Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn
Văn Tuấn người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ trong quá
trình nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn này.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các GS, TS giảng
dạy chuyên ngành Toán Giải Tích, cùng các thầy giáo, cô giáo phòng sau
đại học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban Giám hiệu và tổ Toán
trường THPT Phương Sơn Lục Nam Bắc Giang đã tạo điều kiện, giúp đỡ
tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bạn đã luôn quan tâm,
động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011
Tác giả
Trần Việt Phương
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Văn Tuấn.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công
bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011
Tác giả
Trần Việt Phương
Mục lục
Lời mở đầu 6
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Số gần đúng và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Quy tắc làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Ma trận đường chéo trội và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . 20
Chương 2. Phương pháp spline collocation 21
2.1 Khái niệm spline đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều . . . . . . . 21
2.1.2 Spline đa thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 27
4
2.2 Sử dụng phương pháp spline collocation cho phương trình
vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Phương pháp spline collocation . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Giải một lớp phương trình vi phân thường bậc 2
bằng phương pháp spline collocation . . . . . . . . 34
2.3 Sử dụng phương pháp spline collocation cho một lớp phương
trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích
phân Fredholm bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Định lý sự tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 Đánh giá tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Chương 3. Một số ứng dụng 61
3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Ứng dụng giải phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai 64
Kết luận 66
Tài liệu tham khảo 67
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
C Tập số phức
C
[a;b]
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
S
3
(π) Tập tất cả các hàm spline đa thức bậc 3
. Chuẩn
∅ Tập hợp rỗng
6
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, trong kinh tế, cũng như các lĩnh
vực khác của cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều vấn đề, rất nhiều bài toán
đưa tới việc nghiên cứu các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm
riêng Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình này thường gặp khó
khăn, hơn nữa nghiệm đúng tìm được khi áp dụng vào thực tiễn tính toán
lại phải lấy các giá trị gần đúng. Vì vậy để tìm nghiệm của chúng người
ta thường áp dụng các phương pháp giải gần đúng khác nhau.
Những năm gần đây các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm
nghiên cứu phương pháp spline collocation giải gần đúng phương trình vi

phân, phương trình đạo hàm riêng Sở dĩ như vậy vì phương pháp spline
collocation có một số ưu điểm sau:
- Phương pháp này sử dụng các hàm đa thức trong giải gần đúng.
Các hàm đa thức rất dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán
thuận lợi, hiệu quả.
- Trong một số trường hợp phương pháp spline collocation thường
đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm gần đúng tốt hơn
các phương pháp khác.
- Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc các
hàm B-spline.
Do đó với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã chọn đề tài:
”Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng.”
7
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp các kiến thức về phương pháp spline collocation.
Ứng dụng phương pháp để giải gần đúng một số lớp phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kiến thức liên quan tới phương pháp spline collocation.
Nghiên cứu sử dụng phương pháp giải gần đúng một số lớp phương
trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn trình bày các vấn đề: Các hàm spline, phương pháp spline col-
location, ứng dụng phương pháp spline collocation giải một số lớp phương
trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp.
Tham khảo ý kiến chuyên gia.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài đã trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp spline collocation

tương đối rõ ràng, được minh họa bằng ví dụ đơn giản.
Lấy được ví dụ về một số lớp phương trình riêng.
Ứng dụng phền mềm Maple vào tính toán cho phương pháp trên.
NỘI DUNG
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày hệ thống các kiến thức cần thiết sử dụng
trong luận văn.
8
Chương 2 Phương pháp spline collocation
Trình bày hệ thống cơ bản nhất về các hàm spline, phương pháp spline
collocation. Minh họa phương pháp cho một số lớp phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng
Chương 3 Một số ứng dụng
Trong chương này sử dụng phương pháp spline collocation để giải gần
đúng một số lớp phương trình vi phân. Sử dụng phần mềm Maple trong
tính toán.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm
1.1.1 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu:
−→
α ,
−→
β ,
−→
γ ,
và trường K mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z,
Giả sử trên E có hai phép toán:
1) Phép toán cộng, kí hiệu + : E × E −→ E

(
−→
α ,
−→
β ) −→
−→
α +
−→
β
2) Phép toán nhân, kí hiệu là . : K × E −→ E
(x,
−→
α ) −→ x.
−→
α
thỏa mãn các tiên đề sau:
a)
−→
α +
−→
β =
−→
β +
−→
α , ∀
−→
α ,
−→
β ∈ E;
b) (

−→
α +
−→
β ) +
−→
γ =
−→
α + (
−→
β +
−→
γ ), ∀
−→
α ,
−→
β ,
−→
γ ∈ E;
c) Tồn tại
−→
θ ∈ E sao cho
−→
θ +
−→
α =
−→
α +
−→
θ =
−→

α , ∀
−→
α ∈ E;
d) Với mỗi
−→
α tồn tại
−→
α

∈ E sao cho
−→
α

+
−→
α =
−→
α +
−→
α

=
−→
θ ;
e) (x + y)
−→
α = x
−→
α + y
−→

α , ∀
−→
α ∈ E và x, y ∈ K;
f) x(
−→
α +
−→
β ) = x
−→
α + x
−→
β , ∀
−→
α ,
−→
β ∈ E và x ∈ K;
10
g) x(y
−→
α ) = (xy)
−→
α , ∀
−→
α ∈ E và x, y ∈ K;
h) 1 ·
−→
α =
−→
α , ∀
−→

α ∈ E và 1 là phần tử đơn vị của trường K;
Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên
trường K, hay K-không gian vectơ, hay không gian tuyến tính.
Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực.
Khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ phức.
Ví dụ 1.1.1. Dễ dàng kiểm tra C[a, b] là một không gian vectơ.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ vectơ (
−→
α
i
), ∀i = 1, 2, , n gọi là độc lập tuyến
tính nếu
n

i=1
x
i
−→
α
i
= 0 kéo theo x
i
= 0, ∀i = 1, 2, , n.
Hệ vectơ (
−→
α
i
), ∀i = 1, 2, , n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không
độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử E là một không gian vectơ.

Một hệ vectơ trong E được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi vectơ của
E đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E được gọi là không
gian vectơ hữu hạn sinh.
Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc
lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần
tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ.
Khi E là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu
dimE = n (hay dim
K
E = n).
11
Định nghĩa 1.1.5. Tập con W = ∅ của một K-không gian vectơ E được
gọi là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của
E, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ∀
−→
α ,
−→
β ∈ W,
−→
α +
−→
β ∈ W,
2) ∀
−→
α ∈ W và ∀x ∈ K thì x
−→
α ∈ W.

1.1.2 Không gian metric
Cho X là một tập tùy ý.
Định nghĩa 1.1.6. Một metric trong X là một ánh xạ
d : X × X → R
của tích X ×X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây:
1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (bất đẳng thức tam giác).
Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm
khoảng cách (hay metric) trong X. Các phần tử của một không gian
metric gọi là các điểm của không gian ấy, số d(x, y) gọi là khoảng cách
giữa các điểm x và y.
Ví dụ 1.1.2. C[a, b] là không gian metric với khoảng cách
d(x, y) = max
a≤t≤b
|x(t) −y(t)|.
12
Định nghĩa 1.1.7. Một dãy điểm (x
n
), n = 1, 2, trong không gian
metric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim
n→∞
d(x
n
, a) = 0. Khi đó, ta
kí hiệu
lim
n→∞
x
n

= a hoặc x
n
→ a, khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm (x
n
) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Côsi)
trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, đều tồn tại một
số n
0
sao cho với mọi n ≥ n
0
và m ≥ n
0
ta đều có
d(x
n
, x
m
) < ε.
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ
bản.
Định nghĩa 1.1.9. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
A : X → Y được gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu như ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao
cho ∀x ∈ X thỏa mãn d(x, x
0
) < δ thì d(A(x), A(x

0
)) < ε.
Định nghĩa 1.1.11. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
A : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu ∃α với 0 ≤ α < 1 sao cho với
∀x, x

∈ X ta đều có
d(A(x), A(x

)) ≤ α d(x, x

).
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một không gian metric
đầy đủ, và A : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn
tại một và chỉ một điểm x
∗
∈ X sao cho A(x
∗
) = x
∗
.
13
1.1.3 Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.1.12. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi
từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:
1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
3) ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không
gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được
gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P thực hay
phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X,
đặt
d(x, y) = ||x −y||.
Khi đó, d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.13. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X nếu lim
n→∞
||x
n
− x
0
|| = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x

0
, khi n → ∞.
14
Định nghĩa 1.1.14. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu
lim
m,n→∞
||x
m
− x
n
|| = 0.
Định nghĩa 1.1.15. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x −y||). Khi đó X được gọi là
một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.16. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ tuyến
tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx, với mọi x ∈ X, α ∈ P.
- Nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.
- Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.
- Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến
tính.
Định nghĩa 1.1.17. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng
số c > 0 sao cho
||Ax|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.18. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào
không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
15
1) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B,
xác định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X;
2) Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈
L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA, được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép
toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành
một không gian tuyến tính trên trường P .
Định lý 1.1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không
gian Banach.
1.1.4 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.19. Cho không gian tuyến tính X trên trường P
(P = R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh
xạ từ tích Descartes X ×X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên
đề:
1) (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ X;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ X;
3) (αx, y) = α(x, y), ∀α ∈ P và ∀x, y ∈ X;
4) (x, x) > 0, nếu x = θ (θ là kí hiệu phần tử không), ∀x ∈ X;
16
5) (x, x) = 0, nếu x = θ, ∀x ∈ X.
Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y)
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5)
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.20. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với

một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ X,
ta đặt ||x|| =

(x, x). Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng
thức Schwarz).
|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.1.5. Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian định
chuẩn, với chuẩn ||x|| =

(x, x).
Định nghĩa 1.1.21. Ta gọi không gian tuyến tính H = ∅ trên trường P
là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| =

(x, x) với x ∈ X.
Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H.
1.2 Số gần đúng và sai số
1.2.1 Số gần đúng
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng số a là số gần đúng của a
∗
nếu a không
sai khác a
∗
nhiều. Đại lượng ∆ = |a −a
∗
| phản ánh mức độ sai lệch giữa
17

a và a
∗
gọi là sai số thật sự của a.
Định nghĩa 1.2.2. Số ∆
a
≥ 0 gọi là sai số tuyệt đối của a
∗
nếu thỏa
mãn điều kiện:
|a −a
∗
| ≤ ∆
a
. (1.1)
hay a −∆
a
≤ a
∗
≤ a + ∆
a
. Bởi vậy ∆
a
thỏa mãn điều kiện (1.1) càng
nhỏ thì độ sai lệch giữa a và a
∗
càng ít.
Định nghĩa 1.2.3. Số δ
a
=
∆

a
|a|
gọi là sai số tương đối của a.
1.2.2 Làm tròn số
Số thập phân tổng quát có dạng:
a = ±(α
p
10
p
+ + α
i
10
i
+ + α
p−s
10
p−s
). (1.2)
trong đó α
j
∈ N, 0 ≤ α
j
≤ 9, j = p −1, p −s, α
p
> 0,
a) Nếu p −s  0 thì a là số nguyên nên a có giá trị chính xác,
b) Nếu p −s = −k(k  0)) thì a có phần lẻ là k chữ số,
c) Nếu p −s → −∞(s → +∞) thì a là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a gọn hơn và
gần đúng nhất với a.

1.2.3 Quy tắc làm tròn số
Giả sử a có dạng (1.2) ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i phần bỏ đi là µ thì
a = ±(α
p
10
p
+ + α
i+1
10
i+1
+ α
i
10
i
),
18
trong đó
α
i
=





α
i
nếu 0 ≥ µ ≥ 0, 5.10
i
hoặc µ = 0, 5.10

i
mà α
i
là số chẵn,
α
i
+ 1 nếu µ > 0, 5.10
i
hoặc µ = 0, 5.10
i
mà α
i
là số lẻ.
Định nghĩa 1.2.4. Sai số thu gọn Γ
a
≥ 0 là mọi số thỏa mãn điều kiện:
|a −a| ≤ Γ
a
.
Ta có
|a −a| =


(α
i
− α)10
i
+ µ



≤ 0, 5.10
i
.
Sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên
|a
∗
− a| ≤ |a
∗
− a| + |a −a| ≤ ∆
a
+ Γ
a
.
1.2.4 Sai số tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y = f(x
1
, x
2
, , x
n
).
Gọi x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
, , x

∗
n
), y
∗
= f(x
∗
) là giá trị đúng còn x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ),
y = f(x) là các giá trị gần đúng của y
∗
, ∆
x
i
= |x
∗
i
− x
i
|. Nếu f(x
1
, x
2
, , x
n
)

là hàm khả vi liên tục thì
∆
y
= |y −y
∗
| = |f(x
1
, , x
n
) −f(x
∗
1
, , x
∗
n
)| =
n

i=1



f

x
i



· |x

i
− x
∗
i
|,
với f

x
i
là đạo hàm theo x
i
tại điểm trung gian.Vì f khả vi liên tục ∆
x
i
khá bé nên có thể coi
∆
y
=
n

i=1


f

x
i
(x
1
, x

2
, , x
n
)


∆
x
i
.
Vậy
δ
y
=
∆
y
|y|
=





n

i=1
∂
∂
x
i

ln f





∆
x
i
.
19
1) Sai số của phép toán cộng, trừ
Nếu y =
n

i=1
x
i
thì y

x
i
= 1, vậy ta có ∆
y
=
n

i=1
∆
x

i
.
Chú ý 1. Nếu tổng đại số y =
n

i=1
x
i
rất bé về giá trị tuyệt đối thì
∆
y
|y|
lớn,
do đó kết quả sẽ không chính xác. Vậy ta nên tránh công thức đưa đến
hiệu hai số gần nhau.
2) Sai số của phép toán nhân, chia
Giả sử
y =
n

i=1
x
i
n−p

i=1
x
p+i
,
khi đó

ln y =
n

i=1
ln x
i
−
n

j=p+1
ln x
j
⇔ δ
y
=
p

i=1
δ
x
i
, ∆
y
= |y|δ
y
.
3) Sai số của phép tính lũy thừa
Xét y = x
α
(α ∈ R, x > 0), khi đó ln y = α ln x

suy ra
δ
y
=




d ln y
dx




∆
x
= |α|
∆
x
|x|
= |α|δ
x
.
• Nếu α > 1 thì độ chính xác giảm.
• Nếu α < 1 thì độ chính xác tăng.
• Nếu α = −1 thì độ chính xác không đổi.
• Nếu α =
1
k
, k ∈ N

∗
thì độ chính xác tăng lên.
4) Sai số của phép tính logarit y = ln x
20
Xét y = ln x(x > 0), ta có
ln y = ln ln x ⇔ δ
y
=




1
x ln x




∆
x
=
δ
x
|y|
.
Vậy
∆
y
= δ
x

.
1.3 Ma trận đường chéo trội và tốc độ hội tụ
1.3.1 Ma trận đường chéo trội
Định nghĩa 1.3.1. Cho ma trận vuông A = (a)
n
i,j=1
.
Ta nói ma trận A là ma trận đường chéo trội nếu thỏa mãn một trong
hai điều kiện sau:
1)
n

j=1,j=i
|a
ij
| < |a
ii
|, ∀i = 1, 2, , n,
2)
n

i=1,i=j
|a
ij
| < |a
jj
|, ∀j = 1, 2, , n.
Định lý 1.3.1. Mọi ma trận đường chéo trội đều không suy biến.
1.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
Định nghĩa 1.3.2. Cho π là phân hoạch đều của đoạn [a, b] với các mốc

là: a = x
0
< x
1
< < x
n
= b, h =
b−a
n
= x
i
− x
i−1
, i = 1, , n.
Giả sử x
n
là nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử Lx = f trong
không gian C[a, b] và x là nghiệm đúng của phương trình đó.
Nếu có đánh giá ||x
n
− x|| ≤ ch
k
, với c là hằng số dương không phụ
thuộc h, k ∈ N
∗
thì ta nói nghiệm xỉ x
n
đạt tốc độ hội tụ bậc k tới nghiệm
chính xác x (hay độ chính xác bậc h
k

).
Chương 2
Phương pháp spline collocation
2.1 Khái niệm spline đa thức
2.1.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều
Xét phân hoạch π trên đoạn [a,b] với các mốc nội suy
a = t
0
< t
1
< t
2
< < t
n
= b.
Kí hiệu h
i
= t
i
− t
i−1
, nếu h
i
= h = const thì các mốc nội suy t
0
, t
1
, , t
n
gọi là các mốc nội suy cách đều.

Định nghĩa 2.1.1. Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [a,b] với phân
hoạch π là hàm số y = s(t) thỏa mãn hai điều kiện sau:
1) s(t) ∈ C
2
[a; b];
2) Hạn chế của s(t) trên mỗi khoảng ∆
i
= [t
i
; t
i+1
] là đa thức s(t)|
∆
i
,
với deg(s(t)|
∆
i
) ≤ 3, ∀i = 0, 1, 2, , n.
Không gian gồm tất cả các hàm số s(t) thõa mãn hai điều kiện trên kí
hiệu là S
3
(π).
Từ định nghĩa ta có không gian S
3
(π) chứa tất cả các đa thức có bậc
nhỏ hơn hoặc bằng 3. Dễ dàng kiểm tra các tiên đề của không gian véctơ
suy ra S
3
(π) là không gian tuyến tính.

Mệnh đề 2.1.1. Không gian S
3
(π) là không gian tuyến tính và không
gian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3.
22
Bài toán 1. Tồn tại duy nhất hàm số s(t) ∈ S
3
(π) thỏa mãn hệ điều kiện:













s

(t
0
) = f

(t
0
),

s(t
i
) = f(t
i
), 0 ≤ i ≤ n,
s

(t
n
) = f

(t
n
).
(2.1)
Khi đó s(t) được gọi là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số f(t).
Xây dựng sự tồn tại của hàm s(t) với các mốc nội suy cách đều t
i
=
t
0
+
i(b−a)
n
, trong đó chúng ta bổ sung thêm 4 mốc nội suy t
n−2
< t
n−1
< t
0

và t
n+2
> t
n+1
> t
n
đồng thời xét hàm số B
i
(t) được xác định bởi công
thức
B
i
(t) =
1
h
3












































(t −t

i−2
)
3
, t ∈ [t
i−2
, t
i−1
],
h
3
+ 3h
2
(t −t
i−1
) + 3h(t −t
i−1
)
2
− 3(t −t
i−1
)
3
,
t ∈ [t
i−1
, t
i
],
h
3

+ 3h
2
(t
i+1
− t) + 3h(t
i+1
− t)
2
− 3(t
i+1
− t)
3
,
t ∈ [t
i
, t
i+1
],
(t
i+2
− t)
3
, t ∈ [t
i+1
, t
i+2
],
0, t /∈ [t
i−2
, t

i+2
].
(2.2)
Có đồ thị xem hình (2.1).
Hình 2.1 Đồ thị hàm B
i
(t).
23
Bằng cách thay vào (2.2) các hàm số B
i
(t) liên tục khả vi hai lần trên
R, mà
B
i
(t
j
) =














4, j = i,
1, j = i −1 hoặc j = i + 1,
0, j = i −2 hoặc j = i + 2,
đồng thời B
i
(t) ≡ 0 với t ≥ t
i+2
và t ≤ t
i−2
.
Các hàm B-spline khác không nhỏ gọn nhất với các mốc nội suy t
−2
<
t
−1
< t
0
< < t
n
< t
n+1
< t
n+2
đó là, bất kì spline đa thức bậc 3 s(t)
đồng nhất triệt tiêu bằng 0 ngoài khoảng (t
j−2
, t
j+2
).
Hơn nữa mỗi B

i
(t) là bậc 3 trên [t
j
, t
j+1
] nên B
i
(t) ∈ S
3
(π).
Tính B
j
(t), B

j
(t), B

j
(t) chúng ta có bảng (2.1).
t t
j−2
t
j−1
t
j
t
j+1
t
j+2
B

j
(t) 0 1 4 1 0
B

j
(t) 0
3
h
0 −
3
h
0
B

j
(t) 0
6
h
2
−
12
h
2
6
h
2
0
Bảng 2.1 Giá trị B
j
(t), B


j
(t), B

j
(t).
Giả sử B = {B
−1
, B
0
, , B
n+1
} và B
3
(π) = spanB.
Dễ thấy hệ B là độc lập tuyến tính và B
3
(π) là không gian n + 3 chiều.
Định lý 2.1.1. Có duy nhất hàm s(t) ∈ B
3
(π) thõa mãn bài toán (2.1).
Chứng minh:
Giả sử s(t) ∈ B
3
(π) thì
s(t) = x
−1
B
−1
(t) + x

0
B
0
(t) + + x
n+1
B
n+1
(t), (2.3)
24
s(t) thõa mãn bài toán (2.1) nên chúng ta có:






















s

(t
0
) = x
−1
B
−1
(t) + x
0
B
0
(t) + + x
n+1
B
n+1
(t) = f

(t
0
),
s(t
i
) = x
−1
B
−1
(t
i

) + x
0
B
0
(t
i
) + + x
n+1
B
n+1
(t
i
) = f(t
i
),
0 ≤ i ≤ n,
s

(t
n
) = x
−1
B
−1
(t
n
) + x
0
B
0

(t
n
) + + x
n+1
B
n+1
(t
n
) = f

(t
n
).
(2.4)
Đây là hệ phương trình tuyến tính gồm n+3 phương trình dạng:Ax = b,
với
x =
















x
−1
x
0
x
1
.
.
.
x
n
x
n+1
















, b =















f

(t
0
)
f(t
0
)
f(t
1
)
.
.
.

f(t
n
)
f

(t
n
)















và ma trận hệ số:
A =
















B

−1
(t
0
) B

0
(t
0
) B

1
(t
0
) . . . B

n+1
(t
0

)
B
−1
(t
0
) B
0
(t
0
) B
1
(t
0
) . . . B
n+1
(t
0
)
B
−1
(t
1
) B
0
(t
1
) B
1
(t
1

) . . . B

n+1
(t
1
)
.
.
.
B
−1
(t
n
) B
0
(t
n
) B
1
(t
n
) . . . B
n+1
(t
n
)
B

−1
(t

n
) B

0
(t
n
) B

1
(t
n
) . . . B

n+1
(t
n
)
















25
=


















−
3
h
0
3
h
0 0 0 . . .
1 4 1 0 0 0 . . .

0 1 4 1 0 0 . . .
0 0 1 4 1 0 . . .
.
.
.
0 0 0 . . . 0 1 4 1
0 0 0 . . . 0 −
3
h
0
3
h



















A là ma trận có đường tréo trội nên không suy biến từ đó hệ (2.4) có
nghiệm duy nhất.
Định lý 2.1.2. Với các không gian S
3
(π) và B
3
(π) nêu trên chúng ta có:
B
3
(π) = S
3
(π). (2.5)
Chứng minh:
Từ định nghĩa B
3
(π) ta có B
3
(π) ⊂ S
3
(π).
Chúng ta đi chứng minh S
3
(π) ⊃ B
3
(π).
Lấy f(t) ∈ S
3
(π) khi đó f

(t

0
), f

(t
n
), và f(t
i
), 0 ≤ i ≤ n đều xác định.
Giả sử s(t) ∈ B
3
(π) là hàm spline duy nhất được xác định trong định
lý (2.1.1), đặt f(t) −s(t) = g(t) thì g(t
i
) = 0, 0 ≤ i ≤ n.
Vì f(t), g(t) ∈ C
2
[a, b] nên g(t) ∈ C
2
[a, b] theo định lý Rolle thì g

(t)
có n nghiệm y
i
thõa mãn t
i
< y
i
< t
i+1
đồng thời t

0
, t
n
là hai nghiệm của
g

(t). Như vậy g

(t) có ít nhất n + 2 nghiệm do đó g

(t) có ít nhất n + 1
nghiệm z
i
và x
i
< z
i
< y
i
, 0 ≤ i ≤ n.
Nhưng g

(t) là đa thức có bậc cao nhất bằng 1 trên [t
i
, t
i+1
] với các
điểm lưới của phân hoạch π, vì g

(t) nhận z

i
, i = 0, 1, 2, , n là các nghiệm