Một số phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh

LỜI CẢM ƠN


Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS. Nguyễn Văn Hùng,
người ñã tận tình hướng dẫn và giúp ñỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
thực hiện khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo trong Khoa toán, Phòng sau
ñại học ñã tạo mọi ñiều kiện giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn ñồng nghiệp, các bạn học viên K14 Toán
giải tích ñã giúp ñỡ tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Học viên


Hoàng Thị Thu Hường








LỜI CAM ðOAN

Tôi xin cam ñoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi ñã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa ñược công bố trên bất kỳ công
trình nào khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Học viên


Hoàng Thi Thu Hường












MỤC LỤC

Lời cảm ơn
Lời cam ñoan
Mở ñầu 5
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm của giải tích hàm 7
1.2. Một số ví dụ về không gian ñịnh chuẩn 10
1.3. Sự hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert 14
1.4. Toán tử trong các không gian 17

Chương 2: Các ví dụ và nghiệm của bài toán ñặt không chỉnh
2.1. Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh 27
2.2. Khái niệm về bài toán ñặt không chỉnh cho phương trình tuyến 27
2.3. Một số ví dụ về bài toán ñặt không chỉnh 28
2.3.1. Bài toán hệ ñại số tuyến tính với ñiều kiện xấu 28
2.3.2. Bài toán tìm ñạo hàm của hàm số 30
2.3.3. Phương trình tích phân Fredolm loại I 31
2.3.4. Chuỗi Fourier 33
2.3.5. Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều 34
2.3.6. Bài toán cực tiểu 35
Chương 3. Các phương pháp giải bài toán ñặt không chỉnh 36
3.1. Khai triển kỳ dị, toán tử khả nghịch mở rộng 36
3.2. Phương pháp hiệu chỉnh Phillps-Tikhonov 38
3.3. Nguyên lý ñộ lệch 40
3.4. Chính quy hóa toán tử phi tuyến không bị chặn 45
3.5. Nguyên lý ñộ lệch cho bài toán ñặt không chỉnh phi tuyến với
toán tử ñơn ñiệu .47
3.6. Phương pháp phụ thuộc vào cấp ñộ nhiễu 52

3.7. Phương pháp tựa nghiệm 53
3.8. Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử liên tục 57
3.9. Phương pháp tựa nghiệm cho toán tử không bị chặn 58
3.10. Phương pháp Backus-Gilbert 59
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64

5
M U

1. Lý do chn ủ ti.
Nhiu vn ủ khoa hc, cụng ngh, kinh t, sinh thỏi, v.v, dn ủn
gii bi toỏn m nghim ca chỳng khụng n ủnh theo d kin ban ủu, tc l
mt thay ủi nh ca cỏc d kin cú th dn ủn s sai khỏc rt ln ca
nghim thm chớ lm cho bi toỏn tr nờn vụ nghim hoc vụ ủnh. Ngi ta
núi nhng bi toỏn ủú ủt khụng chnh.
Do các số liệu thờng đợc thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan
trắc, ) và sau đó lại đợc sử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi
đợc sai số. Chính vì thế ta cần có phơng pháp giải ổn định các bài toán đặt
không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm
đợc càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát.
Do tm quan trng ủc bit ca lý thuyt ny m nhiu nh toỏn hc ủó

dnh phn ln thi gian v cụng sc ca mỡnh cho vic nghiờn cu cỏc bi
toỏn ủt khụng chnh. Vỡ vy ủi vi bi toỏn bt k, vic ỏp dng phng
phỏp no s cho kt qu cng gn vi nghim ủỳng ca bi toỏn xut phỏt l
rt quan trng, nú mang ủn li ớch rt ln trong ng dng vo khoa hc v
thc tin.
Chớnh vỡ vy cựng vi s hng dn ca TS. Nguyn Vn Hựng, tụi ủó
chn nghiờn cu ủ ti:
Mt s phng phỏp gii bi toỏn ủt khụng chnh.
Tuy nhiờn ủ ti ch tp trung vo nghiờn cu 6 phng phỏp ủú l cỏc
phng phỏp cú vai trũ quan trng trong h thng cỏc phng phỏp ủ gii
bi toỏn ủt khụng chnh.
2. Mc ủớch nghiờn cu.
ti nghiờn cu mt s phơng pháp giải bài toán đặt không chỉnh.
6
3. Nhim v nghiờn cu.
Lun vn tp trung vo nghiờn cu mt s phơng pháp giải bài toán
đặt không chỉnh.
4. i tng v phm vi nghiờn cu.
Phng phỏp hiu chnh Phillips- Tikhonov, phng phỏp ph thuc
vo cp ủ nhiu, phng phỏp ta nghim, phng phỏp ta nghim cho
toỏn t liờn tc, phng phỏp ta nghim cho toỏn t khụng b chn v
phng phỏp Backus-Gilbert.
5. Phng phỏp nghiờn cu.
Phơng pháp giải gần đúng của giải tích số.
6. D kin ủúng gúp mi.
Lun vn trỡnh by mt cỏch cú h thng cỏc kin thc c bn, cỏc vớ
d v mt s phng phỏp gii bi toỏn ủt khụng chnh trong phm vi lun
vn nghiờn cu.

7
CHƯƠNG 1:
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Một số khái niệm của giải tích hàm
Nghiên cứu bài toán ñặt không chỉnh dạng phương trình toán tử

( ) ,
A x f f Y
= ∈
, (1.1)
trong ñó
A
là một toán tử (ánh xạ ) từ một không gian metric
X
vào không
gian metric
Y
nào ñó, tùy thuộc vào bài toán cụ thể ñặt ra.
Một tập nền

X
ñược gọi là một không gian metric, nếu mỗi cặp phần tử
x
và
y
của
X
(viết tắt là
,
x y X
∈
) tồn tại một hàm thực, ký hiệu là
( , ),
X x y
ρ
hai biến có các tính chất.
•
( , ) 0, ( , ) 0
X x y X x y x y
ρ ρ
≥ = ⇔ =
.
•
( , ) ( , )
X x y X y x
ρ ρ
=
.
•
( , ) ( , ) ( , ), , ,

X x y X x z X z y x y z X
ρ ρ ρ
≤ + ∀ ∈
.
Tập tất cả các phần tử
x X
∈
thỏa mãn ñiều kiện
0
( , ) ,
X x x r
ρ
<
ñược
gọi là hình cầu mở trong
X
tâm
0
x
bán kính
,
r
trong ñó,
X
ρ
ñược gọi là
metric của không gian metric
X
.
Phần tử

0
x
của không gian metric
X
ñược gọi là ñiểm dính của tập
M X
⊂
, nếu mọi hình cầu mở bất kỳ
{
}
0 0
( , ) : ( , )
S x r x X x x r
ρ
= ∈ <
tâm
0
x
,
kính
0
r
>
chứa ít nhất một phần tử thuộc
M
khác
0
x
.
Tập tất cả các ñiểm dính của

M
ñược gọi là bao ñóng của
M
và ñược
ký hiệu bằng
M
hoặc
[
]
M
.
Một dãy
{
}
n
x
gồm các phần tử
n
x X
∈
ñược gọi là hội tụ ñến phần tử
0
,
∈
x X
viết là
0
lim
n n
x x

→∞
=
, nếu
0
lim ( , ) 0
n n
X x x
ρ
→∞
=
.
8
Không gian metric
X
ñược gọi là ñầy ñủ, nếu mọi dãy cơ bản (dãy
Cauchy) trong
X
hội tụ ñến phần tử thuộc
X
.
Một tập con
M
của không gian metic
X
ñược gọi là compact trong
X
(hay còn gọi là tập compact tương ñối của
X
), nếu một dãy
{

}
n
x M
⊂

luôn tìm ñược một dãy con hội tụ ñến một phần tử của
X
. Như ta ñã biết ở
phần giảỉ tích của toán học, ñiều kiện cần và ñủ ñể cho một tập trong không
gian hữu hạn chiều
n
R
trở thành compact tương ñối là tính giới nội của nó.
Nếu từ một dãy bất kỳ
{
}
n
x M
⊂
tồn tại một dãy con hội tụ ñến một phần tử
cũng thuộc
M
, thì
M
ñược gọi là tập compact trong nó, hoặc gọi tắt là một
tập compact. Mọi tập compact của một không gian metric nào ñó có thể coi
như một không gian metric ñầy ñủ. ðể một compact trong không gian
metric
X
là một tập compact ñiều kiện cần và ñủ là tập ñóng trong

X
. Mỗi
tập compact chứa một tập trù mật, không quá ñếm ñược các phần tử. Trong
không gian
[
]
,
a b
ℂ
một tập
M
compact nếu thỏa mãn ñịnh lý sau:

ðịnh lý Arsela-Ascoli.
Tập
[
]
,
M a b
⊂
ℂ
là compact khi và chỉ khi nó giới nội ñều và liên tục
ñồng bậc.
Không gian metric
X
ñược gọi là tuyến tính (ñôi khi còn gọi là không
gian vecto) nếu với hai phần tử bất kỳ
1
x
và

2
x
thuộc
X
ta có phép toán cộng
1 2
x x
+
và phép nhân một số
β
với một phần tử
x X
∈
cũng cho ta những
phần tử thuộc
X
. Hai phép cộng và phép nhân thỏa mãn yêu cầu sau:
1.
1 2 2 1
x x x x
+ = +
;
2.
1 2 3 1 2 3
( ) ( )
x x x x x x
+ + = + +
;
3. Tồn tại phần tử không (thường ñược ký hiệu bằng số 0) của không
gian

X
sao cho với mỗi
,
x X
∈

0
x x
+ =
;
9
4. Với mỗi phần tử
x X
∈
, tồn tại phần tử ñối
x X
− ∈
sao cho
( ) 0
x x
+ − =
;
5. Với hai số
,
α

β
và một phần tử bất kỳ
x X
∈

ta có:
( ) ( )
x x
α β αβ
=
;
6. Với mọi
,
x X
∈

1
x x
× =
;
7. Với mọi số
,
α

β
và phần tử bất kỳ
x X
∈
, ta có:
( )
x x x
α β α β
+ = +
;
8. Với mọi số

β
và hai phần tử bất kỳ
1
x
và
2
x
của
X
ta có:
1 2 1 2
( )
x x x x
β β β
+ = +
.
Khái niệm không gian tôpô là mở rộng khái niệm của không gian metric.
Cho một tập nền
X
với các phần tử ñược ký hiệu là
, ,
x y
.Trong
X
ta có
thể xây dựng ñược nhiều tập con khác nhau. Tập tất cả các tập con của
,
X
kí
hiệu là

,
∑
ñược gọi là một hệ lân cận. Một tập
u ∈
∑
ñược gọi là lân cận
của phần tử
x
, nếu
x u
∈
và ký hiệu là
x
u
.
ðịnh nghĩa.
Một tập
X
với một hệ lân cận
∑
ñược gọi là không gian tôpô nếu:
1.
, :
x y X x y
∀ ∈ ≠

∃
, :
x y x y
u v u v

φ
∈ ∩ =
∑
;
2.
.
, W : W
x x x x x x
x X u v u v
∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ⊂ ∩
∑ ∑
.
Trong không gian tôpô
X
người ta ñưa ra ñiểm giới hạn của một tập con
M
nào ñó của
X
như sau: Phần tử
x
ñược gọi là giới hạn của tập
,
M
nếu
mỗi lân cận bất kỳ của
x
chứa ít nhất một phần tử của tập
M
khác
x

. Tập tất
cả các ñiểm giới hạn của tập
M
ñược ký hiệu là
.
′
M
Tập
[
]
M M M
′
= ∪
ñược
gọi là bao ñóng của
.
M
Cho
{
}
, 1, 2,
n
x n
=
là một dãy các phần tử thuộc
X
.
Phần tử
x X
∈

ñược gọi là phần tử giới hạn của dãy
{
}
,
∈
n
x n N
, nếu
10
( ):
x x
u N N u n N
∀ ∈ ∃ = ∀ >
∑

n x
x u
∈
.
Ví dụ về không gian tôpô:
{
}
, ( , ): , ,
− = = ∈ <
∑
X R a b a b R a b
.
( , )
ρ
−

X
một không gian metric bất kỳ, ở ñây
∑
là tập các hình cầu mở
( , ),
S x r

.
∈
x X

Nếu không gian tôpô
X
là tuyến tính, thì ta gọi tắt là không gian tôpô
tuyến tính hoặc không gian vecto tôpô. Chuẩn của một không gian tuyến tính
X
là một hàm, thường ñược ký hiệu là
. ,
xác ñịnh trên toàn không gian
X
,
nhận các giá trị hữu hạn và có tính chất sau:
1.
0,
x
≥
với mọi
,
x X
∈

0
x
=
khi và chỉ khi
0
x
=
.
2. Với mọi
1 2 1 2 1 2
, ,
x x X x x x x
∈ + ≤ +
(bất ñẳng thức tam giác).
3. Với mọi số
β
và một phần tử bất kỳ
x X x x
β β
∈ =
.
Nếu không gian tuyến tính
X
có chuẩn
.
, thì nó ñược gọi là không
gian ñịnh chuẩn. Không gian ñịnh chuẩn bất kỳ
X
có thể trở thành không gian

metric, khi lấy
( , ) .
ρ
= −
X x y x y

1.2. Một số ví dụ về không gian ñịnh chuẩn
1. Không gian
n
p
R
với
1 2
( , , , )
n
x x x x
=
và chuẩn
1
1
n
p
p
i
p
i
x x
=
 
=

 
 
∑


trong ñó
p
là một số thực bất kì :
1
p
≤ < +∞
. Khi
2
p
=
, ta thường kí hiệu
n
E
và gọi là không gian Euclide
n
-chiều.


11
2. Không gian các dãy số
p
l
với phần tử
1 2
( , , , , )

=
n
x x x x và
1
1
p
p
i
p
i
x x
∞
=
 
= < +∞
 
 
∑
.
3. Không gian các hàm
[
]
,
p
L a b
trong ñó mỗi phần tử là các hàm ño
ñược
( )
x s
có

( )
p
x s
khả tích với chuẩn ñược xác ñịnh như sau :
1
( )
p
b
p
p
L
a
x x s ds
 
= < +∞
 
 
∫
.
4. Không gian các hàm
( )
x s
liên tục trên
[
]
,
a b
và
[ ]
[ ]

,
,
ax ( )
C a b
s a b
x m x s
∈
=
.
5.

Không gian Sobolev.
Cho
Ω
là một miền giới nội trong
n
R
và
( )
l
x C
∈ Ω
là hàm khả vi liên
tục ñến cấp
.
l
Vì
Ω
là compact cho nên với mỗi
0,1, 2,

l
=

( ) ( )
l
p
C L
Ω ⊆ Ω
.
Do ñó, ta có thể xác ñịnh ñược :
1
W ( )
( )
l
p
p
p
p
l
L
x D x
α
α
Ω
≤
Ω
 
 
=
 

 
 
∑

cho mỗi
( ),
l
x C
∈ Ω

1
p
≥
.
Không gian Sobolev
W ( )
l
p
Ω
là một không gian tạo bởi
( )
l
C
Ω
ñược làm
ñầy ñủ bằng chuẩn trên . Cũng dễ dàng nhận thấy rằng
( ) W ( )
( )
l
p p

l
L
x C x x
Ω Ω
∀ ∈ Ω ≤ .
Không gian tuyến tính
X
ñược gọi là không gian tiền Hilbert hay còn
gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên
X
xác ñịnh ñược một hàm thực
12
hai biến, kí hiệu là
1 2
,
x x
và ñược gọi là tích vô hướng của
1
x
và
2
x
, nếu
thỏa mãn các ñiều kiện sau:
a. Với mọi
1 2
, ,
x x X
∈

1 2 2 1
, ,
x x x x
=
;
b. Với mọi
1 2 3
, ,
x x x X
∈
,
1 2 3 1 3 2 3
, , ,
x x x x x x x
+ = +
;
c. Với mọi
1 2
,
x x X
∈
số thực
β
bất kỳ
1 2 1 2
, ,
x x x x
β β
=
;

d. Với mỗi
x X
∈
,
, 0
x x
≥
và
, 0
x x
=
khi và chỉ khi
0
x
=
.
Với hàm
1
2
,
x x x
= thì
X
trở thành một không gian ñịnh chuẩn và do
ñó
X
là không gian metric. Không gian với tích vô hướng ñầy ñủ gọi là
không gian Hilbert. Không gian ñịnh chuẩn ñầy ñủ ñược gọi là không gian
Banach. Dễ dàng nhận thấy các không gian ở các ví dụ từ 1-5 là không gian
Banach và khi

2
p
=
chúng là các không gian Hilbert, trừ trường hợp không
gian các hàm liên tục.
Trong nhiều trường hợp khi nghiên cứu tốc ñộ hội tụ của phương pháp
hiệu chỉnh trong không gian Banach, ta cần sử dụng các ñặc trưng hình học
như tính trơn cũng như tính lồi ñều của các không gian ñó.
Không gian Banach
X
ñược gọi là lồi ñều, nếu
( ) 0,
X
δ ε
>

0
ε
∀ >
,
ở ñây
( ) inf 1 , 1:
2
X
x y
x y x y
δ ε ε
 + 
= − = = − =
 

 

là môñun lồi của không gian
X
.
Không gian Banach
X
ñược gọi là hàm trơn ñều, nếu
0
( )
lim 0
X
τ
τ
τ
→
ϒ
=
,
ở ñây
13

( ) 1, 1:
2
x y x y
X Sup x y
τ τ
 + + − 
ϒ = − = =
 

 
là môñun trơn của
X
.
Hàm
( )
X
τ
ϒ
là lồi và tăng.
Ký hiệu
X
∗
là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
X
. Nó
còn ñược gọi là không gian ñối ngẫu của
X
. Ta có mối quan hệ giữa tính lồi
và tính trơn ñược xác ñịnh như sau:
- Nếu
X
là lồi ñều, thì
X
∗
là trơn ñều.
- Nếu
X
là trơn ñều, thì
X

∗
là lồi ñều.
- Nếu
X
là lồi (trơn) ñều, thì
X
là phản xạ.
Môñun lồi và trơn ñược xác ñịnh bởi Lindenstrauss cho không gian
Banach loại
,
p p
l L
và
W
m
p
.
Người ta tính ñược
1
( ) 1 (1 ( ) ) ,
2
q
q
X
ε
δ ε
= − −
,
q
X l

=

q
L
,
1 1
1
q p
+ =
,
2
q
≥
và
1
( ) (1 ) 1
p
p
X
τ τ
ϒ = + −
.
Tính lồi và trơn của một không gian Banach bất kỳ ñược mô tả bởi ánh
xạ ñối ngẫu
,
s
U
2
s
≥

của
X
. Nó tồn tại trong không gian Banach
X
và
ñược xác ñịnh như sau:

{
}
1
( ) : ,
s
s
s
U x x X x x x x s
−
∗ ∗ ∗ ∗
= ∈ = = .
Khi
2
s
=
thì
s
U
thường ñược viết là
U
nó ñược gọi là ánh xạ ñối ngẫu
chuẩn tắc của không gian
X

.
ðối với không gian
p
l
,
1 ,
p
< < ∞

2
( )
p
p
l
U x x z
−
= , ở ñây
1 2 ,
( , , , )
n
x x x x
=
và
2 2
1 2 2 2
( , , ) ( 1)
p p
p
z x x x x l p
− −

= ∈ −
.
Còn ñối với không gian
( )
p
L
Ω
, với
Ω
là một tập ño ñược của không
gia
n
R
và chuẩn
( )
. ,
p
L Ω

1
p
< < ∞
. Ánh xạ
U
có dạng
14

2 2
( )
( ) ( ) ( ),

p
p p
L
U t t
ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
Ω
=
t
∈Ω
.
Nếu
X
là không gian Hilbert, thường ñược kí hiệu là
( )
H H
∗
≡ , thì ánh
xạ ñối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử ñơn vị
I
trong không gian
H
. Từ ñây
về sau toán tử ñơn vị ñược kí hiệu là
I
hoặc
X
I
, nếu cần lưu ý ñến không
gian

X
.
1.3. Hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert.
Như ñã biết một dãy các phần tử
{
}
n
x
của không gian Banach
X
hội tụ
mạnh ñến một phần tử
0
x
khi
n
→ ∞
, nếu
0
0
n
x x
− →
khi
n
→ ∞
. Hội tụ
theo chuẩn ñược gọi là hội tụ mạnh. Song song với khái niệm hội tụ ñó tồn tại
khái niệm hội tụ yếu của dãy
{

}
n
x
. Ta nói
n
x
hội tụ yếu ñến
0
x
, nếu
f X
∗
∀ ∈
có
0
( ) ( )
n
f x f x
→
khi
n
→ ∞
. Ta luôn có từ hội tụ mạnh của một dãy suy ra
hội tụ yếu. Ngược lại không ñúng. Ví dụ trong không gian Hilbert khả ly
2
l

lấy dãy
{
}

1
j
e
∞
sao cho
ij
,
i j
e e
δ
=
.
Khi ñó, với mọi
2 1 2
: ( , , , , )
n
l
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∈ =
ta có ,
i j j
e e
ϕ
=
.
Vì
2
l
ϕ
∈

cho nên
lim 0
j
j
ϕ
→∞
=
. Tức là dãy
{
}
j
e
hội tụ yếu ñến phần tử
không. Nhưng ở ñây dãy
{
}
1
j
e
∞
lại không hội tụ mạnh. Thật vậy,
2
i j
e e− = cho nên nó không phải là một dãy cơ bản, do ñó không hội tụ
mạnh. Cũng như hội tụ mạnh, giới hạn yếu cũng duy nhất, tức là
n
x
hội tụ
yếu ñến
x

và
n
x
hội tụ yếu ñến
y
thì
x y
=
. Một số trường hợp từ hội tụ yếu
có thể xảy ra hội tụ mạnh:
1.
X
là không gian hữu hạn chiều.
2.
{
}
k
x M
⊂
, ở ñây
M
là một compact trong
.
X

15
Những khẳng ñịnh trên dễ hiểu bởi vì trong trường hợp thứ nhất
,
∀ ∈
n

x R

1
n
i i
x e
ξ
=
∑
(
i
e
là cơ sở của
n
R
) lấy ( )
i i
f x
ξ
=
. Một dãy
{
}
( )
k
x
trong
n
R
có thể viết như sau

( ) ( )
1
n
k k
i i
i
x e
ξ
=
=
∑
. Giả sử
( )
k
x
hội tụ yếu ñến
( , , , )
i i n
x
ξ ξ ξ
=
, khi ñó
( )
( )
k
i
f x
hội tụ yếu
( )
i

f x
. Có nghĩa là
( )
k
i i
ξ ξ
→
khi
k
→ ∞
.
Trường hợp thứ hai, khi
M
là một tập compact trong
X
,
{
}
n
x M
⊂
và
n
x
hội tụ yếu ñến
0
.
x

Nếu

{
}
n
x
không hội tụ mạnh ñến
0
x
, thì
0
0: ,
ε ε
∃ > − ≥ ∀
k
i
n
x x k
. Do
M
là tập compact cho nên tồn tại một dãy con
{
}
k
i
n
x
hội tụ mạnh ñến
y
và
0
y x

=
. Khi ñó ta có sự mâu thuẫn
0
0,
k
i
n
x x
ε
≤ − → khi
i
→ ∞
.
3. Mọi dãy hội tụ yếu ñều giới nội.
4. Nếu
n
x
hội tụ yếu ñến
0
x
thì lim
n
n
x x
→∞
≤
.
Ta kiểm tra cho trường hợp tổng quát khi
X
là không gian Banach.

Theo hệ quả của ðịnh lý Hahn-Banach với mỗi
0
x
tồn tại một phiếm
hàm
f X
∗
∈ sao cho
1
f
=
và
0 0
, lim , lim
n
n n n
x x f x f x
→∞
→∞
= = ≤
.
Trong trường hợp
0
0
x
=
là hiển nhiên.
5. Trong không gian có tích vô hướng ta có:
0
0

0
x ;
.
n
n
n
x hoäi tuï yeáu ñeán
x x
x x


→ ⇔

→



Thật vậy,
⇒
là hiển nhiên. Trường hợp ngược lại ñược suy từ
2 2 2
0 , 0 0
2
n n n
x x x x x x
− = − +
.
16
•
Trong không gian Banach phản xạ

X
mọi dãy giới nội là Compact
yếu trong
X
. Tức là
{
}
{
}
: :
∀ ⊂ ≤ ⇒ ∃
k k
n n n n
x X x c x x
hội tụ yếu
x X
∈
.
•
Cho
M
là một tập ñóng yếu trong không gian Banach lồi ñều
X
và
0
x X
∈
. Khi ñó:
1.
w 0

: argmin w ;
∈
∃ ∈ = −
M
y M y x

2. Nếu
C
lồi, thì
y
là duy nhất.
Chứng minh
ðặt
0
w
: inf w
M
d x
∈
= −

Khi ñó, tồn tại một dãy
{
}
n
y M
∈
sao cho
0
n

y x d
− →
. Như vậy,
{
}
n
y
là một tập giới nội. Vì
X
là lồi ñều, cho nên nó là không gian phản xạ.
Do mọi tập giới nội trong không gian
X
là compact yếu, suy ra tồn tại một
dãy con
{
}
k
n
y
hội tụ yếu ñến một phần tử
y
nào ñó của
.
X
Nhưng
M
là một
tập ñóng yếu cho nên
.
∈

y M
Mặt khác,
0 0
lim lim
k
n n
d y x y y y x d
≤ − ≤ − = − =
.
Suy ra,
0
d y x
= −
. Kết luận thứ nhất ñược chứng minh.
ðể chứng minh kết luận thứ hai, trước tiên ta thấy.
Nếu
1 2
, ,
y y M
∈
1 2
y y
≠
sao cho
1 0 2
d y x y y
= − = −
thì
(0, 1)
λ

∀ ∈
ta
có
2
(1 )
y y d
λ λ
+ − =
.
Tức là cả ñoạn thẳng
[
]
1 2
,
y y
nằm lên biên của
.
M

ðiều này mâu thuẫn với tính lồi ñều của
X
: Mặt cầu không chứa ñoạn
thẳng.
Cho
H
là một không gian Hilbert và
M
là một không gian con của
.
H

Tập tất cả các véctơ của
H
trực giao (vuông góc) với
M

17
{
}
: , 0, .
⊥
= ∈ = ∀ ∈
M x H x y y M

Từ ñịnh nghĩa trên ta có
, .
M H H M M
⊥ ⊥
⊆ = ⊕
Với mọi
f H
∗
∈
,
không gian liên hợp của
H
, tồn tại duy nhất một phần tử
0
x H
∈

sao cho
0
( ) , ,
=
f x x x
và ngược lại.
1.4. Toán tử trong các không gian
ðịnh nghĩa:
Toán tử tuyến tính
:
A X Y
→
, với
X
và
Y
là các không các không
gian ñịnh chuẩn, ñược gọi là toán tử hoàn toàn liên tục (hoặc toán tử
compact), nếu nó ñưa mọi tập giới nội trong
X
vào tập compact tương ñối
của
.
Y
Ký hiệu
( , )
K X Y
là tập các toán tử hoàn toàn liên tục từ
X
vào

.
Y
Dễ
dàng nhận thấy
( , ) ( , )
⊂
K X Y B X Y
, ở ñây
( , )
B X Y
là tập tất cả các toán tử
tuyến tính liên tục từ
X
vào
Y
.
Trong không gian vô hạn chiều, nếu
A
là một toán tử hoàn toàn liên tục,
thì
1
A
−
không liên tục. Nếu không,
1
I A A
−
=
là toán tử hoàn toàn liên tục. Lúc
ñó hình cầu ñơn vị phải là một tập compact tương ñối. ðiều này vô lý trong

không gian vô hạn chiều.
ðịnh lý (Hilbert-Schmid).
Nếu
A
là một toán tử hoàn toàn liên tục và tự liên hợp trong không gian
Hilbert
H
thì:

x H
∀ ∈
có
1
,
i i
i
x x e e
ξ
∞
=
= +
∑
, ở ñây
, 0,
i i i i
Ae e
λ λ
= ≠

0

i
λ
→
khi
0
i
→
và
er( )
K A
ξ
∈
.
Bổ ñề 1.1:
Cho
:
A X Y
→
ñưa tập
0
X X
⊆
lên
0 0
( )
Y A X
=
. Nếu
A
song ánh,

liên tục và
0
X
là tập compact của
,
X
thì
1
A
−
cũng là một ánh xạ liên tục từ
0
Y
lên
0
X
.
18
Chứng minh
Kí hiệu
( )
f A x
=
và
1
( ) ( )
x x f A f
−
= =
là ánh xạ thuận và nghịch của

ánh xạ
A
từ
0
X
vào
0
Y
.
Lấy một phần tử
0
f
bất kỳ thuộc
0
Y
. Ta chứng minh ánh xạ
( )
x f
liên tục
tại
0
f f
=
. Thật vậy, giả sử
( )
x f
không liên tục tại
0
f f
=

, khi ñó tồn tại
một số
1
0
ε
>
sao cho
0
δ
∀ >
tìm ñược một phần tử
f
ɶ
của
0
Y
với
( , )
ρ δ
<
ɶ
Y f f và
1
( , )
ρ ε
≥
ɶ
X x x ở ñây
0 0
( ), ( )

= =
ɶ
ɶ
x x f x x f
và
0
,
∈ ∈
ɶ
x X x X

Lấy một dãy
{
}
n
δ
gồm các số dương dần tới 0, khi
n
→ ∞
. Với mỗi
n
δ

tìm ñược một phần tử
0
n
f Y
∈
ɶ
sao cho

0
( , )
ρ δ
<
ɶ
n
Y f f và
0 1
( , )
ρ ε
≥
ɶ
n
X x x , ở
ñây
{
}
(
k k
n n
f A x
=
ɶ
ɶ
. Dễ dàng nhận thấy dãy
{
}
n
f
ɶ

hội tụ ñến
0
.
f
Do
{
}
n
x
ɶ
thuộc
compact
0
X
cho nên nó có thể trích ñược dãy con
{
}
k
n
x
ɶ
hội tụ trong
X
ñến
một phần tử
0 0
x X
∈
ɶ
, ở ñây

0 0
x x
≠
ɶ
và
0 1
( , )
k
n
X x x
ρ ε
≥
ɶ
.
ðiều ñó nói lên rằng dãy
{
}
( )
k k
n n
f A x
=
ɶ
ɶ
là dãy con của
{
}
n
f
ɶ

hội tụ ñến
0 0
( )
f A x
=
ɶ
ɶ
.
Như vậy,
0 0 0 0
( ) ( ).
= = =
ɶ
ɶ
f A x f A x

Do ñó,
0
( ) ( )
A x A x
=
ɶ
. Do
A
là song ánh nên ta có
0 0
x x
=
ɶ
. ðiều ñó dẫn

ñến mâu thuẫn với giả thiết trên. Bổ ñề ñược chứng minh.
Cho
X
và
Y
là hai không gian ñịnh chuẩn và
A
là một toán tử tuyến
tính liên tục từ
X
vào
Y
. Khi ñó,
, ( ) ( ).
Y f x Ax
ϕ ϕ
∗
∀ ∈ =

Là một phiếm hàm
X
tuyến tính liên tục trên
.
X
Cho nên, ta có thể viết
f X
∗
∈
.
19

Như vậy với mỗi phần tử
Y
ϕ
∗
∈
qua
A
ta xác ñịnh ñược một phần tử
thuộc
*
X
. Nói một cách khác ta có một phần tử
Y
∗
vào
.
X
∗
Toán tử này phụ
thuộc vào toán tử
A
cho trước. ðể ghi nhớ ñiều ñó ta ký hiệu nó là
.
A
∗
Ký
hiệu này cũng nhắc rằng toán tử
A
∗
tác ñộng từ không gian ñối ngẫu (liên

hợp) vào
X
∗
không gian ñối ngẫu và ñược gọi là toán tử liên hợp của
A
.
Do
f
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục nên ta có thể viết
( ) ,
=
f x f x
, ở ñây
f X
∗
∈
. Như vậy,
, , .
ϕ ϕ
∗
=
A x Ax
Ngoài ra
A
∗
cũng
là một toán tử tuyến tính, liên tục và
A A
∗
=

. Nếu
X
là một không gian
Banach phản xạ và
A A
∗
=
thì ta nói
A
là một toán tử tự liên hợp.
Nếu
( , ),
∈
n
A B X Y x
hội tụ yếu ñến
0
x
thì
n
Ax
hội tụ yếu ñến
0
Ax
.
Thật vậy,
0
, ( ) ( )( ) ( )( ) ( ).
n n
Y Ax A x A x Ax

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∗ ∗ ∗
∀ ∈ = → =

Do ñó,
Ax
hội tụ yếu ñến
0
Ax
.
Cho
X
là một không gian Banach phản xạ với không gian ñối ngẫu của
nó là
*
.
X
Cả hai có chuẩn ñều ñược ký hiệu là
.
và giá trị của một phiếm
hàm tuyến tính liên tục
x X
∗ ∗
∈
tại ñiểm
x X
∈
ñược ký hiệu bởi
,
∗

x x
.
Cho toán tử
A
với miền xác ñịnh là
( )
D A X
⊆
(Thông thường ta coi
( )
D A X
≡
) và miền ảnh
( )
R A
nằm trong
.
∗
X
Toán tử
A
ñược gọi là ñơn
ñiệu nếu
( ) ( ), 0,
A x A y x y
− − ≥

, ( )
∀ ∈
x y D A

.
A
ñược gọi là ñơn ñiệu chặt, nếu dấu bằng chỉ ñạt ñược khi
x y
=
.
A
ñược gọi là ñơn ñiệu nếu tồn tại một hàm không âm
( )
d t
không giảm
với
0,
t
≥

(0) 0
d
=
và thỏa mãn tính chất.
( ) ( ), ( ( ) ( ))( ),
A x A y x y d x d y x y
− − ≥ − −

, ( )
x y D A
∀ ∈
.
20
A

ñược gọi là ñơn ñiệu ñều , nếu tồn tại một hàm không âm
( )
t
δ
, không
giảm với
0,
t
≥

(0) 0
δ
=
và
( ) ( ), ( ),
A x A y x y x y
δ
− − ≥ −

, ( )
∀ ∈
x y D A
.
Nếu
2
( ) ,
A A
t c t c
δ
=

là một hằng số dương, thì toán tử
A
ñược gọi là toán
tử ñơn ñiệu mạnh.
Toán tử
A
ñược gọi là toán tử nửa ñơn ñiệu, nếu tồn tại một toán tử
hoàn toàn liên tục
C
sao cho
A C
+
là một toán tử ñơn ñiệu.
A
ñược gọi là toán tử bức, nếu
( ),
lim
x
A x x
x
→∞
= ∞
.
Một trong những toán tử ñơn ñiệu là ánh xạ ñối ngẫu
, 2
≥
s
U s . Rất dễ
dàng kiểm tra ta thấy
s

U
hoặc
U
là một toán tử ñơn ñiệu chặt và bức. Trong
không gian
( ),
s
p
L U
Ω
còn có tính chất ñơn ñiệu ñều và liên tục theo Holder, vì
( ) ( ), , 0,
( ) ( ) ( ) , 0 1,
ϑ
ϑ
− − ≥ − >
− ≤ − < ≤
s
s s
U
s
U x U y x y mU x y m
U x U y c R x y

ở ñây
( )
c R
là một hàm dương và ñơn ñiệu tăng theo
{
}

ax ,
R m x y
= .
Nếu
2
( )
X L
= Ω
là một không gian Hilbert,
, 2, 1, 1
s
U
U I s m
ϑ
= = = =
và
( ) 1
c R
=
.
Với
2
p
≠
thì ñối với các không gian
, , W , 1,
m
p p p
l L p
>

ta có

{ }
{ }
{ }
2 1 1
2
1
2
1 2: 2, 1, ( ) 2 ,
ax 2 , 2 , 1 3.18, 1;
2
2 : , ,
( ) 2 1 ax , , 1.
ρ
ρ ϑ
ρ ρ ρ ϑ
− −
−
−
−
< < = = − =
= < < = −
< = =
= − + =
 
 
p p p
U
p

p
U
p p
p s m p c p e L
e m L p
p s p m
p
c p p m L

21
Phiếm hàm
( )
x
ϕ
với
x X
∈
ñược gọi là lồi, nếu
[ ]
1
( ) ( ) ( ) ,
2 2
x y
x y
ϕ ϕ ϕ
+
≤ +
,
x y X
∈

.
Phiếm hàm
( )
x
ϕ
với
x X
∈
ñược gọi là lồi ñều nếu tồn tại một hàm
( )
t
δ

với tính chất ở trên sao cho
[ ]
1 1
( ) ( ) ( ) ( ), , .
2 2 4
ϕ ϕ ϕ δ
+
≤ + − − ∈
x y
x y x y x y X

Ngoài các khái niệm ñạo hàm Fréchet và Gato của phiếm hàm lồi, ta còn
có khái niệm về dưới vi phân của
ϕ
ñược ký hiệu bởi
ϕ
∂

và ñược ñịnh nghĩa

{
}
( ) : ( ) ( ) , ,
x x X y x x y x y X
ϕ ϕ ϕ
∗ ∗ ∗
∂ = ∈ − ≥ − ∀ ∈ .
ðối với một phiếm hàm bất kỳ, ta có mối liên hệ chặt chẽ giữa tính lồi
ñều và tính ñơn ñiệu ñều của dưới vi phân như sau:
Nếu
ϕ
là một phiếm hàm lồi ñều xác ñịnh trên không gian Banach phản
xạ
X
thì
ϕ
∂
là một toán tử ñơn ñiệu ñều. Nếu
( )
D X
ϕ
≡
thì
ϕ
∂
còn là một
toán tử h- liên tục tại mọi ñiểm
,

∈
x X
tức là
0
lim ( ) ( ), , .
ϕ ϕ
→
∂ + = ∂ ∀ ∈
t
x ty x x y X

ðây cũng là khái niệm về tính h- liên tục (hemi-liên tục, liên tục theo
mọi tia) cho một toán tử
A
bất kỳ.
ðịnh nghĩa:
Phiếm hàm
( )
x
ϕ
xác ñịnh trên
X
ñược gọi là nửa liên tục dưới yếu tại
ñiểm
0
x
, nếu
{
}
n

x
∀
:
n
x
hội tụ yếu ñến
0
x
0
( ) liminf ( )
n
x x
ϕ ϕ
⇒ ≤
.
Phiếm hàm
( )
x
ϕ
ñược gọi là nửa liên tục dưới yếu, nếu nó nửa liên tục
dưới yếu tại mọi ñiểm trong miền xác ñịnh.
Khái niệm về toán tử ñơn ñiệu cũng có thể ñược mô tả dựa trên ñồ thị
22

( )
Gr A
của toán tử
A
trong không gian tích
.

∗
×
X X
Toán tử
A
ñược gọi là
ñơn ñiệu, nếu
, 0, , , ( )
∗ ∗ ∗
− − ≥ ∀ ∈ ∀ ∈
x y x y x y X y A y
.
Tập
( )
Gr A
ñược gọi là ñơn ñiệu, nếu nó thỏa mãn ñẳng thức. Cho
G
là
một tập ñơn ñiệu trong
X X
∗
×
. Có thể tồn tại một tập ñơn ñiệu
G
′
khác trong
X X
∗
×
chứa

.
G
Nếu
( )
Gr A
không gian chứa một tập ñơn ñiệu nào khác
X X
∗
×
thì toán tử
A
ñược gọi là toán tử ñơn ñiệu cực ñại.
Bổ ñề 1.2.

Cho
D
là một tập mở, chứa phần tử 0 và giới nội trong không gian
Euclid
n
E
và cho
A
là một ánh xạ liên tục ñưa bao ñóng
D
vào
n
E
.
Khi ñó

( ), 0,A x x x
> ∀ ∈Γ
,
ở ñây
Γ
là biên của
,
D
thì phương trình
( ) 0
A x
=
có ít nhất một nghiệm
0
x D
∈
.
Chứng minh
Ta có thể viết
1 2
( ) ( ( ), ( ), , ( ))
n
A x a x a x a x
=
, và
1 2
( , , , ).
n
x x x x
=

Xét
ánh xạ

1 2
( ) ( ( ), ( ), , ( ),
t t t tn
A x a x a x a x
=

ở ñây

( ) (1 ) ( ), 0 1,
= + − ≤ ≤ ∈
ti i i
a x tx t a x t x D
,
vì trên
Γ


2
1
( ), (1 ) ( ), 0
=
= + − >
∑
n
t i
i
A x x t x t A x x ,

23
cho nên
( ) 0
t
A x
>
với mọi
x
∈Γ
và
[
]
0, 1
∈
t . Do ñó bậc của ánh xạ
( )
t
A x

ñối với 0, tức là
( ( ), ,0)
t
d A x D , bất biến với mọi
[
]
0, 1
∈
t . Nhưng,
1
( ( ), , 0) 1

=
d A x D , cho nên
0
( ( ), , 0) ( ( ), , 0) 1.
≡ =
d A x D d A x D
Theo ñịnh lý về bậc tôpô tồn tại nghiệm của phương trình
( ) 0
A x
=

và nghiệm
0
x
này thuộc
D
. Bổ ñề ñược chứng minh.
Xét hình cầu
{
}
:
r
D x X x r
= ∈ ≤

của không gian Banach phản xạ
.
X
Có thể coi hình cầu này như một không
gian tôpô cảm sinh bởi tôpô yếu của không gian

.
X
Vì trong không gian
Banach phản xạ mọi hình cầu là một tập compact yếu, cho nên có thể coi
r
D

như một không gian tôpô compact .
Một họ các tập con của không gian tôpô ñược gọi là có tâm , nếu giao
của một họ hữu hạn các tập con ñó khác rỗng.
Bổ ñề 1.3.
ðể một không gian tôpô là compact ñiều kiện cần và ñủ là giao của họ
bất kỳ các tập con ñóng có tâm là khác rỗng.
ðặt
{
}
( ) : ( ), 0
x r
E y y D A x x y
= ∈ − ≥
,
ở ñây
x
là một phần tử bất kỳ của
X
và
A
là một ánh xạ từ
X
vào

X
∗
sao
cho
( ), 0
≥
A z z , nếu
z r
>
. Tập
( )
x
E y
là ñóng và lồi. Thật vậy, với
1 2
, ( )
x
y y E y
∈
và
(0,1)
∈
t
ta có:
1 2 1 2
1 2
( ), (1 ) ( ), ( ) (1 )( )
( ), (1 ) ( ), 0.
A x x ty t y A x t x y t x y
t A x x y t A x x y

− − − = − + − −
= − + − − ≥

24
Nếu dãy
{
}
0
( ):
n x n
y E y y y
⊂ →
khi
n
→ ∞
, thì
0
( ), lim ( ), 0,
n
n
A x x y A x x y
→∞
− = − ≥

có nghĩa là
0
( )
x
y E y
∈

.
Bổ ñề 1.4.
Cho
A
là một ánh xạ ñơn ñiệu và h-liên tục từ không gian
X
vào
X
∗

thỏa mãn ñiều kiện, tồn tại hằng số
0
M
>
sao cho, nếu
x M
≥
thì
( ), 0
A x x
>
.
Khi ñó họ tất cả các tập
( )
x
E y
với mọi
x X
∈
có tâm.

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh rằng mỗi họ con
1 1
( ), ( ), , ( ), , ,
≠ ≤
n
x x x i k
E y E y E y x x i k n
,
có giao không rỗng. ðể làm ñược ñiều ñó, ta xét một tổ hợp tuyến tính
1 1 2 2

n n
z x x x
α α α
= + + +

với mọi véctơ số
1 2
( , , , )
n
α α α α
=
.
Véctơ này thuộc không gian
n
R
. Cũng dễ dàng nhận thấy, tồn tại một số
dương

0
r
>
sao cho khi
r
α
=
thì
z r
>
. Xét ánh xạ liên tục
1 2
( ) ( ( ), ( ), , ( ); ( ) ( ),
n i i
A z x
α α α α α
= =
ℚ ℚ ℚ ℚ ℚ

ñưa không gian
n
R
vào
n
R
. Ta có
( ), ( ),
α α
=
ℚ

A z z
.
Vì vậy biên của hình cầu
r
α
≤
ta có
( ), 0
α α
>
ℚ
. Theo giả thiết của
bổ ñề trên, tồn tại
0 0 0
0 1, 2
( , , , )
n
α α α α
= sao cho
( ) 0
α
=
ℚ
suy ra,

0 0 0 0
0
( ), ( ), 0,
( ), ( ) 0, 1, 2, , ,
α α

α
= =
= = =
ℚ
ℚ
i i
A z z
A z x i n

ở ñây
0 0 0
0 1 1 2 2

n n
z x x x
α α α
= + + + .
25
ðể ý rằng với cách chọn vecto
1 2 3
, , , ,
n
x x x x
bất kì (
1
n
>
) có thể tìm
ñược số dương
0

r
>
sao cho
0
,
≤
z r
ở ñây
r
cũng là một số dương cố ñịnh
và
2
r M
<
. Vì
A
là một ánh xạ , cho nên

0
( ) ( ), 0, 1, 2, , .
i i
A x A z x z i n
− − ≥ =

Do ñó, ta có
0 0 0 0
0 0
( ), ( ), ( ), ( ),
( ) ( ), 0,
i i i i i o

i i
A x x z A x x z A x x A z z
A x A z x z
− = − − +
= − − ≥

có nghĩa là các tập
( )
x
E y
có ñiểm chung
0
r
y z D
= ∈
. Bổ ñề ñược chứng
minh.
ðịnh lý 1.1.
Cho
A
là một toán tử ñơn ñiệu và h-liên tục từ không gian
Banach phản xạ
X
vào
X
∗
thỏa mãn ñiều kiện: Tồn tại một số dương
M

sao cho với mọi véctơ

:
x X x M
∈ ≥
, thì
( ), 0.
A x x
>

Khi ñó, phương trình
( ) 0
A x
=
có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh
Theo bổ ñề trên, tồn tại mốt số dương
0
r
>
sao cho
{
}
( ) : ( ), 0 ,
x r
E y y D A x x y= ∈ − ≥
ở ñây
{
}
:
r
D y X y r

= ∈ ≤
và
x
là một vecto bất kì thuộc
X
, tạo thành một
họ các tập con ñóng yếu có tâm của
.
r
D
Coi
r
D
như một không gian tôpô.
Khi ñó, họ các tập con
( )
x
E y
có giao khác rỗng. Có nghĩa là tồn tại
0
r
y x D
= ∈
sao cho
0
( ), 0,
A x x x x X
− ≥ ∀ ∈
.
Từ bổ ñề trên suy ra

0
( ) 0
A x
=
. ðịnh lý ñược chứng minh.


ðịnh lý 1.2.