Phép biến đổi Radon

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học tác giả đã nhận được
sự giúp đỡ nhiệt tâm của TS. Trần Văn Vuông, được sự định hướng
của thầy mà tác giả có được lòng say mê Toán học và thực hiện nghiên
cứu đề tài "Phép biến đổi Radon". Nhân dịp luận văn được hoàn
thành tác giả xin kính tặng thầy bản luận văn và bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất với người thầy quá cố của mình.
Tác giả chân thành cảm ơn đến TS. Nguyễn Văn Hào người đã
giúp tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô
giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho tác giả
trong thời gian học tập tại trường. Tác giả rất biết ơn BGH trường
Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Điện Biên và các đồng nghiệp đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện kế hoạch học tập của mình.
Tác giả xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ động viên tác giả trong
quá trình làm luận văn.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi
những hạn chế và vẫn còn thiếu sót nhất định. Tác giả xin chân thành
cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo
và các bạn học viên.
Hà Nội, tháng 6 năm 2011
Tác giả
Hoàng Thị Hoa
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự định hướng của Tiến sĩ Trần Văn Vuông và được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hào.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2011

Tác giả
Hoàng Thị Hoa
ii
iii
Mục lục
Mở đầu v
1 Một số kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . 1
1.1.2 Ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian định
chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Một số nguyên lý cơ bản trên không gian định chuẩn 8
1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân . 14
1.3.2 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Khái niệm về tích chập . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Một số tính chất cơ bản của tích chập . . . . . . 19
1.5 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R) . . 24
1.6.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L

2
(R) . . 27
1.7 Hàm Delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
iv
1.7.1 Hàm tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.2 Hàm phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.3 Hàm Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Phép biến đổi Radon và ứng dụng 34
2.1 Định nghĩa biến đổi Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Radon . . . . . . . . . 39
2.3.1 Mối liên hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Radon 39
2.3.2 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Tính chất chuyển dịch . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Tính chất thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.5 Tính chất đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Biến đổi Radon của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Biến đổi Radon của đạo hàm bậc nhất . . . . . . 46
2.4.2 Biến đổi Radon của đạo hàm bậc hai . . . . . . . 47
2.5 Đạo hàm của biến đổi Radon . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Biến đổi Radon của tích chập . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Biến đổi Radon ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Áp dụng của biến đổi Radon để giải bài toán Cauchy đối
với phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic . . . . . . . . 58
Kết luận 62
Phụ lục 65
v
Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Nguồn gốc của phép biến đổi Radon được đánh dấu bởi công trình
nổi tiếng năm 1917 của nhà toán học Johan Radon [11] "Về vấn đề xác
định các hàm từ các tích phân dọc theo các đa tạp nào đó". Trong công
trình phôi thai đó, Radon đã giải thích làm sao để xây dựng được một
hàm hai biến từ các tích phân đường của nó trên tất cả các đường thẳng
trong mặt phẳng. Ông cũng đã thiết lập sự tổng quát khác của biến đổi
này liên quan đến việc xây dựng lại một hàm từ các tích phân của nó
trên các đường cong trơn, cũng như việc xây dựng lại một hàm n biến
từ các tích phân của nó trên tất cả các siêu phẳng. Mặc dù, khi đó phép
biến đổi Radon đã có một số hệ quả trực tiếp đến bài toán tìm nghiệm
của phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic với hệ số hằng số,
nhưng nó không nhận được sự quan tâm của các nhà Toán học cũng như
giới khoa học thời bấy giờ.
Đến năm 1960, phép biến đổi Radon mới thu hút được sự chú ý của
các nhà khoa học trên nhiều lĩnh vực. Điểm nhấn quan trọng nhất của
nó là việc nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Radon để xây dựng lại
mặt cắt của cấu trúc bên trong của một vật thể mà không cần phải cắt
hay làm hư hại gì đến đối tượng. Thông qua sự tương tác của các bộ
phận của một vật thể hoặc "thăm dò" đối tượng bằng các loại tia X,
tia gamma, ánh sáng nhìn thấy, điện tử, hoặc notron với sóng siêu âm,
vi
người ta thường thu được các tích phân đường hoặc tích phân trên các
siêu phẳng và nhờ phép biến đổi Radon mà người ta xây dựng lại được
cấu trúc nội tại bên trong của vật thể. Có một mối quan hệ mật thiết
giữa phép biến đổi Radon với sự phát triển của kỹ thuật quét X-quang
trong hình ảnh y tế. Trong thực tế, quét X-quang cung cấp hình ảnh
của cơ quan nội bộ của một cơ thể con người hoặc động vật và giúp ta
phát hiện, định vị những bất thường ở bên trong. Một trong những ví
dụ nổi bật nhất về ứng dụng của phép biến đổi Radon là sự ra đời của

máy tính hỗ trợ chụp cắt lớp trong y học chuẩn đoán, phương pháp này
được sử dụng để tạo ra hình ảnh bên trong của các cơ quan của con
người. Trong nhiều năm sau đó cùng với sự ra đời và phát triển mạnh
mẽ của kỹ thuật tin học các nhà khoa học đã liên tiếp giới thiệu những
thuật toán mới hơn với tốc độ nhanh hơn trên máy tính điện tử đem lại
sự phát triển nhanh chóng của kỹ thuật chụp cắt lớp vi tính.
Hơn năm mươi năm sau kể từ khi phát hiện ra phép biến đổi Radon,
nhà vật lý trẻ người Nam Phi Allan Cormack đã quan tâm đến việc tìm
kiếm một bộ bản đồ của các hệ số hấp thu cho các bộ phận khác nhau
của cơ thể con người. Để làm cho việc sử dụng chụp X-quang xạ trị đạt
hiệu quả hơn, ông đã nhanh chóng nhận thấy tầm quan trọng của biến
đổi Radon, nó tương tự như phép đo của sự hấp thu tia X-quang dọc
theo mặt cắt của chúng trong cơ thể con người. Bởi vì logarit của tỉ số
của sự cố được phản ánh cường độ X-quang dọc theo một đường thẳng
đã cho chính là tích phân đường của hệ số hấp thu dọc theo đường đó,
nên vấn đề toán học tương đương với việc tìm kiếm một hàm từ các giá
trị của tích phân của nó dọc theo tất cả hoặc một số đường trong mặt
phẳng. Vào đầu năm 1963, Cormack cũng đã thu được ba lời giải thay
cho vấn đề cốt lõi này [2], [3], [4]. Cùng thời gian đó kĩ sư y - sinh học trẻ
người Anh Godfrey Hounsfield nhận ra tầm quan trọng đặc biệt trong
vii
những ý tưởng lớn của Radon và Cormack và sử dụng chúng để phát
triển một loại máy X-quang mới đem lại một cuộc cách mạng hóa toàn
bộ lĩnh vực hình ảnh y tế. Ngay sau đó Cormack và Hounsfield cộng tác
cùng nhau thực hiện nhiều phương pháp tinh tế trong việc giải quyết
các vấn đề về hình ảnh y tế. Sự cộng tác của họ đem lại một khám phá
quan trọng của kỹ thuật quét CT và giành giải Nobel năm 1979 trong
lĩnh vực vật lý và y khoa [11].
Phép biến đổi Radon đem lại rất nhiều hữu ích đối với các lĩnh vực đa
dạng của khoa học và kỹ thuật bao gồm: hình ảnh y tế, thiên văn học,

tinh thể, hiển vi điện tử, địa vật lý, khoa học vật liệu và quang học. Một
vấn đề quan trọng đáng phải đề cập tới là phép biến đổi Radon được sử
dụng trong việc chụp cắt lớp hỗ trợ máy tính phục vụ hữu hiệu trong y
học đem lại kết quả chuẩn đoán bệnh chính xác ngày càng cao. Ý nghĩa
quan trọng của vấn đề này chính là việc xác định cấu trúc nội tại của
một vật thể bằng sự quan sát hoặc hình ảnh của nó liên quan mật thiết
với phép biến đổi Radon.
Được sự định hướng của người hướng dẫn, em chọn đề tài "Phép
biến đổi Radon" để hoàn thành khóa đào tạo thạc sỹ chuyên ngành
Toán giải tích. Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo được trình bày trong hai chương
Chương 1. Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức
chuẩn bị bao gồm: Không gian định chuẩn cùng các nguyên lý cơ bản
của ánh xạ tuyến tính liên tục trên lớp không gian này; Một số khái
niệm và kết quả quan trọng trong không gian Hilbert và không gian L
p
;
Biến đổi Fourier; và cuối cùng là các khái niệm cùng tính chất của các
hàm Delta-Dirac phục vụ trực tiếp cho việc xác định tính toán biến đổi
Radon.
Chương 2. Đây là chương chính của luận văn, chúng tôi trình bày
viii
một cách hệ thống về biến đổi Radon bao gồm: Khái niệm về biến đổi
Radon trong không gian hai chiều và không gian n chiều; Tính chất của
biến đổi Radon; Đạo hàm của biến đổi Radon và biến đổi Radon của đạo
hàm; Biến đổi Radon của tích chập; Mối liên hệ giữa biến đổi Fourier và
biến đổi Radon; Cuối chương chúng tôi trình bày một áp dụng của phép
biến đổi Radon trong việc giải bài toán Cauchy đối với phương trình đạo
hàm riêng Hyperbolic.
2. Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về biến đổi Radon và mối quan hệ của biến đổi này với
biến đổi Fourier.
Biến đổi Radon có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác
nhau của các ngành khoa học cũng như trong đời sống thực tiễn. Tuy
nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến một ứng dụng của nó
đối với bài toán Cauchy trong việc giải phương trình vi phân đạo hàm
riêng loại hyperbolic.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, tra cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích
nghiên cứu.
4. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống một cách căn bản một số kiến thức cơ bản nhất về biến đổi
Radon. Minh họa ý nghĩa của biến đổi Radon đối với cách lĩnh vực khoa
học và đời sống thực tiễn thông qua việc giải quyết bài toán Cauchy
trong việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng loại hyperbolic.
1
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian định chuẩn
1.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là một không gian vector. Một giá trị hàm
thực · : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều
kiện
(N
1
) x  0; với mọi x ∈ E và x = 0 nếu x = 0.
(N
2
) λx = |λ|x; với mọi x ∈ E và mọi λ ∈ R.
(N

3
) x + y  x + y; với mọi x, y ∈ E.
Không gian vector E cùng với · được gọi là một không gian tuyến tính
định chuẩn hay nói gọn là không gian định chuẩn.
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử E là không gian định chuẩn ·. Với mỗi x, y ∈
E ta đặt ρ (x, y) = x − y. Khi đó ρ là một khoảng cách trên E và gọi
là khoảng cách sinh bởi chuẩn.
Chứng minh.
+ Hiển nhiên ρ (x, y) = x − y  0 với mọi phần tử x, y ∈ E. Thêm
nữa nếu ρ (x, y) = 0 thì x − y = 0. Từ tiên đề (N
1
) ta suy ra x −y = 0
hay x = y.
2
+ Ta cũng nhận thấy rằng ρ (x, y) = x − y = y −x = ρ (y, x) ; với
mọi x, y ∈ E.
+ Cuối cùng với mọi x, y, z ∈ E, bởi tiên đề (N
3
) ta có
ρ (x, z) = x − z  x −y + y −z = ρ (x, y) + ρ (y, z)
Như vậy, mọi không gian định chuẩn là không gian metric với khoảng
cách được sinh bởi chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach
nếu E cùng khoảng cách sinh bởi chuẩn là một không gian metric đầy.
Mệnh đề 1.1.2. Không gian định chuẩn E là không gian Banach nếu
và chỉ nếu với mọi dãy {x
n
} ⊂ E mà x
n
− x

m
 → 0 khi n, m → ∞ thì
dãy đó hội tụ.
Chứng minh.
Thật vậy, giả sử {x
n
} ⊂ E mà x
n
− x
m
 → 0 khi n, m → ∞. Điều đó
tương đương với
ρ (x
n
, x
m
) → 0; khi n, m → ∞
Điều đó chứng tỏ rằng {x
n
} là một dãy Cauchy trong không gian metric
E. Từ đó suy ra điều nhận xét trên đây.
Định lí 1.1.1. Dãy {x
k
}
∞
k=1
⊂ R
n
hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Như vậy R

n
là một không gian Banach.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử {x
k
}
∞
k=1
là dãy hội tụ tới phần tử x trong R
n
. Khi
đó theo định nghĩa với mọi ε > 0 tồn tại N
0
sao cho với mọi k  N
0
chúng ta có
x
k
− x < ε/2.
3
Khi đó với mọi l  N
0
chúng ta cũng có
x
l
− x < ε/2.
Từ đó suy ra
x
k
− x

l
 < ε.
Điều kiện đủ. Giả sử {x
k
}
∞
k=1
là dãy Cauchy trong R
n
. Khi đó theo định
nghĩa với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi k, l  N
chúng ta có
x
k
− x
l
 =


x
(k)
1
− x
(l)
1

2
+

x

(k)
2
− x
(l)
2

2
+ +

x
(k)
n
− x
(l)
n

2
< ε.
Từ đó suy ra



x
(k)
i
− x
(l)
i




< ε; với mọi i = 1, 2, , n và với mọi k, l  N.
Điều đó có nghĩa rằng mỗi dãy

x
(k)
i

∞
k=1
là dãy Cauchy các số thực.
Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực, tồn tại
lim
k→∞
x
(k)
i
= x
i
; với mỗi i = 1, 2, , n.
Đặt x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, chúng ta suy ra dãy {x
k

}
∞
k=1
hội tụ đến
điểm x.
1.1.2 Ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử E và F là hai không gian tuyến tính định
chuẩn. Ánh xạ T : E → F được gọi là tuyến tính liên tục nếu thỏa mãn
hai điều kiện dưới đây
(i) T là tuyến tính
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) ;
với mọi α, β ∈ R và mọi x, y ∈ E.
(ii) T là liên tục
4
lim
n→∞
T x
n
= T x; với mọi x ∈ E.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử E và F là hai không gian tuyến tính định
chuẩn. Ánh xạ T : E → F được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0
sao cho
T x  C x; với mọi x ∈ E.
Số C > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức trên được gọi là chuẩn của toán
tử T và kí hiệu là T.
Định lí 1.1.2. Giả sử T : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa hai không
gian định chuẩn E và F. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
(i) T liên tục trên E
(ii) T liên tục tại x
0

∈ E.
(iii) T bị chặn.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) là hiển nhiên.
(ii) ⇒ (iii) Giả sử ngược lại T không bị chặn. Khi đó, với mỗi số nguyên
dương n tồn tại x
n
∈ E sao cho T x
n
 > n x
n
. Hiển nhiên x
n
= 0,
đặt y
n
=
x
n
n x
n

thì y
n
 =
1
n
→ 0 (n → ∞) .
Khi đó y
n

+ x
0
→ x
0
(n → ∞) . Từ tính liên tục của T, ta suy ra
T y
n
 = T (y
n
+ x
0
) − T x
0
 → 0 (n → ∞) .
Nhưng điều đó mâu thuẫn với
T y
n
 =




T

x
n
n x
n







=
1
n x
n

T x
n
 > 1.
(iii) ⇒ (i) Giả sử ánh xạ tuyến tính T là bị chặn, tức là tồn tại số C > 0
sao cho
5
T x  C x; với mọi x ∈ E.
Lấy phần tử bất kì x ∈ E và dãy x
n
∈ E mà x
n
→ x (n → ∞) . Khi đó
ta có
T x
n
− T x = T (x
n
− x)  C x
n
− x → 0;
khi n → ∞. Vậy T là ánh xạ tuyến tính liên tục.

Mệnh đề 1.1.3.
Cho E và F là các không gian định chuẩn và T : E → F là ánh xạ tuyến
tính liên tục. Khi đó
T  = sup {T (x) : x  1}.
Chứng minh.
Đặt α = sup {T (x) : x  1}. Với mọi x ∈ E mà x  1, ta có
T x  T . x  T.
Do đó, ta nhận được
α = sup {T (x) : x  1}  T .
Ngược lại, lấy phần tử x ∈ E mà x = 0 và đặt y =
x
x
thì y  1. Do
đó, ta nhận được
T y  sup {T x : x  1} = α.
Từ đó, suy ra
T y =




T

x
x






 α hay Tx  α x.
Như vậy T   α. Mệnh đề được chứng minh.
Kí hiệu L (E, F ) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào
F. Ta dễ dàng kiểm tra được L (E, F ) là không gian vector với các phép
toán được xác định như sau
6
(T + S) (x) = T (x) + S(x)
T (λx) = λT x.
Mệnh đề 1.1.4. Cho E và F là các không gian định chuẩn. Khi đó,
L (E, F ) là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định như trên.
Ngoài ra nếu F là không gian Banach thì L (E, F ) là không gian Banach.
Chứng minh.
+ Rõ ràng T   0 với mọi T ∈ L (E, F ) . Giả sử T  = 0 tức là
sup {T (x) : x  1} = 0.
Khi đó, với mọi y ∈ E, ta có
sup {T (y) : y ∈ E}  sup





T

y
y
y






: y ∈ E

= y. sup





T

y
y





:




y
y




 1


= y. T  = 0.
Từ đó suy ra T = 0.
+ Với mọi λ ∈ R và mọi x ∈ E ta có
λT  = sup {λT x : x  1}
= |λ|sup {T x : x  1}
= |λ|T .
+ Cuối cùng
T + S = sup {(T + S) x : x  1}
 sup {T x : x  1} + sup {Sx : x  1}
= T  + S.
7
Giả sử F là không gian Banach và {T
n
} ⊂ L (E, F ) là dãy Cauchy. Bởi
vì
T
n
x − T
m
x = (T
n
− T
m
) x
 T
n
− T
m
. x → 0;

khi n, m → ∞ và F là không gian Banach nên tồn tại
T x = lim
n→∞
T
n
x.
Do T
n
tuyến tính với mọi n nên T cũng tuyến tính. Ta còn phải chứng
tỏ rằng T liên tục và T
n
− T  → 0 khi n → ∞. Bởi vì {T
n
} ⊂ L (E, F )
là dãy Cauchy, nên với mỗi ε > 0 tồn tại N sao cho
sup {T
n
x − T
m
x : x  1} = T
n
− T
m
 < ε;
với mọi n, m  N. Do đó
T
n
x − T
m
x < ε;

với mọi n, m  N và với mọi x  1. Cho m → ∞ ta nhận được
T
n
x − T x < ε;
với mọi n, m  N và với mọi x  1. Từ đó suy ra
T x  (T − T
N
) x + T
N
x  ε + T
N
;
với mọi x  1. Vậy T ∈ L (E, F ) và T
n
− T   ε; với mọi n  N.
Tức là T
n
− T  → 0 khi n → ∞.
Mệnh đề 1.1.5. Giả sử E, F và G là các không gian định chuẩn. Nếu
T ∈ L (E, F ) và S ∈ L (F, G) thì S · T ∈ L (E, G) . Hơn nữa ta có
S · T   S. T .
Chứng minh.
8
Hiển nhiên S · T ∈ L (E, G) . Từ các đánh giá sau
(S · T ) x = S (T x)  S. T x  S. T . x
ta suy ra
S · T   S. T .
1.1.3 Một số nguyên lý cơ bản trên không gian định chuẩn
Định lí 1.1.3 (Nguyên lý ánh xạ mở). Nếu A là toán tử tuyến tính liên
tục ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y, thì A là ánh

xạ mở.
Chứng minh.
+ Trước hết ta chứng minh toán tử A là ánh xạ hình cầu mở bất kỳ W
tâm θ bán kính r > 0 nào đó trong không gian X lập thành tập A(W )
sao cho A (W ) chứa hình cầu mở V tâm θ trong không gian Y. Thật vậy,
ta xét hình cầu mở S tâm θ bán kính nhỏ hơn
r
2
. Kí hiệu
S − S = {x − x

: x ∈ S, x

∈ S

}, nS = {nx : x ∈ S, n ∈ N
∗
}
Khi đó, với mọi x, x

∈ S ta có
x − x

  x + x

 <
r
2
+
r

2
= r.
Từ đó suy ra x − x

∈ W hay S − S ⊂ W. Bởi tính tuyến tính của ánh
xạ A ta nhận được
A (W ) ⊃ A (S) − A (S) .
Với một điểm bất kì x ∈ X thì hiển nhiên
x
n
→ θ, (n → ∞) . Do đó
x
n
∈ S với n đủ lớn hay x ∈ nS. Từ đó ta suy ra
X =
∞

n=1
nS, Y = A (X) = A

∞

n=1
nS

=
∞

n=1
nA (S)

9
Theo Nguyên lý phạm trù Baire, tồn tại một tập hợp n
0
A (S) không là
tập không đâu trù mật. Do đó tồn tại hình cầu mở V
0
⊂ Y sao cho mọi
hình cầu bao hàm trong V
0
đều có giao khác rỗng với tập n
0
A (S) , nghĩa
là tập n
0
A (S) trù mật trong V
0
hay n
0
A (S) ⊃ V
0
. Từ đó suy ra
A (S) ⊃
1
n
0
V
0
= V, với mọi n  n
0
.

Cuối cùng ta được
A (W ) ⊃ A (S) − A (S) ⊃ A (S) − A (S) ⊃ V − V ⊃ V.
+ Tiếp theo ta chứng minh toán tử A ánh xạ hình cầu bất kì W tâm
tại θ trong không gian X thành tập A (W ) chứa hình cầu V tâm tại θ
trong không gian Y. Thật vậy, với số ε > 0 nào đó ta kí hiệu
W
ε
= {x ∈ X : x < ε}, V
ε
= {y ∈ Y : y < ε}.
Với mỗi số ε
i
=
ε
2
i
(i = 1, 2, ) theo chứng minh trên tồn tại hình cầu
mở V
r
i
tâm tại θ, bán kính r
i
> 0 sao cho V
r
i
⊂ A (W
ε
i
) (i = 1, 2, ) . Có
thể coi r

1
> r
2
> > r
n
> và r
n
→ 0 (n → ∞) . Nhờ đó, với y ∈ V
r
1
tồn tại x
1
∈ W
ε
1
sao cho y −Ax
1
 < r
2
, tồn tại x
2
∈ W
ε
2
sao cho
(y − Ax
1
) − Ax
2
 = y −(Ax

1
+ Ax
2
)
= y − A (x
1
+ x
2
) < r
3
,
Quá trình này tiếp tục mãi mãi, ta nhận được dãy điểm x
i
∈ W
ε
i
(i = 1, 2, ) sao cho





y − A

n

i=1
x
i







< r
n+1
(n = 1, 2, )
10
Đặt s
n
=
n

i=1
x
i
(n = 1, 2, ) , ta có
s
n+p
− s
n
 =





p


i=1
x
n+i






p

i=1
x
n+i

<
p

i=1
ε
2
n+i
=
ε
2
n
p

i=1
1

2
i
<
ε
2
n
→ 0 (n → ∞, ∀p) .
Do đó dãy (s
n
) là dãy cơ bản trong không gian Banach X, nên tồn tại
lim
n→∞
s
n
= x trong không gian X. Nhưng
x = lim
n→∞





n

i=1
x
i






 lim
n→∞
n

i=1
x
i
 < lim
n→∞
ε
n

i=1
1
2
i
< ε,
nên x ∈ W
ε
. Từ kết quả đó và từ lim
n→∞
r
n
= 0 ta suy ra
y = lim
n→∞
A


n

i=1
x
i

= A

lim
n→∞
n

i=1
x
i

= Ax ⇒ Ax ∈ A (W
ε
) .
Do đó, với mọi y ∈ V
r
1
tồn tại x ∈ W
ε
sao cho y = Ax, nghĩa là
V
r
1
⊂ A (W
ε

) .
+ Cuối cùng ta chứng minh khẳng định của định lý. Giả sử U là hình
cầu mở bất kì tâm tại x
0
trong X. Đặt W = U −x
0
= {x − x
0
: x ∈ U},
thì U là hình cầu mở tâm θ trong X. Theo chứng minh ở phần trên, tập
A (W ) chứa hình cầu mở V tâm θ trong Y. Do đó, ta có
A (U) = A (W ) + Ax
0
⊃ V + Ax
0
,
trong đó V + Ax
0
là hình cầu mở tâm Ax
0
trong Y. Giả sử G là tập
mở bất kì trong không gian X và y ∈ A (G) . Khi đó tồn tại x ∈ G sao
cho y = Ax. Do tập G mở, nên tồn tại hình cầu mở W tâm x sao cho
W ⊂ G. Theo chứng minh trên, tập A (W ) chứa hình cầu mở V tâm tại
Ax sao cho y ∈ V ⊂ A (W ) ⊂ A (G) . Nhờ tính chất tùy ý của điểm y,
nên tập A (G) mở.
Định lý được chứng minh.
11
Hệ quả 1.1.1 (Định lý ánh xạ ngược). Nếu toán tử A là tuyến tính,
liên tục và là 1 − 1 từ không gian Banach X lên không gian Banach Y

thì ánh xạ ngược A
−1
cũng liên tục.
Định lí 1.1.4 (Banach - Steinhaus). Giả sử X là không gian Banach và
Y là không gian định chuẩn. Khi đó, mọi họ toán tử tuyến tính liên tục
{A
t
: X → Y }
t∈T
mà bị chặn tại mọi điểm, nghĩa là sup
t∈T
A
t
(x) < ∞
tại mọi x, thì bị chặn đều.
Chứng minh.
Với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, ta đặt
E
n
=

x ∈ X : sup
t∈T
A
t
x  n

.
Dễ dàng ta thấy E
n

=

t∈T
{x ∈ X : A
t
x  n}. Nhờ tính liên tục của
mỗi toán tử A
t
và tính liên tục của chuẩn, mỗi tập {x ∈ X : A
t
x  n}
là tập đóng trong không gian X (n = 1, 2, ) . Hiển nhiên, E
n
⊂ X
n = 1, 2, nên
∞

n=1
E
n
⊂ X.
Mặt khác, với mỗi x ∈ X, tập (A
t
x)
t∈T
bị chặn, nên tồn tại số tự
nhiên n sao cho sup
t∈T
A
t

x  n, do đó x ∈ E
n
, suy ra X =
∞

n=1
E
n
.
Theo nguyên lý phạm trù Baire, tồn tại một tập E
n
0
không là tập
không đâu trù mật. Do đó, tồn tại hình cầu đóng S

tâm x
0
bán kính
r > 0 sao cho mọi hình cầu bao hàm trong S

đều có giao khác rỗng với
tập E
n
0
, nghĩa là tập E
n
0
trù mật trong S

hay E

n
0
=
E
n
0
⊃ S

.
Giả sử x ∈ X, x = 1, ta có (x
0
+ rx) − x
0
 = r.
Như vậy x
0
+ rx ∈ S

và
A
t
(x
0
+ rx)  n
0
, ∀t ∈ T.
12
Từ đó, suy ra với mọi t ∈ T ta có
A
t

x =




A
t
x +
1
r
A
t
x
0
−
1
r
A
t
x
0




=





1
r
A
t
(x
0
+ rx) −
1
r
A
t
x
0





1
r
A
t
(x
0
+ rx) +
1
r
A
t
x

0


n
0
r
+
n
0
r
=
2n
0
r
.
Hệ thức trên đúng với mọi x ∈ X mà x = 1, nên
A
t
 
2n
0
r
, ∀t ∈ T.
Vì vậy, tập (A
t
)
t∈T
bị chặn hay họ (A
t
)

t∈T
bị chặn đều. Định lý được
chứng minh.
1.2 Không gian Hilbert
1.2.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Cho H là không gian vector với tích vô hướng ., ..
Khi đó, (H, ) là một không gian định chuẩn với chuẩn x = x, x
1
2
.
Ta nói H là không gian Hilbert nếu H là đầy đủ với chuẩn .
Hai vector x và y trong không gian Hilbert H được gọi là hệ trực
giao nếu x, y = 0, kí hiệu x⊥y. Kí hiệu x
⊥
là tập hợp tất cả các vector
trong X trực giao với x. Cho tập A ⊂ X thì A
⊥
là kí hiệu tập tất cả các
vector trong H trực giao với mọi vector trong A.
Họ vector (v
α
)
α∈A
trong không gian Hilbert H với tập A là tập "chỉ
số" bất kì, được gọi là hệ trực giao nếu hệ này không chứa vector 0 ∈ H
và v
α
⊥v
β
với mọi α, β ∈ A, α = β. Họ vector (v

α
)
α∈A
được gọi là hệ trực
chuẩn nếu nó là hệ trực giao và với mọi α ∈ A thì v
α
 = 1.
Cho một hệ trực chuẩn (v
α
)
α∈A
, ta đặt ˆx (α) = (x, v
α
) , α ∈ A, với
13
mỗi vector x ∈ H. Khi đó, ˆx (α) , α ∈ A được gọi là các hệ số Fourier
của x ứng với hệ trực chuẩn (v
α
)
α∈A
.
Cho (α
i
)
i∈I
là họ các số thực dương, với I là tập "chỉ số" bất kì. Đặt
F (I) là họ các tập con của I có hữu hạn phần tử. Ta định nghĩa

i∈I
α

i
= sup
K∈F (I)

i∈K
α
i
. (1.1)
Giá trị của tổng ở bên trái có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Định lí 1.2.1. Giả sử H là một không gian Hilbert. Khi đó
(i) Nếu {v
1
, v
2
, , v
n
} là họ n vector trong H trực giao từng đôi một,
thì





n

i=1
v
i






2
=
n

i=1
v
i

2
. (1.2)
(ii) Giả sử {v
1
, v
2
, , v
n
} là họ n vector trực chuẩn và {t
1
, t
2
, , t
n
}
là n số thực (hoặc phức). Khi đó, ta có






n

i=1
t
i
v
i





2
=
n

i=1
|t
i
|
2
.v
i

2
. (1.3)
(iii) (Bất đẳng thức Bessel). Giả sử (v
α

)
α∈A
là một hệ trực chuẩn.
Với x ∈ H bất kì thì

α∈A
|ˆx (α)|
2
 x
2
, trong đó ˆx (α) , α ∈ A là các hệ
số Fourier của x ứng với hệ trực chuẩn đã cho.
Định nghĩa 1.2.2. Một hệ trực chuẩn (v
α
)
α∈A
được gọi là một hệ đầy
đủ (hay cơ sở đầy đủ) nếu x ∈ H ta có đẳng thức Parseval

α∈A
|ˆx (α)|
2
= x
2
. (1.4)
Hệ trực giao (v
α
)
α∈A
được gọi là đầy đủ nếu hệ trực chuẩn


v
α

−1
v
α

α∈A
là đầy đủ.
14
Định lí 1.2.2. Cho (v
α
)
α∈A
là một hệ trực chuẩn trong không gian
Hilbert H. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(i) (v
α
)
α∈A
là hệ đầy đủ;
(ii) (v
α
)
α∈A
là hệ trực chuẩn tối đại trong H, tức là không có hệ trực
chuẩn nào trong H chứa (v
α
)

α∈A
ngoại trừ chính nó.
(iii) Không gian vector sinh bởi hệ (v
α
)
α∈A
, tức là không gian gồm tất
cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn vector trong (v
α
)
α∈A
, là trù
mật trong H.
1.3 Không gian L
p
1.3.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân
Trong phần này chúng tôi chỉ giới thiệu một số kết quả quan trọng về
lý thuyết tích phân mà không đưa ra chứng minh chi tiết. Các kết quả
này có thể tham khảo trong [1], [12]
Định lí 1.3.1 (Định lý hội tụ đơn điệu của Beppo Levi). Cho (f
n
)
là dãy tăng các hàm khả tích (Lesbesgue) trên tập Ω ∈ R
N
sao cho
sup

f
n
< ∞. Khi đó, f

n
hội tụ hầu khắp nơi trên Ω về một hàm f khả
tích trên Ω và
f
n
− f
1
≡

Ω
|f
n
(x) − f (x)|dx → 0
khi n → ∞.
Định lí 1.3.2 (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue). Cho (f
n
) là một
dãy hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω. Giả sử
(i) Dãy hàm f
n
(x) hầu khắp nơi về hàm f (x) trên Ω;
(ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n ta có |f
n
(x)|  g (x)
15
hầu khắp nơi trên Ω.
Khi đó hàm f khả tích trên Ω và
f
n
− f

1
≡

Ω
|f
n
(x) − f (x)|dx → 0;
khi n → ∞.
Hệ quả 1.3.1. Giả sử f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω.
Khi đó, nếu |f|  g hầu khắp nơi trên Ω và |f| khả tích, thì f khả tích.
Bổ đề 1.3.1 (Bổ đề Fatou). Giả sử (f
n
) là một dãy các hàm khả tích
thỏa mãn điều kiện
(i) f
n
 0, hầu khắp nơi trên Ω với mọi n;
(ii) sup

f
n
< ∞.
Với mỗi x ∈ Ω, ta đặt f (x) = lim inf f
n
(x) . Khi đó, hàm f khả tích trên
Ω và ta có

f  lim
n→∞
inf


f
n
.
Định lí 1.3.3 (Tonelli). Giả sử Ω
1
và Ω
2
là hai tập mở tương ứng trong
R
1
và R
2
. Giả sử F : Ω
1
×Ω
2
→ R (hoặc C) là hàm đo được. Khi đó nếu

Ω
2
|F (x, y)|dy < ∞
hầu khắp nơi với x ∈ Ω
1
và

Ω
1
dx


Ω
2
|F (x, y)|dy < ∞.
thì F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
.
Định lí 1.3.4 (Fubini). Giả sử F là hàm khả tích trên Ω
1
×Ω
2
. Khi đó,
hầu hết x ∈ Ω
1
thì hàm F (x, .) : y → F (x, y) khả tích trên Ω
2
và hàm
16
được xác định bởi x →

Ω
2
F (x, y) dy khả tích trên Ω
1
.
Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y và Ω
1
cho Ω
2

. Hơn nữa, ta có

Ω
1
dx

Ω
2
F (x, y) dy =

Ω
2
dy

Ω
1
F (x, y) dx =

Ω
1
×Ω
2
F (x, y) dxdy.
1.3.2 Không gian L
p
Định nghĩa 1.3.1. Với mỗi số thực p mà 1  p  ∞. Ta định nghĩa
không gian L
p
như sau
L

p
(Ω) =

f : Ω → K; f đo được và|f|
p
khả tích

L
∞
(Ω) =

f : Ω → R; f đo được và bị chặn h.k.n

Khi đó, ta kí hiệu các chuẩn được xác định trên các không gian này
tương ứng bởi
f
p
=




Ω
|f (x)|
p
dx



1

p
(1.5)
và
f
∞
= inf {C : |f (x)|  C h.k.n}. (1.6)
Định lí 1.3.5 (Bất đẳng thức Holder). Giả sử các hàm f ∈ L
p
và g ∈ L
q
với
1
p
+
1
q
= 1 và 1  p  ∞. Khi đó, f.g ∈ L
1
và

|f.g|  f
p
g
q
(1.7)
Đặc biệt, khi p = q = 2 ta nhận được bất đẳng thức Cauchy - Schwartz

|f.g|  f
2
g

2
(1.8)
Ngoài ra, với p ∈ R, 1  p < ∞ ta có bất đẳng thức Minkowski
f + g
p
 f
p
+ g
p
(1.9)
17
Định lí 1.3.6. L
p
là một không gian đầy với mọi 1  p  ∞.
Với Ω là tập mở trong R
d
, ta kí hiệu C
k
(Ω) là không gian các hàm số
khả vi liên tục đến cấp k và C
∞
(Ω) =
∞

k=1
C
k
(Ω). Còn C
c
(Ω) là không

gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá của f, tức là tập hợp
suppf = {x ∈ Ω; f(x) = 0}
là compact trong Ω; kí hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp.
Đặt
C
k
c
(Ω) = C
k
(Ω) ∩ C
c
(Ω)
C
∞
c
(Ω) = C
∞
(Ω) ∩ C
c
(Ω)
Định lí 1.3.7 (Riemann - Lesbesgue). Giả sử f ∈ L
1
(a, b) , với (a, b) là
khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của R. Khi đó, ta có
(i) lim
n→∞
b

a
f (x) cos nxdx = 0; (1.10)

(ii) lim
n→∞
b

a
f (x) sin nxdx = 0. (1.11)
Chứng minh.
(i) Cho ε > 0 bất kì. Từ định lý về tính trù mật của C
∞
c
(a, b) trong
L
p
(Ω) ; p = ∞ tồn tại một hàm g (chỉ phụ thuộc vào ε) trong C
∞
c
(a, b)
sao cho
b

a
|f(x) − g(x)|dx <
ε
2
Bởi vì g có giá compact trong (a, b) nên g triệt tiêu bên ngoài một khoảng