biến đổi tích phân và ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRỊNH KHẮC BÌNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRỊNH KHẮC BÌNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN, 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạmĐại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo
Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo nhà trường đã trang bị kiến
thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi trong q trình học tập và
nghiên cứu.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người
đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức,
khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã
động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ
và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giả

Trịnh Khắc Bình

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Lp . . . . . .
1.2 Các định lý quan trọng của
1.3 Tích chập . . . . . . . . .
1.4 Tích phân Dirichlet . . . .

3
3
6
7
8

. . . . . . . . . . .
lý thuyết tích phân
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

2 Chuỗi Fourier
2.1 Chuỗi Fourier thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Chuỗi Fourier - cosin và chuỗi Fourier - sin . . . . . . . . .
2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval . . . . . . .
2.4 Chuỗi Fourier phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Đẳng thức Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Các bài tốn biên cho phương trình Laplace trong hình chữ
nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Phương trình dạo động của thanh . . . . . . . . . . . . . .
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



13
13

13
14
16
16
16
21
22
22
24
27
27
28
28
29
30
31
32


2.6.1
2.6.2

Phương trình dao động tự do . . . . . . . . . . . . .
Phương trình dao động cưỡng bức . . . . . . . . . .

3 Biến đổi Fourier
3.1 Khái niệm về tích phân Fourier . . . . . . . . . .
3.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Các tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . .
3.4 Biến đổi Fourier trong Lp . . . . . . . . . . . . .

3.5 Phương trình Laplace trong miền nửa dải . . . .
3.6 Bài toán Dirichlet cho miền nửa mặt phẳng . . .
3.7 Phương trình Laplace trong góc phần tư của mặt
3.8 Bài tốn Cauchy của phương trình truyền nhiệt .
4 Biến đổi Laplace
4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . .
4.2 Các tính chất . . . . . . . . . .
4.3 Biến đổi Laplace ngược . . . . .
4.4 Phương trình vi phân thường . .
4.5 Phương trình đạo hàm riêng . .
4.6 Phương trình tích phân Volterra.

.
.
.
.
.
.
.
.

37
37
40
43
48
51
52
55
57

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
phân

59
59
61
66
70
73
77

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
phẳng
. . . .

. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .

Phương trình vi- tích

32
34

.
.
.
.
.
.
.
.

Kết luận

80

Tài liệu tham khảo

81

iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mở đầu
Phương pháp biến đổi tích phân là một trong những phương pháp giải

tích hữu hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm
riêng và các phương trình tích phân dạng chập tuyến tính. Các biến đổi tích
phân quan trọng, như biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel,
v.v.. từ lâu đã được sử dụng trong giải các phương trình vi phân và phương
trình tích phân tuyến tính hệ số hằng.
Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, các
phương trình vi phân, phương trình tích phân có dạng và miền khảo sát
thích hợp có thể được chuyển về các phương đại số tương ứng. Từ đó, sử
dụng các cơng thức nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn.
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau
đây: chuỗi Fourier( biến đổi Fourier hữu hạn), biến đổi tích phân Fourier,
Fourier-sin, Fourier-cosin và biến đổi Laplace cùng một số ứng dụng của
chúng trong phương trình đạọ hàm riêng và một số loại phương trình tuyến
tính khác.
Luận văn gồm phần Mở đầu, 4 chương, Kết luận và các tài liệu tham
khảo. Bản luận văn được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-5].
Chương 1, trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cần
thiết đối với các chương sau. Các kiến thức của chương này có thể tìm thấy
trong tài liệu [1].
Chương 2, trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàm
lượng giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình
đạo hàm riêng trong miền hữu hạn. Các kiến thức của chương này chủ yếu
được trích ra từ các tài liệu [1, 4, 5].
Chương 3, trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng
dụng giải các bài tốn biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô
hạn. Nội dung cơ bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2,
3 , 4].
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 4, trình bày cơ sở lý thuyết của biến của biến đổi Laplace và
một số ứng dụng giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo
hàm riêng và phương trình tích phân dạng chập. Các kiến thức của chương
này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1, 4].

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích và giải tích hàm cần
thiết đối với các chương sau. Các kiến thức của chương này có thể tìm thấy
trong tài liệu [1].

1.1

Khơng gian Lp

Định nghĩa 1.1. Cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞; ta định nghĩa
Lp (Ω) = {f : Ω → R hoặc C; f đo được và |L|p khả tích },
L∞ (Ω) = {f : Ω → hoặc C; f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C h.h trên Ω },
và kí hiệu:

1/


 p
p
f p=
|f (x)| dx
,


Ω

f

∞=

inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h} .

Nhận xét 1.1. Nếu f ∈ L∞ (Ω) thì:

|f (x)| ≤ f

∞,

h.h x ∈ Ω.

1
Ta ký hiệu p là số liên hợp của p, 1 ≤ p ≤ ∞, i.e, p +

1
p

= 1.

Chữ "nghĩa là" thường được viết tắt bởi "i.e", chữ "hầu hết" được vit
tt bi "h.h".
nh lý 1.1. (Bt ng thc Hălder).
o
Cho f ∈ Lp (Ω) và g ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f.g ∈ L1 và
Ω

|f.g| ≤ f p . g

p

.

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Da vo bt ng thc Hălder, ta chng minh c
o
nh lý 1.2. Lp (Ω) là không gian vector ·
với 1 ≤ p ≤ ∞.

p

và là một chuẩn

Định lý 1.3. (Fischer – Riesz )
(a) Lp là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞.
(b) Giả sử (fn ) là dãy hội tụ về f trong không gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e, .
fn − f p → 0. Thế thì có dãy con (fnk )k=1,2,... sao cho:

fnk (x) → f (x) h.h,
∀k, |fnk (x)| ≤ h (x) h.h,
với h là một hàm trong Lp .
Với Ω mở trong R, ta ký hiệu C k (Ω) là không gian các hàm số khả vi
liên tục đến cấp k và C ∞ (Ω) = ∞ C k (Ω). Cịn Cc (Ω) là khơng gian các
k=1
hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f , tức là tập hợp

suppf = {x ∈ Ω; f (x) = 0},
là compact chứa trong Ω, ký hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập
hợp. Đặt
k
Cc (Ω) = C k (Ω) Cc (Ω),
∞
Cc (Ω) = C ∞ (Ω)

Cc (Ω).

Ta có kết quả sau đây về tính trù mật.
∞
Định lý 1.4. Với 1 ≤ p < ∞ (lưu ý rằng p = ∞), thì Cc (Ω) trù mật
trong Lp (Ω).

Định lý 1.5. (Riemann- Lesbesgue). Cho f ∈ L1 (a, b) với (a, b) là khoảng
hữu hạn hoặc vô hạn của R, thì ta có

b

lim

b

f (x) cos N xdx = 0 và

N →∞

lim

f (x) sin N xdx = 0.

N →∞

a

a

Chứng minh. Hai điều khẳng định của định lý được chứng minh theo một
cách giống nhau. Vì vậy ta chỉ chứng minh một.

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Cho trước ε > 0. Từ định lý về tính trù mật ta có một hàm g (chỉ phụ

∞
thuộc vào ε) trong Cc (a, b) sao cho
b

ε
|f (x) − g (x)|dx < .
2
a

Vì g có giá trị compact trong (a, b) nên g triệt tiêu bên ngoài một khoảng
hữu hạn (α, β) ⊂ (a, b). Do đó
β

b

g (x) cos N xdx

=

g (x) cos N xdx

a

α
β

1
1
g (x) sin N x|β −
α

N
N

=

g (x) sin N xdx
α

β

1
=
N

g (x) sin N xdx
α
β

1
N

≤

|g (x)| dx =

1
g
N

1.

α

Vậy với N đủ lớn thì
b

ε
g (x) cos N xdx < ,
2
a

kéo theo
b

b

f (x) cos N xdx

(f (x) − g (x)) cos N xdx +

=

a

b

a
b

≤

g (x) cos N xdx
a

b

|f (x) − g (x)| dx+
a

g (x) cos N xdx
a

ε ε
+ = ε.
<
2 2
Kết thúc chứng minh.

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1.2

Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân

Định lý 1.6. (Định lý hội tụ đơn điệu của Beppo Levi). Cho (fn ) là dãy
tăng các hàm khả tích (Lesbesgue ) trên tập Ω ⊂ RN sao cho supn fn < ∞.

Khi đó fn hội tụ h.h trên Ω về một hàm f khả tích trên Ω và

fn − f

1

≡

|fn (x) − f (x)| dx → 0 khi n → ∞.
Ω

Định lý 1.7. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue). Cho (fn ) là một dãy
các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω. Giả sử
(a) fn (x) → f (x) h.h trên Ω,
(b) tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f (x) ≤ g (x)| h.h trên Ω. Khi
đó f khả tích và

fn − f

1

≡

|fn (x) − f (x)| dx → 0 khi n → ∞.
Ω

Bổ đề 1.1. (Bổ đề Fatou). Giả sử (fn ) là dãy các hàm khả tích sao cho
(a) fn ≥ 0 hầu hết trên Ω, ∀n.
(b) sup fn < ∞. Với mỗi x ∈ Ω, ta đặt f (x) = lim inf fn (x). Khi đó f
khả tích trên Ω và f ≤ lim inf fn .

n→∞
2

1

Giả sử Ω1 ⊂ R , Ω2 ⊂ R là hai tập mở và F : Ω1 × Ω2 → R (hoặc C)
là hàm đo được.
Định lý 1.8. (Tonelli). Giả sử

|F (x, y)| dy < ∞,
Ω2

hầu hết x ∈ Ω1 và

|F (x, y)| dy < ∞.

dx
Ω1

Ω2

Khi đó, F khả tích trên Ω1 × Ω2 .
Định lý 1.9. ( Fubini). Cho F khả tích trên Ω1 × Ω2 . Khi đó
Với hầu hết x thuộc Ω1

F (x, ·) ≡ y → F (x, y) ,
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

khả tích trên Ω2 và

x→

F (x, y)dy,
Ω2

khả tích trên Ω1 .
Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y, Ω1 cho Ω2 .
Hơn nữa, ta có:
dx F (x, y) dy = dy F (x, y) dx =
F (x, y) dxdy.
Ω1

1.3

Ω2

Ω2

Ω1 ×Ω2

Ω1

Tích chập

Cho hai hàm số f và g xác định trên RN thì hàm số f ∗ g định bởi

(f ∗ g) (x) =

f (x − y) g (y) dy.
RN

Được gọi là tích chập của f và g .
Định lý 1.10. Giả sử f ∈ L1 RN và g ∈ Lp RN với 1 ≤ p ≤ ∞.
Khi đó, với mỗi x ∈ RN , hàm số y → f (x − y) g (y) khả tích trên RN và
f ∗ g ∈ Lp RN . Hơn nữa

f ∗g

p

≤ f

1

g p.

Chứng minh. Với p = ∞ thì kết quả rõ ràng. Trước tiên, ta xét trường hợp
p = 1 và đặt :
F (x, y) = f (x − y) g (y) .
Với mọi y, ta có :

|F (x, y)| dx = |g (y)|

|f (x − y)| dx = |g (y)| . f

1

<∞

và

dy

|F (x, y)| dx = f

1

g

1

< ∞.

Áp dụng định lý Tonelli, ta thấy rằng F ∈ L1 RN × RN . Theo định lý
Fubini ta được:

|F (x, y)| dy < ∞ h. h. x ∈ RN và

dx

|F (x, y)| dy ≤ f

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

g 1,


tức là ta đã chứng minh định lý trong trường hợp p = 1.
Tiếp theo, giả sử 1 < p < ∞. Theo kết quả trên, ta biết rằng với mỗi x cố
định, hàm y → |f (x − y)|.|g (y)|p là khả tích, nghĩa là:
1

y → |f (x − y)| p . |g (y)| ,
là hàm thuộc LP RN .
1

Mặt khác, y → |f (x − y)| p ∈ LP (R) (p là số liên hợp của p), dựa vo bt
ng thc Hălder, ta suy ra hm
o
1

1

y |f (x, −)| . |g (y)| = |f (x − y)| p . |g (y)| .|f (x − y)| p ,
là khả tích và
1

|f (x − y)| . |g (y)| dy ≤ (|f (x − y)| .|g (y)|p dy) p f
nghĩa là:

|(f ∗ g) (x)|p ≤ (|f | ∗ |g|p ) (x) . f

p
p

1
p

,

.

1

Áp dụng kết quả trong trường hợp p = 1, ta có:

f ∗ g ∈ Lp ,

f ∗g

p
p

≤ f

1

g

p
p

f

p/p
p

,

nghĩa là:

f ∗g

p

≤ f

1

g p.

Kết thúc chứng minh.

1.4

Tích phân Dirichlet

Định nghĩa 1.2. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b] .
Giả sử P = {x0, x1 , ..., xn } là một phân hoạch của [a, b] , nghĩa là a = x0 <
x1 < · · · < xn = b. Đặt
n

|∆fi |,

V (f ) = V (f : a, b) = sup
P

i=1

trong đó ∆fi = f (xi ) − f (xi − 1), sup lấy trên tất cả các phân hoạch của
[a, b]. Ta gọi V (f ) là biến phân toàn phần của f trên [a, b]. Hàm f được
gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] nếu V (f ) < +∞.
Ví dụ 1.1.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




(a) Nếu f là hàm số thực đơn điệu trên [a, b] thì f có biến phân bị chặn
trên [a, b] và V (f ) = |f (a) − f (b)| .
(b) Nếu f là hàm số thực với f tồn tại và bị chặn trên [a, b], nghĩa là
|f | ≤ M trên [a, b], thì f có biến phân bị chặn trên [a, b]. Thật vậy, do định
lý Lagrange về giá trị trung bình của phép tính vi phân, ta có:
n

n

|f (xi ) − f (xi−1 )| ≤
i=1

M (xi − xi−1 ) = M (b − a).
i=1

Đẳng thức đúng cho mọi phân hoạch.
Tính chất 1.1. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b] . Khi
đó:
(a) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re [f ] và Im |f |, tức phần thực
và phần ảo của f, có biến phân bị chặn.
(b) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể:

|f (x)| ≤ |f (a)| + V (f ; a, b) , ∀x ∈ [a, b] .
(c) Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p và q
đơn điệu tăng trên [a, b] sao cho f (x) = p (x) − q (x) , ∀x ∈ [a, b] .
Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục.
Nhận xét 1.2. Từ ví dụ (a)và tính chất (c), ta thấy rằng có mối liên hệ
chặt chẽ giữa hàm đơn điệu và hàm có biến phân bị chặn. Tính chất (c)
cũng cho thấy f khả tích trên [a, b] nếu f có biến phân bị chặn trên [a, b].
Bổ đề 1.2. (Tích phân Dirichlet ). Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác
định trên (a, b) thỏa mãn “một ” trong hai điều kiện Dirichlet sau đây
(i) Tồn tại f (a+ ) , f (b− ) và f có biến phân bị chặn trên [a, b],do đó f xác
định trên [a, b] với giá trị tại biên là f (a+ ) và f (b− ).
(ii) Có hữu hạn điểm thuộc [a, b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý của
những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần cịn lại của [a, b] ;
hơn nữa f ∈ L1 (a, b).
Khi đó, ta có: Nếu 0 < a < b thì:
b

lim

f (x)

µ→∞

sin µx
dx = 0.
x

a

9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(1.1)


Nếu 0 = a < b, ∃f (0+ ) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận [0, δ]
của 0 (δ > 0) thì:
b

lim

π
sin µx
dx = f 0+ .
x
2

f (x)

µ→∞

(1.2)

0

Chứng minh. Ta có.
Bước 1. Trong bước này ta xét trường hợp f thỏa điều kiện Dirichlet (i).
Khi đó, Re [f ] và Im [f ] cũng thỏa mãn điều kiện Dirichlet (i). Hơn nữa
chúng được phân tích thành hiệu của hai hàm đơn điệu tăng. Như vậy, ta
chỉ cần chứng minh bổ đề này với giả thiết f là hàm thực đơn điệu tăng
trên [a, b] là đủ.
Nhắc lại rằng
q

sinx
π
dx = .
x
2

lim

q→∞
0

Với 0 < c < d, bằng cách đổi biến µx = t, ta có:
d

lim

µ→∞

µd

sinµx
dx = lim
µ→∞
x

c
d

lim

µ→∞

sint
dt = 0,
t

(1.3)

sint
π
dt = .
t
2

(1.4)

µc
µd

sinµx
dx = lim
µ→∞
x

c

0

Từ định lý thứ hai về giá trị trung bình của tích phân, ta có:
b

ξ

b

sinµx
dx + f b−
x

sinµx
dx = f a+
f (x)
x

a

a

sinµx
dx,
x

ξ

trong đó ξ ∈ [a, b]. Nếu 0 < a < b, từ (1.1), cho µ → ∞ thì vế phải ở trên
tiến về 0, ( lưu ý rằng mặc dù ξ thay đổi theo µ, nhưng ξ bị chặn). Vậy là
ta chứng minh xong (1.1).
Nếu 0 = a < b, đặt φ(x) = f (x) − f (0+ ), thì φ đơn điệu và φ (0+ ) = 0.
Ta có
b

0

b

sinµx
dx = f 0+
x

b

sinµx
dx +
x

0

φ (x)

sinµx
dx.
x

0

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Theo (1.2), khi µ → ∞ thì tích phân thứ nhất của vế phải hội tụ đến 1 π .
2
Như vậy chỉ cần chứng minh tích phân thứ hai có giới hạn là 0 khi µ → ∞
thì ta sẽ suy ra được (1.2). Để làm được điều này, cho trước ε > 0, ta sẽ
tìm υ > 0 sao cho:
b

φ (x)

sin µx
dx < ε, ∀µ > ν.
x

(1.5)

0

Vì φ (0+ ) = 0 nên ta chọn được số α > 0 sao cho:
ε
,
|φ (α)| =
4π
trong đó φ (α) tồn tại là do φ đơn điệu.
Bằng định lý thứ hai về giá trị trung bình của tích phân, ta có:
α

α

sin µx
dx, ξ ∈ [0, α] .
x

sin µx
dx = φ (α)
φ (x)
x
0

ξ

Xét đồ thị của hàm số

sinx

, x ≥ 0.
x
Các sóng liên tiếp cách đều nhau với bước sóng là π nhưng biên độ giảm
dần. Diện tích giữa 0 và π lớn hơn diện tích giữa π và 2π , cứ thế sóng sau
có diện tích nhỏ hơn sóng trước, lý do là |sinx| tuần hoàn với chu kỳ π và
1
x giảm dần khi x tăng. Vì vậy:
y=

q

π

sin x
dx ≤
x

0≤
0

sin x
dx ≤π, ∀q ≥ 2π,
x
0

kéo theo
q

q

sin x
dx ≤
x
p

p

sin x
dx +
x
0

sin x
dx < 2π, ∀p, q > 0.
x
0

Vậy ta có bất đẳng thức:
α

α

sin µx
ε
φ (x)
dx <
.2π = |φ (α)|
x
4π
0

sin µx
dx
x
ξ
µα

sin t
ε
dt < ,
t
2

= |φ (α)|
µξ

11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




độc lập với µ. Ngồi ra, theo trường hợp đã chứng minh trên thì
b

lim

φ (x)

µ→∞

sin µx
dx = 0, 0 < α < b.
x

α

Do đó với có số ν > 0 sao cho:
b

φ (x)

ε
sin µx
dx < , µ > ν.
x
2

α

Hai bất đẳng thức sau cũng dẫn đến (1.5).
Bước 2. Tiếp theo, ta xét trường hợp f thỏa mãn điều kiện Dirichlet (ii).
Với 0 < a < b, cho ε > 0 tùy ý, do f ∈ L1 [a, b], ta chọn được họ V các
lân cận đủ bé của hữu hạn điểm được đề cập trong điều kiện (ii) sao cho:

f (x)

sin µx
1
dx ≤

x
α

V

ε
|f (x)| dx < .
2
V

Trên các đoạn cịn lại, [a, b] \V , f thỏa mãn điều kiện (i).
Áp dụng bước 1 thì:

∫ f (x)
[a,b]\V

sin µx
ε
dx ≤ ,
x
2

khi µ đủ lớn. Từ đó suy ra (1.1).
Với 0 = a < b, f (0+ ) tồn tại và f có biến biến phân bị chặn trên [0, δ]
thì theo những điều vừa mới lập luận ở trên và theo trường hợp ở bước 1,
ta có:
b

lim

δ

f (x)

µ→∞
0

sin µx
dx = lim
µ→∞
x

b

f (x)

sin µx
dx + lim
µ→∞
x

0

π
= f 0+
+ 0.
2
Tức là ta có (1.2). Kết thúc chứng minh.

f (x)

sin µx
dx
x

δ

Nhận xét 1.3. Hàm f ∈ L1 (a, b) trơn từng khúc thì f thỏa mãn điều kiện
Dirichlet. Nếu f bị chặn và đơn điệu từng khúc trên (a, b) thì f thỏa mãn
điều kiện Dirichlet (i). Nếu có hữu hạn điểm thuộc [a, b] sao cho khi bỏ đi
lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f đơn điệu từng khúc trên các đoạn
cịn lại, thêm vào đó nếu f ∈ L1 (a, b) thì f thỏa mãn điều kiện Dirichlet
(ii).
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 2
Chuỗi Fourier
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàm
lượng giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình
đạo hàm riêng trong miền hữu hạn. Các kiến thức của chương này chủ yếu
được trích ra từ các tài liệu [1, 4, 5].

2.1
2.1.1

Chuỗi Fourier thông thường

Khái niệm về chuỗi Fourier

Với hàm f ∈ L1 [−π, π], nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên [−π, π], ta
định nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau:
∞

a0
(an cos x + bn sin nx),
+
2
n=1
trong đó:

(2.1)

π

1
an =
π

f (x ) cos nx dx , n = 0, 1, 2, ...
−π
π

1
bn =
π

f (x ) sin nx dx , n = 0, 1, 2, ...

(2.2)

−π

Mối liên hệ giữa (2.1)- (2.2) cũng được ký hiệu là:
∞

a0
f (x) ∼
+
(an cos x + bn sin nx).
2
n=1
Lưu ý rằng ký hiệu ” ∼ ” không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi
trên, đơn giản là nó chỉ mối liên hệ (2.1)- (2.2) mà thơi.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π , ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương
tự như trên. Trong đó các hệ số an , bn được tính trên mỗi đoạn tùy ý
[a, a + 2π].
Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t = πx , ta đưa về trường
l
hợp tuần hoàn với chu kỳ 2π .
Để ý rằng vì f ∈ L1 [−π, π] nên các tích phân trong (2.2) tồn tại.

2.1.2

Hội tụ của chuỗi Fourier

Định lý 2.1. Cho f ∈ L1 [−π, π].
Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong (−π, π) thì chuỗi Fourier của f
sẽ hội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại đó hàm f liên tục, hội
1
tụ về 2 [f (x+ ) + f (x− )] nếu x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về
1
+
−
−
+
2 [f (−π ) + f (π )] tại x = ±π nếu f (π ) và f (−π ) tồn tại.
Chứng minh. Đặt
∞

a0
+
(an cos x + bn sin nx).
Sn (x) =
2
n=1
Ta có:
π

Sn

1

=
2π

f (x ) [1 + 2 (cos x cos x + sin x sin x)
−π

+

· · · +2 (cos nx cos nx + sin nx sin nx)] dx
π

1
=
2π

f (x ) [1 + 2 cos (x − x) + · · · + 2 cosn (x − x)]dx
−π
π

1
=
2π
−π

do công thức

sin 1 (2n + 1) (x − x)
2
f (x )
dx ,

sin 1 (x − x)
2
n

sin 1 (2n + 1) u
2
1+2
cos ku =
.
sin 1 u
2
k=1

14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Suy ra
π

Sn

1
=
2π
−π
π

1
+
2π
−π

1
sin 2 (2n + 1) (x − x)
f (x )
dx
1
sin 2 (x − x)
1
sin 2 (2n + 1) (x − x)
f (x )
dx .
1
sin 2 (x − x)

−x
Đổi biến α = x−x và α = x 2 lần lượt trong tích phân thứ nhất và tích
2
phân thứ hai của đẳng thức trên, ta được:

Sn =

1
π

π+x
2

f (x − 2α)

sin (2n + 1) α
dx
sin α

0

+

1
π

π−x
2

f (x + 2α)

sin (2n + 1) α
dx.
sin α

(2.3)

0

Với x ∈ (−π; π) cố định, ta có các hàm theo biến α là f (x ± 2α) thỏa mãn
điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng 0; π−x và 0; π+x . Dođó,
2

2
+
−
nếu f (x ) và f (x ) tồn tại, theo bổ đề 1.2, ta có:

1 π
π
f x− + f x+
n→∞
π 2
2
Với x = π , do (2.3) ta có:
lim Sn (x) =

=

1
f x− + f x+
2

.

π

Sn (x) =

1
π

f (π − 2α)

sin (2n + 1) α
dα
sin α

0
π−ξ

1
=
π

π

sin (2n + 1) α
1
f (π − 2α)
dα +
sin α
π
0

f (π − 2α)
π−ξ

π−ξ

1
=
π

sin (2n + 1) α
dα
sin α

ξ

sin (2n + 1) α
1
f (π − 2α)
dα +
sin α
π
0

f (2α − π)

sin (2n + 1) x
dx ,
sin x

0

trong đó, ta đổi biến x = π − α ở tích phân thứ hai. Áp dụng bổ đề 1.2, ta
suy ra
1
lim Sn (x) =
f π − + f −π + .
n→∞
2

Với x = −π ta chứng minh tương tự.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2.2
2.2.1

Chuỗi Fourier - cosin và chuỗi Fourier - sin
Khái niệm

Cho f ∈ L1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π). Ta định
nghĩa f trên (−π, 0) bằng cơng thức f (x) = f (−x) .
Khi đó, f ∈ L1 [−π, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π), ngoài
ra do f là hàm chẵn nên
π

1
a0 =
π

π

2
f (x ) dx , an =
π

f (x ) dx , bn = 0, n = 1, 2, ...

0

0

Ta có định lý sau
Định lý 2.2. Cho f ∈ L1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π).
Khi đó ta có chuỗi cosin
π

1
π

2
f (x ) dx +
π
0

π

∞

cos nx
n=1

f (x ) cos nx dx ,

(2.4)

0

1
hội tụ về 2 [f (x+ ) + f (x− )] tại những điểm x ∈ (0, π) mà f (x+ ) và f (x− )
tồn tại; hội tụ về f (0+ ) tại x = 0 nếu f (0+ ) tồn tại; hội tụ về f (π − ) tại
x = π nếu f (π − ) tồn tại.

Chứng minh tương tự định lý 2.2, ta có
Định lý 2.3. Cho f ∈ L1 [0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π).
Khi đó, ta có chuỗi sin

2
π

π

∞

sin nx
n=1

f (x ) sin nx dx ,

(2.5)

0

1
hội tụ về 2 [f (x+ ) + f (x− )] tại những điểm x ∈ (0, π) mà f (x+ ) và f (x− )
tồn tại; hội tụ về 0 tại x = 0 hay x = π .

2.2.2

Sự hội tụ của chuỗi Fourier

Định lý 2.4. Cho f ∈ L1 [−π, π]. Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều kiện
Dirichlet trên (−π, π). Giả sử f liên tục trên khoảng (u, v) ⊂ (−π, π). Khi
đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ [a, b] ⊂ (u, v) .
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chứng minh. Trước hết ta thác triển f thành một hàm xác định trên R,
tuần hồn chu kì 2π bằng cơng thức

f (x + 2π) = f (x) .
Khi đó, trong bất kì đoạn nào, ví dụ đoạn [−2π; 2π] , f được biểu diễn dưới
dạng: f = F − G, với F và G là các hàm bị chặn, khơng âm, đơn điệu tăng.
Ngồi ra, F và G liên tục tại các điểm mà f liên tục.
Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước ε > 0 bất kỳ, ta sẽ tìm được số
n0 ∈ N sao cho với mỗi n > n0 , bất đẳng thức "|Sn (x) − f (x)| < ε" đúng
cho ∀x ∈ [a; b]. Thật vậy với mỗi x ∈ [a; b] ta có:
π

sin 1 (2n + 1) (x − x)
2
f (x )
dx
1

sin 2 (x − x)

1
Sn (x) =
2π
−π

(π−x)/2

1
=
π

f (x + 2α)

sin (2n + 1) α
dα
sin α

(−π−x)/2
π/2

1
=
π

f (x + 2α)

sin (2n + 1) α
dα,

sin α

−π/2

trong đó, ta đã sử dụng phép biến đổi x = x + 2α trong tích phân thứ hai
và tính tuần hồn chu kỳ 2π của f trong tích phân thứ ba.
Do f = F − G, tách cận tích phân và biến đổi ta được

Sn (x) =

1
π

π
2

F (x + 2α)

sin (2n + 1) α
dα
sin α

−π
2

−

1
π

π
2

G (x + 2α)

sin (2n + 1) α
dα
sin α

−π
2

=

π
2

1
π

F (x + 2α)

sin (2n + 1) α
1
dα +
sin α
π

0

−

F (x − 2α)

sin (2n + 1) α
dα
sin α

0

π
2

1
π

π
2

G (x + 2α)

π
2

sin (2n + 1) α
1
dα −
sin α
π

0

G (x − 2α)

sin (2n + 1) α
dα.
sin α

0

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Từ đây ta suy ra:

|Sn (x) − f (x)| = |Sn (x) − F (x) + G (x)|
≤

π
2

F (x + 2α)

sin (2n + 1) α
1
dα − F (x)
sin α

2

F (x − 2α)

1
sin (2n + 1) α
dα − F (x)
sin α
2

G (x + 2α)

sin (2n + 1) α
1
dα − G (x)
sin α
2

G (x − 2α)

1
π

1
sin (2n + 1) α
dα − G (x) .
sin α
2

0

+

π
2

1
π

(2.6)

0

+

π
2

1
π
0

+

π
2

1
π
0

y

Vì các hàm F, G bị chặn, hàm y →
0

sin α
α dα

là liên tục và

y

sin α
π
dα = ,
α
2

lim

y→∞
0

(ta thừa nhận điều này), do đó tồn tại hằng số C>0 sao cho
y

sin α
α ≤ C.
α

|F (x)| ≤ C, |G (x)| ≤ C,
0

Với mọi x ∈ [−2π, 2π] và mọi y ≥ 0.
Tiếp theo, ta chọn hai số c,d cố định thỏa mãn
uDo F và G liên tục đều trên [c, d] nên ta có số µ ∈ 0, π sao cho
2

|F (x ± 2µ) − F (x )| <

ε
ε
, |G (x ± 2µ) − G (x )| <
,
8C
8C

đúng với mọi x ∈ [a, b].
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(2.7)


Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên vế phải của (2.6). Ta có:
π

2

π
2

sin (2n + 1) α
dα =
sin α

0

n

cos 2kα dα =

1+2
k=1

0

π
.
2

Do đó, ta đánh giá số hạng đầu tiên bên vế phải của (2.6) như sau:
π/2

1
π

sin (2n + 1) α
1
dα − F (x)
sin α
2

F (x + 2α)
0

π/2

=

[F (x + 2α) − F (x)]

sin (2n + 1) α
dα
sin α

[F (x + 2α) − F (x)]

1
π

sin (2n + 1) α
dα
sin α

0
µ

≤

1
π
0

π/2

+

1
π

[F (x + 2α) − F (x)]

sin (2n + 1) α
dα .
sin α

µ

(2.8)
Tóm lại có hàm α → F (x + 2α) − F (x) là hàm bị chặn, dương và đơn điệu
tăng trên một khoảng tùy ý, và hàm α → α/ sin α cũng bị chặn, dương, đơn
điệu tăng trên 0, π . Do đó, theo định lý thứ hai về giá trị trung bình của
2
tích phân, tồn tại ξ ∈ [0, µ] sao cho:
µ

1
π

[F (x + 2α) − F (x)]

sin (2n + 1) α
dα
sin α

0
µ

1
µ
=
[F (x + 2µ) − F (x)]
·
π
sin µ

sin (2n + 1) α
dα
sin α
ξ
(2n+1)µ

1
µ
=
[F (x + 2µ) − F (x)]

·
π
sin µ

sin α
dα
α
(2n+1)ξ

≤

1
π/2
[F (x + 2µ) − F (x)]
2C.
π
sin (π/2)
19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Kết hợp với (2.7), ta có
µ

1
π

[F (x + 2α) − F (x)]

sin (2n + 1) α
ε
dα ≤ .
sin α
8

(2.9)

0

Cũng từ định lý giá trị trung bình thứ hai, ta có ξ ∈ µ, π sao cho
2
π/2

1
π

[F (x + 2α) − F (x)]

sin (2n + 1) α
dα =
sin α

0
ξ

=

sin (2n + 1) α
dα
sin α

1
[F (x + 2µ) − F (x)]
π
µ
π/2

+

1
sin (2n + 1) α
[F (x + π) − F (x)]
dα
π
sin α
ξ

π/2

ξ

≤

sin (2n + 1) α
dα +
sin α

2C 

π
µ



sin (2n + 1) α

dα  .
sin α
ξ

(2.10)
Mặt khác, với 0 < p < q ≤ π . Áp dụng định lý trung bình thứ hai, ta được
2
q

sin (2n + 1) α
dα =
sin α
p
q

r

1
1
sin (2n + 1) αdα +
sin (2n + 1) αdα

=
sin p
sin q
p
r

 r
q
1 
sin (2n + 1) αdα 
≤
sin (2n + 1) αdα +
sin p
r

q

≤

4
,
(2n + 1) sin p

ở đây p ≤ r ≤ q ; bất đẳng thức sau cũng là do tính tốn trực tiếp tích
phân. Áp dụng điều này vào (2.10) và để ý thêm sin ξ ≥ sin µ, suy ra
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên