Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ Boson biến dạng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (667.6 KB, 75 trang )
LỜI CẢM ƠN
TôixinchânthànhcảmơnBangiámhiệu,Phòngsauđạihọc,Banchủ
nhiệmvàthầycôgiáokhoaVậtlýtrườngĐạihọcSưphạmHàNội2đãtạo
điềukiệnvàgiúpđỡtôitrongsuốtthờigianhọctậpvàlàmluậnvăn.Đặcbiệt
tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
PGS.TS.LưuThị KimThanh đã tậntìnhhướngdẫn,động viên, giúp đỡ tôi
trongquátrìnhnghiêncứuvàhoànthiệnluậnvăn.
Cuốicùngtôixintỏlongbiếtơntớigiađình,bạnbè,nhữngngườiđã
độngviên,giúpđỡtôitrongsuốtthờigianhọctậpvàlàmluậnvăn.Mặcdùđã
rấtcốgắngsongbảnluậnvănnàykhôngtránhkhỏinhữnghạnchếvàthiếu
sót.Rấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủaquýthầycôvàcácbạn.
Hà nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
Đoàn Thị Thu Hường
LỜI CAM ĐOAN
Tôixincamđoanrằngsốliệuvàkếtquảnghiêncứutrongluậnvănnày
trungthựcvàkhôngtrùnglặpvớicácđềtàikhác.Tôicũngxincamđoanrằng
mọisựgiúpđỡchoviệcthựchiệnluậnvănnàyđãđượccảmơnvàthongtin
tríchdẫntrongluậnvănđãđượcghirõnguồngốc.
Tác giả
Đoàn Thị Thu Hường
1
MỞ ĐẦU
Vậtlýlýthuyếtlàmộtchuyênngànhcủavậtlýhọc,đượcpháttriểnmạnh
mẽcảvềbềrộngvàbềsâu.Vậtlýlýthuyếtcónộidungvậtlývàphươngpháp
toánhọc.Vậtlýlýthuyếtnghiêncứunhữngquyluậttổngquátnhất,phảnánh
đượcbảnchấtvậtlýcủacáchiệntượngtựnhiên[1,2,3,4,5].
Vậtlýlýthuyếtcóhainhiệmvụ:
a)Diễntảcácquyluậtvậtlýdướidạngcáchệthứcđịnhlượngvàthành
lậpmốiliênhệnộitạigiữacácsựkiệnquansátđượctrongthựcnghiệm.Xây
dựngnhữngthuyếtbaogồmvàgiảithíchđượcmộtsốphạmvirộngrãinhiều
hiệntượngvậtlý.
b)Dùngphươngpháptoánhọcđểtìmranhữngquyluậtmớinhữngquy
luậttổngquáthơncácquyluậtđóbiết,đoántrướcđượcnhữngmốiliênhệ
giữacáchiệntượngvậtlýmàthựcnghiệmchưaquansátđược.
Thuyết lượng tử, là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý lý
thuyếthọc,trongđócơhọclượngtửđólàmthayđổicơbảnquanniệmvềthế
giớivimô,làphầnmởrộngvàbổsungcủacơhọcNewton(cũngọilàcơhọc
cổđiển).Nócònlàcơsởcủarấtnhiềucácchuyênngànhkháccủavậtlývà
hoáhọcnhưvậtlýchấtrắn,hóalượngtử,vậtlýhạt Trongcơhọclượngtử,
mỗi đại lượng vật lý đềuđượcđặc trưng bởi mộttoán tử. Ví dụ như: năng
lượng,độnglượng,tọađộ,mômengóc,…đềusẽcómộttoántửtươngứng.
Mặtkhác,cơhọclượngtửđượcxâydựngbằngmộthệcáctiênđề,bằngmột
loạtcáccôngcụtoán,trongsốđótoántửgiữmộtvịtríquantrọng[6,7,8,9].
Việc hiểu rõ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người
nghiêncứuvậtlýhiệnđại.
Ngàynay,líthuyếttrườnglượngtửlàcơsởđểgiảithíchbảnchấtcủa
cáchạtvimôvềcấutrúcvàcáctínhchấtcủanó.Líthuyếttrườnglượngtửđó
mởraconđườngđểnhậnbiếtcácquátrìnhvậtlýxảyratrongthếgiớihạtvi
2
mô,líthuyếttrườnglượngtửđóngvaitròquantrọngtrongnhiềulĩnhvựccủa
vậtlý.Đặcbiệttrongviệcnghiêncứuhệnhiềuhạtvàxâydựngcácđịnhluật
phânbốthốngkêlượngtử.Cácphươngphápnàybổsungchonhauđểlàmrõ
đượcbảnchấtvậtlýcủacácquátrìnhvậtlýtronghệnhiềuhạt.
Cáctínhtoánlíthuyếtđượcxâydựngđốivớimôhìnhlýtưởng,dođó
vẫncónhữngsaikhácgiữakếtquảlíthuyếtvàthựcnghiệmthuđược.Khiđó
ngườitathườngdùngcácphươngphápgầnđúngđểgiảiquyết.Nhómlượngtử
màcấutrúcnólàđạisốbiếndạngphùhợpvớinhiềumôhìnhcủavậtlý,là
mộtphươngphápgầnđúngcủalíthuyếttrườnglượngtử.
Nhómlượngtửvàđạisốbiếndạngđượckhảosátthuậnlợitronghình
thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong những năm gần đây việc
nghiêncứunhómlượngtửvàđạisốbiếndạngđượckíchthíchthêmbởisự
quantâmngàycàngnhiềuđếncáchạttuântheocácthốngkêkhácvớithống
kêBose-EinsteinvàthốngkêFermi-DiracnhưthốngkêparaBose,para-
Fermi,thốngkêvôhạn,cácthốngkêbiếndạng ,vớitưcáchlàcácthốngkê
mởrộng[10,11,12,13,14].Chođếnnaycáchmởrộngđángchúýnhấtlà
trongkhuônkhổcủađạisốbiếndạng.Vớinhữnglýdotrêntôiđãchọnđềtài
“Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy boson biến dạng”.
Mụcđíchcủađềtàilàtìmhiểucáctoántửtrongvậtlý,mộtcôngcụhữu
hiệudựngtrongnghiêncứucáchệhạtvimô.Xâydựngbiểudiễnmatrậncủa
cáctoántửbosonbiếndạngq,thỏamãncáchệthứcgiaohoántươngứngvà
xâydựngcácthốngkêlượngtửbiếndạngbằngphươngpháplíthuyếttrường
lượngtử.
3
NỘI DUNG
Chương 1:
CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TOÁN TỬ
Trongchươngnày,chúngtasẽgiớithiệuvắntắtsựmôtảcáctrạngthái
củacơhọclượngtửbởiDiracvàlíthuyếtbiểudiễn.
Trướchết,trạngtháicủahệlượngtửlàgì?Chúngtathừanhậnrằngnếu
biếttrạngtháicủahệchúngtasẽbiếtcácthôngtinvềhệ.Mộthệlượngtửở
mộttrạngtháixácđịnh nàođókhimọiđiềutamuốnbiếtvềnóđềucó thể
đượcbiết,ngoạitrừsựviphạmcácquiluậtcủacơhọclượngtử.
Cáctrạngtháicủahệlượngtửcóthểmôtảbởicáchàmsóngψ.Sựmô
tảtrạngtháilượngtửkhácnhiềucáctrạngtháitrongcơhọccổđiển.Vídụ,đối
vớicáctrạngtháilượngtửtakhôngthểđồngthờixácđịnhchínhxáccảtọađộ
vàxunglượngcủahệdonguyênlíbấtđịnhHeisenberg.Hơnnữa,tachỉcóthể
tiênđoánxácsuấtcủacácsưkiệntươnglaimàthôi.Sựkhácbiệtthứhaicủa
cáctrạngtháilượngtửlàởchỗcáchàmsóngmôtảchúngtuântheonguyênlí
chồngchấttrạngthái.
Cáctrạngtháilượngtửcóthểmôtảbởicácvectơtrạngthái|ψ>(tương
ứng với hàm sóng
(r,t)
) trong không gian vectơ. Không gian này gọi là
khônggianHilbertvớicácvectơcơsởkíhiệubởi|u
j
>gọilàcáctrạngtháicở
sởhaycácketcơsở{|u
j
>}.
1.1. Không gian vectơ E - không gian vectơ Euclide
1.1.1. Không gian vectơ E
Định nghĩa:KhônggianvectơElàmộttậphợpcácphầntử(x,y,z…)
vớiphépcộnghaiphầntửx,ybấtkìvàphépnhânmộtphầntửxbấtkìvới
mộtsốthựcλthỏamãncáctínhchấtsauđây:
4
Phép cộng:∀x,y∈Eđãđịnhnghĩaz=x+y∈Ethỏamãncácđiềukiện:
1.Giáohoán: x+y=y+x
2.Kếthợp: (x+y)+k=x+(y+k)
3.Tồntạiphầntửkhông(0)saocho:x+0=0+x∀x∈E
4.Vớimỗiphầntửx,tồntạiphầntửđốixứng(-x)saocho
x+(-x)=(-x)+x=0
Phép nhân:∀x∈E,∀λ∈R(R-tậphợpcácsốthực)đãđịnhnghĩaz=
λx∈Ethỏamãncácđiềukiệnsau:
5.Kếthợp:λ
1
(λ
2
x)=λ
1
λ
2
x
6.Phânbốđốivớiphépcộngvecto:λ(x+y)=λx+λy
7.Phânbốđốivớiphépcộngsốλ:(λ
1
+λ
2
)x=λ
1
x+λ
2
x
8.Tồntạiλ=1thỏamãnλx=1.x=x
Mỗiphầntửx,y,z,…củatậphợpEgọilàmộtvectơ.KhônggianE
địnhnghĩavớiλ∈Rgọilàkhônggianthực,vớiλlàsốphức(λ∈C,Clàtập
hợpsốphức)Egọilàkhônggianphức.
Cácvectơx
1
,x
2
,…,x
n
∈Elàphụthuộctuyếntính,tồntạicácsốthực
λ
1
,λ
2,
…,λ
n
khôngbằngkhôngtấtcảsaocho:
λ
1
x
1
+λ
2
x
2
+…+λ
n
x
n
=0
Nếu
1 2 n
0
thìcácvecto
1 2 n
x ,x , ,x
làđộclậptuyếntính.
Sốcựcđạivectơđộclậptuyếntínhcủamộtkhônggiangọilàsốchiều
củakhônggianđó.Trongkhônggiantuyếntínhnchiều,ngườitacóthểchọn
nvectơbấtkìđộclậptuyếntính
1 2 n i
(x ,x , ,x ) (x ,i 1,2, ,n)
làmcơsở.Khi
đómộtvectơbấtkìz∈Ecóthểkhaitriểnduynhấtdướidạngtổhợptuyến
tínhcủacácvectơcơsở:
n
i i
i 1
z a x E
(1.1)
5
hệsốa
i
làthực(nếuElàkhônggianvectơ)hoặcphức(nếuElàkhônggian
phức).
Thôngthườngngườitakíhiệucácvectơcơsởlà{e
i
}
1 1 2 2 n n
(e x ,e x , ,e x )
vàcáctọađộcủavectơzlà
1 2 n
z ,z , ,z
nghĩalàta
có:
n
i i
i 1
z z e
(1.2)
Saukhiđãchọncơsở{e
i
}thìcáctọađộz
i
củamộtvectơznàođó(z∈
E)làxácđịnh.Cóthểbiểudiễnvectơzbằngmộtmatrậncộtcónphầntửlàn
tọađộz
i
:
1
2
n
z
z
z . Z
.
z
(1.3)
Matrậncộtkíhiệulàzphụthuộcvàoviệcchọncơsở.Cùngmộtvectơ
ztronghaicơsởkhácnhausẽcótọađộkhácnhauvàbiểudiễnbởihaimatrận
cộtkhácnhau.
1.1.2. Không gian vectơ Euclide
TrongkhônggianvectơthựcEđãcho,tíchvôhướngcủahaivectơx,y
∈E,kíhiệulà(x,y)làmộtsốthựcsaocho:
1.(x,y)=(y,x) ∀x,y∈E(giaohoán)
2.(x,λy)=λ(x,y) ∀x,y∈E,λ∈R(kếthợp)
3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z) ∀x,y,z∈E(phânphối)
khiđóEgọilàkhônggianvectơvớitíchvôhướng.
Nếuthỏamãnthêmđiềukiệnxácđịnhdương:
4.(x,x)≥0,∀x∈Evà(x,x)=0khivàchỉkhix=0thìEgọilàkhông
gianEuclidethực.
6
TrongkhônggianEuclideđộdài(hay môđun)củavectơxđượcđịnh
nghĩa:
x (x,x)
(1.4)
Gócθgiữahaivectơxvàybấtkìđượcđịnhnghĩanhưsau:
(x, y)
cos
x y
(1.5)
Haivectơtrựcgiaovớinhaunếutíchvôhướngbằngkhông:
(x,y)=0
Từđịnhnghĩacủacơsở{e
i
}suyratrongkhônggianEuclidecácvectơ
cơsởe
1
,e
2
,…,e
n
trựcgiaonhau
(e
i
,e
j
)=0 nếui#j
vàcóđộdàibằngđơnvị(chuẩnhóa):(e
i
,e
j
)=1
Tínhchấttrựcchuẩncủahệcơsởnhưvậycóthểviếtlạinhưsau:
i j ij
(e ,e )
(1.6)
ĐốivớikhônggianphứcZ,tíchvôhướngcủahaivectơbấtkìx,y∈Z
kíhiệulà(x,y)vàthỏamãnnhữngđiềukiệnsau:
1.(x,y)=(y,x) ∀x,y∈Z
2.(x,λy)=λ(x,y) ∀x,y∈Z,λ∈C(tậphợpsốphức)
3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z) ∀x,y,z∈Z
Nếukhônggianphứcvớitíchvôhướngcònthỏamãnthêmđiềukiện:
4.(x,x)≥0 ∀x∈Zvà(x,x)=0khivàchỉkhix=0
thìkhônggianZgọilàkhônggianEuclidephứchaykhônggianUnita.
TrongkhônggianUnitacáctọađộx
i
củavectox;
1 2 n
x (x ,x , ,x )
nói
chunglàcácsốphức.Tíchvôhướngcủahaivectơx,ycódạng:
1 1 2 2 n n
(x, y) x y x y x y
(1.7)
7
Cáckháiniệmđộdàicủamộtvectơ,tínhtrựcgiaocủahaivectơtrong
khônggianUnitavẫngiữnhưtrongkhônggianEuclidethực.
TrongkhônggianphứcnchiềuZ,saukhiđãchọncơsởthìcáctọađộ
củamỗivectơđượcxácđịnh.Biểudiễnmỗivectơbằngmộtmatrậncột
1 1
2 2
n n
x y
x y
x . X y . Y x,y Z
. .
x y
tíchvôhướngcủahaivectơ(1.7)cóthểbiểudiễndướidạngtíchcủamộtma
trậnhàngnhânvớimộtmatrậncột
1
2
* * * *
1 2 n
n
y
y
(x,y) (x x x ) . X Y
.
y
(1.8)
1.2. Không gian Hilbert
1.2.1. Định nghĩa
KhônggianHilbertHlàmộtkhônggianUnitađầyđủ,cónghĩalàmọi
tổhợptuyếntínhcủacácvectotrongkhônggiancũnglàvectơcủakhônggian
đó.Tínhchấtnàysuyratừđịnhnghĩacủakhônggianvectơ.Nếukhônggian
cósốchiềuvôhạnthìtínhchấtđầyđủcónghĩalàmọichuỗicủacácvectơhội
tụvềmộtvectơcủakhônggianđó.
KhônggianHilbertlàtáchđượcnếunóchứamộttậphợptrùmậtđếm
đượccủacácvectơ.Tậphợptrùmậtlàtậphợpmàtrongđómỗivectơcóthể
làgiớihạncủamộtchuỗivectơcủatậphợp(vídụcácsốhữutỷhợpthànhmột
tậphợptrùmậttrongtậphợptrùmậttrongtậphợpcácsốthực).
8
KhônggianHilbertlàtáchđược,nếungườitatìmđượcítnhấtmộtcơ
sởđếmđượccủakhônggianđó.
Thí dụ:Tậphợpcácđơnthức
2 k
1,x,x , ,x ,
(vớiklàsốnguyên)làmột
cơsởđếmđượccủakhônggiancácđathứccóbậcbấtkì.Tậphợpcácsóng
phẳnge
ikx
(vớiklàsốsóng,cóthểcócácgiátrịliêntục)khôngphảilàmộtcơ
sởđếmđược.
Đối với cơ sở đếm được
i 1 2 n
e ,i 1,2, ,n :e ,e , ,e
thì một vecto z
đượckhaitriểnnhưsau:
k k
k 1
z z e
(1.9)
klàchỉsốnguyên.
Đốivớicơsởkhôngđếmđượcthì:
z z e d
(1.10)
làthôngsốbiếnđổiliêntục.
1.2.2. Một số tính chất của không gian Hilbert vô hạn chiều
Không gian Hilbert vô hạn chiều có một số tính chất khác lạ so với
khônggianhữuhạnchiều.
a.KhônggianHilberttáchđượccóítnhấtmộtcơsởđếmđược,ngoàira
cóthểcócơsởkhôngđếmđược.Nhưvậy,mộtvectocủakhônggianvừacó
thểkhaitriểntrongmộtcơsởkhôngđếmđược.
b.MộtvectơcủakhônggianHilbertcóthểkhaitriểntrongmộtcơsở
gồmcácvectơnằmngoàikhônggianđó.
c.Thànhphầnthứi(φ
i
)củavectơφtrongkhônggiancóN(hữuhạn)
chiềubằnghìnhchiếucủavectơφlênvectơcơsởthứi(e
i
).
i i
(e , )
MuốnxácđịnhđượcvectơφtacầnbiếttấtNhìnhchiếucủanólêncác
vectơcơsở.
9
1.3. Vecto ket, bra
Mọivectotọađộ
A
đềuđượckhaitriểntheocácvectơcơsở
i
e
i i
i
A A e
(1.11)
với
i j ij
e .e
vàA
i
làhìnhchiếucủa
A
theophương
i
e
vàbằng:
i i
A (e ,A)
(1.12)
Khaitriểnhàmsóng
(x)
theocáchàmriêngtrựcchuẩn
i
u (x)
củamột
tốntửecmite
A
:
i i
i
(x) c x (x)
(1.13)
vàsosánhvớiphươngtrình(1.11),tarútrasựtươngtựsau:
i i
i i
e
A
e ,A)
Các hàm riêng u các vectơ cơ sở
Hàm sóng các vectơ
Hệ số khai triển c tích vô hướng (
GiữakhơnggianvectơvàkhơnggiantrạngtháiHilbertcósựtươngtự
sâusắc,dođótacóthểdựđốncáctốntửtrongkhơngHilberttừcáctốntử
tương ứng tác dụng trong khơnggian vectơ tuyếntính. Tổng của hai vectơ
trạngtháilạilàmộtvectơtrạngtháivàvectơtrạngtháimớinàylàtíchcủamột
vectơtrạngtháivớimộtsốphứcbấtkì.
Tươngtự(1.12),tíchvơhướngcủahaihàmsóngu
i
vàψchophéptaxác
địnhhệsốkhaitriểnc
i
trongcơngthức(1.13)
i i
c dxu
*
Kíhiệutíchvơhướngtrongkhơnggianvectơbởi<u
i
|ψ>
i i i
c u dxu x x
*
| ( ) ( )
(1.14)
10
Kíhiệu
i
u
|
gọilàbracket,<u
i
|gọilàmộtbracòn|ψ>-ket.
Vớikíhiệumớinày,phươngtrình(1.13)đượcviếtnhưsau:
i i
i
u u
| | |
(1.15)
Hay:
i i i i
i i
u u u u
| | |
(1.16)
Nóicáchkhác,khaitriển(1.16)đòihỏicácvectơcơsởkétphảithỏa
mãn:
i i
i
u u 1
(1.17)
Hệthứcnàygọilàhệthứckhépkín.Hệthứckhépkíndiễntảtínhchất
đầyđủcủahệcácvectocơsở
1 2 n
u u u
, , ,
.
Tươngtự,từđiềukiệntrựcchuẩncủacáchàmriêngu
i
(x)
i j
dxu x u x
*
ij
( ) ( )
(1.18)
Vàđịnhnghĩabracket(1.14),tarútra:
i j
u u
ij
|
(1.19)
Dotínhchấtcủatíchvôhướngcủahaihàmsóng,tacócáctínhchấtsau
đốivớicácbracket:
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
0 0 0
*
* *
| |
| | |
| | |
| ; | |
(1.20)
Trongcơsở
i
u
{ | }
vectơket|ψ>cóthểbiểudiễndướidạngmatrận
cột:
11
1 1
2 2
n n
c u
c u
c u
|
|
| : . .
. .
|
(1.21)
Nhưvậyvectơket|ψ>chínhlàvectơ
Z
.Vectơbra<ψ|khôngphụ
thuộcvàokhônggianZ,tậphợpcácvectơbrahợpthànhmộtkhônggianZ
*
gọilàkhônggianđốingẫucủaZ.Dướidạngmatrận,vectơbra<ψ|làmộtma
trậnhàng:
1 2 n 1 n
c c c u u
* * * * *
|: ( , , , ) ( | , , | )
(1.22)
Thỏamãnđiềukiện:
1
2
2
n n
1 2 n i i i
i 1 i 1
n
c
c
c c c c c c
c
* * * *
| : ( , , , ) .
.
(1.23)
Nhưvậy,cómộtsựtươngứngmột-một
| |
giữamộtvectơ
bra∈Z
*
vàmộtvectoket∈Z.
Cóthểthửlạirằngsựtươngứngmột-mộtgiữahaikhônggianthỏa
mãncácđiềukiệnsauđây:
*
| | | |
| |
Nếunhưđãchuẩnhóathì
2
i
c
làxácsuấttìmhệởtrạngtháiriêng,và
thỏamãnđiềukiệntổngtấtcảcácxácsuấtphảibằng1.
12
2
i i i i i
i i
c 1 c c u u
* *
| |
(1.24)
Từđiềukiệnchuẩnhóacủaψvà(1.16)tacó:
i i
i
u u
| | |
(1.25)
Sosánh(1.24)và(1.25)dễdàngrútrahệthức:
i i
u u
*
| |
(1.26)
Phươngtrìnhtrịriêngcủatoántửecmite
A
tácdụngtrongkhônggian
hàmsóngcódạng:
j j j
Au x a u x( ) ( )
Phươngtrìnhnàytrởthànhphươngtrìnhvectơ
j j j
A u a u
| |
(1.27)
Với|u
j
>gọilàvectoriêngcủatoántửecmite
A
ứngvớitrịriênga
j
.
Trong không gian Hilbert, các trạng thái có thể dùng các cơ sở khác
nhauđểnghiêncứu.Cơsởlàcáchàmriêng(hayvectơriêng)trựcchuẩncủa
cáctoántửđộnglựcecmite.TậphợpcáchệsốFouriercủahàmsóngsẽxác
địnhhàmsóngđótrongcơsởđó,cũngnhưmatrậncủatoántửkhácnhausẽ
xácđịnhhoàntoàncáctoántửđótrongcơsởđangxét.Tươngứngtanóicó
hàmsóngvàtoántửtrongbiểudiễntọađộhayxunglượngkhicơsởđược
chọnlàcáchàmriêngcủatoántửtọatửtọađộhayxunglượng.Tấtnhiên,tất
cảcácbiểudiễnđềutươngđươngnhau.Việcchọnbiểudiễnnàyhaybiểudiễn
khácchỉdotínhthuậnlợicủanhữngbàitoánvậtlýcụthể.
13
1.4. Toán tử
1.4.1. Ma trận của toán tử liên hợp
Tabiết rằngtácdụngcủatoántử
A
lênvectơtrạngthái
dẫn đến
trạngtháimớimôtảbởivectơtrạngthái
.Địnhnghĩanàyđượcviếtdưới
dạngphươngtrình:
A
(1.28)
Bây giờ ta khai triển
và
theo cơsở
n
u ;
(
n
u
là các vectơ
riêngcủatoántử
A
:
n n n
A u a u )
n n
n
c u
;
n n
c u
n n
n
b u ;
n n
b u
Nhânhaivếcủaphươngtrình(1.38)vớibravectơ
tathuđược:
n n m m
m,n
*
n n n
n
A u u A u u
b a c
(129)
Ởđâytađãsửdụng
*
n n
u u
và
n m m n m
u A u a u u
m mn n
a a
Tươngtự,tacó:
*
*
* * *
n n n n n n
n n
A c a b c a b
(1.30)
Xétcácvectơbra
(tươngứngvớiket
)và
(tươngứngvới
ket
)trongkhônggianđốingẫu
*
Z
A A
(1.31)
14
A
làtoántửtácdụngtrongkhônggianđốingẫu
*
Z
,chuyểnbra
thành
bra
.Toántử
A
gọilàtoántửliênhợpvới
A
.
Dựa vào biểu thức của tích vô hướng:
*
, ,
tức là
*
đồngthờithay
và
bằngbiểuthứccủanótrong(1.31)
tathuđược:
*
A A
(1.32)
Dựavàođịnhnghĩa(1.32),dễdàngsuyracáctínhchấtcảuviệclấyliên
hợptoántửnhưsau:
*
1. A A
2. A A
3. A B A B
4. AB B A
(1.33)
Toán tử
A
tác dụng trong không gian
Z
có cơ sở trực chuẩn
n
e
đượcbiểudiễnbởimộtmatrậnAcócácphầntửlà:
ij i j
A e A e
(1.34)
Matrậnbiểudiễntoántử
A
liênhợpvới
A
sẽđượcbiểudiễnbởima
trậncócácphầntửlà:
*
*
ji
i j j i
ij
A e A e e A e A
Cuối cùng ta có
*
* T
ji
ij ij
A A A
.Nhưvậy matrận
A
biểu diễn
toántử
A
biểudiễntoántử
A
thìbằngmatrậnA(biểudiễntoántử
A
)
chuyểnvịvàlấyliênhợpphức.
15
1.4.2. Toán tử ecmite
Địnhnghĩatoántửecmite:Toántử
A
gọilàecmitenếu
A A
,trong
đó
A
làtoántửliênhợpecmitevới
A
vàđượcxácđịnhbởihệthức
tươngtự(1.42)
*
A A
(1.35)
Nhưvậynếu
A
làtoántửecmitethìtacó:
*
A A
(1.36)
Sửdụng(1.29),(1.30)và(1.36)thuđược:
*
n n
a a
,nghĩalàtrịriêng
n
a
củatoántửecmite
A
làsốthực.
Từđịnhnghĩa
A A
vàcôngthức(1.34)tacóthểsuyramatrậnA
biểudiễnmộttoántửecmitecótínhchấtsau:
A A
(1.37)
haymatrậnAgọilàmatrậnecmitevớicácphầntửAcótínhchấtsau:
*
ij ji
A A
(1.38)
1.5. Vectơ riêng và trị riêng của toán tử
1.5.1. Định nghĩa
Chomộttoántửtuyếntính
A
,ket
x 0
gọilàvectơriêngcủa
A
nếu:
A x x
(1.39)
hệsốtỉlệ
gọilàtrịriêngcủa
A
ứngvớivectơriêng
x
.
Nếu
x
làmộtvectơriêngcủa
A
thìmọivectơ
a x
cũngnghiệmđúng
Aa x a x
16
nghĩalà
a x
đềulàvectơriêngcủa
A
ứngvớicùnggiátrịriêng
.Nếuứng
vớimộttrịriêng
cómộtvectơriêng
x
(xácđịnhsaikémmộthằngsốnhân
a)thìtrịriêng
gọilàkhôngsuybiến.
Nếuứngvớimộttrịriêng
cógvectơriêngđộclậptuyếntính,thỏa
mãncácphươngtrìnhtrịriêng
1 1 2 2 g g
A x x ; A x x ; ; A x x
thìtrịriêngnàyđượcgọilàsuybiếnbậcg.
Dễ thấy rằng tổ hợp tuyến tính bất kì của các vectơ riêng
1
x
,
2
x
,…,
g
x
1 1 2 2 g g
x a x a x a x
(1.40)
Cũnglàmộtvectơriêngcủa
A
ứngvớicùngtrịriêng
.
1 1 2 2 g g
1 1 2 2 g g
A x a A x a A x a A x
a x a x a x
x
(1.41)
Tậphợpcácvectơ
x
hợpthànhmột khônggiancongchiều,gọilà
khônggianconriêngtươngứngvớitrịriêngsuybiến
.
Xéttrịriêngcủahàmtoántử
f A
.Nếu
x
làvectơriêngcủa
A
ứng
vớitrịriêngcủa
thìtacó:
2
2
A x A.A x A x A x x
Tươngtựtacóthểchứngminhrằng
n
làtrịriêngcủatoántử
n
A
ứng
vớicùngvectơriêng
x
n
n
A x x
17
Đốivớihàmtoántử
f A
khaitriểnthànhchuỗiTaylor,tacóthểáp
dụngcáchtínhtrênđểxácđịnhtrịriêngcủa
f A
.Thídụ,nếutađịnhnghĩa
hàmtoántử
k
A
k 0
1
f A e A
k!
(vớiquyước0!=1và
0
A 1
)thìtacó:
A
e x e x
Tổngquát,nếu
x
làvectơriêngcủa
A
ứngvớitrịriêng
thìnócũng
làvectơriêngcủahàmtoántử
f A
ứngvớitrịriêng
f
:
f A x f x
(1.42)
1.5.2. Tính chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử ecmite
1.Các trị riêng của một toán tử ecmite là thực
Thựcvậy,lấyliênhợphaivếphươngtrìnhtrịriêngcủa
A
A x x
(1.43)
tađược
*
x A x
(1.44)
Nhântráihaivếcủa(1.43)với
x
x A x x x
vànhânphảihaivếcủa(1.44)với
x
*
x A x x x
lưuýrằng
A
làecmitenên
A A
,dođóhaivếsaucủahaiphươngtrìnhtrên
bằngnhau:
*
x x x x
18
Theođịnhnghĩavectơriêng
x 0
nên
x x 0
,suyra
làmộtsố
thực
*
(1.45)
2.Vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của một toán tử Ecmite thì trực
giao với nhau
Cho
1
x
và
2
x
làhaivectơriêngứngvớihaitrịriêngkhácnhau
1
,
2
củatoántửecmite
A
1 1 1
A x x
(1.46)
2 2 2
A x x
(1.47)
Nhântrái(1.46)vớibra
2
x
2 1 1 2 1
x A x x x
Lấyliênhợpphươngtrình(1.47):
2 2 2
x A x
vànhânkếtquảthuđượcvới
1
x
vềbênphải
2 1 2 2 1
x A x x x
vì
A A
nênsuyra
1 2 1 2 2 1
x x x x
Theogiảthiết
1 2
,taphảicóhaivectơriêng
2
x
và
1
x
trựcgiao
nhau
2 1
x x 0
(1.48)
1.5.3. Phương trình đặc trưng của toán tử
Trongcơsởtrựcchuẩn
n
u
,vectơ
x
cóthểkhaitriểnmộtcáchduy
nhất:
19
1 1 2 2 n n
x a u a u a u
(1.49)
Vớicáchệsố
1 2 n
a , a , , a
làcáctọađộcủavectơ
x
trongcơsởđang
xét.Vectơ
x
cóthểbiểudiễndướidạngmộtmatrậncột
1
2
n
a
a
x : . X 1.50
.
a
Trongcơsở
n
u
,toántử
A
đượcbiểudiễnbởimatrận Acó các
phầntửlà:
nm n m
A u A u .
Bâygiờphươngtrìnhtrịriêngcủa
A
(1.39)cóthểbiểudiễndướidạng
matrận
AX X
Phươngtrình ma trận (1.50) có thể viết thànhhệ n phương trình bậc
nhấtvớinẩnsố
1 2 n
a , a , , a
nhưsau:
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
1n 1 n2 2 nn n
A a A a A a 0
A a A a A a 0
.
.
A a A a A a 0
(1.51)
Đểchohệphươngtrìnhnàycónghiệmkháckhôngthìđịnhthứccủahệ
phảibằngkhông
20
11 12 1n
21 11 2n
n1 n2 nn
A A A
A A A
. 0
.
A A A
(1.52)
Giảiphươngtrìnhbậcnđốivới
,tatìmđượcnnghiệm,đólàcáctrị
riêngcủatoántử
A
1 1 n
, , ,
(1.52)làphươngtrìnhđặctrưngcủatoántử
A
.Phươngtrìnhnàycóthểviết
lạidướidạng:
A I 0
(1.53)
Chúýrằngnếuchuyểnsangcơsởkhácthì
A I
vẫnkhôngthayđổi,
tứclàcáctrịriêngcủa
A
khôngthayđổi.
1.6. Phép biến đổi cơ sở Unita và các bất biến
1.6.1. Phép biến đổi Unita
Khithayđổicơsởlà cácvectơkettrongkhônggianHilbert,tabiết
rằngphépbiếnđổicơsởtrựcchuẩnđóđượcthựchiệnbởicáctoántửUnitavà
cácvectơtrạngtháicủahệlượngtửđangxétcũngnhưcáctoántửbiểudiễn
cácđạilượngvậtlíđođượccũngsẽthayđổidạng.Tuynhiênkhithaycơsở,
cónhữngtínhchấtcủahệphảnánhbảnchấtnộitạinàođócủahệkhôngthay
đổi.Cáclượngkhôngbiếnđổikhithayđổicơsởgọilàcácbấtbiến.Tasẽlần
lượtxétcácvấnđềtrên.
Trướchết,phépbiếnđổicơsởtrựcchuẩnđượcthựchiệnbởicáctoán
tửUnita.Thậtvậy,chomộtcơsởtrựcchuẩntrongkhônggianHilbert
m
e
m n mn
e e
(1.54)
21
vàmộtcơsởtrựcchuẩnkhác
m
e'
m n mn
e' e'
(1.55)
Gọi
S
làtoántửbiếnđổicơsở,tửcơsở
m m
e e'
saocho:
m m
e' S e
(1.56)
Thay(1.55)vào(1.56),tađược:
m n mn
Se Se
hay:
m n mn
e S Se
Nhưvậy,
S
phảilàtoántửUnita,nghĩalà:
S S I
Tasẽtìmmốiliênhệtrựctiếpgiữacácvectơketmôtảcùngmộttrạng
tháicủahệlượngtửtrongcácbiểudiễnkhácnhau.Gỉasửtrạngtháicủahệmô
tảbởivectơtrạngthái
trongcơsở
m
e
códạng:
n n
n
c e
n n
c e
(1.57)
Cáchệsố
n
c
làhàmsóngmôtảtrạngtháicủahệtrongcơsở
n
e
.
Trongcơsở
n
e'
,vectơtrạngthái
đượcviếtlà:
n n
n
c' e'
(1.58)
Sửdụng(1.56)tađượckếtquả:
n n k k k k
n n k
c e c' e' c' S e
k n n k k nk k
k.n k.n
c' e e S e c' S e
trongđó
nk n k
S e S e
làyếutốmatrậncủatoántửbiếnđổicơsở.
22
Sosánhhaivếcủabiểuthứctatìmđượcmốiliênhệgiữacáchàmsóng
môtảcùngmộttrạngtháitrongcácbiểudiễnkhácnhau:
k kn n
n
c S c'
(1.59)
haydướidạngmatrận:
C SC'
(1.60)
Nhânhaivếcủa(1.60)với
S
,tađược:
C' S C
(1.61)
Xétyếutốmatrậncủamộttoántử
A
trongcơsở
n
e
củakhông
gianHilbert:
mn n m n m n m
A e A e e S SA e S e SA e
=
n m n m n m
e' SA e e' SAS S e e' SAS e'
Dotoántử
S
làUnita,
1
S S
nênkếtquảnàychứngtỏmatrậncủa
toántử
S
trongcơsở
n
e'
códạng:
1
A' SAS
(1.62)
1.6.2. Các bất biến
Khi biếnđổi cơ sở,các trị riêng và vết của cáctoántửlà bất biến.
Thựcvậy,theođịnhnghĩavếtmộttoántửcủamộtmatrậnAlàlượng:
n n
n
TrA e A e
(1.63)
TứclàtổngcácphầntửtrênđườngchéochínhcủamatrậnA.
Xétsựbiếnđổicơsở,từcơsở
n
e
sangcơsở
n
e'
.Khiđóvết
TrAbiếnđổithành:
n n n m m n
n n m
n m m n m n n m
n,m n,m
e A e e e' e' A e
e e' e' A e e' A e e e'
23
Do
n n
n
e e 1,
nênvếtcủatoántử
A
trongcơsở
n
e'
khôngthay
đổisovớiTrAtrongcơsở
n
e
n n m m
n m
e A e e' A e'
(1.64)
Tươngtự,tacóthểdễdàngkiểmtrađượccáchệthứcsau:
TrAB TrBA
TrABC TrBCA TrCAB
(1.65)
Vídụ,tacó:
n n n m m n
n n,m
m n n m m m
n,m m
TrAB e AB e e A e' e' B e
e' B e e A e' e' BA e' TrBA
Xétphươngtrìnhtrịriêngcủatoántử
A
:
n n
A u a u
Haydướidạngmatrận:
n
A aI u 0
(1.66)
VớiIlàmatrậnđơnvị,avà
n
u
làtrịriêngvàvectơriêngcủatoántử
A
Trịriêngcủatoántử
A
,kíhiệulàa’sẽlànghiệmcủaphươngtrìnhsau
gọilàphươngtrìnhthếkỉ:
det A' a'I 0
(1.67)
Sửdụng(1.67)đượcviếtnhưsau:
1 1
1
det A' a'I det S A a 'I S detSdet A a'I detS
det SS det A a'I det A a 'I
Kếtquảnàychứngtỏcáctrịriêngcủatoántử
A
làkhôngđổi:a=a’
