Phương trình chuyển động của các trường thành phần trong phiến hàm dây

1
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đào Vọng Đức, người đã
tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo khoa Vật lý và khoa Sau đại học trường
Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho chúng
em học tập.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn bên cạnh và
giúp đỡ động viên tôi trong suốt quá trình học tập.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
NGUYỄN XUÂN HUY
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu đưa ra trong luận văn chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nào khác.
NGUYỄN XUÂN HUY
Mục lục
1 Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây 6
1.1 Hạt điểm và hạt dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Phương trình Dây và khai triển tọa độ Dây. . . . . . . . . . 7
1.3 Đại số Dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Các trạng thái kích thích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Siêu dây và siêu tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Hình thức luận phiếm hàm Dây. 20
2.1 Phiếm Hàm trường dây mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Miền NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Miền R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Phiếm hàm trường dây đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Miền NS - NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Miền NS - R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Miền R - NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4 Miền R - R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Tải BRST trong lý thuyết dây. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Tải BRST cho dây boson . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Tải BTST cho siêu dây mở . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.3 Tải BRST cho dây đóng . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Tác dụng phiếm hàm dây boson. . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Tác dụng phiếm hàm siêu dây . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.1 Tác dụng phiếm hàm siêu dây NS . . . . . . . . . . 51
3
4
2.5.2 Tác dụng phiếm hàm siêu dây R . . . . . . . . . . . 54
3 Các trạng thái chân không. 57
3.1 Chân không của dây boson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Chân không của siêu dây mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Chân không của siêu dây mở NS . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Chân không của siêu dây mở R . . . . . . . . . . . 60
3.3 Chân không của siêu dây đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1 Dây boson đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Siêu dây đóng NS - NS. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3 Siêu dây đóng NS - R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.4 Siêu dây đóng R - NS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5 Siêu dây đóng R - R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Lý thuyết Dây được xem là một phương hướng nghiên cứu có nhiều
triển vọng trong việc xây dựng mô hình Đại thống nhất các tương tác cơ
bản. Dây có thể ở vô số các trạng thái kích thích, mỗi trạng thái tương

ứng với một trường thông thường. Với ý nghĩa đó có thể diễn tả bằng
hình thức luận phiếm hàm Dây. Phiếm hàm Dây là tập hợp vô hạn các
trường thông thường, mỗi trường ứng với một mode kích thích của Dây.
Các trường thành phần này chính là các trường vẫn gặp trong lý thuyết
trường thông thường hiện nay Phương trình cho các trường thành phần
được suy ra từ một phương trình chung cho phiếm hàm Dây, và từ đó cũng
suy ra các mối liên hệ giữa các trường thành phần. Đó là cơ sở để nghiên
cứu về tương tác giữa chúng, và do vậy có ý nghĩa thiết thực trong việc
đánh giá bàn luận về các mô hình lý thuyết qua các hệ quả định tính và
định lượng.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu phương trình cho các trường thành phần được suy ra từ
phương trình chung cho phiếm hàm Dây.
3. Những vấn đề chính được nghiên cứu.
Nghiên cứu hình thức luận phiếm hàm Dây và tính toán các phương
trình chuyển động.
4. Đối tượng nghiên cứu.
Lập tác dụng Dây và suy ra phương trình cho phiếm hàm Dây.
Các phương trình chuyển động và các phương trình tương quan về các
trường thành phần.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu siêu đối xứng
Hình thức luận đại số Dây.
Phương pháp tính.
Chương 1
Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết
dây
1.1 Hạt điểm và hạt dây.
Trong lý thuyết trường lượng tử, chất người ta xem hạt như là một đối
tượng không kích thước điểm chuyển động trong không - thời gian. Nhưng

đến năm 1968 thì mô hình Veneziano hình thành, phản ánh mối quan hệ
đối ngẫu giữa hai quá trình tán xạ và hủy cặp. Liền sau đó người ta nhận
thức được rằng với mô hình này thì các hạt cơ bản cần được xem như các
Dây, đối tượng có kích thước một chiều - dây chuyển động trong không -
thời gian. Cụ thể:
Khi xem như một điểm thì khi chuyển động trong không - thời gian từ
vị trí 1 đến vị trí 2, hạt vẽ ra một đường gọi là đường thế

x
µ

τ


.
Khi xem như một dây thì khi chuyển động trong không - thời gian từ
vị trí 1 đến vị trí 2, hạt quét nên một mặt gọi là lá thế.

X
µ

τ, σ


.
Trong đó:
τ : có thể xem như thời gian riêng của Dây, −∞ < τ < +∞.
σ : có thể xem như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, 0 ≤ σ ≤ π
Ta viết dưới dạng vector hai chiều trên lá thế như:
λ

α
=

τ, σ

, λ
0
= τ, λ
1
= σ
Lúc này chuyển động của hạt dây trong không - thời gian được mô tả
6
7
bởi tác dụng:
S =
1
2π

d
2
λη
αβ
∂
α
X
µ
.∂
β
X
µ

(1.1)
=
1
2π

dτdσ

∂
µ
τ
∂
τ
− ∂
σ
X

µ
.∂
σ
X
µ

(1.2)
η
αη
là metric MinKowski trên lá thế:
η
00
= 1, η
11

= −1, η
01
= η
10
= 0
1.2 Phương trình Dây và khai triển tọa độ Dây.
Xuất phát từ phương trình Euler - Lagrange:
δL
δX
µ
− ∂
α
δL
δ

∂
α
X
µ

= 0 (1.3)
Ta có Lagrange trên lá thế:
L =
1
2π
η
αβ
∂
α
X

µ
.∂
β
X
µ
(1.4)
δL
δX
µ
= 0 (1.5)
δL
δ

∂
α
X
µ

=
δ
δ

∂
α
X
µ


1
2π

η
γδ
∂
γ
X
λ
∂
δ
X
λ

(1.6)
Quy ước:
α, β, γ, δ = 0, 1 : chỉ số trên lá thế.
µ, ν, λ, ρ = 0, 1, 2, ··· , D −1 : chỉ số trong không gian
8
δL
δ

∂
α
X
µ

=
δ
δ

∂
α

X
µ


1
2π
η
γδ
∂
γ
X
λ
∂
δ
X
λ

(1.7)
=
1
2π
δ
δ

∂
α
X
µ



η

2

γδ
η

D

λρ
∂
γ
X
λ
∂
δ
X
ρ

(1.8)
=
1
2π
η
γδ
η
λρ

δ


∂
γ
X
λ

δ

∂
α
X
µ

∂
δ
X
ρ
+ ∂
γ
X
λ
δ

∂
δ
X
ρ

δ

∂

α
X
µ


(1.9)
=
1
2π
η
γσ
η
λρ

σ
γ
α
σ
λ
µ
∂
σ
X
ρ
+ ∂
γ
X
σ
∂
σ

α
σ
ρ
µ

(1.10)
=
1
2π

η
αδ
η
µρ
∂
σ
X
ρ
+ ∂
γ
X
λ
σ
σ
α
δ
ρ
µ

(1.11)

=
1
2π
{∂
α
X
µ
+ ∂
α
X
µ
} (1.12)
=
1
π
∂
α
X
µ
. (1.13)
Thay vào

1.4

ta được:
∂
α

∂
α

X
µ

= 0 (1.14)
Hay:
∂
α
∂
α
X
µ
= 0 (1.15)
∂
α
∂
α
X
µ
≡

∂
2
r
− ∂
2
σ

X
µ
= 0 (1.16)

Đó là phương trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát là:
X
µ

λ

= X
µ
R

τ − σ

+ X
µ
L

τ + σ

(1.17)
Ở đây:
X
µ
R
mô tả các mode "chuyển động phải".
X
µ
L
mô tả các mode "chuyển động trái".
Đối với dây mở ta đặt điều kiện biên là:
X

µ
≡ ∂
σ
X
µ
= 0 tại σ = 0, π (1.18)
9
Lúc này ta có biểu thức khai triển:
X
µ
R

τ − σ

=
1
2
x
µ
+
1
2
p
µ

τ − σ

−
i
2


n=±1,±2,···
1
n
α
µ
n
e
in

τ−σ

(1.19)
X
µ
L

τ + σ

=
1
2
x
µ
+
1
2
p
µ


τ + σ

−
i
2

n=±1,±2,···
1
n
α
µ
n
e
in

τ−σ

(1.20)
X
µ

λ

= x
µ
+ p
µ
τ − i

n=±1,±2,···

1
n
α
µ
n
e
inτ
. cos nσ (1.21)
Trong đó:



x
µ
như tọa độ của khối tâm dây.
p
µ
như xung lương của khối tâm dây.
α
µ
n
như các dao động tử quỹ đạo.
Yêu cầu X
µ
phải thực nên x
µ
và p
µ
phải thực và:
α

µ+
n
= α
µ
−n
Đối với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn:
X
µ

τ, σ

= X
µ

τ, σ + π

(1.22)
Lúc này ta có biểu thức khai triển:
X
µ
R

τ − σ

=
1
2
x
µ
+

1
2
p
µ

τ − σ

−
i
2

n=±1,±2,···
1
n
α
µ
n
e
2in

τ−σ

(1.23)
X
µ
L

τ + σ

=

1
2
x
µ
+
1
2
p
µ

τ + σ

−
i
2

n=±1,±2,···
1
n
˜α
µ
n
e
2in

τ−σ

(1.24)
X
µ


λ

= x
µ
+ p
µ
τ −
i
2

n=±1,±2,···
1
n
e
2inτ

α
µ
n
e
−2inτ
+ ˜α
µ
n
e
+2inσ

(1.25)
Với:

α
µ
n
: dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động phải."
˜α
µ
n
: dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động trái."
Với dây mở ta có:
˙
X
µ
≡ ∂
τ
X
µ
=

n=−∞
α
µ
n
e
inτ
. cos nσ (1.26)
10
X

µ
≡ ∂

σ
X
µ
=

n=+∞
α
µ
n
e
inτ
. sin nσ (1.27)
Ở đây: α
µ
0
≡ p
µ
Với dây đóng ta có:
˙
X
µ
≡ ∂
τ
X
µ
=

n=−∞
e
2inτ


α
µ
n
e
−2inτ
+ ˜α
µ
n
e
+2inσ

(1.28)
X

µ
≡ ∂
σ
X
µ
=

n=+∞
e
2inτ

α
µ
n
e

−2inτ
− ˜α
µ
n
e
+2inσ

(1.29)
Ở đây: α
µ
0
≡ ˜α
µ
0
≡
1
2
p
µ
1.3 Đại số Dây.
Tensor năng - xung lượng trên lá thế:
T
αβ
≡ ∂
α
X
µ
.∂
β
X

µ
−
1
2
η
αβ
∂
γ
X
µ
.∂
γ
X
m
u (1.30)
Ta lập các toán tử:
L
n
≡ −
1
π
e
−inτ

π
0
dσ

T
00

cos nσ − iT
10
sin nσ

, n ∈ Z (1.31)
Đặc biệt:
L
0
≡ −
1
π

π
0
dσT
00
= −P
0
(1.32)
Với: P
0
≡
1
π

π
0
dσT
00
là véc tơ năng - xung lượng trên lá thế.

Từ 1.30 ta suy ra:
T
00
= ∂
0
X
µ
∂
0
X
µ
−
1
2
∂
γ
X
µ
∂
γ
X
µ
chỉ số lá thế là γ = 0, 1 (1.33)
= ∂
0
X
µ
∂
0
X

µ
−
1
2

∂
0
X
µ
∂
0
X
µ
− ∂
1
X
µ
∂
1
X
µ

(1.34)
=
1
2

∂
0
X

µ
∂
0
X
µ
+ ∂
1
X
µ
∂
1
X
µ

(1.35)
=
1
2

˙
X
µ
˙
X
µ
+ X
µ
X

µ


(1.36)
11
Tương tự:
T
10
=
1
2
X
µ
˙
X
µ
(1.37)
Thay vào biểu thức 1.31 và sử dụng biểu thức (1.11),

1.12

ta tính
được:
L
n
= L
n
= −
1
2
∞


k=−∞
α
µ
−k
α
µ,n+k
với dây mở (1.38)
L
n
= L
n
+
˜
L
n
với dây đóng (1.39)
˜
L
n
≡ −
1
2
∞

k=−∞
˜α
µ
−k
˜α
µ,n+k

(1.40)
Mặc khác ta cũng có:
L
+
n
= L
−n
và
˜
L
+
n
=
˜
L
−n
Bây giờ ta xem α
µ
n
, ˜α
µ
n
với n > 0 như các toán tử hủy và α
µ
−n
, ˜α
µ
−n
như
các toán tử sinh. Như vậy ta định nghĩa lại L

n
,
˜
L
n
dưới dạng tích normal:
˜
L
n
≡ −
1
2
∞

k=−∞
: α
µ
−k
α
µ,n+k
: (1.41)
˜
L
n
≡ −
1
2
∞

k=−∞

: ˜α
µ
−k
˜α
µ,n+k
: (1.42)
Ta tính được giao hoán tử:

L
n
, L
m

=
1
4
∞

k,l=−∞

α
µ
−k
α
µ,n+k
, α
γ
n+k
α
γ,m+l


(1.43)
Áp dụng đồng nhất thức dạng:

AB, CD

=

B, C

DB + C

A, D

B + A

B, C

D + AC

B, D

Kết hợp với

α
µ
m
, α
γ
n


= −m.η
µγ
σ
m+n,0
Ta được:

L
n
, L
m

=

n − m


−
1
2
∞

k=−infty
α
µ
−k
α
µ,n+m+k

(1.44)

12
Một cách tổng quá ta có:

L
n
, L
m

=

n − m

L
n+m
+ A

n

.σ
n+m,0
(1.45)
Trong đó A

n

được gọi là số hạng dị thường và tính được là:
A

n


=
D
12
n

n
2
− 1

D : số chiều không - thời gian
Cuối cùng ta được:

L
n
, L
m

=

n − m

L
n+m
+
D
12
n

n
2

− 1

.σ
n+m,0
(1.46)

˜
L
n
,
˜
L
m

=

n − m

˜
L
n+m
+
D
12
n

n
2
− 1


.σ
n+m,0
(1.47)
Đại số được tạo nên như trên được gọi là đại số Virasoro dị thường hay
còn gọi là đại số dây Boson, là nền tảng của lý thuyết dây Boson. Và Dây
được xây dựng như trên có khả năng mô tả các trạng thái có spin nguyên.
Để khắc phục nhược điểm này người ta đã xét đến siêu Dây. Để mô tả
siêu Dây, ngoài tọa độ x
µ

τ, σ

người ta đưa thêm vào tọa độ spinor trên
lá thế Ψ
µ
A

τ, σ

, A = 1, 2. Tương tự đối với siêu Dây ta có siêu Đại số bao
gồm các vi tử giao hoán L
n
và các vi tử phản giao hoán G
r
:
G
s
= −

k∈Z

α
µ
−k
b
µ,s+k
(1.48)
G
r
= −

k∈Z
α
µ
−k
b
µ,r+k
(1.49)
Trong đó b
µ
s

d
µ
s

là các siêu dao động tử, tuân theo hệ thức phản giao
hoán:
Miền NS: Siêu đại số Neveu - Schwars

L

n
, L
m

=

n − m

L
n+m
+
1
8
Dn

n
2
− 1

σ
n,−m
(1.50)
{G
s
, G
r
} = 2L
s+r
+
1

2
D

s
2
−
1
4

σ
s,−r
(1.51)

L
n
, G
s

=

1
2
n − s

G
n+s
(1.52)
13
Miền R: Siêu đại số Ramond


L
n
, L
m

=

n − m

L
n+m
+
1
8
Dn
3
σ
n,−m
(1.53)
{G
s
, G
r
} = 2L
s+r
+
1
2
Ds
2

σ
s,−r
(1.54)

L
n
, G
s

=

1
2
n − s

G
n+s
(1.55)
1.4 Các trạng thái kích thích.
Xét không gian Fock các trạng thái kích thích tạo nên do tác dụng các
toán tử sinh α
µ+
n
và ˜α
µ+
n
, n > 0, lên trạng thái nền chân không |0. Chuẩn
của các trạng thái này không phải tất cả đều > 0. Chẳng hạn:

0



α
0
n
α
0+
n


0

=

0



α
0
n
, α
0+
n



0

= −n < 0 (1.56)

Do đó α
0+
n
|0 không thể xem là trạng thái vật lý. Không gian các trạng
thái chỉ là một không gian con của toàn không gian Fock nói trên, thỏa
mãn một số điều kiện nhất định. Trước hết, trạng thái vật lý phải có chuẩn
> 0.
Cụ thể, xét một không gian trạng thái vật lý |φ là không gian con của
không gian Fock:
• Đối với dây mở, ta có:

L
0
− a
0

|φ = 0 (1.57)
L
n
|φ = 0, n > 0 (1.58)
• Đối với dây đóng, ta có:

L
0
− a
0

|φ = 0,

˜

L
0
− a
0

|φ = 0 (1.59)
L
n
|φ = 0,
˜
L
n
|φ = 0, n > 0 (1.60)
a
0
: thông số Regge. (1.61)
Từ các phương trình trên ta tìm phổ khối lượng của các trạng thái kích
thích:
14
• Đối với dây mở:
L
0
= −
1
2
∞

k=−∞
: α
µ

−k
α
µk
:
= −
1
2
−∞

k=−1
: α
µ
−k
α
µk
: −
1
2
: α
µ
0
α
µ0
: −
1
2
∞

k=1
: α

µ
−k
α
µk
:
= −
1
2
−∞

k=−1
α
µk
α
µ
−k
−
1
2
α
µ
0
α
µ0
−
1
2
∞

k=1

α
µ
−k
α
µk
= −
1
2
∞

k=1
α
µ,−k
α
µ
k
−
1
2
p
2
−
1
2
∞

k=1
α
µ
−k

α
µk
= −
1
2
∞

k=1
α
µ
−k
α
µk
−
1
2
p
2
−
1
2
∞

k=1
α
µ
−k
α
µk
= −

1
2
p
2
−
∞

k=1
α
µ
−k
α
µk
(1.62)
Thế

1.62

vào

1.58

ta được:
p
2
|φ = −2

a
0
+

∞

k=1
α
µ
−k
α
µk

|φ (1.63)
M
2
≡ −2

a
0
+
∞

k=1
α
µ
−k
α
µk

(1.64)
Với M
2
là toán tử bình phương khối lượng của dây. Tác dụng nên

trạng thái kích thích:




φ

n
1
n
2
···n
p


∼ α
µ
+
1
n
1
α
µ
+
2
n
2
···α
µ
+

p
n
p
|0 (1.65)
Chính trạng thái riêng của M
2
với trị riêng tương ứng:
m
2
= 2

−a
0
+
p

i=1
n
i

(1.66)
M
2




φ

n

1
n
2
···n
p


= 2

−a
0
+
p

i=1
n
i





φ

n
1
n
2
···n
p



(1.67)
15
• Đối với dây đóng:
L
0
= −
1
8
p
2
−
∞

k=1
α
µ
−k
α
µk
˜
L
0
= −
1
8
p
2
−

∞

k=1
˜α
µ
−k
˜α
µk
(1.68)
Thế vào

1.61

ta được:
p
2
|φ = −8

a
0
+
∞

k=1
α
µ
−k
α
µk


|φ = −8

a
0
+
∞

k=1
˜α
µ
−k
˜α
µk

|φ
(1.69)
M
2
≡ −8

a
0
+
∞

k=1
α
µ
−k
α

µk

≡ −8

a
0
+
∞

k=1
˜α
µ
−k
˜α
µk

(1.70)
Tương tự: Tác dụng lên trạng thái kích thích:




φ

n
1
n
2
···n
p

,m
1
m
2
···m
q


∼ φ
u
+
1
n
1
···φ
u
+
p
n
p
.
˜
φ
γ
+
1
n
1
···
˜

φ
γ
+
q
n
q
(1.71)
Là trạng thái riêng của M
2
ứng với trị riêng tương ứng:
m
2
= 8

−a
0
+
p

i=1
n
i

= 8

−a
0
+
p


i=1
m
i

(1.72)
M
2




φ

n
1
n
2
···n
p
,m
1
m
2
···m
q


= 8

−a

0
+
p

i=1
n
i





φ

n
1
n
2
···n
p
,m
1
m
2
···m
q


(1.73)
Suy ra:

p

i=1
n
i
=
q

i=1
m
i
(1.74)
Chú ý: Ở trạng thái cơ bản ứng với p = 0, q = 0 thì m
2
= −2a
0
với
dây mở và m
2
= −8a
0
với dây đóng. Như vậy khi a
0
> 0

chẳng hạn với
dây Boson a
0
= 1


thì m
2
< 0 các hạt tương ứng gọi là tachyon. Hiện nay
đang tìm cơ chế để khử tachyon đó là cơ sở đưa vào toán tử chiếu GSO.
16
1.5 Siêu dây và siêu tọa độ.
Lý thuyết dây Boson có những hạn chế, chẳng hạn sự tồn tại các tachyon,
số chiều không - thời gian ngoại phụ quá nhiều. Ngoài ra, như đã thấy cấu
trúc lý thuyết, dây boson không có khả năng mô tả các trạng thái có spin
bán nguyên. Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đưa vào siêu
đối xứng trên lá thế, thể hiện qua sự biến đổi qua lại giữa các tọa độ không
- thời gian X
µ

τ, σ

với các đối tác của chúng - các siêu tọa độ phản giao
hoán ψ
µ

τ, σ

. Đối với không - thời gian của dây đó là các vector, còn đối
với lá thế là các spinor hai thành phần ψ
µ
A

τ, σ

, A = 1, 2. Ngoài ra, chúng

là những đại lượng thực

Majorana

:
(ψ
µ
A
)
+
=

ψ
µ+

A
= ψ
µ
A
(1.75)
Lúc này vị trí của dây trong không - thời gian được xác định bởi cả
X
µ

τ, σ

và ψ
µ

τ, σ


, và dây được gọi là siêu dây.
Chuyển động của siêu dây được mô tả bởi tác dụng dạng:
S = S

x

+ S

ψ

(1.76)
Với:
S

x

=
1
2π

d
2
λη
αβ
∂
α
X
µ
.∂

β
X
µ
(1.77)
S

ψ

=
1
2π

d
2
λη
αβ
¯
∂
µ
ρ
α
∂
β
ψ
µ
(1.78)
Ta hãy tìm phương trình chuyển động cho ψ
µ
A
Từ


1.78

ta có:
δL
δψ
µ
A
=
i
2π

ρ
0
ρ
α

B
A
∂
α
ψ
µB
(1.79)
δL
δ

∂
α
ψ

µ
A

=
i
2π

¯
ψρ
α

A
(1.80)
= −
i
2π
ψ
µB

ρ
0
ρ
α

B
A
(1.81)
= −
i
2π


ρ
0
ρ
α

B
A
ψ
µB
(1.82)
17
Thay kết quả vào phương trình Euler - Lagrange
δL
δψ
µ
A
− ∂
0
δL
δ

∂
α
ψ
µ
A

= 0 (1.83)
ta được phương trình chuyển động:

ρ
α
∂
α
ψ
µ
= 0 (1.84)
Viết tường minh cho từng thành phần:

∂
τ
+ ∂
σ

ψ
µ
1
= 0 ,

∂
τ
− ∂
σ

ψ
µ
2
= 0 (1.85)
• Siêu dây mở: Điều kiện biên:
Ψ

µ
1

τ, 0

= Ψ
µ
2

τ, 0

(1.86)
Khi đã buộc điều kiện trên thì dấu tương đối giữa ψ
µ
1
và ψ
µ
2
tại σ = 0
trở nên có ý nghĩa. Lúc này ta phân biệt làm hai trường hợp:
1. Điều kiện biên Neveu - Schwars

miền NS

:
Ψ
µ
1

τ, π


= −Ψ
µ
2

τ, π

(1.87)
2. Điều kiện biên Ramond

miền R

:
Ψ
µ
1

τ, π

= Ψ
µ
2

τ, π

(1.88)
Nghiệm của các phương trình chuyển động thỏa mãn các điều kiện
biên trên tương ứng có biểu thức tổng quát như sau:
1. Miền NS:
ψ

µ
1

τ, σ

=
1
√
2

r∈Z+
1
2
b
µ
r
e
ir

τ−σ

(1.89)
ψ
µ
2

τ, σ

=
1

√
2

r∈Z+
1
2
b
µ
r
e
ir

τ+σ

(1.90)
2. Miền R:
ψ
µ
1

τ, σ

=
1
√
2

n∈Z−0
d
µ

n
e
in

τ−σ

(1.91)
ψ
µ
2

τ, σ

=
1
√
2

n∈Z−0
d
µ
n
e
in

τ+σ

(1.92)
18
Trong đó b

µ
r
, d
µ
n
được gọi là siêu dao động tử. Do ψ
µ
A
là Majorana nên:
b
µ+
r
= b
µ
−r
, ≡ d
µ+
n
= d
µ
−n
(1.93)
• Siêu dây đóng:
Điều kiện biên: có thể là tuần hoàn
Ψ
µ
A

τ, σ + π


= Ψ
µ
A

τ, σ

(1.94)
hoặc là phản tuần hoàn
Ψ
µ
A

τ, σ + π

= −Ψ
µ
A

τ, σ

(1.95)
Do đó ta phân biệt bốn miền như sau:
1. Miền NS - NS
Ψ
µ
1

τ, σ + π

= −Ψ

µ
1

τ, σ

(1.96)
Ψ
µ
2

τ, σ + π

= −Ψ
µ
2

τ, σ

(1.97)
2. Miền NS - R
Ψ
µ
1

τ, σ + π

= −Ψ
µ
1


τ, σ

(1.98)
Ψ
µ
2

τ, σ + π

= Ψ
µ
2

τ, σ

(1.99)
3. Miền R - NS
Ψ
µ
1

τ, σ + π

= Ψ
µ
1

τ, σ

(1.100)

Ψ
µ
2

τ, σ + π

= −Ψ
µ
2

τ, σ

(1.101)
4. Miền R - R
Ψ
µ
1

τ, σ + π

= Ψ
µ
1

τ, σ

(1.102)
Ψ
µ
2


τ, σ + π

= Ψ
µ
2

τ, σ

(1.103)
Nghiệm các phương trình chuyển động thỏa mãn các điều kiện trên có
biểu thức khai triển tổng quát như sau:
1. Miền NS - NS
ψ
µ
1

τ, σ

=

r∈Z+
1
2
b
µ
r
e
2ir


τ−σ

(1.104)
ψ
µ
2

τ, σ

=

r∈Z+
1
2
˜
b
µ
r
e
2ir

τ+σ

(1.105)
19
2. Miền NS - R
ψ
µ
1


τ, σ

=

r∈Z+
1
2
b
µ
r
e
2ir

τ−σ

(1.106)
ψ
µ
2

τ, σ

=

r∈Z−0
˜
d
µ
r
e

2ir

τ+σ

(1.107)
3. Miền R - NS
ψ
µ
2

τ, σ

=

r∈Z−0
d
µ
r
e
2ir

τ−σ

(1.108)
ψ
µ
2

τ, σ


=

r∈Z+
1
2
˜
b
µ
r
e
2ir

τ+σ

(1.109)
4. Miền R - R
ψ
µ
1

τ, σ

=

r∈Z+
1
2
b
µ
r

e
2ir

τ−σ

(1.110)
ψ
µ
2

τ, σ

=

r∈Z−0
˜
d
µ
r
e
2ir

τ+σ

(1.111)
Điều kiện Majorana của ψ
µ
A
buộc:
b

µ+
r
= b
µ
−r
,
˜
b
µ+
r
=
˜
b
µ
−r
, d
µ+
n
= d
µ
−n
,
˜
d
µ+
n
=
˜
d
µ

−n
(1.112)
Chương 2
Hình thức luận phiếm hàm Dây.
Trong chương 1, số lượng tử hóa dây mới chỉ ở mức độ biến các tọa độ
X
µ
, ψ
µ
, ··· thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định.
Do đó vẫn chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và hủy dây, để có
thể mô tả quá trình chuyển hóa giữa các dây cần phải xây dựng lý thuyết
trường dây lượng tử. Để chuyển từ lượng tử hóa dây đơn lẻ sang lý thuyết
trường dây lượng tử, ta chuyển từ hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang
phiếm hàm trường dây.
|φ → Φ

X
µ

τ, σ

, Ψ
µ

τ, σ

, ···

(2.1)

Đây là phiếm hàm với các giá trị là các trường trong không - thời gian
x
µ
.
2.1 Phiếm Hàm trường dây mở.
2.1.1 Miền NS
Phiếm hàm có biểu thức khai triển tổng quát như sau:
Ψ

X
µ

τ, σ

, ψ
µ

τ, σ

=
∞

r,s=0

− i

r+s
r!s!
ψ
n

1
···n
r
,λ
1
···λ
s
µ
1
···µ
r
,γ
1
···γ
s

x

.
.α
µ
+
1
n
1
···α
µ
+
r
r

1
b
µ
+
1
λ
1
···b
µ
+
s
λ
s
(2.2)
với: n
1
, ···n
r
, λ
1
, ··· , λ
s
> 0
Các hệ số khai triển ψ
n
1
···n
r
,λ
1

···λ
s
µ
1
···µ
r
,γ
1
···γ
s

x

có thể xem là đối xứng theo các
cặp chỉ số

n
µ

và phản xứng theo các cặp chỉ số

λ
γ

.
20
21
Viết tường minh cho một số trường thành phần ứng với các mode kích
thích thấp, ta có:
Ψ =


ψ

x

− iA
γ

x

b
γ
+
1
2
− iC
µ

x

α
µ
+
1
+ ···

|0 (2.3)
trong đó ký hiệu:
ψ
,

1
2
,λ

x

≡ A
γ

x

, ψ
1,
µ,
≡ C
µ

x

Phiếm hàm Ψ thỏa mãn các phương trình:

L
0
−
1
2

Ψ = 0 (2.4)
L
n

ψ = 0, ≡ n ≥ 1 (2.5)
G
λ
Ψ = 0, ≡ λ ≥
1
2
(2.6)
Chú ý rằng do:
L
n
=
1
2

G
n−
1
2
, G
1
2

, n ≥ 0 (2.7)
G
λ
=
4
2λ − 3

L

λ−
1
2
, G
1
2

, λ ≥
5
2
(2.8)
Cho nên các dãy vô số các phương trình

2.5

và

2.6

trên thực tế quy
về hai phương trình:
G
1
2
Ψ = 0 , G
3
2
Ψ = 0 (2.9)
Xuất phát từ


2.5

và

2.9

ta hãy viết ra phương trình cho trường
thành phần trong biểu thức

2.3

.
Sử dụng biểu thức tường minh của L
0
:
L
0
=
1
2
 −
∞

k=1
α
σ
−k
α
σk
−

∞

λ=
1
2
b
σ
−λ
b
σλ
(2.10)
và các kết quả đã tính, phương trình

2.4

cho


 − 1

ψ

x

− iA
µ

x

.b

µ+
1
2
− i

 + 1

C
µ

x

α
µ+
1+
···

|0 = 0
(2.11)
22
và từ đây:

 − 1

ψ

x

= 0 (2.12)
A

µ

x

= 0 (2.13)

 + 1

C
µ

x

= 0 (2.14)
. . . . . . . . . . . . .
Như vậy, ψ

x

là tachyon với m
2
= −1, A
µ

x

không khối lượng, C
µ

x


có m
2
= 1, ···.
Một cách tổng quát, trường thành phần φ
n
1
···n
r
,λ
1
···λ
s
µ
1
···µ
r
,γ
1
···γ
s

x

thỏa mãn phương
trình Klein - Gardon với:
m
2
= 2



n
1
+ ··· + n
r

+

λ
1
+ ··· + λ
s

−
1
2

(2.15)
Ta có thể khử tachyon thông qua toán tử chiếu GSO, bằng cách đặt
G = −1 lên trạng thái vật lý, và do đó biểu thức khai triển

2.2

chỉ có
trường thành phần số lẻ s. Viết lại

2.2

thành:
Ψ


X
µ

τ, σ

, ψ
µ

τ, σ

=
∞

r,p=0

− i

r+2p+1
r!

2p + 1

!
ψ
n
1
···n
r
,λ

1
···λ
2p+1
µ
1
···µ
s
,γ
1
···γ
2p+1

x

.
.α
µ
+
1
n
1
···α
µ
+
r
r
1
b
µ
+

1
λ
1
···b
µ
+
2p+1
λ
2p+1
|0 (2.16)
và thay cho

2.3

ta có:
Ψ =

−iA
µ

x

b
µ+
1
2
+ ···

|0 (2.17)
Xét sang phương trình


2.9

ta có:
G
1
2
Ψ = −

k∈Z
α
γ
−k
b
γ,k+
2
3
Ψ
= −

p
γ
b
γ
1
2
+
∞

k=−1


α
γ
γ,k+
1
2


Ψ
=

ip
γ
A
µ

x

b
γ
1
2
b
µ+
1
2
+ ···

|0
=


−∂
µ
A
µ

x

+ ···

|0
= 0 (2.18)
23
Từ đây suy ra:
∂
µ
A
µ

x

= 0 (2.19)
và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các mode kích
thích cao hơn.
Tương tự, phương trình G
3
2
Ψ = 0 dẫn đến các hệ thức giữa các trường
thành phần cao hơn.
Phương trình A

µ

2

= 0 cùng với điều kiện

2.19

cho phép đoán
nhận A
µ

x

là trường gauge với điều kiện Lorentz gauge

2.19

và do đó
các phương trình

2.5

,

2.5

được gọi là điều kiện gauge của dây.
2.1.2 Miền R
Phiếm hàm trường dây có biểu thức khai triển:

Ψ

X
µ

τ, σ

, ψ
µ

τ, σ

=
∞

r,s=0

− i

r+s
r!s!
ψ
n
1
···n
r
,λ
1
···λ
s

µ
1
···µ
r
,γ
1
···γ
s

x

.
.α
µ
+
1
n
1
···α
µ
+
r
r
1
d
µ
+
1
λ
1

···d
µ
+
s
λ
s
(2.20)
với: n
1
, ···n
r
, m
1
, ··· , m
s
> 0
Cần chú ý rằng phiếm hàm Ψ mang chỉ số spinor không - thời gian, cho
nên các trường thành phần cũng vậy.
Viết tường minh cho một phương trình thành phần ứng với các mode
kích thích thấp nhất, ta có:
Ψ =

ψ

x

− iξ
µ

x


− iξ
γ

x

α
µ+
1
− iβ
γ

x

d
γ+
1
+ ···

|0 (2.21)
Trong đó:
ψ
1,
µ,

x

≡ ξ
µ


x

, ξ
,1
,γ

x

≡ β
γ

x

(2.22)
Các trường ξ

x

, β
µ

x

, ··· còn mang thêm chỉ số spinor không - thời
gian, cho nên ξ là trường spinor, ξ
m
u

x


và β
µ

x

là trường vector - spinor.
Phiếm hàm Ψ thảo mãn các phương trình tương tự như

2.2

:
G
0
Ψ = 0 (2.23)
L
n
Ψ = 0 , n ≥ 1 G
k
Ψ = 0 , k > o (2.24)
24
Do
G
k
=
2
2k − 3
{G
k−1
, L
1

} (2.25)
L
n
=
1
2
[G
n−1
, G
1
] (2.26)
cho nên chỉ cần viết

2.24

cho n = k =1.
Xuất phát từ

2.23

viết phương trình cho các trường ψ

x

, ξ
µ

x

, β

µ

x

trong biểu thức

2.21

.
Với biểu thức tường minh của G
0
:
G
0
= −
i
√
2
γ
ν
−
∞

k=1

α
ν
−k
d
νk

+ d
ν
−k
α
νk

(2.27)
phương trình

2.21

cho:

−
1
√
2
γ
µ
∂
µ
ψ

x

+
i
√
2
γ

ν
ξ
µ

x

.α
µ
−1
+ iξ
µ

x

d
ν
−1
α
ν1
α
µ
−1
+
+
i
√
2
γ
ν
∂

ν
β
µ

x

.d
µ
−1
+ iβ
µ

x

α
ν
−1
d
ν1
d
µ
−1
+ ···

|0
=

−
1
√

2
γ
µ
∂
µ
ψ

x

+

i
√
2
γ
ν
∂
ν
ξ
µ

x

− iξ
µ

x


.α

µ
−1
+
+

iξ
µ

x

+
i
√
2
γ
ν
∂
ν
β
µ

x


.d
µ
−1
+ ···

|0 = 0 (2.28)

Từ đây suy ra:
γ
µ
∂
µ
ξ

x

= 0 (2.29)
γ
ν
∂
ν
ξ
µ

x

=
√
2β
µ

x

γ
ν
∂
ν

β
µ

x

= −
√
2ξ
µ

x

(2.30)
Kết hợp hai phương trình trên ta được:

 + 2

ξ
µ

x

= 0 (2.31)

 + 2

β
µ

x


= 0 (2.32)
Như vậy, trường ψ

x

không khối lượng, trường ξ
µ

x

và β
µ

x

có
m
2
= 2.
25
Xét sang các phương trình

2.24

với biểu thức tường minh của L
1
:
L
1

= −
1
2

k∈Z

α
ν
−k
α
ν,k+1
+ kd
ν
−k
d
ν,k+1

(2.33)
phương trình L
1
Ψ = 0 cho:
−

p
ν
α
ν1
+ ··· +
1
2

d
ν
0
d
ν1
+ ···


ψ

x

− iξ
µ

x

α
µ
−1
− iβ
µ

x

d
µ
−1
···


|0
=

−∂
µ
ξ
µ

x

+
1
2
√
2
γ
µ
β
µ

x

+ ···

|0 = 0 (2.34)
Từ đây suy ra:
∂
µ
ξ
µ

=
1
2
√
2
γ
µ
β
µ

x

(2.35)
2.2 Phiếm hàm trường dây đóng.
2.2.1 Miền NS - NS
Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường dây là:
Φ

X

τ, σ

, ψ

τ, σ

=
∞

r,s,p,q=0


− i

r+s+2

p+q+1

r!s!

2p + 1

!

2q + 1

!
.
.φ
n
1
···n
s
,λ
1
···λ
2p+1
;m
1
···m
s

,γ
1
···γ
2q+1
µ
1
···µ
r
,σ
1
···σ
2p+1
;ν
1
···ν
s
,τ···τ
2q+1

x

.
.α
µ
−
1
n
1
···α
µ

−
r
n
r
b
σ
−
1
λ
1
···b
σ
−
2p+1
λ
2p+1
˜α
ν
−
1
m
1
··· ˜α
ν
−
s
m
s
˜
b

τ
−
1
γ
1
···
˜
b
τ
−
2q+1
γ
2q+1
|0
(2.36)
Ở đây số dao động tử b và
˜
b đều là lẻ.
Phiếm hàm Φ thỏa mãn các phương trình:

L
0
−
1
2

Φ = 0 ,

˜
L

0
−
1
2

Φ = 0 (2.37)
và điều kiện gauge:
L
n
Φ = 0,
˜
L
n
Φ = 0, n > 0 (2.38)