Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
MAI THẾ QUỲNH
NGHIỆM CƠ BẢN
CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ VI PHÂN
PHI TUYẾN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
MAI THẾ QUỲNH
NGHIỆM CƠ BẢN
CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ VI PHÂN
PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội-2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Thầy
đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong
học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích
lệ để tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua những khó khăn
trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng
sâu sắc nhất đối với Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng
các quý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn

thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Huyện Sơn Dương, tỉnh
Tuyên Quang, Phòng GD&ĐT Sơn Dương, đã tạo điều kiện giúp đỡ
để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động
viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Mai Thế Quỳnh
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Trong
quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Mai Thế Quỳnh
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Các kí hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2) . . . . . 4
1.2.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1) . . . . . . . 4
1.2.3 Hàm Bessel và hàm Hankel . . . . . . . . . . . 5
1.3 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5 Đại số tích chập D


+
. . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính . . . . . 26
1.6.1 Toán tử tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.2 Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng . . . 28
1.6.3 Toán tử vi phân không dừng . . . . . . . . . . . 30
2 Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân phi tuyến 34
2.1 Toán tử tuyến tính với hệ số biến thiên . . . . . . . . 34
iii
iv
2.1.1 Toán tử Fokker –Planck . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Toán tử Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Phương trình điện báo . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Toán tử Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Toán tử p−Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Toán tử tựa Hyperbolic: . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo 42
v
BẢNG KÍ HIỆU
N Tập các số tự nhiên
R Tập các số thực
C Tập các số phức
R
+
Tập các số thực không âm
R

d
Không gian Eculidean d chiều
A Bao đóng của tập A
A

− lân cận của tập A
B(x
0
, r) Hình cầu mở tâm x
0
bán kính r
C
p
(Ω) Lớp hàm liên tục cùng với đạo hàm trên miền Ω đến cấp p
C
∞
(Ω) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Ω
C
∞
0
(Ω) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên R
d
và có giá compact
C
p
0
(Ω) Tập của các hàm trong C
p
(Ω) và có giá compact
D

α
Đạo hàm riêng cấp α
D = D(R
d
) Không gian các hàm thử trên R
d
D

= D

(R
d
) Không gian của tất cả các hàm suy rộng trên R
d
D

+
Lớp các hàm suy rộng trong D

(R
1
) và triệt tiêu với t < 0
F Phép biến đổi Fourier
F
−1
Phép biến đổi Fourier ngược
Γ(s) Hàm Gamma
B(p, q) Hàm Beta
H
1,2

v
Hàm Hankel có bậc v
I
v
Hàm Bessel điều chỉnh loại 1 bậc v
J
v
Hàm Bessel loại 1 bậc v
Y
v
Hàm Bessel loại 2 bậc v
K
v
Hàm Bessel điều chỉnh loại 2 bậc v
L(D) Toán tử vi phân tuyến tính
L
∗
Toán tử liên hợp
vi
L Biến đổi Laplace Lf (t) = f (s)
L
−1
Biến đổi Laplace ngược
L

D,
∂
∂t

Toán tử vi phân không dừng

P Hàm, P
1
x
=
d
dx
ln |x|
S(x
0
, r) Mặt biên của hình cầu B(x
0
, r)
S
d
(1) Diện tích mặt của hình cầu đơn vị trong R
d
S Không gian các hàm giảm nhanh trên R
d
S

(R
d
) Tập các hàm suy rộng tăng chậm trên R
d
[f(x
0
)] Hàm bước nhảy f tại x
0
u
∗

(x, ξ) Nghiệm cơ bản
Ψ(x
o
, α) spinor
Γ Biên parabolic; Biên của miền Ω
Γ
±
Các nón quá khứ và tương lai
δ(x, ξ) Hàm Delta Dirac
Ω Miền trong R
d
χ
A
(x) Hàm đặc trưng của một tập A
∇ gradient (= grad =

i
∂
∂x
+

j
∂
∂y
+

k
∂
∂z
)

∇
2
Laplace, =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
∇
4
Toán tử song điều hòa (∇
4
=

∇
2

2
)
 Tích chập


c
Toán tử sóng , =
∂
2
∂t
2
− c
2
∇
2
 Toán tử sóng với c = 1, Kết thúc chứng minh
vii
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm suy rộng (phân bố) có vai trò ngày càng quan trọng
trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Năm 1975, F.
E. Browder đã phát biểu “Khi xét các ứng dụng của giải tích hàm đối
với phương trình đạo hàm riêng và giải tích chuỗi Fourier, lý thuyết
hàm suy rộng đã nổi bật lên như một bước ngoặt đáng chú ý”. Những
tiền đề cho sự phát triển của lý thuyết hàm suy rộng như: phép tính
toán tử của Heaviside, đạo hàm suy rộng, nghiệm suy rộng của phương
trình vi phân, biến đổi Fourier tổng quát, hàm delta Dirac và một số
hàm đặc biệt khác, dòng de Rham,. . . đã được biết từ trước năm 1950,
thời điểm cuốn sách chuyên khảo đầu tiên về lí thuyết các hàm suy
rộng được xuất bản bởi L. Schawrtz. Từ đó các nhà toán học và các
nhà vật lý bắt đầu sử dụng hàm suy rộng (các hàm tổng quát) trong
việc nghiên cứu các bài toán của toán học ứng dụng và vật lý lí thuyết.
Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng có ý nghĩa to lớn đối với việc
nghiên cứu các bài toán của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
Nó tạo ra một cơ sở toán học chặt chẽ, hệ thống, đầy đủ để xây dựng
khái niệm nghiệm cơ bản, một kết nối quan trọng giữa khái niệm hàm

delta Dirac và hàm Green.
Sự tồn tại nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính với hệ số
hằng bất kỳ đã được thiết lập bởi Malgrange-Ehrenpreis. Tuy nhiên
việc tìm nghiệm cơ bản cụ thể đối với từng toán tử lại là vấn đề khác.
Chúng ta biết rằng nghiệm cơ bản của các toán tử tuyến tính cấp
hai cơ bản, bao gồm: toán tử Laplace, toán tử truyền nhiệt, toán tử
truyền sóng đã được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương
trình đạo hàm riêng. Với một số toán tử vi phân tuyến tính với hệ số
biến thiên, chúng ta có thể sử dụng các phép biến đổi thích hợp để
đưa về toán tử tuyến tính cơ bản, sử dụng các công thức nghiệm cơ
viii
bản đã biết của các toán tử tuyến tính đó để nhận được nghiệm cơ
bản cho chúng. Với một số toán tử phi tuyến thì cần có cách tiếp cận
đặc biệt dựa trên cấu trúc của phương trình đó để tìm nghiệm dạng
đặc biệt, từ đó xây dựng nghiệm cơ bản.
Với các lý do như trên và mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về
những thành tựu của các nhà toán học, các nhà vật lý về các hiện
tượng tự nhiên, được sự định hướng và hướng dẫn của TS. Trần Văn
Bằng, chúng tôi đã chọn đề tài:
“Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân phi tuyến”
làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành Toán giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng trong việc
xây dựng nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính và phi
tuyến xuất hiện trong Vật lý như các toán tử: Fokker -Planck; Klein
- Gordon. .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn
là:
- Các kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng;

- Nghiệm cơ bản của một số toán tử tuyến tính;
- Một số toán tử vi phân phi tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
-Các kết quả của lí thuyết hàm suy rộng;
-Nghiệm cơ bản của các toán tử vi phân tuyến tính và phi tuyến.
ix
5. Phương pháp nghiên cứu
-Sử dụng các phương pháp biểu diễn nghiệm của lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng và các phương pháp cần thiết của giải tích hàm.
6. Những đóng góp của luận văn
-Trình bày một cách cơ bản, có hệ thống các kết quả của lí thuyết
hàm suy rộng, nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính.
-Sử dụng các phép biến đổi để nghiên cứu nghiệm cơ bản của một
số toán tử vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên và phi tuyến thường
gặp trong Vật lý, như toán tử: Fokker-Planck; Klein-Gordon;
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các kí hiệu cơ bản
Trong luận văn này ta ký hiệu N = {0, 1, 2, } là tập các số tự
nhiên, R là tập các số thực, C là tập các số phức với đơn vị ảo
√
−1 = i,
R
+
là tập các số thực không âm.
N
n
= {k = (k
1
, k

2
, , k
n
)|k
j
∈ N, j = 1, 2, }.
R
n
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
)|x
j
∈ R, j = 1, n

là không gian thực n-chiều. Ký hiệu |x − y| = (
n

j=1
(x
j
−y
j
)
2

)
1
2
là khoảng
cách giữa x và y trong R
n
. B(x
0
, r) = {x : |x − x
0
| < r} là một hình
cầu mở có tâm tại x
0
∈ R
n
, bán kính r. S(x
0
, r) = {x||x − x
0
| = r} là
biên của mặt cầu B(x
0
, r). S
n
(1) =
2π
n
2
Γ(
n

2
)
là diện tích mặt cầu đơn vị
trong R
n
. ε - lân cận của tập A ⊂ R
n
là: A
ε
=
∪
x∈A
B(x, ε).
Ta gọi mỗi phần tử k = (k
1
, k
2
, , k
n
) ∈ N
n
là bộ n-chỉ số (hay đa
chỉ số) với bậc |k| = k
1
+ k
2
+ ··· + k
n
. Với mỗi đa chỉ số k, toán tử
vi phân được xác định bởi:

D
k
=
∂
|k|
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
=
∂
k
1
+k
2
+ +k
n
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
. (1.1.1)

2
Hơn nữa:
D
k
u(x) =
∂
|k|
u(x
1
, , x
n
)
∂x
1
k
1
∂x
n
k
n
, D
0
u(x) = u(x),
D = (D
1
, , D
n
), D
i
=

∂
∂x
i
; với i = 1, n.
Với các đạo hàm cấp thấp thì ta có thể viết u
x
i
, u
x
i
x
j
. Hơn nữa ta sẽ
sử dụng x
k
= x
1
k
1
x
n
k
n
và k! = k
1
! k
n
!. Khi n = 2 hoặc n = 3 ta
viết x, y, z thay cho x
1

, x
2
, x
3
.
Cho Ω ⊂ R
n
là tập mở khác rỗng. Ta ký hiệu C
p
(Ω) là không gian
tuyến tính tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp p trên Ω; C
∞
(Ω) là
tập hợp những hàm khả vi vô hạn trên Ω.
Ta nói giá của hàm liên tục f : Ω → C, là tập hợp ký hiệu supp f
và được xác định bởi supp f = cl {x ∈ Ω|f(x) = 0}.
Cho Ω là một miền bị chặn trong R
n
, giới hạn bởi một mặt cong
∂Ω định hướng, trơn từng mảnh và cho w và F là các hàm vô hướng
và G là hàm véc tơ thuộc lớp C
1
(Ω). Khi đó ta có:
Định lý Gradient:

Ω
∇F dΩ =

∂Ω
nF dS

Định lý divergence:

Ω
∇.GdΩ =

∂Ω
n.GdS,
trong đó n là véc tơ pháp tuyến ngoài của ∂Ω.
Các định lý trên dẫn tới các kết quả quan trọng sau đây:

Ω
(∇G)wdΩ = −

Ω
(∇w)GdΩ +

∂Ω
nW GdS. (1.1.2)
−

Ω
(∇
2
G)wdΩ =

Ω
(∇w)(∇G)dΩ −

∂Ω
∂G

∂n
wdS, (1.1.3)
trong đó
∂
∂n
= ∇.n =

n
x
i
∂
∂x
i
, i = 1, n, là đạo hàm theo véc tơ pháp
tuyến ngoài đơn vị. Thành phần thứ i của công thức (1.1.2) có thể
3
viết dưới dạng:

Ω
w
∂G
∂x
i
dΩ = −

Ω
∂G
∂x
i
dΩ +


∂Ω
n
x
i
wGdS. (1.1.4)
Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần.
Trong R
3
gọi hàm M(x), N(x) và P (x), x ≡ (x, y, z) ∈ Ω, là các
thành phần của G. Khi đó theo định lý divergence ta có:

Ω

∂M
∂x
+
∂N
∂y
+
∂P
∂z

dΩ =

∂Ω
(Mcos(nx)+Ncos(ny)+P cos(ny))dS,
(1.1.5)
trong đó cos(nx), cos(ny), cos(nz) là các cosin chỉ hướng của n. Nếu
ta lấy M = u

∂v
∂x
, N = u
∂v
∂y
, P = u
∂v
∂z
, thì (1.1.5) cho ta.

Ω

∂u
∂x
.
∂v
∂x
+
∂u
∂y
.
∂v
∂y
+
∂u
∂z
.
∂v
∂z


dΩ =

∂Ω
u
∂v
∂n
dS −

Ω
u∇
2
vdΩ.
(1.1.6)
Công thức này được gọi là công thức Green thứ nhất. Hơn nữa nếu ta
hoán vị u và v trong (1.1.5), ta được

Ω

∂u
∂x
.
∂v
∂x
+
∂u
∂y
.
∂v
∂y
+

∂u
∂z
∂v
∂z

dΩ =

∂Ω
v
∂u
∂n
dS −

Ω
v∇
2
udΩ.
(1.1.7)
Trừ (1.1.6) cho(1.1.7) thì ta có công thức Green thứ hai:

Ω
(u∇
2
v − v∇
2
u)dΩ =

∂Ω

u

∂v
∂n
− v
∂u
∂n

dS. (1.1.8)
Chú ý: Các công thức Green vẫn đúng nếu miền Ω giới hạn bởi
một số hữu hạn mặt cong kín. Trong trường hợp này tích phân mặt
phải được lấy trên tất cả các mặt tạo thành biên Ω.
Nếu ta cho v = 1 trong (1.1.6), thì

∂Ω
∂u
∂n
dS =

Ω
∇
2
udΩ (1.1.9)
4
Nếu ta lấy u = v trong(1.1.6), thì

∂Ω
∂u
∂n
dS =

Ω

(u∇
2
v + |∇u|
2
)dΩ. (1.1.10)
1.2 Một số hàm đặc biệt
Trong luận văn có sử dụng một số hàm đặc biệt sau đây.
1.2.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2)
Với s > 0 ta có
Γ(s) =
∞

0
e
−x
x
s−1
dx.
Hàm này có một số tính chất sau:
(1) Γ(s + 1) = sΓ(s), (s > 0).
(2) Γ(s + 1) = s!.
(3) Γ(s) = lim
n→∞
1.2 n
s(s+1) (s+n)
n
s
, s > 0, n ∈ N
∗
.

1.2.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1)
Hàm Beta có dạng
B(p, q) =
1

0
x
p−1
(1 − x)
q−1
dx, (p > 0, q > 0). (1.2.1)
Bằng phép đổi biến x = cos
2
ϕ thì hàm Beta có dạng:
B(p, q) = 2
π
2

0
cos
2p−1
ϕ.sin
2q−1
ϕdx, (p > 0, q > 0). (1.2.2)
Đặt x = sin
2
ϕ thì ta lại có:
B(q, p) =
1


0
x
q−1
(1 − x)
p−1
dx, p > 0, q > 0. (1.2.3)
5
về dạng (1.2.2) và ta nhận được B(p, q) = B(q, p).
Ngoài ra ta còn có: B(p.q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
, (∀p, q > 0).
1.2.3 Hàm Bessel và hàm Hankel
Hàm Bessel loại 1
Hàm có dạng:
J
v
(x) =
x
v
2
v
Γ(v + 1)

1 −
x
2
2(2v + 2)
+
x

4
2.4(2v + 2)(2v + 4)
+

=
∞

k=0
(−1)
k
k!Γ(v + k + 1)

x
2

v+2k
là hàm Bessel loại 1 bậc v. Thay v bởi −v ta cũng có
J
−v
(x) =
∞

k=0
(−1)
k
k!Γ(−v + k + 1)

x
2


−v+2k
Ta thừa nhận một số tính chất sau:
• Nếu v = 0, 1, 2 thì J
v
(x) = (−1)
v
J
−v
(x)
• Nếu v = 0, 1, 2, thì J
v
(x) và J
−v
(x) là độc lập tuyến tính.
• Nếu v = 0, 1, 2, thì J
v
(x) bị chặn tại x = 0 trong khi đó J
−v
(x)
không bị chặn.
Chẳng hạn v = 0, 1:
J
0
(x) = 1 −
x
2
2
2
+
x

4
2
2
.4
2
−
x
6
2
2
.4
2
.6
2
+
J
1
(x) =
x
2
−
x
3
2
2
.4
+
x
5
2

2
.4
2
.6
−
x
7
2
2
.4
2
.6
2
.8
+
J

0
(x) = −J
−1
(x)
Hàm Bessel loại 2
Nếu v không là số nguyên thì
Y
v
(x) =
J
v
(x).cosvπ − J
−v

(x)
sinvπ
.
6
Nếu v là số nguyên dương n = 0, 1, 2, 3,
Y
n
(x) = lim
p→∞
J
p
(x)cospπ − J
−p
(x)
sinpπ
−
2
π

ln(
x
2
) + γ

J
n
(x) −
1
π
n−1


k=0
(n − k − 1)!

x
2

2
k − n
−
1
π
∞

k=0
(−1)
k
[φ(k) + φ(n + k)]
(
x
2
)
2k+n
k!(n + k)!
,
trong đó γ = 0, 5772156 là hằng số Euler và
ϕ(p) = 1 +
1
2
+

1
3
+ +
1
p
, ϕ(0) = 0.
Với n = 0,
Y
0
(x) =
2
π

ln(
x
2
) + γ

J
0
(x) +
2
π

x
2
2
2
−
x

4
2
2
.4
2
(1 +
1
2
)
+
x
6
2
2
.4
2
.6
2
(1 +
1
2
+
1
3
) −

.
Nếu v là số nguyên âm 0, −1, −2, −3,
Y
−n

(x) = (−1)
n
Y
n
(x), n = 0, 1, 2,
Hàm Hankel (Hàm Bessel loại 3)
Hàm Hankel loại 1 và loại 2 được xác định như sau:
H
(1)
v
(x) = J
v
(x) + iY
v
(x) (loại 1)
H
(2)
v
(x) = J
v
(x) − iY
v
(x) (loại 2)
7
Hàm Bessel điều chỉnh
Loại I: I
v
((x) = i
−v
J

v
(ix) =
∞

k=0
1
k!Γ(v+k+1)

x
2

v+2k
.
Loại II:
K
v
(x) =
π
2
I
−v
(x) − I
v
(x)
sinvπ
=
π
2
i
v+1

H
(1)
v
(ix) =
π
2
(−i)
v+1
H
(2)
v
(−ix).
1.3 Hàm suy rộng
Nếu K là một tập compact trong R
n
ta ký hiệu D
K
là tập hợp
D
K
= {f ∈ C
∞
(R
n
)|supp f ⊆ K}. Ta thừa nhận bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. Cho Ω ⊂ R
n
và Ω = ∅. Khi đó tồn tại dãy các tập
compact {K
j

}, (j = 1, 2, 3, . . .) thỏa mãn K
j
⊂ intK
j+1
và
∞

j=1
K
j
= Ω.
Định nghĩa 1.3.1. Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp:
D(Ω) =

φ ∈ C
∞
(Ω)|supp φ là tập compact trong Ω

cùng với sự hội tụ sau đây: Dãy hàm {φ
l
}
∞
l=1
⊂ D(Ω) hội tụ tới φ
0
trong D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N
∗
sao cho supp φ
l
⊂ K

j
với mọi
l ∈ N
∗
và φ
l
→ φ
0
trong D
K
j
(Ω), nghĩa là
sup
x∈K
j
|∂
α
φ
l
(x) − ∂
α
φ
0
(x)| → 0 khi l → ∞, (1.3.1)
với mọi đa chỉ số α.
Khi đó ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử (test function).
Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải
tích hiện đại. Nó có các tính chất sau:
Định lí 1.3.1. 1. Không gian các hàm thử là một không gian tuyến
tính tô pô với tô pô sinh bởi sự hội tụ

8
2. Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N
∗
sao cho E là tập
con bị chặn trong D
K
j
(Ω). Đặc biệt nếu {φ
l
}
∞
l=1
là dãy Cauchy trong
D(Ω) thì tồn tại j ∈ N
∗
sao cho φ
l
hội tụ trong D
K
j
(Ω) và do đó hội
tụ trong D(Ω).
3. Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khi
với mọi j ∈ N tồn tại N
j
∈ N và hằng số c
j
> 0 sao cho
sup
φ∈D

K
j
(Ω)
|Λ(φ)| ≤ c
j
sup
x∈K
j
{|∂
α
φ(x)| : |α| ≤ N
j
}. (1.3.2)
Nếu tồn tại N
j
không phụ thuộc j thì ta nói phiếm hàm Λ có cấp hữu
hạn và số N nhỏ nhất thỏa mãn điều đó được gọi là cấp của Λ.
Định nghĩa 1.3.2. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f : D(Ω) → C
được gọi là một hàm suy rộng (hay một phân bố) trên Ω. Ta thường
kí hiệu giá trị của hàm suy rộng f tại φ ∈ D(Ω) là: f, φ hay đôi khi
là

Ω
f(x)φ(x)dx (xem hàm suy rộng chính quy và hàm delta sau đây).
Ký hiệu D

(Ω) tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω. Khi Ω = R
n
thì ta kí hiệu đơn giản D(Ω) và D


(Ω) tương ứng bởi D và D

.
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:
1, f, 0 = 0 và

f,
m

n=1
α
n
φ
n

=
m

n=1
α
n
f, φ
n
.
2, Mỗi hàm f ∈ L
1,loc
(Ω) sinh ra một hàm suy rộng xác định bởi:
f, φ =

Ω

f(x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(Ω).
(1.3.3)
Thật vậy: Dễ thấy phiếm hàm trên đây tuyến tính và với dãy {K
j
}
9
cho bởi Bổ đề 1.3.1, với mọi j ∈ N
∗
và φ ∈ D(Ω) ta có:
|f, φ| =








K
j
f(x)φ(x)dx







≤


K
j
|f||φ|dx
≤ sup
K
j
|φ|

K
j
|f|dx = c
j
sup
K
j
|φ|.
Như vậy ∃c
j
=

K
j
|f|dx > 0, N
j
= 0 để |f, φ| ≤ c
j
sup
K
j
|φ|. Do đó

f là hàm suy rộng cấp 0.
Hàm suy rộng này được gọi là hàm suy rộng chính quy. Mọi hàm
suy rộng khác được gọi là kỳ dị mặc dù công thức (1.3.3) có thể được
dùng một cách hình thức cho các hàm suy rộng đó.
Chú ý: Nếu f ∈ D(R
n
) thì hàm suy rộng f triệt tiêu trong bất kỳ
miền nào nằm ngoài supp f, tức là:
f, φ = 0 với mọi φ có supp f ∩ supp φ = ∅ (1.3.4)
Ví dụ 1.3.2. Phiếm hàm χ
Ω
, φ =

Ω
φ(x)dx, Ω ⊂ R
n
, trong đó χ
Ω
là
hàm đặc trưng của tập Ω, là một hàm suy rộng chính quy, vì nó sinh
bởi hàm χ
Ω
-liên tục từng mảng.
Chú ý: Khi Ω = (0, ∞) ⊂ R
1
thì χ
Ω
(x) = H(x) với
H(x) =


1, nếu x > 0
0, nếu x ≤ 0
là hàm Heaviside.
Ví dụ 1.3.3. [Hàm suy rộng Dirac] Cho ξ là một điểm cố định trong
R
n
. Xét phiếm hàm δ
ξ
xác định bởi δ
ξ
, φ = φ(ξ). Dễ thấy, phiếm hàm
δ
ξ
là tuyến tính và liên tục trên D(R
n
), nên nó được gọi là hàm suy
rộng với cực ξ. Phiếm hàm này còn được ký hiệu là δ(x, ξ) hay δ(x−ξ),
10
được lấy từ định nghĩa của hàm mật độ điểm δ(x, ξ) = δ(x −ξ) và gọi
là hàm Delta Dirac. Khi đó ξ được gọi là điểm nguồn và hàm δ(x, ξ)
là phiếm hàm xác định bởi:
δ(x, ξ), φ(x) =

R
n
δ(x, ξ)φ(x)dx = φ(ξ). (1.3.5)
Ta sẽ chứng tỏ rằng δ
0
(kí hiệu đơn giản bởi δ) là hàm suy rộng kỳ
dị. Thật vậy, giả sử δ là chính quy, khi đó tồn tại hàm f(x) khả tích

địa phương sao cho:
δ, φ =

R
n
f(x)φ(x)dx = φ(0), ∀φ ∈ C
∞
(R
n
). (1.3.6)
Với hàm thử
w
ξ
(x) =



e
ε
2
(
|x|
2
−ε
2
)
, nếu |x| < ε
0, nếu |x| > ε
(1.3.7)
ta thấy

w
ε
(0) = e
−1
, |w
ε
| ≤ e
−1
và







R
n
f(x)w
ε
(x)dx






=









|x|≤ε
f(x)e
ε
2
(
|x|
2
−ε
2
)
dx







≤ e
−1

|x|≤ε
|f(x)|dx.
Do đó lim

ε→0
f, w
ε
 = 0 vì f(x) khả tích địa phương. Nhưng theo (1.3.6)
thì f, w
ε
 = e
−1
, ∀ε dẫn đến mâu thuẫn.
Chú ý: Tương tự, hàm Delta Dirac với cực tại ξ cũng là hàm suy rộng
kỳ dị.
Ví dụ 1.3.4. i, Hàm f (x − a) là hàm tịnh tiến của hàm khả tích địa
11
phương f(x) theo một vecto a sinh ra hàm suy rộng:
f(x − a), φ(x) =

R
n
f(x − a)φ(x)dx
=

R
n
f(x)φ(x + a)dx = f(x), φ(x + a).
(1.3.8)
ii, Nếu f(x) là hàm khả tích địa phương thì f(αx) cũng khả tích
địa phương với bất kỳ số thực α = 0, và nó sinh ra hàm suy rộng:
f(αx), φ(x) =

R

n
f(αx)φ(x)dx
=
1
|α|
n

R
n
f(y)φ(
x
α
)dx =
1
|α|
n

f(x), φ(
x
α
)

(1.3.9)
Công thức này vẫn xác định cả với hàm suy rộng kỳ dị.
1.3.1 Đạo hàm của hàm suy rộng
Định nghĩa 1.3.3. Cho f ∈ D

(Ω). Đạo hàm cấp k của f là phiếm
hàm D
k

f xác định bởi

D
k
f, φ

= (−1)
|k|

f, D
k
φ

, ∀φ ∈ D(Ω).
(1.3.10)
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất sau:
(i) D
k
f ∈ D

(Ω) với mọi f ∈ D

(Ω).
(ii) D
α+β
f = D
α
(D
β
f) = D

β
(D
α
f).
(iii) Nếu f ∈ D

và a ∈ C
∞
(R
n
) thì theo công thức Leibniz ta có:
∂
∂x
i
(af) = a
∂f
∂x
i
+
∂a
∂x
i
f.
(iv) supp D
k
f ⊂ supp f.
(v) Tập của các hàm suy rộng D
k
δ(x), |k| < p, p = 0, 1, , là
độc lập tuyến tính.

12
(vi)
∞

k=1
a
k
δ
(k)
(x − k) hội tụ trong D

với mọi giá trị của a
k
.
(vii) Nghiệm tổng quát của phương trình x
n
u
(m)
= 0, n > m trong
D

(R) là
u(x) =
m−1

k=0
c
k
H(x)x
m−k−1

+
n−1

k=m
c
k
δ
(k−m)
+
m−1

k=0
d
k
x
k
,
với c
k
, d
k
là các hằng số bất kỳ.
(viii) (D
k
f)(x + h) = D
k
f(x + h) với mọi f ∈ D

, h ∈ R
n

.
Ví dụ 1.3.5. Hàm Heaviside xác định bởi:
H(x) =



1 nếu x ≥ 0
0 nếu x < 0
,
là hàm không khả vi theo nghĩa thường tại x = 0. Tuy nhiên nó là
hàm khả tích địa phương nên xác định một hàm suy rộng chính quy.
Theo nghĩa suy rộng ta có:
DH(x) = δ(x). (1.3.11)
Thật vậy với mọi φ ∈ D(R) ta có
H

, φ = (−1)
1
H, φ

 = −

∞
0
φ

(x)dx = −φ(x)|
∞
0
= φ(0) = δ, φ.

Do đó H

= δ.
Chú ý: Từ công thức hàm suy rộng(1.3.11) của H

(x) lấy tích phân
một cách hình thức,ta có
H(x) =
x

0
δ(x)dx =

0, x < 0
1, x > 0
Ví dụ 1.3.6. Hàm f(x) = ln |x| cũng thuộc L
1,loc
(R), do đó f có thể
được xem như một hàm suy rộng theo cách sau:
f, φ =

+∞
−∞
ln |x|φ(x)dx.
13
Ta có
Df, φ = −

+∞
−∞

ln |x|Dφ(x)dx
= −

0
−∞
ln |x|Dφ(x)dx −

+∞
0
ln |x|Dφ(x)dx
= − lim
→0
+


−
−∞
ln |x|Dφ(x)dx +

+∞

ln |x|Dφ(x)dx

= lim
→0
+

[φ() − φ(−)] ln || +

−

−∞
φ(x)
x
dx +

+∞

φ(x)
x
dx

= lim
→0
+


−
−∞
φ(x)
x
dx +

+∞

φ(x)
x
dx

, (1.3.12)
=:

1
x
.
Thực tế
1
x
không thuộc vào không gian L
1,loc
(R) nên ta không thể xem
nó là hàm suy rộng chính quy. Tuy nhiên ta có thể định nghĩa hàm
suy rộng
1
x
∈ D

(R) là đạo hàm của hàm ln |x| và
1
x
∈ D

(R)\L
1,loc
(R)
như trên. Như vậy D ln |x| =
1
x
.
Biểu thức
+∞


−∞
φ(x)
x
dx := lim
→0
+


−
−∞
φ(x)
x
dx +

+∞

φ(x)
x
dx

được gọi là tích phân giá trị chính.
Ví dụ 1.3.7. Với hàm suy rộng Dirac trong R
n
ta có

∂δ
∂x
i
, φ


=

δ, −
∂φ
∂x
i

= −
∂φ
∂x
i
(0)
Ví dụ 1.3.8. (Hàm số với bước nhảy). Gọi [f

], [f

], , là các hàm
nhân được bằng cách lấy vi phân của hàm f mà không quan tâm đến
các bước nhảy, chẳng hạn [H

] = 0. Hơn nữa, giả sử f có k bước nhảy
đơn với độ cao ∆f
1
, , ∆f
k
tương ứng tại các điểm a
1
, , a
k
. Khi đó

14
hàm
g = f −
k

i=1
∆f
i
H(x − a
i
) (1.3.13)
là liên tục nên g

= [g

], hơn nữa [g

] = [f

] do đó g

= [f

]. Gọi f

là
đạo hàm suy rộng của f. Khi đó lấy vi phân (1.3.13) theo nghĩa suy
rộng ta có
g


= f

−
k

i=1
∆f
i
δ(x − a
i
),
và do g

= [f

] nên
f

= [f

] +
k

i=1
∆f
i
δ(x − a
i
). (1.3.14)
Các đạo hàm suy rộng cấp cao hơn, chẳng hạn với hàm một bước

nhảy tại điểm a
1
= 0 được cho bởi:
f

= [f

] + ∆f
(0)
δ(x)
f

= [f

] + ∆f
(1)
δ(x) + ∆f
(0)
δ

(x)

f
(m)
= [f
(m)
] + ∆f
(m−1)
δ(x) + ∆f
(m−2)

δ

(x) + + ∆f
(0)
δ
(m−1)
(x).
Chẳng hạn, nếu f (x) = e
−|x|
, thì
f

= [f

] =

−e
−x
, x > 0
e
x
, x < 0
f

= [f

] − 2δ(x) = f(x) −2δ(x)
f

= f


− 2δ

(x)
Theo tính toán trên thì hàm f thỏa mãn phương trình −f

+ f =
2δ(x) theo nghĩa hàm suy rộng.
Ví dụ 1.3.9. Hàm ln |x| (với n = 2) và hàm |x|
2−n
(với n ≥ 3) là các
hàm không có Laplacian theo nghĩa cổ điển trên R
n
, nhưng chúng có
Laplacian trong R
n
theo nghĩa suy rộng cho bởi:
∇
2
ln |x| = 2πδ(x), n = 2, (1.3.15)