Phương pháp biến phân giải phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN QUANG TUYẾN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội - 2012
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy cô giáo,
đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng, những người đã tận tình hướng dẫn đầy
hiệu quả, thường xuyên dành cho tôi sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên
giúp tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Sau Đại học trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong
trường đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên
cứu.
Tôi trân trọng cảm ơn Sở giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc, Trường
THCS và THPT Hai Bà Trưng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thời
gian tôi theo học lớp sau đại học.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè và
người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn
này có thể được hoàn thành.
Hà Nội, tháng 06 năm 2012
Tác giả
Trần Quang Tuyến
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những nghiên cứu, thành
tựu của các nhà khoa học, đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Trần Quang Tuyến
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 11
1.1 Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Biến phân cấp một. Phương trình Euler - Lagrange 14
1.2.2 Biến phân cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Cực tiểu của phiếm hàm - Nghiệm của phương trình. . . 18
1.3.1 Điều kiện bức, tính nửa liên tục dưới. . . . . . . . 18
1.3.2 Tính lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Nghiệm yếu của phương trình Euler - Lagrange. . 21
Chương 2. Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, Định lí biến
dạng và ứng dụng 24
2.1 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Bài toán cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Ứng dụng đối với bài toán Dirichlet phi tuyến . . 29
2.2 Định lí biến dạng và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Định lí biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Chương 3. Định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng
dụng 44
3.1 Định lí qua núi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6
3.1.1 Điểm tới hạn kiểu minimax . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Định lí qua núi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Ứng dụng đối với bài toán Dirichlet . . . . . . . . 48
3.2 Định lí điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Bậc tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Định lí điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.3 Ứng dụng đối với bài toán cộng hưởng . . . . . . 56
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Tài liệu tham khảo 62
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7
BẢNG KÍ HIỆU
N tập các số tự nhiên.
Z tập các số nguyên.
R tập các số phức.
R
N
không gian Eculidean N chiều.
A bao đóng của tập A.
A

− lân cận của tập A.
B(x
0
, r) hình cầu mở tâm x

0
bán kính r.
C
p
(Ω) lớp hàm liên tục cùng với đạo hàm trên miền Ω đến cấp p.
C
∞
(Ω) lớp các hàm khả vi vô hạn trên Ω.
C
∞
0
(R
n
) lớp các hàm khả vi vô hạn trên R
n
và triệt tiêu ở bên ngoài biên.
C
p
0
(R
n
) tập của các hàm trong C
p
(R
n
) có giá compact.
D
k
đạo hàm riêng thứ k.
S(x

0
, r) mặt biên của hình cầu B(x
0
, r).
dist(ω, B) khoảng cách từ ω tới B.
h.k.n hầu khắp nơi.
JacH ma trận Jacobi
∂H
i
∂y
j
.
supp u giá của u.
C
∞
c
(I) là C
∞
(I) ∩ C
c
(I).
L
1
(I) không gian các hàm khả tích trên I lấy giá trị trên R.
L
p
(Ω) không gian các hàm đo được khả tích trên Ω và |u|
p
∈ L
1

(Ω).
u
X
chuẩn của u trên tập X.
∗ tích chập.
[·, ·] cặp phần tử của không gian tích.
(·, ·) tích vô hướng.
·, · cặp đỗi ngẫu.
 kết thúc chứng minh.
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Chúng ta đã được biết về khái niệm phương trình vi phân đạo hàm
riêng (viết tắt là phương trình đạo hàm riêng) từ chương trình đại học
là những phương trình chứa hàm số cần tìm và các đạo hàm riêng của
nó.
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào thế
kỉ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Euler,
Dalambert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để
mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Chỉ đến thế kỉ XIX và đặc biệt
là công trình nghiên cứu của Riemann, phương trình đạo hàm riêng
mới trở thành công cụ mạnh dùng trong nhiều lĩnh vực toán học khác.
Từ khi xuất hiện cho đến ngày nay, phương trình đạo hàm riêng đóng
vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng, thúc đẩy sự phát
triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực toán học lý thuyết khác
nhau.
Các phương trình đạo hàm riêng nói chung là rất phức tạp. Mỗi một
phương pháp tiếp cận chỉ phù hợp đối với một lớp phương trình cụ thể.
Trong chương trình Thạc sĩ chuyên ngành giải tích mà chúng tôi đã được
các thầy giới thiệu một số phương pháp giải các bài toán đối với phương
trình đạo hàm riêng như: Phương pháp đặc trưng, Phương pháp tách

biến, Phương pháp biến đổi tích phân, Phương pháp biến đổi phương
trình phi tuyến thành tuyến tính, Phương pháp biến phân, Tuy nhiên
do điều kiện thời gian của môn học có hạn nên chúng tôi chưa có điều
kiện nghiên cứu kĩ tất các các phương pháp trên. Được sự giúp đỡ và sự
hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài
9
"Phương pháp biến phân
giải phương trình đạo hàm riêng"
Với mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về phương pháp biến phân cũng
như những khả năng ứng dụng của nó đối với giải phương trình đạo hàm
riêng. Luận văn được chia làm ba chương (ngoài phần mở đầu, kết luận
và tài liệu tham khảo).
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các khái niệm và
đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian Sobolev, cần thiết cho
quá trình sử dụng sau này. Tiếp theo bằng cách tiếp cận ngắn gọn chúng
tôi sẽ giới thiệu về phương pháp biến phân và cực tiểu của phiếm hàm
- nghiệm của phương trình.
Chương 2 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, định lí biến dạng và
ứng dụng.
Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu vấn đề điểm tới hạn thông qua
bài toán cực tiểu để giải bài toán Dirichlet phi tuyến, định lí biến dạng
và ứng dụng vào bài toán Neumann phi tuyến.
Chương 3 Định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng.
Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu định lí qua núi và ứng dụng vào
bài toán Dirichlet phi tuyến, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng vào bài
toán cộng hưởng.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về phương pháp biến phân.
Áp dụng phương pháp biến phân vào để giải một số phương trình

đạo hàm riêng Dirichlet phi tuyến, Neumann phi tuyến và cộng hưởng.
10
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết về
ứng dụng của phương pháp biến phân vào trong việc giải phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến (Dirichlet, Neumann và cộng hưởng).
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu khả năng ứng dụng của phương pháp biến phân đối với
một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Đóng góp mới của luận văn
- Trình bày những vấn đề cơ bản của phương pháp biến phân.
- Trình bày điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, định lí biến dạng và ứng
dụng.
- Trình bày định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian Sobolev W
1,p
(Ω)
Cho Ω ⊂ R
N
là tập mở và 1 ≤ p ≤ +∞.
Định nghĩa 1.1. Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa bởi
W
1,p

(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω)|∃g
1
, g
2
, , g
N
∈ L
p
(Ω) sao cho

Ω
u
∂ϕ
∂x
i
dx = −

Ω
g
i
ϕdx, ∀ϕ ∈ C
∞
c
, ∀i = 1, 2, , N}.
Đặt H
1
(Ω) = W
1,2

(Ω), với mỗi u ∈ W
1,p
(Ω) ta đặt
∂u
∂x
i
= g
i
, i = 1, , N
và
∇u = (
∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
, ,
∂u
∂x
N
) = gradu.
Không gian W
1,p
(Ω) được trang bị bởi chuẩn
u
W
1,p
= u

L
p
+
N

i=1




∂u
∂x
i




L
p
,
hay với chuẩn tương đương

u
p
L
p
+
N

i=1





∂u
∂x
i




p
L
p

1
p
nếu (1 ≤ p < +∞).
Không gian H
1
(Ω) được trang bị tích vô hướng
(u, v)
H
1
= (u, v)
L
2
+
N


i=1

∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i

L
2
.
Ta thấy chuẩn sinh bởi tích vô hướng
u
H
1
=

u
2
L
2
+
N

i=1





∂u
∂x
i




2
L
2

1
2
tương đương với chuẩn trong W
1,2
.
12
Lưu ý: Có thể viết W
1,p
(Ω) bởi W
1,p
.
Tính chất 1.1. Không gian W
1,p
là một không gian Banach với 1 ≤
p ≤ +∞; Không gian W
1,p
là phản xạ với 1 < p < +∞ và tách được với
1 ≤ p < +∞. Không gian H

1
là không gian Hilbert tách được.
Chú ý 1.1. Cho một phiếm hàm f xác định trên Ω. Kí hiệu
f là thác
triển của f bởi 0 ở bên ngoài Ω, tức là
f(x) =

f(x) với x ∈ Ω
0 với x ∈ R
N
\Ω.
Cho u ∈ W
1,p
(Ω) và α ∈ C
1
c
(Ω) khi đó
αu ∈ W
1,p
(R
N
) và
∂
∂x
i
(αu) = α
∂u
∂x
i
+

∂α
∂x
i
u.
Thật vậy coi ϕ ∈ C
1
c
(R
N
), ta có

R
N
αu
∂ϕ
∂x
i
dx =

Ω
αu
∂ϕ
∂x
i
dx =

Ω
u

∂

∂x
i
(αϕ) −
∂α
∂x
i
ϕ

dx
= −

Ω

∂u
∂x
i
αϕ + u
∂α
∂x
i
ϕ

dx = −

R
N

∂u
∂x
i

α + u
∂α
∂x
i

ϕdx.
Kết luận trên vẫn đúng nếu thay vì giả sử α ∈ C
1
c
(Ω) ta lấy α ∈ C
1
(R
N
)∩
L
∞
(R
N
) với ∇α ∈ L
∞
(R
N
) và suppα ⊂ R
N
\Γ (Γ là biên của C
1
c
(Ω)).
Tính chất 1.2. (Định lí Friedrichs)
Cho u ∈ W

1,p
(Ω) và 1 ≤ p < ∞. Khi đó, tồn tại một dãy {u
n
} trong
C
∞
c
(R
N
) sao cho
i) u
n
|
Ω
→ u trong L
p
(Ω),
ii) ∇u
n
|
ω
→ ∇u|
ω
trong L
p
(ω)
N
, ∀ω ⊂⊂ Ω.
(Kí hiệu ω ⊂⊂ Ω có nghĩa là ω là tập mở sao cho ω ⊂ Ω và ω compact.)
13

Tính chất 1.3. Cho u ∈ L
p
(Ω) và 1 < p ≤ ∞, các tính chất sau đây là
tương đương:
i) u ∈ W
1,p
(Ω)
ii) ∃C :



Ω
u
∂ϕ
∂x
i
dx


≤ C||ϕ||
L
p

, ∀ánh xạ ϕ ∈ C
∞
c
(Ω), ∀i = 1, 2, , N
iii) ∃C : mọi tập mở ω ⊂⊂ Ω và ∀, h ∈ R
N
: |h| < dist(ω, R

N
\Ω), ta
có ||τ
h
u − u||
L
p
(ω)
≤ C|h|. Hơn nữa, chọn C = ||∇u||
L
p
(Ω)
trong ii)
và iii).
Tính chất 1.4. (Đạo hàm của một tích)
Cho u, v ∈ W
1,p
(Ω) ∩ L
∞
(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó, uv ∈ W
1,p
(Ω) ∩
L
∞
(Ω) và
∂
∂x
i
(uv) =
∂u

∂x
i
v + u
∂v
∂x
i
, i = 1, 2, , N.
Tính chất 1.5. (Đạo hàm của hàm hợp)
Cho G ∈ C
1
(R) : G(0) = 0 và |G

(s)| ≤ M, ∀s ∈ R, ∀u ∈ W
1,p
(Ω). Khi
đó, G ◦ u ∈ W
1,p
(Ω) và
∂
∂x
i
(G ◦ u) = (G

◦ u)
∂u
∂x
i
.
Tính chất 1.6. (Công thức đổi biến)
Cho Ω và Ω


là tập mở của R
N
và H : Ω

→ Ω là một song ánh, x = H(y),
sao cho
H ∈ C
1
(Ω

), H
−1
∈ C
1
(Ω), JacH ∈ L
∞
(Ω

), JacH
−1
∈ L
∞
(Ω).
Giả sử u ∈ W
1,p
(Ω). Khi đó, u ◦H ∈ W
1,p
(Ω


) và
∂
∂y
j
(u ◦ H)(y) =

i
∂u
∂x
i
(H(y))
∂H
i
∂y
j
(y) j = 1, 2, , N.
(JacH chỉ ma trận Jacobi
∂H
i
∂y
j
)
14
1.2 Phương pháp biến phân
Xét các phương trình đạo hàm riêng có dạng
A [u] = 0, (1.1)
trong đó A [·] là một toán tử đạo hàm riêng cho trước, u là nghiệm cần
tìm. Xét phương trình đạo hàm riêng A [u] = 0, với A [·] là "đạo hàm"
của một phiếm hàm "năng lượng" I [·] tương ứng. Kí hiệu
A [u] = I


[·] . (1.2)
Khi đó, bài toán (1.1) tương đương với
I

[·] = 0. (1.3)
Xét phương trình (1.3) so với phương trình (1.1) ta có thể coi các nghiệm
của (1.3) như là các điểm tới hạn của I [·].
Nếu phiếm hàm I [·] đạt cực tiểu tại u thì u sẽ thỏa mãn (1.3) và do đó
u là một nghiệm của (1.1).
Nếu không thể giải trực tiếp được bài toán (1.1), ta có thể tìm nghiệm
của (1.1) dễ dàng hơn bằng cách sử dụng các phương pháp của lí thuyết
tối ưu để tìm điểm cực tiểu (điểm cực đại hoặc điểm tới hạn) của phiếm
hàm I [·].
1.2.1 Biến phân cấp một. Phương trình Euler - Lagrange
Giả sử U ⊂ R
n
là một tập mở, bị chặn với biên ∂U trơn và L là một
hàm trơn cho trước L : U × R × R
n
→ R. Gọi L là hàm Lagrange. Kí
hiệu L(x, z, p) = L(x
1
, , x
n
, z, p
1
, , p
n
) với x ∈ U, z ∈ R, p ∈ R

n
. Ở
đây, ”z” là biến sẽ thay thế cho ω(x) và ”p” là biến thay thế cho Dω(x).
15
Ta kí hiệu







D
x
L = (L
x
1
, , L
x
n
)
D
z
L = L
z
D
p
L = (L
p
1

, , L
p
n
) .
Áp dụng phần trên cho trường hợp I [·] có dạng
I [ω] =

U
L(x, ω(x), Dω(x))dx, (1.4)
với các hàm trơn ω : U → R thỏa mãn điều kiện biên
ω = g trên ∂U. (1.5)
Giả sử, một hàm trơn u thỏa mãn điều kiện u = g trên ∂U là điểm cực
tiểu của I [·] trong số tất cả các hàm ω thỏa mãn (1.5). Ta chứng minh
u là nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng. Để chứng minh điều
này, trước hết ta chọn một hàm trơn bất kì v ∈ C
∞
c
(U) và xét hàm thực
i(τ) = I [u + τv] (τ ∈ R) . (1.6)
Vì u là một điểm cực tiểu của I [·] và u + τv = u = g trên ∂U, cho nên
i(·) đạt cực tiểu tại τ = 0. Do đó
i

(0) = 0. (1.7)
Ta tính đạo hàm (hay gọi là biến phân cấp một của I [·]), như sau
i(τ) =

U
L(x, u + τv, Du + τDv)dx. (1.8)
Đó là

i

(τ) =

U
n

i=1
L
P
i
(x, u + τv, Du + τDv)v
x
i
+ L
z
(x, u + τv, Du + τDv)vdx.
Cho τ = 0, từ (1.7) ta có
0 = i

(0) =

U
n

i=1
L
p
i
(x, u, Du)v

x
i
+ L
z
(x, u, Du)vdx.
16
Cuối cùng, vì v có giá compact, bằng cách lấy tích phân từng phần ta
được
0 =

U
[ −
n

i=1
(L
p
i
(x, u, Du))x
i
+ L
z
(x, u, Du)]vdx.
Do đẳng thức này thỏa mãn với mọi hàm thử v, suy ra u thỏa mãn
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
n

i=1
(L
p

i
(x, u, Du))x
i
+ L
z
(x, u, Du) = 0 trên U, (1.9)
gọi là phương trình Euler - Lagrange tương ứng với phiếm hàm năng
lượng I [·] được cho bởi (1.4), (1.9) là phương trình đạo hàm riêng bậc
hai tựa tuyến tính trong dạng phân kì.
Vậy, một điểm cực tiểu trơn của I [·] là nghiệm của phương trình đạo
hàm riêng Euler - Largrange (1.9) và ta có thể tìm được nghiệm của
(1.9) bằng cách xét các điểm cực tiểu của (1.4).
Ví dụ 1.1. (Nguyên lí Dirichlet)
Cho L(x, z, p) =
1
2
|p|
2
. Khi đó, L
p
i
= p
i
(i = 1, , n) , L
z
= 0 và vì
vậy, phương trình Euler - Lagrange tương ứng với phiếm hàm I [ω] =
1
2


U
|Dω|
2
dx là ∆u = 0 trong U.
Ví dụ 1.2. (Nguyên lí Dirichlet tổng quát)
Với L(x, z, p) =
1
2
n

i,j=1
a
ij
(x)p
i
p
j
−zf(x), trong đó a
ij
= a
ji
(i, j = 1, , n)
thì
L
p
i
=
n

j=1

a
ij
(x)p
j
(i = 1, , n) , L
z
= −f(x).
Phương trình Euler -Lagrange tương ứng với phiếm hàm
I [ω] =

U

1
2
n

i,j=1
a
ij
ω
x
i
ω
x
j
− ωf

dx.
17
là phương trình tuyến tính với cấu trúc phân kì

−
n

i,j=1

a
ij
ω
x
j

x
i
= f trong U.
Ta thấy điều kiện elliptic đều trên a
ij
(i, j = 1, , n) là giả thiết để chứng
minh sự tồn tại điểm cực tiểu của I [.].
1.2.2 Biến phân cấp hai.
Ta tính biến phân cấp hai của I [·] tại hàm u. Với u là điểm cực tiểu của
I [·], cho nên i

(0) ≥ 0, trong đó i(·) được xác định bởi (1.6). Từ (1.8)
suy ra
i(τ) =

U
n

i,j=1

L
p
i
,p
j
(x, u + τv, Du + τDv) v
x
i
v
x
j
+ 2
n

i=1
L
p
i
z
(x, u + τv, Du + τDv)v
x
i
v
+ L
zz
(x, u + τv, Du + τDv)v
2
dx.
cho τ = 0, ta có bất đẳng thức
0 ≤ i(0) =


U
n

i,j=1
L
p
i
p
j
(x, u, Du)
+ 2
n

i=1
L
p
i
z
(x, u, Du)v
x
i
v + L
zz
(x, u, Du)v
2
dx, (1.10)
thỏa mãn với mọi hàm thử v ∈ C
∞
c

(U).
Ta thấy (1.10) đúng với mọi hàm v liên tục Lipschitz và triệt tiêu trên
∂U. Cố định ξ ∈ R
n
và đặt
v(x) = ερ

x.ξ
ε

ζ(x) (x ∈ U) , (1.11)
ở đây ζ ∈ C
∞
c
(U) và ρ : R → R là hàm tuần hoàn "zig - zag" được xác
định bởi ρ(x) =

x nếu 0 ≤ x ≤
1
2
1 − x nếu
1
2
≤ x ≤ 1
, ρ(x + 1) = ρ(x) (x ∈ R) .
18
Vì thế
|ρ

| = 1 h.k.n. (1.12)

Hơn nữa v
x
i
(x) = ρ


xξ
ε

ξ
i
ζ + O(ε) khi ε → 0 và bằng cách thế (1.11)
vào (1.10) ta được
0 ≤

U
n

i,j=1
L
p
i
p
j
(x, u, Du)(ρ

)
2
ξ
i

ξ
j
ζ
2
dx + O(ε).
Cho ω → 0 và sử dụng (1.12) ta có bất đẳng thức
0 ≤

U
n

i,j=1
L
p
i
p
j
(x, u, Du)ξ
i
ξ
j
ζ
2
dx.
Vì đánh giá này đúng ∀ζ ∈ C
∞
c
(U), do đó
n


i,j=1
L
p
i
p
j
(x, u, Du)ξ
i
ξ
j
≥ 0 (ξ ∈ R
n
, x ∈ U) . (1.13)
Ta thấy rằng điều kiện này cần cho sự tồn tại nghiệm.
1.3 Cực tiểu của phiếm hàm - Nghiệm của phương trình.
1.3.1 Điều kiện bức, tính nửa liên tục dưới.
Ta xét phiếm hàm
I [ω] =

U
L(x; ω(x); Dω(x))dx (1.14)
được xác định trên một lớp thích hợp các hàm ω : U → R thỏa mãn
ω = g trên ∂U (1.15)
và tìm điểm cực tiểu của nó.
a) Điều kiện bức
Với hàm liên tục f : R → R bị chặn dưới chưa chắc đã đạt cực tiểu
19
(chẳng hạn như f = e
x
hoặc (1 + x

2
)
−1
). Ta đặt giả thiết I [ω] với các
hàm ω "đủ lớn". Giả sử
1 < p < ∞ là một số cố định. (1.16)
Khi đó, hàm L thỏa mãn điều kiện

tồn tại các hằng số α > 0, β ≥ 0
L(x, z, p) ≥ α|p|
q
− β ∀x ∈ U, z ∈ R, p ∈ R
n
.
(1.17)
Suy ra
I [ω] ≥ α Dω
q
L
q
(U)
− γ (1.18)
với γ = β |U|. Vì thế I [ω] → ∞ khi Dω
L
q
→ ∞. Khi đó (1.18) được
gọi là điều kiện bức của I [·] (hoặc (1.17) là điều kiện bức của L).
Tìm cực tiểu của phiếm hàm I [·], từ bất đẳng thức (1.18) ta thấy sẽ
hợp lí hơn, nếu I [ω] được xác định không chỉ với các hàm liên tục ω,
mà còn các hàm ω trong không gian Sobolev W

1
q
(U) thỏa mãn điều kiện
biên (1.15) theo nghĩa vết. Bởi vì, lớp các hàm ω càng rộng thì càng có
nhiều khả năng tìm được cực tiểu của I [ω].
Kí hiệu A =

ω ∈ W
1
q
(U)|ω = g trên ∂U theo nghĩa vết

. A được gọi là
lớp các hàm chấp nhận được. Theo (1.17) thì I [·] được xác định (có thể
+∞) với mỗi ω ∈ A.
b) Nửa liên tục dưới
Hàm liên tục f : R → R thỏa mãn điều kiện bức sẽ đạt cực tiểu, nhưng
đối với phiếm hàm tích phân I [·] thì tính chất đó nói chung là không
đúng. Đặt
m = inf
ω∈A
I [ω] (1.19)
và chọn dãy hàm u
k
∈ A (k = 1, , n) sao cho
I [u
k
] → m khi k → ∞. (1.20)
20
Gọi {u

k
}
∞
k=1
là dãy cực tiểu. Lấy ra một dãy con của {u
k
}
∞
k=1
hội tụ tới
một cực tiểu của I [·]. Muốn vậy ta cần có điều kiện compact. Nếu dùng
bất đẳng thức (1.18), ta kết luận được rằng dãy cực tiểu nằm trong một
tập con bị chặn của W
1
q
(U). Nhưng không suy ra được sự tồn tại của một
dãy con nào hội tụ trong W
1
q
(U). Vì 1 < q < ∞ nên L
q
(U) là phản xạ,
khi đó, tồn tại một dãy con

u
k
j

∞
j=1

⊂ {u
k
}
∞
k=1
và một hàm u ∈ W
1
q
(U)
sao cho

u
k
j
 uyếu trong L
q
(U)
Du
k
j
 Duyếu trong L
q
(U; R
n
).
(1.21)
Kí hiệu
u
k
j

 u yếu trong W
1
q
(U). (1.22)
Mặt khác, ta có u = g trên ∂U theo nghĩa vết và do đó u ∈ A. Vì vậy,
bằng cách dùng tô pô yếu và từ điều kiện bức (1.18) suy ra (1.22) với
một dãy con

u
k
j

. Xét phiếm hàm I [·] không liên tục theo sự hội tụ
yếu. Khi đó, ta không thể suy ra từ (1.20) và (1.22) rằng
I [u] = lim
j→∞
I

u
k
j

(1.23)
và do đó không chứng minh u là cực tiểu. Vì Du
k
j
 Du không kéo theo
Du
k
j

→ Du h.k.n. Nhiều bài toán không cần điều kiện mạnh (1.23) mà
là những điều kiện yếu hơn, như sau
I [u] ≤ lim
j→∞
inf I

u
k
j

. (1.24)
Khi đó, từ (1.20) suy ra I[u] ≤ m. Nhưng từ (1.19) ta có m ≤ I[u]. Vậy
u thực sự là điểm cực tiểu của I[·]. Như vậy, điều kiện (1.24) là quan
trọng đối với sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm I[·].
Định nghĩa 1.2. Ta nói phiếm hàm I[·] là nửa liên tục dưới yếu trên
W
1
q
(U), nếu
I[u] ≤ lim
k→∞
inf I[u
k
]
khi mà u
k
 u trong W
1
q
(U).

21
1.3.2 Tính lồi.
Định lý 1.1. (Tính nửa liên tục dưới yếu)
Giả sử hàm Lagrange L(x, z, p) là bị chặn dưới và lồi theo p với mỗi
x ∈ U, z ∈ R. Khi đó I[·] là nửa liên tục dưới yếu trên W
1
q
(U).
Định lý 1.2. (Sự tồn tại của điểm cực tiểu)
Giả thiết rằng L thỏa mãn điều kiện bức (1.17) và lồi theo biến p, còn
tập chấp nhận được A là không rỗng. Khi đó, tồn tại ít nhất một hàm
u ∈ A thỏa mãn I [u] = min
ω∈A
I [ω]
Xét vấn đề duy nhất nghiệm. Nói chung, có nhiều điểm cực tiểu, do đó
để đảm bảo tính duy nhất ta cần thêm giả thiết. Xét hàm Lagrange
L = L(x, p) không phụ thuộc vào z (1.25)
và
tồn tại hằng số θ > 0 :
n

i,j=1
L
p
i
p
j
(x, p)ξ
i
ξ

j
≥ θ|ξ|
2
(p, ξ ∈ R
n
, x ∈ U).
(1.26)
Điều kiện (1.26) cho thấy ánh xạ p → L(x, p) là lồi đều với mỗi x.
Định lý 1.3. (Tính duy nhất của điểm cực tiểu).
Giả sử (1.25) - (1.26) thỏa mãn. Khi đó điểm cực tiểu u ∈ A của I[·] là
duy nhất.
1.3.3 Nghiệm yếu của phương trình Euler - Lagrange.
Ta chứng minh mọi điểm cực tiểu u ∈ A của I[·] thỏa mãn phương trình
Euler -Lagrange ta cần các điều kiện tăng của L và các đạo hàm của nó.
Ta giả sử
|L(x, z, p)| ≤ C (|p|
q
+ |z|
q
+ 1) (1.27)
và



|D
p
L(x, z, p)| ≤ C

|p|
q−1

+ |z|
q−1
+ 1

|D
z
L(x, z, p)| ≤ C

|p|
q−1
+ |z|
q−1
+ 1

,
(1.28)
22
với C là hằng số và ∀p ∈ R
n
, z ∈ R, x ∈ U. Xét bài toán biên đối với
phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange tương ứng với hàm L

−

n
i=1
(L
p
i
(x, u, Du))

x
i
+ L
z
(x, u, Du) = 0 trongU
u = g trên ∂U.
(1.29)
Nhân (1.29) với một hàm thử v ∈ C
∞
c
(U) và lấy tích phân từng phần,
ta có đẳng thức:

U
n

i=1
L
p
i
(x, u, Du)v
x
i
+ L
z
(x, u, Du)vdx = 0. (1.30)
Giả sử u ∈ W
1
q
(U). Từ (1.28) suy ra

|D
p
L(x, u, Du)| ≤ C

|Du|
q−1
+ |u|
q−1
+ 1

∈ L
q

(U),
trong đó q

=
q
q − 1
,
1
q
+
1
q

= 1. Tương tự
|D
z
L(x, u, Du)| ≤ C(|Du|

q−1
+ |u|
q−1
+ 1) ∈ L
q

(U). (1.31)
lấy xấp xỉ ta thấy (1.30) thỏa mãn với v ∈
0
W
1
q
(U) bất kì.
Định nghĩa 1.3. (Nghiệm yếu.)
Hàm u ∈ A được gọi là một nghiệm yếu của bài toán biên (1.29) đối với
phương trình Euler-Lagrange nếu

U
n

n=1
L
p
i
(x, u, Du)v
x
i
+ L
z
(x, u, Du)vdx = 0 ∀v ∈

0
W
1
q
(U).
Định lý 1.4. (Nghiệm của phương trình Euler-Lagrange)
Giả thiết L thỏa mãn điều kiện tăng (1.27),(1.28) và u ∈ A sao cho
I [u] = min
ω∈A
I [ω] . Khi đó u là một nghiệm yếu của (1.29).
Chú ý 1.2. Trong trường hợp tổng quát, phương trình Euler-Lagrange
(1.29) có những nghiệm khác mà không phải là điểm cực tiểu của I[·].
Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt khi ánh xạ (z, p) → L(x, z, p) là
lồi với mỗi x, thì mỗi nghiệm yếu chính là điểm cực tiểu.
23
Tóm lại, phương pháp biến phân đặt ra hai hướng nghiên cứu quan trọng
trong giải phương trình đạo hàm riêng:
• Nghiên cứu điểm tới hạn (đặc biệt là điểm cực tiểu) của một phiếm
hàm.
• Tìm những ứng dụng của các kết quả về tối ưu của phiếm hàm đối
với phương trình đạo hàm riêng.
Mà hai chương sau chúng ta sẽ đề cập tới hai vấn đề đó một cách đầy
đủ hơn.
Chương 2
ĐIỂM TỚI HẠN QUA BÀI TOÁN CỰC TIỂU,
ĐỊNH LÍ BIẾN DẠNG VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu
2.1.1 Bài toán cực tiểu
"Cho không gian Hilbert E, tập đóng C ⊂ E và một phiếm hàm ϕ : E →
R trong đó ϕ bị chặn dưới. Tìm u

0
∈ C sao cho
ϕ(u
0
) = inf
u∈C
ϕ(u)”.
Bài toán này tổng quát, ta phải thêm giả thiết. Vì phiếm hàm ϕ : E → R
bị chặn dưới trên đoạn C ⊂ R chưa chắc đạt giá trị nhỏ nhất, để đạt
được giá trị nhỏ nhất phiếm hàm ϕ liên tục (Định lý Weierstrass).
Vậy tính cực tiểu của phiếm hàm ϕ gắn chặt với tính “liên tục” của ϕ
và tính “compact” của tập C.
Kết quả cơ bản của lý thuyết tôpô
• Trong không gian tôpô X. Phiếm hàm ϕ : E → R là nửa liên tục
dưới nếu ϕ
−1
(a, ∞) mở trong X, ∀a ∈ R (tức là ϕ
−1
(−∞, a] đóng
trong X, ∀a ∈ R).
• Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất (chẳng hạn X là
không gian metric) thì ϕ : E → R là nửa liên tục dưới ⇔ ϕ (u) ≤
lim infϕ(u
n
), ∀u ∈ X, ∀u
n
→ u.
Định lý 2.1. Cho X là không gian tôpô, compact và ϕ : X → R là một
phiếm hàm nửa liên tục dưới. Khi đó ∃u
0

∈ X : ϕ (u
0
) = inf
X
ϕ.
25
Chứng minh Ta có X =
∞

n=1
ϕ
−1
(−n, ∞). Theo giả thiết, có ϕ
−1
(−n, ∞)
là tập mở và X là compact nên tồn tại một phủ hữu hạn
X =
n
0

n=1
ϕ
−1
(−n, ∞)
với mỗi n
0
∈ N. Chứng tỏ ϕ(u) > −n
0
, ∀u ∈ X hay ϕ bị chặn dưới. Đặt
c = inf

X
ϕ > −∞ và giả sử ϕ(u) > c, ∀u ∈ X. Khi đó
X =
∞

n=1
ϕ
−1
(c +
1
n
, ∞)
và X là tập compact, nên ∃k ∈ N : ϕ(u) = c +
1
k
, ∀u ∈ X, suy ra
c ≥ c +
1
k
( vô lí ). Vậy c là giá trị cực tiểu. 
Định nghĩa 2.1. Cho E là không gian Hilbert, phiếm hàm ϕ : E → R
được gọi là nửa liên tục dưới yếu, nếu ϕ là nửa liên tục dưới đối với tô
pô yếu trên E. Tức là ∀u ∈ E : ϕ(u) ≤ lim inf ϕ(u
n
), ∀u
n
: u
n
 u, (u
n

hội tụ yếu tới u hay u
n
 u tức là u
n
, h → u, h, ∀h ∈ E).
Định lý 2.2. Cho E là không gian Hilbert (hoặc E là không gian Banach
phản xạ) và ϕ : E → R là phiếm hàm có tính chất
i) Nửa liên tục dưới yếu,
ii) Điều kiện bức (tức là ϕ(u) → +∞khi u → ∞).
Khi đó, ϕ bị chặn dưới và ∃u
0
∈ E sao cho ϕ(u
0
) = inf
E
ϕ.
Chứng minh
Theo ii) ta chọn R > 0 sao cho ϕ(u) ≥ ϕ(0), ∀u ∈ E : u ≥ R. Vì
hình cầu B
R
là compact trong tô pô yếu và theo i) ϕ : B
R
→ R là nửa
liên tục dưới yếu. Theo Định lý 2.1 suy ra ∃u
0
∈ B
R
: ϕ(u
0
) = inf

B
R
ϕ.
Vì thế ∃u
0
∈ E : ϕ(u
0
) = inf
E
ϕ theo cách chọn R. 