Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu

1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội 2





Phan thị minh hơng






Phơng pháp hiệu chỉnh tikhonov
Dựa trên toán tử đơn điệu

Chuyên ngành: Toán giải thích
Mã số: 604601


Luận văn thạc sĩ toán học


Ngời hớng dẫn khoa học

TS. Nguyễn văn hùng

Hà Nội - 2009

2




MỤC LỤC
Mở đầu …………………………………… … … 3
Chương 1. Các khái niệm cơ bản
1.1. Không gian metric… ………………………………………… 5
1.2. Không gian tôpô………………………………………………. 7
1.3. Không gian định chuẩn….………………………….………… 8
1.4. Không gian Banach …………………………………………… 11
1.5. Một số ví dụ về không gian định chuẩn……………………… 16
Chương 2. Toán tử đơn điệu và các tính chất
2.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu …………………… 18
2.2. Các tính chất của toán tử đơn điệu …………………… … 20
2.3. Khái niệm bài toán chỉnh và không chỉnh ……………… 24
2.4. Khái niệm thuật toán hiệu chỉnh
2.4.1. Toán tử điều chỉnh ……….…………………….… 26
2.4.2. Thuật toán điều chỉnh … ………….…… 27
2.4.3. Một số ví dụ ………………………………………… 28
Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu
3.1. Thuật toán cơ bản hiệu chỉnh bài toán không chỉnh với
toán tử phi tuyến đơn điệu
3.1.1. Thuật toán hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh khi vế
phải biết xấp xỉ ………………………… 30

3.1.2. Thuật toán hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh khi toán tử
A và vế phải đều biết xấp xỉ ………………………… 32
3.1.3. Cách chọn nghiệm xấp xỉ trong trường hợp toán tử A

3
phi tuyến …… … ……………………………… 39
3.2. Nguyên lí độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh ………………… 41
3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của bài toán 50
đặt không chỉnh.
3.3.1. Tốc độ của nghiệm hiệu chỉnh khi vế phải biết
xấp xỉ 50
3.3.2. Tốc độ của nghiệm hiệu chỉnh khi cả hai vế đều
biết xấp xỉ …………….…………………………… 52
Kết luận…………………………………………………………. 56
Tài liệu tham khảo …………………… …………… … 57

4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tế có rất nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái…
dẫn đến việc giải quyết các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo
dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến sự sai
khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán vô nghiệm hoặc vô định.
Những bài toán đó gọi là những bài toán đặt không chỉnh.
Mặt khác do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm (đo
đạc, quan sát…) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên cũng không tránh
khỏi sai số. Chính vì những lí do này mà cần phải có những phương pháp giải
đặc biệt cho các bài toán sao cho khi sai số các dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm
xấp xỉ tìm được càng gần nghiệm đúng của bài toán xuất phát.
Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã
dành phần lớn thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các
phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh.
Một trong những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán
đặt không chỉnh là Tikhonov A.N. Ông cũng chính là người đưa ra phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu. Phương pháp này dùng
để giải những phương trình với toán tử phi tuyến đơn điệu trong không gian
Banach vô hạn chiều.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, nhờ sự hướng
dẫn tận tình và chu đáo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài:
“Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu”.
Đề tài này nhằm đi sâu tìm hiểu phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải
bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu trong không gian
Banach vô hạn chiều.

5
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu thuật toán hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh với toán
tử phi tuyến đơn điệu, cách chọn tham số hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ
của nghiệm hiệu chỉnh.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu trong không
gian Banach vô hạn chiều.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành mục đích và nhiệm vụ đặt ra, tôi đã phối hợp sử dụng
một số phương pháp sau:
+ Nghiên cứu lý luận và tài liệu chuyên khảo
+ Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng.

Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
để luận văn hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!








6
Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1
Không gian metric là một tập hợp X


cùng với một ánh xạ

từ tích
Descartes X

X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây:
1)
   
( , ) , 0, , 0
x y X x y x y x y
 
     
(tiên đề đồng nhất);
2)
   
( , ) , ,x y X x y x y
 
  
(tiên đề đối xứng);
3)
     
( , , ) , , ,x y z X x y x z z y
  

   
(tiên đề tam giác).
Ánh xạ

được gọi là metric trên X;
( , )x y

gọi là khoảng cách giữa 2
phần tử x và y; các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là
hệ tiên đề metric. Không gian metric được kí hiệu là M = (X,

).
Định nghĩa 1.2
Cho không gian metric M = (X,

), x
0


X và số r > 0. Ta gọi:
- Tập hợp S(x
0
;r) =
 
0
: ( , )
x X x x r

 
là hình cầu mở tâm x

0
, bán
kính r;
- Tập hợp S
’
[x
0
;r] =
 
0
: ( , )
x X x x r

 
là hình cầu đóng tâm x
0
, bán
kính r;
- Mọi hình cầu mở S(x
0
;r) nói trên gọi là lân cận của điểm x
0

X trong
không gian M.
Định nghĩa 1.3
Cho không gian metric M = (X,

) và A


X, điểm b

X
- Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm
b bao hàm trong tập A;

7
- Điểm b gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại một lân cận của điểm b
không chứa điểm nào của tập A.
Định nghĩa 1.4
Cho không gian metric M = (X,

) và A

X. Ta gọi:
- Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều là
điểm trong của A;
- Tập A gọi là đóng trong M nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm
ngoài của A;
- Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A và kí
hiệu là intA;
- Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và kí hiệu
là
A
.
Định nghĩa 1.5
Cho không gian metric M = (X,

). Dãy điểm (x
n

)

X được gọi là hội
tụ tới x

X khi n


, nếu
*
0 0
( 0) ( ) ( ) ( , )
n
n N n n x x
  
      
,
và kí hiệu:
lim
n
n
x x


hay
( )
n
x x n  
.
Định nghĩa 1.6

Cho không gian metric M = (X,

). Dãy điểm (x
n
)

X được gọi là dãy
cơ bản trong không gian M nếu
*
0 0
( 0) ( ) ( , ) ( , )
n m
n N n m n x x
  
      

Không gian metric M = (X,

) gọi là không gian metric đầy nếu mọi
dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
Định nghĩa 1.7
Cho không gian metric M = (X,

). Tập
K X
gọi là tập hợp compact
trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn phần tử của tập hợp K đều chứa dãy

8
con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là tập compact tương đối trong

không gian M nếu mọi dãy vô hạn phần tử của tập hợp K đều chứa dãy con
hội tụ tới phần tử thuộc X.
Định lý 1.1( Định lý Arsela-Ascoli)
Tập
 
;a b
M C
là compact khi và chỉ khi nó giới nội đều và liên tục
đồng bậc.
1.2. Không gian tôpô
Định nghĩa 1.8
Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ S những tập hợp con của X là một
tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X, nếu:
1) Hai tập hợp

và X đều thuộc họ S;
2) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ S thì cũng thuộc họ đó;
3) Hợp của một số bất kì (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ S thì cũng
thuộc họ đó.
Một tập X, cùng với một tôpô S trên X gọi là không gian tôpô (X,S) (hay
đơn giản là không gian tôpô X ). Các tập thuộc họ S là tập mở.
Định nghĩa 1.9
V là một lân cận của điểm x trong một không gian tôpô X nếu có một
tập hợp mở G sao cho x

G

V.
Định nghĩa 1.10
Cho không gian tôpô X. Ta nói dãy điểm (x

n
)

X hội tụ tới điểm x


X và viết
( )
n
x x n  
nếu với mọi lân cận của V cho trước của x đều
tồn tại n
0
sao cho với mọi
0
n n
ta có


n
x V
.
Định nghĩa 1.11
Cho không gian tôpô X. Phần tử x được gọi là điểm giới hạn của tập M

X, nếu mỗi lân cận bất kì của x chứa ít nhất một phần tử của tập M khác x.
Tập tất cả các điểm giới hạn của M được kí hiệu là M
’
.

9
Tập
 
'
M M M 
được gọi là bao đóng của M.
1.3. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.12
Không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính X trên trường P (P
là trường số thực R hoặc phức C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R,
kí hiệu
.
(đọc là chuẩn), thoả mãn các tiên đề sau:
1)
( ) 0,
x X x
  


 xx 0
(

là kí hiệu phần tử không của X);
2)
( ) ( ) . ;x X P x x
  
    

3)
( , X) x y

x y x y
    
( bất đẳng thức tam giác).
Số
x
được gọi là chuẩn của véc tơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định lí 1.2
Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véc tơ bất kì x và y

X ta
đặt d(x,y) =
x y
.
Khi đó d là một metric trên X. Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều
là không gian metric.
Định nghĩa 1.13
Dãy điểm (x
n
) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x


X, nếu
n
lim
xx
n

= 0, và kí hiệu là

n
lim
x
n
= x hay
( )
n
x x n
  
.
Định nghĩa 1.14
Dãy điểm (x
n
) của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu
mn,
lim
mn
xx 
= 0.
Định nghĩa 1.15

10
Cho không gian định chuẩn X trên trường P (P là trường số thực R
hoặc phức C). Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X
được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X
và kí hiệu là X
*
.
Không gian liên hợp của X
*

gọi là không gian liên hợp thứ hai của
không gian X và kí hiệu là X
**
.
Không gian X gọi là không gian phản xạ nếu X = X
**
.
Định nghĩa 1.16
Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y gọi là toán tử hoàn toàn liên tục (hoặc toán tử compact), nếu
toán tử A ánh xạ tập hợp bị chặn bất kì trong không gian X thành tập hợp
compact tương đối trong không gian Y.
Trong không gian vô hạn chiều nếu A là một toán tử hoàn toàn liên tục
thì A
-1
không liên tục. Thật vậy nếu A
-1
liên tục thì I = A
-1
A là toán tử hoàn
toàn liên tục. Lúc đó hình cầu đơn vị phải là một tập compact tương đối. Điều
này vô lí trong không gian vô hạn chiều.
Bổ đề 1.1 (Bổ đề Tikhonov)
Cho A: X

Y đưa tập X
0


X lên Y

0
= A(X
0
). Nếu A là một song ánh,
liên tục và X
0
là một tập compact của X, thì A
-1
cũng là một ánh xạ liên tục từ
Y
0
lên X
0
.
Chứng minh:
Kí hiệu f = A(X) và x = x(f) = A
-1
(f) là các ánh xạ thuận và nghịch của
ánh xạ A từ X
0
vào Y
0
.
Lấy một phần tử f
0
bất kì thuộc Y
0
. Ta chứng minh ánh xạ x(f) liên tục
tại f = f
0

. Thật vậy giả sử x(f) không liên tục tại f = f
0
. Khi đó, tồn tại một số
1

0


sao cho với mọi
0


tìm được một phần tử
f

của Y
0
với

11
0
( , )
Y
f f
 


và
0 1
( , )

X
x x
 


, ở đây
( )x x f



, x
0
= x(f
0
) và
x X

,


0

x X
.
Lấy một dãy {
n

} gồm các số dương dần tới 0, khi n
 
. Với mỗi

n


tìm được một phần tử
n
f


0
Y
sao cho
0
( , )
Y n n
f f
 


và
0 1
( , )
X n
x x
 


, ở
đây
( )
n n

x x f



. Ta có dãy {
n
f

} hội tụ đến
0
f
. Do {
n
x

} thuộc tập compact X
0

cho nên có thể lấy ra được dãy con {
k
n
x

} hội tụ trong X đến một phần tử
0
x


0
X

, ở đây
0
x



x
0
và
0 1
( , )
k
X n
x x
 


. Điều đó chứng tỏ rằng dãy {
k
n
f

=
A(
k
n
x

)} là dãy con của dãy {
n

f

} hội tụ đến
0
f

= A(
0
x

).
Như vậy
0
f

= A(
0
x

) =
0 0
( )f A x
. Do đó, A(
0
x

) = A(x
0
). Do A là song
ánh nên ta có

0
x

= x
0
. Điều đó mâu thuẫn với giả thiết trên.
Bổ đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.17
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và A là một toán tử tuyến tính
liên tục từ X vào Y. Khi đó
 
 
*
,
Y f x Ax
 
  

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Cho nên ta có thể viết
*
f X
.
Như vậy với mỗi phần tử
*
Y


qua A ta xác định được một phần tử thuộc
X
*

. Nói cách khác, ta có một toán tử kí hiệu A
*
tác động từ Y
*
vào X
*
. A
*
gọi là
toán tử liên hợp của A.
Do f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục, cho nên có thể viết f(x) =
,f x
, ở đây
*
f X
. Như vậy,
*
, ,A x Ax
 

. Ngoài ra A
*
cũng là một
toán tử tuyến tính, liên tục và
*
A A
.
Nếu X là không gian Banach phản xạ và A = A
*
, thì ta nói A là một toán

tử tự liên hợp.

12
Định nghĩa 1.18
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, f là ánh xạ đi từ X vào Y,
0

x X
,
h X
,
R


.
Nếu tồn tại giới hạn
0 0
0
( ) ( )
lim
f x h f x




 
, ta gọi giới hạn đó là biến phân
của hàm f tại x
0
và kí hiệu là

 
0
,f x h

.
0 0
0
( ) ( )
lim
f x h f x




 
=
 
0
,f x h

.
Giới hạn trên còn gọi là đạo hàm theo hướng h.
Định nghĩa 1.19
Nếu biến phân
 
0
,f x h

là một ánh xạ tuyến tính liên tục theo h thì ta
nói ánh xạ f có đạo hàm Gato (đạo hàm yếu) tại x

0
.
Định nghĩa 1.20
Cho X, Y là 2 không gian định chuẩn, f là ánh xạ đi từ X vào Y,
0
x X
,
h X
.
Nếu f(
0
x h


) – f(x
0
) được biểu diễn dưới dạng
f(
0
x h


) – f(x
0
) = A[h] +
0
( , )x h


trong đó A là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y và

 
 
0
, 0
x h h


khi
0
h


thì ta nói ánh xạ f khả vi theo nghĩa Fréchet (khả vi mạnh) tại x
0
và A[h] gọi
là vi phân Fréchet của f tại x
0
, A gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x
0
.
1.4. Không gian Banach
Định nghĩa 1.21
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.22

13
Cho X là không gian Banach. Ánh xạ đối ngẫu của X kí hiệu là U
s
, s

2

được xác định như sau
U
s
(x) = { x
*


X
*
:
*
,x
x
=
1
*


s
s
x x x


}.
Với s = 2 ta kí hiệu ánh xạ đối ngẫu là U và gọi là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của không gian X.
Định nghĩa 1.23
Cho X là không gian Banach, một dãy các phần tử {x

n
} của X gọi là hội
tụ mạnh đến một phần tử x
0
khi n


, nếu
lim
n

n
x x
= 0 (Hội tụ theo chuẩn
gọi là hội tụ mạnh).
Định nghĩa 1.24
Cho X là không gian Banach, một dãy các phần tử {x
n
} của X gọi là hội
tụ yếu đến x
0
, nếu
*
f X 
có
0
( ) ( )
n
f x f x
, khi n

 
.
Ta luôn có từ hội tụ mạnh của một dãy suy ra hội tụ yếu. Điều ngược
lại không đúng.
Định nghĩa 1.25
Không gian Banach X được gọi là lồi đều, nếu
( )
X
 
> 0,
0

 
, ở
đây
( )
X
 
=
inf 1 , 1:
2
x y
x y x y




 





    

là môđun lồi của không gian X.
Định nghĩa 1.26
Không gian Banach X được gọi là trơn đều, nếu
 
0
lim
X

 


= 0, ở đây
 
sup 1, 1:
2
x y
x y
X x y
  
 


 




 
   

là môđun trơn của X,
( )X
 
là lồi và tăng.

14
Định nghĩa 1.27
Một hàm thực
 
x

trên một không gian tuyến tính X được gọi là dưới
tuyến tính, nếu
1)
     
1 2 1 2 1 2

, , x x x x x x X
  
    
;
2)
   

, , 0
x x x X
   

    
.
Định nghĩa 1.28
Ta nói một phiếm hàm dưới tuyến tính
 
x

(trong không gian thực
hay phức) là một sơ chuẩn nếu
   

, ,
x x x X
    
   
(thực hay
phức tùy theo ta đang xét không gian thực hay phức).
Định lí 1.3 (Định lí Hahn Banach)
Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trong một không gian con
M của một không gian tuyến tính thực X. Nếu có một hàm dưới tuyến tính


xác định trong X, sao cho

 
x M 
f
   

x x



thì phải có một phiếm hàm tuyến tính F(x) xác định trong toàn thể X, sao cho
1) F là khuếch của f, nghĩa là

 
x M 
F
   


x f x
,
2)
 
x X 

   

F x x


.
Chứng minh
Cho g
1
, g
2

là hai phiếm hàm tuyến tính xác định trên hai không gian
con N
1
, N
2
của X.
Ta sẽ ký hiệu g
1

g
2
nếu:
1 2
N N
, g
2
(x) = g
1
(x) với mọi x

N
1
, và g
2
(x)
 

x



với mọi x

N
2
.
Ta sẽ chứng minh sự tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F xác định trên toàn X
và sao cho f

F.

15
Gọi S là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính g sao cho f

g. Tập đó
không rỗng (vì f

S) và được sắp một phần bởi liên hệ

. Nếu P là một tập
con được sắp tuyến tính của S thì cận trên của nó là phiếm hàm có miền xác
định bằng hợp của tất cả các miền xác định của các phiếm hàm g

P và có
giá trị trùng với giá trị của từng phiếm hàm g ấy trên miền xác định của g.
Vậy theo tiền đề Zorn, S phải có một phần tử tối đại F. Ta hãy chứng minh
rằng miền xác định của F là toàn không gian X: khi ấy F sẽ đạt yêu cầu của ta.
Giả sử, trái lại, rằng có một phần tử x
0



X không thuộc miền xác định
L của F. Ta xét tập lồi C = {x + yx
0
: x

L, y
R
}, và đặt p =

, q =

.
Với mọi z = x + yx
0


C ta có
   


x F x


, nên
 
0

z x yx C   

 

sup ( ) 0.
p t q
ty F x z

 
  

Nếu y = 0 thì

(x)

F(x), còn nếu y

0 thì bất đẳng thức trên cũng đúng do
, p q   
). Mà h(z) = - F(x) +

(z) hiển nhiên là hàm lồi, vậy theo bổ
đề 1, phải có một số thực t nghiệm đúng
 
0

z x yx C   
ty - F(x) +

(z)

0.
Đặt F
1

(z) = F(x) - ty với mọi z = x + yx
0
(y

R) ta sẽ có một phiếm hàm
tuyến tính F
1
xác định trên không gian L
1
sinh bởi hợp của L và x
0
, và nghiệm
đúng
 
1
z L 
F
1
 
z

 

z


. Như thế F
1



F và F

F
1
trái với tính tối
đại của F. Vậy phiếm hàm F được xác định trên toàn X.
Trong không gian tuyến tính phức, định lý Hahn-Banach có biến thể
như sau:
Định lí 1.4 (Định lí Hahn Banach có biến thể)
Cho
 
x

là một sơ chuẩn trong không gian tuyến tính phức X, f(x) là
một phiếm hàm tuyến tính xác định trong một không gian con M của X, và
thỏa mãn điều kiện:
 
x M 

 

( )
f x x


.

16
Khi ấy có một phiếm hàm tuyến tính F(x) xác định trên toàn bộ X sao cho
1) F là khuếch của f, nghĩa là

 
x M 
F
   


x f x
,
2)
 
x X 

 

( )
F x x


.
Chứng minh
Để ý rằng nếu trong tập các phần tử của một không gian tuyến tính
phức ta đưa vào phép nhân vectơ với số thực thì ta được một không gian
tuyến tính thực. Cho X
R
và M
R
là các không gian tuyến tính thực mà ta thu
được từ X, M theo cách đó. Nếu u(x), v(x) là các phần thực và ảo của f(x), thì
f(ix) = if(x) = iu(x) - v(x), nên v(x) = - u(ix) có nghĩa là f(x) = u(x) - iu(ix). Dĩ

nhiên u(x) là phiếm hàm tuyến tính thực trên M
R
và
 

( ) ( ) ,
R
u x f x x x M

   
. Vậy theo định lý trước, u(x) có thể
khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính thực U(x) trên toàn X
R
, sao cho U(x)
 

( x x

  
X
R
).
Đặt F(x) = U(x) - iU(ix), ta được một phiếm hàm tuyến tính phức trên X, thoả
mãn các điều kiện đòi hỏi. Thật vậy, với x

M ta có
F(x) = u(x) - iu(ix) = f(x).
Vả lại, đặt F(x) =
i
re



ta có
   
 


i i
F x e F x F e x
 
 
và biểu thức
 
i
F e x


thực và không âm, cho nên
 
   
   


i i i
F x U e x e x e x x
  
  
   
.
Hệ quả 1

Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một không gian con
M và của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch thành một
phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên toàn thể X, mà có
.F f

Thật vậy, với mọi x
M
ta có

( )
f x f x
, nhưng rõ ràng hàm
 


x f x


là một sơ chuẩn, cho nên f có thể khuếch thành F sao cho

17
( ) ( )
x X F x f x  
. Do đó

F f
. Mặt khác, vì F(x) = f(x) với
mọi x
M
nên

F f
. Vậy
F f

Hệ quả 2
Với mỗi phần tử x
0
0
của một không gian định chuẩn X đều có một
phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f(x
0
) =
0
x
và
1.
f


Thật vậy f(
0
x

) =
0
x

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định
trên không gian con tạo nên bởi tất cả các véc tơ có dạng

0
x

, và
1.
f

Do
đó áp dụng hệ quả 1, ta suy ra hệ quả 2.

1.5. Một số ví dụ về không gian định chuẩn
1) Không gian
n
p
R
với x =
 
1 2
, , ,
n
n p
x x x R
và
1
1
n
p
n
p
p

i
R
i
x x

 
 
 


,
p R
,
1 p  
.
Khi p = 2, ta thường kí hiệu R
n
và gọi là không gian Euclid n chiều.
2) Không gian các dãy số l
p
với x =
 
1 2
, , , ,
n p
x x x l
và
1
1

p
p
p
i
l
i
x x


 
 
 
  

.
3) Không gian các hàm L
p
[a;b], trong đó mỗi phần tử là các hàm đo được x(t)
có x
p
(t) khả tích với
 
1

b
p
p
p
a

L
x x t dt
 
 
 
 


.
4) Không gian các hàm x(t) liên tục trên [a;b], kí hiệu là C
[a;b]
và
 
 
a;b
C
;

max ( )
t a b
x x t


.




18

5) Không gian Sobolev
Cho

là một miền giới nội trong R
n
và
( )
l
x C
 
là một hàm khả vi
liên tục đến cấp l (l
N
). Không gian Sobolev
( )
l
p
W

là một không gian tạo
bởi
( )
l
C

được làm đầy đủ bởi chuẩn sau:
 
 
1

, ( ), 1.
p
p
p
l
l
p
l
L
w
x D x x C p




 
 

 
 
   


Dễ thấy các không gian nói trên cũng là các không gian Banach.

19
Chương 2
TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC TÍNH CHẤT

2.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu
Định nghĩa 2.1
Cho X là một không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu của
nó là X
*
. Cả hai có chuẩn đều kí hiệu là
.
và giá trị của một phiếm hàm tuyến
tính liên tục x
*

*
X
tại điểm x
X

được kí hiệu bởi
*
,x x
.
Định nghĩa 2.2
Cho toán tử A với miền xác định D(A)
X
(thông thường ta coi D(A)

X, nếu không nói gì thêm) và miền ảnh R(A) nằm trong X
*
.
Toán tử A được gọi là đơn điệu, nếu

( ) ( ), 0, , ( )A x A y x y x y D A    
.
A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi x = y.
A được gọi là d- đơn điệu, nếu tồn tại một hàm không âm d(t), không giảm
với t

0, d(0) = 0 và thoả mãn tính chất
   
 
 
( ) ( ), , , ( ) A x A y x y d x d y x y x y D A
      
.
A được gọi là đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không âm
( )t


, không giảm
với t

0,
(0) 0


và
( ) ( ), ( ), , ( )A x A y x y x y x y D A

     
.
Nếu
( )t

= c
A
t
2
, c
A
là một hằng số dương, thì toán tử A được gọi là một toán
tử đơn điệu mạnh.
Toán tử A được gọi là toán tử nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử hoàn toàn
liên tục C sao cho A + C là một toán tử đơn điệu.
A được gọi là toán tử bức, nếu

20

( ),

lim
x
A x x
x

 
.
Nhận xét 2.1
Ánh xạ đối ngẫu là một toán tử đơn điệu. Hơn thế nó còn là một toán tử
đơn điệu chặt và bức.
Trong không gian L
p
(

), U
s
còn có tính chất đơn điệu đều và liên tục theo
Holder, vì


( ) ( ), , 0
s
s s
U U
U x U y x y m x y m
    
(2.1)


( ) ( ) ( ) , 0 1

s s
U x U y c R x y


    
(2.2)
Ở đây c(R) là một hàm dương và đơn điệu tăng theo R = max
 
,x y
.
Định nghĩa 2.3
Phiếm hàm
( )x

với x
X
được gọi là lồi, nếu
1
( ) ( ) ( )
2 2
x y
x y
  
 
 

 
; x,
Xy
.

Phiếm hàm
( )x

với x
X
được gọi là lồi đều, nếu tồn tại một hàm
( )t

với
tính chất ở trên sao cho
1
( ) ( ) ( )
2 2
x y
x y
  
 
 

 
-
1
( )
4
x y


,
, x y X 
.

Định nghĩa 2.4
Dưới vi phân của hàm lồi

được kí hiệu bởi


và được định nghĩa


(x) =
 
* * *
: ( ) ( ) , , x X y x x y x y X
 
     
.
Nếu

là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach phản xạ X
thì


là một toán tử đơn điệu đều.
Nếu D(

)

X thì



còn là một toán tử h-liên tục tại mọi điểm x
X
, tức
là
0
lim ( ) ( ), , X
t
x ty x x y
 

     
.

21
Đây cũng chính là khái niệm về tính h-liên tục (hemi-liên tục, liên tục theo
mọi tia) cho một toán tử A bất kì.
Định nghĩa 2.5
Phiếm hàm
( )x

xác định trên X được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại
điểm x
0
, nếu
 
:
n n
x x

 

0 0
( ) liminf
n
x x x
 
 
.
Phiếm hàm
( )x

được gọi là nửa liên tục dưới yếu, nếu nó nửa liên tục dưới
yếu tại mọi điểm trong miền xác định.
2.2. Các tính chất của toán tử đơn điệu
Bổ đề 2.1 (Bổ đề Minty)
Cho X là không gian Banach thực,
*
f X
và A là một toán tử h-liên tục
từ X vào X
*
. Khi đó, nếu có
0
( ) , 0, ,A x f x x x X    

thì A(x
0
) = f.
Chứng minh
Giả sử A(x
0

)

f. Khi đó theo định nghĩa về chuẩn tồn tại một véc tơ z
khác véc tơ không của X sao cho

 
 
0 0

1
, 0
2
A x f z z A x f
   
.
Mặt khác, do A là h-liên tục với t khá nhỏ ta có

     
0 0 0
1
,
3
A x tz A x z A x f
z
   
. (2.3)
Nhưng từ điều kiện của bổ đề này ta có thể viết

 
0 0 0

( ) , 0
A x tz f x tz x
    

hay
0 0 0

( ) ( ), ( ) , 0
A x tz A x tz A x f tz
      

tức là
0 0 0
( ) ( ), ( ) , .A x tz A x z A x f z    

Do đó,

22
   
0 0 0
1
, . ( ) 0
2
A x tz A x z z A x f

   
.
Bất đẳng thức này khác với (2.3). Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.2

Cho D là một tập mở, chứa phần tử 0 và giới nội trong không gian
Euclid E
n
và cho A là một ánh xạ liên tục đưa bao đóng
D
vào E
n
. Khi đó,
nếu

( ), 0, A x x x  
Γ, ở đây Γ là biên của D, thì phương trình A(x) = 0
có ít nhất một nghiệm x
0


D.
Chứng minh
Ta có thể viết
A(x) = (a
1
(x),a
2
(x), ,a
n
(x))
và x = (x
1
, x
2

, x
n
). Xét ánh xạ
A
t
(x) = (a
t1
(x),a
t2
(x), ,a
tn
(x)),
ở đây a
ti
(x) = tx
i
+ (1 - t)a
i
(x), 0
1, t x D  
.
Vì trên Γ ta có
( ),
t
A x x t
2
1
(1 ) ( ), 0,
n
i

i
x t A x x

  


nên

( ) 0
t
A x

với mọi x

Γ và t

[0;1]. Do đó, bậc của ánh xạ A
t
(x) đối
với 0, tức là d(A
t
(x),D,0), bất biến với mọi t

[0;1] . Nhưng, d(A
1
(x),D,0) = 1,
cho nên
d(A(x),D,0)

d(A

0
(x),D,0) = 1
Theo định lí về bậc tôpô, tồn tại nghiệm của phương trình A(x) = 0 và
nghiệm x
0
này thuộc D.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.3

23
Cho A là một ánh xạ đơn điệu và h-liên tục từ không gian X vào không
gian X
*
thoả mãn các điều kiện: tồn tại hằng số M > 0 sao cho, nếu

x M
,
thì

( ), 0
A x x

.
Khi đó họ tất cả các tập E
x
(y) với mọi x

X có tâm.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh rằng mỗi họ con E

x1
(y), E
x2
(y), , E
xn
(y), x
i


x
k
, i, k

n có giao không rỗng. Ta xét một tổ hợp tuyến tính

1 1 2 2

n n
z x x x
  
   
, với mọi véc tơ số
1 2
( , , , )
n
   

.
Véc tơ này thuộc không gian R
n

. Cũng dễ dàng nhận thấy, tồn tại một số
dương r > 0 sao cho khi

= r thì
z r
. Xét ánh xạ liên tục
1 2
( ( (
( ) ( ), ), , ))
n
Q Q Q Q
   

;
( ) ( ),
i i
Q A z x



đưa không gian R
n
vào không gian R
n
. Ta có
( ), ( ),Q A z z
 

.
Vì vậy trên biên của hình cầu

r


ta có
( ), 0
Q
 

. Theo giả thiết của bổ
đề trên, tồn tại
0 0 0
0 1 2
( , , , )
n
   

sao cho Q(
0

) = 0. Suy ra
0 0 0 0
( ), ( ), 0
A z z Q
 
 

0 0
( ), ( ) 0, 1, 2, , ,
i i
A z x Q i n


  

ở đây z
0
=
0 0 0
1 1 2 2

n n
x x x
  
  
. Để ý rằng với cách chọn véc tơ
1 2
, , ,
n
x x x

bất kì (n > 1) có thể tìm được số dương r > 0 sao cho
0
z r
, ở đây r cũng là
một số dương cố định và r < 2M. Vì A là một ánh xạ đơn điệu, cho nên
   
0 0
, 0, 1,2, , .
i i
A x A z x z i n   

Do đó, ta có

0 0 0 0 0
0 0
( ), ( ), ( ), ( ),
( ) ( ), 0,
i i i i i
i i
A x x z A x x z A x x A z z
A x A z x z
    
   


24
có nghĩa là các tập
i
x
E
(y) có điểm chung y = z
0


r
D
.
Bổ đề được chứng minh.
Định lí 2.1
Cho A là một toán tử đơn điệu và h-liên tục từ không gian Banach phản
xạ X vào X

*
thoả mãn điều kiện: tồn tại một số dương M sao cho với mọi véc
tơ x

X :

x M
, thì
( ), 0.
A x x


Khi đó, phương trình A(x) = 0 có ít nhất một nghiệm .
Chứng minh
Theo bổ đề trên, tồn tại một số số dương r > 0 sao cho
E
x
(y) = {y
: ( ), 0
r
D A x x y
  
},
ở đây
 
X: y
r
D y r  
và x là một véc tơ bất kì thuộc X, tạo thành một họ
các tập con đóng yếu có tâm của D

r
. Coi D
r
như một không gian tôpô. Khi
đó, họ các tập con E
x
(y) có giao khác rỗng. Có nghĩa là tồn tại y =
0


r
x D
sao
cho
0
( ), 0, .A x x x x X   

Từ bổ đề trên suy ra A(x
0
) = 0.
Định lí được chứng minh.
Định lí 2.2
Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ không gian Banach
phản xạ X vào X
*
. Khi đó A là tràn ánh, tức là phương trình A(x) = f có
nghiệm với mọi
*
f X
.

Chứng minh
Do A là bức, cho nên tồn tại một hàm thực không âm
( ): ( )t t
 
 

khi t
 
và

25

( ), ( ).A x x x x



Xét ánh xạ a
f
(x) = A(x) – f, ở đây f
*
X
là một phần tử bất kỳ. Khi đó, a
f
cũng
là một ánh xạ liên tục và đơn điệu. Hơn thế nữa,

( ), ( ), , ( ( ) ).
f
a x x A x x f x x x f


   

Từ đó suy ra tồn tại một số dương M
f
sao cho với


f
x M
, thì
( ), 0
f
a x x

. Vì vậy, tồn tại phần tử x
0
sao cho A(x
0
) = f.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 2.6
Xét bài toán cực tiểu phiếm hàm f(x) trên không gian Banach X: Tìm
phần tử
0

x X
sao cho
0
( ) inf ( )
x X

f x f x


.
Dãy {x
n
} được gọi là một dãy cực tiểu hoá cho bài toán cực tiểu trên (của
phiếm hàm f), nếu
0
lim ( ) ( )
n
n
f x f x


.
Điều này tương đương với
0 0
0, ( ): ( ), ( ) ( ) ( ) .
n
N n N f x f x f x
    
        

2.3. Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh
Việc tìm nghiệm x của bất kỳ một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ
liệu ban đầu f, có nghĩa là x = R(f).
Ta coi sẽ nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian
X và Y với các độ đo tương ứng là
X


(x
1
,x
2
) và
Y

(f
1
,f
2
); x
1
, x
2


X; f
1
, f
2

Y.
Định nghĩa 2.7
Bài toán tìm nghiệm x = R(f) được gọi là ổn định trên cặp không gian
( X,Y), nếu