Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN ĐÌNH THIỀN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN ĐÌNH THIỀN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60. 46. 01. 02
Người hướng dẫn khoa học:
TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG
HÀ NỘI, 2013
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người

thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Đình Thiền
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luận văn
Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh
xạ đa trị trong không gian metric nón” do tôi tự làm. Các kết quả và tài
liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Đình Thiền
Mục lục
Bảng kí hiệu 1
Mở đầu 2
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Không gian metric Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 KHÔNG GIAN METRIC NÓN 32
2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . . . . . . . . 38
3 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN METRIC NÓN 48
3.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5
Kết luận 64
Tài liệu tham khảo 65
Bảng kí hiệu
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên lớn hơn 0
R Tập số thực
R
+
Tập số thực dương
C Tập số phức
CB(X) Họ các tập con không rỗng, đóng, bị chặn của X
C (X) Họ các tập compact trong X
∅ Tập rỗng
int(P ) Phần trong của P

p
Quan hệ thứ tự theo nón P
 Kết thúc chứng minh
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho X là một tập hợp bất kì, ánh xạ T : X → 2
X
là một ánh xạ đa
trị đi từ tập X vào họ các tập con của nó. Điểm x ∈ X thỏa mãn x ∈ T x
được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T trên tập X. Việc nghiên

cứu vấn đề này đã góp phần giải quyết đắc lực hàng loạt các bài toán quan
trọng. Các kết quả của việc nghiên cứu lĩnh vực này đã hình thành nên
“Lý thuyết điểm bất động” (fixed point theory) và gắn liền với tên tuổi của
các nhà toán học lớn như Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski,
Kyfan,. . .
Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệm
không gian metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa metric
bởi một nón định hướng trong không gian Banch thực. Các tác giả đã giới
thiệu các khái niệm về sự hội tụ của dãy, tính đầy đủ của không gian.
Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất động cho lớp ánh
xạ đơn trị trong các không gian này.
Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm và các kết quả về điểm bất
2
động trong không gian metric nón đã được công bố.
Năm 2009, Sh. Rezapour and R. H. Haghi đã công bố kết quả về điểm
bất động trong lớp không gian này cho các ánh xạ đa trị qua bài báo
“fixed point of multifunction on cone metric spaces”.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ đa trị
trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của
TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:
“Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric
nón”
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không
gian metric nón.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric
nón.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về “ Không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ

đa trị trong lớp không gian metric nón” qua hai bài báo:
3
- Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings
(2007) của Huang Long Guang, Zhang Xian.
- Fixed point of multifunctions on cone metric spaces (2009) của Sh.
Rezapour and R. H. Haghi.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp
Đây là một bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong
không gian metric nón. Luận văn giúp người đọc hiểu sâu hơn về không
gian metric, không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ đa trị
trong không gian metric nón.
Luận văn được trình bày gồm ba chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không
gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian định chuẩn, không
gian Banach.
Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian metric
nón và sự hội tụ trong không gian metric nón.
4
Chương 3 trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị
trong không gian metric nón.
5
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không
gian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian
định chuẩn và cuối cùng là không gian Banach. Sau mỗi khái niệm là các
ví dụ minh họa.

1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1 [1]. Một tập hợp X = ∅ . Một ánh xạ d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. d(x, y)  0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xạ d gọi là một metric trên X, d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm.
Tập hợp X cùng với ánh xạ d được gọi là không gian metric. Ký hiệu là
6
(X, d).
Ví dụ 1.1.2. Cho C [a, b] là không gian các hàm số nhận giá trị thực xác
định và liên tục trên đoạn [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) . Với hai hàm số
bất kỳ x = x (t) , y = y (t) thuộc C [a, b] ta đặt:
d (x, y) = max
a≤t≤b
|x (t) − y (t)|.
Khi đó (C [a, b] , d) là một không gian metric.
Chứng minh. Ta có d(x, y) xác định trên C [a, b].
Thật vậy, vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số
|x (t) − y (t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b].
Do đó, hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b]. Suy ra hệ thức của
d(x, y) xác định một ánh xạ từ C [a, b] × C [a, b] vào tập số thực R.
Ta có
|x (t) − y (t)| ≥ 0 với ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b].
Suy ra
max
t∈[a,b]
|x (t) − y (t)| ≥ 0 với ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b].
Vậy d (x, y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ C [a, b].

Nếu max
t∈[a,b]
|x (t) − y (t)| = 0 thì ta có
|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].
7
Suy ra
x (t) = y (t) , ∀t ∈ [a, b].
Do đó
x = y.
Vậy d (x, y) = 0 ⇔ x = y với ∀x, y ∈ C [a, b].
Tiếp theo, ta có
d (x, y) = max
t∈[a,b]
|x (t) − y (t)| = max
t∈[a,b]
|y (t) − x (t)| = d (y, x).
Vậy d (x, y) = d (y, x) với ∀x, y ∈ C [a, b].
Cuối cùng ∀t ∈ [a, b] ta có
|x (t) − y (t)| = |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)|
≤ |x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|
≤ max
t∈[a,b]
|x (t) − z (t)| + max
t∈[a,b]
|z (t) − y (t)|.
Suy ra
max
t∈[a,b]
|x (t) − y (t)| ≤ max
t∈[a,b]

|x (t) − z (t)| + max
t∈[a,b]
|z (t) − y (t)|.
Do đó
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với ∀x, y, z ∈ C [a, b].
8
Vậy (C [a, b] , d) là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.3[1]. Cho không gian metric (X, d) , điểm x
0
thuộc X
và r > 0.
Tập S (x
0
, r) = {x ∈ X : d (x, x
0
) < r} được gọi là hình cầu mở tâm x
0
,
bán kính r.
Tập S [x
0
, r] = {x ∈ X : d (x, x
0
) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm x
0
,
bán kính r.
Định nghĩa 1.1.4[1]. Cho không gian metric (X, d), lân cận của điểm
x
0

∈ X là mọi hình cầu mở tâm x
0
bán kính r > 0.
Định nghĩa 1.1.5[1]. Cho không gian metric (X, d), một tập hợp G ⊂ X
và điểm x
0
∈ X.
Điểm x
0
∈ X được gọi là một điểm trong của tập G nếu tồn tại một lân
cận của nó nằm trọn trong tập G, tức là lân cận đó chỉ chứa toàn những
điểm của G.
Điểm x
0
∈ X được gọi là một điểm ngoài của tập G nếu tồn tại một lân
cận của nó nằm trọn ngoài tập G, tức là lân cận đó hoàn toàn không chứa
điểm nào của tập G.
9
Định nghĩa 1.1.6[1]. Cho không gian metric (X, d), một tập hợp G ⊂ X.
Tập G được gọi là tập mở trong không gian X nếu mọi điểm thuộc G đều
là điểm trong của G.
Tập G được gọi là tập đóng trong không gian X nếu mọi điểm không thuộc
G đều là điểm ngoài của G.
Ví dụ 1.1.7. Không gian metric (X, d) với X = R và metric d là khoảng
cách thông thường, d (x, y) = |x − y|. Khi đó
a. (−1; 1) là một lân cận của điểm 0.
b. (−1; 1) là một tập mở của R.
c. [−1; 1] là một tập đóng của R.
Định lí 1.1.8[1]. Cho không gian metric (X, d), T là họ tất cả các tập
mở trong X thì T là một tôpô trên X.

Chứng minh. Ta có X và φ là các tập mở nên X ∈ T , φ ∈ T .
Giả sử (G
α
)
α∈I
⊂ T với I là tập chỉ số.
Ta đặt
E =

α∈I
G
α
.
Lấy phần tử bất kỳ x ∈ E thì ta có
10
x ∈

α∈I
G
α
.
Suy ra
x ∈ G
α
0
, α
0
∈ I.
Vì G
α

0
là tập mở nên tồn tại lân cận
S (x, r) ⊂ G
α
0
.
Suy ra
S (x, r) ⊂ E.
Do đó E là tập mở.
Giả sử G
1
, G
2
, , G
m
là họ hữu hạn các phần tử thuộc T .
Ta đặt
F =
m

j=1
G
j
.
Lấy một phần tử bất kỳ y ∈ F thì ta có
y ∈
m

j=1
G

j
Suy ra
y ∈ G
j
với ∀j = 1, 2, , m.
Do G
j
là tập mở nên với mỗi j tồn tại lân cận
S
j
= S (y, r
j
).
11
Đặt r = min {r
1
, r
2
, , r
m
} > 0 ta có lân cận S (y, r) thỏa mãn
S (y, r) ⊂
m

j=1
S
j
⊂
m


j=1
G
j
= F .
Do đó F là tập mở.
Vậy T là một tôpô trên X.
Định nghĩa 1.1.9[1]. Họ T tất cả các tập mở trong không gian metric
(X, d) được gọi là tôpô sinh bởi metric d.
Ví dụ 1.1.10. Cho X = R với metric thông thường d (x, y) = |x − y|.
Khi đó, họ các khoảng trên R là một tôpô trên R và được gọi là tôpô tự
nhiên trên R.
Chứng minh. Thật vậy,
∅ là tập con của mọi tập hợp nên ∅ ∈ T .
R = (−∞; +∞) nên R ∈ T .
Hợp các khoảng là một khoảng và giao hữu hạn các khoảng là một khoảng.
Do đó họ T các khoảng trên R là một tôpô trên R.
Định nghĩa 1.1.11[1]. Dãy {x
n
} trong không gian metric (X, d) được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X, nếu lim
n→∞
d(x
n
, x
0
) = 0.
12
Khi đó, viết lim

n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
khi n → ∞ ; điểm x
0
được gọi là
giới hạn của dãy {x
n
}.
Nhận xét 1.1.12. Dãy hội tụ trong không gian metric có giới hạn duy nhất.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử lim
n→∞
x
n
= a, lim
n→∞
x
n
= b. Khi đó,
0 ≤ d(a, b) ≤ d(a, x
n
) + d(x
n
, b), ∀n .

Suy ra
0 ≤ d(a, b) ≤ lim
n→∞
d(a, x
n
) + lim
n→∞
d(x
n
, b).
Hay
0 ≤ d(a, b) ≤ 0.
Vậy
d(a, b) = 0 hay a = b.
Nhận xét 1.1.13. Nếu lim
n→∞
x
n
= a và lim
n→∞
y
n
= b, thì
lim
n→∞
d(x
n
, y
n
) = d(a, b).

Chứng minh. Thật vậy, với mọi n, ta có
d(a, b) ≤ d(a, x
n
) + d(x
n
, y
n
) + d(y
n
, b).
13
Suy ra
d(a, b) − d(x
n
, y
n
) ≤ d(a, x
n
) + d(y
n
, b).
Tương tự, ta có
d(x
n
, y
n
) − d(a, b) ≤ d(a, x
n
) + d(y
n

, b).
Vì vậy,
0 ≤ |d(x
n
, y
n
) − d(a, b)| ≤ d(a, x
n
) + d(y
n
, b).
Bởi vì lim
n→∞
d(a, x
n
) = 0, và lim
n→∞
d(y
n
, b) = 0, ta suy ra
|d(x
n
, y
n
) − d(a, b)| = 0.
Ta có điều phải chứng minh.
1.2 Không gian metric Hausdorff
Định nghĩa 1.2.1 [10]. Cho (X, d) là một không gian metric. CB(X) là
họ các tập con khác rỗng, đóng, bị chặn của X. Khi đó:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một tập hợp được xác định bởi

d (x, A) = inf {d (x, y) : y ∈ A}.
2. Khoảng cách từ tập hợp A đến tập hợp B trong X được xác định bởi
H
A
(B) = sup {d (x, B) : x ∈ A}.
14
3. Khoảng cách Hausdorff giữa tập A và tập hợp B trong X được xác định
bởi:
H(A, B) = max {H
A
(B), H
B
(A)}
= max

sup
x∈A
inf
y∈B
d (x, y) , sup
y∈B
inf
x∈A
d (x, y)

.
Định lý 1.2.2 [10]. Cho (X, d) là một không gian metric,
A, B, C ∈ CB(X). Khi đó ta có:
1. H
A

(B) = 0 khi và chỉ khi A ⊂ B.
2. B ⊂ C thì H
A
(C) ≤ H
A
(B).
3. H
A∪B
(C) = max {H
A
(C), H
B
(C)}.
4. H
A
(B) ≤ H
A
(C) + H
C
(B).
Chứng minh. Thật vậy,
1. Nếu ta có H
A
(B) = 0 thì sup {d (x, B) : x ∈ A} = 0.
Vậy d (x, B) = 0, ∀x ∈ A.
Do đó tồn tại {y
n
} ⊂ B sao cho lim
n→∞
d (x, y

n
) = 0.
Hay lim
n→∞
y
n
= x. Do B ∈ CB(X) nên B là tập đóng, do đó x ∈ B. Vậy
A ⊂ B.
Ta có H
A
(B) = 0 khi và chỉ khi A ⊂ B.
2. Giả sử B, C ∈ CB(X) và B ⊂ C, với x ∈ X ta có
15
d (x, B) = inf
y∈B
d (x, y), d (x, C) = inf
z∈C
d (x, z).
Vì y ∈ B ⊂ C nên y ∈ C nên ta có
inf
y∈B
d (x, y) ≥ inf
z∈C
d (x, z).
Suy ra d (x, B) ≥ d (x, C), ∀x ∈ X.
Vậy A ⊂ X nên ta có d (x, B) ≥ d (x, C), ∀x ∈ A.
Ta suy ra sup
x∈A
d (x, B) ≥ sup
x∈A

d (x, C).
Hay H
A
(B) ≥ H
A
(C).
3. Theo định nghĩa về khoảng cách giữa hai tập hợp ta có:
H
A∪B
(C) = sup {d (x, C) : x ∈ A ∪ B}
= max {sup {d (x, C) : x ∈ A} , sup {d (x, C) : x ∈ B}}
= max {H
A
(C), H
B
(C)}.
4. Với a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ta luôn có
d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b).
Ta suy ra
inf
x∈B
d (a, x) ≤ d (a, c) + inf
x∈B
d (c, x).
Do đó ta có
d (a, B) ≤ d (a, c) + d (c, B).
16
Hay d (a, B) ≤ d (a, c) + sup
c∈C
d (c, B).

Suy ra d (a, B) ≤ d (a, c) + H
C
(B).
Do c là tùy ý trong C nên ta có
d (a, B) ≤ d (a, C) + H
C
(B).
Tương tự, do a lấy tùy ý trong A nên ta có
H
A
(B) ≤ H
A
(C) + H
C
(B).
Định lý 1.2.3 [10]. Cho (X, d) là một không gian metric, CB(X) là họ
các tập con khác rỗng, đóng, bị chặn của X.
Khi đó (CB(X), H) là một không gian metric.
Chứng minh. Ta đi kiểm tra H là một metric.
Thật vậy,
1. Ta có
H (A, B) = max {H
A
(B), H
B
(A)} ≥ 0, ∀A, B ∈ CB(X).
Nếu H (A, B) = 0 thì ta có
H
A
(B) = H

B
(A) = 0.
17
Tức là A ⊂ B và B ⊂ A. Hay A = B.
2. Hiển nhiên ta có
H (A, B) = H (B, A), ∀A, B ∈ CB(X).
3. Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức tam giác đối với H.
Giả sử A, B, C ∈ CB(X).
∀x, y, z : x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C ta luôn có
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).
Suy ra
d (x, y) ≤ d (x, C) + d (y, C).
Do y tùy ý trong B nên ta có
d (x, B) ≤ d (x, y).
Vậy d (x, B) ≤ d (x, C) + d (y, C).
Ta suy ra
d (x, B) ≤ H (A, C) + H (B, C).
Vậy ta có
sup
x∈A
d (x, B) ≤ H (A, C) + H (B, C).
Hay
18
H (A, B) ≤ H (A, C) + H (B, C).
Vậy H là một metric trên CB(X). Ta gọi là metric Hausdorff.
Do đó (CB(X), H) là một không gian metric, được gọi là không gian
metric Hausdorff.
Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.2.1. Metric Hausdorff phụ thuộc vào d nên từ tính đầy đủ
của không gian metric (X, d) ta nhận được tính đầy đủ của không gian

(CB(X), H).
Ví dụ 1.2.4. Cho X = R, A = [1; 2], B = [2; 3]. Khi đó H (A, B) = 1.
Chứng minh. Ta có
H
A
(B) = sup
a∈A
d (a, B) = 1.
H
B
(A) = sup
b∈B
d (b, A) = 1.
Khi đó
H (A, B) = 1.
19