Điểm bất động trong không gian Metric xác suất có kỳ vọng toán học (LV00330)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
LÊ THỊ THANH HOA
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC XÁC SUẤT CÓ KÌ VỌNG TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 604601
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: TS. Hà Đức Vượng
Hà Nội - 2010
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Hà Đức
Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm
quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm, động
viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên trong học tập và
vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả
xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã
tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Lê Thị Thanh Hoa
LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác

giả dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết
ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Lê Thị Thanh Hoa
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.1. Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Hàm phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Chuẩn tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Một số chuẩn tam giác cơ bản . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Không gian định chuẩn xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 2. Điểm bất động trong không gian metric cầu 30
2.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2. Ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric 45
2.1.3. Một số ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 48
iv
2.2. Không gian metric cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chương 3. Điểm bất động trong không gian metric xác suất
có kỳ vọng toán học 59
3.1. Không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học . . . . . . 59
3.2. Điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng

toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học cũng như trong kỹ thuật nhiều bài toán dẫn tới việc
nghiên cứu vấn đề sau:
Với không gian X bất kỳ, M là một tập hợp con của X, A: M −→ M
là ánh xạ từ M vào chính nó. Xét phương trình Ax = x, với các điều kiện
cụ thể ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của nó. Khi đó, điểm x ∈ M thỏa
mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên
tập hợp M. Việc nghiên cứu về điểm bất động đã thu hút đông đảo các
nhà toán học quan tâm. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình
thành nên “Lý thuyết điểm bất động”.
Sự phát triển của “Lý thuyết điểm bất động” gắn liền với tên tuổi của các
nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov,
Kakutani, Ky Fan,. . . Một trong những định lý nổi tiếng trong lý thuyết
này là định lý điểm bất động Banach hay chính là Nguyên lý ánh xạ co
Banach.
Theo dòng lịch sử, Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo hai
hướng chính:
Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên tục,
mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912).
Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng co,
mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).
2
Năm 1942, K. Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”. Đó là
sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách d(x, y) giữa hai điểm x, y trong không gian metric (X, d),
người ta xét hàm phân bố F

x,y
(t) biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t,
với t là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà
toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng lý thuyết về không
gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983.
Đặc biệt, năm 1972, V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid đã công
bố kết quả về dạng xác suất của nguyên lý ánh xạ co Banach.
Năm 2009, một kết quả rất mới được công bố trong bài báo: “Mathe-
matical Expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point
Theorem” của hai nhà Toán học: Gao Junyu và Su Yongfu. Đó là nguyên
lý ánh xạ co trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. Không
gian metric xác suất có kỳ vọng toán học được định nghĩa với metric là
tích phân suy rộng:

+∞
0
tF
x,y
(t) dt < +∞.
Sự hữu hạn của tích phân này dẫn đến khả năng xác định được của
một metric tương ứng, gọi là metric cầu. Đồng thời trong bài báo này, hai
nhà Toán học nói trên đã đưa ra mối quan hệ của không gian metric cầu
và không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học, từ đó mở rộng được
nguyên lý ánh xạ co cho không gian metric xác suất.
Với mong muốn được tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động và được tiếp
cận với những kết quả mới trong lĩnh vực này tác giả chọn đề tài nghiên
cứu:
"ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC
XÁC SUẤT CÓ KÌ VỌNG TOÁN HỌC"
Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mục

tài liệu tham khảo.
3
Chương 1 trình bày các khái niệm về hàm phân bố, chuẩn tam giác để
từ đó xây dựng định nghĩa về không gian metric xác suất và không gian
định chuẩn xác suất.
Như ta đã biết, “Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)” là kết quả kinh
điển của “Lý thuyết điểm bất động”. Năm 1972, V. M. Sehgal và A. T.
Bharucha – Reid mở rộng kết quả về điểm bất động của ánh xạ co Banach
trong không gian metric sang không gian metric xác suất. Kết quả đó được
trình bày trong Định lý 1.1.1.
Trong không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆), nếu t - chuẩn
thỏa mãn điều kiện ∆ (a, a)  a, ∀a ∈ [0; 1) thì (X, F, ∆) chứa một họ giả
metric. Đó chính là nội dung Định lý 1.1.2.
Phần cuối của chương này, tác giả trình bày về không gian định chuẩn
xác suất.
Với mỗi không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) ta có thể xây dựng
được một không gian lồi địa phương tách {X, p
λ
: λ ∈ (0; 1)} (với p
λ
là nửa
chuẩn trên X) mà tôpô của chúng trùng nhau.
Chương 2 nói về điểm bất động trong không gian metric cầu. Đầu
chương, tác giả trình bày những kiến thức cơ bản về không gian metric
như: định nghĩa không gian metric, sự hội tụ, dãy Cauchy, không gian
metric đầy đủ.
Tiếp đó, tác giả trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và một số ví dụ
ứng dụng của nó.
Phần cuối tác giả trình bày một khái niệm mới là không gian metric
cầu. Không gian metric cầu được định nghĩa gần như tương tự không

gian metric. Tuy nhiên ở điều kiện cuối cùng thay vì bất đẳng thức tam
giác thông thường, bất đẳng thức tam giác ở đây xuất hiện một hằng số
K  1 : d
K
(x, y)  K (d
K
(x, z) + d
K
(z, y)) . Trong không gian metric
cầu, những định nghĩa về hội tụ, dãy Cauchy, tính đầy đủ cũng tương tự
như trong không gian metric.
4
Nội dung quan trọng của chương này là định lý 2.2.1 về điểm bất động
trong không gian metric cầu.
Chương 3 tác giả trình bày về điểm bất động trong không gian metric
xác suất có kỳ vọng toán học. Trong chương này tác giả trình bày về định
nghĩa không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học, sau đó trình bày
mối quan hệ giữa không gian metric cầu và không gian metric xác suất có
kỳ vọng toán học (Định lý 3.1.1).
Tiếp theo tác giả trình bày cách xây dựng tôpô trong không gian metric
xác suất có kỳ vọng toán học (Định lý 3.1.2).
Cuối cùng là Định lý 3.2.2 nói về điểm bất động của ánh xạ co xác suất
trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là tổng kết, hệ thống lại các kết quả về nguyên
lý ánh xạ co trong không gian metric xác suất, không gian metric cầu và
không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học. Luận văn dựa trên kết quả
của Gao Junyu và Su Yongfu trong bài báo: “Mathematical Expectation of
Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point Theorem”.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả đã đạt được về điểm bất động không gian metric
xác suất, không gian metric cầu và không gian metric xác suất có kỳ vọng
toán học.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về: “Điểm bất động trong không gian metric xác suất
có kỳ vọng toán học”.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo.
5
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới
Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về nguyên lý ánh xạ
co trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Khái niệm “Metric xác suất” được nhà toán học Menger đưa ra vào năm
1942, thay cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố
F
x,y
(t) biểu diễn xác suất để d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó. Khái
niệm này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới.
Chương này tác giả trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian
metric xác suất, hàm phân bố, chuẩn tam giác và kết quả về điểm bất
động của V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid. Sau đó giới thiệu về
không gian định chuẩn xác suất và xây dựng tôpô trong không gian này.
1.1. Không gian metric xác suất
1.1.1. Hàm phân bố
Định nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ bất
kỳ T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên tại x

0
∈ X nếu với mọi tập
mở G chứa T x
0
đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
T (U) ⊂ G.
7
Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ X, thì T là nửa liên
tục trên trên X.
Định nghĩa 1.1.2. [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ bất
kỳ T : X → Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x
0
∈ X nếu với mọi tập
mở G mà G ∩T x
0
đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
T (U) ∩G = 0.
Nếu ánh xạ T nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ X, thì T là nửa liên
tục dưới trên X.
Nhận xét 1.1.1. Ta có tập hợp {x ∈ X : T x  α} là tập đóng thì ánh xạ
T là nửa liên tục dưới.
Và tập hợp {x ∈ X : T x > α} là tập đóng thì ánh xạ T là nửa liên tục
trên.
Các tập hợp đó được gọi là các tập mức trên và tập mức dưới của T .
Định nghĩa 1.1.3. [22] Một ánh xạ F : R → [0; 1] được gọi là một hàm
phân bố (distribution function) nếu nó không giảm, nửa liên tục dưới và

inf
t∈R
F (t) = 0, sup
t∈R
F (t) = 1.
Ví dụ 1.1.1. Cho F : R
+
→ [0; 1] được xác định như sau:
F
x,y
(t) =





t
t + d (x, y)
nếu t > 0
0 nếu t = 0
với ∀x, y ∈ R
+
.
Khi đó F
x,y
(t) là một hàm phân bố.
8
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh F
x,y

(t) là hàm không giảm. Với t
1
, t
2
∈ R
+
, giả
sử 0 < t
1
< t
2
ta có
F
x,y
(t
1
) =
t
1
t
1
+ d (x, y)
,
F
x,y
(t
2
) =
t
2

t
2
+ d (x, y)
.
Ta phải chứng minh F
x,y
(t
1
)  F
x,y
(t
2
).
Thật vậy, ta có
t
2
t
2
+ d (x, y)
−
t
1
t
1
+ d (x, y)
=
(t
2
− t
1

) d (x, y)
(t
2
+ d (x, y)) (t
1
+ d (x, y))
.
Do t
2
> t
1
> 0 nên t
2
− t
1
> 0.
Mặt khác
t
1
+ d (x, y) > 0, t
2
+ d (x, y) > 0.
Suy ra
(t
2
− t
1
) d (x, y)
(t
2

+ d (x, y)) (t
1
+ d (x, y))
 0.
Hay
t
2
t
2
+ d (x, y)
−
t
1
t
1
+ d (x, y)
 0.
Ta có
F
x,y
(t
1
)  F
x,y
(t
2
) .
Vậy F
x,y
(t) là hàm không giảm.

Tiếp theo, ta chứng minh F
x,y
(t) là hàm nửa liên tục dưới.
Do F
x,y
(t) là hàm liên tục nên F
x,y
(t) là nửa liên tục dưới.
Cuối cùng ta tính sup
t∈R
+
F
x,y
(t) và inf
t∈R
+
F
x,y
(t).
Ta có
lim
t→+∞
t
t + d (x, y)
= lim
t→+∞

1 −
d (x, y)
t + d (x, y)


= lim
t→+∞
1 − lim
t→+∞
d (x, y)
t + d (x, y)
= 1.
9
Vậy sup
t∈R
+
F
x,y
(t) = 1.
Mặt khác, do F
x,y
(t) = 0 khi t = 0 nên hiển nhiên ta có inf
t∈R
+
F
x,y
(t) = 0.
Vậy F
x,y
(t) là hàm phân bố.
✷
1.1.2. Chuẩn tam giác
Định nghĩa 1.1.4. [22] Một ánh xạ ∆: [0; 1] ×[0; 1] −→ [0; 1] được gọi là
một chuẩn tam giác (triangular norm) hay viết tắt là t - chuẩn nếu những

điều kiện sau được thỏa mãn:
1. ∆(a, 1) = a, ∀a ∈ [0, 1].
2. ∆(a, b) = ∆(b, a), ∀a, b ∈ [0; 1].
3. ∆(a, b)  ∆(c, d) nếu a  c, b  d và a, b, c, d ∈ [0; 1].
4. ∆

a, ∆(b, c)

= ∆

∆(a, b), c

, ∀a, b, c ∈ [0; 1].
1.1.3. Một số chuẩn tam giác cơ bản
Ta xét một số chuẩn tam giác cơ bản thường gặp sau đây:
∆
1
(a, b) = max {a + b − 1, 0}.
∆
2
(a, b) = a.b.
∆
3
(a, b) = min {a, b}.
Các t - chuẩn trên có thể được sắp xếp theo thứ tự sau đây:
∆
1
 ∆
2
 ∆

3
.
Thật vậy:
Ta có
∆
1
(a, b) = max{a + b −1, 0} =



0 nếu a + b − 1 < 0
a + b − 1 nếu a + b − 1  0.
10
Vì a, b ∈ [0; 1] nên a − 1  0, b − 1  0 suy ra
ab − a − b + 1  0 ⇐⇒ ab  a + b − 1.
Vì vậy ∆
1
 ∆
2
.
Mặt khác, do a, b ∈ [0; 1] nên ab  min{a, b}, hay ∆
2
 ∆
3
.
Vậy ta có
∆
1
 ∆
2

 ∆
3
.
1.1.4. Không gian metric xác suất
Định nghĩa 1.1.5. [22] Không gian metric xác suất (probabilistic metric
space) là một cặp sắp thứ tự (X, F). Ở đây X là một tập khác rỗng và họ
các hàm phân bố F = {F
x,y
(t) : x, y ∈ X}, t ∈ R thỏa mãn các điều kiện
sau:
1. F
x,y
(0) = 0, ∀x, y ∈ X.
2. F
x,y
(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ x = y.
3. F
x,y
(t) = F
y,x
(t), ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X.
4. Nếu F
x,z
(t
1
) = 1 và F
z,y
(t
2
) = 1 thì F

x,y
(t
1
+ t
2
) = 1, ∀x, y, z ∈ X.
Ví dụ 1.1.2. Cho không gian metric (X, d), xác suất P . Với mọi x, y ∈ X,
mọi t ∈ R đặt F
x,y
(t) = P {d (x, y) < t}.
Họ các hàm phân bố F = {F
x,y
(·)}, ∀x, y ∈ X là một metric xác suất
trên X.
Khi đó ta có (X, F) là một không gian metric xác suất.
Chứng minh.
Ta kiểm tra các điều kiện trong Định nghĩa 1.1.5:
1. Do d(x, y)  0, ∀x, y ∈ X nên
F
x,y
(0) = P {d(x, y) < 0} = P (∅) = 0.
11
2. Ta chứng minh F
x,y
(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ P {d (x, y) < t} = 1, ∀t > 0.
Nếu x = y =⇒ d (x, y) > 0. Đặt t
1
= d (x, y),
do tính trù mật của tập R nên
t

1
> 0 =⇒ ∃t
2
> 0 với 0 < t
2
< t
1
.
Suy ra P {d (x, y) < t
2
} = 0 mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy x = y.
Nếu x = y, ∀t > 0 suy ra
F
x,y
(t) = F
x,x
(t)
= P {d (x, x) < t}
= P {0 < t}
= 1.
Vậy F
x,y
(t) = 1, ∀t > 0, ∀x, y ∈ X ⇐⇒ x = y.
3. Do d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X nên
F
x,y
(t) = P{d(x, y) < t}
= P {d(y, x) < t}
= F

y,x
(t).
Vậy F
x,y
(t) = F
y,x
(t).
4. Giả sử ta có
F
x,y
(t) = P {d(x, y) < t} = 1, ∀x, y ∈ X, ∀t ∈ R,
F
y,z
(s) = P {d(y, z) < s} = 1, ∀x, y ∈ X, ∀s ∈ R.
Ta cần chứng minh F
x,z
(t + s) = P {d(x, z) < t + s} = 1.
Thật vậy, do
F
x,y
(t) = P {d(x, y) < t} = 1 ⇐⇒ d(x, y) < t, ∀x, y ∈ X,
12
F
y,z
(s) = P {d(y, z) < s} = 1 ⇐⇒ d(y, z) < s, ∀y, z ∈ X.
Suy ra
d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) < t + s, ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó
F
x,z

(t + s) = P {d(x, z) < t + s} = 1.
Vậy họ F = {F
x,y
(·)}, ∀x, y ∈ X là một metric xác suất trên X và (X, F)
là một không gian metric xác suất.
✷
Định nghĩa 1.1.6. [22] Không gian metric xác suất Menger (Menger prob-
abilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự (X, F, ∆). Trong đó (X, F)
là không gian metric xác suất, ∆ là t- chuẩn thỏa mãn các điều kiện sau:
1. F
x,y
(0) = 0, ∀x, y ∈ X.
2. F
x,y
(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ x = y.
3. F
x,y
(t) = F
y,x
(t), ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X.
4. ∆ (F
x,y
(t) , F
y,z
(s))  F
x,z
(t + s) , ∀t, s ∈ R, ∀x, y, z ∈ X.
Nhận xét 1.1.2. Ta nhận thấy không gian metric xác suất Menger là
trường hợp riêng của không gian metric xác suất. Vì các điều kiện 1, 2, 3
của Định nghĩa 1.1.5 và Định nghĩa 1.1.6 trùng nhau nên ta chỉ cần kiểm

tra điều kiện 4 của Định nghĩa 1.1.6.
Thật vậy, giả sử F
x,y
(t) = 1, F
y,z
(s) = 1, ∀t, s ∈ R, với mọi x, y, z ∈ X thì
F
x,z
(t + s)  ∆ (F
x,y
(t) , F
y,z
(t))
= ∆ (1, 1)
= 1.
13
Do định nghĩa của hàm phân bố: sup
t∈R
F
x,y
(t) = 1 nên suy ra F
x,z
(t + s) = 1.
Vậy không gian metric xác suất Menger là trường hợp riêng của không
gian metric xác suất.
Nhận xét 1.1.3. Nếu (X, F, ∆) là một không gian metric xác suất Menger
thì nó là một không gian tô pô Hausdorff, tô pô sinh bởi một họ (ε, λ)-
lân cận:
{U
x

(ε, λ) : x ∈ X, ε > 0, λ > 0},
ở đây
U
x
(ε, λ) = {y ∈ X : F
x,y
(ε) > 1 − λ}.
Định nghĩa 1.1.7. [22] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆) .
Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với ε > 0 và λ > 0 tùy
ý, tồn tại một số nguyên dương N = N(ε, λ) sao cho F
x
n
,x
(ε) > 1 − λ với
mọi n > N.
Điều này nghĩa là:
Với ε > 0 và λ > 0 tùy ý, ∃N = N (ε, λ) , N ∈ N sao cho F
x
n
,x
(ε) > 1 − λ
với mọi n > N. Tức là lim
n→∞
F
x
n
,x
(ε) = 1.

Định nghĩa 1.1.8. [22] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆) .
Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là một dãy Cauchy nếu với ε > 0 và λ > 0 tùy ý,
tồn tại một số nguyên dương N = N (ε, λ) sao cho F
x
n
,x
m
(ε) > 1 − λ với
mọi n, m > N.
Điều này nghĩa là:
Với ε > 0 và λ > 0 tùy ý, ∃N = N (ε, λ) , N ∈ N sao cho F
x
n
,x
m
(ε) > 1 −λ
với mọi n, m > N. Tức là lim
n,m→∞
F
x
n
,x
m
(ε) = 1.
14
Định nghĩa 1.1.9. [22] Một không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆)
được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểm
thuộc X.

Ví dụ 1.1.3. Cho không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆) và dãy
{x
n
} ⊂ X. Giả sử ∆ (a, b) = min {a, b}. Nếu tồn tại một hằng số h ∈ (0; 1)
sao cho
F
x
n
,x
n+1
(ht)  F
x
n−1
,x
n
(t) , n = 1, 2, 3,
thì {x
n
} là một dãy Cauchy thuộc X.
Chứng minh.
Theo giả thiết ta có:
F
x
n
,x
n+1
(ht)  F
x
n−1
,x

n
(t) , ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .
⇐⇒ F
x
n
,x
n+1
(t)  F
x
n−1
,x
n

t
h

, ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .
Suy ra
F
x
n
,x
n+1

t
2h

 F
x
n−1

,x
n

t
2h
2

 . . .  F
x
1
,x
2

t
2h
n−1

. (1.1)
Lấy m bất kỳ. Khi đó ta có
F
x
n
,x
n+m
(t) = F
x
n
,x
n+m


t
2
+
t
2

 ∆

F
x
n
,x
n+1

t
2

, F
x
n+1
,x
n+m

t
2

= min

F
x

n
,x
n+1

t
2

, F
x
n+1
,x
n+m

t
2

 min

F
x
n
,x
n+1

t
2

, F
x
n+1

,x
n+2

t
4

, F
x
n+2
,x
n+m

t
4

. . . . . . . . .
 min

F
x
n
,x
n+1

t
2

, F
x
n+1

,x
n+2

t
4

, . . . , F
x
n+m−1
,x
n+m

t
2
m

.
15
Suy ra
F
x
n
,x
n+m
(t)  min

F
x
n
,x

n+1

t
2

, . . . , F
x
n+m−1
,x
n+m

t
2
m

. (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) ta có
F
x
n
,x
n+m
(t)  F
x
1
,x
2

t
2

m
h
n−1

.
Với h ∈ (0; 1) , t > 0, m bất kỳ ta có
t
2
m
h
n−1
→ ∞, khi n → ∞.
Vì sup F
x
1
,x
2

t
2
m
h
n−1

= 1 nên với λ > 0 và n đủ lớn ta được
F
x
1
,x
2


t
2
m
h
n−1

> 1 −λ.
Suy ra
F
x
n
,x
n+m
(t) > 1 − λ.
Khi đó ta có
lim
n→∞
F
x
n
,x
n+m
(t) = 1.
Vậy {x
n
} là dãy Cauchy.
✷
Định nghĩa 1.1.10. [27] Cho (X, F, ∆) là không gian metric xác suất
Menger. Giả sử ∆ (a, b) = min {a, b}. Ánh xạ T từ không gian metric xác

suất Menger vào chính nó gọi là ánh xạ co xác suất nếu có một hằng số
k ∈ (0; 1) sao cho
F
T x,T y
(t)  F
x,y

t
k

.
Năm 1972, V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid đã mở rộng kết
quả về điểm bất động của ánh xạ co Banach trong không gian metric sang
không gian metric xác suất. Sau đây tác giả trình bày kết quả này.
16
Định lý 1.1.1. [22] Cho (X, F, ∆) là không gian metric xác suất Menger
đầy đủ, T : X −→ X là một ánh xạ co. Giả sử rằng ∆ (a, b) = min {a, b}.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử x
0
∈ X và {x
n
} là một dãy lặp được xác định như sau:
x
n
= T x
n−1
, n = 1, 2, . . . .
Do T là ánh xạ co xác suất, dãy lặp trên thỏa mãn điều kiện:

F
x
n
,x
n+1
(t)  F
x
n−1
,x
n

t
k

, ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .
với k là hằng số, k ∈ (0; 1).
Chứng minh tương tự Ví dụ 1.1.3 ta có {x
n
} là dãy Cauchy trong (X, F, ∆).
Do đó {x
n
} hội tụ tới phần tử x
∗
thuộc X:
lim
n→∞
x
n
= x
∗

, x
∗
∈ X.
Theo giả thiết x
n
= T x
n−1
nên
F
T x
∗
,T x
n−1

t
2

 F
x
∗
,x
n−1

t
2k

. (1.3)
Khi đó ta có
F
T x

∗
,x
∗
(t) = F
T x
∗
,x
∗

t
2
+
t
2

 ∆

F
T x
∗
,x
n

t
2

, F
x
n
,x

∗

t
2

= min

F
T x
∗
,x
n

t
2

, F
x
n
,x
∗

t
2

= min

F
T x
∗

,T x
n−1

t
2

, F
x
n
,x
∗

t
2

.
Từ (1.3) ta có
F
T x
∗
,x
∗
(t)  min

F
x
∗
,x
n−1


t
2k

, F
x
n
,x
∗

t
2

.
17
Vì x
n
→ x
∗
khi n → ∞ nên ta có
F
x
n
,x
∗

t
2

→ 1 khi n → ∞,
F

x
∗
,x
n−1

t
2k

→ 1 khi n → ∞.
Suy ra
F
T x
∗
,x
∗
(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ Tx
∗
= x
∗
.
Vậy x
∗
là điểm bất động của ánh xạ T .
Cuối cùng ta chứng minh x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T .
Thật vậy giả sử điểm y
∗
cũng là điểm bất động của ánh xạ T , thì ta có
F

x
∗
,y
∗
(t) = F
T x
∗
,T y
∗
(t)  F
x
∗
,y
∗

t
k

.
Vì F
x,y
(t) là hàm không giảm nên
F
x
∗
,y
∗

t
k


 F
x
∗
,y
∗
(t) .
Suy ra
F
x
∗
,y
∗

t
k

= F
x
∗
,y
∗
(t) , ∀t > 0.
Vậy F
x
∗
,y
∗
(t) là hàm hằng ∀t > 0.
Mặt khác, vì sup F

x
∗
,y
∗
(t) = 1 nên
F
x
∗
,y
∗
(t) = 1, ∀t > 0.
Suy ra x
∗
= y
∗
. Định lý được chứng minh.
✷
Định nghĩa 1.1.11. [26] Cho tập hợp X khác rỗng, ánh xạ d : X×X → R
được gọi là một giả metric nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1. d (x, x) = 0, ∀x ∈ X.
2. d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X.
18
3. d (x, z)  d (x, y) + d (y, z) , ∀x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.1.12. [26] Cho tập hợp X khác rỗng, họ ánh xạ {d
λ
}, với
λ ∈ (0; 1) xác định bởi:
d
λ
: X × X → R, λ ∈ (0; 1)

được gọi là một họ giả metric nếu:
1. d
λ
(x, x) = 0, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1) ,
2. d
λ
(x, y) = d
λ
(y, x) , ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1) ,
3. d
λ
(x, z)  d
λ
(x, y) + d
λ
(y, z) , ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1).
Định lý 1.1.2. [26] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆),
nếu t- chuẩn ∆ thỏa mãn điều kiện
∆ (a, a)  a, ∀a ∈ [0; 1] ,
thì không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆) chứa một họ giả metric.
Chứng minh.
Với λ ∈ (0; 1) và mọi x, y ∈ X, ta đặt
d
λ
(x, y) = sup {t : F
x,y
(t)  1 − λ}.
Hiển nhiên d
λ
: X × X → R.

Kiểm tra sự thỏa mãn của d
λ
(x, y) với các tiên đề giả metric.
1. d
λ
(x, x) = 0, ∀x ∈ X.
Theo tính chất của hàm phân bố ta có sup F
x,x
(t) = 1, ∀t > 0.
Suy ra
F
x,x
(t)  1 − λ, ∀t  0.
19
Khi đó
sup {t ∈ R : F
x,y
(t)  1 − λ} = 0.
Vậy d
λ
(x, x) = 0.
2. d
λ
(x, y) = d
λ
(y, x) , ∀x, y ∈ X.
Theo tính chất của hàm phân bố F
x,y
(t) = F
y,x

(t), ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X
ta có:
d
λ
(x, y) = sup {t ∈ R : F
x,y
(t)  1 − λ}
= sup {t ∈ R : F
y,x
(t)  1 − λ}
= d
λ
(y, x) .
Vậy d
λ
(x, y) = d
λ
(y, x).
3. Do d
λ
(x, y) = sup {t ∈ R : F
x,y
(t)  1 − λ}, ∀λ ∈ (0, 1).
Theo định nghĩa của supremum, ∃t
n
∈ {t
n
} sao cho t
n
−→ d

λ
(x, y)
và
F
x,y
(t
n
)  1 − λ.
Vì F
x,y
(t) nửa liên tục dưới nên chuyển qua giới hạn khi n → ∞, ta
có:
F
x,y
(d
λ
(x, y))  1 − λ, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1) . (1.4)
Từ tính chất không giảm của F
x,y
(t) và (1.4) ta suy ra
d
λ
(x, y) < ε ⇐⇒ F
x,y
(ε) > 1 − λ, ∀ε > 0. (1.5)
Thật vậy,
d
λ
(x, y) = sup {t : F
x,y

(t)  1 − λ}.
d
λ
(x, y) < ε =⇒ ε > sup {t : F
x,y
(t)  1 − λ}.
Do đó
F
x,y
(ε) > 1 − λ.
Ngược lại,
F
x,y
(ε) > 1 − λ =⇒ ε > sup {t : F
x,y
(t)  1 − λ} = d
λ
(x, y) .
20
Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức tam giác bằng phản chứng.
Giả sử ∃λ ∈ (0; 1) , ∃x, y, z ∈ X sao cho:
d
λ
(x, z) > d
λ
(x, y) + d
λ
(y, z) , ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó ∃t, s ∈ R sao cho
d

λ
(x, y) < s và d
λ
(y, z) < t để d
λ
(x, z) > t + s. (1.6)
Đặt d
λ
(x, z) = a, d
λ
(x, y) = b, d
λ
(y, z) = c, ta có a−(b + c) = ε > 0.
Chọn s = b +
ε
4
, t = c +
ε
4
.
Suy ra t + s = b + c +
ε
2
< a.
Vậy theo (1.5)
b = d
λ
(x, y) < s ⇐⇒ F
x,y
(s) > 1 − λ,

c = d
λ
(y, z) < t ⇐⇒ F
y,z
(t) > 1 − λ.
Và do
F
x,z
(t + s)  min {F
x,y
(s) , F
y,z
(t)} > 1 − λ.
Nên
d
λ
(x, z) < t + s.
Mâu thuẫn với (1.6).
Vậy ta có:
d
λ
(x, z)  d
λ
(x, y) + d
λ
(y, z) , ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1) .
Cuối cùng ta chứng minh từ điều kiện ∆ (a, a)  a suy ra
∆ (a, b) = min {a, b}, ∀a, b ∈ [0; 1] .
Thật vậy, giả sử a  b, theo điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.4 và điều kiện
∆ (a, a)  a, ∀a ∈ [0; 1] ,

ta có:
∆ (a, b)  ∆ (b, b)  b.