ứng dụng lí thuyết điểm bất động trong hình nón vào phương trình vi phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH






Lê Ngọc Cường







ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG HÌNH NÓN VÀO PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy PGS. TS Lê Hoàn Hóa lời cảm
ơn sâu sắc và chân thành nhất vì sự tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của Thầy dành
cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm
Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ
Chí Minh và trường Đại học Quốc Tế đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi
trong suốt khóa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô Phòng Khoa học Công nghệ
và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Tôi xin kính gửi đến UBND tỉnh Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, Sở Nội vụ,
Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bà Rịa – Vũng Tàu , Ban Giám Hiệu trường THPT
Ngô Quyền lời cảm ơn chân thành vì đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận
tiện để tôi học tập và nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô trường THPT Ngô
Quyền và đặc biệt là các Thầy trong Tổ Toán; các bạn học viên cao học Toán
K19 đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập
và làm luận văn.
Sau cùng tôi xin kính gửi đến gia đình tôi cùng những người thân tất cả

tình cảm yêu thương nhất và lòng tri ơn sâu sắc nhất, nơi đã tạo cho tôi niềm
tin và nghị lực và là chỗ dựa vững chắc nhất giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Trang 3

Vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và
sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Trang 4

LỜI CAM ĐOAN

Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và
tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các
khóa trước, tôi có sử dụng một số kết quả đã được chứng minh để hoàn thành
luận văn của mình nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có
và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Trang 5

MỤC LỤC
0TLỜI CẢM ƠN0T 2
0TLỜI CAM ĐOAN0T 4
0TMỤC LỤC0T 5
0TMỞ ĐẦU0T 7
0TChương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN0T 8
0T1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón0T 8
0T1.2 Nón chuẩn0T 9
0T1.3 Nón chính qui0T 10
0T1.4 Nón sinh0T 10
0T1.5 Nón liên hợp0T 12
0TChương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU0T 13

0T2.1 Điểm bất động của ánh xạ tăng.0T 13
0T2.2 Điểm bất động của ánh xạ giảm.0T 20
0T2.3 Cặp điểm bất động của ánh xạ đơn điệu hỗn tạp.0T 22
0TChương 3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ VÀO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
0T 25
0T3.1 Bất phương trình vi phân.0T 25
0T3.2 Tập hợp bất biến dòng.0T 32
0T3.3 Phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới.0T 37
0T3.4 Kỹ thuật lặp đơn điệu0T 42
0T3.5 Phương pháp tựa nghiệm trên, tựa nghiệm dưới.0T 50
Trang 6

0TKẾT LUẬN0T 56
0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 57

Trang 7

MỞ ĐẦU


Luận văn chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân dạng

( )
,x f tx
′
=
,
( )

00
xt x=
(1)
Trong đó E là không gian Banach,
[ ]
,f C EE
+
∈ס
và
( )
,f tx
là hàm tựa đơn
điệu không giảm theo
x
với mỗi
t
+
∈¡
liên quan đến nón K hoặc
( )
,f tx
có
tính chất tựa đơn điệu hỗn tạp.
Nội dung luận văn sử dụng năm phương pháp chứng minh tồn tại
nghiệm của phương trình (1).
1. Bất phương trình vi phân.
2. Tập hợp bất biến dòng.
3. Phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới.
4. Kỹ thuật lặp đơn điệu.
5. Phương pháp tựa nghiệm trên và tựa nghiệm dưới.

Các phương pháp này thường được dùng chứng minh sự tồn tại điểm
bất động trong không gian có thứ tự.
Nội dung luận văn được trình bày lại trong tài liệu:
Dajun Guo, V. lakshmikantham, Nonlinear Problems in Abstract Cones ,
Acadamic Press, INC, London 1988.
Luận văn được trình bày thành ba chương.
Chương I: Trình bày về nón và các tính chất của nón.
Chương II: Trình bày về điểm bất động của ánh xạ đơn điệu.
Chương III: Áp dụng phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động
trong không gian có thứ tự vào phương trình vi phân phi tuyến.

Trang 8


Chương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN
1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1
1/ Tập K trong không gian Banach thực E gọi là nón nếu:
i) K là tập đóng
ii)
KK K+⊂
,
KK
λ
⊂

0
λ
∀≥

iii)
( ) { }
KK
θ
∩− =
.
2/ Nếu K là nón thì thứ tự trong E sinh bởi K được định bởi:

xy yxK≤ ⇔ −∈
.
3/ Nón K được gọi là có thể (solid) nếu nó có chứa điểm trong, tức
là
0
K ≠∅
và
yxK−∈
thì ta viết
xy=
.
4/ Nón
KE⊂
được gọi là minihedral nếu
{ }
sup ,xy
tồn tại với mọi cặp
{ }
,xy
bị chặn trên ( tức là
:,w E x wy w∃∈ ≤ ≤
).

5/ Nón
KE⊂
được gọi là strong minihedral nếu
supD
tồn tại với mọi
tập bị chặn
DE⊂
.
Mệnh đề 1.1.1
Giả sử “
≤
” là thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó:
1/
xy≤

xzyz⇒+≤+
,
xy
λλ
≤

,0zE
λ
∀∈ ∀ ≥
.
2/
( )
*
,lim ,lim
nn n n

nn
x yn x x y y
→∞ →∞
≤∈ = =¥

xy⇒≤
.
3/ Nếu
{ }
n
x
là dãy tăng, hội tụ về
x
thì
n
xx≤

*
n∀∈¥
.
Chứng minh:
1/ Suy ra từ tính chất ii) của định nghĩa nón.
2/ Ta có
n n nn
xy yxK≤ ⇒ −∈

Trang 9


( )

lim
nn
n
y x yx
→∞
⇒ −=−
.
Do K là tập đóng nên
()yx K−∈
hay
xy≤
.
3/ Cho
m → +∞
trong
n nm
xx
+
≤
, ta được điều phải chứng minh.
1.2 Nón chuẩn
Định nghĩa 1.2.1
Nón K gọi là nón chuẩn nếu:

0:N xy
θ
∃> ≤≤

x Ny⇒≤
.

Mệnh đề 1.2.1
Giả sử “
≤
” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó:
1/ Nếu
uv≤
thì đoạn
{ }
,: :uv x E u x v= ∈ ≤≤
bị chặn theo chuẩn.
2/ Nếu
( )
*
nnn
x y zn≤≤ ∈¥
và
lim ,lim
nn
nn
xa za
→∞ →∞
= =
thì
lim
n
n
ya
→∞
=
.

3/ Nếu dãy
{ }
n
x
đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì
lim
n
n
xa
→∞
=
.
Chứng minh:
1/
,x uv xuvu
θ
∀∈ ⇒ ≤ − ≤ −


x u Nu v⇒−≤ −


x u Nu v⇒≤+ −
.
2/ Ta có
( )
*
nnn
x y zn≤≤ ∈¥

nnnn
yxzx
θ
⇒≤ − ≤ −


0
nn nn
y x Nz x⇒−≤ −→
.
Ta lại có
( )
n n nn
yx yx=+−

( )
( )
lim lim
n n nn
nn
y x yx a
→∞ →∞
⇒ = +− =

3/ Ta coi dãy
{ }
n
x
tăng và
lim

k
n
k
xa
→∞
=

Vì
k
nn
xx≤
( n cố định, k đủ lớn) nên
n
xa≤

*
n∀∈¥
.
Trang 10

Cho
0
ε
>
, chọn
0
k
để
0
k

n
xa
N
ε
−<
( N là hằng số nói trong định nghĩa nón
chuẩn).
0
0
,
k
k nn
nn ax ax
θ
∀≥ ≤− ≤−

0
k
nn
ax Nax
ε
⇒− ≤ − <
. Vậy
lim
n
n
xa
→∞
=
.

1.3 Nón chính qui
Định nghĩa 1.3.1
Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ.
Mệnh đề 1.3.1
Nón chính qui là nón chuẩn.
Chứng minh:
Giả sử K là nón chính qui nhưng không là nón chuẩn. Khi đó

*2
,: ,
nn n n n n
n xy x y x ny
θ
∀∈ ∃ ≤ ≤ >¥
.
Đặt
,
nn
nn
nn
xy
uv
xx
= =
thì
2
1
, 1,
n nn n
u vu v

n
θ
≤≤ = <
.
Vì
1
n
n
v
∞
=
<∞
∑
nên tồn tại
1
:
n
n
vv
∞
=
=
∑

Dãy
12
:
nn
s uu u= + ++
tăng, bị chặn trên bởi

v
nên hội tụ
Suy ra
( )
1
lim lim
n nn
nn
u ss
θ
−
→∞ →∞
= −=
vô lý vì
1
n
u =
.
1.4 Nón sinh
Định nghĩa 1.4.1
Nón K gọi là nón sinh nếu
EKK= −
hay
xE∀∈
,:uv K x u v∃∈ =−
.
Mệnh đề 1.4.1
Nếu K là nón sinh thì tồn tại số
0M >
sao cho

xE∀∈

,: , ,uv Kx u vu Mx v Mx∃∈ =− ≤ ≤
.
Trang 11

Chứng minh:
I. Đặt
( )
( )
,1 ,1CKB KB
θθ
=∩ −∩
, ta chứng minh
( )
0: ,r CBr
θ
∃> ⊃
.
Thật vậy:
1n
E nC
∞
=
=
U
(Do K là nón sinh)

0

,nG⇒∃ ∃
mở:
0
nC G⊃
(Do định lý Baire)
Vì
C
lồi, đối xứng nên:
00
11 1 1
22 2 2
C C CC G G
nn
⊃ − ⇒⊃ −
(mở, chứa
θ
)

( )
,CBr
θ
⇒⊃

II. Ta chứng minh
2
r
BC⊂

( )
( )

: ,1BB
θ
=
. Lấy
2
r
aB∈
.
+ Ta sẽ xây dựng dãy
{ }
n
x
thỏa:
1
1
1
,
22
n
nk
nn
k
r
x Ca x
+
=
∈ −<
∑
.
Thật vậy, vì

1
22
nn
r
BC⊂
nên
1
,0 :
22
nn
r
y B x Cyx
εε
∀∈ ∀ > ∃∈ − <
.
Ta có
2
r
aB∈

11
2
1
:
22
r
x Cax⇒∃ ∈ − <

1
2

2
r
ax B−∈

2 12
23
1
:
22
r
x Cax x⇒∃ ∈ − − <
,…
+ Vì
1
2
n
n
xC∈
nên
1
, : ,,
2
nn n n n n n
n
uv Kx u v u v∃∈ =− <
.
Đặt
11
,
nn

u uv v
∞∞
= =
∑∑
ta có
,, 1a u vu v=−≤
. Vậy
aC∈
.
III. Với mọi
x
θ
≠
, ta có:
.
22
rx r
B
x
∈

.
2
rx
uv
x
′′
⇒=−
với
,uv K

′′
∈
,
1, 1uv
′′
≤≤


,, , , .x u vuv K u v M x⇒=− ∈ ≤
, với
2
:M
r
=

Trang 12

Vậy mệnh đề được chứng minh.
1.5 Nón liên hợp
Định nghĩa 1.5.1
Nếu K là nón, thì ta định nghĩa nón liên hợp của nón K là
( )
{ }
**
:0K f E fx x K= ∈ ≥∀∈
.
Ta có:
1/
*
K

có hai tính chất sau:
i)
*
K
là tập đóng
ii)
** *
KK K+⊂
,
**
KK
λ
⊂

0
λ
∀≥
.
2/
( )
{ }
*
**
E
K K KKE
θ
∩− = ⇔ − =
.
Chứng minh:
+

( )
⇐
Xét
( )
**
fK K∈ ∩−

Với mọi
xE∈
, ta có:
( )
lim
nn
n
x uv
→∞
= −
,
,
nn
uv K∈


( )
( ) ( )
( )
lim
nn
n
fx fu fv

→∞
⇒= −
nên
( )
0fx≥
.
Tương tự
( )
0fx−≥
. Do đó
( )
0fx=
.
+
( )
⇒
Giả sử tồn tại
0
x KK∈−
. Khi đó
( )
( )
*
0
:f E fx fy y K K∃∈ < ∀∈ −
(Do định lý tách tập lồi)
Ta có
( )
( )
0

f x f tx<

,0xKt∀∈ ∀>
.
Cho
t →∞
ta có
( )
0fx x K≥∀∈
hay
*
fK∈
.
Tương tự
*
fK−∈
. Do đó
f
θ
=
(mâu thuẫn)



Trang 13



Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU
2.1 Điểm bất động của ánh xạ tăng.

Cho K là nón trong không gian Banach thực E và “
≤
” là thứ tự sinh bởi
nón K . Cho D là tập con của E.
Định nghĩa 2.1.1
Một ánh xạ
:AD E→
được gọi là tăng nếu
12
xx≤

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax≤
,
A
được gọi là tăng nghiêm ngặt nếu
12
xx<

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax<
và

A
được gọi là tăng mạnh nếu
12
xx<

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax=

trong trường hợp
0
K ≠∅
.
Tương tự,
A
được gọi là giảm nếu
12
xx≤

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax≥
,
A

được gọi là giảm nghiêm ngặt nếu
12
xx<

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax>
và
A
được
gọi là giảm mạnh nếu
12
xx<

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax?
trong trường hợp
0
K ≠∅
.
Định nghĩa 2.1.2
Một ánh xạ

:AD E→
được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và
compact. Chú ý compact theo nghĩa tập con
( )
AS
là compact tương đối với
mỗi tập con bị chặn
SD⊂
.
A
được gọi là một k-tập hợp-co
( )
0k ≥
(k-set-contraction) nếu nó liên
tục, bị chặn và
( )
( )
( )
.AS k S
γγ
≤
, với mỗi tập bị chặn
SD⊂
, trong đó
( )
S
γ

được xem là độ đo của tập không compact
S

.
Trang 14

Một ánh xạ
A
được gọi là cô đọng (condensing) nếu nó liên tục, bị
chặn và
( )
( )
( )
AS S
γγ
<
, với mỗi tập bị chặn
SD⊂
,
( )
0S
γ
>
.

Trang 15

Định lý 2.1.1
Cho
00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]

00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000
,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Giả sử một trong hai điều kiện sau được thỏa:

( )
1
H
K là nón chuẩn và
A
là cô đọng;

( )
2
H
K là nón chính quy và
A
là nửa liên tục.
Khi đó,
A
có một điểm bất động cực đại
x
∗
và một điểm bất động cực tiểu
*
x

trong
[ ]
00
,uv
, hơn nữa

lim
n
n
xv
∗
→∞
=
,
*
lim
n
n
xu
→∞
=
(2.1.2)
Trong đó
1nn
v Av
−
=
và
1nn

u Au
−
=

( )
1,2,3, n =
, và

01 10

nn
uu u v vv≤≤≤ ≤≤ ≤≤≤
(2.1.3)
Chứng minh:
Do
A
là ánh xạ tăng, theo (2.1.1) thì (2.1.3) được thỏa.
Bây giờ, ta chứng minh dãy
{ }
n
u
hội tụ về
xE
∗
∈
và
Ax x
∗∗
=
.

+ Khi
( )
1
H
được thỏa, tập
{ }
012
, , , S uuu=
bị chặn và
( )
{ }
0
S AS u= ∪
,
do đó
( ) ( )
( )
S AS
γγ
=
. Do
A
cô đọng nên ta có
( )
0S
γ
=
,
S
là tập compact

tương đối. Do đó có dãy con
{ }
k
n
u
của dãy
{ }
n
u
sao cho
k
n
xx
∗
→
. Rõ ràng
nn
uxv
∗
≤≤

( )
1,2,3, n =

Khi
k
mn>
, ta có
k
mn

xu xu
θ
∗∗
≤− ≤−
và do đó theo tính chất của nón chuẩn
K, ta có
k
mn
xu Nxu
∗∗
−≤ −
, với N là hằng số trong định nghĩa nón chuẩn
K. Vậy
lim
m
m
ux
∗
→∞
=
.
Cho
n →∞
trong
1nn
u Au
−
=
, ta được
Ax x

∗∗
=
. Do đó A liên tục .
Trang 16

+ Khi
( )
2
H
được thỏa, dãy
{ }
n
u
hội tụ về
xE
∗
∈
theo tính chất của nón chính
qui K. Từ
A
nửa liên tục,
1nn
u Au
−
=
hội tụ yếu về
Ax
∗
và do đó
Ax x

∗∗
=
.
Một cách tương tự ta có thể chứng minh dãy
{ }
n
v
hội tụ về
xE
∗
∈
và
Ax x
∗∗
=

Cho
[ ]
00
,x uv∈
và
Ax x=
. Từ
A
là ánh xạ tăng và
00
u xv≤≤
dẫn đến
00
Au Ax Av≤≤

, nghĩa là
11
u xv≤≤
. Lý luận tương tự ta được
22
u xv≤≤
, …,
và tổng quát, ta có
nn
u xv≤≤
, (
1,2,3, n =
). Cho
n →∞
ta được

x xx
∗
∗
≤≤
. Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1.1
Cho điều kiện của định lý 2.1.1 được thỏa. Giả sử rằng
A
chỉ có một
điểm bất động
[ ]
00
,x uv∈
. Khi đó, với mỗi

[ ]
0 00
,x uv∈
, dãy
1nn
x Ax
−
=

( )
1,2,3, n =
hội tụ về
x
, nghĩa là
( )
0,
n
xx n− → →∞
.
Chứng minh:
Từ
000
uxv≤≤
và
A
là ánh xạ tăng, ta có
nnn
uxv≤≤
,
(1,2,3, )n =

.
Theo giả thiết ta phải có
xxx
∗
∗
= =
. Do đó từ
1nn
x Ax
−
=

( )
1,2,3, n =
hội tụ
về
x
và (2.1.2), tính chuẩn của nón K, và mệnh đề 1.2.1 thì
n
xx→
.
Định lý 2.1.2
Cho
00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]
00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000
,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Giả sử K là nón strongly minihedral. Khi đó,
A
có một điểm bất động cực đại
x
∗
và một điểm bất động cực tiểu
*
x
trong
[ ]
00
,uv
.
Chứng minh:
Đặt
{ }
00
:,D x E u x v Ax x= ∈ ≤≤ ≥
. Rõ ràng
0
uD∈
và
0
v
là một cận
trên của

D
. Do tính strong minihedrality của K nên
supxD
∗
=
tồn tại.
Trang 17

Bây giờ, ta chứng minh
x
∗
là điểm bất động cực đại của
A
trong
[ ]
00
,uv
. Thật
vậy,
00
u xx v
∗
≤≤ ≤
, với mọi
xD∈
và do đó

0 0 00
u Au Ax Ax Av v
∗

≤ ≤≤ ≤ ≤

Từ
Ax x≥
, ta có
x Ax
∗
≤
với mọi
xD∈
. Từ định nghĩa cận trên bé nhất thì
x Ax
∗∗
≤
.
Mặt khác từ
x Ax
∗∗
≤
ta có
( )
Ax A Ax
∗∗
≤
. Ta suy ra
Ax D
∗
∈
. Do đó
Ax x

∗∗
≤
.
Vậy
Ax x
∗∗
=
. Nếu
x
là điểm bất động nào đó của
A
trong
[ ]
00
,uv
thì
xD∈

và
xx
∗
≤
. Tính cực đại của
x
∗
được chứng minh xong.
Tương tự, ta chứng minh được
1
infxD
∗

=
là điểm bất động cực tiểu của
A

trong
[ ]
00
,uv
, với
{ }
1 00
:,D x E u x v Ax x= ∈ ≤≤ ≤
.
Vậy định lý được chứng minh.
Nhận xét
Trong định lý 2.1.2 ta không giả thiết
A
là liên tục, nghĩa là không thể
khẳng định các giới hạn trong (2.1.2) tồn tại.
Định lý 2.1.3
Cho
00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]
00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000

,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Giả sử
[ ]
( )
00
,Auv
là tập compact tương đối của
E
. Khi đó
A
có ít nhất một
điểm bất động trong
[ ]
00
,uv
.
Chứng minh:
Đặt
[ ]
( )
{ }
00
,:F xAuv Axx=∈≥
. Ta có
( )
00
A Au Au≥
, điều này dẫn đến
0

Au F∈
và do đó
F ≠∅
. Từ E được sắp thứ tự riêng bởi nón K, F là tập con
được sắp thứ tự riêng. Giả sử G là tập con được sắp thứ tự toàn phần của F.
Do
[ ]
( )
00
,Auv
là tập compact tương đối và
[ ]
( )
00
,G F Auv⊂⊂
thì G là tập
Trang 18

compact tương đối nên G là tập tách được, nghĩa là tồn tại tập con đếm được
{ }
123
, , , V yyy G= ⊂
, trù mật trong G. Do G là tập con được sắp thứ tự toàn
phần của F dẫn đến tồn tại
{ }
123
sup , , , ,
nn
z yyy y=
,

( )
1,2,3, n =
và
n
zG∈
.
Khi đó, theo tính compact tương đối của G thì tồn tại dãy con
{ }
i
n
z
của dãy
{ }
n
z
sao cho
i
n
z zE
∗
→∈
.
Từ
12

n
zz z≤ ≤≤ ≤
Ta có
nn
yzz

∗
≤≤
,
( )
1,2,3, n =
(2.1.4)
và
[ ]
( )
[ ]
00 00
,,z G F Auv uv
∗
∈⊂⊂ ⊂
.Từ (2.1.4) ta được
zz
∗
≤
với mọi
zG∈
,
và vì vậy
z Az Az
∗
≤≤
với mọi
zG∈
, điều này suy ra
Az F
∗

∈
. Do vậy
Az
∗
là
một cận trên của G trong F. Do đó, theo bổ đề Zorn thì F chứa phần tử cực đại
x
∗
.
Từ
Ax x
∗∗
≥
ta suy ra
( )
A Ax Ax
∗∗
≥
. Do đó ta có
Ax F
∗
∈
. Theo tính cực đại
của
x
∗
, ta có
Ax x
∗∗
=

. Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1.2
Cho
00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]
00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000
,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Giả sử K là nón chuẩn,
A
là compact. Khi đó
A
có ít nhất một điểm bất động
trong
[ ]
00
,uv
.
Chứng minh:
Do K là nón chuẩn,
[ ]
00
,uv
bị chặn. Do đó tập

[ ]
( )
00
,Auv
là compact
tương đối (Do
A
là compact). Theo định lý 2.1.3 ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.1.4
Cho
00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]
00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000
,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Trang 19

Giả sử K là minihedral và
[
]
( )
00
,Auv
là tập compact tương đối của

E
. Khi đó
A
có một điểm bất động cực đại
x
∗
và một điểm bất động cực tiểu
*
x
trong
[ ]
00
,uv
.
Chứng minh:
Đặt
[ ]
( )
{ }
00
,:F xAuv Axx=∈≥
. Theo bổ đề Zorn và cách chứng minh
trong định lý 2.1.3 thì F có điểm bất động cực đại
x
∗
và
Ax x
∗∗
=
.

Ta còn phải chứng minh
x
∗
là điểm bất động cực đại của
A
trong
[ ]
00
,uv
. Thật vậy, giả sử
x
là điểm bất động nào đó của
A
trong
[ ]
00
,uv
, theo
tính minihedrality của K,
{ }
sup ,v xx
∗
=
tồn tại. Do
vx≥
và
vx
∗
≥
ta có

Av Ax x≥=
và
Av Ax x
∗∗
≥=
. Do đó
v Av≤
, suy ra
( )
Av A Av≤
và
Av F∈
.
Theo tính cực đại của
x
∗
ta có
Av x
∗
=
nên
xx
∗
≥
. Vậy
x
∗
là điểm bất động
cực đại của
A

trong
[ ]
00
,uv
.
Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh

[ ]
( )
{ }
1 00
,:F xAuv Axx=∈≤

chứa phần tử cực tiểu
*
x
thỏa
Ax x
∗∗
=
và là điểm bất động cực tiểu của
A

trong
[ ]
00
,uv
.
Hệ quả 2.1.3
Cho

00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]
00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000
,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Giả sử K là nón chuẩn và minihedral,
A
là compact. Khi đó
A
có một điểm
bất động cực đại
x
∗
và một điểm bất động cực tiểu
*
x
trong
[ ]
00
,uv
.
Nhận xét
Các định lý 2.1.3; 2.1.4 và các hệ quả 2.1.2; 2.1.3 không yêu cầu ánh xạ
A

liên tục, do đó chúng có bản chất khác định lý 2.1.1.
Trang 20

2.2 Điểm bất động của ánh xạ giảm.
Định lý 2.2.1
Giả sử
i/ K là nón chuẩn và
:AK K→
là ánh xạ giảm và cô đọng;
ii/
A
θθ
>
và
2
0
AA
θεθ
>
, trong đó
0
0
ε
>
,
θ
là phần tử không của E;
iii/ Với mỗi
xA
αθ

≥

( )
( 0)x
αα
= >
và
01t<<
, tồn tại
( )
,0xt
ηη
= >
sao cho
( )
( )
1
1A tx t Ax
η
−
≤ + 

(2.2.1)
Khi đó,
A
có đúng một điểm bất động dương
0x
∗
>
. Hơn nữa, xây dựng dãy

1nn
x Ax
−
=

( )
1,2,3, n =
với mỗi giá trị đầu
0
xK∈
ta có:
0
n
xx
∗
−→

( )
n →∞
(2.2.2)
Chứng minh:
Đặt
0
u
θ
=
,
1nn
u Au
−

=
,
( )
1,2,3, n =
(2.2.3)
và do ánh xạ
A
giảm, ta dễ dàng chỉ ra rằng

0222131

n
uuuu uuA
θθ
+
= ≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ =
(2.2.4)

2
2 21nn
u Au
−
=
,
2
21 21nn
u Au
+−
=
,

( )
1,2,3, n =
(2.2.5)
và
2 21nn
u Au
−
=
,
21 2nn
u Au
+
=
,
( )
1,2,3, n =
(2.2.6)
Từ
2
:AK K→
là ánh xạ tăng, cô đọng và
2
00
u Au≤
,
2
11
Au u≤
, áp dụng định
lý 2.1.1 ta suy ra

2n
uz
∗
→
,
21n
uz
∗
+
→
,
( )
n →∞
,
2
Az z
∗∗
=
,
2
Az z
∗∗
=
với
,zz
∗
∗
tương ứng
là các điểm bất động cực đại và cực tiểu của

2
A
trong
[ ]
01
,uu
.
Lấy giới hạn trong (2.2.6), ta có
z Az
∗
∗
=
,
z Az
∗
∗
=
(2.2.7)
Hiển nhiên
2
0 2 2 21nn
A A uu zzu
θεθ θ
∗
∗+
< ≤ =≤ ≤≤≤
( )
1,2,3, n =
(2.2.8)
Trang 21

Do đó

0 01 0
zAuz
εθε ε
∗
∗
≥=≥
.
Đặt
{ }
0
sup 0/t t z tz
∗
∗
= >≥
, vì vậy
00
0 t
ε
< ≤ < +∞
và
0
z tz
∗
∗
≥
.
Hơn nữa, ta có

0
1t ≤
, do
zz
∗
∗
≤
.
Ta còn phải chứng minh
0
1t =
. Giả sử trái lại,
0
01t<<
thì theo iii/, tồn tại

0
0
η
>
sao cho
( )
( )
( )
1
1
0 00 0
11z Az A t z t Az t z
ηη
−

−
∗∗ ∗
∗∗

= ≤ ≤ + = +


, do vậy
( )
00
1zt z
η
∗∗
≥+
. Điều này trái với cách xác định
0
t
.
Vậy
0
1t =
và
zz
∗
∗
≥
và do đó
zz
∗
∗

=
(2.2.9)
Từ (2.2.7) và (2.2.9), ta thấy
Az z
∗∗
=
, tức là
z
∗
là điểm bất động dương của
ánh xạ
A
.
Cuối cùng, ta chứng minh (2.2.2) thỏa với mỗi điểm bất động dương
z
∗

của
A
và mỗi
0
xK∈
. Điều này chính là tính duy nhất của điểm bất động
dương của
A
.
Từ
0
x
θ

≥
, ta có
0
Ax A
θθ
≤≤
, tức là,
011
u xu≤≤
, ta thấy
221
uxu≤≤
. Tiếp tục
quá trình này, ta được

2 2 21nnn
uxu
−
≤≤
;
2 21 21nn n
ux u
+−
≤≤
,
( )
1,2,3, n =
(2.2.10)
Bằng cách tương tự, ta được

2 21nn
u xu
∗
−
≤≤

( )
1,2,3, n =
(2.2.11)
Từ
2n
uz
∗
→
,
21n
uz
∗
−
→

()zz
∗
∗
=
và K là nón chuẩn thì theo (2.2.10) và mệnh
đề 1.2.1 dẫn đến
2n
xz
∗

→
và
21n
xz
∗
+
→
.
Do đó
0
n
xz
∗
−→

( )
n →∞
.
Mặt khác lấy giới hạn trong (2.2.11), ta được
xz
∗∗
=
và do vậy
0
n
xx
∗
−→

( )

n →∞
. Vậy định lý được chứng minh.
Trang 22

Định lý 2.2.2
Giả sử
i/ K là nón chuẩn, có thể (sold) và
:AK K→
là ánh xạ giảm mạnh và cô
đọng;
ii/
A
θθ
>
và
2
0
AA
θεθ
>
,
0
0
ε
>
,
θ
là phần tử không của E;
iii/ Với mỗi
xA

αθ
≥

( )
( 0)x
αα
= >
và
01t<<
, ta có
( )
1
.A tx t Ax
−
<
(2.2.12)
Khi đó,
A
có đúng một điểm bất động dương
0x
∗
>
. Hơn nữa, xây dựng dãy
1nn
x Ax
−
=

( )
1,2,3, n =

với mỗi giá trị đầu
0
xK∈
ta có:
0
n
xx
∗
−→

( )
n →∞
(2.2.2)
Chứng minh (Xem: Dajun Guo, V.Lakshmikantham, Nonlinear problems in
abstract cones, Academic Press 1988, page 51)
2.3 Cặp điểm bất động của ánh xạ đơn điệu hỗn tạp.
Định nghĩa 2.3.1
Cho
DE⊂
và ánh xạ
:AD D E×→

A
được gọi là ánh xạ đơn điệu hỗn tạp nếu
( )
,Axy
là tăng theo
x
và
giảm theo

y
, tức là, nếu
12
xx≤
,
12
(, )xx D∈
thì
( ) ( )
12
,,Ax y Ax y≤
với mọi
yD∈
, và
12
yy≤

12
(, )yy D∈
thì
( ) ( )
12
,,Axy Axy≥
với mọi
xD∈
.
Điểm
( )
,xy DD
∗∗

∈×
được gọi là một cặp điểm tựa bất động của
A
nếu
( )
,Ax y x
∗∗ ∗
=
và
( )
,Ay x y
∗∗ ∗
=
.

xD
∗
∈
được gọi là điểm bất động của
A
nếu
( )
,Ax x x
∗∗ ∗
=
.
Định lý 2.3.1
Trang 23

Cho

00
,uv E∈
,
00
uv<
và
[ ] [ ]
00 00
:, ,Auv uv E×→
là một ánh xạ đơn điệu
hỗn tạp sao cho

( )
0 00
,u Au v≤
,
( )
00 0
,Av u v≤
(2.3.1)
Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau được thỏa:

( )
1
H
K là nón chuẩn và
A
là hoàn toàn liên tục;

( )

2
H
K là nón chính quy và
A
là nửa liên tục.
Khi đó,
A
có cặp điểm tựa bất động
[ ] [ ]
00 00
(,) , ,xy uv uv
∗∗
∈×
mà là cực tiểu và
cực đại theo nghĩa
x xy
∗∗
≤≤
và
x yy
∗∗
≤≤
với mọi điểm tựa bất động
[ ] [ ]
00 00
(,) , ,xy uv uv∈×
của
A
. Hơn nữa, ta có

lim
n
n
xv
∗
→∞
=
,
lim
n
n
yu
∗
→∞
=
(2.3.2)
Trong đó
11
(,)
n nn
v Av u
−−
=
và
11
(,)
n nn
u Au v
−−
=

( )
1,2,3, n =
, thỏa

01 10

nn
uu u v vv≤≤≤ ≤≤ ≤≤≤
(2.3.3)
Chứng minh:
Từ (2.3.1) ta có
0 110
uuvv≤≤≤
. Giả sử
11n nnn
u uvv
−−
≤≤≤
.
Từ
A
là đơn điệu hỗn tạp,

( ) ( ) ( )
11 1 1
,,,
n n n nn nn n
u Au v Au v Au v u
−− − +

= ≤ ≤=
,

( ) ( ) ( )
11 1 1
,,,
n n n nn nn n
v Av u Av u Av u v
−− − +
= ≥ ≥=
,
và

( ) ( ) ( )
1 11
,, ,
n nn nn nn n
u Au v Av u Av u v
+ −+
=≤ ≤=
.
Do đó theo quy nạp (2.3.3) thỏa.
+ Khi
( )
1
H
được thỏa, đặt
{ }
12
, , S uu=

là tập compact tương đối do tính
hoàn toàn liên tục của
A
, và do đó, áp dụng định lý 2.1.1, ta có
[ ]
00
,
n
u x uv
∗
→∈
.
Trang 24

+ Khi
( )
2
H
được thỏa,
n
u xE
∗
→∈
được suy ra trực tiếp từ K là nón chính
quy. Một cách tương tự ta chứng minh được dãy
{}
n
v
hội tụ về
[ ]

00
,y uv
∗
∈
.
Từ
A
là nửa liên tục trong cả hai trường hợp
( )
1
H
và
( )
2
H
,

11
(,)
n nn
u Au v
−−
=
hội tụ yếu về
( )
,Ax y
∗∗
và

11

(,)
n nn
v Av u
−−
=
hội tụ yếu về
( )
,Ay x
∗∗

Do đó

( )
,Ax y x
∗∗ ∗
=
và
( )
,Ay x y
∗∗ ∗
=
, tức là
( )
,xy
∗∗
là cặp điểm tựa bất động
của
A
.
Cuối cùng, ta chứng minh tính cực tiểu và cực đại của

( )
,xy
∗∗
. Giả sử
[ ] [ ]
00 00
(,) , ,xy uv uv∈×
là cặp điểm tựa bất động của
A
.
Từ
00
u xv≤≤
và
00
u yv≤≤
,

( )
( ) ( ) ( )
( )
1 00 0 0 00 1
, ,, , ,uAuv AuyAxyxAvyAvu v= ≤ ≤=≤ ≤ =
,
và
( )
( )
( ) ( )
( )
1 00 0 0 00 1

, ,, , ,uAuv AuxAyxyAvxAvu v= ≤ ≤=≤ ≤ =
.
Một cách tương tự,
22
u xv≤≤
,
22
u yv≤≤
và tổng quát

nn
u xv≤≤
,
nn
u yv≤≤

( )
1,2,3, n =
(2.3.4)
Lấy giới hạn trong (2.3.4), ta được
x xy
∗∗
≤≤
và
x yy
∗∗
≤≤
.
Vậy định lý được chứng minh.

Trang 25

Chương 3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ
TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ
THỨ TỰ VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
3.1 Bất phương trình vi phân.
Để phát triển lý thuyết bất phương trình vi phân liên quan đến nón K
trong không gian Banach E, chúng ta làm quen khái niệm tựa đơn điệu
Định nghĩa 3.1.1
Hàm
:fE E→
được gọi là tựa đơn điệu không giảm nếu

xy≤
và
xy
φφ
=
với
*
0
K
φ
∈

( )

( )
( )
( )
fx fy
φφ
⇒≤

Nếu
n
E = ¡
và
n
K
+
= ¡
(nón chuẩn) thì bất phương trình cảm sinh bởi
nón K là theo từng thành phần và tựa đơn điệu của
f
biến đổi thành

xy≤
và
,1
ii
x y in= ≤≤

( ) ( )
ii
fx fy⇒≤

Định lý 3.1.1
Cho K là nón có phần trong
0
K
khác rỗng. Giả sử:
i)
[ ] [ ]
1
, ,, ,uv C E f C EE
++
∈ ∈ס¡
và
( )
,f tx
là hàm tựa đơn điệu không
giảm với mỗi
t
+
∈¡
;
ii)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0
, ,, ,ut ftut vt ftvt t t
′′
− < − ∈∞

.
Khi đó, với
( ) ( )
00
ut vt<
thì
( ) ( )
0
,ut vt t t<≥
.
Chứng minh:
Giả sử khẳng định của định lý là sai. Khi đó, tồn tại
10
tt>
sao cho

( ) ( )
11
vt ut K− ∈∂
và
( ) ( )
[
)
0
01
,,vt ut K t t t−∈∈
. Do
( )
,f tx
là hàm

tựa đơn điệu không giảm với mỗi
t
+
∈¡
nên tồn tại
*
0
K
φ
∈
với sao cho
( ) ( )
( )
11
0vt ut
φ
−=
và
( )
( )
( )
( )
( )
11 11
, ,0ftvt ftut
φ
−≥