Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (437.75 KB, 80 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ
NỘI 2
NGUYỄN VIẾT TUÂN
GIẢI TÍCH SÓNG NHỎ VÀ ỨNG DỤNG TRONG
BIỂU DIỄN CÁC HÀM
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Quỳnh Nga
Hà Nội, 2011
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh
Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơ n sâu sắc đối với cô, người
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức, phương pháp nghiên
cứu để tôi hoàn thành khoá học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, phòng Sau đại
học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên khoa Toán trường đại học Sư phạm
Hà Nội 2 về sự quan tâm giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiê n cứu.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán
bộ giảng viên khoa Khoa học c ơ bản trường Đại học Sao Đỏ, đã tạo điều
kiện giúp tôi hoàn thành chương trình cao học.
Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân trong gia đình tôi,
tập thể lớp K13: Toán giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian học tập và nghiên
cứu.
Hà nội, n gày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga. Luận văn không hề trùng lặp
với những đề tài khác.
Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1.Một số khái niệm và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.Không gian L
p
(R), 1 ≤ p ≤ ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ. . . . . . . . . . . . 10
1.4.Sóng nhỏ Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.Không gian H
1
trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2.Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.Xấp xỉ đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.Xây dựng một sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải . . . . . . . 25
2.3.Sóng nhỏ có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Chương 3.Biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.Cơ sở của không gian Bana ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.Cơ sở không điều kiện của không gian Banach. . . . . . . . 48
3.3.Sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong L
p
(R) . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.Sự hội tụ điểm của chuỗi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4
3.5.Sóng nhỏ thiết lập cơ sở không điều kiện cho H
1
(R) và L
p
(R) với 1 < p
63
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích sóng nhỏ được phát triển tương đối g ần đây, vào những năm
80 của thế kỷ XX. Sóng nhỏ nhận được sự quan tâm rộng rãi của nhiều
nhà khoa học và kỹ sư thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau do nó l à một công
cụ đa năng với nội dung toán học phong phú và có tính ứng dụng cao. Đó
là lý do tại sao có rất nhiều sách và bài báo khoa học viết về đề tài này.
Ta có thể tìm thấy những ứng dụng của sóng nhỏ trong giải tích tín hiệu,
xử l ý ảnh, nén dữ liệu, nhận dạng mẫu, đồ họa máy tính, phát hiện máy
bay và tàu ngầm, kỹ thuật ảnh trong y khoa. . . .
Giải tích sóng nhỏ có thể xem như mộ t lựa chọn thay thế cho giải
tích Fourier cửa sổ cổ điển. Những viên gạch xây dựng nên giải tích Fourier
cửa sổ là các sóng sin và cosin nhân với một cửa sổ trượt. Trong giải tích
sóng nhỏ, cửa sổ là một sóng mẹ. Sóng mẹ này không còn phải nhân với
sin hay cosin nữa mà nó được tịnh tiến và giãn nở bởi các phép tịnh tiến
và giãn nở bất kỳ. Đó là cách mà sóng mẹ tạo thành các sóng nhỏ khác.
Những sóng nhỏ này chính là những viên gạch xây dựng nên giải tích sóng
nhỏ. Nhờ đó mà phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểm hơn phép biến đổi
Fourier cửa sổ ở chỗ nó có khả năng phóng to hay thu nhỏ, tức là cửa sổ
thời gian tần số sẽ tự động thu nhỏ với những thành phần có tần số cao
và mở rộng với những thành phần có tần số thấp. Đó là tính chất được
mong chờ nhất trong giải tích thời gian - tần số.
Sóng nhỏ có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán khác nhau, ví
2
dụ như trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết toán tử, biểu diễn các hàm
và đặc trưng các không gian hàm. . . Cũng tương tự như chuỗi Fourier biểu
diễn các tín hiệu hay các hàm qua các sóng sin và cosin, ta có thể dùng
sóng nhỏ để biểu diễn các tín hiệu hay các hàm dưới dạng chuỗi. Hơn nữa,
đối với chuỗi Fourier, các sóng sin và cosin được chọn làm các hàm cơ sở,
sau đó các tính chất của chuỗi tạo ra mới được kiểm tra nhưng trong chuỗi
sóng nhỏ, ta có thể chọn những tính chất mong muốn trước rồi mới tìm
những hàm cơ sở thoả mãn tính chất trên. Đặc biệt, trong chuỗi sóng nhỏ
các hàm cơ sở không nhất thiết phải tạo thành một hệ độc lập tuyến tính.
Tính chất này có ưu điểm là ta chỉ cần lưu trữ các hệ số sóng nhỏ với độ
chính xác thấp mà vẫn có thể hồi phục lại tín hiệu với độ chính xác tương
đối cao.
Ta có thể xem giải tích sóng nhỏ như là một s ự tinh luyện của giải
tích Fourier do biểu diễn của các hàm trong nhiều trường hợp là đơn giản
hơn nhiều nhờ số lượng các hệ số ít hơn so với giải tích Fourier cổ điển,
ví dụ như trong biểu diễn các hàm răng cưa. Điều này dẫn đến tỷ số nén
một tín hiệu khi sử dụng chuỗi sóng nhỏ tốt hơn là sử dụng chuỗi Fourier,
theo nghĩa là ít dữ liệu phải dùng để khôi phục lại tín hiệu ban đầu. Trên
thực tế, tỷ số nén của một số chuỗi sóng nhỏ là vượt trội hơn hẳn chuỗi
Fourier trong việc phục hồi dấu vân tay đến mức cơ quan an ninh quốc
gia Mỹ FBI sử dụng chúng để lưu trữ và truyền đi một kho cơ sở dữ liệu
khổng lồ.
Do tính thời sự và tính ứng dụng cao c ủa sóng nhỏ c ũng như nội
dung toán học phong phú của nó, tôi quyết định chọn “Giải tích sóng
nhỏ và ứng dụng trong biểu d iễn các hàm” làm đề tài luận văn tốt
3
nghiệp.
Luận văn được chia thành ba chương cùng với phần mở đầu, kết luận
chung và danh mục tài liệu tham khảo.
Trong chương 1 chúng tôi nhắc lại những kết quả cơ bản của lý thuyết
không gian L
p
, phép biến đổi Fourier, không gian H
1
(R), mà không chứng
minh những kết quả đó. Bên cạnh đó chúng tôi trình bày khái niệm sóng
nhỏ và ví dụ.
Chương 2 của luận văn trình bày về xấp xỉ đa phân giải, xây dựng
sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải, sóng nhỏ có giá compact cùng với một số
ví dụ và các chứng minh đầy đủ, chi tiết.
Ở chương 3 chúng tôi trình bày ứng dụng của sóng nhỏ trong biểu
diễn các hàm. Cụ thể, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số kết quả về cơ sở
và cơ sở không điều kiện của không gian Banach, sau đó chúng tôi nghiên
cứu sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong L
p
(R), sự hội tụ điểm của chuỗi
sóng nhỏ và ứng dụng thiết lập cơ sở không điều kiện cho H
1
(R) và L
p
(R).
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết một số nét chính của
giải tích sóng nhỏ cùng với ứng dụng của nó trong biểu diễn các hàm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu sóng nhỏ.
- Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải và cách xây dựng sóng nhỏ.
- Nghiên cứu biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu
4
Áp dụng phương pháp sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu, đặt các
câu hỏi và tìm câu trả lời, chứng minh chi tiết những khẳng định không
có chứng minh.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về các vấn
đề chính liên quan đến g iải tích s óng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các
hàm.
5
Chương 1
Một số khái niệm và kết quả ban
đầu
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả
ban đầu phục vụ cho các chương sau của luận văn. Để thuận tiện cho việc
trình bày trong luận văn này ta sử dụng từ viết tắt: h.k.n = hầu khắp nơi.
1.1. Không gian L
p
(R), 1 ≤ p ≤ ∞
Cho p ∈ R, 1 ≤ p < ∞. Ta định nghĩa
L
p
(R) :=
f : R −→ C
f đo được và
+∞
−∞
|f(x)|
p
dx < ∞
.
Ta định nghĩa không gian L
∞
(R) như sau:
L
∞
(R) :=
f : R −→ C
f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C h.k.n
.
Ký hiệu ||f||
p
:=
+∞
−∞
|f(x)|
p
dx
1
p
và ||f||
∞
:= inf
C
|f(x)| ≤ C h.k.n
.
Khi đó L
p
(R)(1 ≤ p ≤ ∞) là không gian Banach với chuẩn ||.||
p
.
6
Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức H¨older)
Cho f ∈ L
p
(R), g ∈ L
p
(R) với
1
p
+
1
p
= 1; 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó,
f.g ∈ L
1
(R) và
|f.g| ≤ ||f ||
p
.||g||
p
. (1.1.1)
Đặc biệt, khi p = p
= 2 ta có bất đẳng thức Schwarz - Buniakowski
|f.g| ≤ ||f||
2
.||g||
2
. (1.1.2)
Ngoài ra, với p ∈ R, 1 ≤ p < ∞ ta có bất đẳng thức Minkowski
||f + g||
p
≤ ||f||
p
+ ||g||
p
. (1.1.3)
Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức Minkowski cho các tích phân)
Cho 1 ≤ p < ∞ và F (x, y) là một hàm đo được trên R × R. Khi đó
R
R
|F (x, y)|dx
p
dy
1
p
≤
R
R
|F (x, y)|
p
dy
1
p
dx. (1.1.4)
Định lý 1.1.3. (Hội tụ bị chặn của Lebesgue)
Cho {f
n
} là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên tập mở Ω
của R
n
. Giả sử:
i) f
n
(x) −→ f(x) h.k.n trên Ω;
ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f
n
(x)| ≤ g(x) h.k.n
trên Ω.
Khi đó f khả tích và
f (x)dx = lim
n→∞
f
n
(x) dx. (1.1.5)
7
Định lý 1.1.4. (Bổ đề Fatou)
Nếu {f
n
} là một dãy các hàm đo được không âm thì
R
lim
n→∞
f
n
≤ lim
n→∞
R
f
n
.
Giả sử Ω
1
⊂ R
n
1
; Ω
2
⊂ R
n
2
là hai tập mở và F : Ω
1
× Ω
2
−→ R
(hoặc C) là hàm đo được.
Định lý 1.1.5. (Tonelli)
Giả sử
Ω
2
|F (x, y)|dy < ∞ h. k.n x ∈ Ω
1
và
Ω
1
dx
Ω
2
|F (x, y)|dy < ∞.
Khi đó F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
.
Định lý 1.1.6. (Fubini)
Cho F khả tích trên Ω
1
× Ω
2
. Khi đó với h.k.n x ∈ Ω
1
, F (x, .) ≡
y −→ F (x, y) khả tích trên Ω
2
và x −→
Ω
2
F (x, y)dy khả tích trên Ω
1
.
Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y và Ω
1
cho Ω
2
. Hơn nữa ta có:
Ω
1
dx
Ω
2
F (x, y)dy =
Ω
2
dy
Ω
1
F (x, y)dx =
Ω
1
×Ω
2
F (x, y)dxdy.
(1.1.6)
1.2. Phép biến đổi Fourier
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R)
Định nghĩa 1.2.1. Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L
1
(R) cho
bởi công thức
ˆ
f(ω) = (Ff )(ω) :=
+∞
−∞
e
−iωx
f(x)dx. (1.2.1)
8
Một số tính chất cơ bản của
ˆ
f(ω) với f ∈ L
1
(R) được cho trong hai
định lý sau:
Định lý 1.2.1. Cho f ∈ L
1
(R). Khi đó phép biến đổi Fourier của f thoả
mãn:
i)
ˆ
f ∈ L
∞
(R); ||
ˆ
f||
∞
≤ ||f||
1
;
ii)
ˆ
f liên tục đều trên R;
iii) Nếu đạo hàm f
tồn tại và thuộc L
1
(R) thì
ˆ
f
(ω) = iω
ˆ
f(ω);
iv)
ˆ
f(ω) → 0 khi ω → ±∞.
Định lý 1.2.2. Nếu f(t), g(t) ∈ L
1
(R) và α, β là các hằng số bất kỳ
thì
i) F {αf (t) + βg (t)} = αF {f (t)} + βF {g (t)}; (1.2.2)
ii) F {T
a
f (t)} = M
−a
f (ω) (1.2.3)
iii) F{D
1
a
f(t)} = D
a
ˆ
f(ω); (1.2.4)
iv) F{
D
−1
f(t)} =
ˆ
f(ω); (1.2.5)
v) F{M
a
f(t)} = T
a
ˆ
f(ω); (1.2.6)
trong đó T
α
là phép tịnh tiến cho bởi T
α
f(t) = f(t−α), D
b
là phép giãn cho
bởi D
b
f(t) =
1
|b|
f(
t
b
), M
c
là phép biến điệu cho bởi M
c
f(t) = e
ict
f(t)
với a, b, c ∈ R, b > 0.
Định nghĩa 1.2.2. Cho
ˆ
f ∈ L
1
(R) là phép biến đổi Fourier của f ∈
L
1
(R). Khi đó phép biến đổi Fourier ngược của
ˆ
f được định nghĩa là
{F
−1
ˆ
f}(x) :=
1
2π
+∞
−∞
e
ixω
ˆ
f(ω)dω. (1.2.7)
9
Định lý 1.2.3. Cho f ∈ L
1
(R) có phép biến đổi Fourier
ˆ
f ∈ L
1
(R). Khi
đó
f(x) = (F
−1
ˆ
f)(x), (1.2.8)
tại mọi điểm x mà ở đó f liên tục.
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R)
Định lý 1.2.4. Cho f ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R). Khi đó phép biến đổi Fourier
của f là
ˆ
f ∈ L
2
(R) và thoả mãn đồng nhất thức Parseval
f
2
2
= 2π f
2
2
Từ định lý (1.2.4) ta thấy phép biến đổi Fourier F : L
1
(R)∩L
2
(R) −→
L
2
(R), là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn ||F|| =
√
2π. Do L
1
(R) ∩
L
2
(R) là trù mật trong L
2
(R), F có thể thác triển lên toàn bộ L
2
(R) mà
vẫn bảo toàn chuẩn. Cụ thể hơn, nếu f ∈ L
2
(R) thì
f
N
(x) =
f(x) nếu |x| ≤ N
0 nếu |x| > N, N = 1, 2, . . .
(1.2.9)
nằm trong L
1
(R) ∩ L
2
(R). Do đó
ˆ
f
N
∈ L
2
(R).
Có thể kiểm tra được rằng {
ˆ
f
N
} là dãy Cauchy trong L
2
(R). Do tính
đầy đủ của L
2
(R) ta có thể tìm được
ˆ
f
∞
∈ L
2
(R) sao cho lim
N→∞
||
ˆ
f
N
−
ˆ
f
∞
||
2
= 0.
Định nghĩa 1.2.3. Phép biến đổi Fourier
ˆ
f của hàm f ∈ L
2
(R) được
định nghĩa là giới hạn
ˆ
f
∞
của {
ˆ
f
N
}.
Chú ý: Định nghĩa
ˆ
f của hàm f ∈ L
2
(R) là độc lập với s ự lựa chọn
của f
N
∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R). Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào khác
trong L
1
(R) ∩ L
2
(R) mà xấp xỉ f trong L
2
(R) có thể sử dụng để định
nghĩa
ˆ
f.
10
Định lý 1.2.5. (Định lý Plancherel)
Cho f, g ∈ L
2
(R). Khi đó
f, g =
1
2π
ˆ
f, ˆg
. (1.2.10)
Đặc biệt:
f
2
= (2π)
−
1
2
f
2
. (1.2.11)
1.3. Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ
Ta ký hiệu L
2
(0, 2π) là tập hợp tất c ả các hàm đo được f : (0, 2π) −→
C với
2π
0
|f(x)|
2
dx < ∞. Các hàm trong L
2
(0, 2π) có thể thác triển trên
toàn bộ R, cụ thể là f(x) = f(x −2π), ∀x ∈ R. Do đó L
2
(0, 2π) thường
được gọi là không gian các hàm bình phương khả tích tuần hoàn chu kỳ
2π. Ta dễ dàng kiểm tra rằng L
2
(0, 2π) là một không gian ve ctơ. Bất kỳ
hàm f nào trong L
2
(0, 2π) đều có thể biểu diễn được dưới dạng chuỗi
Fourier
f(x) =
∞
n=−∞
c
n
e
inx
, (1.3.1)
trong đó hằng số c
n
được gọi là hệ số Fourie r của f, được xác định b ởi
c
n
=
1
2π
2π
0
f(x)e
−inx
dx. (1.3.2)
Sự hội tụ của chuỗi (1.3.1) là sự hội tụ trong L
2
(0, 2π), tức là
lim
M,N →∞
2π
0
f(x) −
N
n=−M
c
n
e
inx
2
dx = 0.
Không gian L
2
(0, 2π) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
f, g =
1
2π
2π
0
f(x)
g(x)dx. (1.3.3)
11
Ta có thể kiểm tra rằng {e
inx
}
n∈Z
là một cơ sở trực chuẩn của
L
2
(0, 2π). Ta nhận xét rằng cơ cở trực chuẩn {e
inx
}
n∈Z
được tạo thành từ
một hàm duy nhất W (x) = e
ix
bằng cách giãn nở, cụ thể là e
inx
= W (nx).
Do đó hàm W (x) là một sóng sin sinh ra L
2
(0, 2π). Ta cũng chú ý rằng
từ tính chất trực chuẩn của {e
inx
}
n∈Z
, ta có đẳng thức Parseval
1
2π
2π
0
|f(x)|
2
dx =
∞
n=−∞
|c
n
|
2
. (1.3.4)
Trong R ta cũng có một lý thuyết tương tự. Ta ký hi ệu L
2
(R) là tập
tất cả các hàm đo được f : R −→ C sao cho
∞
−∞
|f(x)|
2
dx < ∞. Khi đó
L
2
(R) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
f, g =
∞
−∞
f(x)
g(x)dx. (1.3.5)
Tuy nhiên hai không gian L
2
(0, 2π) và L
2
(R) khá khác nhau. Do mọi
hàm trong L
2
(R) phải dần tới 0 tại ±∞ nên e
inx
không thuộc vào L
2
(R).
Nếu ta đi tìm những sóng để sinh ra L
2
(R) thì những sóng này phải dần
tới 0 tại ±∞. Trong thực tế, ta cần những sóng giảm rất nhanh tại ±∞.
Điều đó có nghĩa là ta đi tìm những sóng nhỏ để sinh ra L
2
(R). Cũng như
trong trường hợp không gian L
2
(0, 2π), ta muốn tìm một hàm duy nhất
ψ để sinh ra toàn bộ L
2
(R). Nhưng nếu ψ giảm rất nhanh thì là m thế
nào nó có thể phủ toàn bộ đường thẳng? Rõ ràng ta phải dịch chuyển ψ
dọc theo R. Cách đơn giản nhất để ψ phủ toàn bộ R là ta xét các hàm
ψ(x − k), k ∈ Z. Cũng như s ó ng sin, ta cũng phải xét các sóng có tần số
khác nhau. Để thuận lợi cho việc tính toán, ta sẽ sử dụng các mũ nguyên
của 2 trong việc chia tần số, tức là xét các sóng nhỏ ψ(2
j
x − k), k, j ∈ Z
với lưu ý rằng ψ(2
j
x − k), k, j ∈ Z nhận được từ hàm s óng nhỏ ψ(x) bởi
12
phép giãn nở nhị phân (nhân với 2
j
) và phép dịch chuyển (của
k
2
j
). Những
phân tích trên dẫn ta đến định nghĩa của sóng nhỏ như sau.
Ta sử dụng ký hiệu Kronecker:
δ
j,k
:=
1 nếu j = k
0 nếu j = k.
Định nghĩa 1.3.1. Một hàm ψ ∈ L
2
(R) được gọi là một sóng nhỏ trực
chuẩn của L
2
(R) nếu họ ψ
j,k
được xác định bởi
ψ
j,k
(x) = 2
j
2
ψ(2
j
x −k), j, k ∈ Z (1.3.6)
là một cơ sở trực chuẩn của L
2
(R), tức là
ψ
j,k
, ψ
,m
= δ
j,
.δ
k,m
, j, k, , m ∈ Z (1.3.7)
và mọi hàm f ∈ L
2
(R) đều có thể viết được dưới dạng
f =
∞
j,k=−∞
c
j,k
ψ
j,k
(1.3.8)
trong đó sự hội tụ của chuỗi (1.3.8) là sự hội tụ trong L
2
(R), tức là
lim
M
1
,N
1
,M
2
,N
2
→∞
f −
N
2
j=−M
2
N
1
k=−M
1
c
j,k
ψ
j,k
2
= 0.
Biểu diễn chuỗi f trong (1.3.8) được gọi là chuỗi s ó ng nhỏ, c
j,k
được
gọi là hệ số sóng nhỏ.
Chú ý: ψ
j,k
2
= ψ
2
, ∀j, k ∈ Z vì
ψ
j,k
2
=
∞
−∞
|ψ
j,k
(t)|
2
dt
1
2
=
∞
−∞
|2
j
2
ψ(2
j
t − k)|
2
dt
1
2
=
∞
−∞
2
j
|ψ(2
j
t − k)|
2
dt
1
2
13
Bằng phép đổi biến x = 2
j
t − k, ta có
∞
−∞
2
j
ψ
2
j
t − k
2
dt
1
2
=
∞
−∞
|ψ (x)|
2
dx
1
2
= ψ
2
.
Do đó, nếu ψ là sóng nhỏ trực chuẩn thì ||ψ||
2
= 1.
1.4. Sóng nhỏ Haar
Cho hàm Haar
ψ(t) :=
1 nếu 0 ≤ t <
1
2
,
−1 nếu
1
2
≤ t < 1,
0 trong các trường hợp khác.
(1.4.1)
Khi đó ψ(t) là một sóng nhỏ trực chuẩn.
Thật vậy, trước tiên ta chứng minh ψ(t) ∈ L
2
(R). Ta có
∞
−∞
|ψ (t)|
2
dt = 0 +
1
2
0
dt+
1
1
2
dt + 0 = 1.
Bây giờ ta chứng minh ψ
j,k
(t) là hệ trực chuẩn của L
2
(R). Theo (1. 3 .6) ta
có
ψ
m,n
, ψ
k,l
=
∞
−∞
2
m
2
ψ (2
m
x −n) 2
k
2
ψ
2
k
x −
dx.
Đặt 2
m
x − n = t ta được
ψ
m,n
, ψ
k,
= 2
k
2
2
−
m
2
∞
−∞
ψ (t) ψ
2
k−m
(t + n) −
dt.
Khi m = k ta có
ψ
m,n
, ψ
m,
=
∞
−∞
ψ (t) ψ [(t + n) −] dt = δ
0,n−
= δ
n,
,
14
ở đó ψ (t) = 0, ∀t ∈ [0; 1) và ψ (t − −n) = 0, ∀t ∈ [ − n; 1 + − n) và
các khoảng này là rời nhau trừ trường hợp n = .
Khi m = k, do tính đối xứng của m và k nên ta xét trường hợp
m > k. Đặt r = m − k > 0 và s = 2
r
n − ∈ Z, ta cần chứng minh
ψ
m,n
, ψ
k,
= 2
r
2
∞
−∞
ψ (t) ψ (2
r
t + s) dt = 0.
Điều này tương đương với
1
2
0
ψ (2
r
t + s) dt −
1
1
2
ψ (2
r
t + s) dt = 0.
Bằng phép đổi biến 2
r
t + s = x ta có
a
s
ψ (x) dx −
b
a
ψ (x) dx = 0,
ở đó a = 2
r−1
+ s và b = 2
r
+ s.
Vì [s, a] chứa giá [0, 1] của ψ mà
∞
−∞
ψ (x) dx = 0 +
1
2
0
dx −
1
1
2
dx + 0 = 0,
nên
a
s
ψ (x) dx = 0. Tương tự
b
a
ψ (x) dx = 0.
Như vậy ψ
j,k
(x) đã là hệ trực chuẩn. Ta cần chứng minh rằng bất
kỳ hàm f ∈ L
2
(R) có thể xấp xỉ bằng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của
các ψ
j,k
(x) với độ chính xác tuỳ ý. Thật vậy, với bất kỳ hàm f ∈ L
2
(R)
có thể xấp xỉ với độ chính xác tuỳ ý bằng một hàm số có giá com pact và
bằng hằng số trên mỗi nửa khoảng
.2
−j
, ( + 1) 2
−j
(điều này có được
khi chọn giá và j đủ lớn). Do đó ta có thể giả thiết f có giá
−2
j
1
, 2
j
1
và
15
bằng hằng số trên từng khúc
.2
−j
0
, ( + 1) 2
−j
0
trong đó j
0
và j
1
có thể
lớn tuỳ ý.
Đặt f
0
:= f. Gọi giá trị hằng số của f
0
trên
.2
−j
0
, ( + 1) 2
−j
0
là
f
0
. Khi đó f
0
= f
−1
+ δ
−1
, trong đó f
−1
là hàm hằng trên từng khúc có
độ dài gấp hai lần độ dài từng khúc của f
0
với giá trị trên mỗi khúc bằng
trung bình cộng của hai giá trị hằng số tương ứng của f
0
. Cụ thể
f
−1
[
k.2
−j
0
+1
,(k+1)2
−j
0
+1
)
:= f
−1
k
:=
1
2
f
0
2k
+ f
0
2k+1
,
và δ
−1
là hàm hằng trên từng khúc có độ dài bằng độ dài từng khúc của
f
0
.
Ta có
δ
−1
2
= f
0
2
− f
−1
= f
0
2
−
1
2
f
0
2
+ f
0
2+1
=
1
2
f
0
2
− f
0
2+1
;
δ
−1
2+1
= f
0
2+1
− f
−1
= f
0
2+1
−
1
2
f
0
2
+ f
0
2+1
=
1
2
f
0
2+1
− f
0
2
= −δ
−1
2
.
Nhắc lại rằng ψ (x) = ψ
0,0
và ψ
j,k
(x) := 2
j
2
ψ
2
j
x − k
, j, k ∈ Z.
Do đó
ψ
j,k
(x) :=
1 nếu k.2
−j
≤ x < (k +
1
2
)2
−j
,
−1 nếu (k +
1
2
)2
−j
≤ x < (k + 1)2
−j
,
0 trong các trường hợp khác
và
δ
−1
=
2
j
1
+j
0
−1
=−2
j
1
+j
0
−1
+1
δ
−1
2
ψ
2
−j
0
+1
−
=
c
−j
0
+1,
ψ
−j
0
+1,
,
trong đó c
−j
0
+1,
:= δ
−1
2
.
Do vậy
f = f
0
= f
−1
+ δ
−1
= f
−1
+
c
−j
0
+1,
ψ
−j
0
+1,
.
16
Tương tự
f
−1
= f
−2
+
c
−j
0
+2,
ψ
−j
0
+2,
,
trong đó f
−2
là hàm hằng trên từng khúc có độ dài
k.2
−j
0
+2
, (k + 1) 2
−j
0
+2
.
Tiếp tục làm như vậy cho đến khi ta có
f = f
−j
0
−j
1
+
j
1
m=−j
0
+1
c
m,
ψ
m,
,
trong đó f
−j
0
−j
1
là hàm hằng trên hai khúc
0, 2
j
1
và
−2
j
1
, 0
với
f
−j
0
−j
1
[0,2
j
1
)
:= f
−j
0
−j
1
0
là trung bình cộng của f trên
0, 2
j
1
và
f
−j
0
−j
1
[−2
j
1
,0)
:= f
−j
0
−j
1
−1
là trung bình cộng của f trên
−2
j
1
, 0
.
Tiếp tục quá trình này ta có
f
−j
0
−j
1
= f
−j
0
−j
1
−1
+ δ
−j
0
−j
1
−1
,
trong đó f
−j
0
−j
1
−1
[0,2
j
1
+1
)
:=
1
2
f
−j
0
−j
1
0
và f
−j
0
−j
1
−1
[−2
j
1
+1
,0)
:=
1
2
f
−j
0
−j
1
−1
.
Từ đó
δ
−j
0
−j
1
−1
=
1
2
f
−j
0
−j
1
ψ
2
j
1
−1
x
−
1
2
f
−j
0
−j
1
−1
ψ
2
j
1
−1
x + 1
.
Tiếp tục ta có
f = f
−j
0
−j
1
−k
+
j
1
+k
m=−j
0
+1
c
m,
ψ
m,
,
trong đó f
−j
0
−j
1
−k
[0,2
j
1
+k
)
:= 2
−k
f
−j
0
−j
1
0
và f
−j
0
−j
1
−k
[−2
j
1
+k
,0)
:= 2
−k
f
−j
0
−j
1
−1
17
với f
−j
0
−j
1
0
là hằng số. Do đó
||f −
j
1
+k
m=−j
0
+1
c
m,
ψ
m,
||
2
= ||f
−j
0
−j
1
−k
||
2
=
∞
−∞
f
−j
0
−j
1
−k
(x)
2
dx
1
2
=
2
j
1
+k
0
2
−2k
f
−j
0
−j
1
0
2
dx +
0
−2
j
1
+k
2
−2k
f
−j
0
−j
1
−1
2
dx
1
2
=
2
−2k
f
−j
0
−j
1
0
2
2
j
1
+k
+ 2
−2k
f
−j
0
−j
1
−1
2
2
j
1
+k
1
2
= 2
j
1
2
2
−
k
2
f
−j
0
−j
1
0
2
+
f
−j
0
−j
1
−1
2
1
2
.
Chọn k đủ lớn để 2
j
1
2
2
−
k
2
f
−j
0
−j
1
0
2
+
f
−j
0
−j
1
−1
2
1
2
đủ nhỏ thì ta có
thể xấp xỉ f bởi một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các ψ
m,
với độ chính
xác tuỳ ý.
Như vậy, ψ(t) là một sóng nhỏ trực chuẩn.
1.5. Không gian H
1
trên R
Cho R
2
+
=
(x, t) ∈ R
2
|t > 0
là nửa mặt phẳng trên. Phần thực
của
i
πz
, z = x + it, được gọi là nhân Poisson của R
2
+
và phần ảo được gọi
là nhân Poisson liên hợp của R
2
+
. Do
i
πz
=
i
π (x + it)
=
i (x − it)
π (x
2
+ t
2
)
=
1
π
t
x
2
+ t
2
+
i
π
x
x
2
+ t
2
,
nhân Poisson và nhân Poisson liên hợp của R
2
+
là
P
t
(x) =
1
π
t
x
2
+ t
2
và Q
t
(x) =
1
π
x
x
2
+ t
2
.
Cho f ∈ L
p
(R), 1 ≤ p < ∞, thì tích phân Poisson của f là
u (x, t) = (P
t
∗ f) (x) =
1
π
R
t
(x −y)
2
+ t
2
f (y) dy.
18
Không khó có thể chỉ ra được u(x, t) là hàm điều hòa trong R
2
+
, thỏa mãn
lim
t→0
+
u (x, t) = f (x) h.k.n trên R.
Nếu ta xét
v (x, t) = (Q
t
∗ f) (x) =
1
π
R
x − y
(x −y)
2
+ t
2
f (y) dy,
và viết z = x + it chúng ta thấy rằng
F (z) ≡ u (x, t) + iv (x, t) =
i
π
R
f (y)
z −y
dy,
là một hàm giải tích trong R
2
+
. Bất đẳng thức M. Riesz khẳng đị nh rằng
tồn tại một hằng số A
p
> 0, không phụ thuộc vào f ∈ L
p
(R) sao cho:
sup
t>0
R
|F (x + it)|
p
dx
1
p
≤ A
p
||f||
L
p
(R)
, 1 < p < ∞. (1.5.1)
Khi p = 1, bất đẳng thức (1.5.1) không còn đúng nữa. Không gian của tất
cả các hàm giá trị thực f ∈ L
1
(R) sao cho
sup
t>0
R
|F (x + it)|dx
< ∞ (1.5.2)
được gọi là ReH
1
≡ ReH
1
(R). Biểu thức
||f||
ReH
1
= sup
t>0
R
|F (x + it)|dx
xác định một chuẩn trên ReH
1
, điều đó l àm cho không gian này là một
không gian Banach thực. Khi ReH
1
, được “phức hóa” chúng ta thu được
một không gian, chúng ta sẽ ký hiệu bởi H
1
(R) ≡ H
1
. Điều đó có nghĩa
là, f ∈ H
1
nếu và chỉ nếu f = g + ih, với g, h ∈ ReH
1
; trong trường hợp
này
||f||
H
1
= ||g||
ReH
1
+ ||h||
ReH
1
19
xác định một chuẩn trên H
1
.
Không gian H
1
chúng ta vừa định nghĩa gồm có các hàm trong L
1
(R).
Câu hỏi tự nhiên là, liệu có tồn tại một sự mô tả đơn giản các hàm đó
không. Quả thật tồn tại, một đặc trưng của H
1
, qua các phần tử sơ cấp,
được gọi là các “nguyên tử”. Điều này là rất thích hợp với mục tiêu của
chúng ta là thu được cơ sở sóng nhỏ của không gian này.
Định nghĩa 1.5.1. Một nguyên tử là một hàm đo được a xác định trên
R, thỏa mãn các điều kiện:
i) Giá của a chứa trong một khoảng hữu hạn I ⊂ R;
ii) |a(x)| ≤
1
|I|
, ∀x ∈ R;
iii)
R
a(x)dx = 0.
(1.5.3)
Sau đây là đặc trưng nguyên tử của H
1
≡ H
1
(R) :
Định lý 1.5.1. Một hàm f thuộc H
1
(R) khi và chỉ khi f có khai triển
dưới dạng
f =
∞
j=1
λ
j
a
j
, (1.5.4)
trong đó a
j
, j = 1, 2, 3, ··· , là các nguyên tử và
∞
j=1
|λ
j
| < ∞. Hơn nữa:
||f||
H
1
≈ inf
∞
j=1
|λ
j
|
, (1.5.5)
ở đây infimum là được lấy theo tất cả các khai triển của f ở dạng (1.5.4).
Tồn tại một đặc trưng tương tự của H
1
qua các phân tử. Phân tử có
phần phức tạp hơn nguyên tử.
