Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực vật lý

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Biên Giới
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệm
cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số
bài toán trong lĩnh vực Vật lý” được hoàn thành bởi nhận thức của
bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Biên Giới
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM
CẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Các khái niệm về bậc và một số ví dụ . . . . 5
1.1.1. Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Một số ví dụ về bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận . . 10
1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. Một số ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân . . . . . . 13
1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . 15
1.3. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . 19
1.4. Hàm Gamma không hoàn chỉnh . 23
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1. Ý tưởng khai triển tiệm cận đối với tích phân loại Laplace 25
2.1.1. Ý tưởng chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2. Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . 27
2.2.1. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2. Định lý (Bổ đề tích phân từng phần) . . . . . . . . . . . . 29
1
2.3. Bổ đề Watson . . . . 32
2.3.1. Ví dụ phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2. Định lý (Bổ đề Watson) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Phương pháp Laplace . . . . . . 37
2.4.1. Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2. Định lý (Phương pháp Laplace). . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Chương 3. ÁP DỤNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VẬT LÝ
– TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1. Phương trình Sch¨otdinger. . . 50
3.2. Bài toán Burgers . . . . . 53

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
Chương 1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực Vật lý dẫn đến việc giải một
số các phương trình Toán học mà nghiệm của nó được biểu diễn dưới
dạng các tích phân. Có khá nhiều các tích phân như vậy được gắn với
những hàm đặc biệt như hàm Bessel, các hàm siêu hình học, . . Ngoài
ra, cũng phải kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài
toán về phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính là các phép biến đổi tích phân. Chẳng hạn, nghiệm của bài
toán Cauchy đối với phương trình Sch¨otdinger
iΦ
t
+ Φ
xx
=0
được cho bởi công thức
Φ(x, t) =
1
2π
+∞

−∞
ˆ
Φ
0
(k)e

ikx−ik
2
t
dk,
ở đó
ˆ
Φ
0
(k) là biến đổi Fourier của dữ kiện đầu Φ(x, 0). Mặc dù, các tích
phân như vậy cho ta nghiệm chính xác của bài toán, nhưng về mặt định
lượng của chúng là không hẳn được rõ ràng. Để giải thích được ý nghĩa
cơ bản về khía cạnh Vật lý, cũng như về mặt Toán học đối với những
nghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dáng điệu của chúng khi
3
các biến x và t khá lớn. Thông thường, như đối với các bài toán về
chuyển động sóng, quá trình giới hạn được quan tâm đến là khi t → ∞
mà c =
x
t
vẫn được giữ cố định. Như trường hợp của phương trình trên,
người ta cần nghiên cứu phương trình
Φ(x, t) =
+∞

−∞
ˆ
Φ
0
(k)e
itφ(k)

dk; t → ∞
ở đó φ(k) = kc −k
2
.
Một trong những phương pháp xử lý các bài toán thuộc về lĩnh vực
này phải kể đến đó là lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân.
Điểm khởi đầu mang tính trực giác, người ta có thể thấy ngay đó là
việc dùng phương pháp tích phân từng phần. Tuy nhiên, từ sự hạn
chế nhất định của phương pháp này, các nhà toán học đã tìm ra một
số các phương pháp để khắc phục các nhược điểmở đây. Một trong
những điểm nổi bật đó, ta phải kể đến phương pháp Laplace trong
việc xử lý các tích phân dạng này. Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp
chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ khoa học Toán học, em chọn đề tài
“Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace
và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý”.
Luận văn được cấu trúc thành 03 chương. Chương 1 được dành để đưa
ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết tiệm cận. Trong chương 2 của
luận văn, chúng tôi trình bày một cách có hệ thống một số phương pháp
ước lượng xấp xỉ tích phân loại Laplace. Ở chương cuối của luận văn,
chúng tôi minh họa một số áp dụng của các phương pháp xấp xỉ trên
đây trong việc giải quyết một số bài toán liên quan đến lĩnh vực Vật lý.
4
2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên
cứu
Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận;
trình bày một số phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại
Laplace và ứng dụng của các phương pháp này trong việc giải quyết một
số bài toán trong lĩnh vực Vật lý.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục

đích nghiên cứu.
4. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về lý thuyết khai triển tiệm cận.
Trình bày một số phương pháp xấp xỉ tích phân loại Laplace.
Minh họa một số ứng dụng của phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với
tích phân loại Laplace qua việc giải quyết hai bài toán xảy ra trong lĩnh
vực Vật lý.
5
Chương 2
MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI
TÍCH TIỆM CẬN
Giải tích tiệm cận được hình thành khởi nguồn từ một số các công trình
tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được xây
dựng một cách hệ thống bởi Stieltjes [6] và Poincaré [5]. Ở đây, người ta
nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận.
Thông thường các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi
lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Trong
chương này, chúng tôi sẽ trình bày với mức độ cần thiết và căn bản nhất
về lý thuyết giải tích tiệm cận.
2.1. Các khái niệm về bậc và một số ví dụ
2.1.1. Lời dẫn
Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D.
B. Reymond. Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét đến
một bài toán thường gặp trong thực tế. Tính giá trị của tích phân
I(ε) =
∞

0
e
−t

1 + εt
dt; với ε > 0đủ nhỏ.
6
Như đã trình bày trong phần mở đầu, chúng tôi sẽ trình bày một phương
pháp xấp xỉ của tích phân I(ε) bằng phương pháp dễ tiếp cận nhất
(phương pháp tích phân từng phân). Lấy tích phân từng phần lần thứ
nhất ta thu được
I(ε) = 1 −ε
∞

0
e
−t
(1 + εt)
2
dt.
Lặp lại quá trình này N lần, ta nhận được
I(ε) = 1 −ε + 2!ε
2
− 3!ε
3
+ + (−1)
N
N!ε
N
+ (−1)
N+1
(N + 1)!ε
N+1
∞


0
e
−t
(1 + εt)
N+2
dt. (2.1)
Vế phải của phương trình này, được gọi là một khai triể tiệm cận của I(ε)
tới số hạng (N + 1). Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng thứ
N. Điều này cũng đương nhiên đúng đối với tất cả n = 0, 1, 2, , N −1.
Ta chỉ ngay ra điều đó với n = N. Bởi vì ε là số dương đủ nhỏ, nên
1 + εt ≥ 1 và ta có đánh giá
∞

0
e
−t
(1 + εt)
N+2
dt ≤
∞

0
e
−t
dt = 1.
Từ điều này suy ra rằng







(−1)
N+1
(N + 1)!ε
N+1
∞

0
e
−t
(1 + εt)
N+2
dt






≤



(−1)
N+1
(N + 1)!ε
N+1




≤



(−1)
N+1
N!ε
N



.
Điều quan trọng là ta thấy rằng khai triển chuỗi dưới dạng phương trình
(1.1) là không hội tụ. Ta có thể thấy ngay nhận xét này rằng khi ε cố
7
định thì số hạng
(−1)
N+1
N!ε
N
→ ∞; khi N → ∞.
Thế nhưng, với N cố định thì
(−1)
N+1
N!ε
N
→ 0; khi ε → 0.
Đây chính là nguyên nhân cho thấy rằng khai triển trên là một xấp xỉ

tốt đối với tích phân I(ε) khi ε → 0. Một cách tự nhiên xuất phát từ sự
nhận xét có tích trực giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đến việc giới
thiệu một số khía niệm quan trọng trong lý thuyết Giải tích tiệm cận.
Giả sử ε là số dương nhỏ tùy ý, chúng ta sử dụng một số thuật ngữ
(i) −ε có cùng bậc với ε và 4!ε
4
có cùng bậc với ε
4
. Các phát biểu
này được ký hiệu tương ứng bởi −ε = O(ε) và 4!ε
4
= O

ε
4

;
(ii) 2!ε
2
là có bậc nhỏ hơn ε, nó được ký hiệu bởi 2!ε
2
= o(ε) hoặc
2!ε
2
 ε;
(iii) Nếu xấp xỉ I(ε) bởi I(ε) = 1 − ε + 2!ε
2
, thì xấp xỉ này có độ
chính xác đến bậc ε
2

.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chính xác hóa các khái niệm đã nói trên đây. Các
ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B.
Reymond.
2.1.2. Các khái niệm về “không” bậc
Cho f(z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt
phẳng phức C và cho z
0
là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô
cùng). Ta nói
8
(i) O bậc lớn. Hàm f(z) được gọi là có “ O bậc lớn” đối với hàm
g(z) khi z → z
0
(hoặc f(z) có cùng bậc g(z) khi z → z
0
) và ký hiệu là
f(z) = O(g(z)); z → z
0
,
nếu tồn tại một hằng số dương M và một lân cận U của z
0
sao cho
|f(z)| ≤ M |g(z)|; với mọi z ∈ U ∩ D.
Đơn giản hơn, nếu hàm g(z) không triệt tiêu trên D, thì
f(z) = O(g(z)); khi z → z
0
nghĩa là tồn tại hằng số dương M và một lân cận U của z
0
sao cho





f(z)
g(z)




≤ M; với mọi z ∈ U ∩D.
Trường hợp đặc biệt, hàm
f(z) = O(1); khi z → z
0
.
Điều đó, nghĩa là hàm f(z) bị chặn khi z tiến tới z
0
.
Trong các khái niệm trên, hàm g(z) thương được gọi là “hàm cỡ” bởi vì
hàm đó xác định dáng điệu của hàm f(z) khi z → z
0
.
(ii) o bậc nhỏ. Hàm f(z) được gọi là có “o bậc nhỏ” đối với hàm
g(z) khi z → z
0
(hoặc f(z) là tiệm cận nhỏ hơn đối với hàm g(z) khi
z → z
0
) và ký hiệu là
f(z) = o (g(z)) ; khi z → z

0
nếu với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại một lân cận U của z
0
sao cho
|f(z)| ≤ ε |g(z)|; với mọi z ∈ U ∩ D.
9
Cũng đơn giản hơn, nếu g(z) không triệt tiêu trong lân cận của z
0
có
thể trừ ra tại điểm này, thì f(z) = o (g(z)) nghĩa là
lim
z→z
0




f(z)
g(z)




= 0.
(iii) Bậc tương đương. Ta nói f(z) có bậc tương đương với hàm
g(z) khi z → z
0
và ký hiệu là f(z) ∼ g(z) khi z → z
0
nếu

lim
z→z
0




f(z)
g(z)




= 1
hay
f(z) = g(z) + o (g(z)) khi z → z
0
.
2.1.3. Chú ý
Khái niệm O- bậc cho ta nhiều thông tin hơn o- bậc về dáng điệu của
các hàm liên quan trong quá trình z → z
0
. Chẳng hạn
sin z = z + o(z
2
); khi z → z
0
,
cho ta biết sin z − z tiến tới 0 nhanh hơn z
2

. Tuy nhiên
sin z = z + O(z
3
); khi z → z
0
,
cho ta biết rằng sin z − z tiến tới 0 gần như z
3
khi z → z
0
.
2.1.4. Một số ví dụ về bậc
Đối với hàm số f(t) = 5t
2
+ t + 3, ta có các so sánh về bậc trong một số
quá trình dưới đây
f(t) = o(t
3
), f(t) = O(t
2
) và f(t) ∼ 5t
2
; khi t → ∞.
10
f(t) ∼ 3; khi t → 0
f(t) = o

1
t


; khi t → ∞.
2.1.5. Nhận xét
(i) Các ký hiệu O, o và ∼ cũng dùng được đối với các hàm với biến rời
rạc. Chẳng hạn, như với dãy số thực (nghĩa là hàm của các số nguyên
dương n). Đối với dãy số x
n
= 5n
2
− 6n + 9 ta thấy rằng
x
n
= o(n
3
), x
n
= O(n
2
) và x
n
∼ 5n
2
; khi n → ∞.
(ii) Người ta cũng thường sử dụng ký hiệu f(k)  g(k); khi k → k
0
đồng nghĩa với f(k) = o(g(k)); khi k → k
0
.
2.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận
2.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận
Một dãy hàm {φ

n
(k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k
0
nếu có
một lân cận của k
0
sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt
tiêu (ngoại trừ tại k
0
) và với mọi n ta có
φ
n+1
= o(φ
n
); khi k → k
0
.
Chẳng hạn, nếu k
0
hữu hạn thì {(k − k
0
)
n
} là một dãy tiệm cận khi
k → k
0
, còn {k
−n
} là một dãy tiệm cận khi k → ∞.
11

2.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận
Chuỗi hình thức
∞

n=0
a
n
φ
n
(k) = a
0
φ
0
(k) + a
1
φ
1
(k) + + a
n
φ
n
(k) +
được gọi là một khai triển tiệm cận của hàm f(k) tương ứng với dãy
tiệm cận {φ
m
(k)} nếu với mọi m = 0, 1, 2, . . .
f(k) −
m

n=0

a
n
φ
n
(k) = o(φ
m
(k)); khi k → k
0
.
Từ đó ta nhận được
f(k) −
m−1

n=0
a
n
φ
n
(k) = a
m
φ
m
(k) + o(φ
m
(k))
tổng riêng
m−1

n=0
a

n
φ
n
(k) là một xấp xỉ của hàm f(k) với sai số O (φ
m
) khi
k → k
0
, bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của phần
dư. Nếu khai triển tiệm cận tồn tại thì nó là duy nhất và các hệ số của
nó được cho bởi
a
m
= lim
k→k
0

f(k) −
m−1

n=0
a
n
φ
n
(k)

.
1
φ

m
(k)

.
Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết
f(k) ∼
∞

n=0
a
n
φ
n
(k).
Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ
tiệm cận của hàm f(k). Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và
chúng ta thường viết f(k) ∼ a
0
φ
0
(k). Điều đó có nghĩa là
f(k)
φ
0
(k)
→ a
0
; khi k → k
0
.

12
Nếu điểm giới hạn x
0
là hữu hạn, R có thể là một khoảng mở của x
0
, x
0
có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lân cận của x
0
là một khoảng
mở |x −x
0
| < δ. Nhưng nếu x
0
là điểm vô cùng, chúng ta phải phân biệt
giữa x → +∞, trong trường hợp này R có thể coi là một khoảng vô hạn
x > a và x → −∞, trong trường hợp này R có thể coi là x < b. Có một
số trường hợp khi R là một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều
kiện cần để tìm một khai triển tiệm cận của tổng riêng thứ n của một
chuỗi vô hạn khi n là đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại, theo
nghĩa bên ngoài của miền này nó không hội tụ.
Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm
cận. Chẳng hạn, khi k → ∞ thì
1
k − 1
˜
∞

n=1
1

k
n
và
1
k − 1
˜
∞

n=1
k + 1
k
2n
.
Trong các ví dụ này, các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ. Hơn
nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận. Ví dụ nếu
−
1
2
π + δ ≤ ph(k) ≤
1
2
π −δ; với 0 < δ <
1
2
π
hai hàm
1
k+1
,
1

k+1
+ e
−k
có cùng khai triển tiệm cận
∞

n=1
(−1)
k
n
n−1
; khi k → ∞,
vì k
n
và e
−k
→ 0 khi k → ∞ trong miền đã cho.
13
2.2.3. Một số ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích
phân
Ví dụ 2.1. Tìm khai triển tiệm cận của tích phân
J(k) =
∞

0
e
−kt
1 + t
dt; khi k → ∞.
Đặt t


= kt và ε =
1
k
, chúng ta thấy rằng
J = ε
∞

0
e
−t

1 + εt

dt

.
Từ phương trình (1.1), bằng việc thay ε =
1
k
ta nhận được ngay
J(k) =
1
k
−
1!
k
2
+
2!

k
3
− + (−1)
N−1
(N − 1)!
k
N
+ R
N
(k)
R
N
(k) =
(−1)
N
N!
k
N+1
∞

0
e
−t
dt
(1 + t/k)
N+1
. (2.2)
Như cách đánh giá đã giới thiệu trên, ta thấy rằng
|R
N

(k)| ≤
N!
k
N+1

1
k
N
.
Lưu ý rằng phương trình (1.2) là một biểu diễn chính xác. Khi k → ∞
dãy hàm
1
k
,
1!
k
2
,
2!
k
3
,
chính là dãy tiệm cận và phương trình (1.2) cho ta một khai triển tiệm
cận của I(k) với k nhận giá trị lớn. Một lần nữa nhắc lại rằng, khai triển
trên không hội tụ khi N → ∞ và k cố định chuỗi không hội tụ; nhưng
khi k → ∞ và N cố định R
N
→ 0.
14
Ví dụ 2.2. Tìm khai triển tiệm cận của tích phân

I(k) =
∞

k
e
−t
t
dt; khi k → ∞.
Lấy tích phân từng phần N lần chúng ta dễ dàng tính được
I(k) = e
−k

1
k
−
1!
k
2
+
2!
k
3
− + (−1)
N−1
(N − 1)!
k
N

+ R
N

(k);
R
N
(k) = (−1)
N
N!
∞

k
e
−t
t
N+1
dt. (2.3)
Khi k → ∞ các số hạng
e
−k
k
,
e
−k
k
2
,
e
−k
k
3
, lập thành một dãy tiệm cận.
Chúng ta cũng dễ dàng thấy rằng

|R
N
(k)| <
N!
k
N+1
∞

k
e
−t
dt =
N!e
−k
k
N+1

e
−k
k
N
.
Như vậy, phương trình (1.3) là một khai triển tiệm cận của tích phân
đã cho khi k → ∞. Khi N → ∞ với mỗi k cố định thì |R
N
| → ∞, nên
chuỗi phân kỳ. Khi k → ∞ và N cố định, thì R
N
→ 0 (chúng ta nhận
được một khai triển tiệm cận của tích phân đó).

Chuỗi tiệm cận thường cho những xấp xỉ tốt. Chẳng hạn, khi k = 10 và
N = 2, sai số giữa giá trị chính xác và hai số hạng đầu tiên của chuỗi là
R
2
(10) được đánh giá như sau
|R
2
(10)| < 0, 002 × e
−10
.
Rõ ràng sai số này là rất nhỏ. Thực tế, ngay cả khi k = 3 và N = 2,
chúng ta có
|R
2
(3)| ≤
2
(3e)
3
= 3.7 ×10
−3
.
15
Tuy nhiên, ta không thể lấy quá nhiều số hạng trong dãy bởi vì một lúc
nào đó phần tư sẽ giảm, thậm chí còn tăng khi N tăng. Về mặt nguyên
tắc, ta có thể tìm giá trị "tối ưu" của N để với k cố định, thì phần dư
là nhỏ nhất (xấp xỉ tốt nhất). Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi
không đề cập chi tiết về vấn đề này. Trong hầu hết những áp dụng trong
luận văn, việc thu được một vài số hạng đầu tiên của khai triển tiệm
cận là đủ cho việc trìn bày vấn đề đặt ra.
2.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận

Tính duy nhất. Cho một dãy tiệm cận {φ
n
(x)}, dãy khai triển tiệm
cận của f(x) là duy nhất, nghĩa là a
n
được xác định duy nhất như sau
a
1
= lim
x→x
0
f(x)
φ
1
(x)
a
2
= lim
x→x
0
f(x) − a
1
φ
1
(x)
φ
2
(x)

a

N
= lim
x→x
0
f(x) −
N−1

n=1
a
n
φ
n
(x)
φ
N
(x)
.
Tính không duy nhất. Với một hàm f(x) có thể có nhiều khai triển
tiệm cận khác nhau. Chẳng hạn, khi x → 0,
tan x ∼ x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+ ·· ·

∼ sin x +
1
2
(sin x)
3
+
3
8
(sin x)
5
+ ·· ·.
Tính trội nhỏ. Một khai triển tiệm cận có thể là khai triển của nhiều
hơn một hàm. Chẳng hạn, nếu
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x −x
0
)
n
; khi x → x
0
,
16
thì
f(x) + e
−

1
(x−x
0
)
2
∼
∞

n=0
a
n
(x −x
0
)
n
; khi x → x
0
(do e
−
1
(x−x
0
)
2
= o ((x − x
0
)
n
) khi x → x
0

với mọi n). Hơn nữa
∞

n=0
a
n
(x −x
0
)
n
là tiệm cận khi x → x
0
của một hàm bất kỳ khác f(x) bởi một hàm
g(x) sao cho g(x) → 0 khi x → x
0
nhanh hơn mọi lũy thừa của x → x
0
.
Một hàm g(x) như thế được gọi là trội nhỏ hơn một chuỗi lũy thừa tiệm
cận, chuỗi lũy thừa tiệm cận của g(x) có thể là
g(x) ∼
∞

n=0
0 ·(x −x
0
)
n
.
Vì vậy một khai triển tiệm cận là tiệm cận của một lớp các hàm, chúng

khác nhau bởi các hàm trôi nhỏ. Chẳng hạn, hàm e
−x
là trội nhỏ so với
một chuỗi tiệm cận có dạng
∞

n=0
a
n
x
−n
; khi x → +∞
và vì vậy nếu f(x) có một khai triển tiệm cận thì f(x) + e
−x
cũng vậy,
nghĩa là f(x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai khác hàm
mũ nhỏ.
Tính bằng nhau của các hệ số. Nếu ta viết
∞

n=0
a
n
· (x − x
0
)
n
∼
∞


n=0
b
n
· (x −x
0
)
n
(2.4)
thì chúng ta nói đến lớp các hàm
∞

n=0
a
n
· (x − x
0
)
n
và
∞

n=0
b
n
· (x −x
0
)
n
là tiệm cận khi x → x
0

, chúng là như nhau. Hơn nữa tính duy nhất của
khai triển tiệm cận nghĩa là a
n
= b
n
với mọi n, nghĩa là các hệ số của
17
các luỹ thừa của x −x
0
trong (1.4) là bằng nhau.
Các phép toán đại số. Giả sử
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
φ
n
(x) và g(x) ∼
∞

n=0
b
n
φ
n
(x); khi x → x
0
thì

αf(x) + βg(x) ∼
∞

n=0
(a
n
+ b
n
) ·φ
n
(x); khi x → x
0
.
với α và β là các hằng số. Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chia
miễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn. Nói riêng với các chuỗi
luỹ thừa tiệm cận, khi φ
n
(x) = (x −x
0
)
n
, các phép toán đó được thực
hiện như sau
f(x) · g(x) ∼
∞

n=0
c
n
(x −x

0
)
n
;
với c
n
=
n

m=0
a
n
b
n−m
và nếu b
0
= 0, d
0
=
a
0
b
0
thì
f(x)
g(x)
∼
∞

n=0

d
n
(x −x
0
)
n
;
trong đó
d
n
=
a
n
−
n−1

m=0
d
m
b
n−m
b
0
.
Tích phân của khai triển tiệm cận. Một chuỗi lũy thừa tiệm cận có
thể lấy tích phân từng số hạng (nếu f(x) khả tích gần x = x
0
). Vì vậy,
nếu
f(x) ∼

∞

n=0
a
n
(x −x
0
)
n
; khi x → x
0
18
thì
x

x
0
f(t)dt ∼
∞

n=0
a
n
n + 1
(x −x
0
)
n+1
; khi x → x
0

.
Tính khả vi của khai triển tiệm cận. Trong trường hợp tổng quát,
một khai triển tiệm cận không thể lấy đạo hàm từng số hạng. Bài toán
với tính khả vi liên quan đến tính trội nhỏ.
Ví dụ 2.3. Hai hàm
f(x) và g(x) = f(x) + e
−
1
(x−x
0
)
2
sin

e
1
(x−x
0
)
2

khác nhau bởi một hàm trội nhỏ và vì vậy chúng ta có cùng chuỗi lũy
thừa tiệm cận khi x → x
0
. Tuy nhiên f

(x) và
g

(x) = f


(x) −2(x −x
0
)
−3
cos e
1
(x−x
0
)
2
+ 2(x − x
0
)
−3
e
−
1
(x−x
0
)
2
sin e
1
(x−x
0
)
2
không có cùng chuỗi luỹ thừa tiệm cận khi x → x
0

. Tuy nhiên nếu f

(x)
tồn tại, là khả tích và
f(x) ∼
∞

n=0
a
n
(x −x
0
)
n
; khi x → x
0
thì
f

(x) ∼
∞

n=0
na
n
(x −x
0
)
n−1
; khi x → x

0
.
Đặc biệt, nếu f(x) là giải tích trên một miền nào đó thì nó có thể đạo
hàm từng số hạng của khai triển tiệm cận của f(x). Nhắc lại rằng một
hàm số thực f(x) được gọi là giải tích tại x = x
0
nếu nó có thể biểu diễn
bởi một chuỗi luỹ thừa của x −x
0
với bán kính hội tụ khác không.
19
Ví dụ 2.4.
1
x −1
∼
1
x
+
1
x
2
+ ·· ·; khi x → +∞.
Ta dễ dàng chỉ ra chuỗi này có hội tụ khi x > 1 và vì vậy
1
x −1
giải tích
khi x > 1 và
1
(x −1)
2

∼
1
x
2
+
2
x
3
+ ·· ·; khi x → +∞.
(Cả hai chuỗi này là khai triển Taylor của các hàm tương ứng.)
2.3. Hàm Gamma
Hàm Gamma được xác định bởi biến đổi tích phân
Γ(x) =
∞

0
e
−t
t
x−1
dt; x > 0
hội tụ với mọi giá trị dương của x.
Một số dạng biểu diễn tích phân khác. Hàm Gamma có một số
biểu diễn tích phân dưới đây. Bằng phép đổi biến u = e
−t
ta nhận được
Γ(x) =
∞

0

t
x−1
e
−t
dt = −
0

−1

ln

1
u

x−1
u
1
u
du =
1

0

ln

1
u

x−1
du.

Với phép đổi biến t = m
2
ta nhận được biểu diễn khác là
Γ(x) =
∞

0
t
x−1
e
−t
dt =
∞

0
m
2(x−1)
e
−m
2
2mdm = 2
∞

0
m
2x−1
e
−m
2
dm.

20
Một số giá trị đặc biệt của hàm Gamma. Thay x bởi x+1 ta nhận
được
Γ(x + 1) =
∞

0
t
x+1−1
e
−t
dt =
∞

0
t
x
e
−t
dt
= −
∞

0
t
x
d(e
−t
) = −t
x

e
−t


∞
0
+ x
∞

0
t
x−1
e
−t
dt
= xΓ(x).
Như vậy ta nhận được quan hệ
Γ(x + 1) = xΓ(x). (2.5)
Từ (1.5) ta suy ra ngay các công thức dưới đây
Γ(x) =
Γ(x + 1)
x
, (2.6)
Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1), (2.7)
Γ(−x) =
Γ(x −1)
−x
; x = 0, 1, 2, (2.8)
Thực hiện việc tính toán đơn giản đối với tích phân suy rộng, ta có
Γ(1) =

+∞

0
e
−x
dx = 1.
Do đó, sử dụng công thức (1.5) ta nhận được
Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1.Γ(1) = 1.1 = 1
Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2.Γ(2) = 2.1 = 2!
Γ(4) = Γ(3 + 1) = 3.Γ(3) = 3.2.1 = 3!
. .
Bằng quy nạp, ta thu được hai công thức được viết như sau
Γ(n + 1) = n.Γ(n) = n 3.2.1 = n!. (2.9)
21
Γ(n) = (n − 1).Γ(n − 1) = (n − 1) 3.2.1 = (n −1)!. (2.10)
Để nhận được một số giá trị đặc biệt khác cần thiết cho việc sử dụng
về sau này, ta thực hiện một số phép biến đổi đơn giản sau. Trước hết,
bằng cách đặt t = u
2
ta được
Γ

1
2

=
∞

0
t

−
1
2
e
−t
dt =
∞

0
2.e
−u
2
du.
Do đó, ta có
Γ
2

1
2

=


2
∞

0
e
−x
2

dx


.


2
∞

0
e
−y
2
dy


= 4.


∞

0


∞

0
e
−y
2

dy


.e
−x
2
dx


= 4.
π
2

0


∞

0
e
−r
2
rdr


dθ = 4.
π
2
.
1

2
= π.
Như vậy ta nhận được
Γ

1
2

=
√
π. (2.11)
Từ công thức (1.11), ta nhận được một số các giá trị khác của hàm
Gamma
Γ

n +
1
2

= Γ

2n + 1
2

=

2n + 1
2
− 1


Γ

2n + 1
2
− 1

=
2n −1
2
Γ

2n −1
2

=
2n −1
2
.
2n −3
2
Γ

2n −3
2

.
Lặp lại công thức (1.7) và từ giá trị của Γ(1) ta nhận được công thức
dưới đây
Γ


n +
1
2

=
(2n −1)(2n −3) (3)(1)
2
n
√
π. (2.12)
Cũng tương tự như thế, ta thu được các công thức sau
Γ

n +
3
2

=
(2n + 1)(2n −1) (3)(1)
2
n+1
√
π. (2.13)
22
Γ

n −
1
2


=
(2n −3)(2n −5) (3)(1)
2
n−1
√
π. (2.14)
Một số ví dụ áp dụng tính toán. Ở đây, chúng tôi trình bày một số
các ví dụ áp dụng các giá trị đặc biệt trên đây trong việc tính một số
biểu thức liên quan đến hàm Gamma. Tìm một số các giá trị sau
(i) Tính giá trị của biểu thức
Γ(x + n)
Γ(x −n)
.
Sử dụng công thức (1.5) liên tiếp ta được
Γ(x + n)
Γ(x −n)
=
(x + n −1)Γ(x + n − 1)
Γ(x −n)
=
(x + n −1)(x + n − 2)Γ(x + n − 2)
Γ(x −n)
=
=
(x + n −1)(x + n − 2)(x + n − 3 )(x + n − 2n)Γ(x + n − 2n)
Γ(x −n)
= (x + n − 1)(x + n − 2) (x − n).
(ii) Tính giá trị của biểu thức
2
n

Γ(n + 1) = 2
n
nΓ(n)
= 2
n
n(n −1)Γ(n −1) = = 2
n
n(n −1)(n −2) 2.1
= 2
n
n! = (2.1)(2.2)(2.3) (2.n) = 2.4.6 (2n).
Thay thế n bởi n − 1 ta nhận được công thức
2.4.6 (2n −2) = 2
n−1
Γ(n). (2.15)
(iii) Chứng minh rằng
Γ(2n)
Γ(n)
=
Γ(n +
1
2
)
√
π2
1−2n
.
23