bất biến GAUGE và hình thức luật BRSTE

1
bộ giáo dục và đào tạo
trờng Đại học s phạm hà nội 2



đinh xuân cấp








bất biến gauge và hình thức
luận brst


Luận văn thạc sĩ vật lý

hà nội, 2010



2
bộ giáo dục và đào tạo
trờng Đại học s phạm hà nội 2



đinh xuân cấp



bất biến gauge và hình thức
luận brst


Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số : 60 44 01


Luận văn thạc sĩ vật lý



Ngời hớng dẫn khoa học : PGS - TS. Nguyễn Thị Hà Loan

hà nội, 2010


3
Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS - TS Nguyễn
Thị Hà Loan về sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của cô trong suốt quá trình
nghiên cứu, thực hiện và hoàn thành luận văn này.
Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm, các thầy cô, trong khoa Vật
Lý Trờng Đại Học S Phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất,
tận tình giảng dạy, chỉ bảo trong quá trình thực hiện luận văn này và cả quá
trình học tập, nghiên cứu của chúng em trong suốt hai năm qua.
Tôi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả

Đinh Xuân Cấp

4
Lời Cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực và cha
từng đợc công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Đinh Xuân Cấp















5
Mục Lục
Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục
3
Mở Đầu
5
Nội Dung
6
Chơng 1 : Dây BOSON
6
1.1 Tác dụng dây trên lá thế
6
1.2 Phơng trình chuyển động. Khai triển mode
9
1.3 Bất biến Poincaré D - chiều
11
1.4 Lợng tử hoá dây boson
14
1.5 Đại số Virasoro
17
1.6 Các trạng thái kích thích
21
Chơng 2 : Lý thuyết trờng Gauge
25
2.1 Bất biến Gauge
25
2.1.1 Đạo hàm hiệp biến
26
2.1.2 Tơng tác giữa trờng vật chất

i

và trờng Gauge
28
2.2 Phá vỡ bất biến tự phát
29
2.3 Cơ chế Higgs
36
Chơng 3 : Hình thức luận BRST
43
3.1 Tải BRST cho nhóm đối xứng Gauge
43
3.1.1 Nhóm đối xứng Gauge
43
3.1.2 Tải BRST cho nhóm đối xứng Gauge
45
3.2 Tải BRST cho đại số lợng tử SU(2)
48
3.2.1 Đại số SU(2)
48
3.2.2 Tải BRST cho đại số lợng tử SU(2)
52
3.3 Tải BRST cho đại số lợng tử SU (2)
q

57

6
3.3.1 §¹i sè biÕn d¹ng mét th«ng sè

SU (2)
q

57
3.3.2 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU (2)
q

60
3.4 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö
SU(2)
pq

70
3.4.1 §¹i sè biÕn d¹ng hai th«ng sè
SU(2)
pq

70
3.4.2 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö
SU(2)
pq

73
3.5 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU(2)
{q}

74
3.5.1 §¹i sè SU(2)
{q}
tæng qu¸t.

74
3.5.2 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU(2)
{q}

77
KÕt luËn
78
Tµi liÖu tham kh¶o
79

7
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong vũ trụ các hạt vi mô tác động lẫn nhau qua bốn loại tơng tác cơ
bản : manh, yếu, điện, từ và hấp dẫn. Xây dựng đợc một lý thuyết thống nhất
các tơng tác cho phép ta hiểu sâu hơn về bản chất của các hiện tợng, các
mối quan hệ động lực từ đó tiên đoán đợc hàng loạt các hệ quả vật lý mới.
Một phơng hớng hiện nay đợc xem là có triển vọng nhất để xây dựng lý
thuyết thống nhất là lý thuyết dây.
Lý thuyết dây đã đợc nhiều nhà vật lý trong nớc và quốc tế quan tâm
nghiên cứu và đã có những bớc phát triển quan trọng. Có thể nghiên cứu lý
thuyết tơng tác của các dây lợng tử dựa trên hình thức luận BRST ( Becchi -
Rollet - Stora - Tiutin ). Chính vì thế ở đề tài này chúng tôi nghiên cứu và xây
dựng hình thức luận BRTS cho các nhóm đối xứng lợng tử.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hình thức luận BRTS cho nhóm đối xứng lợng tử SU(2)
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
* Nghiên cứu tổng quan về nhóm đối xứng lợng tử
* Nghiên cứu lý thuyết dây
* Nghiên cứu tổng quan về đại số lợng tử
* Tìm hiểu tổng quan về bất biến Gauge
* Nghiên cứu hình thức luận BRST cho đại số lợng tử
4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu hình thức luận BRST cho nhóm đối xứng SU(2) biến dạng
5. Phơng pháp nghiên cứu
- Dùng các phơng pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết.

- Dùng các phơng pháp của nhóm đối xứng lợng tử.

8
Nội dung
Chơng 1 : Dây BOSON
1.1. Tác dụng dây trên lá thế
Lý thuyết trờng lợng tử tơng ứng với quan niệm hạt là đối tợng
không kích thớc - điểm theo nghĩa toán học. Để giúp hiểu sâu hơn về khái
niệm hạt dây, ta hãy nhắc sơ qua về hạt điểm.
Khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt điểm
vạch nên một đờng gọi là đờng thế (xem hình vẽ)


đờng thế 2
1 x


()


Vị trí của hạt có thể mô tả bởi hàm vector x


() phụ thuộc vào thông số
nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, là chỉ số
Lorentz khái quát trong không - thời gian D chiều, = 0, 1, 2, , D - 1
Chuyển động của hạt điểm trong không - thời gian Minkowski với
metric.


= diag(1,-1,,-1)

đợc mô tả bởi tác dụng
S =





xxed



.)(
1
(1.1.1)

Trong đó e() là một hàm nào đó, đóng vai trò nh metric dọc theo quỹ
đạo,


d
d


Tác dụng (1.1.1) bất biến đối với phép biến đổi tổng quát.
-> = f ()

9
e() -> e () =
'

d
d
. e ()
Thật vậy, ta có:
S =








xxed
''
'1
.)'('

=

2
1
'

'
)('










d
d
xx
d
d
ed

=

xx
d
d
ed .
'
)('
1

=
Sxxed







.)(
1

Tính bất biến này có thể sử dụng để đặt e () = 1. Lúc này ta nói rằng đã
dùng conformal gauge, và viết lại (1.1.1) thành:
S =

xxd

.
(1.1.2)

Phơng trình Euler - Lagrange áp dụng với x

,
0
)(











x
L
x
L

dẫn tới phơng trình

0
2
2



d
xd

có nghiệm tơng ứng với đờng thẳng trong không - thời gian Minkowski.
Khi xem hạt là đối tợng có kích thớc một chiều - dây, thì cách tiếp
cận cũng tơng tự. Khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 tới vị trí
2, hạt dây sẽ quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình vẽ).


2
1

lá thế
X


(, )

10
Vị trí của dây trong không - thời gian đợc xác định bởi hàm X


(, )
phụ thuộc hai thông số và , có thể hiểu nh thời gian riêng của dây,

-<<+, có thể hiểu nh độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, với các
giá trị đợc chọn trong khoảng 0 .
Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết:


= (,),
0
= ,
1
=
Đa vào các metric tensor trên lá thế h

và h

với các tính chất.
h


= h

, h


= h

, h

, h

=

và biến đổi theo quy luật
h


() -> h


(' ) =








''
.




. h


() (1.1.3)

h


() -> h


(' ) =












'
.
. h


()
dới tác dụng của phép biến đổi tổng quát


=

= f


() (1.1.4)

Chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác
dụng








.
2
1
2
hhdS
(1.1.5)

trong đó:

,h h det
2
011100
hhh

Tác dụng (1.1.5) không những chỉ bất biến đối với phép biến đổi tổng
quát, mà còn bất biến đối với phép biến đổi Weyl định xứ metric,
h


() -> () . h


() (1.1.6)

vì lúc này


hhhhh .)(.))((.h-
12




11
Nh vậy, ở đây có ba đối xứng định xứ: đối xứng (1.1.4) với hai thông
số và đối xứng Weyl (1.1.6). Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của
metric tensor h

theo metric Minkowski

hai chiều:
h

=

= diag (1, -1)
Ta nói rằng đã dùng conformal gauge, và lúc này tác dụng (1.1.5) sẽ
thành:








.
2
1
2
dS
(1.1.7)

=
).'.(
2
1

dd

1.2. Phơng trình chuyển động. Khai triển mode
áp dụng phơng trình Euler - Lagrange
0
)(











L
X
L

vào tác dụng (1.1.7) ta đợc phơng trình chuyển động
0)(

22




(1.2.1)

Đó là phơng trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết
dới dạng:
)()()(



LR
(1.2.2)

trong đó

R

mô tả các mode chuyển động phải,

L

mô tả các mode
chuyển động trái của dây
Cần phân biệt dây mở và dây đóng


dây mở dây đóng

Với dây mở ta đặt điều kiện biên:
X

= 0 tại = 0, (1.2.3)


12
Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.2.2) thoả mãn điều kiện (1.2.3) có
dạng khai triển nh sau:




, 2,1
)(
1
2
)(
2
1
2
1
)(
n
in
nR
e
n
i
px

(1.2.4)





n
in
nL
e
n
i
px
)(
1
2
)(
2
1
2
1
)(





n

in
n
ne
n
ipx


cos.
1
)(

ở đây có thể xem

x
và

p
nh tọa độ và xung lợng của khối tâm
của hạt dây,


n
nh các dao động tử quỹ đạo.
Ta đòi hỏi


phải là thực, nên

x
và

p
cũng phải là thực, và


nn


(1.2.5)
Với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn :
),(),(



(1.2.6)
Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.2.2) thỏa mãn điều kiện (1.2.6) có
dạng khai triển nh sau :




, 2,1
)(
1
2
)(
2
1
2
1

)(
n
in
nR
e
n
i
px






n
in
nL
e
n
i
px
)(2
~
1
2
)(
2
1
2
1

)(


(1.2.7)





n
in
n
in
n
in
eee
n
i
px


222
~
1
2
)(

Chú ý rằng trong trờng hợp dây đóng ta phân biệt dao động tử quỹ đạo

n
ứng với chuyển động phải và


n
~
ứng với chuyển động trái.

13
Để tiện sử dụng về sau, ta viết ra các biểu thức khai triển của





và



'
. Trong trờng hợp dây mở, từ (1.2.4) ta có:




n
in
n
ne

cos

(1.2.8)




n
in
n
sisnei


'

trong đó ta ký hiệu


p
o


Trong trờng hợp dây đóng, từ (1.2.7) ta có:

n
in
n
in
n
in
eee


222
~

(1.2.9)






n
in
n
in
n
in
eee


222
~

'

trong đó ta ký hiệu


p
2
1
~
00


1.3. Bất biến Poincaré D - chiều
Xét các phép biến đổi Poincaré trong không - thời gian D chiều:
X

-> X


= A

v
X
v
+ a


(1.3.1)
Đối với lá thế thì phép biến đổi này có tính toàn cục (các thông số A

v

và a

không phụ thuộc

), và tính bất biến Poincaré gắn liền với các dòng
Noether trên lá thế. Phơng thức xây dựng các dòng này cũng thực hiện theo
sơ đồ tổng quát, có thể tóm tắt nh sau:
Xét phép biến đổi trờng () dạng:
() -> () = () + .() (1.3.2)
trong đó là một thông số cực vi:

14
Tác dụng S đợc giả thiết là bất biến (S = 0) đối với phép biến đổi toàn
cục ( không phụ thuộc ). Đối với phép biến đổi định xứ ( = ()), một cách
tổng quát ta có thể viết:
S

)(.
)(2



Jd
(1.3.3)
trong đó
)(

J
là dòng Noether ứng với phép biến đổi (1.3.2)
Ta hãy chứng tỏ rằng khi tính đến phơng trình chuyển động thì
0
)(




J
, tức
)(


J
là dòng bảo toàn. Quả vậy, phơng trình chuyển động
đợc rút ra từ điều kiện tác dụng S là dừng đối với mọi biến thiên (1.3.2) với
= (), cụ thể là:

)(.
)(2



Jd
= 0
Mặt khác, ta có:

)(.)(.)(.
)(2)(2)(2







JdJdJd

= -

)(.
)(2




Jd

Từ đây suy ra:
0
)(




J

Hãy áp dụng để tìm các dòng ứng với các phép biến đổi Poincaré
(1.3.1)
Trớc hết xét phép biến đổi tịnh tiến
X


= X


+ a


Xem a

nh a

() ta có:









'.'
2
1

'
2
XXdS


15















aXdXXd .
1
.
2
1
22

Vậy

adS
1
2

So sánh với (2.3.3), ta có thể đặt:








1
)(
PJ
a
(1.3.4)
Tính bảo toàn của


P
,

P
= 0, suy ra ngay từ phơng trình chuyển
động (1.2.1)
Xung lợng của dây P

đợc định nghĩa là:







0 0
0
1
XdPdP

(1.3.5)
Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.2.4), (1.2.7) và chú ý rằng:
Znednd
no
in
no


,,cos

0
2
0





ta có:
P

= p

(xung lợng khối tâm của dây) cho cả trờng hợp dây mở lẫn
dây đóng:
Xét sang phép biến đổi Lorentz đồng nhất
X

-> X

= X

+

v
X
v

Xem

v
nh

v
(), ta có:









'.'
2
1
'
2
XXdS



v
v
dXXd

.
1
.
2
1
22


16
Vậy:

).(
2
1
.
1
22
ddS

Từ đây ta có thể đặt:
) (
1
)(









vvv
MJ
v
(1.3.6)

Tính bảo toàn của
v
M


,
0
v
M



, suy ra ngay từ phơng trình
chuyển động (1.2.1).
Moment xung lợng của dây đợc định nghĩa là:
)(
1
0 0
0

vvvv
dMdM
(1.3.7)
Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.2.4), (1.2.7), (1.2.8), (1.2.9),
chú ý rằng







0 0
,,
)(
2
cos.cos
mnmn
mnd

n, m Z, ta có:





1
)(
1
n

n
v
n
v
nn
vv
n
ipxpxM


(1.3.8)
cho dây mở, và





1
)
~~~~
(
1
n
nn
v
nnn
v
n
v
nn

vv
n
ipxpxM


(1.3.9)
cho dây đóng
1.4. Lợng tử hoá dây boson
Tiến hành lợng tử hoá dây, ta thừa nhận các hệ thức giao hoán đồng
nh sau:

17


)'()',(),,(



vv
i
(1.4.1)

0)',(),,(


v


0)',(),,(

v

trong đó X


(,) đợc xem là toạ độ chính tắc,


(,) là xung lợng chính
tắc tơng ứng đợc định nghĩa bởi:







L

( - ) là hàm - Dirac tuần hoàn thoả mãn tính chất

0
),0(' ,0
'0 ),'(
)'()(
f
fd
(1.4.2)
Ta có thể sử dụng các biểu thức khai triển khác nhau của ( - ) nh
sau





n
in
e
)'(
2
1
)'(



(1.4.3)

n
n )'( cos
2
1







n
nn ' cos. cos
1







n
nn ' sin. sin
1



Với Lagrangian ở (1.1.7) ta có:

1
(1.4.4)
và các hệ thức (1.4.1) sẽ thành:

)'(.)',(),,(



vn
i

(1.4.5)

18

0)',(),,(


v


Từ các hệ thức giao hoán chính tắc trên đây ta có thể tìm đợc các hệ
thức giao hoán giữa các dao động tử quỹ đạo


n

nh sau:
- Với dây mở:

0,
.,
nm
vv
nm
m




(1.4.6)
- Với dây đóng:

0,
.
~
,
~
,
nm
vv
nm
v
nm
m

(1.4.7)

0
~
,
v
nm



Ngoài ra, các hệ thức giao hoán với x

, p

là:

0,,x , ,
vvvv
ppxixp


(1.4.8)

0
~
,,
~
,,

v
m
v
m
v
m
v
m
ppxx



Xét tensor trên lá thể:






.
2
1
.XT
(1.4.9)
Tensor này có thể thu đợc từ Lagrangian (1.1.7) với định nghĩa

L
L
T









.
)(
(1.4.10)
Chú ý đến các tính chất sau đây của T


T

= T

,

T

= 0,

T

= 0 (1.4.11)
Từ tensor T

ta lập vector trên lá thế:






0
1
o
TdP
(1.4.12)
Dùng hệ thức giao hoán chính tắc (1.4.1) dễ dàng chứng tỏ rằng:





iP ,
(1.4.13)

19
Do có các hệ thức (1.4.11) - (1.4.13) cho nên tensor T

định nghĩa ở
(1.4.9) đợc xem là tensor năng - xung lợng trên lá thế và vector P

định
nghĩa ở (1.4.12) là vector năng - xung lợng trên lá thế.
1.5. Đại số Virasoro
Từ tensor năng - xung lợng T

ta lập các toán tử







0
1000
)sincos(
1
niTnTde
in
n
L
n Z (1.5.1)
Đặc biệt
0
0
000
1

PTd




L

Hãy biểu diễn L
n
qua các dao động tử quỹ đạo. Từ (1.4.9) ta có:
)''(
2
1
00






T





'
2
1
10

T

Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.2.8) và (1.2.9) ta tính đợc:
kn
k
knn
L






,
2
1



L
(1.5.2)
với dây mở, và
nnn
LL
~
L
(1.5.3)
kn
k
kn

L






,
~~
2
1~




với dây đóng
Từ định nghĩa (1.5.1) cũng nh từ các biểu thức (1.5.2), (1.5.3) ta nhận
thấy rằng:

20
nn
LL



,
nn
LL

~~

Bây giờ hãy xem


nn
~
,
với n > 0 nh các toán tử huỷ,


nn
~
,
nh
các toán tử sinh, và định nghĩa lại
nn
LL
~
,
: Viết (1.5.2), (1.5.3) dới dạng tích
normal, trong đó toán tử sinh đứng trớc toán tử huỷ (tính từ trái), tức là:
::
2
1
, kn
k
kn
L

(1.5.4)
:
~~
:
2
1
~
, kn
k
kn
L

Ta hãy tính giao hoán tử

mn
LL ,
.
Trớc hết nhận xét rằng vì giao hoán tử giữa hai dao động tử quỹ đạo
chỉ là một số, cho nên với bất kỳ toán tử F nào ta đều có:

FF
v
nm
v
nm
,:,:




và do đó có thể viết:







lk
mv
v
knkmn

LL
,
1,1,
,
4
1
,



(1.5.5)
áp dụng đồng nhất thức dạng
[AB, CD] = [A, C]DB + C[A, D]B + A[B,C]D + AC[B,D] (1.5.6)
vào vế phải của (1.5.5) và sử dụng hệ thức (1.4.6) ta tính đợc












k
kmnkmn
mnLL
,

2
1
)(,



(1.5.7)
Lại chú ý rằng ta cần phân biệt tích normal và tích bình thờng chỉ với
L
0
mà thôi, vì khi n 0 ta có




kknknk

,,

Nh vậy, trong trờng hợp n + m 0 phơng trình (1.5.7) cho ta:

21
[L
n
, L
m
] = (n - m) L
n+m
(1.5.8)
Trong trờng hợp n + m = 0, ở vế phải (1.5.8) sẽ xuất hiện thêm một số

hạng gọi là dị thờng, ký hiệu bởi A(n). Một cách tổng quát, ta có thể viết:
[L
n
, L
m
] = (n - m) L
n+m
+ A(n)
n+m, 0
(1.5.9)
Số hạng dị thờng A(n) có thể tính theo cách nh sau:
Giả sử
0
là trạng thái nền - chân không thoả mãn điều kiện
00
~
0


nn
, n > 0 (1.5.10)
Lúc này, từ định nghĩa của L
n
ta có:
00
n
L
, n > 0 (1.5.11)
Mặt khác, từ (1.5.9) ta có:
[L

n
, L
-n
] = 2nL
0
+ A(n) (1.5.12)
Để xác định ta xem n > 0. Lấy trung bình hai vế của (1.5.12) theo trạng
thái
0
, chú ý tới (1.5.11), ta có:
)(00200
0
nALnLL
nn


(1.5.13)
Để tính
00
nn
LL

ta tiến hành nh sau. Với n > 0 ta có:






0::

2
1
0
, kn
k
kn
L




0
2
1
1
1
0,0,











n
k

nknkn







02
2
1
1
1
,











n
k
knkn
c
P

c = 1 với dây mở, và c = 2 với dây đóng.
Từ đây ta có:

22


00
1
00
2



n
v
nvnn
PP
c
LL
(1.5.14)

1
1,
,11,
00
4
1
n
lk
knk
v
nv




Các số hạng ở vế phải (1.5.14) tính nh sau:

2
)(0,000 npnppPPPP
v
vn
v
nvn
v
nv

1
1,
,1,
00
n
lk
kn
v
knv









1
1,

,11,
0,0
n
lk
knk
v
nv









1
1
,
002
n
k
knkn
k

1
1
,
0,02
n
k
knkn
k








kn
k
nDnknkD
1
2
)1(
3
1
)(2

Trong quá trình tính ta đã sử dụng tính chất (1.5.10), đồng nhất thức
(1.5.6) và
)12()1(
6
1
,)1(
2
1
1
2
1



nnnknnk
n
k
n
k

Nh vậy, ta tính đợc:
)1(
12
00
22
2


nn
D

p
c
n
LL
nn
(1.5.15)
Tiếp theo, ta có:

00
2
1
0::0
2
1
00
000










k
kk
L
(1.5.16)

23

2
2
2
1
p
c


Thay (1.5.15) và (1.5.16) vào (1.5.12), ta có:
)1(
12
)(
2
nn
D
nA
(1.5.17)
Vậy,


0,
2
)1(
12
)(,
mnmnmn
nn

D
LmnLL



(1.5.18)
Với
n
L
~
cũng hoàn toàn nh vậy:

0,
2
)1(
12
~
)(
~
,
~
mnmnmn
nn
D
LmnLL



(1.5.19)
Đại số tạo nên bởi các hệ thức giao hoán dạng (1.5.18), (1.5.19) đợc

gọi là đại số Virasoro dị thờng.
1.6. Các trạng thái kích thích
Xét không gian Fock các trạng thái kích thích tạo nên do tác dụng các
toán tử sinh



n
và



n
~
, n > 0 lên trạng thái nền chân không
0
. Chuẩn của
các trạng thái này không phải tất cả đều > 0. Chẳng hạn, các trạng thái
0
n

0
có chuẩn < 0,

n
nnnn


0,000
0000

và do đó không thể xem là các trạng thái vật lý. Không gian các trạng thái vật
lý chỉ là một không gian con của toàn không gian Fock nói trên, thoả mãn một
số điều kiện nhất định. Trớc hết, trạng thái vật lý phải có chuẩn > 0. Một
trạng thái vật lý cũng phải thoả mãn các phơng trình suy ra từ phơng
trình chuyển động.
Các phơng trình này có dạng:
(L
0
- a
0
) = 0 (1.6.1)

24
L
n
= 0 n > 0
đối với dây mở, và
(L
0
- a
0
) = 0, (
0
~
L
- - a
0
) = 0(L

0
- a
0
) = 0 (1.6.2)
L
n
= 0
n
L
~
= 0, n > 0
đối với dây đóng,
Trong đó a
0
là một thông số, đợc gọi là thông số Regge.
Các phơng trình (1.6.1) và (1.6.2) cho phép xác định đợc phổ khối
lợng của các trạng thích kích thích.
Trớc hết xét trờng hợp dây mở. Ta có:








1
2
0
2

1
::
2
1
k
kk
k
kk
pL





(1.6.3)
và phơng trình (1.6.1) cho:

1
0
2
2
k
kk
ap
(1.6.4)
Phơng trình (1.6.4) cho thấy rằng toán tử











1
0
2
2
k
kk
aM

(1.6.5)
có ý nghĩa là toán tử bình phơng khối lợng của dây.
Dùng hệ thức giao hoán (1.4.6) dễ dàng thấy rằng trạng thái kích thích

) (
21 p
nnn

0
2
2
1
1


p
p
nnn



(1.6.6)
Là trạng thái riêng của toán tử M
2
ứng với giá trị riêng

p
i
i
na
1
0
2
, cụ
thể là:
M
2

) (
21 p
nnn
=

p
i
i
na
1
0
2

) (
1 p
nn
(1.6.7)

25
Trong trờng hợp dây đóng ta có:





1
2
0
8
1
k
kk

pL



(1.6.8)





1
2
0
~~
8
1~
k
kk
pL




và phơng trình (1.6.2) cho:
p
2
= -8

1
0
k
kk
a



= (1.6.9)
= -8











1

0
~~
k
kk
a




Lúc này ta có:











1
0
2
8
k
kk
aM

1
0
~~
8
k
kk
a



(1.6.10)
và thấy rằng trạng thái kích thích

) (
1,1 qp
mmnn

0

~

~

1
1
1
1




p
p
p
p
v
m
v
mnn
v



(1.6.11)
là trạng thái riêng của toán tử M
2
ứng với giá trị riêng
88
1

0










p
i
i
na









q
i
i
ma
1
0

(1.6.12)
cụ thể là:
M
2
=
) (
1,1 qp
mmnn
= 8









p
i
i
na
1
0

) (
1,1 qp
mmnn
(1.6.13)
Cũng từ (1.6.12) ta suy ra rằng các trạng thái kích thích (1.6.11) khả dĩ

phải thoả mãn điều kiện.



q
i
i
p
i
i
mn
11
(1.6.14)