Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp 2

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Thầy luôn hướng dẫn
nhiệt tình và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm trong quá trình
học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy gi áo, cô
giáo trong nhà trườ ng và các thầy, cô giáo g iảng dạy chuyên ngà nh To án
Giải tích đã g iúp đỡ tác gi ả trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Cuối cùng, tác giả xin được cả m ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn
thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Đỗ Thị Hương
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Đỗ Thị Hương
Mục lục
Mở đầu 5
Chương 1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 8
1.1. Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Định lý điểm bất động Leray-Schauder . . . . . . . . . . 14

1.3.1. Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER
VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPT IC Á TUYẾN TÍNH
CẤP HAI 18
2.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange . . . . . . 19
2.1.3. Ví dụ 2: Phương trình mặt cực tiểu . . . . . . . . 21
2.2. Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phươ ng trình
elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Đánh giá tiên nghiệm H¨older đối với nghiệm bài
toán Dirichlet và các đạo hàm cấp một của nó . . 21
2.2.2. Áp dụng dạng đặc biệt của định lý Leray-Schauder 25
2.2.3. Áp dụng Định lý Leray-Schauder dạng tổng quát 30
4
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclid n-chiều
R
n
+
nửa không gian R
n
= {x ∈ R
n
|x

n
> 0}
∂S tập của các điểm trên biên của tập S
¯
S bao đóng của S,
¯
S = ∂S ∪ S
C
0
(Ω) tập các hàm liên tục trên Ω
C
0
(
¯
Ω) tập các hàm liên tục trên
¯
Ω
C
k
(Ω) tập các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k trong Ω
(k ≥ 0, k ∈ Z hoặc k = ∞)
C
k
(
¯
Ω) tập tất cả các hàm trong C
k
(Ω) có đạo hàm đến cấp ≤ k
liên tục trong
¯

Ω
C
k
0
(Ω) tập các hàm trong C
k
(Ω) có giá compact trong Ω
B
R
(x
0
) hình cầu tâm x
0
bán kính R trong R
n
C(∗, ., ∗) hằng số C chỉ phụ thuộc vào các đại lượng bên trong
dấu ngoặc đơn
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng
của ngành giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên
lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930).
Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa
trên lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ l iên tục trong không gian hữu hạn
chiều. Đây cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của
tôpô đại số và làm nền móng cho các hướng ng hiên cứu tiếp theo của
nhiều nhà toán học, dẫn đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm
bất động Schauder chính là một mở rộng của nguyên lý điểm bất động
Brouwer cho không gian vô hạn chi ều (áp dụng cho không gian Banach).
Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ trong các

không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩ nh vực
và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: lý thuyết điểm bất động.
Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người ta
còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháp
tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng .
Mặt khác, trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, các định lý
điểm bất động thường được ứng dụng trong việc chứng minh sự tồn tại
nghiệm của cá c bài toán, như bài toán biên, bài toán Cauchy hoặc bài
toán biên-giá trị ban đầu. Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm của
các phương trình hoặc các bài toán sẽ được dùng để kiểm tra các giả
thiết của các định lý điểm bất động. Một đánh giá tiên nghiệm là một
đánh giá đối với nghiệm u(x) thông qua các hệ số, vế phải của phương
7
trình và các dữ kiện của bài toán, trên cơ sở giả thiết nghiệm tồn tại.
Việc nghiên cứu các định lý điểm bất động và ứng dụng của nó là
một vấn đề có ý nghĩa quan trọng. Trong luận văn này tôi đã chọn đề
tài: “Các định lý đ iểm bất động và ứng dụng vào phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai”.
Nội dung cơ bản của luận văn được dựa trên chương 11 của tài liệu
[5].
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của định lý điểm bất động, sau đó
nêu ra ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu tính giải được của bài toán
biên Dirichlet cho phương trình elli ptic á tuyến tính cấp hai.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm
sáng tỏ nội dung của các định lý đi ểm bất động và ứng dụng cho phương
trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kết quả về các định lý điểm bất động, một số ứng dụng của nó

cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Cụ thể l uận văn gồm 2
chương:
Chương 1: Một số định lý điểm bất động.
Chương 2: Ứng dụng Định lý Leray-Schauder vào phương trình el-
liptic á tuyến tính cấp hai.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tài liệu, sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm,
8
Phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu một số định lý điểm bất
động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày hệ thống các vấ n đề nghiên cứu.
Chi tiết hoá các chứng minh trong tài liệu.
Chương 1
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG
1.1. Định lý điểm bất động Brouwer
Định lý điểm bấ t động Brouwer là một định lý quan trọng về
điểm bất động. Nó khẳng đị nh một ánh xạ từ tập lồi đóng, bị chặn
trong không gian hữu hạn chiều và o chính nó thì có một điểm bất động.
Định lý điểm bất động dưới đây được xét trong không gian R
n
. Để chứng
minh ta cần có bổ đề:
Bổ đề 1.1. Cho f là một hàm véc tơ cột khả vi vô hạn của n+1 biế n
(x
0
, , x
n
) với những giá trị thuộc R

n
. Kí hiệu D
i
là đạo hàm riêng của
định thức n cột f
x
0
, , f
x
i−1
, f
x
i+1
, , f
x
n
. Khi đ ó:
n

i=0
(−1)
i
∂
∂x
i
D
i
= 0. (1.1)
Chứng minh. Với ∀ (i, j) ∈ N, 0 ≤ i, j ≤ n, i = j, ký hiệu C
ij

là định
thức mà cột đầu là f
x
i
x
j
và các cột còn lại là f
x
0
, , f
x
n
sắp xếp theo thứ
tự tăng dần và f
x
i
, f
x
j
bị bỏ qua khi liệt kê. Rõ ràng C
ij
= C
ji
, do phép
lấy vi phân các cột của định thức được hoán vị cho nhau nên ta có:
∂
∂
x
i
D

i
=

j<i
(−1)
j
C
ij
+

j>i
(−1)
j−1
C
ij
.
Hơn nữa
(−1)
i
∂
∂
x
i
D
i
=
n

i=0
(−1)

i+j
C
ij
σ (i, j) ,
10
ở đó σ (i, j) = 1 nếu j < i, σ (i, j) = 0 nếu i = j, σ (i, j) = −1 nếu j > i.
Khi đó
n

i=0
(−1)
i
∂
∂x
i
D
i
=
n

i,j=0
(−1)
i+j
C
ij
σ (i, j) .
Đổi chỗ các chỉ số i, j trong biểu thức cuối cùng và sử dụng σ (i, j) =
−σ (j, i), ta có
n


i,j=0
(−1)
i+j
C
ij
σ (i, j) =
n

i,j=0
(−1)
j+i
C
ij
σ (j, i)
= (−1)
n

i,j=0
(−1)
i+j
C
ij
σ (i, j) .
Từ đây, ba biểu thức bằng nhau trong các đẳng thức trên phải bằng
0, ta suy ra công thức (1.1) được chứng minh.
Định lý 1.1. (Brouwer) Nế u φ là một ánh xạ liên tụ c từ hình cầu đơn
vị đóng B = {x ∈ X, |x | ≤ 1} tro ng R
n
vào chính nó thì có một đ i ể m
bất động, tức là ∃y ∈ B : φ (y) = y.

Chứng minh. Ta xét ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều R
n
, theo
định lý x ấp xỉ Weierstrass cho các hàm liên tục của n biến nói rằng,
với mỗi ánh xạ φ li ên tục của B vào chính nó là g iới hạn đều của một
dãy (φ
k
) của các ánh xạ khả v i vô hạn l ần của B vào chính nó. Giả sử
định lý này được chứng minh với cá c ánh xạ khả vi vô hạn lần thì với
mỗi số nguyên k có một điểm y
k
∈ B thoả mãn φ
k
(y
k
) = y
k
. Từ B là
compact, với mỗi dãy con (y
k
i
) hội tụ tới mộ t điểm y tr ong B. Khi đó
lim
i→∞
φ
k
i
(x) = φ(x) đều trên B thì
φ (y) = lim
i→∞

φ
k
i
(y
k
i
) = lim
i→∞
y
k
i
= y.
11
Định lý này cũng đúng trong trường hợp φ là hàm khả vi vô hạn lần. Gi ả
sử φ là ánh xạ khả vi vô hạn lần của B vào chính nó và φ (x) = x, x ∈ B
Đặt a = a (x ) là nghiệm rộ ng hơn của phương trình bậc hai
|x + a(x − φ (x))|
2
= 1
Ta có:
1 = (x + a (x − φ (x)) , x + a (x − φ (x)))
= |x|
2
+ 2a (x, x − φ (x)) + a
2
|x − φ (x)|
2
.
Áp dụng công thức bậc hai
a (x) |x − φ (x)|

2
= (x, φ (x) − x)
+

(x, x − φ (x))
2
+

1 − |x|
2

|x − φ (x)|
2

1
2
(1.2)
Khi |x − φ (x)| = 0 với x ∈ B thì biệt thức:
(x, x − φ (x))
2
+

1 − |x|
2

|x − φ (x)|
2
> 0
khi |x| = 1.
Trường hợp còn lạ i, nếu |x| = 1 thì (x, x − φ (x)) = 0, với các giá trị

khác thì ( x, φ (x)) = 1 và tích trong của hai véc tơ nhỏ hơn hoặc bằng
1. Độ dài của chúng bằng nhau khi và chỉ khi chúng bằng nhau. Từ đó
biệt thức khác 0 với x ∈ B.
Do hàm t
1
2
là hàm khả vi vô hạn lần theo t với t > 0 và |x − φ (x)| =
0, x ∈ B kéo theo từ công thức (1.2) có a (x) = 0 với |x| = 1 là hàm
khả vi vô hạn lầ n của x ∈ B. Ngoài ra theo công thức (1.2) có a (x) = 0
với |x| = 1. Bây giờ với mỗi t ∈ R đặt f (t; x) = x + ta (x) (x − φ (x)),
12
thì f là hàm khả vi vô hạ n lần của n + 1 biến t, x
1
, , x
n
∈ B. Từ
a (x) = 0 với |x| = 1 ta có f
t
(t, x) = 0 với |x| = 1. Trong trường hợp còn
lại f (0, x) = x và từ định nghĩa của a ta có |f (1, x)| = 1 với ∀x ∈ B.
Kí hiệu cột của định thức là véc tơ f
x
1
(t, x) , , f
x
n
(t, x) bởi
D
0
(t, x) và xét tích phân

I(t) =

B
D
0
(t, x)dx. (1.3)
Rõ ràng I (0) là tập của B và hơn nữa I (0) = 0. Từ f (1, x) là hàm
phụ thuộc thoả mãn |f (1, x)| = 1 kéo theo định thức Jacobian D
0
(1, x)
đồng nhất bằng 0, hơn nữa I (1) = 0. Điều này m âu thuẫn, yêu cầu
chứng minh sẽ đạt được nếu I(t) là số không đổi, nghĩa là I
′
(t) = 0.
Từ chứng minh này biểu thức dướ i dấu tích phân và biểu thức (1.1) kết
luận rằng I
′
(t) là tổng của tích phân
±

B
∂
∂x
i
D
i
(t, x) dx
ở đó D
i
(t, x) là các cột của định thức véc tơ

f
t
(t, x) , f
x
1
(t, x) , , f
x
i−1
(t, x) , f
x
i+1
(t, x) , , f
x
n
(t, x)
Áp dụng định lý Gauss ta có

B
∂
∂x
i
D
i
(t, x) dx =

∂B
D
i
(t, x) η
i

dω.
Vớ i x ∈ ∂B, |x| = 1 và
f
t
(t, x) = a(x)(x − φ(x))
ta chỉ ra rằng f
t
(t, x) = 0 với x ∈ ∂B, hơn nữa D
i
(t, x) = 0. Khi đó ta
cũng chỉ ra rằng I
′
(t) = 0, I là hằng số, I(1) = 0 = I(0). Điều này mâu
thuẫn, chứng tỏ x ∈ B sao cho φ(x) = x.
13
Mệnh đề 1.1. Ch o B =
¯
B(0, r) ⊂ R
n
là hình cầu đóng với bán kính r
và g
j
: B → R là các ánh xạ liên tục, j = 1, 2, . , n.
Nếu ∀x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
) ∈ R

n
, ||x|| = r và
n

j=1
g
j
(x)ξ
j
≥ 0 (1.4)
thì hệ phương trình
g
j
(x) = 0, j = 1, 2, , n (1.5)
có một nghiệm ˆx với ||ˆx|| ≤ r.
Chứng minh. Cho g(x) = (g
1
(x), , g
n
(x)) và giả thiết g(x) = 0 với
∀x ∈ B. Định nghĩa
f(x) = −
rg(r)
||g(x)||
với f là một ánh xạ liên tục của tập lồi compact B vào chính nó. Khi
đó tồn tại một điểm bất động ˜x của f với ˜x = f(˜x) = r. Ngoài ra

g
j
(˜x)ξ

j
= −
1
r
||g(˜x) || .

f
j
(˜x)ξ
j
= −
1
r
||g(˜x) || .

ξ
2
j
< 0.
Điều này mâu thuẫn với công thức (1.4) do đó mệnh đề được chứng
minh.
Hệ quả 1.1. Cho C là một tập lồi compact trong R
n
, f : C → C là án h
xạ liên t ục thì f có một điểm bất động.
Chứng minh. Cho r > 0, sao cho
¯
B(0, r) ⊃ C. Gi ả sử
˜
f : R

n
→ R
n
là
một mở rộng liên tục của f với
˜
f(R
n
) ⊂ coC t hì
˜
f

¯
B

0, r)) ⊂ coC = C ⊂
¯
B (0, r) ,
trong đó coC là bao lồi của tập C.
Khi đó
˜
f có mộ t điểm bất động ˆx trong C, bở i vì f (ˆx) = ˆx ∈ C. Thật
vậy, theo Định lý 1.1 t hì ∃ ˆx ∈ B (0, r) sao cho
˜
f (ˆx) = ˆx. Song do
˜
f(R
n
) ⊂ coC = C, nên ˆx ∈ C và
˜

f (ˆx) = f (ˆx) = ˆx.
14
1.2. Định lý điểm bất động Schauder
Định lý điểm bất động Schauder được mở rộng từ định lý điểm
bất động Brouwer từ không gian hữu hạn chiều lên không gian Banach.
Định lý 1.2. Cho S là một tập lồi compact trong không gian Banach B
và cho T là một ánh xạ liên tục của S vào chí nh nó. Khi đó T có một
điểm bất động, nghĩa là T x = x với x ∈ S.
Chứng minh. Cho k là một số nguyên dương (k ∈ N
∗
). Do S là compact,
tồn tạ i một tập hợp hữu hạn đi ểm x
1
, x
2
, , x
N
∈ S, ở đó N = N(k)
sao cho hình cầu
B
i
= B
1
k
(x
i
) ⊂ S, i = 1, 2, , N.
Cho S
k
⊂ S là bao lồi của {x

1
, x
2
, , x
N
} và định nghĩa ánh xạ J
k
:
S → S
k
xác định bởi
J
k
x =

dist

x, S − B
i

x
i

dist (x, S − B
i
)
.
Rõ ràng J
k
là liên tục với mỗi x ∈ S ta có:

||J
k
x − x|| ≤

dist

x, S − B
i

||x
i
− x||

dist (x, S − B
i
)
<
1
k
. (1.6)
Ánh xạ J
k
.T khi bị hạn chế trên S
k
là ánh x ạ liên tục của S
k
vào chính
nó, hơn nữa theo định lý đi ểm bất động Brouwer có một điểm bất động
x
(k)

. Do S là compact, một dãy con của dãy x
(k)
hội tụ tới x ∈ S. Với
áp dụng (1.6) cho T x
(k)
ta có:






x
(k)
− T x
(k)






=






J

k
.T x
(k)
− T x
(k)






<
1
k
,
và do T là liên tục, ta kết luận rằng T x = x.
15
Hệ quả 1.2. Cho S là một tập lồi đóng tro ng không gian Banach B và
cho T là một ánh xạ liên tục của S và o chính nó sao cho ảnh T S là
tiền compact. Khi đó T có một điểm bất động.
1.3. Định lý điểm bất động Leray-Schauder
1.3.1. Dạng đặc biệt
Định lý 1.3. C h o T là một ánh xạ compact c ủa mộ t không gian Banach
B vào chính nó và giả s ử tồn t ại mộ t hằng số M sao cho
||x||
B
< M (1.7)
với ∀x ∈ B và σ ∈ [0, 1] thoả mãn x = σ.T x. Khi đó T có một điểm bất
động.
Chứng minh. Không mất tính tổ ng quát ta giả sử M = 1. Ta đưa vào

ánh xạ T
∗
được định nghĩa bởi
T
∗
x =

T x nếu ||T x|| ≤ 1,
T x
||T x||
nếu ||T x|| ≥ 1.
(1.8)
Khi đó T
∗
là một ánh xạ liên tục của hình cầu đơn vị
¯
B tro ng B
vào chính nó . Do T
¯
B là tiền compact của T
∗
¯
B, hơn nữa bởi Hệ quả 1.2
ánh xạ T
∗
có một điểm bất độ ng x. Ta chứng minh x cũng là điểm bất
động của T . Giả sử ||T x|| ≥ 1 thì x = T
∗
x = σT x, với σ =
1

||T x||
và
||x|| = ||T
∗
x|| = 1. Theo ( 1.7) với M = 1, hơn nữa ||T x|| < 1 ta có
x = T
∗
x = Tx.
Hệ quả 1.3. Định lý 1.3 chỉ ra rằn g nếu T l à một ánh x ạ compact của
một không gi an Banac h vào chính nó, trong đó điều kiện (1.7) có th ể
không cần được thoả mãn thì với σ ∈ (0, 1] nào đó, ánh xạ σT có m ột
điểm bất động. Hơn nữa, nếu đánh giá (1.7) được thoả mãn thì σT có
một điểm bất động ∀σ ∈ [0, 1] .
16
Chứng minh. Cho T là ánh xạ compact
a) Giả sử (1.7) không được tho ả mã n thì ∃σ ∈ (0, 1] và ∃x ∈ B sao cho
σT x = x.
Thật vậy, giả sử ∀σ ∈ (0, 1] và ∀x ∈ B t hì
σT x = x. (1.9)
Khi đó (1.7) được thoả mãn. Theo định lý 1.3 thì ∃x ∈ B sao cho
T x = x. Do đó mâu thuẫn với (1.9) do nó được thoả mãn với σ = 1 .
b) Giả sử (1.7) được thoả mãn.
Ta chứng minh: ∀σ ∈ [0, 1] và ∃x ∈ B sao cho
σT x = x.
Đặt S = σT . Khi đó S là ánh xạ compa ct. Ta chứng minh S thoả mãn
(1.7).
Thật vậy, ta chứng minh ∃M
1
> 0 sao cho ∀x ∈ B, σ
1

∈ [0, 1] : x = σ
1
Sx
||x||
B
< M
1
.
Ta có
x = σ
1
Sx = σ
1
(σT ) x = σ
2
T x
với σ
2
∈ [0, 1].
Từ (1.7) suy ra
||x||
B
< M
tức là M
1
= M.
1.3.2. Dạng tổng quát
Định lý 1.4. Cho B là một không gian Banac h và cho T là một án h xạ
compact của B × [0, 1] vào B s a o cho T (x, 0) = 0 với ∀x ∈ B. Giả sử
17

tồn tại một h ằ ng số M thoả mãn
||x||
B
< M (1.10 )
với ∀(x, σ) ∈ B × [0 , 1] sao cho x = T (x, σ). Khi đó ánh xạ T
1
của B
vào chính nó xác định bởi T
1
x = T(x, 1) có một điểm bấ t động .
Nhận xét 1.1. Định lý 1.4 chứa Định lý 1.3 như là trường hợp đặc biệt,
trong đó vai trò của T (x, σ) là σT x.
Bổ đề 1.2. Giả sử B = B
1
(0) là hình cầu đơn vị trong B và cho T
là một ánh xạ liên t ục của
¯
B vào B sao cho T
¯
B là tiền compact và
T ∂B ⊂ B. Khi đ ó T có một đi ểm bất động.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ T
∗
là:
T
∗
x =

T x nếu ||T x|| ≤ 1,
T x

||T x||
nếu ||T x|| ≥ 1.
(1.11 )
Rõ ràng T
∗
là ánh xạ liên tục từ
¯
B vào chính nó và do T
¯
B là tiền
compact, cùng giá của T
∗
¯
B, hơn nữa bởi hệ quả 1.2, T
∗
có một điểm
bất động x và từ T ∂B ⊂ B ta có ||x|| < 1 và có x = T x.
Chứng minh Định lý 1.4: Giả sử cho M = 1 với 0 < ε ≤ 1, ta
định nghĩa ánh xạ T
∗
từ
¯
B vào B là:
T
∗
x = T
∗
ε
x =


T

x
||x||
,
1−||x||
ε

nếu 1 − ε ≤ ||x|| ≤ 1,
T

x
1−ε
, 1

nếu ||x|| ≤ 1 − ε.
(1.12 )
Ánh x ạ T
∗
rõ ràng là liên tục, T
∗
¯
B là tiền compact. Do tính com-
pact của T và T
∗
∂B = 0, hơn nữa bởi Bổ đề 1.2 ánh xạ T
∗
có một điểm
bất động x (ε). Bây giờ ta có tập: ε =
1

k
, x
k
= x

1
k

,
σ
k
=

k (1 − ||x
k
||) nếu 1 −
1
k
≤ ||x
k
|| ≤ 1,
1 nếu ||x
k
|| < 1 −
1
k
,
(1.13 )
18
ở đó k = 1, 2 , Do tính compact của T ta có thể giả thiết dãy {(x

k
, σ
k
)}
hội tụ trong B × [0, 1] tới (x, σ). Từ đó kéo theo σ = 1.
Nếu σ < 1 ta có x
k
 ≥ 1 −
1
k
với k đủ lớn và hơn nữa x = 1, x =
T (x, σ). Điều này mâu thuẫn với (1.10).
Vì σ = 1 và T là l iên tục nên T
∗
1
k
x
k
→ T (x, 1) và x cũng l à điểm
bất động của T
1
.
Chương 2
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ
LERAY-SCHAUDER VÀO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á
TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Trong chương này, trước ti ên ta phát biểu bài toán Dirichlet cho
phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Sau đó, ta đi nghiên cứu tính
giải được của bài toán Dir ichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính

cấp hai trên cơ sở về điểm bất động Định lý Leray-Schauder.
2.1. Bài toán Diri chlet cho phương t r ì nh ell iptic á
tuyến tính cấp hai
2.1.1. Phát biểu bài toán
Cho Ω ∈ R
n
là miền bị chặn.
Xét phương trình:
Qu = a
ij
(x, u, Du) D
ij
u + b (x, u, D u) = 0, x ∈ Ω (2.1)
trong đó
a
ij
(x, u, Du) ξ
i
ξ
j
≥ λ |ξ|
2
(2.2)
và
Du = (D
1
u, , D
n
u), D
ij

u =
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
, x = (x
1
, , x
n
).
Phương trình (2.1) được gọi là phương t rình elliptic á tuyến tính cấp
hai.
20
Bài toán đi tìm hà m u(x) t hỏa mãn phương trình (2.1) trong Ω
với điều kiện biên u(x) = ϕ( x), x ∈ ∂Ω là bài toán Dirichlet cho phương
trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
2.1.2. Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange
Xét bài toán biến phân sau:
Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
và F là hàm xác định trong
C
1
(Ω × R × R
n
) .
Xét phiếm hàm I trên C

0,1

¯
Ω

bởi
I (u) =

Ω
F (x, u, Du) dx. (2.3)
Bởi vì u ∈ C
0,1

¯
Ω

nên gradient Du tồn tại hầu khắp nơi, đo được và
bị chặn. Bây giờ giả sử ϕ là hàm xác định trên C
0,1

¯
Ω

và xét I(u) với
mọi hàm u trong tập
E =

u ∈ C
0,1


¯
Ω

| u = ϕ

trên ∂Ω.
Bây giờ ta xét bài toán biến phân sau:
P: Tìm u ∈ E sao cho I (u) ≤ I (v) với ∀v ∈ E. Giả sử u l à nghiệm
của P và cho η thuộ c không gian
E
0
=

η ∈ C
0,1

¯
Ω

| η = 0

trên ∂Ω,
thì hàm v = u + tη phải thuộc E với t ∈ R. Khi đó I (u) ≤ I (u + tη )
với ∀t ∈ R, hoặc định nghĩa P (t) = I (u + tη), ta có P (0) ≤ P (t) với
∀t ∈ R, và P có cực ti ểu tại 0, khi P
′
(0) = 0. Do phép lấy vi phân t a
được phương trình

Ω

{D
p
i
F (x, u, Du) D
i
η + D
z
F (x, u, Du) η} dx = 0 (2.4)
với ∀η ∈ E
0
, khi đó hàm u là nghiệm yếu của phương trình Euler-
Lagrange
Qu = divD
p
F (x, u, Du) − D
z
F (x, u, Du) = 0. (2.5)
21
Phương trình (2.5) là phương trình á tuyến tính cấp hai.
Ngoài ra, nếu F ∈ C
2
(Ω × R × R
n
) và u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
0,1

¯
Ω


, thì u là
nghiệm của bài t oán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω. Hơn
nữa, tính giải được của bà i toán P chính là tính giải được của bài toán
Dirichlet với phương trình (2.5 ).
Ta nó i phiếm hàm I là chính quy nếu hàm F là l ồi ngặt đối với
các biến p. Rõ ràng nếu F ∈ C
2
(Ω × R × R
n
), thì chính quy của I là
tương đương với tính elliptic của toán tử Euler-Lagrange Q. Bây giờ giả
sử u ∈ C
0,1
(Ω) thoả mãn (2.5) và u = ϕ trên ∂Ω. Thì ta có
P (t) = P (0) + t.P
′
(0) +
t
2
2
.P
′′
(ξ)
= P (0) +
t
2
2
.P
′′

(ξ)
với ξ sao cho |ξ| ≤ |t|. Nếu ta giả sử hàm F là lồi đối với z và p thì ma trận

D
p
i
p
j
F D
p
iz
F
D
p
jz
F D
zz
F

là không âm trong Ω × R × R
n
, ta có
P
′′
(ξ) =

Ω

D
p

i
p
j
F (x, u + ξη, Du + ξDη) D
i
ηD
j
η
+2D
p
iz
F (x, u + ξη, Du + ξDη) ηD
i
η
+D
zz
F (x, u + ξη, Du + ξD η) η
2
} dx ≥ 0,
và hơn nữa P (0) ≤ P (t) với ∀t ∈ R. Do đó hàm u là nghiệm của bài
toán biến phân P và ngoài ra, nếu I là chính quy thì u cố định duy nhất .
Định lý 2.1. Cho I là c hính quy với F là lồi đối với z và p. K hi đó
bài toán biến ph ân P có nhiề u nhất một nghiệm. Ngoài ra, tính giải
được của P là tương đương với tính giải được của bài toán Dirichlet với
22
phương trình Euler-Lagrange, Qu = 0, u = ϕ trê n ∂Ω, trong không gian
C
0,1

¯

Ω

.
2.1.3. Ví dụ 2: Phương trình mặt cực tiểu
Phương trình mặt cực tiểu có dạng
Qu = D
i



D
i
u

1 + |Du|
2



=
∆u

1 + |Du|
2
−
D
i
uD
j
uD

ij
u

1 + |Du|
2

3/2
= 0.
Đây là phương trình Euler-Lagrange đối với phiếm hàm diện tích sau
đây của một đường cong
I (u) = Area (graph u) =

Ω

1 + |Du|
2
.
Khi đó, với ∀ξ ∈ C
1
0
(Ω)
d
dt
I (u + tξ) |
t=0
=

Ω
D
i

u

1 + |Du|
2
D
i
ξ = −

Ω
Quξ = 0.
Bởi vì ξ là tuỳ ý nên Qu = 0 theo từng điểm trong Ω.
2.2. Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương
trình elliptic á tuyến tính cấp hai
2.2.1. Đánh giá tiên nghiệm H¨older đối với nghiệm bài toán
Dirichlet và các đạo hàm cấp một của nó
2.2.1.1. Trường hợp hai biến độc lập (n = 2)
Nếu u ∈ C
2
(Ω) thoả mãn phương trình elliptic
Qu = a
ij
(x, u, Du) D
ij
u + b (x, u, D u) = 0
trong Ω ⊂ R
2
, thì các đạo hàm w
1
= D
1

u, w
2
= D
2
u là nghiệm suy rộng
trong Ω của phương trình elliptic tuyến tính
L
1
w
1
= D
1

a
11
a
22
D
1
w
1
+
2a
12
a
22
D
2
w
2


+ D
22
w
1
= −D
1
b
a
22
,
23
L
2
w
2
= D
11
w
2
+ D
2

2a
12
a
11
D
1
w

2
+
a
22
a
11
D
2
w
2

= −D
2
b
a
11
.
Giả sử tồn tại các số dương λ
K
, Λ
K
và µ
K
sao cho các bất đẳng thức
sau được thoả mãn
0 < λ
K
< λ (x, z, p) ,
Λ
K

≥


a
ij
(x, z, p)


,
µ
K
≥ |b (x, z, p)|
với ∀x ∈ Ω, |z| + |p| ≤ K, i, j = 1, 2, trong đó λ (x, z, p) được xác định
bởi (2.2). Trong [5] đã đưa ra các đánh giá sau
Định lý 2.2. Ch o u ∈ C
2
(Ω) thoả mãn Qu = 0 trong Ω ⊂ R
2
, ở đó Q
là elliptic trong Ω và các hệ s ố a
ij
, b ∈ C
0

Ω × R × R
2

. Khi đó với mỗi
Ω
′

⊂⊂ Ω ta có đánh giá:
[Du]
β;Ω
′
≤ Cd
−β
,
ở đây
C = C(K, Λ
K
/λ
K
, µ
K
/λ
K
, diamΩ),
K = |u|
1;Ω
, d = dist

Ω
′
, ∂Ω

và
β = β (Λ
K
/λ
K

) > 0.
Định lý 2.3. Cho u ∈ C
2

¯
Ω

thoả mãn Qu = 0 trong Ω ⊂ R
2
, ở đó
Q l à elliptic trong
¯
Ω và các hệ số a
ij
, b ∈ C
0

¯
Ω × R × R
2

. Khi đó nếu
∂Ω ∈ C
2
, Q ∈ C
2

¯
Ω


và u = ϕ trên ∂Ω ta có đánh giá:
[Du]
β;Ω
≤ C,
ở đó
C = C(K, Λ
K
/λ
K
, µ
K
/λ
K
, Ω, φ),
K = |u|
1;Ω
, φ = |ϕ|
2;Ω
,
β = β (Λ
K
/λ
K
, Ω) > 0.
24
2.2.1.2. Trường hợp tổng quát (n ≥ 2)
Giả sử Q là toán tử elliptic của dạng
Qu = d i vA(x, u, Du) + B(x, u, Du) (2.6)
ở đó hàm véc tơ A ∈ C
1

(Ω × R × R
n
) và B ∈ C
0
(Ω × R × R
n
).
Nếu u ∈ C
1
(Ω) thoả mãn Qu = 0 trong Ω ta có

Ω
{A (x, u, Du) .Dξ − B (x, u, Du) ξ} dx = 0, ∀ξ ∈ C
1
0
(Ω) .
Lấy k, 1 ≤ k ≤ n, thay thế ξ bởi D
k
ξ và lấy tích phân từng phần ta
được

Ω

(D
pj
A
i
D
jk
u + δ

k
A
i
).D
i
ξ + BD
k
ξ

dx = 0, ∀ξ ∈ C
1
0
(Ω)
ở đó δ
k
là toán tử vi phân định nghĩa bởi
δ
k
A
i
(x, z, p) = P
k
D
z
A
i
(x, z, p) + D
x
k
A

i
(x, z, p)
và các biến của D
pj
A
i
, δ
k
A
i
và B là x, u(x), Du(x) . Hơ n nữa, ta ký hiệu
a
−ij
(x) = D
pj
A
i
(x, u (x) , Du (x))
f
i
k
(x) = δ
k
A
i
(x, u(x), Du(x)) + δ
i
k
B(x, u(x), Du (x))
và


δ
i
k

là ma trận đơn vị có đạo hàm w = D
k
u thoả mãn

Ω

a
−ij
(x)D
j
w + f
i
k
(x)

D
i
ξdx = 0, ∀ξ ∈ C
1
0
(Ω) ,
ở đó w là nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính
Lw = D
i


a
−ij
D
j
w

= −D
i
f
i
k
.
Ta có thể thay thế Ω bằng một miền con ngặt, nên có thể giả sử L là
elliptic ngặt t rong Ω và các hệ số a
−ij
, f
i
k
là bị chặn, chọn λ
K
, Λ
K
, µ
K
thoả mãn
0 < λ
K
≤ λ (x, z, p) ,
25
Λ

K
≥


D
pj
A
i
(x, z, p)


,
µ
K
≥


δ
j
A
i
(x, z, p)


+ |B(x, z, p)| ,
với ∀x ∈ Ω , |z| + |p| ≤ K, i, j = 1, , n, ta có các đánh giá ([5])
Định lý 2.4. Cho u ∈ C
2
(Ω) tho ả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q là
elliptic trong Ω và có dạng phân kỳ của (2.6) với A ∈ C

1
(Ω × R × R
n
),
B ∈ C
0
(Ω × R × R
n
). Khi đó ∀Ω
′
⊂⊂ Ω ta có đánh giá:
[Du]
β;Ω
′
≤ Cd
−β
,
ở đó
C = C(n, K, Λ
K
/λ
K
, µ
K
/λ
K
, diamΩ),
K = |u|
1;Ω
= sup

Ω
(|u| + |Du|),
d = dist

Ω
′
, ∂Ω

và
β = β (n, Λ
K
/λ
K
) > 0.
Định lý 2.5. Cho u ∈ C
2

¯
Ω

thoả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q là
elliptic trong
¯
Ω và có dạng phân kỳ của (2.6) với A ∈ C
1

¯
Ω × R × R
n


,
B ∈ C
0

¯
Ω × R × R
n

. Khi đó nếu ∂Ω ∈ C
2
và u = ϕ trên ∂Ω, ở đó
ϕ ∈ C
2

¯
Ω

ta có đánh giá:
[Du]
β;Ω
≤ C,
ở đó
C = C(n, K, Λ
K
/λ
K
, µ
K
/λ
K

, Ω, φ),
K = |u|
1;Ω
, φ = |ϕ|
2;Ω
, β = β (n, Λ
K
/λ
K
, Ω) > 0.