Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học

Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
PHN I: T VN
Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT
chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thờng ngại làm
những bài tập dạng này. Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình
học thì trớc hết phải làm cho học sinh thấy đợc một số bài toán cực trị hình
học thực chất là những bài toán hình học phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến
cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập phức tạp trừu tợng khó giải
quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai
thác hình chiếu của điểm trên đờng thẳng để giải một số bài toán cực trị hình
học.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đ-
ờng thẳng đã mở ra các hớng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực
trị có liên quan đến khoảng cách. Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn
khác vễ các bài toán cực trị hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả
năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính chất hình học vào giải toán. Quy các
bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách giải.
PHN II: giải quyết VN
1. Thc trng vn .
Khi gp cỏc bi toỏn v cực trị hình học học sinh thờng lúng túng trong h-
ớng giải quyết và ngại học phần này.
2. Phng phỏp nghiờn cu.
ti ó s dng phng phỏp phõn tớch v tng hp.
3. i tng.
ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi i hc cho hc sinh lp 12 trng
THPT Ba ỡnh.
4. Cỏch thc thc hin.
thc hin ti ny, tụi phõn thnh hai dng bi tp tng ng vi các
hớng vận dụng của hình chiếu của điểm trên đờng thẳng.
5. Ni dung.
A. C S Lí THUYT
1.Cho đờng thẳng

, điểm A thuộc

, điểm M không thuộc

.
Gọi H là hình chiếu của M trên

.
Khi đó: d(M;

)= MH

MA.
Suy ra:
+d(M;

) lớn nhất bằng MA khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình
chiếu của điểm M trên đờng thẳng

.

1
A
M
H

Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
+ MA nhỏ nhất bằng MH khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu
của điểm M trên đờng thẳng

.
Đó là hai hớng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M;

)

MA.
2. Phơng pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đờng thẳng
Cho đờng thẳng

và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên

. Điểm H đợc
xác định nh sau:
Cách 1:
. +Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua M và vuông góc với

.
+Toạ độ giao điểm của đờng thẳng d và

chính là điểm H cần tìm.
Cách 2:
+Gọi toạ độ điểm H(x;y). Do H


nên toạ độ H biểu thị theo một biến x.
+Do HM


nên

0. =uMH
(
u
là một vectơ chỉ phơng của

).
Suy ra toạ độ điểm H.
B. Một số dạng toán cơ bản
Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đờng thẳng có nhiều bài toán
cực trị về hình học phẳng đã đợc giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận
dụng tạo cho học sinh hứng thú hơn trong học tập. Giúp phát triển t duy sáng
tạo cho học sinh .
Các bài tập đợc chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong
sách giáo khoa và sách bài tập. Mức độ bài tập đợc nâng dần lên, quy lạ thành
quen và có sự tổng quát hóa bài toán sau mỗi dạng toán. Các dạng toán đợc
phân chia sao cho học sinh dễ tiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai h-
ớng khai thác cơ bản từ tính chất d(M;

)

MA.
Dạng 1: Tìm toạ độ điểm.
1.Bài toán 1: Cho đờng thẳng

và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đờng
thẳng

sao cho vectơ
MBbMAau +=
(a+b

0
) có độ dài nhỏ nhất.
Ph ơng pháp : Chọn điểm I sao cho
0=+ IBbIAa
suy ra điểm I cố định.
Ta có
MIbaIBMIbIAMIaMBbMAau )()()( +=+++=+=

MIbau +=
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm
I trên đờng thẳng

.

2
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng

: x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0). Tìm toạ
độ điểm M thuộc đờng thẳng

sao cho vectơ
MBMAu +=
có độ dài nhỏ
nhất.
Giải

Chọn điểm I sao cho
0=+ IBIA

I(0;1)
(điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB)
Ta có :
MIMBMAu 2=+=
MIu 2=
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I
trên đờng thẳng

.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng

là:
x+ y- 1= 0
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ :

=
=




=
=+
2
1
2
3
02
01
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
2
1
;
2
3
(

là điểm cần tìm.

Ví dụ 2: Cho đờng thẳng

: 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4). Tìm toạ
độ điểm M thuộc đờng thẳng

sao cho vectơ
MBMAu 32 =
có độ dài
nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
032 = IBIA

I(5;8)
Ta có :
MIIBMIIAMIMBMAu =++== )(3)(232
MIu =
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I
trên đờng thẳng

.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng

là:
(x-5)+2(y-8)=0
0212 =+ yx

3
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ phơng trình:







=
=




=+
=+
5
43
5
19
012
0212
y
x
yx
yx

.
Vậy M
)
5
43
;
5
19
(
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho
thêm điểm C, xét vectơ
MCaMBaMAau
321
++=
(a
1
+ a
2
+ a
3

0
)
và cũng câu hỏi nh trên.
Ví dụ 3 (b.37sbt) Cho tam giác ABC và đờng thẳng d. Tìm toạ độ điểm M trên
đờng thẳng d sao cho vectơ
MCMBMAu 2++=
có độ dài nhỏ nhất.
Giải

Chọn điểm I sao cho
02 =++ ICIBIA

điểm I cố định.
Ta có :
MIMCMBMAu 42 =++=
MIu 4=
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I
trên đờng thẳng

.
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n
)1, > nN
và đờng thẳng

. Tìm điểm M thuộc

sao cho vectơ
)0(

1
11
++=

=
n
i
inn
aMAaMAau
có độ dài nhỏ nhất.
H ớng dẫn : Cách tìm điểm M nh bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

.0
11
=++
nn
IAaIAa
Nếu a
1
= a
2
= = a
n
thì điểm I xác định nh trên là trọng tâm của hệ n điểm A
1
,
A
2
, , A
n

.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do
M thuộc

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó
u
là biểu
thức bậc hai theo biến đó. Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất của
u
và toạ độ của

4
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
điểm M. Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn
cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt
tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán.
*Các bài tập tơng tự.
Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3). Tìm các điểm M, N, E, F sao
cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

MBMAu 52 =

NCNBNAu 32 +=

EDECEBEAu +++=

FDFCFBFAu 243 ++=
2.Bài toán 2: Cho đờng thẳng

và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đờng

thẳng

sao cho biểu thức :

22
bMBaMAX +=
( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất.

22
bMBaMAX +=
( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất.
Ph ơng pháp : Chọn điểm I sao cho
0=+ IBbIAa
suy ra điểm I cố định.
Ta có:
22
22
)()( IBMIbIAMIaMBbMAaX +++=+=


222
222
)(
).(2)(
bMBaMAMIba
MBbMAaIBbIAaMIMIba
+++=
+++++=

Do các điểm A, B, I cố định nên giá trị của biểu thức X phụ thuộc vào MI

Suy ra :
+)Nếu a+ b > 0 thì biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm
M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
+)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm
M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng

: 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2). Tìm toạ
độ điểm M thuộc đờng thẳng

sao cho biểu thức
22
2 MBMAX +=
đạt giá
trị nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =+ IBIA

I(
3
4
;
3
4

)
Ta có :
22222
232 IBIAMIMBMAX ++=+=
.

5
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài MI
nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng

là:
0420)
3
4
(2)
3
4
(1 =+=+ yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ :

=
=




=+
=
5
7
5
6
042
012
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
5
7
;
5
6
(

là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đờng thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2). Tìm toạ
độ điểm N thuộc đờng thẳng d sao cho biểu thức
22
2MBMAY =
đạt giá trị
lớn nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 = IBIA

I(-8;3)
Ta có :
22222
22 IBIAMIMBMAY +==
.
Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI
nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng

là:
02130)3.(1)8.(3 =++=++ yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ :

.
2

3
2
13
0213
023








=

=




=++
=+
y
x
yx
yx
Vậy M
)
2
3

;
2
13
(

là điểm cần tìm.
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho
thêm điểm C và xét biểu thức
2
3
2
2
2
1
MCaMBaMAaX ++=
và cũng câu hỏi
nh trên.

6
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3). Gọi M là trung điểm
của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm P trên đờng thẳng
BC sao cho biểu thức
222
PMPGPAX ++=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Ta có M(2;0), G(3;1)
Phơng trình đờng thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0
Chọn điểm I sao cho

0=++ IMIGIA

I(2;1) (I là trọng tâm tam giác
AGM).
Ta có :
2222222
3 IMIGIAPIPMPGPAX +++=++=
.
Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài
PI nhỏ nhất hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng

là:
09520)1(5)2(2 =+=+ yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ:








=
=

=
=+
29
7
29
113
01925
0952
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
29
7
;
29
113
(
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A

2
, , A
n
(n
)1, > nN
và đờng thẳng

.
Tìm điểm M thuộc

sao cho biểu thức
2
1
2
11
MAaMAaX
n
++=
đạtgiá trị
nhỏ nhất (nếu
0
1
>

=
n
i
i
a
), đạt giá trị lớn nhất (nếu

0
1
<

=
n
i
i
a
).
H ớng dẫn : Cách tìm điểm M nh bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

.0
11
=++
nn
IAaIAa
Nếu a
1
= a
2
= = a
n
thì điểm I xác định nh trên là trọng tâm của hệ n điểm A
1
,
A
2
, , A
n

.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do
M thuộc

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó X là biểu
thức bậc hai theo biến đó. Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X

7
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán,
dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức
tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo
cho học sinh khi giải toán.
*Các bài tập tơng tự.
Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2). Tìm các điểm M, N, E,
F sao cho các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a.
22
1
2MBMAX +=
b.
222
2
23 NDNCNBX +=
c.
2222
3
32 EDECEBEAX +++=
Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2). Tìm các điểm I, K, F
sao cho các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a.
22
1
32 INIMX =
.
b.
222
2
32 KEKMKPX =
.
c.
2222
3
34 FEFPFNFMX +=
.
Nhận xét: Hình chiếu của điểm có thể chính là điểm cần tìm của bài toán, tuy
nhiên có bài toán nó không trực tiếp là điểm cần tìm nhng lại rất quan trọng
hộ trợ cho việc tìm điểm đối xứng với điểm qua đờng thẳng từ đó khai thác
tính chất hình học để giải bài toán cực trị nh hai dạng toán sau:
3.Bài toán 3: Cho đờng thẳng

và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đờng
thẳng

sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Ph ơng pháp :
+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với

thì MA+ MB
AB

.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M =

AB
.

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với

Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng

.
Ta có MA= A
1
M

MA+ MB = MA
1
+ MB
BA
1

.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng A
1
B khi
M=
BA
1

.

8
A
B
M

1
A
A
M
B

Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng

: 3x- 4y+1= 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0).
Tìm điểm M thuộc đờng thẳng

sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm cùng phía đối với

. Gọi A
1
là điểm đối xứng
với A qua đờng thẳng

. Ta có MA = A

1
M

MA + MB = MA
1
+ MB
BA
1

. Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A
1
B
khi M =
BA
1
.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đờng thẳng

là:
4(x-1) + 3(y-2) = 0

4x + 3y - 10 = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ :
)
25
34
;
25

37
(
25
34
25
37
0143
01034
H
y
x
yx
yx








=
=




=+
=+
.

Do H là trung điểm của AA
1
nên A
1
(
25
18
;
25
49
).
Phơng trình đờng thẳng A
1
B là: 9x - 37y + 9 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=

=

=+
=+
25
6
75
1
0143
09379
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
25
6
;
75
1
) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đờng thẳngd: x - y + 2 = 0 và điểm A(2;0).
Tìm điểm M thuộc đờng thẳng d sao cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ
nhất.
Giải
Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM.
Vì OA = 2 không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ nhất khi OM + MA nhỏ
nhất.
Nhận thấy hai điểm O, A nằm cùng phía đối với d.

9

Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Gọi O
1
là điểm đối xứng với O qua đờng thẳng d. Ta có MO= MO
1


MA+
MO = MO
1
+ MA
AO
1

. Suy ra MA + MO nhỏ nhất bằng O
1
A khi M =
dAO
1
.
Phơng trình đờng thẳng d
1
đi qua điểm O và vuông góc với đờng thẳng d là:
x + y = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm O trên đờng thẳng d là nghiệm của hệ :

)2;2()1;1(
1
1
02

0
1
=



=
=




=+
=+
OH
y
x
yx
yx

Phơng trình đờng thẳng O
1
A là: x + 2y- 2 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

=

=




=+
=+
3
4
3
2
02
022
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
3
4
;
3
2
) là điểm cần tìm.
*Các bài tập tơng tự.
Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0).

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ
nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0). Gọi H là trực tâm của tam giác
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt
giá trị nhỏ nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt
giá trị nhỏ nhất.
4.Bài toán 4: Cho đờng thẳng

và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đờng
thẳng

sao cho
MBMA
đạt giá trị lớn nhất.
Ph ơng pháp :
+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với

thì
ABMBMA
.
Suy ra
MBMA
lớn nhất bằng AB
khi M =

AB
.

10
A
B
M

.
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với

gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng

.
Ta có MA = A
1
M

BAMBMAMBMA
11
=
.
Suy ra
MBMA
lớn nhất bằng A
1
B khi M =
BA
1

.
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)
Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đờng thẳng

: 2x- y- 1 = 0.
Tìm toạ độ điểm N trên

sao cho
NQNP
lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm P, Q nằm cùng phía đối với

.
Ta có
PQNBNA
. Suy ra
NQNP
lớn nhất bằng PQ khi N=
PQ
.
Phơng trình đờng thẳng PQ là: 5x- 2y + 7 = 0.
Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phơng trình:

.
19
9
012
0725

=
=




=
=+
y
x
yx
yx
Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đờng thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3). Tìm điểm M
thuộc đờng thẳng d sao cho
MBMA
lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d
Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng d. Ta có MA = A
1
M

BAMBMAMBMA
11

=
.
Suy ra
MBMA
lớn nhất bằng A
1
B khi M =
BA
1
.
Gọi H là hình chiếu của A trên d, toạ độ H(x; 2x+1). Suy ra:
).
5
11
;
5
3
(
5
3
0. HxuAH
d
==
(
)2;1(=
d
u
là một vectơ chỉ phơng của d)
Do H là trung điểm của AA
1

nên A
1
(
5
12
;
5
1
).
Phơng trình đờng thẳng A
1
B là: 3x + y- 3 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

11
A
B
M

A
1
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012

=
=




=+
=+
5
9
5
2
033
012
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
5
9
;
5
2
) là điểm cần tìm.
*Các bài tập tơng tự.
Bài1: Cho các điểm A(0;1), B(-3;8), C(-3;3), D(9;5)
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AB sao cho
MOMC

lớn nhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng CD sao cho
NBNA
nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1). Gọi H, K lần lợt là chân đờng
cao, chân đờng phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC.
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AC sao cho
MKMH
lớn nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng BI sao cho
NKNH
lớn nhất.
DạngII: Viết phơng trình đờng thẳng
1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm
A sao cho khoảng cách từ B đến

là lớn nhất.
Ph ơng pháp :
Gọi H là hình chiếu của B trên

.
Ta có:
ABBHBd =);(

Suy ra
);( Bd
lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
A trùng với H hay đờng thẳng

đi qua A
và vuông góc với AB.
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3). Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
điểm A sao cho khoảng cách từ B đến

là lớn nhất.
Giải
Gọi H là hình chiếu của B trên

.
Ta có:
ABBHBd =);(

Suy ra
);( Bd
lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi A trùng với H hay đờng
thẳng

đi qua A và vuông góc với AB.

Phơng trình đờng thẳng

là: 2x - y = 0.

12
A

B

H
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Vậy đờng thẳng

: 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu.
Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đờng thẳng
m

: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0
và điểm A(2;3).
a.Chứng minh rằng
m

luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng
m

là lớn nhất.
Giải
a.Giả sử
m

luôn đi qua điểm cố định M(x
o
;y
o
) với mọi m.
Khi đó: (m-2)x

o
+ (m-1)y
o
+ 2m-1= 0
m




=
=




=
=++

=++
3
1
012
02
012)2(
o
o
oo
oo
oooo
y

x
yx
yx
myxmyx
.
Vậy
m

luôn đi qua điểm cố định M(1;-3) với mọi m.
b.Gọi H là hình chiếu của A trên
m


Ta có :
AMAHAd
m
= );(

Suy ra
);(
m
Ad
lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay
m
AM
Lại có
)6;1(=AM
,
m

có vectơ chỉ phơng
)2;1( = mmu
.
5
11
0. == muAMAM
m
Vậy
5
11
=m
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho điểm A(-1;0) và đờng tròn (c): (
4
107
)1()
2
9
(
22
=++ yx
.
Một đờng thẳng

thay đổi đi qua A cắt đờng tròn (c) tại M, N. Hãy viết ph-
ơng trình của

sao cho đoạn thẳng MN ngắn nhất.
Giải
Nhận thấy điểm A nằm trong đờng tròn (c) nên đờng thẳng

đi qua A luôn
cắt (c) tại hai điểm phân biệt.

13
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Đờng tròn (c) có tâm I(
)1;
2
9
, bán kính R=
2
107
Gọi H là trung điểm của MN thì
MNIH
. Ta có MN= 2MH= 2
22
IHR
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất.
Mà
IAIH

nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay
IH

.
Suy ra phơng trình đờng thẳng

là : 7x - 2y + 7 = 0.
Vậy đờng thẳng

cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0.
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp
hơn nhng bản chất vẫn là bài toán 1 nh ví dụ 3. Sự thay đổi nh vậy làm cho
học sinh linh hoạt hơn, t duy sáng tạo hơn.
* Các bài tập tơng tự.
Bài 1: Cho đờng thẳng
m

: mx+ (m-1)y- 1= 0 và điểm A(2;3).
Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng
m

là lớn nhất.
Bài 2: Cho đờng tròn (c):
042
22
=++ yxyx
và điểm M(1;-1)
Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua M sao cho cắt đờng tròn (C) tại hai điểm
P, Q phân biệt sao cho chu vi tam giác IPQ nhỏ nhất (I là tâm của đờng tròn
(C)).
Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán lên ở bài toán 2 sau đây
Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm
A sao cho d(B;

)+ d(C;

) lớn nhất.
Ph ơng pháp :
Xét hai trờng hợp:
+)Nếu B, C nằm về hai phía so với

.
Gọi M = BC

.
Ta có : d(B;

)+ d(C;

)
BCCMBM =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC

.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với

.
Gọi N là trung điểm của BC.
Suy ra: d(B;

)+ d(C;

)=
NANd 2);(2
.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA

.
So sánh giá trị của BC và 2NA suy ra đờng thẳng

cần tìm.

14
B

N
C
H

B
C
M
A
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(1;1), B(-2;2), C(8;6). Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm A sao cho d(B;

)+ d(C;

) lớn nhất.
Giải:
Xét hai trờng hợp:
+)Nếu B, C nằm về hai phía so với

.Gọi M=BC

.

d(B;

)+ d(C;

)
BCCMBM =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC

.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với

.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(3;4)

d(B;

)+ d(C;

)=
NANd 2);(2
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA

.

Ta có BC=
116
, 2NA=
132
. Suy ra d(B;

)+ d(C;

) lớn nhất bằng
116

khi và chỉ khi BC

.
Phơng trình đờng thẳng

là : 5(x-1)+ 2(y-1)= 0

5x+ 2y- 7= 0
Vậy phơng trình đờng thẳng

cần tìm là : 5x+ 2y- 7= 0.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;1), B(3;2), C(7;10). Viết phơng trình đ-
ờng thẳng

đi qua điểm A sao cho d(B;

)+ d(C;

) lớn nhất.

Giải:
Xét hai trờng hợp:
+Nếu B, C nằm về hai phía so với

.Gọi M=BC

.

d(B;

)+ d(C;

)
BCCMBM =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC

.
+Nếu B, C nằm về một phía so với

.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(5;6)

d(B;

)+ d(C;

)=
NANd 2);(2
.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA

.
Ta có BC=
80
, AN=
45


BC< 2AN.
Suy ra d(B;

)+ d(C;

) lớn nhất khi và chỉ khi NA

.
Vậy phơng trình đờng thẳng

cần tìm là: 4x+ 5y- 9= 0.
Nhận xét: Từ bài toán 2 có thể giải quyết bài toán phức tạp hơn sau đây:
Ví dụ 3: Cho ba điểm M(-1;0), N(-2;1), P(1;3). Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm M sao cho 2d(N;

)+3d(P;

) lớn nhất.

15
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Giải:
Chọn hai điểm N
1
, P
1
sao cho:
MPMPMNMN 3,2
11
==
.


N
1
(-3;2), P
1
(5;9).
Ta có d(N
1
;

)= 2d(N;

), d(P
1
;

) = 3d(P;

)
Suy ra 2d(N;

)+ 3d(P;

)= d(N
1
;

)+ d(P
1
;

).
Do đó 2d(N;

)+ 3d(P;

) lớn nhất khi và chỉ khi
d(N
1
;

)+ d(P
1
;

) lớn nhất.
Xét hai trờng hợp:

+Nếu N
1
, P
1
nằm về hai phía so với

.
Gọi I = N
1
P
1

.

d(N
1
;

)+ d(P
1
;

)
1111
PNNPIN =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N
1
P
1

.
+Nếu N
1
, P
1
nằm về một phía so với

.
Gọi J là trung điểm của N
1
P
1
, toạ độ J(1;
2
11
)

d(N
1
;

)+ d(P
1
;

)


JAJd 2);(2

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi JA

.
Ta có N
1
P
1
=
113
, AJ=
2
137


N
1
P
1
< 2AJ.
Suy ra d(N
1
;

)+d(P
1
;

) lớn nhất khi và chỉ khi AJ

.
Phơng trình đờng thẳng

là : 4(x+1) + 11(y-0) = 0

4x + 11y + 4 = 0
Vậy phơng trình đờng thẳng

cần tìm là : 4x+11y+ 4 = 0.
Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết. Cách trình bày
đơn giản về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong t duy.
Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đa về tìm giá
trị lớn nhất của hàm số.
*) Bài toán tổng quát:
Cho 3 điểm A, B, C. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua A sao cho biểu
thức ad(B;

)+ bd(C;

) đạt giá tri lớn nhất (a > 0, b > 0).
H ớng dẫn:
Chọn hai điểm B
1
, C
1
thỏa mãn :
ACbACABaAB ==
11

,
Suy ra: ad(B;

)+ bd(C;

)= d(B
1
;

)+ d(C
1
;

)

16
M
P
P
1
N
N
1

I
M
P
P
1
N

N
1

J
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Bài toán trở thành: viết phơng trình đờng thẳng

đi qua A sao cho biểu thức
d(B
1
;

)+ d(C
1
;

) đạt giá tri lớn nhất(bài toán 1).
* Các bài tập tơng tự.
Bài 1: Cho ba điểm M(2;-1), N(-2;0), P(5;-6). Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm A sao cho d(B;

)+ d(C;

) lớn nhất.
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(-3;4), C(2;5). Gọi M, N, P lần lợt là
trung điểm của AB, BC, AC.
a,Viết phơng trình đờng thẳng
1

đi qua điểm M sao cho biểu thức
d(N;
1

)+ 2d(P;
1

) đạt giá trị lớn nhất.
b,Viết phơng trình đờng thẳng
2

đi qua điểm A sao cho biểu thức 2d(N;
2

)+
5(P;
2

) đạt giá trị lớn nhất.

17
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
PHN III: KT QU NGHIấN CU V BI HC KINH NGHIM
1. Kt qu nghiờn cu.
kim tra hiu qu ca ti tôi tin hnh kim tra trên hai đối tợng có chất
lợng tơng đơng là lớp 1OH và 1OG. Trong đó lớp 10G cha đợc giới thiệu cách
khai thác tính chất hình chiếu của điểm trên đờng thẳng với hình thức kiểm tra
là làm bài 45 phút với câu hỏi nh nhau.
KIM TRA (45)
Bài 1(5điểm): Cho tam giác ABC với A(0;-2), B(-3;2), C(4;1). Gọi M là trung

điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm P trên đờng
thẳng BC sao cho biểu thức
22
3PMPGX +=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2(5điểm): Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(2;5), C(-7;1).
1.Tính diện tích của tam giác ABC.
2.Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm A sao cho khoảng từ điểm B đến

lớn nhất.
Kết quả thu đợc nh sau:
Lp S s
im < 5
im [5; 8)
im 8
S lng % S lng % S lng %
10H 50 5 10% 30 60% 15 30%
10G 50 16 32% 28 56% 6 12%
2. Bi hc kinh nghim.
Qua ti ny tụi thu c mt s bi hc:
- Cho hc sinh tip xỳc vi nhiu bi toỏn vi nhng cỏch gii khỏc nhau.
- Rốn luyn cho hc sinh kỹ năng phõn tớch một bi toỏn, quy lạ về quen,
khai thác các tính chất cơ bản tỡm li gii ti u nht.
- Rốn luyn cho hc sinh cỏch trỡnh by mt cỏch cht ch, khoa học.
-Phát huy sự linh hoạt, tính sáng tạo của học sinh.

18
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
3.Kt lun
Sử dụng tính chất hình chiếu của điểm trên đờng thẳng để giải quyết một số
bài toán cực trị hình học là một hớng giải quyết tạo đợc hứng thú cho học
sinh, giúp các em thấy đợc sự vận dụng đơn giản nhng rất hiệu quả của tính
chất hình học trong giải toán cực trị.
Sau khi thc hin sỏng kin ny trờn cỏc bui ụn tập cho học sinh lớp 10 và
ôn thi i hc ti lp 10H, 12D trng THPT Ba ỡnh ó cho kt qu tt. Hc
sinh cú th s dng linh hoạt tính chất hình học để giải quyết một số bài toán
về cực trị. Các em thấy yêu thích phần toán cực trị hơn vì đã nhận thấy đợc nét
đẹp của nó, sự khai thác rất đơn giản dễ vận dụng.
Từ hớng khai thác trong hình học phẳng tôi sẽ áp dụng tính chất hình chiếu
của điểm trên đờng thẳng, hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trong một số
bài toán cực trị trong hình học không gian.
Tuy nhiờn do thi gian cú hn nờn trong phm vi bi vit ny tụi cng ch
mi gii quyt mt s dng toỏn. Mong cỏc bn ng nghip úng gúp ý kin
cú mt cỏch khai thỏc tt nhất cỏc bi toỏn thuc th loi ny.
Tụi xin chõn thnh cm n!
Nga Sn, ngy 26 thỏng 4 nm 2012
Tác giả
Mai Thị Nhung

19