Lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử và một số ứng dụng

1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN THƯỜNG

LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH
TỐN TỬ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chun ngành:
Mã số:

Tốn Giải Tích
60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN KHẢI

HÀ NỘI, 2012


2

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2, Phịng Sau đại học, các thầy cơ giáo trong nhà trường, các thầy cơ
giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hồn thành luận văn tốt

nghiệp.
Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải,
người đã ln quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
làm luận văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Hưng Yên, Trường
THPT Yên Mỹ, gia đình, bạn bè cùng học… đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác
giả hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Văn Thường


3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Trong q trình nghiên cứu, tơi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học và tham khảo các tài liệu, đặc biệt là tài liệu “ Phương trình sai
phân và một số ứng dụng” của nhóm tác giả Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu,
Phan Văn Hạp với sự trân trọng biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Văn Thường

4

MỤC LỤC

Lời cảm ơn………………………………………………………………..

2

Lời cam đoan……………………………………………………………..

3

Mở đầu……………………………………………………………………

5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1.

Khơng gian Banach…………………………………………………

7

1.2.

Phương trình vi phân cấp 2…………………………………………

14

1.3.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2……………………………...

16

1.4.

Phương trình sai phân……………………………………………....

27

1.5.

Giới thiệu về phần mềm Maple………………………………….....

33

1.6.

Các lệnh lập trình cơ bản…………………………………………… 38

Chương 2. LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ 43
2.1.

Một số khái niệm cơ bản…………………………………………… 43

2.2.

Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ……………………………………….. 50

Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

58

3.1. Sự hội tụ của lược đồ sai phân trong bài toán biên của phương trình vi
phân cấp 2………………………………………………………………… 58
3.2. Ứng dụng phần mềm Maple vào giải bài toán biên của phương trình vi
phân cấp 2…………………………………………………………………. 61

Kết luận ……………………………………………………........ 72
Tài liệu tham khảo…………………………………………........ 73


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp sai phân là một phương pháp cơ bản của toán học, được
nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực của toán học. Bản chất phương pháp này là đưa bài toán cần
nghiên cứu ( thường là phức tạp) về một dãy các bài toán rời rạc ( thường là
đơn giản hơn).
Trong quá trình sai phân hố (rời rạc hố) bài tốn liên tục, một số vấn
đề nảy sinh có ý nghĩa sâu sắc: điều kiện xấp xỉ, điều kiện ổn định và khái
niệm hội tụ.
Với mong muốn tìm hiểu bản chất phương pháp sai phân và bước đầu

nghiên cứu một số ứng dụng của phương pháp này, tôi mạnh dạn nhận nghiên
cứu luận văn tốt nghiệp “ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hoá một số vấn đề xấp xỉ phương trình tốn tử.
Nêu được một số ứng dụng với phần mềm chạy trên Maple.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình tốn tử, điều kiện đủ để bảo
đảm cho một lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử hội tụ và bài toán ứng dụng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp sai phân, hệ phương trình sai phân, lược đồ xấp xỉ các
phương trình tốn tử và ứng dụng của nó.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chính là phương pháp của giải tích hàm và
phương pháp sai phân.


6
6. Dự kiến đóng góp mới
Nêu ứng dụng của xấp xỉ phương trình tốn tử và phần mềm Maple trong
bài tốn biên của phương trình vi phân cấp 2.


7
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian Banach
1.1.1. không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Xét một tập hợp X ≠ cùng với ánh xạ
d: X × X  R thỏa mãn các điều kiện:

a) d (x, y)  0  x, y  X ;
b) d(x, y) = 0  x = y;
c) d(x, y) = d(y, x)  x, y X;
d) d(x, y)  d(x, z) + d(z, y)  x, y, z  X.
Khi đó tập hợp X cùng với d là một không gian metric và ký hiệu là
(X, d) hoặc đơn giản X nếu không sợ nhầm; và ánh xạ d được gọi là hàm
khoảng cách.
Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric X và dãy các phần tử xn  X. Khi đó
x* được gọi là giới hạn của dãy { xn }nN nếu lim d( xn, x*) = 0 và kí hiệu
n

lim xn = x*.

n

Định nghĩa 1.3. Dãy { xn }  X được gọi là dãy Cauchy nếu   > 0,  N0 sao
cho  n, m  N0 thì d( xn, xm ) < .
Định nghĩa 1.4. Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy Cauchy đều
có một điểm giới hạn a X được gọi là không gian metric đủ.
Định nghĩa 1.5. Cho tập hợp X ≠Ø cùng với phép toán hai ngôi viết theo lối
cộng (+) và một ánh xạ  : R × X  X với mỗi k  R và mỗi x  X thì phần
tử ( k, x) được gọi là tích ngồi của số k với phần tử x và được kí hiệu là k x.
Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:
1, ( X, +) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa , nghĩa là:
a) x + (y + z) = (x + y) + z  x, y, z  X;


8
b) x + y = y + x  x, y  X;
c) Trong X tồn tại phần tử  sao cho x +  =  + x = x  x  X;

d) Với mỗi phần tử x  X, tồn tại phần tử đối (- x) sao cho
x + (- x) =  .
2, Tích ngồi có tính chất:
a) 1. x = x  x  X;
b) k( l x) = ( k l)x  k, l  R  x  X;
c) Giữa tích ngồi và phép tốn hai ngơi có luật phân phối:
i) ( k + l)x = k x + l x  k, l  R  x  X;
ii) k(x + y) = k x + k y  k  R  x, y  X.
Khi đó X là một khơng gian tuyến tính trên R và mỗi phần tử x  X được
gọi là một vecto. Trong nhiều trường hợp khơng gian tuyến tính trên R cũng
được gọi là khơng gian vecto trên R.
Định nghĩa 1.6. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính trên R. Ánh xạ

. : X R xác định trên X, lấy giá trị trên tập số thực x  R  x  X thỏa
mãn các điều kiện:
a)

x  0  x  X;

b)

x = 0  x = 0;

c)

x y  x  y

d)

x . x

 x, y  X;

  R  x  X;

được gọi là một chuẩn trên X.
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . được gọi là một khơng gian
tuyến tính định chuẩn.
Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn X ta có thể định nghĩa hàm
khoảng cách d như sau:


9

d ( x, y )  x  y .
Khi đó X là một khơng gian metric với khoảng cách d nêu trên.
Nếu với metric đó, X là khơng gian đủ thì X được gọi là khơng gian Banach.
Ví dụ 1.1: Xét C[0,1] các hàm số liên tục trên đoạn [0, 1]. Với x(t), y(t)  C[0,1]
và k  R ta định nghĩa:
(x + y)(t) = x(t) + y(t)  t  [0, 1];
(k x)(t) = k. x( t)  t  [0, 1].
Khi đó C0,1 cùng với hai phép tốn trên là một khơng gian tuyến tính
trên R. Với x  C[0,1], đặt

x  m ax x( t ) thì . là một chuẩn trên C[0,1]
t   0, 1

và có thể chứng minh rằng C[0,1] cùng với chuẩn nêu trên là một khơng gian
Banach.
1.1.2. Tốn tử tuyến tính trong không gian Banach

Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian vecto bất kỳ X và Y trên R. Một ánh xạ
A: X Y gọi là một ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính nếu:
a) A(x1 + x2) = A x1 + A x2 với mọi x1, x2  X;
b) A( x) =  A x với mọi x  X với mọi số .
Ở đây ta viết A x thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A.
Nếu Y = X thì ta cũng nói A là một tốn tử tuyến tính trong X.
Định nghĩa 1.8. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử A từ X vào
Y gọi là liên tục nếu xn  x0 luôn luôn kéo theo A xn  A x0.
Toán tử A từ X vào Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số
K > 0 sao cho

Ax K x

 x  X.

Chuẩn bên trái bất đẳng thức là chuẩn trong Y, còn chuẩn bên phải là chuẩn
trong X.


10
Định lý 1.1. Một tốn tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó
bị chặn.
Chứng minh. Giả sử tốn tử A liên tục. Ta chứng minh có một hằng số K sao
cho A x  K với mọi x mà x  1 .
Thật vậy, giả sử điều ngược lại tức là:
( n) (  xn ) xn  1 , A xn  K .
Đặt xn’ =

xn
thì xn’  và

n

'
A xn 

A xn
A xn

 1.
n
n

Vậy A x’ không tiến tới phần tử   Y trái với giả thiết A liên tục.
Từ đó tồn tại số K với tính chất trên.
Với mọi x ≠0 ta có

x
x

 1 , cho nên

Ax
 K do đó
x

Ax K x .

Ngược lại, giả sử tồn tại hằng số K và xn  x0. Ta có

A xn  A x0  A( xn  x0 )  K xn  x0  0 .

Vậy A liên tục tại x0.
Định nghĩa 1.9. Số K > 0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chuẩn
của toán tử A được ký hiệu A .
Như vậy:
a)  x  X

Ax  A . x ;

b) Nếu  x  X

A x  K x thì A  K .

Xét phương trình
Ax=y
trong đó A là tốn tử tuyến tính từ X vào Y, với X và Y là hai không gian tuyến


11
tính định chuẩn. Tốn tử A có nghịch đảo khi và chỉ khi KerA= {}, tức là
phương trình A x =  chỉ có một nghiệm duy nhất x = .
Định lí 1.2. Nếu một tốn tử tuyến tính liên tục A: X Y có nghịch đảo A-1
liên tục thì

 x X
với mọi số m 

Ax  m x

(1.1)

1
; ngược lại nếu có m > 0 nghiệm đúng (1.1) thì A-1 tồn
1
A

tại, liên tục và có A1 

1
.
m

1
Chứng minh. Nếu A-1 tồn tại, liên tục thì nó có chuẩn A
và

A1 y  A1 . y , với mọi y  Im A, hay x  A1 . A x với  x  X,
1
.
A 1

cho nên ta có (1.1) với mọi m 

Ngược lại, nếu có (1.1) với m > 0 thì A x = 0 kéo theo 0  m x tức là
x= 0. Cho nên A-1 tồn tại và khi ấy (1.1) có thể viết  y ImA y  m A1 y
1
hay A y 

1
y . Chứng tỏ A-1 bị chặn do đó nó liên tục đồng thời
m

A1 

1
.
m

1.1.3. Một số chuẩn thường gặp
Định nghĩa 1.10. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính trên R và . 1 , .

2

là

hai chuẩn cùng xác định trên X. Khi đó 2 chuẩn này được gọi là tương đương
nếu tồn tại hai số m, M > 0 sao cho

m x

1

 x2  M x

1

x X .

Với mỗi x Rn, x = (x1, x2,..., xn) ta xác định hàm chuẩn theo công thức:


12

n
2
i

x

x 

.

i 1

Dễ thấy hàm chuẩn thỏa mãn các tiên đề về chuẩn.
Thật vậy: Nếu x  0 thì  xi ≠ 0, khi đó x  0 , nếu x = 0 thì
xi = 0 (i = 1, 2,…, n) khi đó x  0 .
Hơn nữa với   R ta có:
n

x 

n

 ( xi )2  

2
i

x

i 1

  . x .

i 1

n
Với mọi x  ( x1 , x2 ,..., xn ) và y  ( y1 , y2 ,..., yn )  R ta có:

x y

2

n

n
2

n

n

  ( xi  yi )   x  2 xi yi   yi2
i 1






2

i

i 1

i 1

2


xi2   yi2  =


i 1
i 1

n

i 1

n



x  y



2

Từ đó suy ra x  y  x  y . Chuẩn trên gọi là chuẩn Euclid trong Rn.

Ngoài chuẩn Euclid trên không gian vecto Rn, trong luận văn này còn
dùng hai chuẩn sau:
n

x
x

1
2

l

 | xi |2  ;
 n i 1


= 



 max | xi | .
1 i  n

Các ||●|| và || \ || gọi là chuẩn hộp và chuẩn cầu.
Định lí 1.3. Hai chuẩn tùy ý trên Rn là tương đương.
Chứng minh. Ta chứng minh rằng một chuẩn bất kì P trên Rn tương đương với


13
n

2
i

x

x 

chuẩn Euclid xác định bởi

n
nếu x  ( x1 , x2 ,..., xn )  R . Giả sử

i 1

e1 , e2 ,..., en là cơ sở chính tắc của R . Khi đó phần tử x  ( x1 , x2 ,..., xn )  R n có
n

n

thể viết dưới dạng x   xi ei .
i 1

Ta có:
 n

p ( x)  p   xi ei  
 i 1


n

n



2

n

  p(ei )  xi2

xi p(ei ) 

i 1

i 1

 C1 x

i 1

trong đó
n

C1 

2

  p (e ) 
i

.

i 1





n
Gọi S  x  R : x  1 đặt   inf p ( x) ta chứng minh  > 0.
xS

Thật vậy, theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại một dãy

 xk k

cho lim p( xk )   . Rõ ràng
k 
dãy con

 x  của dãy x 
kl

l

k

k

 xk k  S sao

là bị chặn trong Rn, do đó tồn tại một

sao cho

x 
kl

l

hội tụ theo chuẩn . đến phần

tử a  Rn. Do tính liên tục của chuẩn xkl  a (l  ) vì xkl  1 với
mọi l nên a  1 tức là a S. Mặt khác ta có





p ( xkl )  p(a)  p xkl  a  C1 xkl  a  0 ( l  ) ,
vì thế

  lim p( xk )  lim p( xk )  p(a )  0 vì a ≠0 do a 1 .
l 
l 
l

Giả sử x là một phần tử bất kì khác 0 của Rn. Ta có

x
x

 1 nên

x
S
x


14
vì thế

 x 

p
 x 



hay

x 

1



p( x)  C2 p ( x) với C2 

1



.

Vậy chuẩn P tương đương với chuẩn Euclid . .
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian Banach
Định lí 1.4. Trong khơng gian Banach X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ
và ta có




 x 

xk .

k

k 1

(1.2)

k 1

Chứng minh. với n > m,

sn  sm  xn1  ...  xm  xn 1  ...  xm
cho nên chuỗi x1  x2  x3  ... hội tụ, vậy dãy { Sn } là cơ bản vì X là

khơng gian Banach nên dãy { Sn } phải có giới hạn, nghĩa là chuỗi

x1  x2  x3  ... hội tụ. Ta có với mọi n
n

sn 

n

x 
k

k 1

xk

k 1

Từ đó tiến qua giới hạn khi n   ta được điều phải chứng minh.
1.2. Phương trình vi phân cấp 2
Định nghĩa 1.11. Phương trình vi phân cấp 2 tổng qt có dạng
F(x, y, y’, y”) = 0
trong đó F là hàm của các biến x, y, y’, y”.

(1.3)


15
Sau đây ta quan tâm đến các phương trình (1.3) có thể giải được đối với y”:
y” = f (x, y, y’)

(1.4)

trong đó f là hàm của các biến x, y, y’.
1.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình:

y” = f (x, y, y’).

Nếu f(x, y, y’) liên tục trong miền D nào đó trong R3 và nếu (x0, y0, y’0) là một
điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x = x0 tồn tại ít nhất một
nghiệm y = y(x) của phương trình (1.4) thỏa mãn các điều kiện:
y|x=x = y0, y’|x=x = y’0.
0
0
Nếu

(1.5)

f
f
( x, y, y '),
( x, y, y ') cũng liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất.
y
y '

1.2.2. Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là hàm số y=(x, C1, C2) trong
đó C1, C2 là những hằng số tùy ý thỏa mãn (1.4). Với mọi (x0, y0, y’0)  D ở
đó các điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn có thể tìm được

các giá trị xác định C1 = C10, C2 = C20 sao cho hàm số
y = (x, C10, C20) thỏa mãn điều kiện:
y|x=x = y0, y’|x=x = y’0.
0
0
Nghiệm riêng của (1.4) là hàm số y = (x, C10, C20) mà ta có được bằng
cách cho C1, C2 trong nghiệm tổng quát hai giá trị C10, C20 thỏa mãn điều kiện
(1.5).
Đơi khi ta khơng tìm được nghiệm tổng qt của phương trình (1.4) dưới
dạng tường minh y = (x, C1, C2) mà tìm được một hệ thức có dạng

(x, y,C1, C2) = 0 thỏa mãn phương trình đã cho. Hệ thức (x, y, C1, C2) = 0
xác định nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) dưới dạng ẩn được gọi là


16
tích phân tổng qt của nó. Khi đó  (x, y,C10, C20) = 0 xác định nghiệm riêng
của phương trình và hệ thức đó được gọi là tích phân riêng, trong đó C10 và
0
C2 thỏa mãn điều kiện ban đầu

y|x=x = y0, y’|x=x = y’0.
0
0
1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
Định nghĩa 1.12. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình vi
phân có dạng
y” + p(x)y’ + q(x)y = f( x)

(1.6)

trong đó p(x), q(x), f (x) là những hàm số liên tục cho trước, y là hàm phải
tìm, Nếu f(x) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất, f(x)≠0 phương trình
được gọi là khơng thuần nhất.
Ví dụ 1.2: y” + (2 x + 1)y’ + ( x2 + 1)y = x - 5 là phương trình vi phân tuyến
tính cấp 2 với p(x) = 2 x + 1, q(x) = x2 + 1, f (x) = x - 5.
1.3.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có dạng
y” + p(x)y’ + q(x)y = 0.

(1.7)

Định lí 1.5. Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phương trình (1.7) thì
y = C1 y1(x) + C2 y2(x) trong đó C1 và C2 là hai hằng số cũng là nghiệm của
phương trình đó.
Chứng minh. Vì y1(x) và y2 (x) là hai nghiệm của phương trình (1.7) nên
y”1 + p(x)y’1 + q(x) = 0
y”2 + p(x)y’2 + q(x) = 0.
Nhân phương trình trên với C1, nhân phương trình dưới với C2 rồi cộng lại ta
được
(C1 y1 + C2 y2)” + p(x)(C1 y1 + C2 y2)’ + q(x)(C1 y1 + C2 y2) = 0.
Vậy C1 y1 + C2 y2 là nghiệm của phương trình (1.7).


17
Định nghĩa 1.13. Hai hàm số y1(x), y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính
y2  x 
trên đoạn [a, b] nếu tỉ số
khác hằng số trên đoạn đó. Trong trường
y1  x 

hợp trái lại, hai hàm số ấy được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 1.3: Hai hàm số sin x và cos x độc lập tuyến tính trên R vì

sin x
 tan x khác hằng số trên R.
cos x
2ex
2
Hai hàm số 2e và 7e phụ thuộc tuyến tính vì: x = .
7
7e
x

x

Định lý 1.6. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương
trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.7) thì y = C1 y1(x) + C2 y2(x) là nghiệm
tổng quát của phương trình với C1, C2 là hai hằng số tùy ý.
Ví dụ 1.4: Phương trình y” + y = 0 có hai nghiệm riêng y1 = cos x, y2 = sin x
là hai nghiệm độc lập tuyến tính. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
y = C1 cos x + C2 sin x với C1, C2 là hai hằng số tùy ý.
Định lí sau đây cho ta cách tìm nghiệm tổng qt của phương trình tuyến
tính thuần nhất với hệ số biến thiên nếu biết một nghiệm riêng khác khơng của
nó.
Định lí 1.7. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x)≠0 của phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất (1.7) ta có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của
phương trình đó độc lập tuyến tính với y1(x) có dạng y2(x) = y1(x).u(x).
Chứng minh. Đặt y = y1(x).u(x). Ta cần tìm u(x) sao cho y thỏa mãn phương
trình (1.7) ta có:
y’ = y’1 u + y1 u’;

y” = y”1 u + 2y’1 u’+ y1 u”.
Thế vào phương trình (1.7) ta được
y1 u” + (2y’1 + py1) u1 + (y”1 + py’1 + qy1)u = 0.


18
Nhưng y”1 + py’1 + qy1 = 0, vì y1 là một nghiệm của (1.7).
Vậy ta được phương trình cấp 2 đối với u, khuyết u:
y1 u” + (2y’1 + py1)u’ = 0.
Đặt u’ = v ta được phương trình cấp 1 đối với v
y1 v’ + (2y’1 + py1) u’ = 0
hay
2y’1
dv
=-(
+ p) dx.
v
y1
Lấy tích phân 2 vế ta được:



ln|v| = -2ln| y1| -  p(x)dx = -2 ln| y1 | +  (x) + ln| C1 |



e(x)
e(x)
v = C1 2 = C1 g(x), với g(x) = 2 .
y1

y1

Do đó



u = C1  g(x) dx = C1G(x) + C2
trong đó G(x) là một nguyên hàm của g(x).
Vậy
y = [ C1G(x) + C2 ]y1 = C1 y1 G(x) + C2 y1.
Chọn C2 = 0, C1 = 1 ta được y2 = y1G(x) đó là một nghiệm của (1.7) độc lập
y2
e(x)
tuyến tính với y1, vì (
)’ = G’(x) = g(x) = 2 ≠0.
y1
y1
Ví dụ 1.5: Tìm nghiệm tổng qt của phương trình
(1 - x2)y” + 2 x y’ - 2 y = 0.
y1 = x là một nghiệm riêng, ta tìm một nghiệm riêng khác có dạng y2 = x u(x)
ta có:
y’2 = u + x u’;
y”2 = 2 u’ + x u”.


19
Thế vào phương trình đã cho ta được
(1 - x2)(2 u’ + x u”) + 2 x ( u + x u’) - 2 x u = 0
hay
u” x(1 - x2) + 2 u’ = 0.

Đặt u’ = v ta có
v’ x (1 - x2) + 2v = 0 

dv
2dx
=.
v
x(1-x2)

Lấy tích phân hai vế ta được
 dv
 1
x

= -2 ( +
)dx
v
x 1-x2



ln| v | = -2 ln| x | + ln| 1 - x2 | + ln| K1 |




v  K1

1 x 2
 1


 K1  2 1 
2
x
 x


trong đó K1 là hằng số tùy ý.
Chọn K1 = -1 ta được v = 1 -

1
, do đó
x2

du
1
=1- 2
dx
x
Chọn K2 = 0 ta được u = x +

 u= x+

1
+ K2.
x

1
vậy y2 = x u = x2 + 1.
x

Hai nghiệm y1 = x, y2 = x2 + 1 là độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng qt của
phương trình là:
y = C1 x + C2( x2 + 1)
trong đó C1, C2 là hai hằng số tùy ý.
1.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 khơng thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 khơng thuần nhất có dạng
y” + p(x)y’ + q( x)y = f(x).

(1.8)


20
Định lí 1.8. Nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất (1.8) bằng
tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.8) với
một nghiệm riêng nào đó của phương trình khơng thuần nhất.
Chứng minh. Thật vậy, gọi y là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) Y là
một nghiệm riêng nào đó của phương trình (1.8).
Đặt y = y + Y ta có y’ = y ’ +Y’, y” = y ” + Y”.
Thế vào phương trình (1.8) ta được:
y” + p(x) y’ + q(x) y = y ” + Y” + p(x)( y ’ + Y’) + q(x)( y +Y)
= [ y ” + p(x) y ’ + q(x)y] + [Y” + p(x)Y’ + q(x)Y].
Theo giả thiết:
y ” + p(x) y ’ + q(x) y = 0;
Y” + p(x)Y’ + q(x)Y = f (x).
Do đó:

y” + p(x) y’ + q(x) y = f (x).

Vậy y = y +Y cũng là nghiệm của phương trình (1.8). Vì y phụ thuộc

hai hằng số tùy ý nên y = y + Y cũng phụ thuộc hai hằng số tùy ý, do đó nó là
nghiệm tổng qt phương trình (1.8).
Định lí 1.9 ( Nguyên lý chồng chất nghiệm)
Cho phương trình: y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x). Nếu y1(x) là một
nghiệm riêng của phương trình y”+ p(x)y’ + q(x)y = f1(x); y 2(x) là một
nghiệm riêng của phương trình y’’+ p(x)y’ + q(x)y = f2(x) thì y = y1(x) + y2(x)
là một nghiệm riêng của phương trình đã cho.
Chứng minh.
y” + p(x)y’ + q(x)y = (y1 + y2)” + p(x)(y1 + y2)’ + q(x)( y1 + y2) =
= [y”1 + p(x)y’1 + q(x)y1] + [y”2 + p(x)y’2 + q(x)y2] = f1(x) + f2(x).
Vậy y = y1(x) + y2(x) là một nghiệm của phương trình đã cho.


21
1.3.3.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số khơng đổi
1.3.3.1. Phương trình thuần nhất
Định nghĩa 1.14. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số khơng đổi
thuần nhất là phương trình có dạng:
y” + py’ + qy = 0

(1.9)

trong đó p, q là hai hệ số hằng số.
Cách giải: Để tìm nghiệm tổng quát của nó ta tìm 2 nghiệm riêng độc lập
tuyến tính. Ta tìm nghiệm riêng của nó dưới dạng
y = ekx

(1.10)

trong đó k là một hằng số nào đó.

Ta có y’ = k ekx, y” = k 2ekx, thế vào phương trình (1.9) được
ekx(k 2 + pk + q) = 0.
Vì ekx ≠ 0, ta có k2 + pk + q = 0.

(1.11)

Vậy nếu k thỏa mãn phương trình (1.11) thì hàm số y = ekx là một nghiệm
riêng của phương trình (1.9). Phương trình (1.11) được gọi là phương trình
đặc trưng của phương trình vi phân (1.9).
Xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng (1.11) có hai nghiệm thực phân biệt k1
và k2 khi ấy phương trình (1.9) có hai nghiệm
k 1x
k2x
y1 = e , y2 = e .
Hai nghiệm này độc lập tuyến tính vì

(k1-k2)x
y1
=e
khác hằng số. Do đó
y2
k1 x

nghiệm tổng qt của phương trình (1.9) là y = C1 e

k2x

+ C2 e , trong đó C1,

C2 là hai hằng số tùy ý.
Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng (1.11) có hai nghiệm thực trùng nhau
k 1x
k1 = k2 một nghiệm riêng của phương trình (1.9) là y1 = e .


22
Ta sẽ tìm nghiệm riêng y2 độc lập tuyến tính với y1 dưới dạng
k1x
y2 = y1. u(x) = u(x)e .
Ta có:
y’2 = u’ e

k1x

+ k1 u e

k1x

;

k1x
k1x
k1x
y”2 = u”e + 2 k1 u’ e + k12 u e .
Thế vào phương trình (1.9) ta được
k1x
e [u” + (2k1 + p)u’ + (k12 + pk1 + q)u] = 0.
Vì k1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên ta có
k12 + pk1 + q = 0, k1 = -

p
hay 2k1 + p = 0.
2

k 1x
Do đó e u” = 0 hay u” = 0 suy ra u = A x + B trong đó A, B là những hằng
số tùy ý. Chọn A =1, B = 0 ta được u = x vậy
k 1x
y2(x) = x e .
Như vậy hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.9) là:
k 1x
k1x
y1(x) = e , y2(x) = x e .
Vậy nghiệm tổng quát của (1.9) là: y = e

k1x

(C1 + C2 x).

Trường hợp 3: k1, k2 là các số phức.Giả sử
k1 =  + i ; k2 =  - i
các nghiệm riêng tương ứng của phương trình (1.9) là:
y1 = e(+i)x ; y2 = e(-i)x.
Đó là những hàm số phức với đối số thực. Để tìm những nghiệm riêng là hàm
số thực ta viết chúng như sau:


23
y1 = ex cos x + iex sin x;

y2 = ex cos x - iex sin x.
Các hàm số thực y1 = ex cos x, y2 = ex sin x cũng là những nghiệm riêng
của phương trình (1.9).
Mặt khác, dễ thấy rằng các hàm số ex cos x và ex sin x độc lập tuyến
tính với nhau trên tồn trục số. Do đó nghiệm tổng qt của phương trình vi
phân (1.9) là:
y = C1 ex cos x + C2 ex sin x
hay

y = ex (C1 cos x + C2 sin x).

Ví dụ 1.6 : Tìm nghiệm của phương trình y”+ 2y’ - 3 y = 0 thỏa mãn các điều
kiện
y|x=0 = 0, y’|x=0 = 1.
Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là: k2 + 2k - 3 = 0 phương
trình có hai nghiệm phân biệt k1 = 1, k2 = -3.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = C1 ex + C2 e-3x
do đó
y’ = C1 ex - 3 C2 e-3x .
Từ các điều kiện ban đầu ta có:
C1  C2  0

C1  3C2 1

Giải hệ trên ta được C1 =

1
1
, C2 = - . Vậy nghiệm riêng phải tìm là

4
4
y=

1 x 1 -3x
e - e .
4
4

Ví dụ 1.7: Giải phương trình : y” + 2y’ + 4y = 0
Giải: Phương trình đặc trưng k2 + 2k + 4 = 0 có nghiệm kép k = -2.


24
Vậy nghiệm tổng quát là: y = e-2x(C1 + C2 x) với C1, C2 là hai hằng số tùy ý.
Ví dụ 1.8: Cho phương trình
y’’ + 2y’ + 5y = 0.
phương trình đặc trưng tương ứng
k2 + 2k + 5 = 0
có các nghệm phức k1 = -1 + 2i; k2 = -1 - 2i.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:
y = e-x(C1 cos2x + C2 sin2x).
1.3.3.2. Phương trình khơng thuần nhất
Định nghĩa 1.15. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số khơng đổi
khơng thuần nhất là phương trình có dạng :
y” + py’ + qy = f(x)

(1.12)

trong đó p, q là những hệ số hằng số.

Cách giải: Nghiệm tổng quát của (1.12) bằng nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng (1.9) cộng với nghiệm riêng của (1.12).
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu cách tìm nghiệm riêng của phương trình
(1.12) trong trường hợp:

f ( x)  e x Pn  x 

(1.13)

trong đó Pn(x) là một đa thức bậc n của x và  là một hằng số.
Tìm một nghiệm riêng của (1.12) dưới dạng:

y  e  x Qn ( x )

( 1.14)

trong đó Qn( x) là đa thức cùng bậc với Pn( x) và có (n + 1) hệ số chưa biết.
Xác định các hệ số đó như sau:
Lấy đạo hàm hai vế của (1.14) ta có:

y '  Qn  x  e x  Q 'n  x  e x ;
y "   2 Qn  x  e x  2 Q 'n  x  e x  Q "n  x  e x .


25
Thế y, y’, y” vào (1.12) và rút gọn lại ta được

 2 Qn  x  e x  2 Q 'n  x  e  x  Q "n  x  e x  p  Qn  x  e x  p Q 'n  x  e  x 
 q e x Qn  x   e x Pn  x 



ex [Q”n( x) + (2 + p) Q’n( x) + (2 + p + q) Qn( x)] = ex Pn( x)



Q”n ( x) + (2 + p)Q’n( x) + (2 + p + q)Qn( x) = Pn( x)

(1.15)

Nếu  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng ( bao gồm cả
trường hợp phương trình đặc trưng vơ nghiệm) thì 2 + p + q ≠0. Do đó vế
trái của (1.15) cũng là một đa thức bậc n cùng với đa thức ở vế phải. Đồng
nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ở hai vế của (1.15) ta tìm được các
hệ số của đa thức Qn(x) (n + 1 hệ số từ n + 1 phương trình).
Phương pháp xác định hệ số của Qn(x) như trên được gọi là phương pháp
hệ số bất định.
- Nếu  là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì

2 + p + q = 0 và 2 + p ≠ 0.
Trong trường hợp này đa thức ở vế trái có bậc (n - 1)
- Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì

2 + p + q = 0 và 2 + p = 0.
Trong trường hợp này đa thức ở vế trái có bậc là (n - 2).
Muốn cho hàm ở dạng ( 1.14) nghiệm đúng phương trình (1.12) thì ta
phải nâng bậc của đa thức Qn(x) lên một hay hai bậc tùy theo  là nghiệm đơn
hay nghiệm kép của phương trình đặc trưng.
+ Trường hợp 1: Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm
riêng phải tìm của ( 1.12) có dạng:

y = x ex Qn(x).
+ Trường hợp 2: Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì nghiệm
riêng của (1.12) có dạng: