Véctơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến Compact

 1
BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




TRƯƠNG THỊ THÌN




VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA MỘT
LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN COMPACT



Chuyên ngành : To¸n Gi¶i tÝch
Mã số : 604601




TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC






HÀNỘI,2010

2
Mở đầu


1. Lý do chọn đề tài
Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử
phi tuyến: Toán tử lõm

1956
. Sau đó giáo s tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin
mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến
0
u
lõm.
Năm 1987 PGS - TS Nguyễn Phụ Hy phát triển các kết quả của các nhà
toán học kể trên cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong
đó không yêu cầu toán tử có tính chất
0
u
đo đợc. Trong bài báo viết cho
tạp chí toán học năm
1987,
PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các
bài toán:
0 Ax tx

Trong đó:
A
là toán tử của không gian định chuẩn
,X x

l phần tử phải
tìm,
t
là tham số thực hay phức.
Nh chúng ta đã biết một trong các vấn đề cơ bản đối với bài toán

1
là
nghiên cứu về phổ, của toán tử
A
nói chung nghiên cứu về véctơ riêng của
toán tử
A
nói riêng và điều kiện tồn tại véctơ riêng của toán tử
A
.
Khi
A
là toán tử tuyến tính đã có rất nhiều công trình nghiên cứu của
nhiều nhà khoa học về vectơ riêng của
A
. Tuy nhiên cha có nhiều công trình
nghiên cứu cho lý thuyết toán tử, điều kiện tồn tại của véctơ riêng của
A
khi
A
là toán tử phi tuyến. Trong bài báo viết có tạp chí toán học số
2
năm
1987

của PGS - TS Nguyễn Phụ Hy tác giả đã trình bày về những kết quả của véctơ
dơng và điều kiện tồn tại của véctơ dơng trên lớp các toán tử lõm chính quy.
3
Từ bài báo đó có thể mở rộng hớng nghiên cứu xem xét về lý thuyết véctơ
dơng cho một lớp khác đó là lớp các toán tử phi tuyến compact. Vấn đề đặt
ra là trên lớp các toán tử phi tuyến compact thì véctơ dơng có những tính chất
gì và điều kiện về sự tồn tại của toán tử compact.
Đề tài "Vectơ riêng dơng của một lớp toán tử phi tuyến compact"
nhằm mục đích tìm hiểu về tính chất, đặc trng, điều kiện tồn tại của véctơ
dơng trên lớp các toán tử phi tuyến compact. Đề tài đợc hoàn thành sẽ là
một câu trả lời cụ thể cho câu hỏi vừa nêu ra ở trên.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài luận văn mở rộng một số kết quả của các lớp toán tử
0
u
lõm cho
một lớp toán tử mới: Toán tử lõm chính quy compact, trong đó không yêu cầu
toán tử có tính chất
0
u
đo đợc.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu một số tính chất về véctơ riêng dơng và
sự tồn tại về vectơ dơng của toán tử lõm chính quy compact.
4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu trên lớp các toán tử lõm chính quy, các toán
tử phi tuyến compact.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phơng pháp nghiên cứu giải tích hiện đại, lý thuyết toán tử và

các bất biến.
6. Giả thuyết khoa học (hay các đóng góp mới)
Nếu giải quyết đợc vấn đề đã nêu ra trong mục lý do chọn đề tài thì đây
có thể sẽ là đóng góp mới về lý thuyết toán tử dựa trên cơ sở các bất biến.
4
Nội dung

Chơng 1
kiến thức chuẩn bị

1.1 Khái niệm về không gian định chuẩn thực
1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) mọi không gian tuyến tính
X
trên trờng số
P
(trờng số thực
hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ
X
vào tập hợp số thực
R
, ký hiệu là


và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1)

0, 0x X x x x
(ký hiệu phần tử không là

);
2)


P
;x X x x

3)


, .x y X x y x y

Các hệ tiên đề 1) 2) 3) trên đợc gọi là hệ tiên đề về chuẩn, số
x
gọi
là chuẩn của véctơ
x
.
Định nghĩa 1.2.
Dãy điểm

n
x
của không gian định chuẩn
X
gọi là hội tụ
tới

x
thuộc

,X
nếu
lim 0,
n
n
x x


ký hiệu
lim
n
n
x x


hay
( )
n
x x n

.
Định nghĩa 1.3. Trong không gian định chuẩn
X
dãy điểm

n
x

gọi là dãy
cơ bản, nếu
,
lim 0.


n m
m n
x x

5
Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn
X
gọi là không gian Banach, nếu
mọi dãy cơ bản trong
X
đều hội tụ (trong không gian
X
).
Định nghĩa 1.5. Không gian Banach
X
trên trờng
P R
gọi là không gian
Banach thực.
1.1.2 Một số không gian Banach thực
Ví dụ 1.1. Không gian tuyến tính thực
n
R
với mỗi

1
, ,
n
n
x x x
R
ta đặt

2 2
1
.
n
x x x


1.1

1) Dễ dàng kiểm tra công thức

1.1
xác định một chuẩn trên
.
n
R

2)
n
R

cùng với chuẩn

1.1
là không gian Banach. Thật vậy: Giả sử




1
k n
k
x
R
là dãy cơ bản bất kỳ trong
n
R
ta có

0, 0 :N






*
1
, : .
n
k s

i i
i
k s x xN


1.2



, 1, .
k s
i
x x i n


1.3

Hệ thức

1.2
chứng tỏ


1
k
i
k
x
là dãy Cauchy trong
R

với mỗi
1, .i n




0 0
: lim với 1, .
k
i i i
k
x x x i n
R


1.4

Đặt


0 0 0
1 2
, , , .
n
x x x x

Từ

1.4
và

1.2
suy ra

2
0
1
.
n
k
i i
i
x x





Do đó
lim
k
k
x x


trong
.
n
Rn

Vậy,
n
Rn
cùng với chuẩn

1.1
là không gian Banach.
Ví dụ 1.2. Trong không gian tuyến tính thực
[ , ]a b
C
với mỗi

x x t
ta đặt




,
max .
t a b
x x t


1.5

6
1) Dễ dàng kiểm tra đợc công thức

1.5

là một chuẩn trên
[ , ]
.
a b
C

2)
[ , ]a b
C
cùng với chuẩn

1.5
là không gian Banach. Thật vậy: Giả sử



1
n
k
x t
là dãy cơ bản bất kỳ trong
[ , ]a b
C
ta có


0 0 :
N

,
, : max .
n m
t a b
m n N x t x t







, , .
n m
x t x t t a b m n N


1.6

Hệ thức

1.6
chứng tỏ

1
n
k
x t
là dãy cơ bản với mỗi
t
cố định tùy ý
thuộc

, .a b

Nên với mỗi


,t a b
tồn tại


lim .
n
n
x t x t
Ta nhận đợc hàm số

x t
xác định trên

, .a b
Vì hệ thức

1.6
không phụ thuộc


,t a b
, cho
m
ta đợc





, .
n
x t x t n N t a b


1.7

Hệ thức

1.7
chứng tỏ


n
x t
hội tụ đều tới

x t
trên

,a b
, nên

x t
liên tục trên

,a b
.
Suy ra





,
max .
n
t a b
x t x t

Vậy,
[ , ]a b
C
là một không gian Banach thực với chuẩn

1.5

.
Ví dụ 1.3. Cho không gian tuyến tính thực
0
c
gồm tất cả dãy số thực hội tụ
về
0
, với mỗi dãy

1
n
n
x x




thuộc
0
c

ta đặt




n 1
sup .
n
x x

1.8


Dễ dàng kiểm tra công thức

1.8
cho một chuẩn trên
0
c
.
Ta chứng minh không gian
0
c

là không gian Banach.
7
Thật vậy, giả sử





1
k k
n
k
x x

là dãy cơ bản bất kỳ trong

0
c
, theo định
nghĩa

dãy cơ bản,




*
0 0
1
0 , : sup .
2
k p k p
n n
n
k k p k x x x x




N

Suy ra

*
0 0
0 , : 1,2,3, .
2
k p
n n
k k p k x x n


N


1.9

Theo

tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho dãy số thực, với mỗi
1, 2, 3, n
thì dãy

1
k
n
k
x



hội tụ tới

n
x
R
.
Vì hệ thức

1.9
không phụ thuộc
,n
chuyển qua giới hạn
p
trong

1.9
ta có



*
0 0
0 : 1,2,3, . 1.10
2
k
n n
k k k x x n


N

Đặt

,
n
x x
ta chứng minh dãy


0
.
n
x x c c

Thật vậy, nhờ hệ thức

1.10
với

1 0
k k
ta có

1 1 1
1, 2, 3,
2
k k k
n n n n n
x x x x x n


và

1
lim 0, 0
k
n
n
x
nhỏ
tùy ý, nên



0
lim 0 hay .
n n
n
x x x c c
Từ

1.10
ta có



1
sup ,
2
k

n n
n
x x

tức là





1
k
k
x x k
trong không gian
0
.c

Vậy không gian
0
c
là không gian Banach thực.
1.2 Một số định lí về giá trị riêng của toán tử tuyến tính compact trong
không gian định chuẩn thực
8
1.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính thực
X
và
.Y

ánh xạ
A
từ
không gian
X
và không gian
Y
gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ
A
thỏa mãn các
điều kiện sau:


1 2 1 2 1 2

, ,
( ) .
A x x Ax Ax x x X
A x Ax x X


R

Nhận xét. Ta thờng gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi
Y P
thì
toán tử tuyến tính
A
thờng gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian định chuẩn thực

X
và
.Y
Toán tử tuyến
tính
A
từ không gian
X
và không gian
Y
gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số
0C
sao cho

:
x X Ax C x
.
Định nghĩa 1.8. Cho toán tử tuyến tính bị chặn
A
từ không gian định chuẩn
thực
X
vào không gian định chuẩn thực
.Y
Ta gọi chuẩn của toán tử
A
, ký
hiệu
A
, là số

inf 0 : .C Ax C x x X


Định lí 1.1. Cho
A
là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn thực
X

vào không gian định chuẩn thực
.Y
Ba mệnh đề sau tơng đơng:
1) Toán tử
A
liên tục;
2) Toán tử
A
liên tục tại phần tử
0
x
nào đó thuộc
;X

3) Toán tử
A
bị chặn.
Chứng minh.
1) 2)
Giả sử toán tử

A
liên tục. Theo định nghĩa, toán tử
A
liên tục tại mỗi
điểm
x

thuộc
,X
do đó toán tử
A
liên tục tại điểm
0
x
thuộc
.X

2) 3)
Giả sử toán tử
A
liên tục tại điểm
0
x
thuộc
,X
nhng toán tử
A

9
không bị chặn. Khi đó

*
:
n n n
n x X Ax n x
N
. Hiển nhiên


n
x
, đặt

n
n
n
x
y
n x

thì


1
0
n
y n
n
, nghĩa là

n
y


khi
n
suy ra


0 0n
y x x n
.
Theo giả thiết, ta có


0 0
0 0
n n
A y x Ax n Ay n
.
Nhng





1
1
n
n n

n
x
Ay A Ax
n x n x
. Điều này mâu thuẫn với chứng
minh trên. Vì vậy toán tử
A
liên tục tại điểm
0
x
thuộc
X
thì bị chặn.

3) 1)
Giả sử toán tử
A
bị chặn. Theo định nghĩa, tồn tại
0C
sao cho


.Ax C x x X


1.11

Lấy một điểm bất kỳ
x
thuộc

X
và dãy điểm tùy ý

n
x
trong
X
hội tụ tới
.x
Nhờ hệ thức

1.11
ta có

0 .
n n n
Ax Ax A x x C x x n

Do đó
A
liên tục tại
x
. Vậy
A
liên tục.


Định nghĩa 1.9. Phần tử
0x
gọi là véctơ riêng của toán tử tuyến tính bị

chặn
A
tác dụng trong không gian thực
X
nếu tồn tại

R
sao cho
.Ax x



Khi đó

gọi là giá trị riêng tơng ứng với véctơ riêng
x
của
.A

Định nghĩa 1.10. Số

R
gọi là giá trị chính quy của toán tử
A
nếu tồn tại
toán tử ngợc
R

của toán tử
A I

là toán tử bị chặn trên toàn không gian
,X
trong đó
I
là toán tử đồng nhất của toán tử
.A

Số

gọi là giá trị phổ của
A
nếu

không là giá trị chính quy .
Định nghĩa 1.11. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử
A
gọi là phổ của
toán tử
A
.
Nhận xét. Phổ của toán tử
A
chứa tất cả các giá trị riêng của toán tử
A
.
10
1.2.2 Các định lí về giá trị riêng của toán tử tuyến tính Compact
Định lí 1.2. Nếu

A
là toán tử compact tác dụng trong không gian Banach
thực
,X
thì mỗi số
0


toán tử
A
chỉ có hữu hạn véctơ riêng độc lập tuyến
tính tơng ứng với giá trị riêng

mà
.



Chứng minh.
Giả sử toán tử compact
A
có một dãy vô hạn

n
x
các véctơ riêng độc
lập tuyến tính ứng với dãy giá trị riêng

n

mà
n


với mọi
1, 2, 3, n
.
Ta ký hiệu
n
X
là không gian con đóng sinh bởi các véctơ
1 2 3
, , , ,
n
x x x x


1, 2, 3,
n

. Do đó, với mỗi số tự nhiên
1, 2, 3, n
tồn tại phần tử

n n
y X
,
1
n
y

sao cho






1
1
1
, inf .
2
n
n n n
x X
d y X y x

Khi đó dãy
n
n
y




bị chặn, nhng dãy

n
n
y
A
không chứa dãy con nào hội tụ.
thật vậy, giả sử
1
n
n k k
k
y a x



thì









1 1
1 1 1 1
1
n n n n
n k k k k

k k n n k k k k n n
k k k k
n n n n
y a a
A Ax x a x a x a x z y

trong đó

1
1
1
1 1,2,3,
n
k
n k k n
n
k
z a x X n










.
Với hai số tự nhiên bất kì

, :p q p q
ta có:

1
,
2
p q
p p q q p q q p
p q
y y
A A y z y z y y z z



11
trong đó
1
.
q q p p
y z z X


Bất dẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact
của toán tử
A
. Vì vậy, chỉ có hữu hạn véctơ riêng độc lập tuyến tính tơng
ứng với giá trị riêng

mà

.



Định lí 1.3. Giả sử
A
là toán tử tuyến tính compact tác dụng trong không
gian Banach thực
.X

Khi đó, với số
0


bất kỳ ta có hai không gian

ker .N A I



và

im .


R A I
là hai không gian con hữu hạn
chiều và đóng của không gian Banach
.X
Trong đó

I
là toán tử đồng nhất
tác dụng trên
.X

Chứng minh.
Gọi
1
S


là hình cầu đơn vị của
N

thì với mọi
x
thuộc
1
S

ta có

. 0 .A I x Ax x



Suy ra

1
.

A S S
Do hình cầu đơn vị
1
S

là tập bị chặn và toán tử
A
là
toán tử compact nên tập
1
S


là tập compact tơng đối trong
.

N
Theo định lý
Riesz thì
dim ,


N
ta giả sử
dim

N n

và
N


có cơ sở là

1
, , .
n
e e

Theo định lý Hahn-Banach tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục
1
, ,
n
f f

xác định trên
X
sao cho:

1, khi ;
0, khi .
i j
i j
f e
i j

Dễ thấy ánh xạ

.P
cho bởi công thức

1
= ( )
n
i i
i
P x f x e


là ánh xạ tuyến
tính liên tục. Hiển nhiên
2
P P
và
im
P N


, theo kết quả của đại số tuyến
tính ta thu đợc

ker im ker .X P P P N


Do
P
là ánh xạ tuyến tính
liên tục nên
imN

là không gian con đóng của
.X

Ta có


im . . ker . im
. ker .




A I A I P A I P
A I P

12
Do đó, để kiểm tra
R

là đóng ta chỉ cần kiểm tra

. kerA I P


là đóng.
Thật vậy, giả sử với mọi
1n
ta luôn tìm đợc
ker
n
x P

sao cho:

1 1
1: . . .


n n n
x A I x x
n n



. 0 khi .
n
A I x n



Do

n
x
bị chặn suy ra tồn tại



1 1
saocho
k k
n n n
k k
x x Ax



hội tụ khi
, n
giả sử
0
lim( ) .
k
n
k
Ax z


Ta có

lim 0

k k
n n
k
Ax x



vì
0


suy ra
0
0
.
k
n
z
x x



Khi đó

0 0
ker .
x P N x

Do đó,
0
0 lim lim 1


k k
n n
k k
x x x
(mâu thuẫn). Nh vậy, tồn tại
0,r

:
x M Ax x r x


. Khi đó,


( . ) ker
n
y A I P


hội
tụ tới
y
thì tồn tại

ker
n
x P

sao cho

.
n n n
Ax x y



Ta có



. .


n n m m n m n m
Ax x Ax x A I x x r x x

Vì

n
y
hội tụ nên với
,m n
đủ lớn ta có

. 0.
n m
A I x x


Suy ra
0
n m
r x x

với
,n m
đủ lớn. Do đó dãy

1
n
n
x


là dãy cơ bản. Nên tồn tại
x X
sao cho
n
x
hội tụ về
x
. Vì
ker P

là đóng nên
kerx P
nên chuyển qua
giới hạn biểu thức
n n n
Ax x y


suy ra

. ker .

y Ax x A I P

Vậy

. kerA I P


l không gian con đóng.


Định lí 1.4. Giả sử

A L X
là

toán tử compact trên không gian Banach
thực
.X

Số
0, ,

R
không là giá trị riêng của
A
thì

không là giá trị
13
phổ của
A
. Nói cách khác phổ của
A
chỉ gồm các giá trị riêng của
A
.
Chứng minh.
Giả sử
0


không là giá trị riêng của
A
mà là giá trị phổ của
A
.
Khi đó theo định nghĩa thì
.A I

có ánh xạ ngợc

1
.A I



và hơn nữa

1
.A I



là ánh xạ tuyến tính liên tục từ

im .A I


lên không gian
.X

Kí hiệu
. .


A A I
Theo định lý
1.4.

ta có
imA

là không gian con
đóng của
,X
theo định lý ánh xạ mở Banach suy ra
: imA X A


là đẳng
cấu. Mọi
0,1,2,n
. Đặt
im
n
n
X A


. Ta có:


1
0,1,2, .
n n
X X n

Hơn nữa
1
n n
X X


. Thật vậy: hiển nhiên vì

là giá trị phổ của
A
nên
im .A E




1 0
im im .A E A



Giả sử
1
, 0
m m
X X m n


mà
2 1

.


n n
X X

Chọn
1
\ .


n n
x X X

Do
2 1n n
X X



nên tồn tại
1n
y X



sao cho
1n
X

2
.



n
A x A y X

Vì
A

là đơn cấu
.x y

Tức là
1
1
\
.








n n
n
x X X

x X

(mâu thuẫn).


1
0,1,2, .
n n
X X n



Ta có
A

là đẳng cấu giữa
X
và
Im
A

nên
im
n
n
X A


là không gian
con đóng của

, 0,1,2,X n
.
Do vậy tồn tại phiếm hàm tuyến tính
f
sao cho:

1
0
n
X
f


và
1.
n
X
f




Tồn tại
: 1
n n n
x X x

và

1

.
2
n
f x


14
(Từ định nghĩa chuẩn của toán tử)



1
.


n n n n
x x f x x f x f x x X



1
1
.
2
n n
x x x X



Mọi

:m n

Vì
n
X
là không gian con đóng của
X
và vì
m n

nên



1 1
1
.
n m n
n m m n
X X X
A x x A x X

1
0.
2
n m n n m m
n m m n
A x Ax x A x x A x
x A x x A x










Do đó

n
Ax
không có chứa bất kỳ dãy con hội tụ nào.
Vậy
A
không là toán tử compact (mâu thuẫn).


Định lí 1.5. Phổ của toán tử tuyến tính compact

A
tác dụng trong không gian
Banach thực
X
chỉ có một số hữu hạn hay đếm đợc giá trị riêng khác nhau.
Chứng minh.
Xét dãy

n

các giá trị phổ của
A
.
Theo hệ quả trên mỗi giá trị phổ của
A
là giá trị riêng của
A
nên với mọi
1n
tồn tại
n
x X
sao cho:
1
n
x

và
.
n n n

Ax x



Giả sử với
: 0, ,


n n n m
r n m
thì

1
n
n
x


độc lập tuyến
tính. Thật vậy:
+
1n
: Hiển nhiên đúng.
+ Giả sử đúng với
n k
, ta chứng minh với
1, n k

15
Giả sử

1 1 1
1 1 1
0 0.








k k n
i i i i i i i
i i i
x x A x

Do đó
1 1
k 1
1 1
0.
k k
i i i i i
i i
x x

1
1
0,





n
k i i i
i
x
từ tính chất độc lập tuyến tính của

1
.
k
i
i
x



k 1 i

0
1,










i
i k
vì

k 1 i
0 1, .i k





i
0 1, .i k



Do vậy từ
1

1 1
1 1
0 0.






k k
i i i i k k
i i
x x x

1 1
0,


k k
a x
do
1
1
k
x


nên
1 1
0 0.

k k
x
Vì vậy

1
i
i
x



độc
lập tuyến tính.
Ta có mỗi
1,2, ,n
gọi
n
X
bằng không gian sinh bởi

1
k
k
x


thế thì

1
.
n n
X X



Cho nên tồn tại phiếm hàm tuyến tính
:f X
sao cho:
0
n
X
f
và
1
1


n
X
f
mỗi
1,2,n
.


Tồn tại
1 1 1
: 1

n n n
y X y


và

1
1
.
2
n
f y






1 1
1
0
:
1
.
2
n n n
n
x X x y f x y
f y f x

Vì
1 1 1 1 1 1 1
.
n n n n n n n
y X y x x x




Do
i
x
trực giao
j
x
và
i j
nên


1 1
0.
n n
A I x

16
1 1
1
( ) .
n
n n i i i n
i
A I y x X






Giả sử
m n
tùy ý. Mọi
1
: .
n m m m n
y X Ay X X



Do đó:

1

1
1
( ) .
n
n
n n m n
X
X
x A I y Ay X









Khi đó:

. 0.
2






n m n n n n m m m m
n

n n
n
Ay Ay y A I y A I y y
x
y

Do đó


1
n
n
Ay



không chứa bất kỳ dãy con hội tụ nào.
Mà dãy

n
y
bị chặn vì
1,
n
y

mâu thuẫn với tính compact của
A
.

1.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.3.1. Khái niệm về nón
định nghĩa 1.12. Cho không gian Banach thực
,X
một tập con
K
khác rỗng
của
X
đợc gọi là nón nếu tập
K
thỏa mãn các điều kiện:
-
K
là tập đóng trong không gian
;X

-
, ; x y K x y K

-
, ;

x K t tx K
R

-
, 0 . x K x x K

Nhờ nón K ta có thể đa vào
X
một quan hệ sắp thứ tự nh sau:
Với
,x y E
ta viết
x y
(tơng ứng
x y
) nếu
y x K

(tơng ứng

\
y x K


).
Khi đó quan hệ
" "
là một quan hệ thứ tự, thật vậy:
- Quan hệ
" "
có tính chất phản xạ vì
: .

x E x x K x x

17

- Quan hệ
" "
có tính chất phản xứng vì với
,x y X
mà

.

y x K
x y y x K
y x K
y x x y K













Theo định nghĩa nón:

.y x y x

Quan hệ

" "
có tính chất bắc cầu vì với
, ,x y z
thuộc
E
mà






.
x y y x K
y z z y K

Theo định nghĩa nón, ta có:

.x y y x K z x K x z

Vậy quan hệ
" "
là quan hệ sắp thứ tự trong
X
theo nón
K
.
Tơng tự quan hệ
" "
là quan hệ sắp thứ tự chặt (nghiêm ngặt) trong

X
theo nón
.K

định nghĩa 1.13. Không gian Banach thực
X
cùng với quan hệ sắp thứ tự
" "

nhờ nón
K X
ở trên gọi là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Chú ý: Trong chơng 1, 2, 3 ta chỉ xét nón
.K X

1.3.2 Một số tính chất đơn giản
Tính chất 1.1.


1 1
, 1,2, ,
n n n n
n n
x E y E x y n



và
lim ,
n

n
x x



lim
n
n
y y


thì
;x y

Chứng minh.
Theo giả thiết


, 1,2, 1,2, .
n n n n
x y n x y K n

Do
K
là tập đóng nên

lim ,
n n
y x y x K
tức là

.x y



Tính chất 1.2. Nếu có
0
u K
và
x E
tồn tại
0
sao cho
x u




thì


đều có
0
;

x u

18
Chứng minh.
Từ

0
0 .u K



Do đó


0 0 0 0 0 0
.u x u u u x u u x



Theo giả thiết
0
u x K


nên
0
.u x K



Suy ra
0
.x u

Tính chất 1.3. Giả sử có
0
u K
và

0 0 0 0
:
o
x E x u



. Khi đó
tìm đợc

là số nhỏ nhất sao cho
0 0
x
u


;
Chứng minh.
Xét tập

0 0
: .A x u

R

Khi đó
A
là tập đóng, thật vậy:

1
n
n




là dãy trong
A
hội tụ tới
.

Ta có
với mỗi
*
0 0
:
n
n u x K


N
.

1.13

Do
K
là tập đóng nên cho
n
trong

1.13
ta đợc:
0 0 0 0
.u x K u x A



Hơn nữa
A
bị chặn dới, thật vậy giả sử
A
không bị chặn dới, tức là tồn tại
0 :N n N
ta đều có
0
2 .
n
A

0 0 0
0 0 0 0
2 0
2 .
n
n
u x
u u x





0 0 0 0
1 1
.
2 2
n n
u u x




1.14

Cho
n
trong

1.14
ta đợc
0
0.
u

(Mâu thuẫn)
Mâu thuẫn này chứng tỏ
A
là tập bị chặn dới.
Vậy
A
là tập đóng và bị chặn dới nên tồn tại số
min A


.


19
Tính chất 1.4. Giả sử có
0
u K
và
0
x E
:
0 0 0
:
o

x u



. Khi
đó tìm đợc

là số nhỏ nhất dơng sao cho
0 0
x u


.
Chứng minh.
Tơng tự tính chất 1.3.
1.3.2 Không gian
0
u
E

định nghĩa 1.14. Cho không gian Banach thực
X
nửa sắp thứ tự nhờ nón
K X
và u
0
là phần tử khác

của nón K. Phần tử
x

thuộc
X
gọi là
0
u
đo đợc nếu tồn tại các số
1
0


và
2
0


sao cho:

1 0 2 0
.u x u




1.15

Đặt

1
inf
x

và

2
inf .x



Khi đó

1.15
trở thành:

0 0
.x u x x u



Kí hiệu
0
u
E
là tập tất cả các phần tử của không gian
X
có tính chất
0
u
đo đợc.
Định lí 1.6.

0
u
E

là một không gian tuyến tính thực con của không gian
.X

Chứng minh.
+ Mọi
0
,
u
x y E
ta có các số
1 2 3 4
, , , 0


sao cho:

1 0 2 0
3 0 4 0


u x u
u y u

1 2 0 2 4 0
0 0

u x y u





Do đó
0
.
u
x y E

+ Mọi
0
1 2 1 0 2 0
, , , 0:
u
x E u x u






1 0 2 0

2 0 1 0
0
0 .







u x u
u x u

20
Do đó
0
,
u
x E


ta luôn có
0
.
u
x E


Vậy
0

u
E
là một không gian
tuyến tính thực con của không gian
.X



Sau đây ta coi
0
u
E
là không gian tuyến tính thực độc lập.
0
u
E
có thể trở thành một không gian định chuẩn với chuẩn
0
u

đợc xác định
nh sau:
0
u
x E
mà


0 0
x u x x u

ta đặt



0
max , .
u
x x x




1.16

Định lí 1.7. Hệ thức


1.16

là một chuẩn trên
0
.
u
E

Chứng minh.
Thật vậy, ta có:

+
0
u

là một ánh xạ từ không gian
E
vào
R
;
+ Mọi
0
0
: 0;
u
u
x E x



0
0 max , 0
u
x x x


trong đó

0, 0
x x

nên

0
x x


.
Ngợc lại nếu
,

x
do


1
2
inf
inf
x
x








trong đó

1 0 2 0
.u x u



Suy ra


0
0 0.
u
x x x



+
0
,
u
x y E
tồn tại
0, 1, 4
i
i


sao cho

1 0 3 0

1 2 0 2 4 0
2 0 4 0

.

u x u
u x y u
u y u










Mặt khác

inf inf inf inf .



Do đó

0
1 2 3 4
inf inf , inf inf
u

x y



21



0 0
1 3 2 4
max inf , inf max inf , inf
.
u u
x y




+ Mọi
0
, .
u
x E



Do
0
1 2 1 0 2 0
, , 0:

u
x E u x u


.
- Nếu

1 0 2 0 1 1
0: inf inf

u x u x
.
Tơng tự

2 2
inf inf
x


.
Từ đó:


0 0
max , .
u u
x x x x

- Nếu
0,


thì

0,


bằng cách tơng tự ta có
0 0
.
u u
x x



Do đó

0 0
. .
u u
x x

R

Vậy
0
u

là chuẩn trên
0
.
u
E



1.3.4 Các định lí về nón
định nghĩa 1.15. Cho không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón
K
.
Nón K gọi là nón chuẩn nếu
1 2
0, , :e e K



1 2
1
e e

thì
1 2
.
e e



định nghĩa 1.16. Cho không gian Banach nửa sắp thứ tự

E
với nón
.K
Hai
phần tử
,x y
gọi là thông ớc với nhau nếu tồn tại
0, 0c d
sao cho:
.cx y dx

Nhận xét.
- Nếu
x
thông ớc với
y
thì
y
thông ớc với
.x

- Kí hiệu

0
K u
là tập tất cả các phần tử thông ớc với
0
\{ }
u K

cho trớc.
22
định nghĩa 1.17. Cho không gian Banach nửa sắp thứ tự
E
với nón là
K
.
Chuẩn trên
E
đợc gọi là nửa đơn điệu nếu
0: , N x y K
mà
x y
thì
.
E E
x N y

Định lí 1.8. Giả sử
K
là nón trong không gian Banach thực
E
. Khi đó
K
là
nón chuẩn khi và chỉ khi


0 \{ } saocho

y
M y K x E



. .
E y E
x M x y

Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử
K
là nón chuẩn.
Giả sử không tồn tại
0, \{ },
y
M y K x E


để

. ,
E y E
x M x y


1.17

tức là
*

: \{ },
n
n n y
n y K x E


sao cho


n
n n n
E y E
x n x y


1.18


0.
n
n
E
n n
y E
n
E
x
x x
n y

1.19

Từ định nghĩa chuẩn trong không gian
n
y
E

ta có:


.
v ì

n n
n n n n n n
y y
x y x x y x E


1.20


Do đó:
1 2 1 2
, 0: .
n n n
y x y

1.21

Gọi

1
inf
x


và

2
inf
x


thỏa mãn


1.21
. Khi đó

.
n n n
x y x x y

1.22

Ta cũng có:


max , .
n
n
y
x x x




1.23

Từ

1.22
và

1.23
suy ra

1.21
.
 23
Tõ

 
1.19
vµ
 
1.20
ta suy ra
  
n n
E E
n n n
n n
E E
x x
y x y
n y n y


.
n n n
n n n
E E E
y x y
n y x n y

  


 
1.24

§Æt
;
 
n n
n
n n
E E
x y
g
x n y

.
n n
n
n n
E E
x y
h
x n y

 

ThÕ th×
,
n n
g h K
:
Gi¶ sö
n
g



, ta cã
*
1
1 0, .
n n
n
E
n n
E E
E E
x y
g n
n x n y n
      


 
1.25

 
1.25

kh«ngxảyra.


Cho
 n
th×

1 0 .
n n
E
g g

   

Hoµn toµn t¬ng tù
.
n
h



Lóc nµy
n
n
E
g
K
g

vµ
n
n
E
h
K
h


vµ
1.
n n
n n
E E
E E
g h
g h
 

 
1.26

Do
K
lµ nãn chuÈn nªn:
 
*
0: .
n n
n n
E E
E
g h
n
g h
 
     


 
1.27



MÆt kh¸c:
2
.
n n
n n n
E E
n n n n n n
E E E E E E
g h
g h y
g h n y x g h

  

Ta cã:
1
1 , 
n
E
g
n

1 2
1 ,      
n n

n n n
E E E
n n
E
E
E
x y
g g h
x n y n n


4
1
  

n n
n n
E E
E
g h
g h n

 
1.28

24

lim 0.
n n
n

n n
E E
g h
g h




1.29


1.29
mâu thuẫn với

1.27
.
Vậy nón
K
nón chuẩn thì


0 \{ }
y
M y K x E



sao cho
.
E y E

x M x y

Điều kiện đủ. Giả sử có
0:
E y E
M x M x y

, : 1
E E
x y K x y

,
Ta có

\ .
x y K



Do


x y x x y
nên
x y
x E



và

1.
x y
x



Theo giả thiết định lí
0:
E x y E
M x M x x y




E E
x M x y


1
.
E
x y
M



Vậy
0

sao cho
.
E
x y



Do vậy nón
K
là nón chuẩn.


Định lí 1.9. Cho không gian Banach nửa sắp thứ tự
E
với nón
K
. Nón
K
là
nón chuẩn khi và chỉ khi chuẩn trên
E
nửa đơn điệu.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử
K
nón chuẩn.
Theo định lí 1.9. ở trên:
0: , , 0,M x y K y x y

thì

.
E y E E
x M x y M y


1.30

Nhng

1.30
vẫn đúng cho cả khi
y


, thật vậy nếu

y


ta có:
Do
x y x x



0 .
E E E
x x M y

25

Vậy chuẩn trên
E
là nửa đơn điệu.
Điều kiện đủ. Giả sử chuẩn trên
E
là nửa đơn điệu.
, ,x y K

ta có
0 sao chox y x y K x y x N
.
E E
x M y

Nh vậy
,x y K

sao cho

1, 1
E E
x y

ta có
1 .
E E
x N x y

Suy ra
1

0.
E
x y
N



Vậy nón
K
là nón chuẩn.


Nhận xét. Từ định nghĩa chuẩn nửa đơn điệu và định lý
1.9.
trên. Ta thấy
trong không gian Banach nửa sắp thứ tự
K
với nón
K
, nón
K
là nón chuẩn
nếu và chỉ nếu
0 : ,N x y K
mà
x y
thì


E E

x N x

(số
N
không
phụ thuộc vào
,x y
).
Định lí 1.10. Cho không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
E
với nón
K
và
phần tử
\{ }.u K



Nón
K
là nón chuẩn thì

{ }
u
K K u


là nón.
Chứng minh.
Ta có

K u
là đóng.
Mọi dãy


, ( ).
n n
x K u x x n


Với số dơng tuỳ ý

thỏa mãn
x q


tồn tại số tự nhiên
0
n
:
0
n n

ta có:

.


n n

x x x x

Hay
.
n
q x q



Mặt khác
K
là nón chuẩn nên tồn tại
, 0
n n
c q

sao cho



*
;
0 : ;
.
n n n
n n
n n
c u x d u n
N c u N x
x Nd u

(Tính thông ớc).