Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q) và thống kê lượng tử của chúng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (415.37 KB, 42 trang )
1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội 2
***&***
PHM VN HI
DAO NG MNG TINH TH BIN DNG
R(q)
V THNG Kấ LNG T CA CHNG
Chuyờn ngnh: Vật lý chất rắn
Mó s:
Luận văn thạc sĩ vật lý
Ngời hớng dẫn khoa học
PGS- TS.
Nguyn Th H Loan
hà nội - 2011
2
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS - TS
Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy và tận tình hướng dẫn
tôi hoàn thành luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu, hướng dẫn,
giải thích cho tôi những phần kiến thức khó mà bản thân tôi không
thể tự lĩnh hội được. Cô còn luôn động viên tôi mỗi khi tôi gặp
khó khăn. Sự quan tâm chỉ bảo của cô đã giúp tôi rất nhiều trong
việc hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp đây cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy
cô giáo trong khoa Vật Lý - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và
các thầy cô giáo đã giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
HỌC VIÊN
Phạm Văn Hợi
3
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trông luận văn là trung thực.Đó là sự phấn
đấu và tìm tòi, tính toán của tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
HỌC VIÊN
Phạm Văn Hợi
4
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU…………………………………………………
…….…
… 4
NỘI DUNG………………………………………………
…
…
…
…
.
.
6
Chương I : DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG……………………………
.6
1.1 Dao động bozon biến dạng q……………………………… … 6
1.2 Dao động fecmion biến dạng q……………………………… 9
1.3 Dao động biến dạng R(q)…………………………………… 12
Chương II : DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH THỂ….….15
2.1 Dạo động mạng tinh thể biến dạng…
…
…….…………………….15
2.1.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại… 15
2.1.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại 20
2.1.2.1. Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần……………
20
2.1.2.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại… 23
2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)……………………… 30
Chương III : THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA DAO ĐỘNG MẠNG
TINH THỂ……………………………………………………………….……36
3.1 Phân bố thống kê của các dao động biến dạng q…………….……36
3.2 Thống kê của các dao động biến dạng R(q)…………………… 37
3.3 Thống kê của các dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)……….38
KẾT LUẬN…………………………………………………….…….40
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………
….
… 41
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhóm lượng tử hoặc đại số lượng tử là sự biến dạng của đại số Lie cổ
điển. Việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã được quan tâm ngày càng nhiều
trong những năm gần đây. Bởi cấu trúc toán học mới của chúng liên quan đến
những vấn đề đa dạng trong vật lí lí thuyết như lí thuyết tán xạ ngược lượng
tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lí thuyết trường Comfomal
hữu tỉ, lí thuyết trường hai chiều với thống kê phân số…
Đại số Heisenberg biến dạng R là sự biến dạng bao gồm toán tử phản
xạ R đã được đưa ra khi tiếp cận đại số spin cao và đã được phát triển bởi các
tác giả khác, trong khảo sát cơ lượng tử n mode.
Biến dạng R(q) láuwj tổhowpjcuarbieens dạng R và biến dạng q.
Hầu hết các tính chất quan trọng của chất rắn đều liên quan đến dao
động mạng tinh thể. Mỗi tinh thể cho một kiểu dao động riêng gọi là phổ
phonon của nó. Phổ phonon quyết định phần lớn các tính chất quan trọng của
chất rắn như: nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt Chính vì vậy mà
bài toán dao động mạng tinh thể là một phần quan trọng của vật lý chất rắn.
Bên cạnh đó nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể cũng đã thu hút
được sự quan tâm của các nhà vật lý bởi chúng có rất nhiều ứng dụng trong
các mô hình vật lý.
Vì vậy tôi chọn nghiên cứu đề tài “dao động mạng tinh thể biến dạng
R(q) và thống kê lượng tử của chúng”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng dao động mạng tinh thể lượng tử biến dạng R(q).
- Tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng R(q).
- Tính thống kê của dao động mạng tinh thể biến dạng R(q).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu các dao động tử biến dạng.
3.2. Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)
6
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu dao động tử biến dạng R(q) và dao động mạng tinh thể biến
dạng R(q)
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dùng phương pháp của nhóm đối xứng lượng tử .
- Dùng các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn.
- Dùng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết.
6. Giả thuyết khoa học (hoặc: Dự kiến đóng góp mới)
Đưa ra một công cụ hiện đại để nghiên cứu dao động tử biến dạng và
dao động của mạng tinh thể biến dạng.
7. Cấu trúc luận văn.
Chương I : Dao động biến dạng
1.1 Dao động bozon biến dạng q
1.2 Dao động fecmion biến dạng q
1.3 Dao động biến dạng R(q)
Chương II : Dao động biến dạng mạng tinh thể.
2.1 Dạo động mạng tinh thể biến dạng
2.1.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại…
2.1.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử
khác loại
2.1.2.1. Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần.
2.1.2.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác loại
2.2 Dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)
Chương III : Thống kê lượng tử của dao động mạng tinh thể
3.1 Thống kê của các dao động biến dạng q
3.2 Thống kê của các dao động biến dạng R(q)
3.3 Thống kê của các dao động mạng tinh thể biến dạng R(q)
7
NỘI DUNG
Chương 1: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG
1.1. Dao động tử Boson biến dạng q.
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử
hủy và toán tử sinh dao động tử â, â
+
thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:
aa
ˆˆ
-
N
qaaq
ˆˆ
(1.1)
Với q là thông số biến dạng.
Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:
nnnN ||
ˆ
(1.2)
Toán tử hủy, sinh â, â
+
và toán tử số dao động
N
ˆ
thỏa mãn hệ thức:
aaN
aaN
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ
(1.3)
Chúng ta đưa vào cơ sở không gian Fock :
0|
!
)
ˆ
(
|
q
n
q
n
a
n
(1.4)
Ở đây
0|
là trạng thái nền và dùng ký hiệu:
qqqqq
nn
q
nnnn
n
1 2 1.!
1
(1.5)
Tác dụng
aa
ˆˆ
,
aa
ˆˆ
lên trạng thái riêng
q
n|
ta được:
*
0|)
ˆ
)(
ˆˆ
(0|)
ˆ
(
ˆ
0|
!
)
ˆ
(
ˆˆ
|
ˆˆ
1nNn
q
n
q
aqaaqaa
n
a
aanaa
=
0|)
ˆ
(
ˆˆ
)
ˆ
(
11 nnN
aaaqaq
=
0|)
ˆ
)(
ˆˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
21 nNnN
aqaaqaqaq
=
0|)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
()
ˆ
()
ˆ
(
222121 nnNnN
aaaqaqaq
8
…………………
=
0|
ˆ
)
ˆ
()
ˆ
(
1222
aaqaqqq
nnnnNNN
0|
ˆ
)
ˆ
()
ˆ
( 0|)
ˆ
(
ˆˆ
11231
aaqaqqqaaa
nnnnNNNn
Vậy:
q
nnn
q
nqqqnaa
| |
ˆˆ
131
=
q
nn
n
|
1
=
q
q
nn |
*
0|
!
)
ˆ
(
)
ˆˆ
(0|
!
)
ˆ
(
ˆˆ
|
ˆˆ
q
n
N
q
n
q
n
a
qaaq
n
a
aanaa
0|
!
)
ˆ
(
0|
!
)
ˆ
(
ˆˆ
q
n
N
q
n
n
a
q
n
a
aaq
q
N
q
nqnaaq
||
ˆˆ
q
n
q
nn
nqn
q
||
1
q
nnnn
n
qqqq
|
1
1111
q
nn
n
|
1
11
q
q
nn 1
Vậy :
qqq
q
q
q
nnnaa
nnnaa
1|
ˆˆ
||
ˆˆ
(1.6)
Hamiloniam được biểu diễn qua toán tử tọa độ
x
ˆ
và toán xung lượng
p
ˆ
có dạng:
22
2
ˆ
2
1
2
ˆ
ˆ
xm
m
p
H
(1.7)
9
Toán tử hủy và sinh dao động tử
aa
ˆ
,
ˆ
của dao động biến dạng q:
p
m
i
x
m
a
p
m
i
x
m
a
ˆˆ
2
ˆ
ˆˆ
2
ˆ
(1.8)
Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các
toán tử hủy và sinh dao động tử
aa
ˆ
,
ˆ
:
aa
m
ip
aa
m
x
ˆˆ
2
ˆ
ˆˆ
2
ˆ
(1.9)
Thay (2.9) vào (2.7) ta được:
aaaa
m
p
ˆˆˆˆ
2
ˆ
2
22
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
2
aaaaaa
m
aaaa
m
x
ˆˆˆˆ
2
ˆ
2
22
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
2
aaaaaa
m
2222
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
4
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
4
ˆ
aaaaaaaaaaaaH
aaaaH
ˆˆˆˆ
2
ˆ
(1.10)
Phổ năng lượng của dao động biến dạng q:
nEnH ||
ˆ
nEnaaaa
||
ˆˆˆˆ
2
nEnnn ||1
2
10
Vậy
n
nnE 1
2
(1.11)
(1.11) chính là công thức tính phổ năng lượng của dao động tử bozon
biến dạng q. Tiếp sau đây chúng ta đi nghiên cứu dao động tử fermion biến
dang q.
1. 2. Dao động tử Fermion biến dạng q
Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn thông qua các toán tử
sinh dao động tử
b
ˆ
và hủy dao động tử
b
ˆ
thỏa mãn các hệ thức phản giao
hoán như sau:
0)
ˆ
(
ˆ
ˆˆˆˆ
22
bb
qbbqbb
N
(1.11)
Với q là thông số biến dạng.
Trong phương trình (1.11) nếu q = 1 thì trở về hệ thức phản giao hoán
của dao động tử điều hòa.
Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng và
trị riêng:
nnnN
||
(1.12)
Toán tử sinh, hủy dao động
b
+
,
b
và toán tử số dao động
N
ˆ
thỏa mãn hệ
thức:
bbN
bbN
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ
(1.13)
Chúng ta đưa vào cơ sở của không gian Fock:
0|
!
|
q
n
q
n
b
n
(1.14)
Ở đây:
0|
là trạng thái chân không và dùng ký hiệu:
1
)1(
n
nnn
q
(1.15)
11
qqqqq
nnnn 1 2.1.!
(1.16)
Tác dụng
bbbb
ˆˆ
,
ˆˆ
lên trạng thái riêng
q
n|
ta được.
0|)
ˆˆ
(0|
ˆ
0|
!
ˆˆ
|
ˆˆ
1n
N
n
q
n
q
bbbqqbb
n
bbb
nbb
0|
ˆ
ˆ
0|
ˆˆ
0|)
ˆˆ
(
ˆ
0|
ˆˆ
1
121
2
2
2
1
1
1
21
11
abqbqqqq
bbbqbqbq
bbbqqbqbq
bbbqbq
n
n
n
nNNNN
nn
N
n
N
n
N
n
N
nn
N
Vậy
0|
ˆˆ
ˆˆˆ
1
21
bbqbqqqbbb
n
n
n
nNNN
n
Vậy
q
nnn
nqqqbb
| 0|
ˆˆ
121
q
nnn
n
|
)1(
1
nnbb
|0|
ˆˆ
(1.17)
*
0|
!
)(
ˆˆ
|
ˆˆ
q
n
q
n
bbb
nbb
nbbqnq
n
b
bbq
n
b
q
n
b
bbqq
N
q
n
q
n
N
q
n
N
|
ˆˆ
|
0|
!
)(
ˆˆ
0|
!
)(
0|
!
)(
ˆˆ
Mặt khác:
qqq
nnnbb
||
ˆˆ
q
nnn
q
N
q
n
qnqnbb
|
)1(
.||
ˆˆ
1
12
q
nnn
n
n
q
|
)1(
1
11
q
nnn
q
q
nnnnn
q
n
nbb
n
qqqq
nbb
|
)1(
|
ˆˆ
|
)1(
|
ˆˆ
1
11
1
1111
qqq
nnnbb
|1|
ˆˆ
(1.18)
Như vậy cuối cùng ta có:
qqq
nnnbb
||
ˆˆ
qqq
nnnbb
|1|
ˆˆ
Hamilonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ
x
ˆ
và toán tử xung lượng
p
ˆ
có dạng:
22
2
ˆ
2
1
2
ˆ
ˆ
xm
m
p
H
(1.19)
Toán tử sinh (hủy)
bb
ˆ
,
ˆ
của dao động biến dạng q:
p
m
i
x
m
b
p
m
i
x
m
b
ˆˆ
2
ˆ
ˆˆ
2
ˆ
(1.20)
Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các
toán tử sinh, hủy
bb
ˆ
,
ˆ
:
bb
m
ip
bb
m
x
ˆˆ
2
ˆ
ˆˆ
2
ˆ
(1.21)
Thay (2.3) vào (2.1) ta được:
bbbb
m
p
ˆˆˆˆ
2
ˆ
2
22
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
2
bbbbbb
m
13
bbbb
m
x
ˆˆˆˆ
2
ˆ
2
22
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
2
bbbbbb
m
Vậy :
2222
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
4
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
4
ˆ
bbbbbbbbbbbbH
bbbbH
ˆˆˆˆ
2
ˆ
(1.22)
Phổ năng lượng của dao động Bozon biến dạng q được cho bởi:
nEnH ||
ˆ
(1.23)
nEnbbbb
||
ˆˆˆˆ
2
nEnnn ||1
2
Vậy
n
nnE 1
2
(1.24)
Chúng ta đã nghiên cứu dao động tử bozon biến dạng q và dao động tử
fermion biến dạng q. Đó là những hạt có spin thấp. Bây giờ chúng ta nghiên
cứu dao động của những hạt có spin cao, thông qua dao động biến dạng R(q).
1.3. Dao động biến dạng R(q)
Đại số Heisenberg biến dạng R(q) được sinh ra bởi các toán tử sinh,
hủy
aa
ˆ
,
ˆ
và toán tử phản xạ R thỏa mãn các hệ thức sau:
aaaa
ˆˆˆˆ
= 1+
R
1
ˆˆ
ˆˆ
2
1
R
aRqRa
aqRRa
(1.25)
Ở đây q là thông số biến dạng thực.
là một thông số nào đó.
Cho phép chúng ta đưa vào cơ sở của không gian Fock
0|)(|
m
m
aCm
14
ở đây
0|
là trạng thái chân không và thỏa mãn:
00|
a
0|0|
10|0
R
C
m
là hệ số chuẩn hóa. Từ hệ thức (1) ta có thể chứng minh rằng:
1
1
1
1
ˆ
,
ˆ
n
n
n
aR
q
q
naa
(1.26)
Hệ quả:
nnnaa
nnnaa
q
q
|1|
ˆˆ
||
ˆˆ
(1.27)
Ở đây dùng ký hiệu:
1
1
1
q
q
nn
n
q
Suy ra:
0|
!
)(
|
q
m
m
a
m
(1.28)
nmmn
|
Và
qqqq
mmm 1 1!
Trong trường hợp đặc biệt:
N
qR
pv
1
(1.29)
1
q
và
aaN
,
Chúng ta có kết quả của dao động Paraboson đơn mode
)
ˆˆˆˆ
(
2
1
)1()1(1
ˆ
,
ˆ
paaaaN
paa
N
(1.30)
Chúng ta tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng R(q):
15
aa
m
ip
aa
m
x
ˆˆ
2
ˆˆ
2
(1.31)
Hamitolnion của dao động biến dạng R(q) có dạng:
m
p
xmH
2
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
2
22
aaH
aaaaH
,
2
ˆ
2
ˆ
(1.32)
Hệ thức bất định R(q) biểu diễn như sau:
)1(,, vRiaaixp
(1.33)
Phổ năng lượng của dao động biến dạng R(q) được cho bởi hệ thức:
0|0|
!
)(
ˆˆˆˆ
2
| E
n
a
aaaanH
n
(1.34)
Ở đây
v
q
nE
nn
n
)1(2
2
2
1
1
(1.35)
Trong TH: q=1 chúng ta có :
2
1
nE
n
q ->-1 chúng ta có :
22
1 v
nE
n
16
Chương 2: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH THỂ
2.1 Dao động mạng tinh thể biến dạng
2.1.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng
loại:
22
2
ˆ
2
1
2
ˆ
ˆ
xm
m
p
H
k
(2.1)
Ở đây
k
ux
ˆˆ
là tọa độ suy rộng của nguyên tử ở vị trí thứ k và
k
p
ˆ
là
xung lượng tương ứng của chuỗi nguyên tử cùng loại.
Các toán tử sinh và hủy tương ứng với vecto sóng
k
có dạng:
kkk
kkk
p
m
i
ukm
k
a
p
m
i
ukm
k
a
ˆˆ
)(
)(2
1
ˆ
ˆˆ
)(
)(2
1
ˆ
(2.2)
Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể được biểu diễn qua các toán tử
sinh và hủy
aa
ˆ
,
ˆ
:
kkk
p
m
i
ukm
k
a
ˆˆ
)(
)(2
1
ˆ
kk
ukm
k
aa
ˆ
)(2
)(2
1
ˆˆ
kk
p
m
i
k
aa
ˆ
2
)(2
1
ˆˆ
=>
)
ˆˆ
(
2
)(
ˆ
)
ˆˆ
(
2
)(
)(
1
ˆ
kk
kk
aa
k
mip
aa
k
km
u
(2.3)
Đưa vào toán tử số dao động
N
ˆ
thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
17
0
ˆˆ
,0
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆ
,,
ˆˆ
,
''
',''
',',
kkkk
kk
N
kkkk
kkkkkkkkkk
aaaa
qaaqaa
aaNaaN
k
(2.4)
Nếu thay
H
ˆ
cho bởi (3.11) chúng ta xem xét Hamiltonian
H
ˆ
của dao
động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi nguyên tử cùng loại cho bởi:
kkkk
k
uukmpp
m
H
ˆˆ
)(
2
1
ˆˆ
2
1
ˆ
2)1(
(2.5)
Sử dụng (2.15) và (2.13), ta được:
*
)
ˆˆ
)(
ˆˆ
(
2
)(
ˆˆ
kkkkkk
aaaa
km
pp
)
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
(
2
)(
kkkkkkkk
aaaaaaaa
km
*
)
ˆˆ
)(
ˆˆ
(
)(2
ˆˆ
kkkkkk
aaaa
km
uu
)
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
(
)(2
kkkkkkkk
aaaaaaaa
km
(2.15) được viết thành:
)
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
(
4
)(
ˆˆ
)(
2
1
)
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
(
4
)(
ˆ
2)1(
kkkkkkkkkkkkkkkkkk
k
aaaaaaaa
k
uukmaaaaaaaa
k
H
)
ˆˆˆˆ
(
2
)(
ˆ
)1(
kkkk
k
aaaa
k
H
(2.6)
Hệ thức bất định giữa toán tử tọa độ và toán tử xung lượng có dạng:
kkkkkk
puupup
ˆˆˆˆˆ
,
ˆ
kk
kkkk
kkkkkkkkkkkk
kkkkkkkk
aai
aaaai
aaaaaaaaaaaa
i
aaaaaaaa
i
ˆ
,
ˆ
)
ˆˆˆˆ
(
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
(
2
)
ˆˆ
)(
ˆˆ
()
ˆˆ
)(
ˆˆ
(
2
2222
18
Vậy
kkkk
aaiup
ˆ
,
ˆˆ
,
ˆ
(2.7)
Theo vecto trạng thái biến q trong không gian Fock :
0|
!!
ˆˆ
|
q
k
q
k
n
k
n
k
nn
aa
n
kk
(2.8)
Ở đây
0|
là trạng thái nền và dùng ký hiệu:
q
q
k
q
k
q
k
q
k
n
nn
q
k
nnnn
n
kk
1 2.1.!
1
(2.9)
n|
là những trạng thái riêng của toán tử số dao động:
nnnN
kk
||
ˆ
(2.10)
Tác dụng các toán tử
aa
ˆ
,
ˆ
lên các trạng thái
n|
có thể nhận được:
1||
ˆ
1|1|
ˆ
nnna
nnna
q
kk
q
kk
(2.11)
Thật vậy:
1||
ˆ
1||
ˆ
nna
nna
nk
nk
Ta có:
nqaaqnnaann
nnnaann
k
N
kkkk
q
k
kk
q
k
|
ˆˆ
||
ˆˆ
|
||1||1|||
ˆˆ
|
1
1
22
1
21
1
21
1
1
||
|1||1||
|||
ˆˆ
|
k
k
k
n
n
n
n
N
kk
nnqnnq
nqnnaaqn
nn
,
được coi là các số thực, ta rút ra:
1
21
1
21
||
||
k
k
n
q
kn
n
n
q
k
q
kn
qnq
qqn
n
19
q
kn
q
k
nn
n
nnnn
n
n
n
nn
n
n
n
qqqq
q
q
kk
kkkk
k
kk
1
1||
||
||
1
11
2
1
1111
2
1
1
21
Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi
nguyên tử cùng loại cho bởi:
nEnH
n
||
ˆ
nEaaaa
k
nkkkk
k
|)
ˆˆˆˆ
(
2
)(
)1(
nEnaanaa
k
nkkkk
k
|)|
ˆˆ
|
ˆˆ
(
2
)(
)1(
0|| n
nE
nn
aaaa
nn
aaaak
n
q
k
q
k
n
k
n
kkk
q
k
q
k
n
k
n
kkk
k
kkkk
|0|
!!
ˆˆˆˆ
0|
!!
ˆˆˆˆ
2
)(
)1(
nEaaa
nn
a
aa
nn
ak
n
n
kkk
q
k
q
k
n
k
n
kk
q
k
q
k
n
k
k
k
k
k
k
|0|
ˆˆˆ
!!
ˆ
0|
ˆˆ
!!
ˆ
2
)(
1
)1(
*
0|
ˆˆˆ
!!
ˆ
|
ˆˆ
k
k
n
kkk
q
k
q
k
n
k
kk
aaa
nn
a
naa
0|
ˆ
)
ˆˆ
(0|
ˆˆ
1
k
k
k
n
k
N
kk
n
kk
aqaaqaa
0|
ˆˆˆ
) (
0|
ˆˆˆˆ
)(
0|
ˆ
)
ˆˆ
(
ˆˆˆ
0|
ˆ
)
ˆˆ
(
ˆˆ
2242
33
3
1
42
32
2
1
2
1
21
k
n
k
n
n
k
nNNNN
n
kkk
n
k
NNN
n
k
N
kkk
n
k
N
n
k
N
n
k
N
kkk
n
k
N
aaqaqqqq
aaaqaqqq
aqaaqaqaqaq
aqaaqaqaq
k
k
k
kkkkk
kk
kkk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
20
0|
ˆˆˆ
) (0|
ˆˆˆ
1
12531
k
n
k
n
n
k
nNNNN
n
kkk
aaqaqqqqaaa
k
k
k
kkkkk
k
nqqqqnaa
kkkk
nnnn
kk
|) (|
ˆˆ
1531
n
kk
nn
|
1
naa
kk
|
ˆˆ
nn
q
k
|
(2.12)
*
naa
kk
|
ˆˆ
0|
ˆˆ
!!
ˆ
1
k
k
n
kk
q
k
q
k
n
k
aa
nn
a
0|
ˆˆˆ
0|
ˆˆ
1
kk
n
kkk
n
kk
aaaaa
0|
ˆ
0|
ˆˆˆ
0|
ˆ
)
ˆˆ
(
k
k
k
k
k
n
k
N
n
kkk
n
k
N
kk
aqaaaq
aqaaq
0|
ˆˆ
!!
ˆ
|
ˆˆ
0|
ˆˆˆ
) (0|
ˆˆˆ
1
1
12531
k
k
k
k
k
kkkkk
k
n
kk
q
k
q
k
n
k
kk
k
n
k
n
n
k
nNNNN
n
kkk
aa
nn
a
naa
aaqaqqqqaaa
n
n
qqqq
nq
q
kk
kkkk
k
kk
nn
nnnn
n
nn
|
|
|
1
11
1
1111
1
nnnaa
q
kkk
|1|
ˆˆ
(2.13)
Vậy
q
k
q
k
k
n
nnnE
1
2
|
)1(
(2.14)
Mạng tinh thể đơn giản trong lý thuyết lượng tử biến dạng q có thể
được biểu diễn bằng Hamiltonian (2.6) với các toán tử sinh dao động và toán
tử hủy dao động
aa
ˆ
,
ˆ
thỏa mãn các thệ thức giao hoán (2.4) thì có thể coi
mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt có phổ năng lượng E
n
phụ thuộc
vào thông số biến dạng q ở công thức (2.14).
21
2.1.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi hai nguyên tử khác
loại
2.1.2.1. Dao động biến dạng q cho hệ nhiều thành phần
Hamiltonian của hệ dao động biến dạng q được cho bởi:
n
j
jjj
j
j
xm
m
p
H
1
2
ˆ
2
2
2
1
2
ˆ
ˆ
(2.15)
Ở đây n là số dao động.
Ta định nghĩa toán tử sinh (hủy)
)
ˆ
(
ˆ
jj
aa
của dao động biến dạng q:
j
jj
j
jj
j
j
jj
j
jj
j
p
m
i
x
m
a
p
m
i
x
m
a
ˆˆ
2
ˆ
ˆˆ
2
ˆ
(2.16)
Từ đó, toán tử tọa độ và toán tử xung lượng tương ứng có thể được biểu
diễn qua toán tử sinh (hủy)
)
ˆ
(
ˆ
jj
aa
:
)
ˆˆ
(
2
ˆ
)
ˆˆ
(
2
ˆ
jj
jj
j
jj
jj
j
aa
m
p
aa
m
x
(2.17)
Sử dụng (2.14) và (2.15), ta được:
)
ˆˆ
)(
ˆˆ
(
2
ˆ
2
jjjj
jj
j
aaaa
m
p
22
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
2
jjjjjj
jj
aaaaaa
m
)
ˆˆ
)(
ˆˆ
(
2
ˆ
2
jjjj
jj
j
aaaa
m
x
22
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
2
jjjjjj
jj
aaaaaa
m
(2.15) được viết thành:
22
22
1
22
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
4
)
ˆ
(
ˆˆˆˆˆ
4
ˆ
jjjjjj
j
n
j
jjjjjj
j
aaaaaaaaaaaaH
n
j
jjjj
j
aaaaH
1
)
ˆˆˆˆ
(
2
ˆ
(2.18)
Toán tử sinh (hủy)
)
ˆ
(
ˆ
jj
aa
và toán tử số
N
ˆ
thỏa mãn các hệ thức giao
hoán sau:
ijjji
ijjji
ij
N
ijji
aaN
aaN
qaaqaa
j
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆ
,
ˆ
ˆˆˆˆ
(2.19)
Chúng ta đưa vào không gian cơ bản Fock:
0|
!!
ˆˆ
|
q
j
q
i
n
j
n
i
nn
aa
n
jk
(2.20)
Ở đây
0|
là trạng thái nền, là trạng thái chân không thỏa mãn các hệ
thức:
1||
ˆ
1|1|
ˆ
|
ˆ
|
ˆ
00|
ˆ
nnna
nnna
nnnN
a
q
ii
q
ii
ii
(2.21)
Và sử dụng ký hiệu:
1
n
jj
nn
q
j
(2.22)
Vì
1||
ˆ
1||
ˆ
nna
nna
nk
nj
Ta có:
nqaaqnnaann
nnnaann
N
jkkj
q
i
nnkj
q
i
|
ˆˆ
||
ˆˆ
|
||1||1|||
ˆˆ
|
11
22
23
1
21
1
21
11
||
||1||1||
|||
ˆˆ
|
i
i
n
n
n
n
N
jk
nnqnnq
nqnnaaqn
nn
,
được coi là các số thực
Nên
q
in
n
q
in
q
i
nn
n
nnnn
n
n
nn
n
n
q
in
n
n
q
i
n
n
qqqq
q
q
qnq
qqn
ii
iiii
i
ii
i
i
1
1||
||
||
||
||
1
11
2
1
1111
2
1
1
21
1
21
1
21
Phổ năng lượng của dao động biến dạng q được cho bởi:
nEnH
n
||
ˆ
nEnaaqaaq
nEnaaaa
n
n
j
jj
N
jj
j
n
n
j
jjjj
j
j
||)
ˆˆˆˆ
(
2
||)
ˆˆˆˆ
(
2
1
1
nEnqnaaq
n
n
j
N
jj
j
j
|||
ˆˆ
)1(
2
1
(2.23)
nqnq
jj
nN
||
0|
!!
ˆˆˆˆ
|
ˆˆ
q
j
q
i
n
j
n
ijj
jj
nn
aaaa
naa
ji
0|
ˆˆˆ
!!
ˆ
j
i
n
jjj
q
j
q
i
n
i
aaa
nn
a
24
0|
ˆˆˆ
0|
ˆˆˆ
1
jj
n
jjj
n
jjj
aaaaaa
0|
ˆˆˆ
) (
0|
ˆˆ
)
ˆ
(
ˆ
)(
0|
ˆ
)
ˆˆ
()
ˆ
(
ˆˆ
0|
ˆ
)
ˆˆ
(
ˆˆ
0|
ˆ
)
ˆˆ
(
1
2242
3
33
1
42
3
22
1
2
1
21
1
j
n
j
n
n
j
nNNNN
n
jjj
n
j
NNN
n
j
N
jjj
n
j
N
n
j
N
n
j
N
jjj
n
j
N
n
j
N
jj
aaqaqqqq
aaaqaqqq
aqaaqaqaqaq
aqaaqaqaq
aqaaq
j
j
j
jjjjj
jj
jjj
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
nqqqqnaa
aaqaqqqqaaa
jjjj
j
j
j
jjjjj
j
nnnn
jj
j
n
j
n
n
j
nNNNN
n
jjj
|) (|
ˆˆ
0|
ˆˆˆ
) (0|
ˆˆˆ
1531
1
12531
n
ii
nn
|
1
nnnaa
q
jjj
||
ˆˆ
(2.24)
(2.23) được viết lại thành:
nEnq
q
n
n
j
n
nn
j
j
ii
||)1(
2
1
1
Do đó:
n
j
nnnn
j
n
n
j
nnnnnn
j
n
E
qqqqqq
E
jjjj
jjjjjj
1
1
11
1
1
1
1111
2
2
n
j
q
j
q
j
j
n
nnE
1
1
2
(2.25)
2.1.2.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q của chuỗi 2 nguyên tử khác
loại:
Chúng ta xem xét một chuỗi nguyên tử có hai loại khác nhau. Khối
lượng của loại thứ nhất M
1
và khối lượng của loại thứ hai là M
2
, được xếp liền
kề nhau và cách nhau một khoảng là a. Hằng số mạng tinh thể 2a.
25
Hamiltonian của chuỗi nguyên tử đó có thể được biểu diễn dưới dạng:
2
2
2
22
2
1
2
11
2
2
1
2
ˆ
2
1
ˆ
2
1
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
xMxM
M
q
M
p
H
kk
(2.26)
Ở đây
kk
vxux
ˆˆ
,
ˆˆ
21
là tọa độ suy rộng của nguyên tử ở vị trí thứ k và
kk
qp
ˆ
,
ˆ
là xung lượng suy rộng tương ứng của chuỗi hai nguyên tử khác loại.
Các toán tử sinh và hủy tương ứng với vecto sóng
k
, có dạng:
kkk
kkk
kkk
kkk
q
M
i
vMa
q
M
i
vMa
p
M
i
uMa
p
M
i
uMa
ˆˆ
2
1
ˆ
ˆˆ
2
1
ˆ
ˆˆ
2
1
ˆ
ˆˆ
2
1
ˆ
2
22
2
)2(
2
22
2
)2(
1
11
1
)1(
1
11
1
)1(
(2.27)
Toán tử tọa độ và toán tử xung lượng có thể được biểu diễn qua toán tử
sinh và hủy
)2()2()1()1(
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
kkkk
aaaa
:
kkk
kkk
q
M
i
vMa
p
M
i
uMa
ˆˆ
2
1
ˆ
ˆˆ
2
1
ˆ
2
22
2
)2(
1
11
1
)1(
kkk
u
M
aa
ˆ
2
ˆˆ
11
)1()1(
,
kkk
p
M
iaa
ˆ
2
ˆˆ
11
)1()1(
kkk
v
M
aa
ˆ
2
ˆˆ
22
)2()2(
,
kkk
q
M
iaa
ˆ
2
ˆˆ
22
)2()2(
)1()1(
11
ˆˆ
2
ˆ
kkk
aa
M
u
)1()1(
11
ˆˆ
2
ˆ
kkk
aa
M
ip
(2.28)
