Một số phương pháp hình thành phân bố thời gian - tần số

Mục lục
Lời cám ơn 1
Lời cam đoan 2
Mở đầu 3
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Không gian các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Không gian các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 7
1.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Biến đổi Fourier và biến đổi fourier ngược . . . . 8
1.2.2. Biến đổi Fourier và đạo hàm . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Hàm Gauss và Định lý Plancherel . . . . . . . . . 10
1.2.4. Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . 10
2 GIẢI TÍCH THỜI GIAN -TẦN SỐ 12
2.1. Cần phải có phân bố thời gian-tần số . . . . . . . . . . . 12
i
2.1.1. Biểu diễn miền thời gian . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Biểu diễn miền tần số . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Công thức tín hiệu và những đặc trưng trong miền xác
định (t, f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1. Những mô hình tín hiệu được dùng trong mặt
phẳng thời gian - tần số (t, f) . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Giải tích tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Băng thông và thời gian hữu hiệu . . . . . . . . 23
2.2.4. Thành phần đơn và Tín hiệu đa thành phần . . . 25
2.3. Tần số tức thời và thời gian trễ . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. Tần số tức thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2. Tần số tức thời và thời gian trễ . . . . . . . . . . 28
2.3.3. Tần số tức thời trung bình và nhóm trễ . . . . . . 30
2.3.4. Giảm dư thời gian, dải tần số động lực . . . . . . 33
3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỜI

GIAN-TẦN SỐ 34
3.1. Phương pháp 1: Phân bố Wigner-Ville . . . . . . . . . . 34
3.1.1. Dấu hiệu tần số tức thời sắc cạnh . . . . . . . . . 34
3.1.2. Công thức của hạt nhân tín hiệu . . . . . . . . . 35
3.1.3. Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.4. Phân bố Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . . . . 37
ii
3.2. Phương pháp 2: Mật độ phổ năng lượng biến thiên theo
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1. Phổ của quá trình ngẫu nhiên không dừng . . . . 42
3.2.2. Ước lượng phổ Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Phương pháp 3: Biến đổi Fourier cửa sổ . . . . . . . . . 45
3.3.1. STFT và ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2. Độ dài cửa sổ tối ưu của ảnh phổ . . . . . . . . . 45
3.3.3. STFT so sánh với biến đổi Gabor . . . . . . . . . 46
3.4. Phương pháp 4: Hàm lọc của thời gian . . . . . . . . . . 48
3.4.1. Dãy lọc và sonograph . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.2. Tương đương với ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . 48
3.5. Phương pháp 5: Phổ năng lượng tức thời . . . . . . . . . 49
3.5.1. Phân bố trang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6. Phương pháp 6: Mật độ năng lượng . . . . . . . . . . . . 51
3.6.1. Mật độ năng lượng phức của Rihaczek . . . . . . 51
3.6.2. Mật độ năng lượng thực của Levin . . . . . . . . 53
3.6.3. Các phân bố Rihaczek và Levin cửa sổ . . . . . . 53
Tài liệu tham khảo 55
iii
Lời cám ơn
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên
Cường, người thầy đã truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu

trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn dạy bảo và động viên
để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong
chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn chân
thành nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng với
quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Công nghiệp Hóa chất
đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành
tốt luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Lê Thị Phong Lan
1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Luận văn không
hề trùng lặp với đề tài khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Lê Thị Phong Lan
2
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hai biểu diễn cổ điển các tín hiệu là biểu diễn theo miền thời gian
s (t) và biểu diễn theo miền tần số S (f). Trong cả hai biểu diễn này,
các biến t và f đang được coi là loại trừ nhau: để có được biểu diễn này
thì biểu diễn kia phải là biến lấy tích phân. Do đó mỗi biểu diễn cổ điển
tín hiệu là không địa phương hóa được đối với biến kia, tức là biểu diễn

tần số là trung bình hầu khắp nơi của biểu diễn thời gian và biểu diễn
thời gian là trung bình hầu khắp nơi của biểu diễn tần số (phép biến đổi
Fourier và biến đổi Fourier ngược). Điều này đòi hỏi ngành phân tích
tín hiệu phải cải tiến kỹ thuật xử lý tín hiệu sao cho biểu diễn đồng thời
biến thời gian và biến tần số, tức là vừa phải xử lý địa phương hóa đồng
thời thông tin về tín hiệu cả theo thời gian và tần số. Sự phát triển của
lý thuyết hàm và giải tích hàm là một công cụ thật tốt cho việc nghiên
cứu và triển khai vấn đề nêu trên. Gabor, E.P. Wigner là những nhà toán
học tiên phong trong việc tìm ra các giải pháp biểu diễn thời gian – tần
số một cách đồng thời và địa phương hóa được. Đến nay, giải tích thời
gian – tần số đã trở thành một ngành toán học độc lập, là một nhánh
của giải tích điều hòa, đã được phát triển mạnh mẽ, có ảnh hưởng đến
nhiều lĩnh vực toán học khác. Đối với giải tích thời gian – tần số, thông
thường cần có một số giả thiết để phù hợp với các ứng dụng thực tiễn.
Chính vì thế, đã có nhiều dạng biểu diễn thời gian – tần số được thiết
3
lập: biểu diễn Wigner, biểu diễn Gabor, biểu diễn Rihaczek, Mỗi dạng
biểu diễn này đều xuất phát từ một yêu cầu cụ thể nào đó trong ứng
dụng. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về lý do hình thành các phân
bố thời gian-tần số kiểu như mô tả trên và được sự đồng ý hướng dẫn
của tiến sĩ Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài “Một số phương pháp
hình thành phân bố thời gian-tần số” để thực hiện luận văn.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu giải tích thời gian-tần số.
Tìm hiểu một số phương pháp hình thành phân bố thời gian-tần
số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày về giải tích thời gian-tần số.
Trình bày về một số phương pháp hình thành phân bố thời gian-
tần số.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp hình thành phân bố
thời gian-tần số.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp hình
thành phân bố thời gian-tần số.
4
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
6. Những đóng góp của luận văn
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về các phương
pháp xây dựng giải tích thời gian - tần số.
5
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong luận văn này, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu j là đơn vị ảo
trên trường số phức, tức là j
2
= −1.
1.1. Một số không gian hàm
1.1.1. Không gian các hàm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Không gian D (Ω) là không gian gồm các hàm ϕ ∈
C
∞
0
(Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕ
j
}
∞
j=1

các hàm trong C
∞
0
(Ω)
được gọi là hội tụ đến hàm ϕ
0
∈ C
∞
0
(Ω) nếu
(i) Có một tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕ
j
⊂ K,j = 0, 1, 2,
(ii) lim
j→∞
sup
x∈Ω
|D
α
ϕ
j
(x) − D
α
ϕ (x)| = 0, ∀α ∈ Z
n
+
.
Khi đó ta viết là ϕ = D_ lim
j→∞
ϕ

j
.
Mệnh đề 1.1. Không gian D (Ω) là đủ.
1.1.2. Không gian các hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên D (Ω) được
gọi là một hàm suy rộng trên Ω. Tập tất cả các hàm suy rộng trên Ω được
kí hiệu là D

(Ω). Hàm suy rộng f ∈ D

(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D (Ω)
được viết là f, ϕ.
Hai hàm suy rộng f, g được gọi là bằng nhau nếu
f, ϕ = g, ϕ, ∀ϕ ∈ D (Ω) .
Định nghĩa 1.3. (Đạo hàm của hàm suy rộng) Cho f ∈ D

(Ω), α =
(α
1
, α
2
, , α
n
) ∈ Z
n
+
. Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω, kí
hiệu là D
α
f, là ánh xạ từ D(Ω) vào C được xác định bởi

D
α
f : ϕ → (−1)
|α|
f, D
α
ϕ, ϕ ∈ D(Ω).
Định nghĩa 1.4. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh S(R
n
)
là tập hợp
S(R
n
) =

ϕ ∈ C
∞
(R
n
)| sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ(x)



< +∞, α, β ∈ Z
n
+

cùng với khái niệm hội tụ như sau: Dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
⊂ S(R
n
) được gọi là
hội tụ tới ϕ ∈ S(R
n
) trong S(R
n
) nếu
lim
k→∞
sup
x∈R
n


x
α
D
β
ϕ

k
(x) − x
α
D
β
ϕ(x)


= 0, α, β ∈ Z
n
+
.
Kí hiệu S_ lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ.
Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh trù mật trong
L
p
(R
n
), 1 ≤ p < ∞.
Định nghĩa 1.5. Cho hàm suy rộng f ∈ D

(R
n
). Hàm suy rộng f được
gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại m ∈ N và số dương C sao
7

cho
f, ϕ ≤ C sup
x∈R
n
(1 + |x|
2
)
m

|α|≤m
|D
α
ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ D(R
n
).
Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm f ta gọi là không gian các hàm
suy rộng tăng chậm, kí hiệu là S

(R
n
).
Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) là không gian tất
cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(R
n
).
Định nghĩa 1.6. Cho f

k
, f ∈ S

(R
n
), k = 1, 2, Dãy {f
k
}
∞
k=1
được gọi
là hội tụ trong S

(R
n
) tới hàm f ∈ S

(R
n
), nếu
1. Có một số tự nhiên m và số dương C sao cho
f
k
, ϕ  C sup
x∈R
n
(1 + |x|
2
)
m


|α|m
|D
α
ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
), k ∈ N
∗
.
2. Dãy {f
k
}
∞
k=1
hội tụ trong S

(R
n
)tới f. Kí hiệu: S

_ lim
k→∞
f
k
= f.
Định lý 1.1. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S


(R
n
) là đầy
đủ.
1.2. Biến đổi Fourier
1.2.1. Biến đổi Fourier và biến đổi fourier ngược
Định nghĩa 1.7. Nếu f ∈ L
1
(R
n
) thì phép biến đổi Fourier củaf, kí
hiệu
∧
f hay F (f), được xác định bởi
∧
f(ω) =

R
n
f(x)e
−j2πxω
dx, ω ∈ R
n
. (1.1)
Bổ đề 1.1. [Riemann-Lebesgue] Nếu f ∈ L
1
(R
n
), thì
∧

f là liên tục đều
và lim
|ω|→∞




∧
f (ω)




= 0.
8
Định nghĩa 1.8. Với x, ω, y, t ∈ R
n
và f ∈ S(R
n
) ta định nghĩa các
toán tử như sau:
1. Phép tịnh tiến theo x của f, kí hiệu T
x
f là sự dịch chuyển thời
gian được xác định bởi T
x
f(x) = f (t − x).
2. Sự điều biến theo ω của f , kí hiệu M
ω
f được xác định bởi

M
ω
f(t) = e
2πjωt
f(t).
3. Phép đối hợp của f, ký hiệu f
∗
được xác định bởi
f
∗
(x) = f (−x).
4. Toán tử đối xứng của f, kí hiệu

f được xác định bởi
∼
f (x) = f(−x).
5. Tích chập của hai hàm f, g ∈ L
1
(R
n
), kí hiệu là f ∗g và được
xác định như sau: (f ∗ g)(x) =

R
n
f(y)g(x − y)dy.
Định nghĩa 1.9. Cho f ∈ L
1
(R
n

). Biến đổi Fourier ngược của hàm f,
ký hiệu là F
−1
f được định nghĩa bởi
F
−1
f(x) =

R
n
f(ω)e
j2πxω
dω, x ∈ R
n
.
Định lý 1.2. Nếu f ∈ L
1
(R
n
) và
∧
f ∈ L
1
(R
n
) thì chúng ta có
f(x) =

R
n

∧
f (ω)e
j2πxω
dω, ∀x ∈ R
n
.
Nghĩa là, F và F
−1
là các toán tử ngược của nhau.
1.2.2. Biến đổi Fourier và đạo hàm
Cho một đa chỉ số α = (α
1
, α
2
, , α
d
) ∈ Z
n
+
thông thường chúng
ta viết |α| =
n

i=1
α
i
, ω
α
=
n


i=1
ω
α
i
i
và D
α
=
∂
α
1
∂x
α
1
1

∂
α
n
∂x
α
n
n
là toán tử đạo hàm
9
riêng, và χ
α
f(x) = x
α

f(x) là toán tử nhân.
Dùng biến đổi Fourier chúng ta thu được:
(D
α
f)
∧
(ω) = (2πjω)
α
∧
f (ω) (1.2)
và ((−2πjω)
α
f)
∧
(ω) = D
α
∧
f (ω)
hoặc theo kí hiệu toán tử bên trên thì
F D
α
= (2πj)
|α|
X
α
F và F X
α
= (
1
2π

)
|α|
D
α
F. (1.3)
1.2.3. Hàm Gauss và Định lý Plancherel
Định nghĩa 1.10. Hàm
ϕ
d
(x) = e
−
πx
2
a
được gọi là hàm Gauss không chuẩn hoá với độ rộng a > 0 trên R
n
.
Bổ đề 1.2. (Biến đổi Fourier của hàm Gauss) Với mọi a > 0
ϕ
a
(ω) = a
n
2
ϕ
1
a
(ω)
Nói riêng trong trường hợp a = 1, (e
−πx
2

)
∧
= e
−πω
2
.
Định lý 1.3. [Plancherel] Nếu f ∈ L
1
(R
n
) ∩ L
2
(R
n
)thì f
L
2
= |
∧
f|
L
2
.
Do đó F có thể mở rộng tới một toán tử unita trên L
2
(R
n
)và thỏa mãn
đẳng thức Paseval
f, g =


∧
f,
∧
g

, ∀f, g ∈ L
2
(R
n
).
1.2.4. Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng
Bổ đề 1.3. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier
10
(i) Fϕ(ξ − h) = F

e
jhx
ϕ(x)

(ξ), ξ, h ∈ R
n
, ϕ ∈ S(R
n
)
(ii) F(ϕ(x − h))(ξ) = e
−jhξ
F ϕ(ξ), ξ, h ∈ R
n
, ϕ ∈ S(R

n
)
(iii) F(ϕ(tx))(ξ) = |t|
−n
F ϕ(
ξ
t
), t = 0,ξ ∈ R
n
, ϕ ∈ S(R
n
)
(iv) Nếu A ∈ GL(R
n
) thì F (ϕ(Ax))(ξ) =
1
det A
F ϕ((A
−1
)
t
ξ), trong
đó, GL(R
n
) là không gian tất cả các ma trận khả nghịch cấp n.
Định nghĩa 1.11. Cho f ∈ S

(R
n
). Biến đổi Fourier của hàm suy rộng

f, kí hiệu F f là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi
F f, ϕ = f, Fϕ, ϕ ∈ S(R
n
)
và biến đổi Fourier ngược, kí hiệu F
−1
f, là hàm suy rộng tăng chậm
được xác định bởi

F
−1
f, ϕ

=

f, F
−1
ϕ

, ϕ ∈ S(R
n
).
11
Chương 2
GIẢI TÍCH THỜI GIAN -TẦN SỐ
2.1. Cần phải có phân bố thời gian-tần số
2.1.1. Biểu diễn miền thời gian
Biểu diễn một tín hiệu như một hàm của cả thời gian và tần số là
rất hữu ích và được minh họa bởi 3 tín hiệu thực tiễn quan trọng:
1. Tín hiệu FM hình sin: Một kênh âm thanh tivi mono xem như

một kênh FM radio mono được truyền qua một máy phát biến điệu tần
số. Nếu tín hiệu audio mono là một giai điệu tinh khiết của tần số (tần
số biến điệu) thì tần số của máy phát có dạng
f
i
(t) = f
c
+ f
d
cos [2πf
m
t + φ] (2.1)
trong đó t là thời gian, f
i
(t) là biến điệu tần số, f
ε
là tần số truyền tải
chính (hoặc “trung tâm”), f
d
là độ lệch tần số tột đỉnh và tính đến φ là
pha của tín hiệu biến điệu. Biên độ của máy phát là hằng số.
2. Tín hiệu FM tuyến tính: Xét một tín hiệu hình sin trong khoảng
thời gian toàn phần T , với biên độ hằng số mà tần số tăng từ f
0
tới f
0
+B
tại một tỉ số hằng số α = BT . Nếu gốc của thời gian được chọn sao cho
12
những tín hiệu bắt đầu tại t = 0, thì tần số luật biến điệu FM được viết

f
i
(t) = f
0
+ αt; 0 ≤ t ≤ T. (2.2)
3. Cấu tạo âm nhạc: Một nốt nhạc bao gồm một số “thành phần”
tần số khác nhau, trong số đó tần số thấp nhất được gọi là cơ bản và
phần còn lại được gọi phần bổ sung. Chúng xuất hiện trong một khoảng
thời gian cụ thể và có thể biến đổi biên độ trong khoảng này. Trong ký
hiệu âm nhạc hiện đại, mỗi nốt nhạc được kí hiệu bởi một “đầu”. Vị trí
thẳng đứng của đầu (cùng với khóa nhạc và dấu khóa) để chỉ độ cao của
nốt nhạc đó, nghĩa là tần số của thành phần cơ bản của nốt. Vị trí nằm
ngang của “đầu” cùng với các ký hiệu khác để chỉ thời gian bắt đầu và
quãng thời gian nốt nhạc đó được sử dụng.
Mỗi một ví dụ trong ba ví dụ trên đều có sự biến thiên về thời gian
và biến thiên về tần số theo thời gian. Những tín hiệu như thế thường
được gọi là tín hiệu không dừng.
Định nghĩa 2.1. Tín hiệu biểu diễn như một hàm của thời gian, được
viết là s(t). Biểu diễn này dẫn trực tiếp tới năng lượng tức thời, được
viết là |s(t)|
2
, chỉ năng lượng tín hiệu được phân bố theo thời gian như
thế nào, năng lượng tín hiệu toàn phần là
E =
+∞

−∞
|s(t)|
2
dt. (2.3)

Nói chung, miền thời gian được mô tả có những giới hạn như có
thể thấy đối với ba ví dụ trên.
1. Tín hiệu FM hình sin mà tần số thỏa mãn phương trình (2.1)
được viết
s
1
(t) = A cos(2πf
c
t +
f
d
f
m
sin [2πf
m
t + φ] + ψ), (2.4)
13
trong đó A là biên độ và ψ là pha bù, phân số
f
d
f
m
được gọi là chỉ số biến
điệu và độ lệch pha tối đa đến 2πf
c
t. Trong phương trình này chưa nói
rõ tần số biến thiên theo thời gian như thế nào.
2. Tín hiệu FM tuyến tính mà tần số thỏa mãn phương trình (2.2)
được viết
s

2
(t) = Arect

t −
T
2
T

cos

2π

f
0
t +
α
2
t
2

+ ψ

, (2.5)
trong đó A là biên độ và ψ là pha bù. Hàm rect là xung lượng chữ nhật
có chiều cao đơn vị và khoảng thời gian đơn vị, được tập trung trong
gốc của thời gian, tức là
rectτ =






1, |τ | 
1
2
0, còn lại
(2.6)
Vì thế nhân tử rect[ ] bằng 1 trong khoảng 0  t  T và bằng 0 trong
các trường hợp còn lại. Tuy nhiên lại vẫn không chỉ rõ phương trình
(2.5) lại thỏa mãn luật FM.
3. Cấu tạo âm nhạc được biểu diễn như đường cong áp suất không
khí tại 1 điểm cụ thể trong không gian. Mỗi đường cong như thế là một
áp suất biến thiên theo thời gian và được thay đổi bởi một micrô và máy
khuếch đại vào tín hiệu điện có dạng s
3
(t). Ba ví dụ này chỉ ra rằng sự
biểu diễn miền xác định thời gian dẫn đến thông tin mịt mù về tần số,
vì ta giả thiết rằng 2 biến t và f là loại trừ lẫn nhau.
14
2.1.2. Biểu diễn miền tần số
Tín hiệu s(t) được biểu diễn trong miền xác định tần số bởi biến
đổi Fourier của nó, cho bởi
S(f) =
F
t→f
{s(t)}
∆
=
+∞


−∞
s(t)e
−j2πf t
dt. (2.7)
Biến đổi Fourier là nói chung hàm phức, mô đun |S(f)| của nó gọi là
phổ độ lớn và pha của nó gọi là pha phổ. Bình phương của mô đun gọi là
phổ năng lượng và chỉ năng lượng của tín hiệu được phân bố trên miền
xác định của tần số, năng lượng toàn bộ của tín hiệu là
E =
+∞

−∞
|S(f)|
2
df =
+∞

−∞
S(f)S
∗
(f)df (2.8)
trong đó dấu (∗) biểu thị số phức liên hợp. Mặc dù biểu diễn S(f) là
hàm của tần số còn biến thời gian được lấy tích phân nhưng biến đổi
Fourier là biểu diễn đầy đủ của tín hiệu vì tín hiệu được khôi phục lại
nhờ sử dụng biến đổi Fourier ngược:
s(t) = F
−1
t→f
{S(f)} =
+∞


−∞
S(f)e
j2πf t
dt. (2.9)
Tuy nhiên, biểu diễn theo miền tần số lại “che giấu” thông tin về thời
gian, vì S(f) không đề cập tới biến t .
Khi những biểu diễn quy ước trong miền thời gian hoặc tần số là
không đầy đủ thì giải pháp rõ ràng là tìm ra một biểu diễn tín hiệu như
hàm 2 biến hoặc hàm suy rộng mà miền xác định là không gian 2 chiều
(t, f). Cố định biến t thì giá trị của hàm số biểu diễn những tần số tại
thời điểm t còn cố định biến f thì giá trị của hàm số biểu diễn những
15
thời điểm mà tần số f có mặt. Những biểu diễn như thế gọi là biểu diễn
thời gian – tần số.
Biểu diễn thời gian – tần số của những tín hiệu không dừng có
hiệu quả không chỉ ở phát thanh, khảo sát địa chấn, âm thanh như ở ba
ví dụ đã mô tả bên trên, mà còn hiệu quả đối với nhiều lĩnh vực khoa
học công nghệ, chẳng hạn trong rada, truyền thông, xử lí tiếng nói, khảo
sát y học,
Xử lý tín hiệu thời gian – tần số là xử lý một tín hiệu nào đó nhờ
biểu diễn thời gian – tần số.
Trong giải tích thời gian – tần số, những tính chất sau đây thường
được yêu cầu đối với biểu diễn thời gian – tần số:
- Biểu diễn thời gian – tần số là thực (bởi năng lượng là thực);
- Tích phân của biểu diễn thời gian trên toàn mặt phẳng thời gian
– tần số là năng lượng toàn phần của tín hiệu;
- Tích phân trên một hình chữ nhật của mặt phẳng thời gian – tần
số, tương ứng với dải tần hữu hạn và khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ
với năng lượng tín hiệu mà dải tần trải qua trong khoảng thời gian đó,

miễn là dải tần và khoảng thời gian là đủ lớn.
16
2.2. Công thức tín hiệu và những đặc trưng trong
miền xác định (t, f)
2.2.1. Những mô hình tín hiệu được dùng trong mặt phẳng
thời gian - tần số (t, f)
Để biểu diễn tín hiệu như FM tuyến tính, một vài kiểu mô hình
tín hiệu thường được dùng trong phân tích và xử lý tín hiệu. Việc chọn
mô hình phụ thuộc vào số và tham số tự nhiên cần để mô tả tín hiệu.
Ví dụ, một đường hình sin đơn với tần số hằng số và biên độ được bình
thường hóa và pha được mô tả bởi
s
4
(t) = cos2πf
c
t (2.10)
trong đó chỉ có tham số là tần số f
c
. Nếu biên độ và pha có nghĩa trong
ứng dụng thì hai tham số được sử dụng. Một sự phối hợp tuyến tính của
những tín hiệu như thế có thể được viết dưới dạng
s
5
(t) =
M

k=1
a
k
cos(2πf

k
t + ψ
k
). (2.11)
Ở đó, hàm s
5
chứa tới 3M tham số. Vì s
4
(t) và s
5
(t) chứa những số hạng
(hoặc “những thành phần") là hằng số của biên độ, tần số và pha, chúng
được mô tả rõ ràng và đầy đủ nhờ biến đổi Fourier. Tuy nhiên, một tín
hiệu FM hình sin hoặc tín hiệu nhỏ lại đòi hỏi một phân bố thời gian -
tần số. Một tín hiệu audio âm nhạc cũng được gọi là một dạng của phân
bố thời gian - tần số và phân bố thời gian - tần số lý giải rõ ràng những
thành phần bội. Sự khác nhau được nâng lên bởi những tín hiệu phức
như
s
6
(t) = (
M

k=1
a
k
(t)e
j2π
t


0
f
k
(τ)dτ
) + ω(t). (2.12)
17
trong đó a
k
(t) là biên độ biến thiên theo thời gian của thành phần thứ
k, f
k
(t) là tần số biến thiên thời gian của thành phần thứ k, và ω(t) là
tiếng ồn thêm vào. Những tín hiệu như thế khi phân tích không chỉ cần
phải phân biệt các thành phần biến thiên theo thời gian từ các thành
phần khác, mặc dù các biên độ và tần số biến thiên, mà còn phải tách
chúng khỏi nhiễu. Những thành phần như vậy vẫn được áp dụng nếu
biên độ của thành phần thứ k là một bội số của nhân tử tiếng ồn m
k
(t),
như trong tín hiệu
s
7
(t) = (
M

k=1
m
k
(t)e
j2π

t

0
f
k
(τ)dτ
) + ω(t). (2.13)
2.2.2. Giải tích tín hiệu
Một tín hiệu s(t) là thực khi và chỉ khi
S(−f) = S
∗
(f), (2.14)
trong đó S(f) là biến đổi Fourier của s(t). Nói cách khác, một tín hiệu
thực là một biểu diễn Hermite đối xứng giữa những tần số dương và tần
số âm. Vì vậy những thành phần tần số âm của tín hiệu thực có thể bị
khử từ biểu diễn của một tín hiệu thực mà không mất thông tin.
Định nghĩa 2.2. Một tín hiệu z(t) được gọi là giải tích nếu
Z(f) = 0 với f < 0, (2.15)
trong đó Z(f) là biến đổi Fourier của z(t).
Nói cách khác, một tín hiệu giải tích chứa những tần số không âm, nó
có thể có một thành phần phổ tại tần số không (DC).
Định lý 2.1. Tín hiệu
z(t) = s(t) + jy(t), (2.16)
18
trong đó s(t)và y(t)là thực, là giải tích với phần thực có một thành phần
phổ tần số không khi và chỉ khi
Y (f) = (−j sgn f)S(f) (2.17)
trong đó S(f) và Y (f) lần lượt là biến đổi Fourier của s(t) và y(t), và
sgnξ
∆

=











−1, ξ < 0
0, ξ = 0
1, ξ > 0.
(2.18)
Chứng minh: Lấy biến đổi Fourier của hàm cho bởi (2.16) và dùng
phương trình (2.15), ta suy ra điều phải chứng minh.
Nếu biến đổi Fourier của s(t) và y(t) liên quan tới phương trình
(2.17), chúng ta nói rằng y(t) là biến đổi Hilbert của s(t) và viết
y(t) = H {s(t)}. (2.19)
Do đó chúng ta có thể phát biểu lại Định lý 2.1 như sau: Một tín hiệu
giải tích với phần thực có một thành phần phổ tần số không khi chỉ
khi phần ảo là biến đổi Hilbert của phần thực của nó. Bằng cách phát
biểu dưới dạng “nếu” trong Định lý 2.1 và phát biểu lại điều kiện đủ nhờ
phương trình (2.16), ta có thể thấy ý nghĩa thực hành của định lý và
biến đổi Hilbert: với một tín hiệu thực s(t) cho trước, chúng ta có thể
xây dựng tín hiệu phức
z(t) = s(t) + jH {s(t)} (2.20)
Và biết z(t)là giải tích. và biết z(t) là giải tích. z(t) được gọi là tín hiệu

giải tích “tương ứng với” hoặc “liên kết với” tín hiệu thực s(t). Quy ước
gọi z(t)là tín hiệu tương thích với s(t).
19
Bằng cách lấy biến đổi Fourier ngược của phương trình (2.17) và
sử dụng phương trình (2.19), chúng ta đi đến định nghĩa súc tích của
biến đổi Hilbert:
Định nghĩa 2.3. Biến đổi Hilbert của tín hiệu s(t),ký hiệu H {s(t)}, là
H {s(t)} = F
−1
t→f

(−jsgn)
F
t→f
{s(t)}

(2.21)
trong đó F { } ký hiệu của biến đổi Fourier.
Nói cách khác, biến đổi Hilbert của s(t) được tính như sau:
1. Lấy biến đổi Fourier S(f) của s(t);
2. S(f) với −j nếu f dương, với j nếu f âm và bằng 0 nếu f = 0;
3. Lấy biến đổi Fourier nghịch đảo.
Theo bước 2 của phương pháp trên, biến đổi Hilbert có một pha
trễ 90
0
(khi −j = e
−
jπ
2
) sinh ra một tín hiệu vuông góc với tín hiệu đầu

vào. Các hiệu ứng tốt được minh họa bởi kết quả sau, mà kết quả này
được suy ra dễ dàng từ việc sử dụng Định nghĩa 2.5 và bảng tính biến
đổi Fourier:
Ví dụ 2.1. Nếu f
0
là một hằng số dương thì
H {cos(2πf
0
t} = sin(2πf
0
t). (2.22)
H {sin(2πf
0
t} = −cos(2πf
0
t). (2.23)
Nó thuận lợi nếu mô hình của ví dụ 2.1 áp dụng được với những tín hiệu
biến điệu, chẳng hạn, ta có thể nói
H {a(t)cosφ(t)} = a(t) sin φ(t) (2.24)
20
mà tín hiệu tương thích với tín hiệu thực s(t) = a(t)cosφ(t) là
z(t) = a(t)cosφ(t) + jH {a(t)cosφ(t)}
= a(t)cosφ(t) + ja(t) sin φ(t)
= a(t)e
jφ(t)
(2.25)
Điều kiện dưới mà phương trình (2.24) là biến thể của a(t) là đủ chậm
để đảm bảo “phổ rời nhau”, nghĩa là để tránh phủ lên nhau giữa phổ của
a(t) và phổ của cosφ(t). Phương trình (2.8) chỉ ra rằng hàm truyền của
một biến đổi Hilbert là −jsgnf. xung đáp trả là

F
−1
t→f
{−jsgnf} =
1
πt
. (2.26)
Do đó, dùng kết quả này và ứng dụng tích chất tích chập của
phương trình (2.21) ta thu được một định nghĩa của biến đổi Hilbert
trong miền xác định thời gian
H {s(t)} = s(t) ∗
1
πt
=
1
π
p.v.



+∞

−∞
s(τ)
t − τ
dτ



(2.27)

trong đó p.v. { } kí hiệu giá trị chính của tích phân Cauchy xác định
bởi
lim
δ→0


t−δ

−∞
s(τ)
t − τ
dτ +
∞

t+δ
s(τ)
t − τ
dτ


. (2.28)
Trong thực tế tín hiệu được quan sát với khoảng thời gian hữu hạn
và được xử lý bởi dụng cụ với những dải tần số hữu hạn. Nếu một tín
hiệu s(t) có biến đổi Fourier là S(f ), khoảng thời gian của tín hiệu là
miền nhỏ nhất của thời gian phía ngoài mà S(f) = 0. Các định nghĩa
này, như chúng ta sẽ thấy, dẫn đến kết luận rằng một khoảng thời gian
21
hữu hạn bao hàm băng thông vô hạn và ngược lại. Trong thực tế, tuy
nhiên, bất kì một tín hiệu có ích nào cũng phải có một khởi đầu và chấm
dứt (thời gian hữu hạn) và biến đổi Fourier của nó phải trong phạm vi

tần số của các thiết bị đo hoặc xử lý (hữu hạn băng thông). Do đó, trong
thực tế, các định nghĩa chặt chẽ cần phải được phát biểu thực tế hơn
theo một cách nào đó.
Một tín hiệu thời gian được giới hạn trong khoảng thời gian T tâm
tại thời gian t = 0, được biểu thị bởi
s
T
(t) = s(t)rect

t
T

(2.29)
trong đó chỉ số dưới T để chỉ ra khoảng thời gian . Biến đổi Fourier của
s
T
(t) là
S
T
(f) = S(f)∗
f
T sin cfT (2.30)
trong đó ∗
f
là kí hiệu tích chập lấy theo biến tần số. Do đó dải tần số
của S
T
(f) là không hữu hạn. Để tránh ảnh hưởng của tính gián đoạn
thì thay thế rect


t
T

bởi một hàm cửa sổ trơn có cùng khoảng thời gian
T , ta viết
s
T
(t) = s(t)rect

t
T

ω(t) (2.31)
mà biến đổi Fourier vẫn bao gồm một tích chập với sin cfT , cho một dải
tần số không hữu hạn. Tương tự với trường hợp thời gian được giới hạn,
một tín hiệu được giới hạn dải tần số B tâm tại gốc, có thể biểu diễn
trong miền tần số bởi
S
B
(f) = S(f)rect

f
B

. (2.32)
Trong miền thời gian, tín hiệu được cho bởi
s
B
(t) = s(t)∗
t

B sin cBt. (2.33)
22