp hơn
tương ứng tồn tại.
Chú ý 1.1. Nếu hàm f ∈ L
2,loc
(Ω) có đạo hàm suy rộng ∂
α
f = F còn
hàm F có đạo hà m suy rộng ∂
β
F = G thì tồn tại đạo hàm suy rộng
∂
α+β
f = G
Thật vậy, giả sử g(x) ∈ C
|α+β|
0
(
Ω) nên

Ω

f
∂
α+β
gdx = (−1)
|α|

Ω
∂
α
f
∂
β
gdx
= (−1)
|α|

Ω
F
∂
α
gdx
= (−1)
|α|+|β|

Ω
∂
β
F
gdx
= (−1)

|α+β|

Ω
G
gdx.
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong kh ông gian L
1
(R
n
)
Định nghĩa 1.5. Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L
1
(R
n
) là hàm
ˆ
f,
xác định trên R
n
bởi
Ff(ξ) =
ˆ
f(ξ) = (2π)
−
n
2

R
n
e

−ix.ξ
f(x)dx, ξ ∈ R
n
.
13
ở đó xξ = x
1
ξ
1
+ + x
n
ξ
n
. Ta còn ký hiệu biến đổi Fourier của hàm f
bởi Ff.
Định nghĩa 1.6. Nếu các hàm u, ϕ khả tích trên R
n
thì tích chập của
u và ϕ kí hiệu là u ∗ ϕ, được định nghĩa bởi
(u ∗ ϕ)(x) =

R
n
u(y)ϕ(x − y)dy
Định lý 1.1. (Phép biến đổi Fourier của tích chập). u, ϕ ∈ L
1
(R
n
) thì


(u ∗ ϕ)(ξ) = (2π)
n
2
ˆu(ξ) ˆϕ(ξ)
Định lý 1.2. Cho f ∈ L
1
(R
n
) khi đó phép b iến đổi Fourier của f có
các tính chất sau:
i.
ˆ
f ∈ L
∞
(R
n
) v à ||
ˆ
f||
L
∞
(R
n
)
≤ ||
ˆ
f||
L
1
(R

n
)
.
ii.
ˆ
f liên tục trên R
n
.
iii.
ˆ
f(ξ) → 0 khi | ξ |→ ∞
iv. Nếu f
j
→ f trong L
1
(R
n
) khi j → ∞ thì
ˆ
f
j
hội tụ đều tới
ˆ
f trong
R
n
khi j → ∞.
Mệnh đề 1.1. Nếu f ∈ C
∞
0

(R
n
) v à D
α
f ∈ L
1
(R
n
) t hì

D
α
f = (ξ)
α
ˆ
f(ξ)
Mệnh đề 1.2. f, g ∈ L
1
(R
n
) thì

R
n
ˆ
f(x)g(x)dx =

R
n
f(x)ˆg(x)dx

1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S(R
n
)
Định nghĩa 1.7. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ S(R
n
) là hàm số, kí
hiệu
ˆ
f, hay Ff được đị nh nghĩa bởi:
ˆ
f(ξ) = (2π)
−
n
2

R
n
e
−ix.ξ
f(x)dx, ξ ∈ R
n
.
14
Định nghĩa 1.8. Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S(R
n
) là hàm
số, kí hiệu F
−1
f, được định nghĩa bởi:
F

−1
f(x) = (2π)
−n
2

R
n
e
ix.ξ
f(ξ)dξ, x ∈ R
n
.
Mệnh đề 1.3. Cho f ∈ S( R
n
) k hi đó ta có:
i.
ˆ
f ∈ S(R
n
).
ii.

D
α
f = (ξ)
α
ˆ
f(ξ) với mọi đa chỉ số α.
iii.


x
α
f = (−D
ξ
)
α
ˆ
f(ξ) với mọi đa chỉ số α.
iv. ánh xạ f →
ˆ
f là ánh xạ liên tục trên S(R
n
).
Mệnh đề 1.4. Cho f, g ∈ S(R
n
) k hi đó ta có:
i.

R
n
ˆ
f(x)g(x)dx =

R
n
f(x)ˆg(x)dx.
ii.

(f ∗ g)(ξ) = (2π)
n

2
ˆ
f(ξ).ˆg( ξ).
iii.

(f.g)(ξ) = (2π)
−n
2
ˆ
f(ξ) ∗ ˆg(ξ).
Định lý 1.3. Phép biế n đổi Fourier là một đẳng cấu từ S(R
n
) lên S(R
n
).
Hơn nữa, với mỗi hàm f ∈ S(R
n
), ta có
f(x) = (2π)
−n
2

R
n
e
ix.ξ
ˆ
f(ξ)dξ.
Định lý 1.4. Đối với mỗi u, v ∈ S(R
n

) t a có đẳng thức

R
n
u(x)
v(x)dx =

R
n
ˆu(ξ)
ˆv(ξ)dξ.
Nhận xét 1.2. Từ Định lý 1.4, chọn u = v ta nhận được với mọi
u ∈ S( R
n
)

R
n
|u(x)|
2
dx =

R
n
|ˆu(ξ)|
2
dξ.
Đẳng thức này có tên là đẳ ng thức Parseva l .
15
Định lý 1.5 (Đị nh lý Parseval). ánh xạ f →

ˆ
f xác định trên S(R
n
) có
thể mở rộng duy nhất thành một đẳng cấu từ L
2
(R
n
) v ào chí nh nó .
Định lý 1.6. Phép biến đổi Fo urier và phép biến đổi Fourier ngược l à
các phép bi ế n đổi tuyến tính liên tục từ S(R
n
) lên S(R
n
). Hơn nữa nếu
α và β là các đa chỉ số tùy ý thì (iξ)
α
∂
β
ˆ
f(ξ) = F [ ∂
α
((−ix)
β
f(x))](ξ).
1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong kh ông gian L
2
(R
n
)

Định nghĩa 1.9. Giả sử f ∈ L
2
(R
n
). Do S(R
n
) trù mật trong L
2
(R
n
)
nên tồn tại dãy {f
j
}
∞
j=1
⊂ S(R
n
) sao cho ||f
j
−f||
L
2
(R
n
)
→ 0 khi j → ∞.
Suy ra dãy {f
j
}

∞
j=1
là dãy Cauchy trong L
2
(R
n
). Do đẳng thức Parseval,
chúng ta cũng có dãy

ˆ
f
j

∞
j=1
là dãy Cauchy L
2
(R
n
). Do L
2
(R
n
) là đầy
nên dãy

ˆ
f
j


∞
j=1
hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu l à
ˆ
f và gọi
nó là phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L
2
(R
n
).
Định lý 1.7. Nếu f ∈ L
2
(R
n
) t hì
ˆ
f ∈ L
2
(R
n
) và ta có
||f||
L
2
(R
n
)
= ||
ˆ
f||

L
2
(R
n
)
.
Định lý 1.8. Nếu u, ϕ ∈ L
2
(R
n
) thì

(u ∗ ϕ)(ξ) = (2π)
n
2
ˆu(ξ). ˆϕ(ξ).
Mệnh đề 1.5 (Công thức tổ ng Poisson). Giả sử f ∈ L
2
(R
n
) thỏa mãn
các điều kiện:
(i) Chuỗi

k∈Z
n
f(x + 2πk) hội tụ khắp nơi về hàm liên tục nào đó.
(ii) Chuỗi Fourier

k∈Z

n
ˆ
f(βk)e
ikx
hội tụ khắp nơi, thế thì với mọi α, β > 0
mà αβ = 2π, đẳng thức sau đây là đúng:

k∈Z
n
f(βk) =
α
n
(2π)
n

k∈Z
n
ˆ
f(αk), (1.2)
Đẳng thức này gọ i là công thức tổng Poisson.
16
1.2.5. Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng
Định nghĩa 1.10. Nếu u ∈ D

(R
n
), ϕ ∈ C
∞
0
(R

n
) thì tích chập u ∗ ϕ
được định nghĩa bởi
(u ∗ ϕ)(x) = u
y
(ϕ(x − y)) =

R
n
u
(y)
ϕ(x − y)dy,
trong đó u
(y)
là hàm suy rộng theo biến y.
Định lý 1.9. Nếu u ∈ D

(R
n
), ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) hay u ∈ E

(R
n
), ϕ ∈ C
∞

(R
n
)
thì (u ∗ ϕ) ∈ C
∞
(R
n
) v à supp(u ∗ ϕ) ⊂ supp u + supp ϕ.
Ngoài ra
D
α
(u ∗ ϕ) = D
α
u ∗ ϕ = u ∗ D
α
ϕ,
với mọi đa chỉ số α ∈ N
n
.
Định nghĩa 1.11. Nếu u ∈ S

(R
n
) thì phép biến đổi Fourier của u, kí
hiệu là Fu hay ˆu được định nghĩa bởi
(Fu, ϕ) = ˆu(ϕ) = u( ˆϕ), ∀ϕ ∈ S(R
n
).
Định lý 1.10. Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấ u từ S


(R
n
) lên
S

(R
n
).
Định lý 1.11 (Công thức biến đổi ngược). Nếu u ∈ S

(R
n
) l à hàm suy
rộng ôn hòa và Fu = ˆu là phép biến đổi Fourier của u thì

u(ϕ) =
∼
u(ϕ).
trong đó
∼
u(ϕ) = u(
∼
ϕ),
∼
ϕ(x) = ϕ(−x).
Chú ý 1.2. T ừ định lý trên, ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier ngược
của một hàm suy rộng ôn hòa u bởi:
F
−1
(u) = F[u(−x)], u ∈ S


(R
n
).
17
1.3 Biểu diễn t hời gian tần số
1.3.1. Biến đổi Fourier thời gian ngắn
Định nghĩa 1.12. Cố đị nh một hàm g = 0 (gọi là hàm cửa sổ). Biến
đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của hàm f đối với g được định nghĩa
là
V
g
f(x, ω) =

R
n
f(t)
g(t − x)e
−2πit.ω
dt, với x, ω ∈ R
n
. (1.3)
Chú ý 1.3. i) Nếu g có giá compact với tâm giá của nó đặt tại gố c,
thì V
g
f(x, ·) là biến đổi Fourier của mộ t đoạn của f đặt ở tâm trong
một lân cận tâm là x. Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x
đến vị trí khác. Vì lí do này biến đổi Fourier thời gian ngắn thường
được gọi là "Biến đổi Fourier cửa sổ trượt". Với một vài hạn chế,
V

g
f(x, ω) có thể được nghĩ như là độ đo của biên độ dải tần số ω
tại thời điểm x. Theo ý nghĩ a này V
g
f(x, ω) là một khắc cho điều
không thể "phổ tần số tức t hời" tại x của phép biến đổi Fourier.
ii) Trong phân tích, ít nhất số chiều n = 1, R
2n
được gọi là mặt phẳng
thời gian-tần số, và tro ng vật lý R
2n
được gọi là không gian pha.
iii) Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính với f và tuyến tính
liên hợp với g. Thông thường cửa sổ g sẽ đượ c giữ cố đị nh và V
g
f
được xem như ánh xạ tuyến tính từ các hàm t rên R
n
đến các hàm
trên R
2n
. Rõ ràng hàm V
g
f và các tính chất của ánh xạ f → V
g
f
phụ thuộc chủ yếu vào sự lựa chọn cửa sổ g.
Kí hiệu ∗ là phép đố i hợp : g
∗
(x) =

g(−x). Ta có bổ đề sau:
18
Bổ đề 1.2. Nếu f, g ∈ L
2
(R) thì V
g
f là liên tục đều trên R
2n
và
V
g
f(x, ω) = (f · T
x
g)
ˆ
(ω) (1.4)
=< f, M
ω
T
x
g > (1.5)
=<
ˆ
f, T
ω
M
−x
ˆg > (1.6)
= e
−2πix.ω

(
ˆ
fT
ω
ˆg)
ˆ
( − x) (1.7)
= e
−2πix.ω
V
ˆg
ˆ
f(ω, −x) (1.8)
= e
−2πix.ω
(f ∗ M
ω
g
∗
)(x) (1.9)
= (
ˆ
f ∗ M
−x
ˆg
∗
)(ω) (1.10 )
= e
−πix.ω


R
n
f(t +
x
2
)
g(t −
x
2
)e
−2πit.ω
dt. (1.11 )
Các công thức này thể hiện các mặt khác nhau của biến đổi Fourier
thời gian ngắn (STFT). Trong (1.4) và (1.7), STFT được viết như một
biến đổi Fourier địa phương của f và
ˆ
f, theo như ý tưởng chính với định
nghĩa của nó, ngược lại trong (1.9) và (1.10), STFT được viết như là
tích chập. Trong (1.5) và (1.6), V
g
f được vi ết như là một tích của f với
một phép dịch chuyển thời gian-tần số. Dạng đối xứng

R
n
f(t +
x
2
)
g(t −

x
2
)e
−2πit.ω
dt (1.12 )
thường được gọi là hàm nhậ p nhằng chéo. Nó đóng vai trò quan trọng
trong rada và trong quang học. Ngoại trừ thừa số pha e
−2πix.ω
, nó trùng
với STFT.
Công thức (1. 8), nghĩa là
V
g
f(x, ω) = e
−2πix.ω
V
ˆg
ˆ
f(ω, −x). (1.13 )
Đây là đồng nhất thức cơ bản của giải thích thời gian-tần số. Nó kết
hợp cả f và
ˆ
f trong một biểu diễn thời gian-tần số. Trong biểu diễn này,
biến đổi Fourier chẳng khác gì phép quay mặt phẳng thời gian - tần số
19
một góc
π
2
.
Trong Bổ đề 1.2, chúng ta đã nhấn mạnh tính chất tuyến tính của

STFT trong trường hợp của một cửa sổ cố định g. Ngoài ra STFT có
thể được coi như là dạng bán song tuyến tính (f, g) → V
g
f.
Cho f ⊗g là tích tensor (f ⊗g)(x, t) = f(x).g(t), giả sử T
a
là phép biến
đổi tọa độ không đối xứng
T
a
F (x, t) = F (t, t − x) (1.14 )
và giả sử F
2
là phép biến đổi Four ier riêng
F
2
F (x, ω) =

R
n
F (x, t)e
−2πit.ω
dt (1.15 )
của một hàm F t rên R
2n
. Bằng cách sử dụng kí hiệu này, định nghĩa
(1.12) có thể biểu diễn như sau
Bổ đề 1.3. Nếu f, g ∈ L
2
(R

n
), thì
V
g
f = F
2
T
a
(f ⊗
g). (1.16 )
Miền xác định của phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
Trong Định nghĩa 1. 12, chúng ta đã không chỉ ra miền xác định của
f và g. Rõ ràng, nếu f, g ∈ L
2
(R
n
), thì f · T
x
g ∈ L
1
(R
n
) và V
g
f(x, ω) =
(f · T
x
g)
ˆ
(ω) được định nghĩa từng điểm. Tương tự, nếu g ∈ L

p
(R
n
) và
f ∈ L
p

(R
n
) thì do bất đẳng thức H

older f · T
x
g ∈ L
1
(R
n
) và STFT lại
được xác định theo từng điểm.
Viết STFT như là tích vô hướ ng V
g
f(x, ω) =< f, M
ω
T
x
g > là cách
hữu ích để mở rộng miền xác định của STFT trong trường hợp tích phân
không được xác định. Như là một kinh nghiệm, chúng ta có thể x em xét
STFT, khi mà dấu ngoặc < ·, · > được xác định bởi một vài dạng đố i
ngẫu. Ví dụ, nếu B là m ột không gian Banach chứa trong S


(R
n
) là bấ t
biến dưới sự dịch chuyển thời gian - tần số, thì STFT được xác định
20
khi f ∈ B, g ∈ B
∗
hoặc f ∈ B
∗
, g ∈ B. Tổng quát hơn, V
g
f được xác
định với tất cả các hàm suy rộng tăng chậm f ∈ S

(R
n
), với điều kiện
là g ∈ S(R
n
).
Vớ i Bổ đề 1.3, miền xác định của STFT có thể đượ c mở rộng ra thậm
chí xa hơn nữa. Đầu tiên chú ý rằng cả hai toán tử T
a
và F
2
là những
phép đẳng cấu trên S

(R

2n
) . Nếu f, g ∈ S

(R
n
) thì (f ⊗
g) ∈ S

(R
2n
) và
kết quả cũng có V
g
f = F
2
T
a
(f ⊗ g) ∈ S

(R
2n
). Do đó V
g
f là một hàm
suy r ộng tăng chậm xác định với f, g ∈ S

(R
n
).
Tính chất tiếp theo đôi khi được gọi là tính chất hiệp phương sa i

của STFT.
Bổ đề 1.4. Khi V
g
f được xác định, chúng ta có
V
g
(T
u
M
η
f)(x, ω) = e
−2πiu.ω
V
g
f(x − u, ω − η) (1.17 )
với x, u, ω, η ∈ R
n
. Đặc biệt là
|V
g
(T
u
M
η
f)(x, ω)| = |V
g
f(x − u, ω −η) |. (1.18 )
Chứng m i nh. Chúng ta thế hệ thức giao hoán
M
−η

T
−u
M
ω
T
x
= e
2πiu.ω
M
ω−η
T
x−u
vào định nghĩa và thu được
V
g
(T
u
M
η
f)(x, ω) =< T
u
M
η
f, M
ω
T
x
g >
=< f, M
−η

T
−u
M
ω
T
x
g >
= e
−2πiu.ω
V
g
f(x − u, ω −η) . (1.19 )
STFT có một vài tính chất tương tự các tính chất đã có của biến
đổi Fourier thông thường. Định lý dưới đây về các tích vô hướng của
STFT tương ứng với đẳng thức Parseval và sẽ được sử dụng thường
xuyên
21
Định lý 1.12 (Các hệ thức trực giao với STFT). . Cho f
1
, f
2
, g
1
, g
2
∈
L
2
(R
n

) t hì V
g
j
f
j
∈ L
2
(R
2n
) v ới j = 1, 2 và
< V
g
1
f
1
, V
g
2
f
2
>
L
2
(R
2n
)
=< f
1
, f
2

>
< g
1
, g
2
>. (1.20 )
Chứng m i nh. Đầu tiên chúng ta giả sử rằng các cửa sổ g
j
trong L
1
(R
n
)∩
L
∞
(R
n
) ⊆ L
2
(R
n
), cho nên f
j
T
x
g
j
∈ L
2
(R

n
) với mọi x ∈ R
n
. Khi đó công
thức Parseval áp dụng đối với tích phân theo ω cho chúng t a

R
n

R
n
V
g
1
f
1
(x, ω)
V
g
2
f
2
(x, ω)dωdx
=

R
n


R

n
(f
1
T
x
g
1
)
ˆ
(ω)(f
2
T
x
g
2
)
ˆ
)(ω)dω

dx
=

R
n


R
n
f
1

(t)
f
2
(t)g
1
(t − x)g
2
(t − x)dt

dx.
ở đây f
1
f
2
∈ L
1
(R
n
, dt) và g
1
g
2
∈ L
1
(R
n
, dx), do đó định lý Fubuni cho
phép chúng ta đổi thứ tự lấy tích phân. Chúng ta tiếp tục như sau:
< V
g

1
f
1
, V
g
2
f
2
>
L
2
(R
2n
)
=

R
n
f
1
(t)
f
2
(t)


R
n
g
1

(t − x)g
2
(t − x)dx

dt
=< f
1
, f
2
>
< g
1
, g
2
>.
Việc mở rộng tới g
j
∈ L
2
(R
n
) đượ c thực hiện bởi một nguyên lý trù
mật. Với g
1
∈ L
1
(R
n
)∩L
∞

(R
n
) cố định, ánh xạ g
2
−→< V
g
1
f
1
, V
g
2
f
2
>
L
2
(R
2n
)
là một phiếm hàm tuyến tính trùng với < f
1
, f
2
>< g
2
, g
1
> trên không
gian con trù m ật L

1
(R
n
) ∩ L
∞
(R
n
). Do tính bị chặn ta có thể mở rộng
cho tất cả g
2
∈ L
2
(R
n
). Bằng cách đó, với f
1
, f
2
và g
2
∈ L
2
(R
n
) tuỳ
ý, phiếm hàm t uyến tính liên hợp g
1
−→< V
g
1

f
1
, V
g
2
f
2
>
L
2
(R
2n
)
bằng
< f
1
, f
2
>
< g
1
, g
2
> trên L
1
(R
n
)∩L
∞
(R

n
) và mở rộng cho tất cả L
2
(R
n
).
Các hệ thức trực giao do đó được thiết lậ p bởi m ọi f
j
, g
j
∈ L
2
(R
n
).
Chứng m inh thứ 2 của các hệ thức trực giao. Chúng ta sử dụng
việc phân tích thành thừa số (3.13) của STFT. Vì trên L
2
(R
2n
) cả hai
22
toán tử F
2
và T
a
là unita, chúng ta suy ra các hệ thức t rực giao như sa u:
< V
g
1

f
1
, V
g
2
f
2
>
L
2
(R
2n
)
=< F
2
T
a
(f
1
⊗
g
1
), F
2
T
a
(f
2
⊗ g
2

) >
=< f
1
⊗ g
1
, f
2
⊗ g
2
>
L
2
(R
n
)
=< f
1
, f
2
>
< g
1
, g
2
>
Hệ quả 1.1. Nếu f, g ∈ L
2
(R
n
) t hì ||V

g
f||
2
= ||f||
2
||g||
2
.
Đặc biệt là, nếu ||g||
2
= 1 thì
||f||
2
= ||V
g
f||
2
với mọi f ∈ L
2
(R
n
). (1.21 )
Như vậy, tro ng trường hợp này, STFT là mộ t phép biến đổi đẳ ng
cự từ L
2
(R
n
) vào L
2
(R

2n
).
Từ (1.21) suy ra rằng f hoàn toàn được xác đị nh bởi V
g
f. Hơn nữa, kéo
theo < f, M
ω
T
x
g >= 0, ∀x, ω ∈ R
n
⇒ f = 0 tương đương với việc nói
rằng với mỗi g ∈ L
2
(R
n
) cố định, tập hợp {M
ω
T
x
g : x, ω ∈ R
n
} sinh ra
một không gian con trù mật của L
2
(R
n
). Điều này vẫn để mở câu hỏi về
cách mà f có thể tìm lại được từ V
g

f. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các hệ
thức trực giao kéo theo một công thức nghịch đảo đáng chú ý.
Vớ i việc lập công thức như một công thức nghịch đả o, chúng ta
cần giải thích ngắn gọn về tích phân giá trị vector hoặc tích phân giá
trị toán tử, tích phân giá trị vector hoặc tích phân giá trị toán tử luôn
được hiểu theo một nghĩa yếu (tr ừ trường hợp cụ thể khác). Nếu g là
một hàm trên R
n
mà l ấy giá trị trong một không gian Banach B, nghĩa
là g(x) ∈ B với mọi x ∈ R
n
thì f =

R
n
g(x)dx có nghĩa là:
< f, h >=

R
n
< g( x), h > dx
với mọi h ∈ B
∗
. Nếu ánh xạ l(h) −→

R
n
< g(x), h > dx là một phiếm
hàm tuyến tính (li ên hợp) bị chặn trên B
∗

, thì xác định một phần t ử
23
duy nhấ t f ∈ B
∗∗
. Chúng ta sẽ chỉ làm việc với các không gian Banach
phản xạ, nghĩa là B
∗∗
= B.
Các tích phân giá trị vector quan trọng nhất trong giải tích thời
gian - tần số là sự chồng lên của các dịch chuyển thời gian - t ần số dạng
f =

R
2n
F (x, ω)M
ω
T
x
gdxdω (1.22 )
Ví dụ, nếu F ∈ L
2
(R
2n
), thì phiếm hàm tuyến tính liên tục
l(h) =

R
2n
F (x, ω)
< h, M

ω
T
x
g >dxdω (1.23 )
là một phiếm hàm bị chặn tr ên L
2
(R
n
). Để thấy điều này, áp dụng bất
đẳng thức Cauchy - Schwartz vào (1.23) và sử dụng hệ q uả 1.1:
|l(h)| ≤ ||F||
2
||V
g
h||
2
= ||F ||
2
||g||
2
||h||
2
(1.24 )
Điều này có nghĩa là l xác định một hàm duy nhất
f =

R
2n
F (x, ω)M
ω

T
x
gdxdω với chuẩn ||f||
2
≤ ||F ||
2
||g||
2
và thỏa mãn l(h) =< f, h >. Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu công thức
nghịch đảo với STFT.
Hệ quả 1.2. [Công thức ngh ị ch đảo với STFT]. Giả sử rằng g, γ ∈
L
2
(R
n
) v à < g, γ >= 0. Thì với mọi f ∈ L
2
(R
n
)
f =
1
< γ, g >

R
2n
V
g
f(x, ω) M
ω

T
x
γdωdx. (1.25 )
Chứng m i nh. Từ V
g
f ∈ L
2
(R
n
) bởi hệ quả 3.2, tích phân giá tr ị vector
∼
f =
1
< γ, g >

R
2n
V
g
f(x, ω) M
ω
T
x
γdxdω
là một hàm hoàn toàn xác định trong L
2
(R
n
). Hơn nữa bằng cách sử
24

dụng các hệ thức trực g iao, chúng ta thấy rằng
<
∼
f, h > =
1
< γ, g >

R
2n
V
g
f(x, ω)
< h, M
ω
T
x
γ >dxdω
=
1
< γ, g >
< V
g
f, V
γ
h >
= < f, h > .
do đó
∼
f = f và công thức nghịch đảo được chứng minh.
Chú ý 1.4. 1) Công thức nghịch đảo (1.25) chỉ ra rằng f có thể được biểu

diễn như một sự chồng lên liên tục của các dịch chuyển thời gian - tần số
với STFT như hàm trọng . Với ý nghĩa này, (1.25) tương tự như công t hức
nghịch đảo của phép biến đổi Fo urier, có nghĩa là f(x) =

ˆ
f(ω)2
πix.ω
dω.
Tuy nhiên, trong phép biến đổi Fourier ngược, các hàm sơ cấp 2
πix.ω
không thuộc L
2
(R
n
), trong khi đó, ở hệ quả 1.2 các hàm sơ cấp M
ω
T
x
γ
là các hàm đặc biệt tốt trong L
2
(R
n
).
2) Các tích phân giá trị vector dạ ng (1.22) có quan hệ gần với
STFT. Giả sử A
g
là toán tử tuyến tính được xác định bởi A
g
F =


R
2n
F (x, ω)M
ω
T
x
gdxdω. Bởi (1.24) A
g
là một toán tử bị chặn t ừ L
2
(R
2n
)
lên L
2
(R
n
). Ngoài ra, A
g
chắc chắn là toán tử tự l iên hợp của STFT V
g
(được xem như một toán tử từ L
2
(R
n
) vào L
2
(R
2n

)). Điều khẳng định
này suy ra từ sự tính toán
< A
g
F, h > =

R
2n
F (x, ω) < M
ω
T
x
g, h > dxdω
=< F, V
g
h >=< V
∗
g
F, h >,
trong đó h ∈ L
2
(R
n
) và F ∈ L
2
(R
2n
). Từ đó V
∗
g

= A
g
. Công thức nghịch
đảo (1.25) do đó hiểu là
1
< γ, g >
V
∗
γ
V
g
= I. (1.26 )
Vật lý lý thuyết sử dụng ngôn ngữ khác để mô tả công thức nghịch
đảo (1.25) . Các dịch chuyển thời gian - tần số T
x
M
ω
g của một cửa sổ
25
cố định được gọi là tổng quát hóa các "trạng thái nhất q uán" (coherent
state) và công thức nghịch đảo được thể hi ện như một phâ n tích trạ ng
thái cơ học lượng tử f thành các tr ạng thá i nhất quán trong ý nghĩa
chặt chẽ là các dịch chuyển thời gian - tần số của các hàm Gauss. Trong
trường hợp này, (1.25) chung quy là một phân tích thành các trạng thái
của tính k hông chắc chắn cực tiểu. Đó là lệ t hường để viết công thức
nghịch đảo như một sự xếp chồng lên của hạng của một trong các toán
tử. Giả sử H là một không gian Hilb ert, và giả sử u ⊗
v kí hiệu hạng của
một toán tử được định nghĩa bởi (u ⊗
v)(h) =< h, v > u với u, v, h ∈ H.

Vậy thì (1.25) là cách giải li ên tục của toán tử đồng nhất sau
I =
1
< γ, g >

R
2n
M
ω
T
x
γ ⊗
M
ω
T
x
gdxdω
Tiếp theo ta chứng minh một phiên bản mạnh của công thức
nghịch đảo. Công thức của nó giống với định ng hĩa biến đổi Fourier
của một L
2
-hàm bởi một phương phá p x ấp xỉ. Để xấp xỉ chúng ta xét
một dãy các tập com pact lồng nhau K
m
⊆ R
2n
mà nó vét kiệt R
2n
. Điều
này có nghĩa là ∪

m≥1
K
m
= R
2n
và K
m
⊆ i ntK
m+1
. Vậy thì bất kỳ tập
compact đều được chứa tr ongK
m
nào đó. Hình lập phương [−m; m]
2n
hoặc hình cầu
B(0, m) =

x ∈ R
2n
: ||x|| ≤ m

là lựa chọn phổ biến cho
K
m
.
Định lý 1.13. Cố định g, γ ∈ L
2
(R
n
) và cho K

m
⊆ R
2n
với m ≥ 1 là
một dãy vét kiệt lồ ng nhau của các tập compact. Giả sử f
m
xác định bởi
f
m
=
1
< γ, g >

K
m
V
g
f(x, ω) M
ω
T
x
γdx.dω
Khi đó lim
m→∞
||f − f
m
||
2
= 0.
Chứng m i nh. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz và

26
Hệ quả 1.1, chúng ta đánh giá với h ∈ L
2
(R
n
) là
| < f
m
, h > | =
1
< γ, g >





K
m
V
g
f(x, ω)
V
γ
h(x, ω)dxdω




≤
1

| < γ, g > |
||V
g
f||
2
||V
γ
h||
2
=
1
| < γ, g > |
||g||
2
||f||
2
||γ||
2
||h||
2
.
Do đó với mỗi n, f
n
là một phần tử hoà n toàn xác định của L
2
(R
n
)
và hơn nữa , ||f
n

||
2
≤ | < γ, g > |
−1
||g||
2
||γ||
2
||h||
2
do Hệ quả 1.1. Tiếp
theo chúng ta đánh giá t ương tự là :
| < f − f
m
, h > | =
=
1
| < γ, g > |






R
2n
−

K
m


V
g
f(x, ω)
V
γ
h(x, ω)dxdω




=
1
| < γ, g > |





K
c
m
V
g
f(x, ω)
V
γ
h(x, ω)dxdω





≤
1
| < γ, g > |
||V
γ
h||
2


K
c
m
|V
g
f(x, ω) |
2
dxdω

1
2
=
1
| < γ, g > |
||γ||
2
||h||
2



K
c
m
|V
g
f(x, ω) |
2
dxdω

1
2
.
Điều đó là đúng với mọi h ∈ L
2
(R
n
), bởi vậy chúng ta có
||f − f
m
||
2
= sup
||h||
2
≤1
| < f − f
m
, h > |
≤

1
| < γ, g > |
||γ||
2


K
c
m
|V
g
f(x, ω) |
2
dxdω

1
2
.
Vì V
g
f ∈ L
2
(R
2n
) và K
m
là vét kiệt, vế phải trở thành nhỏ tùy ý
khi m tăng.
Benedetto, Heil và Walnut sử dụng các xấp xỉ đơn vị cho các phiên
bản của họ về công thức nghị ch đả o. Giả sử {u

m
} là một xấp xỉ đơn v ị