Điểm bất động chung cho sáu xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (327.47 KB, 64 trang )

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Qua đây, cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến
TS. Hà Đức Vượng – người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn
thành Luận văn này.
Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau
Đại học và các thầy cô giáo đã tận tình quan tâm giảng dạy trong
suốt quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Lại Thị Thanh Huệ
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng
dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tôi đã
kế thừa những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và
biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn là trung thực và đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Lại Thị Thanh Huệ
Mục lục
Mở đầu 1
Nội dung 5
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . 17
2 Không gian metric xác suất và điểm bất động 21
2.1 Không gian metric xác suất . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Không gian metric xác suất Menger . . . . . . . . . 31
2.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian metric
xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan
hệ ẩn trong không gian metric xác suất 41
3.1 Quan hệ ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ
ẩn trong không gian metric xác suất . . . . . . . . . 44
3.3 Các hệ quả và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Cho M là một tập hợp bất kì, T là một ánh xạ đi từ M vào
chính nó. Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là
điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M.
Việc nghiên cứu về điểm bất động của một ánh xạ đã thu
hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này hình
thành nên: “Lý thuyết điểm bất động”.
Năm 1922, một kết quả kinh điển về điểm bất động được
công bố, đó là nguyên lý ánh xạ co Banach.
Năm 1942, Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”.
Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thay
cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố F
x,y
(t)
biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó.
Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc
biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian

metric xác suất và viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983.
Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng sang lớp không gian
này.
2
Năm 1993, Singh giới thiệu khái niệm các ánh xạ giao hoán
yếu trong không gian metric xác suất qua bài báo “Fixed points of
weakly commuting mappings on Menger spaces”.
Sử dụng khái niệm các ánh xạ R-giao hoán yếu từng điểm
(pointwise R-weakly commuting) và các ánh xạ liên tục nghịch đảo
(reciprocally continuous), Kumar và Chugh đã công bố một số kết
quả về điểm bất động chung cho các ánh xạ này trong không gian
metric.
Năm 2005, Mihet đã có kết quả mở rộng về điểm bất động
cho lớp ánh xạ co xác suất, công bố trong bài báo: “A generalization
of a contraction principle in probabilistic metric spaces, Part II”.
Năm 2010, một kết quả về điểm bất động chung cho sáu ánh
xạ co xác suất với quan hệ ẩn của các tác giả thuộc trường Đại học
Delhi của Ấn Độ: J. K. Kohli, Sachin Vashistha và Durgesh Kumar
được công bố trong bài báo: “A Common Fixed Point Theorem for
Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying Contrac-
tive Type Implicit Relations”.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự
hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề
tài nghiên cứu:
“Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ
ẩn trong không gian metric xác suất”.
Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danh
mục tài liệu tham khảo.
3
Chương 1: trình bày về không gian metric, không gian metric đầy

đủ và nguyên lý ánh xạ co Banach.
Chương 2: trình bày về không gian metric xác suất, không gian
metric xác suất Menger và sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach
trong lớp không gian này.
Chương 3: trình bày về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với
quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất, các hệ quả và ví dụ.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là nghiên cứu về điểm bất động chung
cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất.
Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của J. K. Kohli, Sachin
Vashistha và Durgesh Kumar trong bài báo: “A Common Fixed Point
Theorem for Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying
Contractive Type Implicit Relations”, đăng trên tạp chí Int. Journal
of Math. Analysis, năm 2010.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động chung
cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với
quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất.
4
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp
Đây sẽ là một bài tổng quan về điểm bất động chung cho
sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất. Giúp
người đọc hiểu những khái niệm và tính chất cơ bản về không gian
metric xác suất, đặc biệt là điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co
với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất.

5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Cho M là một tập hợp bất kì, T là một ánh xạ đi từ M vào
chính nó. Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là
điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M.
Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ đã góp phần đắc
lực cho việc giải quyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học
nói riêng, trong khoa học kĩ thuật nói chung.
Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức
cơ bản về không gian metric và kết quả kinh điển về điểm bất động,
đó là nguyên lý ánh xạ co Banach.
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅
cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực
R thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y.
6
2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X.
3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d
(x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm.
Ví dụ 1.1.1. Cho không gian R
n
, với mọi x = (x
1
, x
2
, x

n
),
y = (y
1
, y
2
, , y
n
) thuộc R
n
, ta đặt:
d (x, y) = max
1≤i≤n
|x
i
− y
i
| .
Ta có d là một metric trên R
n
.
Chứng minh. Ta kiểm tra 3 tiên đề metric:
Hiển nhiên ta có |x
i
− y
i
| ≥ 0, ∀i = 1, 2, , n.
Suy ra
max
1≤i≤n

2
, , x
n
) , y = (y
1
, y
2
, , y
n
) , z = (z
1
, z
2
, , z
n
)
thuộc R
n
,∀i = 1, 2, , n, ta có:
|x
i
− y
i
| = |x
i
− z
i
+ z
i
− y

i
| ≤ max
1≤i≤n
|x
i
− z
i
| + max
1≤i≤n
|z
i
− y
i
| .
Do đó d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ R
n
.
Vậy 3 tiên đề metric được thỏa mãn.
Suy ra d là một metric trên R
n
.
Ví dụ 1.1.2. Cho tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b],
kí hiệu C
[a,b]
, với hai phần tử bất kỳ x (t) , y (t) ∈ C
[a,b]
ta đặt:
d
1
(x, y) = max

max
a≤t≤b
|x (t) − y (t)| ≤ max
a≤t≤b
|x (t) − z (t)| + max
a≤t≤b
|z (t) − y (t)| .
Do đó d
1
(x, y) ≤ d
1
(x, z) + d
1
(z, y) , ∀x, y, z ∈ C
[a,b]
.
Vậy 3 tiên đề metric được thỏa mãn.
Suy ra d
1
là một metric trên C
[a,b]
.
9
Ví dụ 1.1.3. Trong tập hợp C
[a,b]
nói trên, nếu lấy khoảng cách
giữa hai phần tử x (t) , y (t) ∈ C
[a,b]
bằng:
d

|z (t) − y (t)| dt.
Do đó d
2
(x, y) ≤ d
2
(x, z) + d
2
(z, y) , ∀x, y, z ∈ C
[a,b]
.
Vậy 3 tiên đề metric được thỏa mãn.
Như vậy d
2
cũng là một metric trên C
[a,b]
.
Tập hơp C
[a,b]
với metric d
2
được kí hiệu là C
L
[a,b]
.
Nhận xét 1.1.1. Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định được
các metric khác nhau. Chẳng hạn như trong các ví dụ 1.1.2 và ví dụ
1.1.3, trên cùng tập hợp C
[a,b]
, có thể xác định các metric khác nhau là
d

1
(x, y) = max
a≤t≤b
|x (t) − y (t)| và d
2
(x, y) =
b

a
|x (t) − y (t)| dt.
Nhận xét 1.1.2. Không gian Metric là một không gian tôpô.
Với một điểm x bất kỳ trong không gian metric X ta định nghĩa một
11
hình cầu mở bán kính r > 0, tâm x là tập hợp
B (x; r) = {y ∈ X : d (x, y) < r} .
Họ hình cầu mở này sinh ra một tôpô trên X (tôpô sinh bởi metric).
Khi đó X trở thành không gian tôpô.
1.2 Không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.2.1. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy điểm
{x
n
} ⊂ X, điểm x
0
∈ X. Dãy điểm {x
n
} gọi là hội tụ tới điểm x
0
trong không gian metric X khi n → ∞, nếu ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N

∗
sao cho ∀n ≥ n
0
ta có d (x
n
, x) < ε, kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x
0
hay
x
n
→ x
0
khi n → ∞.
Định nghĩa 1.2.2. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy điểm
{x
n
} ⊂ X gọi là dãy cơ bản trong X, nếu ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao
cho ∀n, m ≥ n
0
ta có d (x
n
, x

m
) < ε. Hay lim
m,n→∞
d (x
n
, x
m
) = 0.
Nhận xét 1.2.1. Cho không gian metric (X, d). Mọi dãy điểm
{x
n
} ⊂ X hội tụ trong X đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.2.3. [1]. Không gian metric (X, d) gọi là không gian
metric đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần
tử của X.
12
Ví dụ 1.2.1. Trong không gian R
n
xét trong ví dụ 1.1.1, sự hội tụ
của dãy điểm

x
(m)

=

x
(m)
1
, x

(m)
2
, , x
(m)
n

, m = 1, 2, tới
điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) có nghĩa là:
max
1≤i≤n



x
(m)
i
− x
i



→ 0 khi m → ∞.
Suy ra




x
(m)
i
− x
i



→ 0 khi m → ∞, điều này tương đương với
x
(m)
i
→ x
i
, (i = 1, 2, , n).
Vậy sự hội tụ trong R
n
là sự hội tụ theo tọa độ.
Ta có không gian R
n
là không gian metric đầy đủ.
Thật vậy, giả sử

x
(m)

=


x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
n

, m = 1, 2, là
dãy cơ bản tùy ý trong R
n
.
Theo định nghĩa dãy cơ bản ∀ε > 0, ∃m
0
∈ N
∗
, ∀m, p ≥ m
0
ta có
d

x
(m)
, x
(p)

< ε hay
max

1≤i≤n



x
(m)
i
− x
(p)
i



< ε.
Suy ra



x
(m)
i
− x
(p)
i



< ε, ∀m, p ≥ m
0
, ∀i = 1, 2, , n. (1.1)

Các bất đẳng thức (1.1) chứng tỏ, với mỗi i = 1, 2, , n dãy

x
(m)
i

là dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn
lim
m→∞
x
(m)
i
= x
i
, i = 1, 2, , n.
Đặt x = (x
1
, x
2
, , x
n
) thì ta có dãy

x
(m)

⊂ R
n
đã cho hội tụ
theo tọa độ tới x trong không gian R

n
.
Mà sự hội tụ trong không gian R
n
là sự hội tụ theo tọa độ, nên dãy
13
cơ bản

x
(m)

⊂ R
n
đã cho hội tụ tới x trong không gian R
n
.
Vậy R
n
là không gian metric đầy đủ.
Ví dụ 1.2.2. Trong không gian C
L
[a,b]
sự hội tụ của dãy x
n
(t) tới
x (t) có nghĩa là
b

a
|x

n
(
t) − x (t)| dt → 0.
Sự hội tụ này gọi là “hội tụ trung bình”.
Ta có không gian C
L
[a,b]
là không gian metric không đầy đủ.
Thật vậy, cho [a, b] = [0, 1] và xét dãy x
n
(t) như sau:
x
n
(t) =













1 khi 0 ≤ t ≤
1
2

n + 1 − 2nt khi
1
2
< t ≤
1
2
+
1
2n
0 khi
1
2
+
1
2n
< t ≤ 1.
Ta có với mọi m > n:
d (x
n
, x
m
) =
1

0
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt =

1
2
+
1
2n

1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt.
Vì |x
n
(t) − x
m
(t)| ≤ 1 nên d (x
n
, x
m
) ≤
1
2n
→ 0, do đó dãy
x
n
(t) là một dãy cơ bản.
Dễ thấy dãy cơ bản này không hội tụ tới phần tử nào trong C
L


1
2
|x
n
(t) − x (t)| dt
cho nên ta phải có
1
2

0
|x
n
(t) − x (t)| dt → 0,
1

1
2
|x
n
(t) − x (t)| dt → 0.
Nhưng ta lại có
1
2

0
|x
n
(t) − 1| dt → 0,
1


1
2
|x
n
(t) − 0| dt → 0.
Vậy x (t) và 1 cùng là giới hạn của x
n
(t) trong C
L
[
0,
1
2
]
; x (t) và 0
cùng là giới hạn của x
n
(t) trong C
L
[
1
2
,1
]
.
Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra :
x (t) = 1

0 ≤ t ≤

1
2

, x (t) = 0

1
2
≤ t ≤ 1

.
Như vậy x (t) không liên tục trên [0, 1], và do đó x (t) không thuộc
C
L
[0,1]
.
Suy ra, dãy x
n
(t) không thể có giới hạn nào trong không gian C
L
[0,1]
.
Vậy không gian C
L
[a,b]
là không gian metric không đầy đủ.
Ví dụ 1.2.3. Cho X là một tập hợp nào đó và (Y, d) là một không
gian metric. Kí hiệu B là tập tất cả các hàm bị chặn f : X → Y .
15
Với các hàm bị chặn f và g bất kỳ thuộc B, ta đặt
d

0
(f, g) = sup
x∈X
d (f (x) , g (x))
thì (B, d
0
) là một không gian metric. Nếu (Y, d) là không gian metric
đầy đủ, thì (B, d
0
) cũng sẽ là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra (B, d
0
) là một không gian metric.
Thật vậy, ta kiểm tra 3 tiên đề metric:
Do d là metric trên Y nên d (f (x) , g (x)) ≥ 0, với mọi f, g ∈ B,
và mọi x thuộc X. Khi đó:
sup
x∈X
d (f (x) , g (x)) ≥ 0.
Suy ra d
0
(f, g) ≥ 0, ∀f, g ∈ B.
Nếu sup
x∈X
d (f (x) , g (x)) = 0 thì ta có
d (f (x) , g (x)) = 0, ∀x ∈ X.
Suy ra f (x) = g (x) , ∀x ∈ X.
Hay f = g.
Suy ra d
0

(f, g) = 0 ⇔ f = g, ∀f, g ∈ B.
Ta lại có
d
0
(f, g) = sup
x∈X
d (f (x) , g (x))
= sup
x∈X
d (g (x) , f (x))
= d
0
(g, f) .
Suy ra d
0
(f, g) = d
0
(g, f) , ∀f, g ∈ B.
16
Cuối cùng ta xét với mọi f, g, h ∈ B, ∀x ∈ X ta có
d (f (x) , g (x)) ≤ d (f (x) , h (x)) + d (h (x) , g (x))
≤ sup
x∈X
d (f (x) , h (x)) + sup
x∈X
d (h (x) , g (x)) .
Suy ra
sup
x∈X
d (f (x) , g (x)) ≤ sup

x∈X
d (f (x) , h (x)) + sup
x∈X
d (h (x) , g (x)) .
Do đó d
0
(f, g) ≤ d
0
(f, h) + d
0
(h, g) , ∀f, h, g ∈ B.
Như vậy (B, d
0
) là không gian metric.
Nếu Y là không gian metric đầy đủ, ta chứng minh B cũng là không
gian metric đầy đủ.
Thật vậy, giả sử {f
n
} là dãy cơ bản trong không gian B, khi đó với
mỗi x ∈ X dãy {f
n
(x)} là dãy cơ bản trong không gian Y . Do Y
là không gian đầy đủ nên dãy {f
n
(x)} hội tụ tới hàm f (x) trong
Y , tức là ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n ≥ n

0
ta có:
d (f
n
(x) , f (x)) < ε, ∀x ∈ X.
Suy ra
sup
x∈X
d (f
n
(x) , f (x)) < ε.
Do đó
d
0
(f
n
, f) < ε.
Như vậy dãy hàm {f
n
} hội tụ tới hàm f trong B.
Vậy mọi dãy cơ bản {f
n
} trong không gian B đều hội tụ tới hàm f
trong B.
Do đó B là không gian metric đầy đủ.
17
1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 1.3.1. [1]. Cho hai không gian metric (X, d
1
) và

(Y, d
2
). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là ánh
xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:
d
2
(Ax, Ay) ≤ kd
1
(x, y) , ∀x, y ∈ X.
Định lí 1.3.1. [1]. (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho không
gian metric đầy đủ (X, d) và A : X → X là một ánh xạ co. Khi
đó A có điểm bất động duy nhất. Nghĩa là tồn tại x
0
∈ X thỏa
mãn Ax
0
= x
0
.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh sự tồn tại x
0
∈ X thỏa mãn
Ax
0
= x
0
.
Lấy một điểm bất kì x
0
∈ X và lập dãy x

n
= Ax
n−1
, n = 1, 2,
ta được:
d (x
2
, x
1
) = d (Ax
1
, Ax
0
) ≤ kd (x
1
, x
0
) = kd (Ax
0
, x
0
)
d (x
3
, x
2
) = d (Ax
2
, Ax
1

) ≤ kd (x
2
, x
1
) ≤ k
2
d (Ax
0
, x
0
)

d (x
n+1
, x
n
) = d (Ax
n
, Ax
n−1
) ≤ kd (x
n
, x
n−1
) ≤ k
n
d (Ax
0
, x
0

) .
với n = 1, 2,
Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, , ta có
d (x
n+p
, x
n
) ≤
p

m=1
d (Ax
n+m
, Ax
n+m−1
) ≤ d (Ax
0
, x
0
)
p

m=1
k
n+m−1
= d (Ax
0
, x
0
)

k
n
− k
n+p
1 − k
≤
k
n
1 − k
d (Ax
0
, x
0
) .
18
Vì k ∈ [0, 1), nên lim
n→∞
k
n
= 0, do đó lim
n→∞
d (x
n+p
, x
n
) = 0,
∀p ∈ N
∗
, nghĩa là dãy {x
n

} là dãy cơ bản trong không gian metric
đầy đủ X. Từ đó tồn tại lim
n→∞
x
n
= x
0
∈ X.
Ta chứng minh x
0
là điểm bất động của ánh xạ A.
Ta có
d (Ax
0
, x
0
)
≤ d (Ax
0
, x
n
) + d (x
n
, x
0
)
= d (Ax
0
, Ax
n−1

) + d (x
n
, x
0
)
≤ kd (x
0
, x
n−1
) + d (x
n
, x
0
) , ∀n = 1, 2,
Cho n → ∞ ta được d (Ax
0
, x
0
)
= 0 hay Ax
0
= x
0
, nghĩa là x
0
là
điểm bất động của ánh xạ A.
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất: Giả sử tồn tại y
0
∈ X cũng

là điểm bất động của ánh xạ A thì ta có
d (x
0
, y
0
) = d (Ax
0
, Ay
0
) ≤ kd (x
0
, y
0
) .
Suy ra
(1 − k) d (x
0
, y
0
) ≤ 0.
Do k ∈ [0, 1) nên ta có d (x
0
, y
0
) = 0, suy ra x
0
= y
0
.
Vậy x

0
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.3.1. Cho hệ phương trình tuyến tính
x
i
=
n

j=1
a
ij
x
j
+ b
i
, ( i = 1, 2, , n)
19
trong đó a
ij
, b
i
là những hằng số thực thỏa mãn:
n

j=1
a
ij
< 1, ( i = 1, 2, , n) .
Chứng minh hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Chứng minh. Xét không gian R
n
, với metric
d (x, y) = max
1≤i≤n
|x
i
− y
i
| .
Theo ví dụ 1.2.1, không gian (R
n
, d) là không gian metric đầy đủ.
Xét ánh xạ:
f : R
n
→ R
n
x → y = Ax + b
với x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = f (x) = (y
1
, y
2
, , y

n
), A = (a
ij
)
n×n
,
b = (b
1
, b
2
, , b
n
).
Ta chứng minh f là ánh xạ co.
Thật vậy, với mọi x, x

∈ R
n
ta có:
d (f (x) , f (x

)) = max
1≤i≤n
|y
i
− y

i
| = max
1≤i≤n






n

j=1
a
ij
(x
j
− x

j
)





≤ max
1≤i≤n
n

j=1
|a
ij
| |x
j


j=1
|a
ij
|

d (x, x

).
Do đó d (f (x) , f (x

)) ≤ kd (x, x

) , k = max
1≤i≤n
n

j=1
|a
ij
| < 1.
20
Vậy f là ánh xạ co, nên theo nguyên lý ánh xạ co Banach tồn tại
duy nhất điểm bất động của ánh xạ f trong R
n
.
Suy ra hệ y = Ax + b có nghiệm duy nhất.
Trong chương này chúng tôi đã trình bày lại các khái niệm,
tính chất cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ
cùng một số ví dụ minh họa và trình bày kết quả kinh điển về điểm

bất động đó là nguyên lý ánh xạ co Banach. Đây là những kiến thức
nền tảng phục vụ cho việc nghiên cứu về không gian metric xác suất
và sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach sang không gian metric
xác suất được trình bày ở chương tiếp theo.
21
Chương 2
Không gian metric xác suất và
điểm bất động
Năm 1942, Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”.
Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thay
cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố F
x,y
(t)
biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó.
Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc
biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian
metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983.
Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng sang lớp không gian
này.
Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm
và tính chất cơ bản về không gian metric xác suất, và trình bày sự
mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach sang lớp không gian này.

Điểm bất động chung cho sáu xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về