Bài toán cân bằng tổng quát loại I và loại II

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRƯƠNG THỊ HƯỜNG
BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
LOẠI I VÀ LOẠI II
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2012

2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRƯƠNG THỊ HƯỜNG
BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
LOẠI I VÀ LOẠI II
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
Hà Nội, 2012
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại
học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
luận văn này.

Hà Nội, tháng 09 năm 2012
Trương Thị Hường
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán cân bằng tổng
quát loại I và loại II” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản
thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 09 năm 2012
Trương Thị Hường
Mục lục
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Mở đầu 5
Chương 1. Các kiến thức cơ bản 8
1.1 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I 26
2.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán
liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chương 3. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II 41
3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
BẢNG KÍ HIỆU
F : X → Y ánh xạ đa trị từ Xvào Y
dom F miền định nghĩa của ánh xạ F
epi F trên đồ thị của F
Gr F đồ thị của F
R tập các số thực
R
n
không gian Euclid n - chiều
X
∗
không gian đối ngẫu của X
A ⊂ B A là tập con của B
A  B A không là tập con của B
A ∩ B A giao B
A ∪ B A hợp B
A\B hiệu của hai tập hợp A và B
A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B
clA bao đóng tôpô củaA
intA phần trong tôpô của A
(GQEP)
I
bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I
(GQEP)
II
bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng
kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ 19 và
đầu thế kỷ 20. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các nghành khoa học và
kỹ thuật cũng như thực tế. Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý
thuyết tối ưu. Nhưng sau những công trình của H. W. Kuhn và A. W.
Tucker về các điều kiện cần và đủ cho một véctơ thỏa mãn các ràng buộc
là nghiệm hữu hiệu, thì tối ưu véctơ mới thực sự là một nghành toán
học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán cơ bản
trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng
Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên
ngựa,
Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của
Arrow-Debreu [2], Nash [6] sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để
xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972)
và Browder-Minty (1987) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm
của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991,
Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và
tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của Browder-Minty với nhau
thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm
x ∈ K sao cho f(x, x)  0, với mọi x ∈ K, trong đó K là tập con cho
trước của một không gian nào đó, f : K × K → R là hàm số thực thỏa
mãn f(x, x)  0. Đây là dạng suy rộng trực tiếp của các bài toán cổ
6
điển trong lý thuyết tối ưu véctơ.
Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán tối ưu liên quan đến
ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu
hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi nón Orthant dương. Sau đó,
mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm
về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển

của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa,
tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ
đa trị. Từ đó, người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ
đơn trị sang đa trị.
Đối với ánh xạ đơn trị, bài toán điểm cân bằng đã được xây dựng
một cách tổng quát do Blum và Oettli đặt ra. Có rất nhiều sự mở rộng
của bài toán cân bằng đối với hàm véctơ và ánh xạ đa trị. Tuy nhiên các
kết quả đạt được cho đến nay vẫn chưa cho ta được cái nhìn thống nhất
giữa các bài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đa trị như trường hợp của
đơn trị. Chính vì điều đó, trong những năm gần đây bài toán điểm cân
bằng đang được nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm.
Với những lý do nêu trên và sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân
Tấn, tôi đã chọn đề tài "Bài toán cân bằng tổng quát loại I và loại II"
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra các mô hình bài toán tựa cân bằng tổng quát và nghiên cứu
sự tồn tại nghiệm của chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và loại II, sự
tồn tại nghiệm của chúng và ứng dụng .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng loại I và
loại II và một số bài toán liên quan với bài toán cân bằng trong lý thuyết
7
tối ưu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán đặt ra ta sử
dụng các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và bổ đề Fan
- KKM.
6. Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về bài
toán cân bằng tổng quát loại I và loại II, sự tồn tại nghiệm của chúng
và các bài toán liên quan. Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý tồn
tại nghiệm.
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm
của tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển
về hàm số, về toán tử hay về ánh xạ không còn thích hợp. Việc mở rộng
từ ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị là tất yếu do nhu cầu thực tại của
các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên và cuộc sống. Chính vì vậy mà lý thuyết
giải tích đa trị được hình thành và trở thành công cụ đắc lực để nghiên
cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Ta dành trọn chương này
để nhắc lại một số kiến thức cơ bản dùng trong việc nghiên cứu các bài
toán ở chương sau.
1.1 Các không gian thường dùng
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp M = ∅
cùng với một ánh xạ d từ không gian tích Descarter M × M vào tập hợp
số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây:
(i) (∀x, y ∈ M) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) (∀x, y ∈ M) d(x, y) = d(y, x);
(iii) (∀x, y, z ∈ M) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Không gian metric ký hiệu là (M, d), (viết tắt là M). Ánh xạ d gọi
là metric trên M, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y.
Ví dụ:
(i) Một tập con M bất kỳ của tập số thực R, với khoảng cách
d(x, y) = |x − y| (độ dài đoạn nối x với y), là một không gian met-
9
ric.
(ii) Tổng quát hơn, trong không gian n chiều R

n
, có thể xác định
khoảng cách giữa hai điểm x = (x
0
, , x
n
) và y = (y
0
, , y
n
) là
d (x, y) =




n

i=1
(x
i
− y
i
)
2
.
Ta thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác
nhau để có những không gian metric khác nhau.
Trong không gian metric, ta có thể đưa ra khái niệm dãy hội tụ như
sau:

Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng dãy điểm {x
n
} của không gian M hội
tụ tới điểm x
0
của không gian đó nếu với (∀ > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n ≥
n
0
) d(x
n
, x
0
) < , ký hiệu: lim
n→∞
= x
0
hay x
n
→ x
0
(n → ∞).
Ví dụ:
(i) Sự hội tụ trên đường thẳng thực là sự hội tụ của một dãy số theo
nghĩa thông thường.
(ii) Trong không gian R
k

, sự hội tụ của dãy x
n
= (x
n
1
, , x
n
k
) tới
x = (x
1
, , x
k
) có nghĩa là
k

i=1
(x
n
i
− x
i
)
2
→ 0 (n → ∞),
điều này tương đương với x
n
i
→ x
i

, (i = 1, 2, , k). Vậy sự hội tụ trong
không gian R
k
là hội tụ theo toạ độ.
Điều hiển nhiên rằng, nếu một dãy đã hội tụ thì mọi dãy con của nó
cũng hội tụ. Ta dễ dàng nhận ra hai tính chất quan trọng sau đây:
(i) Nếu x
n
→ x và x
n
→ x

thì x = x

, nghĩa là giới hạn của một dãy
điểm là duy nhất.
(ii) Nếu x
n
→ x và y
n
→ y thì d(x
n
, y
n
) → d(x, y), nghĩa là khoảng
cách d là một hàm liên tục đối với x và y.
10
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric (M, d), a ∈ M, số r > 0. Ta
gọi:
Tập S(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính

r;
Tập S

(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán
kính r.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian metric (M, d). Ta gọi là lân cân của
điểm x ∈ M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r nào đấy.
Nhờ định nghĩa này ta có thể phân loại các điểm trong không gian
metric như sau:
Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M, điểm x ∈ M:
Điểm x gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x
bao hàm trong tập A;
Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x
không chứa điểm nào của tập A;
Điểm x gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x đều
chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A. Tập
tất cả các điểm biên của tập A ký hiệu là ∂A;
Điểm x gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A, nếu mọi lân
cận của điểm x đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác x. Tập tất cả
các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là A

;
Điểm x gọi là điểm cô lập của tập A, nếu x ∈ A và x không là điểm
giới hạn của tập A.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M:
Tập A gọi là tập mở trong không gian (M, d), nếu mọi điểm thuộc
A đều là điểm trong của A;
Tập A gọi là tập đóng trong không gian (M, d), nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A.
11

Định lý 1.1.1. Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập
mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.1.2. Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M, A = ∅. Tập
A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm {x
n
} ⊂ A hội
tụ tới điểm x thì x ∈ A.
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M:
Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, và
ký hiệu
o
A
hay intA;
Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và ký
hiệu A hay [A].
Định lý 1.1.3. Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M, phần
trong
o
A
của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, còn bao đóng A
của A là tập tất cả các điểm giới hạn của tập A.
Định nghĩa 1.1.7. Cho một tập M bất kỳ, ta nói một họ T những tập
con của M là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên M nếu:
(i) Hai tập ∅ và X đều thuộc họ T .
(ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.
(iii) Hợp của một số bất kỳ tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.
Một tập M cùng với một tôpô T trên M gọi là không gian tôpô
(M, T ).
Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên
không gian metric cùng một cấu trúc ta gọi là cấu trúc tôpô.

Định lý 1.1.4. Trong không gian metric (M, d), họ tất cả các tập mở
trong M lập thành một tôpô trên M.
Định nghĩa 1.1.8. Họ T tất cả các tập mở trong không gian metric
(M, d) gọi là tôpô sinh bởi metric d.
12
Định lý 1.1.5. Trong không gian metric (M, d), tôpô T sinh bởi metric
d là tôpô có cơ sở lân cận đến được.
Định nghĩa 1.1.9. Cho không gian metric (M, d), dãy {x
n
} được gọi
là dãy cở bản nếu lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0, tức là với ∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗
sao
cho ∀n, m ≥ N thì d(x
n
, x
m
) < ε.
Dễ thấy mọi dãy (x
n
) ⊂ M hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.10. Không gian metric (M, d) gọi là không gian đầy
đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.11. Tập M khác rỗng được gọi là không gian tuyến

tính trên trường số thực R, các phần tử x, y ∈ M được gọi là các véctơ
nếu trên M xác định hai phép toán
(+) : M × M → M : (x, y) → x + y;
( . ) : R × M → M : (λ, x) → λx,
thoả mãn tám tiên đề sau:
(i) x + y = y + x, (∀x, y ∈ M);
(ii) (x + y) + z = x + (y + z) , (∀x, y, z ∈ M);
(iii) (∃θ ∈ M) x + θ = θ + x, (∀x ∈ M);
(iv) (∀x ∈ M) (∃ − x ∈ M) x + (−x) = θ;
(v) λ (x + y) = λx + λy, (∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R);
(vi) (α + β) x = αx + βx, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ R);
(vii) α (βx) = (αβ) x, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ R);
(viii) (∃1 ∈ M) 1x = x, (∀x ∈ M).
θ và 1 lần lượt được gọi là phần tử không và phần tử đơn vị của M.
Như vậy, trên M có một cấu trúc đại số.
Ví dụ:
Tập R
n
với phép cộng và phép nhân thông thường là một không gian
tuyến tính.
13
Định nghĩa 1.1.12. Không gian tuyến tính định chuẩn thực là cặp
(M, .), trong đó M là một không gian tuyến tính còn (.) là một ánh
xạ M → R thoả mãn:
(i) x ≥ 0, ∀x ∈ M, x = 0 ⇔ x = θ;
(ii) λx = |λ| . x ;
(iii) x + y ≤ x + y .
Số x được gọi là chuẩn của x.
Ví dụ:
Không gian định chuẩn C

[a,b]
(không gian các hàm bị chặn trên đoạn
[a, b]) với chuẩn x = max
a≤t≤b
|x(t)| .
Ta thấy rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric
với d(x, y) = x − y.
Định nghĩa 1.1.13. Cho M là không gian tuyến tính trên trường số
thực R. Hàm ., . : M × M → R được gọi là tích vô hướng trên M nếu:
(i) y, x = x, y, ∀x, y ∈ M;
(ii) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ M;
(iii) λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R;
(iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = θ, ∀x ∈ M.
Ta có một số tính chất đơn giản sau:
(i) (∀x ∈ M) θ, x = 0.
Thật vậy, θ, x = 0.x, x = 0. x, x = 0.
(ii) (∀x, y ∈ M) (∀λ ∈ R) x, λy = λ x, y.
Thật vậy, x, λy = λy, x = λ y, x = λ x, y.
(iii) (∀x, y, z ∈ M) x, y + z = x, y + x, z.
Thật vậy, x, y + z = y + z, x = y, x + z, x = x, y + x, z.
Định nghĩa 1.1.14. Không gian M được trang bị một tích vô hướng
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
14
Ví dụ:
Không gian R
n
với tích vô hướng x, y =
n


i=1
x
i
y
i
là các không gian
Hilbert.
Trên M cho ánh xạ ρ được xác định như sau: ρ(x, y) = x − y. Suy
ra (M, ρ) là không gian metric. Trên M có cả hai cấu trúc tôpô và đại
số, hai cấu trúc này tương thích với nhau. Tức là, hai phép tính đại số
liên tục trong tôpô. Thậy vậy, giả sử dãy điểm (x
n
) hội tụ tới x, dãy
điểm (y
n
) hội tụ tới y trong không gian định chuẩn M, dãy số (α
n
) ∈ R
hội tụ tới số α. Tức là lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y, lim
n→∞
α
n

= α. Suy ra
lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = x + y hay (x
n
+ y
n
) → (x + y) khi n → ∞
lim
n→∞
α
n
x
n
= αx hay α
n
x
n
→ αx khi n → ∞
Nếu (M, ρ) là metric đầy đủ thì (M, .) được gọi là không gian
Banach.
Suy ra, ta định nghĩa với x ∈ M đặt x =

x, x thì dễ dàng
chứng minh được (M, .) là không gian định chuẩn. Vậy, không gian
tiền Hilbert là một không gian định chuẩn, do đó cũng là không gian

metric và trên M cũng có hai cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số.
Nếu (M, .) là không gian Banach thì (M, ., .) là không gian Hilbert.
Ví dụ:
Cho không gian vectơ thực k chiều R
k
, trong đó {x = (x
1
, x
2
, , x
k
) :
x
n
∈ R với mọi n = 1, k}.
(i) Đối với bất kỳ x = (x
n
) ∈ R
k
ta đặt:
x =




k

n=1
|x
n

|
2
. (1.1)
Từ công thức x = d(x, 0) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1)
cho một chuẩn trên R
k
. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là
15
R
k
. Dễ dàng thấy R
k
là không gian Banach.
(ii) Với mọi x = (x
n
) ∈ R
k
, mọi y = (y
n
) ∈ R
k
ta đặt:
x, y =
k

n=1
x
n
y
n

. (1.2)
Dễ dàng thấy hệ thức (1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn
sinh ra bởi tích vô hướng (1.2)
x =

x, x =




k

n=1
x
n
2
, x = (x
n
) ∈ R
k
trùng với chuẩn (1.1). Nên không gian vectơ thực R
k
cùng với tích vô
hướng (1.2) là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.15. Cho M là không gian tuyến tính thực đồng thời
được trang bị một cấu trúc tôpô τ và một cấu trúc đại số (phép cộng
hai phần tử và phép nhân một số với một phần tử). Nếu hai phép tính
cộng và nhân liên tục trong τ thì M được gọi là không gian tôpô tuyến
tính.
Nếu cơ sở lân cận của 0 gồm các tập lồi thì M được gọi là không gian

tôpô tuyến tính lồi địa phương.
Nếu M không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương mà x, y ∈ M, x = y,
U
x
∩ U
y
= ∅, ( U
x
, U
y
lần lượt là lân cận của x, y ) thì M được gọi là
không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
Ví dụ:
Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô tuyến
tính lồi địa phương Hausdorff.
16
1.2 Nón
Trong không gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được
với nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này không
có được trong một số không gian khác. Muốn mở rộng các bài toán nhận
giá trị thực sang các bài toán nhận giá trị véctơ và đa trị người ta đưa
vào các khái niệm mới đồng thời có thể xây dựng những khái niệm tương
tự với số thực, số phức trong không gian tôpô tuyến tính. Một phương
pháp hữu hiệu để xây dựng những khái niệm đó là trang bị một nón
trong không gian tôpô tuyến tính.Ta có khái niệm sau.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con
trong Y . C gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu
tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0.
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y , ký hiệu
clC, intC, coC là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C, l(C) =

C ∩ (−C). Khi nghiên cứu các bài toán liên quan đến nón, người ta
thường quan tâm đến các loại nón sau:
(i)Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi.
(ii)Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng.
(iii)Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0.
Với nón C cho trước ta định nghĩa trên Y một quan hệ thứ tự sau:
x, y ∈ Y, x  cy nếu x − y ∈ C. Nếu không có sự nhần lẫn ta có thể viết
đơn giản x  y.
Ví dụ:
1. Tập {0} và Y là nón trong không gian Y . Ta gọi chúng là các nón
tầm thường.
2. Cho R
n
là không gian Euclide n chiều, tập
C = R
+
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
| x
j
≥ 0, j = 1, 2, n}
17
là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong R

n
.
Nếu lấy C = {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
| x
1
≥ 0} thì C là nón lồi,
đóng nhưng không nhọn. Vì l(C) = {x = (0, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
} = {0}.
Định nghĩa 1.2.2. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự
được sinh bởi nón lồi C và A là tập con của Y . Ta nói rằng
(i) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với
nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A.
(ii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của
A đối với nón C, nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C). Tập các
điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là Min(A|C).
(iii) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu (khi intC = ∅ và
C = Y ) của A đối với nón C, nếu x ∈ Min(A|({0} ∪ intC)). Tức là x là
điểm hữu hiệu Pareto đối với nón C

0
= {0} ∪ intC.
(iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón
C nếu tồn tại nón lồi
˜
C khác toàn không gian và chứa C \ l(C) trong
phần trong của nó để x ∈ Min(A|
˜
C).
1.3 Ánh xạ đa trị
Cho X là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2
X
là tập gồm các tập con của X.
Định nghĩa 1.3.1. Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2
Y
được gọi là ánh xạ
đa trị từ X vào Y . Ký hiệu F : X → 2
Y
. Nếu với mọi x ∈ X, F (x) chỉ
gồm một phần tử của Y ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , thay
cho ký hiệu F : X → 2
Y
ta sử dụng ký hiệu quen thuộc là F : X → Y .
Miền định nghĩa và đồ thị của F được định nghĩa lần lượt bởi
domF = {x ∈ D | F(x) = ∅}, GrF = {(x, y) ∈ D × Y | y ∈ F(x)}.
Ví dụ:
18
Cho a, b là các số thực, F : R → 2
R
được xác định bởi

F (x) =



(a, b) nếu x = 0
{a} nếu x = 0
khi đó F ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.2. Cho F : X → 2
Y
, ánh xạ F
−1
: Y → 2
X
xác định
bởi F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F(x)} được gọi là ánh xạ ngược của F .
Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ
ngược. Nếu tập F
−1
(y) mở với mọi y ∈ Y , thì F được gọi là có nghịch
ảnh mở.
Ngoài các phép toán hợp, tích Descarter, ánh xạ bù và tổng đối với ánh
xạ đa trị được định nghĩa tương tự ánh xạ đơn trị ta có các phép toán
sau.
Định nghĩa 1.3.3. Cho F
1
, F
2
: X → Y , ánh xạ giao của F

1
và F
2
là
F
1
∩ F
2
(x) = F
1
(x) ∩ F
2
(x).
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, F : X → 2
Y
, ký hiệu F và
o
F
là
các ánh xạ bao đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi
F (x) = F (x), (
o
F
)(x) = (
o
F (x)).
Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính, thì ánh xạ bao lồi và bao
lồi đóng của F là
(coF )(x) = coF (x), (coF )(x) = coF (x).
1.4 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Trong phần này ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục
dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị.
19
Định nghĩa 1.4.1. Cho F : X → 2
Y
là một ánh xạ đa trị từ không
gian tôpô X vào không gian tôpô Y .
a) Ánh xạ F gọi là nửa liên tục trên tại điểm x
0
∈ domF nếu với
mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x
0
) ⊂ V , tồn tại lân cận mở U của x
0
sao cho F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U;
b) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x
0
∈ domF nếu
với mọi tập mở V thoả mãn V ∩ F (x
0
) = ∅, đều tồn tại lân cận U của
x
0
sao cho V ∩ F (x) = ∅ với mọi x ∈ U;
c) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó vừa liên tục trên
vừa liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại
mọi điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.4.2. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2
Y
là

ánh xạ đa trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong
X × Y . Nếu F(X) là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị
là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.4.1. Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. Nếu F là ánh xạ
nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu
F là ánh xạ đóng và Y compact, thì F là ánh xạ nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.4.2. a) Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. Nếu F là ánh xạ
nửa liên tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F (x) và với
bất kỳ dãy suy rộng {x
β
}
β∈∧
∈ D, x
β
→ x, tồn tại dãy {y
β
}
β∈∧
, {y
β
} ∈
F (x
β
) sao cho y
β

→ y, trong đó ∧ là tập các chỉ số.
b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở, thì ánh xạ coF cũng có nghịch
ảnh mở.
Chứng minh. b) Giả sử y ∈ D và x ∈ (coF )
−1
(y), thì y ∈ co(F(x)),
y =

n
i=1
α
i
y
i
với 0 ≤ α
i
≤ 1,

n
i=1
α
i
= 1, y
i
∈ F (x). Khi đó x ∈
20
F
−1
(y
i

), với mọi i = 1, , n. Từ F
−1
(y
i
), i = 1, , n là tập mở, ta suy ra
tồn tại lân cận U(x) của x sao cho U(x) ⊆ F
−1
(y
i
), với mọi i = 1, , n.
Điều này dẫn đến y
i
∈ F (z) với z ∈ U(x) và mọi i = 1, , n. Do đó,
y =

n
i=1
α
i
y
i
∈ (coF )(z) với z ∈ U(x) suy ra U(x) ⊆ (coF )
−1
(y). Vậy
(coF )
−1
(y) là tập mở.

Mệnh đề 1.4.3. Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên
tục dưới.

Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.4.3 không đúng.
Ví dụ:
Cho F : R → 2
R
xác định bởi F (x) = (−∞, −x]. Ta có
F
−1
(y) = {x : y ∈ (−∞, −x]} = {x : y ≤ −x} = (−∞, −y] không là tập
mở.
Gọi V là tập mở bất kỳ trong R, khi đó

y∈V
F
−1
(y) = {x : F (x) ∩ V = ∅}.
Đặt b = inf{υ : υ ∈ V }. Ta sẽ chứng minh (−∞, −b) ⊆

y∈V
F
−1
(y).
Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ (−∞, −b) dẫn đến b < −x. Theo cách xác
định của b, ta suy ra tồn tại những điểm y ∈ V sao cho b < y ≤ −x. Vì
vậy x ∈ (−∞, −y] ⊆

y∈V
F
−1
(y). Do đó (−∞, −b) ⊆


y∈V
F
−1
(y) hay

y∈V
F
−1
(y) là tập mở. Vậy F là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Ta nhắc lại, hàm vô hướng f : X → R gọi là nửa liên tục trên
(hoặc dưới) tại x
0
nếu với bất kỳ  > 0 đều tồn tại lân cận U  x
0
sao
cho f(x) ≤ f(x
0
) +  ( hoặc f(x) ≥ f(x
0
) −  ). Khái niệm này có thể
mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi
địa phương với nón C.
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D, K là
21
các tập con khác rỗng trong X, C là một ánh xạ nón. Ta có định nghĩa
sau:
Định nghĩa 1.4.3. Cho F : K × K × K → 2
Y
, C : K × D → 2
Y

là ánh
xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một nón). F được gọi là
C- liên tục trên (hoặc C- liên tục dưới) tại (y, x, z) ∈ domF nếu với bất
kỳ lân cận V của O trong Y đều tồn tại lân cận U của (y, x, z) sao cho :
F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V + C(y, x),
( tương ứng , F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V − C(y, x)),
với mọi (y, x, z) ∈ U ∩ domF .
Trường hợp C = {0}, ta nói F liên tục trên ( liên tục dưới ) thay
vì nói {0}- liên tục trên ( {0}- liên tục dưới ). Nếu F là ánh xạ đơn trị
thì khái niệm C- liên tục trên và C- liên tục dưới là một và lúc đó F được
gọi là C- liên tục.
Cho F, C : D → 2
Y
là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón.
Sau đây ta trình bày khái niệm C-hemi liên tục trên (dưới) và khái niệm
hemi liên tục trên (dưới).
Định nghĩa 1.4.4. a) F được gọi là C-hemi liên tục trên nếu với
mọi x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅, với
mọi α ∈ (0, 1), thì F (y) ∩ C(y) = ∅.
b) F được gọi là C-hemi liên tục dưới nếu với mọi x, y ∈ D thỏa
mãn F (αx + (1 − α)y)  −intC(αx + (1 − α)y), với mọi α ∈ (0, 1), thì
F (y)  −intC(y).
c) F được gọi là hemi liên tục trên (dưới) nếu với mọi x, y ∈ D, ánh
xạ f : [0, 1] → 2
Y
định nghĩa bởi f(α) = F (αx + (1 − α)y) là nửa liên
tục trên (tương ứng, nửa liên tục dưới).
22
Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là C-hemi
liên tục trên và dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán

trong Chương 3.
Mệnh đề 1.4.4. Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng khác
rỗng. Nếu với bất kỳ x ∈ D, hoặc F (x), hoặc C(x) là tập compact, thì
F là C-hemi liên tục trên.
Chứng minh. Với x, y ∈ D cố định, định nghĩa các ánh xạ f, c : [0, 1] →
2
Y
bởi f(α) = F (αx + (1 − α)y) và c(α) = C(αx + (1 − α)y), α ∈ [0, 1].
Do F và C là hemi liên tục trên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0.
Với V là lân cận bất kỳ của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong
[0, 1] sao cho
F (αx + (1 − α)y) ⊆ F (y) + V ;
C(αx + (1 − α)y) ⊆ C(y) + V , với mọi α ∈ U.
Do đó, nếu F (αx+(1−α)y)∩C(αx+(1−α)y) = ∅, với mọi α ∈ (0, 1), thì
(F (y)+V )∩(C(y)+V ) = ∅. Điều này dẫn đến F (y)∩(C(y)+2V ) = ∅. Giả
sử F(y) là tập compact, ta sẽ chứng minh F (y)∩C(y) = ∅. Thật vậy, giả
sử V
β
là lân cận bất kỳ của gốc trong Y , lấy a
β
∈ F (y)∩(C(y)+2V
β
), a
β
=
b
β
+ v
β
, trong đó b

β
∈ C(y) và v
β
∈ V
β
. Ta có thể chọn V
β
sao cho
∩
β
V
β
= {0}. Giả sử v
β
hội tụ đến 0 khi β hội tụ đến 0. Từ a
β
∈ F(y)
và F (y) là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
rằng a
β
hội tụ đến a ∈ F (y) khi β hội tụ đến 0. Vì vậy, b
β
cũng hội tụ
đến a. Mặt khác, C(y) đóng nên a ∈ C(y). Ta suy ra a ∈ F (y) ∩ C(y)
hay F (y) ∩ C(y) = ∅. Nếu C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng
có F (y) ∩ C(y) = ∅. Vậy F là C-hemi liên tục trên.
