Bao hàm thức vi phân bậc phân số với trễ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————————–
NGUYỄN VĂN QUANG
BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN
SỐ VỚI TRỄ VÔ HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————
NGUYỄN VĂN QUANG
BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ
VỚI TRỄ VÔ HẠN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế
Hà Nội, 2012
1
Lời cảm ơn
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần
Đình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình làm luận văn.
Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy
cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà
nội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt
1, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Văn Quang
2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn
và giúp đỡ tận tình của TS. Trần Đình Kế. Tôi xin cam đoan số
liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không
trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệu
tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa
được công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Quang
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Giải tích bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Không gian pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . 10
2 Bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc phân số 16
2.1 Tính giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Tính chất của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
Các kí hiệu
N tập hợp số tự nhiên
N
∗
tập hợp số tự nhiên khác 0
Z tập hợp số nguyên
Q tập hợp số hữu tỉ
R tập hợp số thực
C tập hợp số phức

MNC độ đo không compact
(u.s.c) nửa liên tục trên
4
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân bậc phân số là một hướng nghiên cứu của
giải tích bậc phân số( fractional calculus) được đề xuất bởi Leibniz
và Euler cuối thế kỉ XIX sau đó được phát triển tiếp bởi nhiều nhà
toán học trong đó có Laplace, Fourier, Abel, Liouville và Riemann.
Trên thực tế các phương trình tiến hóa bậc không nguyên có nhiều
ứng dụng trong các bài toán liên quan đến tính nhớt đàn hồi, điện
động học, Ở đó đạo hàm theo biến thời gian được thay bằng đạo
hàm bậc không nguyên.
Trong một thập kỷ trở lại đây, lý thuyết phương trình tiến hóa bậc
phân số đã có những bước biến mạnh mẽ. Đã có rất nhiều kết quả về
tính giải được, dáng điệu nghiệm của những phương trình dạng
c
D
α
u(t) = f(t, u(t)),
hay bao hàm thức vi phân dạng
c
D
α
u(t) ∈ F (t, u(t)),
trong trường hợp α ∈ (0, 1] hoặc α ∈ (1, 2]. Ở đây
c
D
α

0
f(t) =
1
Γ(N − α)

t
0
(t − s)
N−α−1
f
(N)
(s)ds
là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, N là số nguyên dương sao
cho α ∈ (N − 1, N].
6
Các bài toán tương tự với đạo hàm bậc phân số Riemann-Liouville
cũng được nghiên cứu, trong đó đạo hàm Caputo được thay bởi đạo
hàm Riemann-Liouville:
D
α
0
f(t) =
1
Γ(N − α)
d
N
dt
N

t

0
(t − s)
N−α−1
f(s)ds.
Cũng giống như với phương trình vi phân thường bậc cao
u
(n)
(t) = f(t, u(t), u

(t), , u
(n−1)
(t)),
các kết quả về bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát dạng
c
D
α
0
u(t) ∈ F (t, u
t
, ∇
N
u)
trong đó ∇
N
u = (u, u

, , u
N−1
), u
t

là trễ, tức trạng thái lịch sử của
u tính đến thời điểm t : u
t
(s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0], còn ít được
biết đến.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,
được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Tiến sĩ Trần Đình Kế, tôi đã
chọn đề tài:
"BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ VỚI TRỄ VÔ
HẠN".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si nửa
tuyến tính đối với bao hàm thức bậc phân số với trễ vô hạn, tìm điều
kiện giải được và tính chất nghiệm của lớp bài toán này.
7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Xác lập điều kiện tồn tại nghiệm và cấu trúc tập hợp nghiệm;
+ Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng
quát với trễ vô hạn.
+ Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện giải được và các tính chất của
ánh xạ nghiệm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, giải tích
bậc phân số và độ đo không compact(MNC).
6. Dự kiến đóng góp mới
Tìm những điều kiện thích hợp đảm bảo giải được của bài toán
Cô-si đối với bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát. Chứng
minh tính ổn định của tập hợp nghiệm theo nghĩa ánh xạ nghiệm là

nửa liên tục trên theo tập giá trị ban đầu.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Giải tích bậc phân số
Ta bắt đầu với một số khái niệm của giải tích bậc phân số. Về lịch
sử của các khái niệm này, có thể tham khảo các tài liệu [21], [22], [26],
và [29].
Định nghĩa 1.1. Tích phân bậc α > 0 của hàm f ∈ L
1
(0, T; E) được
định nghĩa bởi
I
α
0
f(t) =
1
Γ(α)

t
0
(t − s)
α−1
f(s)ds,
trong đó Γ là hàm Gamma.
Tích phân sử dụng trong luận văn được hiểu theo nghĩa tích phân
Bochner.
Định nghĩa 1.2. Với f ∈ C
N
([0, T]; E), đạo hàm Caputo bậc α ∈
(N − 1, N] được định nghĩa bởi

C
D
α
0
f(t) =
1
Γ(N − α)

t
0
(t − s)
N−α−1
f
(N)
(s)ds.
8
9
Chú ý rằng có một số khái niệm về đạo hàm bậc phân số khác
nhau, trong đó hai khái niệm được sử dụng nhiều là đạo hàm Caputo
và đạo hàm Riemann-Liouville. Trong các bài toán ứng dụng liên quan
đến phương trình vi phân bậc phân số, điều kiện ban đầu thường liên
quan đến các đạo hàm nguyên u(0), u

(0), , do đó đạo hàm Caputo
là khái niệm phù hợp vì quá trình cầu phương làm xuất hiện các biểu
thức đối với u(0), u

(0), Cụ thể, với u ∈ C
N
([0, T]; E), ta có công

thức
C
D
α
0
I
α
0
u(t) = u(t), (1.1)
I
α
0
C
D
α
0
u(t) = u(t) −
N−1

k=0
u
(k)
(0)
k!
t
k
. (1.2)
1.2 Không gian pha
Cho B là một không gian tuyến tính, với nửa chuẩn | · |
B

, bao gồm
các hàm số từ (−∞, 0] vào E. Khái niệm không gian pha B cho các
phương trình với trễ, được đưa ra bởi Hale và Kato (xem [19]), bao
gồm các tiên đề: Nếu v : (−∞, T ] → E sao cho v|
[0,T ]
∈ C([0, T ]; E)
và v
0
∈ B, thì
(B1) v
t
∈ B với mọi t ∈ [0, T ];
(B2) hàm t → v
t
liên tục trên [0, T ];
(B3) |v
t
|
B
 K(t) sup{v(s)
E
: 0  s  t} + M(t)|v
0
|
B
, trong đó
K, M : [0, T ] → [0, ∞), K là hàm liên tục, M là hàm bị chặn, cả
hai hàm này không phụ thuộc v.
10
Sau đây là các ví dụ về không gian pha thỏa mãn các tiên đề nêu

trên.
(1) Với η > 0, ký hiệu B = C
η
là không gian các hàm liên tục
ψ : (−∞; 0] → E thỏa mãn lim
θ→−∞
e
ηθ
ψ(θ) với
|ψ|
B
= sup
−∞<θ≤0
e
ηθ
ψ(θ).
(2) (Không gian "giảm nhớ"). Ký hiệu B = C
ρ
là không gian các
hàm ψ : (−∞; 0] → E sao cho
(a) ψ liên tục trên [−r; 0], r > 0;
(b) ψ Đo được Lebesgue trên (−∞; r) và tồn tại hàm không âm
ρ : (−∞; −r) → R
+
thỏa mãn ρψ khả tích trên (−∞; r); hơn nữa
tồn tại hàm bị chặn địa phương P : (−∞; 0] → R
+
sao cho, với
mọi ξ ≤ 0, ρ(ξ + θ) ≤ P (ξ)ρ(θ) h.k.n θ ∈ (−∞; −r). Nửa chuẩn
xác định bởi

|ψ|
B
= sup
−r≤θ≤0
ψ(θ) +
−r

−∞
ρ(θ)ψ(θ)dθ.
Một trường hợp đơn giản là ρ(θ) = e
µθ
, µ ∈ R.
Có thể tìm hiểu thêm về không gian pha trong [19].
1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị
Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả của giải
tích đa trị sẽ sử dụng. Giả sử E là không gian Banach. Ký hiệu
• P(E) = {A ⊆ E : A = ∅},
11
• Pv(E) = {A ∈ P(E) : A là bị chặn},
• K(E) = {A ∈ P(E) : A là compact},
• Kv(E) = Pv(E) ∩ K(E).
Ta sử dụng khái niệm độ đo không compact sau đây (xem [20]).
Định nghĩa 1.3. Cho (A, ) là một tập sắp thứ tự bộ phận. Hàm
β : P(E) → A được gọi là độ đo không compact (MNC) trong E nếu
β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ P(E),
trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Một MNC β được gọi là
i) đơn điệu, nếu Ω
0
, Ω
1

∈ P(E), Ω
0
⊂ Ω
1
kéo theo β(Ω
0
)  β(Ω
1
);
ii) không kỳ dị, nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ P(E);
iii) bất biến đối với nhiễu compact, nếu β(K ∪Ω) = β(Ω) với mọi
tập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ P(E);
Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói rằng β là
iv) nửa cộng tính đại số, nếu β(Ω
0
+ Ω
1
)  β(Ω
0
) + β(Ω
1
) với
mỗi Ω
0
, Ω
1
∈ P(E);
v) chính quy, nếu β(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact tương
đối.
Một ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff,

thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên:
χ(Ω) = inf{ε : Ω có hữu hạn lưới ε}.
12
Chú ý rằng độ đo không compact Hausdorff cũng thỏa mãn các tính
chất sau:
• nửa thuần nhất: χ(tΩ)  |t|χ(Ω) với mỗi Ω ∈ P(E) và t ∈ R;
• trong không gian Banach tách được E, χ(Ω) = lim
m→∞
sup
x∈Ω
d(x, E
m
),
trong đó {E
m
} là dãy các không gian con hữu hạn chiều của E
sao cho E
m
⊂ E
m+1
, m = 1, 2, và
∞

m=1
E
m
= E.
Giả sử X là một không gian metric.
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ đa trị F : X → P(E) được gọi là:
i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F

−1
(V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V }
là tập mở của X với mọi tập mở V ⊂ E;
ii) đóng nếu đồ thị của nó Γ
F
= {(x, y) : y ∈ F(x)} là tập con
đóng của X × E;
(iii) compact nếu tập ảnh F(X) là compact tương đối trong E;
(iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact A ⊂ X
là compact.
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ đa trị F : X ⊂ E → K(E) được gọi là
nén ứng với MNC β (β-nén) nếu với mọi tập bị chặn Ω ⊂ X không
compact, ta có
β(F(Ω))  β(Ω).
Giả sử D ⊂ E là một tập con lồi, đóng của E và U
D
là một tập khác
rỗng, mở trong D. Ta định nghĩa
U
D
và ∂U
D
là bao đóng và biên của
U
D
theo tô-pô trong D.
13
Cho β là một MNC đơn điệu, không kỳ dị trong E. Ứng dụng của
khái niệm bậc tô-pô cho ánh xạ nén (xem [20]) cho ta các định lý điểm
bất động sau đây.

Định lý 1.1 ([20, Corollary 3.3.1]). Giả sử M là một tập lồi, đóng,
bị chặn trong E và F : M → Kv(M) là ánh xạ đa trị u.s.c. và β-nén.
Khi đó tập các điểm bất động của F, Fix F := {x : x ∈ F(x)} là khác
rỗng và compact.
Định lý sau đây là một phiên bản của định lý Leray-Schauder cổ
điển.
Định lý 1.2 ([20, Corollary 3.3.3]). Giả sử U
D
là một lân cận mở, bị
chặn của điểm a ∈ D và F : U
D
→ Kv(D) là ánh xạ u.s.c và β-nén,
thỏa mãn điều kiện biên
x − a ∈ λ(F(x) − a)
với mọi x ∈ ∂U
D
và 0 < λ  1. Khi đó Fix F là tập khác rỗng và
compact.
Định nghĩa 1.6. Giả sử G : [0, T ] → K(E) là hàm đa trị và p  1.
Khi đó G được gọi là
• L
p
-khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích bậc p theo nghĩa Bochner.
Nghĩa là có hàm g : [0, T] → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp
t ∈ [0, T ] sao cho

T
0
g(s)
p

E
ds < ∞;
• L
p
-bị chặn, nếu có hàm ξ ∈ L
p
([0, T]) sao cho
G(t) := sup{g
E
: g ∈ G(t)}  ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ].
14
Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là S
p
G
.
Hàm đa trị G gọi là đo được nếu G
−1
(V ) đo được (ứng với độ
đo Lebesgue trên J := [0, T]) với mỗi tập mở V của E. Ta nói G
là đo được mạnh nếu có một dãy các hàm bậc thang G
n
: [0, T] →
K(E), n = 1, 2, sao cho
lim
n→∞
H(G
n
(t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, T],
trong đó H là khoảng cách Hausdorff trên K(E).
Ta biết rằng, khi E là không gian tách được, ta có các khẳng định

sau tương đương (xem [20]):
1. G là đo được;
2. với tập đếm được trù mật {x
n
} của E, hàm ϕ
n
: [0, T ] → R, định
nghĩa bởi
ϕ
n
(t) = d(x
n
, G(t)),
là đo được;
3. G có biểu diễn Castaing: tồn tại họ {g
n
} các hàm chọn đo được
của G sao cho
∞

n=1
g
n
(t) = G(t)
với hầu khắp t ∈ [0, T];
4. G là đo được mạnh.
Ngoài ra, nếu G đo được và L
p
-bị chặn, thì nó L
p

-khả tích. Nếu G
là L
p
-khả tích trên [0, d] với p ≥ 1, thì G cũng L
1
-khả tích. Khi đó, ta
15
có hàm t →

t
0
G(s) ds xác định bởi

t
0
G(s) ds :=


t
0
g(s) ds : g ∈ S
1
G

, ∀t ∈ [0, d].
Ước lượng theo độ đo (χ-ước lượng, χ là MNC Hausdorff), tương
tự như trong [20, Định lý 4.2.3] sẽ được sử dụng.
Bổ đề 1.1. Giả sử E là không gian Banach tách được và G : [0, d] →
P(E) là L
p

-khả tích, L
p
-bị chặn sao cho
χ(G(t))  q(t)
với khầu khắp t ∈ [0, d], q ∈ L
p
+
([0, d]). Khi đó
χ


t
0
G(s)ds



t
0
q(s)ds
với mọi t ∈ [0, d]. Nói riêng, nếu G : [0, d] → K(E) đo được và L
p
-bị
chặn thì hàm χ(G(·)) khả tích và,
χ


t
0
G(s)ds




t
0
χ(G(s))ds
với mọi t ∈ [0, d].
Chương 2
Bài toán Cô-si với phương trình vi
phân bậc phân số
2.1 Tính giải được
Giả sử E là không gian Banach. Xét bài toán Cô-si sau
C
D
α
u(t) ∈ F (t, u
t
, ∇
N
u), t ∈ J := [0, T ], (2.1)
∇
N
u(0) = U
0
, (2.2)
u(s) = ϕ(s), s ∈ (−∞, 0), (2.3)
trong đó N ≥ 1 là số nguyên dương, α ∈ (N −1, N], u : (−∞, T] → E
là ẩn hàm,
C
D

α
là ký hiệu đạo hàm Caputo, ∇
N
u = (u, u

, , u
(N−1)
)
và F : [0, T ] × B × E
N
→ P(E) là hàm đa trị với giá trị lồi, compact.
Ở đây P(E) ký hiệu tập tất cả các tập con khác rỗng của E, B là
không gian pha chứa trễ và u
t
∈ B là trạng thái lịch sử của hàm u tính
đến thời điểm t, tức là u
t
(s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0]. Dữ kiện ban
đầu U
0
= (u
0
, u
1
, , u
N−1
) được cho trong E
N
và hàm ϕ ∈ B được cho
thỏa mãn điều kiện ϕ(0) = u

0
.
16
17
Xét hàm phi tuyến đa trị F : [0, T ] × B × E
N
→ Kv(E) trong bài
toán (2.1)-(2.3).
Định nghĩa 2.1. Ta nói rằng F thỏa mãn điều kiện Carathéodory
nếu
1. hàm F (., ζ, U) : [0, T] → Kv(E) có hàm chọn đo được mạnh với
mỗi (ζ, U) ∈ B × E
N
, và
2. hàm F (t, ., .) : B × E
N
→ Kv(E) là nửa liên tục trên với hầu
khắp t ∈ [0, T].
Hàm F được gọi là L
p
-bị chặn địa phương nếu với mỗi r > 0, tồn tại
hàm ω
r
∈ L
p
([0, T]) sao cho
F (t, ζ, U) = sup{z
E
: z ∈ F (t, ζ, U)}  ω
r

(t)
với mọi (ζ, U) ∈ B × E
N
thỏa mãn |ζ|
B
+ U
E
N
 r.
Ký hiệu C
E
(−∞, T) là không gian tuyến tính bao gồm các hàm
u : (−∞, T] → E thỏa mãn điều kiện
u
0
∈ B và u|
[0,T ]
∈ C
N−1
([0, T]; E),
với nửa chuẩn
u
C
E
(−∞,T )
= |u
0
|
B
+ u

C
N−1
([0,T ];E)
.
Với u ∈ C
E
(−∞, T), xét hàm hợp đa trị
Φ
F
: [0, T ] → Kv(E), Φ
F
(t) = F (t, u
t
, ∇
N
u(t)).
Theo các tiên đề về không gian pha, ta có t → u
t
∈ B là hàm liên tục.
Hơn nữa, hàm ∇
N
u : [0, T] → E
N
cũng liên tục. Vậy Φ
F
là L
p
-khả tích
18
nếu F thỏa mãn điều kiện Carathéodory và L

p
-bị chặn địa phương.
Chứng minh khẳng định này tương tự như trong [20, Định lý 1.3.5].
Từ đó, ta có thể định nghĩa trên C
E
(−∞, T) hàm P
F
xác định bởi
P
F
(u) = {φ ∈ L
p
(0, T; E) : φ(t) ∈ F (t, u
t
, ∇
N
u(t)) với hầu khắp t ∈ [0, T]}.
Ta có khẳng định sau đây về tính đóng yếu của P
F
, chứng minh tương
tự như [20, Bổ đề 5.1.1].
Bổ đề 2.1. Giả sử {u
n
} là một dãy trong C
E
(−∞, T) hội tụ đến
u
∗
∈ C
E

(−∞, T) và dãy {φ
n
} ⊂ L
p
(0, T; E), φ
n
∈ P
F
(u
n
) hội tụ yếu
đến φ
∗
. Khi đó φ
∗
∈ P
F
(u
∗
).
Trong phần tiếp theo, giả sử E là một không gian Banach tách
được. Ta đưa ra khái niệm nghiệm yếu của bài toán (2.1)-(2.3), dựa
trên công thức (1.2), như sau:
Định nghĩa 2.2. Với τ ∈ (0, T ], hàm u ∈ C
E
(−∞, τ) gọi là một
nghiệm yếu của bài toán (2.1)-(2.3) trong khoảng (−∞, τ] nếu nó thỏa
mãn phương trình tích phân
u(t) =










ϕ(t), với t  0,
N−1

k=0
t
k
k!
u
k
+
1
Γ(α)

t
0
(t − s)
α−1
φ(s)ds với t ∈ [0, τ],
trong đó φ ∈ P
F
(u).
Ta giả thiết hàm đa trị F trong bài toán (2.1)-(2.3) có các tính

chất sau:
(F1) F : [0, T ] × B × E
N
→ Kv(E) thỏa mãn điều kiện Carathéodory;
19
(F2) F là L
p
-bị chặn cục bộ với p >
1
α−N+1
;
(F3) tồn tại hàm k ∈ L
p
(0, T) sao cho với mỗi tập bị chặn Q ⊂ B và
Ω
j
⊂ E, j = 0, , N − 1, ta có
χ

F (t, Q,
N−1

j=0
Ω
j
)

 k(t)

ψ(Q) +

N−1

j=0
χ(Ω
j
)

,
trong đó
ψ(Q) = sup
θ0
χ(Q(θ)), (2.4)
Q(θ) = {q(θ) : q ∈ Q}.
Nhận xét 2.1. Trong trường hợp E = R
m
, điều kiện (F 3) suy ra
từ (F 2). Thật vậy, điều kiện L
p
-bị chặn cục bộ của F suy ra tập
F (t, Q,

N−1
j=0
Ω
j
) bị chặn trong R
m
với hầu khắp t ∈ [0, T ], và do đó
nó là tập compact tương đối.
Nếu dim(E) = +∞, thì điều kiện sau đây sẽ suy ra (F 3):

F (t, ., .) : B × E
N
→ Kv(E)
là hoàn toàn liên tục với hầu khắp t ∈ [0, T ], tức là, F (t, ., .) biến mỗi
tập bị chặn B × E
N
thành tập compact tương đối trong E.
Cho trước τ ∈ (0, T ], đặt
S : L
p
(0, τ; E) → C([0, τ]; E),
S(φ)(t) =
1
Γ(α)

t
0
(t − s)
α−1
φ(s)ds,
(2.5)
u
∗
(t) =










ϕ(t) nếu t  0,
N−1

k=0
t
k
k!
u
k
nếu 0  t  τ,
20
và
G(u) = u
∗
+ S ◦ P
F
(u). (2.6)
Ta thấy rằng u ∈ C
E
(−∞, τ) là một nghiệm yếu của bài toán (2.1)-
(2.3) trong khoảng (−∞, τ] nếu và chỉ nếu nó là điểm cố định của G.
Từ đây, ta có thể giới hạn xét G trên tập D
τ
⊂ C
N−1
([0, τ]; E) xác
định bởi

D
τ
= {v ∈ C
N−1
([0, τ]; E), v(0) = u
0
= ϕ(0)}, (2.7)
bằng cách đặt G(v) = G(v[ϕ]), trong đó
v[ϕ](t) =





ϕ(t) nếu t  0,
v(t) nếu 0  t  τ.
Trước tiên ta chứng minh một số tính chất của S mà ta sẽ sử dụng
để nghiên cứu các tính chất quan trọng của toán tử G. Xét họ các
toán tử S
j
: L
p
(0, τ; E) → C([0, τ]; E), j = 0, 1, , N − 1 :, xác định
như sau:
S
0
= S. (2.8)
Nếu N > 1 thì
S
j

(φ)(t) =
d
j
dt
j
S(φ)(t) =
1
Γ(α − j)

t
0
(t−s)
α−j−1
φ(s)ds, j = 1, , N−1.
(2.9)
Mệnh đề 2.1. Các toán tử S
j
, j = 0, 1, , N −1 có các tính chất sau:
(S1) Tồn tại các hằng số C
j
> 0, j = 0, 1, , N − 1, sao cho
S
j
(ξ)(t)−S
j
(η)(t)
p
E
 C
p

j

t
0
ξ(s)−η(s)
p
E
ds, ξ, η ∈ L
p
(0, τ; E);
21
(S2) Với mỗi tập compact K ⊂ E và dãy {ξ
n
} ⊂ L
p
(0, τ; E) sao cho
{ξ
n
(t)} ⊂ K với hầu khắp t ∈ [0, τ], nếu ξ
n
 ξ
0
(hội tụ yếu) thì
S
j
(ξ
n
) → S
j
(ξ

0
) trong C([0, τ]; E) (hội tụ mạnh).
Chứng minh. (i) Sử dụng bất đẳng thức H¨older, ta có
S
j
(ξ)(t) − S
j
(η)(t)
E

1
Γ(α − j)

t
0
(t − s)
α−j−1
ξ(s) − η(s))
E
ds

1
Γ(α − j)


t
0
(t − s)
(α−j−1)p/(p−1)
ds


p−1
p


t
0
ξ(s) − η(s)
p
E
ds

1
p
.
Khi đó
S
j
(ξ)(t) − S
j
(η)(t)
p
E
 C
p
j

t
0
ξ(s) − η(s)

p
E
ds,
với
C
j
=

p − 1
(α − j)p − 1

p−1
p
T
α−j−
1
p
Γ(α − j)
.
Chú ý rằng (α − j)p − 1 > 0, j = 0, , N − 1 do p >
1
α−N+1
.
(ii) Để chứng minh (S2), không làm mất tính tổng quát, giả sử
{ξ
n
(t)} ⊂ E

với mọi t ∈ [0, τ], trong đó E


= spK là không gian
Banach tách được. Hơn nữa, {S
j
(ξ
n
)(t)} ⊂ E

với mọi t ∈ [0, τ] và
j = 0, 1, , N − 1. Từ đó, áp dụng Bổ đề 1.1 ta được
χ ({S
j
(ξ
n
) (t)}) ≤
1
Γ(α − j)

t
0
(t − s)
α−j−1
χ({ξ
n
(s)})ds = 0.
Do vậy, dãy {S
j
(ξ
n
)(t)}
∞

n=1
⊂ E là compact tương đối với mọi t ∈ [0, τ].
22
Mặt khác, ta có
S
j
(ξ
n
)(t
2
) − S
j
(ξ
n
)(t
1
)
E
=
1
Γ(α − j)


t
2
0
(t
2
− s)
α−j−1

ξ
n
(s)ds −

t
1
0
(t
1
− s)
α−j−1
ξ
n
(s)ds
E

1
Γ(α − j)


t
2
t
1
(t
2
− s)
α−j−1
ξ
n

(s)ds
E
+
1
Γ(α − j)


t
1
0
[(t
2
− s)
α−j−1
− (t
1
− s)
α−j−1
]ξ
n
(s)ds
E
.
Do {ξ
n
(s)} ⊂ K với hầu khắp s ∈ [0, τ], vế phải của bất đẳng thức
trên tiến tới 0 khi t
2
→ t
1

đều theo n. Vậy {S
j
(ξ
n
)} là tập liên tục
đồng bậc. Từ định lý Arzela-Ascoli, ta có dãy {S
j
(ξ
n
)} ⊂ C([0, τ]; E)
là tập compact.
Tính chất (S1) đảm bảo rằng mỗi toán tử S
j
: L
p
(0, τ; E) →
C([0, τ]; E), j = 0, , N − 1, là tuyến tính bị chặn. Khi đó chúng
liên tục theo sự hội tụ yếu, tức là nếu ξ
n
 ξ
0
thì S
j
(ξ
n
)  S
j
(ξ
0
).

Chú ý rằng {S
j
(ξ
n
)} là tập compact tương đối, ta có thể kết luận rằng
S
j
(ξ
n
) → S
j
(ξ
0
) (hội tụ mạnh) trong C([0, τ]; E).
Ta có mệnh đề sau (chứng minh nó sử dụng lý luận trong chứng
minh của [20, Định lý 4.2.1, Hệ quả 4.2.1, Chú ý 4.2.1 và 4.2.2]).
Mệnh đề 2.2. Giả sử dãy {ξ
n
} ⊂ L
p
(0, τ; E) là L
p
-bị chặn tích phân:
ξ
n
(t)
E
 ν(t), với mọi n = 1, 2, và khầu khắp t ∈ [0, τ],
ở đó ν ∈ L
p

(0, τ). Giả sử rằng
χ({ξ
n
(t)})  q(t)
23
với hầu khắp t ∈ [0, τ], với q ∈ L
p
(0, τ). Khi đó với mọi δ > 0 tồn tại
tập compact K
δ
⊂ E, tập m
δ
⊂ [0, τ], meas(m
δ
) < δ và một dãy hàm
G
δ
⊂ L
p
(0, τ; E) với giá trị trong K
δ
, sao cho với mọi n  1 tồn tại
b
n
∈ G
δ
thỏa mãn
ξ
n
(t) − b

n
(t)
E
 2q(t) + δ, t ∈ [0, τ]\m
δ
.
Hơn nữa, có thể chọn dãy {b
n
} sao cho b
n
= 0 trên m
δ
và dãy này là
compact yếu.
Sử dụng kết quả này, ta sẽ chứng minh mệnh đề:
Mệnh đề 2.3. Cho dãy {ξ
n
} ⊂ L
p
(0, τ; E) thỏa mãn các điều kiện
của Mệnh đề 2.2. Khi đó ta có
χ({S
j
(ξ
n
)(t)})  2C
j


t

0
|q(s)|
p
ds

1
p
, j = 1, , N − 1,
với mỗi t ∈ [0, τ].
Chứng minh. Ta sẽ dựa vào kỹ thuật chứng minh của [20, Định lý
4.2.2] với một chút thay đổi phù hợp. Với mỗi  > 0, chọn δ ∈ (0, )
sao cho với mọi m ⊂ [0, τ], với meas(m) < δ, ta có

m
|ν(s)|
p
ds < .
Lấy m
δ
và {b
n
} ứng với {ξ
n
} từ Mệnh đề 2.2, sử dụng Mệnh đề 2.1 ta
có, dãy {S
j
(b
n
)}, j = 0, , N −1 compact tương đối trong C([0, τ]; X).