Bài toán điểm cân bằng kiểu Blum-oettli

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
THÂN THỊ THU HÀ
BÀI TOÁN ĐIỂM CÂN BẰNG
KIỂU BLUM - OETTLI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH
Hà Nội 2012

2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
THÂN THỊ THU HÀ
BÀI TOÁN ĐIỂM CÂN BẰNG
KIỂU BLUM - OETTLI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
Hà Nội 2012
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Thân Thị Thu Hà
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điểm cân bằng
kiểu Blum-Oettli” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản
thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã học hỏi và kế thừa những
thành tựa của các nhà khoa học, các thầy cô giáo và bạn bè với sự trân
trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Thân Thị Thu Hà
Mục lục
Mở đầu 6
1 Kiến thức cơ bản của giải tích đa trị 9
1.1 Một số không gian cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 18
1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Tính liên tục, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . . 23
1.4 Một số định lý về điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 27
2 Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli vô hướng 30
2.1 Bài toán điểm cân bằng cổ điển và các bài toán liên quan 31
2.2 Định lý tồn tại điểm cân bằng Blum-Oettli . . . . . . . . 35
3 Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli véctơ đa trị 42
3.1 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3
4
BẢNG KÍ HIỆU
R tập số thực
R tập số thực mở rộng
R
n
không gian Euclide n-chiều
R
n
+
tập các véctơ không âm (orthant không âm) của R
n
x ∈ M phần tử x thuộc tập M
y /∈ M phần tử y không thuộc M
K ⊂ X K là một tập con của X
M ∪ N hợp của hai tập M và N
M ∩ N giao của hai tập M và N
M \ N hiệu của hai tập M và N
M × N tích Đề-các của hai tập M và N
2
X
tập tất cả các tập con của tập X
x, y tích vô hướng của x và y
ρ(x, y) khoảng cách giữa x và y
x chuẩn của x
¯
C bao đóng của tập C
intC phần trong của tập C

conv C bao lồi của tập C
5
(l)C nón đóng của nón C
cone B tập sinh của nón C
C

nón cực của C
core
D
K lõi của K theo D
X
∗
không gian tôpô đối ngẫu của X
inf f cận dưới đúng của hàm f
sup f cận trên đúng của hàm f
dom F miền định nghĩa của hàm F
graph F đồ thị của F
epi F trên đồ thị của hàm F
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán điểm cân bằng đã được nghiên cứu từ cuối thế kỉ 19.
Sau đó vào những năm cuối của thế kỉ 20 nhiều nhà toán học trên thế
giới quan tâm, nghiên cứu như Debreu, Nash, đã sử dụng để xây dựng
những mô hình kinh tế. Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của
bài toán kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý điểm bất
động Brouwer, Kakutani, Ky Fan, Sau này, người ta tìm được nhiều
phương pháp khác nhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán
điểm cân bằng . Ky Fan (1972) và Brouwer-Minty (1978) đã phát biểu
bài toán điểm cân bằng một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại
nghiệm của nó dựa trên các định lý điểm bất động.

Năm 1991, Blum-Oettli đã phát biểu bài toán điểm cân bằng tổng
quát và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Brouwer-Minty với
nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn
như sau: Tìm ¯x ∈ D sao cho f(¯x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ D, trong đó D là
một tập cho trước của không gian véctơ thực X, f : D ×D → R là hàm
thoả mãn f(x, x) = 0, mọi x ∈ D. Từ bài toán này ta có thể suy ra
được các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu: Bài toán tối ưu, bài
toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm
yên ngựa, bài toán cân bằng Nash,
Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh
xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn
7
chiều khác mà thứ tự trong nó được đưa ra bởi nón orthant dương. Sau
đó mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với
nón bất kì. Từ những năm đầu của thế kỷ 20 khái niệm ánh xạ đa trị
được nghiên cứu và đưa ra đã đáp ứng được nhu cầu của sự phát triển
không ngừng của toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định
nghĩa, tính chất, của các ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ
đa trị. Trên cơ sở này, người ta cũng tìm cách chứng minh các kết quả
thu được từ đơn trị cho đa trị. Vì vậy bài toán điểm cân bằng được nhiều
nhà toán học quan tâm khai thác.
Với những lý do trên cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy
Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài "Bài toán điểm cân bằng kiểu
Blum-Oettli" để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Tập hợp trình bày hệ thống một số kết quả nghiên cứu cơ bản xung
quanh kết quả của Blum-Oettli. Đó là kết quả tồn tại nghiệm của bài
toán điểm cân bằng và bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli véctơ đa trị.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về bài toán điểm bằng Blum-Oettli véctơ đa trị và số bài

toán liên quan có sự tham gia của ánh xạ đa trị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli, một số bài toán liên quan.
Tìm mối liên quan giữa các bài toán này và đưa ra các ứng dụng của
chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung
nghiên cứu.
- Sử dụng các phương pháp của giải tích đa trị, đặc biệt các định
lý điểm bất động kiểu Ky Fan và Browder-Ky Fan.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
8
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về một
số không gian thường dùng trong các bài toán tối ưu, bài toán điểm
bằng Blum-Oettli, các bài toán liên quan. Mở rộng cho bài toán điểm
cân bằng Blum-Oettli véctơ đa trị.
Chương 1
Kiến thức cơ bản của giải tích đa trị
Chương này nhắc lại một số không gian cơ bản và nghiên cứu một
số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón.
1.1 Một số không gian cần dùng
1.1.1 Không gian Metric
Vấn đề cơ bản của không gian là khái niệm khoảng cách, một
không gian metric là một tập trong đó có xác định "khoảng cách" giữa
từng cặp phần tử, với những tính chất thông thường của khoảng cách
hình học. Để chính xác hơn, ta có khái niệm sau:
Định nghĩa 1.1.1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X = ∅
cùng với một ánh xạ ρ(x, y) : X × X → R thoả mãn các điều kiện sau:
(i) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(ii) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) = ρ(y, x), (tính đối xứng);
(iii) (∀x, y, z ∈ X) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z)+ρ(z, y), (bất đẳng thức tam giác).
Ánh xạ ρ(x, y) được gọi là metric trên X, số thực ρ(x, y) gọi là khoảng
cách giữa hai phần tử x và y.
Không gian metric được ký hiệu là M = (X, ρ).
9
10
Ví dụ. a) Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R, ta đặt:
ρ(x, y) = |x − y|.
xác định một metric trên R. Không gian tương ứng được kí hiệu là R
1
.
b) Trong không gian R
n
, khoảng cách giữa hai điểm x = (x
0
, , x
n
),
y = (y
0
, , y
0
):
ρ(x, y) =
n

i=1
(x
i

− y
i
)
2
.
xác định một metric trên R
n
. Không gian tương ứng kí hiệu là R
n
và
thường gọi là không gian Euclide.
Ta thấy trên cùng một tập hợp có thể lựa chọn những metric khác
nhau để có những không gian metric khác nhau.
Trong không gian có khoảng cách, ta có thể đưa ra khái niệm dãy
hội tụ như sau:
Định nghĩa 1.1.1.2. Cho không gian metric M = (X, ρ), dãy điểm
{x
n
} của không gian metric M gọi là hội tụ tới điểm x
0
của không gian
đó nếu (∀ > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n ≥ n
0
) ρ(x
n
, x

0
) < , kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hay x
n
→ x.
Điểm x
0
gọi là giới hạn của dãy {x
n
} trong không gian M.
Ta dễ nhận thấy rằng, nếu một dãy đã hội tụ thì mọi dãy con của
nó cũng hội tụ. Ta có hai tính chất sau đây của dãy hội tụ cũng rất quan
trọng.
i> Nếu x
n
→ x và x
n
→ x

thì x = x

, nghĩa là giới hạn của một dãy
điểm là duy nhất.
ii> Nếu x

n
→ x và y
n
→ y thì ρ(x
n
, y
n
) → ρ(x, y), nghĩa là khoảng cách
ρ là một hàm số liên tục đối với x và y.
Ví dụ. a) Sự hội tụ trên đường thẳng thực là sự hội tụ của một dãy số
theo nghĩa thông thường.
11
b) Trong không gian k chiều R
k
, sự hội tụ của dãy x
n
= (x
n
1
, , x
n
k
) tới
x = (x
1
, , x
k
) có nghĩa là
k


i=1
(x
n
i
− x
i
)
2
→ 0 (n → ∞).
điều này tương đương với x
n
i
→ x
i
, i = 1, 2, , k. Vậy sự hội tụ trong R
k
là sự hội tụ theo toạ độ.
Định nghĩa 1.1.1.3. Trong không gian metric M = (X, ρ), a ∈ X là
một điểm tuỳ ý.
Hình cầu mở tâm a, bán kính r (r > 0) là tập
S(a, r) = {x ∈ X |ρ(x, a) < r}.
Hình cầu đóng tâm a, bán kính r (r > 0) là tập
S

(a, r) = {x ∈ X |ρ(x, a) ≤ r}.
Định nghĩa 1.1.1.4. Một tập M trong không gian metric X được gọi
là bị chặn (giới nội) nếu nó nằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa
là nếu có một điểm a ∈ X và một số k > 0 sao cho ρ(x, a) ≤ k, với mọi
x ∈ M.
Định nghĩa 1.1.1.5. Cho không gian metric M = (X, ρ). Ta gọi là lân

cận của điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán
kính r > 0 nào đấy.
Xét một tập A bất kỳ trong không gian metric M, với x ∈ X.
Điểm x được gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận
của điểm x bao hàm trong tập A.
Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của
điểm x không chứa điểm nào của tập A.
Điểm x gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x
đều chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A.
12
Tập tất cả những điểm biên của tập A được ký hiệu là δA.
Điểm x gọi là điểm giới hạn ( hay điểm tụ) của tập A, nếu mọi lân
cận của điểm x đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác x. Tập tất cả
các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là A

.
Định nghĩa 1.1.1.6. Cho không gian metric M = (X, ρ) và tập A ⊂ X.
Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều là
điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một
lân cận của x bao hàm trong A.
Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nếu điểm x /∈ A thì tồn tại một
lân cận x không chứa điểm nào thuộc A.
Ví dụ. Trên đường thẳng R, mỗi khoảng (a, b) là một tập mở; mỗi đoạn
[a, b] là một tập đóng.
Định lý 1.1.1.7. Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là
tập mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Trong nhiều vấn đề ta phải thực hiện các phép hợp và giao trên
một họ tập mở (hay đóng). Ta có các định lý quan trọng sau:
Định lý 1.1.1.8. (Xem [2]) Giao của một số hữu hạn tập mở cũng là

mở. Hợp của một họ bất kỳ những tập mở cũng mở.
Hợp của một số hữu hạn tập đóng cũng là đóng. Giao của một họ
bất kỳ những tập đóng cũng đóng.
Định lý 1.1.1.9. (Xem [2]) Cho không gian metric M = (X, ρ), tập
A ⊂ X với A = ∅. Tập A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi
dãy điểm {x
n
} ∈ A hội tụ tới điểm x thì x ∈ A.
Định nghĩa 1.1.1.10. Cho không gian metric M = (X, ρ) và một tập
A ⊂ X. Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của
A, ký hiệu là intA. Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng
của A và ký hiệu
¯
A.
13
Từ định nghĩa ta dễ dàng có các tính chất sau:
1) int∅ = ∅,
¯
∅ = ∅;
2) intX = X, X = X;
3) A ⊂ B ⇒ intA ⊂ intB,
¯
A ⊂
¯
B;
4) int (A ∩ B) = intA ∩intB,
A ∪ B =
¯
A ∪
¯

B;
5) A ⊂ B là tập mở khi và chỉ khi intA = A;
6) A ⊂ B là tập đóng khi và chỉ khi
¯
A = A.
Định lý 1.1.1.11. (Xem [2]) Cho không gian metric M = (X, ρ) và tập
A ⊂ X. Phần trong intA của tập A là tập tất cả các điểm trong của A,
còn bao đóng
¯
A của tập A là hợp của tập A và tập tất cả các điểm giới
hạn của tập A.
Từ định lý ta suy ra hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.1.12. (Xem [2]) Cho không gian metric bất kỳ M = (X, ρ),
phần trong của một tập mở là tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng.
Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên
không gian metric cùng một cấu trúc ta gọi là cấu trúc tôpô.
Định lý 1.1.1.13. (Xem [2]) Cho không gian metric bất kỳ M = (X, ρ),
họ τ tất cả các tập mở trong M lập thành một tôpô trên X.
Định nghĩa 1.1.1.14. Họ τ tất cả các tập mở trong không gian metric
M = (X, ρ) gọi là tôpô sinh bởi metric ρ.
Định nghĩa 1.1.1.15. Cho không gian metric M = (X, ρ). Dãy {x
n
}
gọi là dãy cơ bản trong M, nếu
(∀ > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀m, n ≥ n
0

) , ρ(x
n
, x
m
) < 
hay
lim
n,m→∞
ρ(x
n
, x
m
) = 0.
Dễ thấy một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu x
n
→ x
14
thì theo bất đẳng thức tam giác, ta có
ρ(x
n
, x
m
) ≤ ρ(x
n
, x) + ρ(x, x
m
) → 0 (n, m → ∞) .
Định nghĩa 1.1.1.16. Không gian metric M = (X, ρ) gọi là không gian
đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Ví dụ. Không gian R

1
là không gianđầy đủ.
Định nghĩa 1.1.1.17. Cho hai không gian metric M
1
= (X, ρ) và
M
2
= (Y, ρ). Một ánh xạ f : X → Y gọi liên tục tại điểm x
0
∈ X nếu
(∀ > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X) :
ρ(x, x
0
) < δ ⇒ ρ(f(x), f(x
0
)) < .
tương đương với: f(x
n
) → f(x
0
) cho mọi dãy x
n
→ x
0
.
Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.1.18. Một tập K trong không gian metric X được gọi
là tập compắc nếu mọi dãy {x
n
} ⊂ K đều có chứa một dãy con {x

n
k
}
hội tụ tới một điểm thuộc K.
Định nghĩa 1.1.1.19. Cho không gian metric M = (X, ρ). Không gian
M gọi là không gian compắc, nếu tập X là tập compắc trong M.
Từ định nghĩa ta thấy một tập compắc M bao giờ cũng là đóng.
Thật vậy, nếu x
n
⊂ M và x
n
→ x thì do tính compắc phải có một dãy
con {x
n
k
} hội tụ, với lim x
n
k
∈ M, nhưng lim x
n
k
= lim x
n
= x, vậy
x ∈ M.
1.1.2 Không gian định chuẩn
Trong giải tích có nhiều vấn đề liên quan tới các phép toán tuyến
tính: cộng hai phần tử với nhau và nhân một phần tử với một số. Để
nghiên cứu các vấn đề này, chúng ta đưa vào khái niệm không gian tuyến
tính.

15
Định nghĩa 1.1.2.1. (Xem [7]) Một tập X được gọi là một không gian
tuyến tính, nếu:
i) Ứng với mỗi phần tử x, y ∈ X ta có, theo một quy tắc nào đó, một
phần tử của X, gọi là tổng của x với y, được ký hiệu x + y; ứng với mỗi
phần tử x của X và mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó, một
phần tử của X gọi là tích của x với α và được ký hiệu αx.
ii) Các quy tắc nói trên thoả mãn 8 tiên đề về tính chất của phép cộng
hai phần tử, phép cộng phần tử và phép nhân phần tử với số.
Định nghĩa 1.1.2.2. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc
P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, gọi là chuẩn và kí
hiệu là ||.||, thoả mãn các tiên đề sau:
i) (∀x ∈ X) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ;
ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) ||αx|| = |α|||x||;
iii) (∀x, y ∈ X) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Số ||x|| được gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định
chuẩn là X. Các tiên đề i),ii),iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véctơ bất kỳ x, y ∈ X
ta đặt
ρ(x, y) = ||x − y||
Khi đó ρ là một metric trên X.
Ta thấy rằng mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric ρ(x, y) = ||x − y||. Do đó mọi khái niệm ,
mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian
định chuẩn. Nên trong phần này ta chỉ nhắc lại một số kiến thức cần
dùng.
Định nghĩa 1.1.2.3. Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X
là một dãy {x
n

} ∈ X sao cho lim
m,n→∞
||x
n
− x
m
|| = 0.
16
Định nghĩa 1.1.2.4. Trong không gian định chuẩn X mọi dãy cơ bản
đều hội tụ (tức là : ||x
n
− x
m
|| → 0 khi đó ∃x
0
∈ X sao cho x
n
→ x
0
)
thì không gian đó được gọi là không gian đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.2.5. Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian
Banach.
Ví dụ. a) Với số thực bất kỳ x ∈ R ta đặt
||x|| = |x|.
cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R
1
.
R
1

là không gian Banach.
b) Không gian tuyến tính R
k
là không gian định chuẩn, với chuẩn:
||x|| =




k

i=1
|x
i
|
2
.
Dễ thấy không gian R
k
là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.2.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P (P = R hoặc P = C), ánh xạ F : X → Y gọi là tuyến tính, nếu ánh
xạ F thoả mãn các điều kiện:
1) (∀x, x

∈ X) F (x + x

) = F x + F x

;

2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Fαx = αF x.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = P thì
toán tử tuyến tính F thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2.7. Cho không gian định chuẩn X trên trường P
(P = R hoặc P = C). Ta gọi không gian (X, P ) các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay đối ngẫu)
của không gian X và kí hiệu X
∗
. Đó là một không gian tuyến tính, với
các phép toán tự nhiên:
(F
1
+ F
2
)(x) = F
1
(x) + F
2
(x),
17
(αF
1
)(x) = αF
1
(x).
Định nghĩa 1.1.2.8. Không gian liên hợp của không gian X
∗
gọi là
không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu
X

∗∗
.
Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ, nếu X = X
∗∗
.
Ta có nhận xét không gian phản xạ là không gian Banach.
Tiếp theo ta có khái niệm tôpô yếu trên không gian định chuẩn.
Cho không gian định chuẩn X, X
∗
là không gian liên hợp của không
gian X. Với mỗi x ∈ X ta xét họ V
x
tất cả các tập con của không gian
X có dạng:
V
x
= V (x; f
1
, f
2
, , f
n
) = {y ∈ X : |f
j
(y) −f
j
(x)| < , j = 1, 2, , n},
trong đó n là số nguyên dương tuỳ ý; f
1
, f

2
, , f
n
là n phần tử tuỳ ý của
không gian X
∗
,  là dương tuỳ ý.
Dễ dàng kiểm tra họ V
x
có các tính chất:
1) Với mọi x ∈ X, V
x
= ∅, mọi V
x
∈ V
x
khi đó suy ra x ∈ V ;
2) Nếu V
1
∈ V
x
, V
2
⊃ V
1
thì V
2
∈ V
x
;

3) Nếu ∀V
1
, V
2
∈ V
x
thì V
1
∩ V
2
∈ V
x
;
4) Với mỗi V ∈ V
x
có một W ∈ V
x
sao cho V ∈ V
x
cho mọi y ∈ W .
Khi đó tồn tại một tôpô duy nhất trên không gian X sao cho tại
mỗi điểm x ∈ X họ V
x
là một cơ sở lân cận của điểm x. Tôpô này gọi là
tôpô yếu trên không gian X. Kí hiệu tôpô đó là τ(X, X
∗
).
1.1.3 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.3.1. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X trên
trường P (P là trường số thực hoặc phức). Ánh xạ ., . : X × X → P

được gọi là tích vô hướng trên X nếu thoả mãn:
i) x, y = y, x (trong trường số phức x, y = y, x) , ∀x, y ∈ X.
18
ii) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X.
iii) λx, z = λ x, z, ∀λ ∈ P .
iv) x, x ≥ 0; x, x = 0 khi và chỉ khi x = θ.
Số x, y như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y.
Ta có một số tính chất cơ bản sau:
i) (∀x ∈ X) θ, x = 0.
ii) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) x, αy = ¯α x, y.
iii) (∀x, y, z ∈ X) x, y + z = x + y+ x + z.
Định nghĩa 1.1.3.2. Không gian tuyến tính thực X mà trong đó có
xác định một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu ta định nghĩa ||x|| =
√
< x, x > tức là xác định một chuẩn
trong không gian X, nói cách khác không gian tiền Hilbert định nghĩa
như trên là một không gian định chuẩn, do đó trên đó có thể định nghĩa
dãy cơ bản và tính đầy đủ. Từ đây mọi khái niệm và sự kiện về không
gian định chuẩn đều áp dụng cho nó.
Định nghĩa 1.1.3.3. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert
Ví dụ. Không gian R
n
với tích vô hướng x, y =
n

i=1
x
i

y
i
là không gian
Hilbert.
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff
Trong số các không gian tuyến tính tôpô, một lớp không gian đặc
biệt quan trọng là các không gian lồi địa phương.
Ta nhắc lại định nghĩa tập lồi như sau:
Định nghĩa 1.1.4.1. Một tập con A của một không gian tuyến tính
gọi là lồi nếu :
x, y ∈ A, 0 ≤ α ≤ 1 ⇒ αx + (1 − α)y ∈ A.
19
Định nghĩa 1.1.4.2. Lân cận của một điểm x trong không gian tôpô
X là bất kỳ tập nào bao hàm một tập mở chứa x. Nói cách khác V là
lân cận của x nếu có một tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ V .
Một tập B
x
⊂ V
x
gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi V ∈ B
x
tồn tại một W ⊂ B
x
sao cho W ⊂ V .
Định nghĩa 1.1.4.3. Cho một tập X bất kì, ta nói một họ τ những tập
con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô ) trên X nếu:
(i) Hai tập ∅ và X đều thuộc họ τ .
(ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó.
(iii) Hợp của một số bất kỳ tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó.
Một tập X cùng với một tôpô τ trên X gọi là không gian tôpô

(X, τ).
Định nghĩa 1.1.4.4. Một tôpô τ trên không gian tuyến tính X tương
hợp với cấu trúc đại số nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong
tôpô đó, tức là nếu:
1) Với mọi lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận U
x
của x và
một lân cận U
y
của y sao cho nếu x

∈ U
x
, y

∈ U
y
thì x

+ y

∈ V .
2) Với mọi lân cận V của điểm αx đều có một số  > 0 và một lân cận
U của x sao cho |α

− α| < , x

∈ U thì α

x


∈ V .
Định nghĩa 1.1.4.5. Không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô
tương thích với cấu trúc đại số được gọi là không gian véctơ tôpô.
Định nghĩa 1.1.4.6. Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian
tôpô Hausdorff (không gian tách), nếu với mỗi x, y ∈ X, x = y bao giờ
cũng tồn tại lân cận U
x
của x và U
y
của y thoả mãn U
x
∩ U
y
= ∅.
Định nghĩa 1.1.4.7. Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không
gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương) nếu trong
X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi.
Định nghĩa 1.1.4.8. Không gian véctơ tôpô Hausdorff được gọi là
20
không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff nếu X có cơ sở lân
cận U (của gốc) gồm các tập lồi.
1.2 Nón và ánh xạ đa trị
Trong không gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được
với nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này không
có được ở các không gian khác. Muốn mở rộng các bài toán nhận giá
trị thực sang các bài toán nhận giá trị véctơ và đa trị người ta đưa vào
khái niệm mới có thể xây dựng những khái niệm tương tự của số thực,
số phức trong không gian tuyến tính, một phương pháp hữu hiệu để xây
dựng những khái niệm đó là đưa nón vào không gian tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Ta nói
rằng C là nón có đỉnh tại gốc (hay nói ngắn gọn là nón) trong Y nếu:
tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi.
Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. Kí hiệu l(C) = C ∩(−C).
Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0.
Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
Nón C được gọi là nón đúng nếu C + C \ l(C) ⊆ C.
Ta nói nón C được gọi là thoả mãn điều kiện (*) nếu tồn tại nón
lồi, đóng nhọn
¯
C với phần trong khác rỗng sao cho: C \ {0} ⊂ int
¯
C.
Định nghĩa 1.2.3. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Tập
B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C = cone(B), nếu
C = {tb |b ∈ B , t ≥ 0}.
21
Định nghĩa 1.2.4. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Tập
B ⊆ Y không chứa điểm gốc 0 và với mỗi c ∈ C , c = 0 đều tồn tại duy
nhất b ∈ B , t > 0 sao cho c = tb , B được gọi là cơ sở của nón C.
Nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập C = cone(conv(B)) được
gọi là nón đa diện.
Dễ thấy rằng, nếu C là nón đóng, thì C là nón đúng. Với nón C
cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần trên Y như sau:
x, y ∈ Y, x 
C
y nếu x − y ∈ C.
Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản x  y. Ký hiệu x  y,
nếu x −y ∈ C \ l(C) và x  y nếu x − y ∈ intC.

Ta thấy quan hệ trên là một quan hệ thứ tự, nếu C là nón lồi, thì
quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và là quan hệ thứ tự từng phần trên
Y . Hơn nữa, nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối xứng,
nghĩa là nếu x  y và y  x, thì x = y.
Để hiểu rõ hơn các khái niệm trên chúng ta có các ví dụ minh hoạ
sau:
Ví dụ. a) Tập {0} và Y là nón trong không gian Y . Ta gọi chúng là
các nón tầm thường.
b) Cho R
n
là không gian Euclide n chiều, tập
C = R
n
+
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
j
≥ 0, j = 1, 2, , n}.
là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong R
n
.
Nếu lấy C = {x = (x
1

, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
1
≥ 0} thì C là nón lồi, đóng
nhưng không nhọn. Vì
l(C) = {x = (0, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
} = {0}.
Định nghĩa 1.2.5. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự
được sinh bởi nón lồi C. A là tập con khác rỗng của Y . Ta nói rằng
22
i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C
nếu y −x ∈ C với mọi y ∈ A.
Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là
IMin(A \ C) hoặc IMinA.
ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối
với nón C, nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C). Tập các điểm
hữu hiệu là P Min(A \ C) hay Min(A \ C) hoặc MinA.
iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C, nếu có
một x ∈ Min(A \ {0} ∪ intC). Tức là x là điểm hữu hiệu theo thứ tự
sinh bởi nón C

0
= {0}∪ intC. Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với
nón C được kí hiệu là W Min(A \ C) hoặc W MinA.
iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón
C nếu tồn tại nón lồi C

khác hoàn toàn không gian Y và chứa C \l(C)
trong phần trong của nó để x ∈ P Min(A \C

).
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu
là P rMin(A \ C) hoặc P rMinA.
Từ định nghĩa trên ta luôn có:
IMinA ⊂ P MinA ⊆ MinA ⊆ W MinA.
Cho X là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2
X
là tập gồm các tập con của
X.
Định nghĩa 1.2.6. Nếu với x ∈ X, F (x) gồm một phần tử của Y , ta
nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , ký hiệu là F : X → Y .
Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2
Y
được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào
Y . Ký hiệu F : X → 2
Y
.
Ta có các phép toán sau đối với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.2.7. Cho X, Y, Z, W là các tập bất kỳ. F
1
, F

2
: X → 2
Y
,
F : X → 2
Y
, G : Y → 2
Z
là các ánh xạ đa trị.
a) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F
1
, F
2
và ánh xạ bù của F là ánh xạ