Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng Eliptic

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ω
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />n n





a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1n
x
n
= a
1n+1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ + a
2n

x
n
= a
2n+1

a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ + a
nn
x
n
= a
nn+1
a
ij
(i, j = 1, n)
a
in+1
(i = 1, n)
x
i
(i = 1, n)
A =




a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n2
a
nn



b =



a
1n+1

a
2n+1
a
nn+1



x =



x
1
x
2
x
n



Ax = b
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A
det(A) =








a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n2
a
nn







= 0
A = (a
ij
) ||A||

A ≥ 0 ( ||A|| = 0 ⇔ A = 0)
α.A = |α|. A, α ( || − A|| = ||A||)
A + B ≤ A + B
A.B ≤ A. B
A
1
= max
j

i
|a
ij
| ( )
A
2
=


ij
|a
ij
|
2

1
2
( )
A
∞
= max

i

j
|a
ij
| ( )
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1n
x
n
= a
1,n+1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ + a
2n

x
n
= a
2,n+1

a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ + a
nn
x
n
= a
n,n+1
a
(0)
ij
= a
ij
(i = 1, , n; j = 1, , n + 1)
x
1
n − 1
a
11

= 0
a
11
x
1
+ b
12
x
2
+ + b
1n
x
n
= b
1,n+1
b
1j
= a
(0)
1j
/a
(0)
11
(j = 2, , n + 1)
i
−a
(0)
i1
a
(1)

22
x
2
+ a
(1)
23
x
3
+ + a
(1)
2n
x
n
= a
(1)
2,n+1
a
(1)
32
x
2
+ a
(1)
33
x
3
+ + a
(1)
3n
x

n
= a
(1)
3,n+1

a
(1)
n2
x
2
+ a
(1)
n3
x
3
+ + a
(1)
nn
x
n
= a
(1)
n,n+1
a
(1)
ij
= a
(0)
ij
− a

(0)
i1
b
1j
(i = 2, , n; j = 2, , n + 1)
x
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />m
x
m
+ b
m,m+1
x
m+1
+ + b
m,n
x
n
= b
m,n+1
a
(m)
m+1,m+1
x
m+1
+ + a
(m)
m+1,n
x
n

= a
(m)
m+1,n+1

a
(m)
n,m+1
x
m+1
+ + a
(m)
n,n
x
n
= a
(m)
n,n+1
b
mj
= a
(m−1)
mj
/a
(m−1)
mm
, (j = m + 1, , n + 1)
a
(m)
ij
= a

(m−1)
ij
− a
(m−1)
im
b
mj
, (i = m + 1, , n; j = m + 1, , n + 1)
n
x
1
+ b
12
x
2
+ + b
1n
x
n
= b
1,n=1
x
2
+ + b
2n
x
n
= b
2,n+1

x
n
= b
n,n+1
b
mj
= a
(m−1)
mj
/a
(m−1)
mm
, (m = 1, , n; j = m + 1, , n + 1)
a
(m)
ij
= a
(m−1)
ij
− a
(m−1)
im
b
mj
, (i = m + 1, , n; j = m + 1, , n + 1)
a
(m−1)
mm
(m = 1, , n)
x

n
= b
n,n+1
x
k
= b
k,n+1
−
n

j=k+1
b
kj
x
j
, (k = n −1, , 1)
n

m=1
[(n − m + 1) + 2 (n − m − 1) (n − m)] =
n

k=1
[k + 2k (k −1)]
Số hóa bởi trung tâm học liệu />=
n

k=1

2k

2
− k

= n(n + 1)(4n − 1)/6
n(n − 1)
(4n
3
+ 9n
2
−7n)/6
2n
3
/3 n
0
m = 1, , n
r



a
(m−1)
rm



=

max




a
(m−1)
im



, m ≤ i ≤ n

a
(m−1)
rm
= 0
a
(m−1)
rm
= 0 r = m
r
m
b
mj
, a
m
ij
x
n
, x
n−1
, , x
1

A
detA = (−1)
k
a
(0)
11
a
(0)
22
a
(n−1)
nn
k
Ax = b
a
ii
x
i
+

j=i
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, 2, , n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x
(0)

a
ii
x
(k+1)
i
+

j=i
a
ij
x
(k)
j
= b
i
, i = 1, 2, , n, k = 0, 1, 2,
∀i, a
ii
= 0
x
(k+1)
i
= −

j=i
a
ij
a
ii
x

(k)
j
+
b
i
a
ii
, i = 1, 2, , n, k = 0, 1, 2,
0 < q < 1
∀i = 1, 2, , n,
n

j=i
j=1
|a
ij
| ≤ q |a
ii
|
Ax = b
x
(0)



x
(k)
− x




∞
≤
q
k
1 − q



x
(0)
− x
(1)



∞
, k = 0, 1, 2,



x
(k)
− x



∞
≤
q

1 − q



x
(k)
− x
(k−1)



∞
, k = 0, 1, 2,
x

1 3 1
5 1 −1
2 1 6

→

5 1 −1
1 3 1
2 1 6

R
n
||.||
1
x

1
=
n

i=1
|x
i
|
S
1
= max
1≤j≤n
n

i=1
|S
ij
| = max
1≤j≤n

i=j
|a
ij
|
|a
ij
|
Số hóa bởi trung tâm học liệu />0 < q
1
< 1

∀j = 1, , n,
n

j=i
i=j
|a
ij
| ≤ q
1
|a
ii
|
.
∞
.
1
Ax = f
A =




c
1
−b
1
0 0 0
−a
2
c

2
−b
2
0 0

0 0 0 −b
n+1
0 0 0 −a
n
c
n







c
1
x
1
− b
1
x
2
= f
1
,
−a

i
x
i−1
+ c
i
x
i
− b
i
x
i+1
= f
i
, (i = 2, , n − 1)
−a
n
x
n−1
+ c
n
x
n
= f
n
,
.
c
i
= 0(i = 1, , n)
x

1
= b
1
/c
1
x
2
+ f
1
/c
1
i = 2
x
2
x
3
x
i
= α
i
x
i+1
+ β
i
α
i
, β
i
x
i−1

=
α
i−1
x
i
+ β
i−1
i − 1(i ≥ 2)
x
i
x
i+1
x
i
=
b
i
c
i
− a
i
α
i−1
x
i+1
+
f
i
+ a
i

β
i−1
c
i
− a
i
α
i−1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />α
i
=
b
i
c
i
− a
i
α
i−1
, β
i
=
f
i
+ a
i
β
i−1
c
i

− a
i
α
i−1
(i = 2, , n − 1)
α
1
=
b
1
c
1
, β
1
=
f
1
c
1
α
i
, β
i
, (i = 1, , n − 1) i = n − 1
x
n−1
= α
n−1
x
n

+ β
n−1
x
n
=
f
n
+ a
n
β
n−1
c
n
− a
n
α
n−1
β
n
x
n
α
i
, β
i
x
i
i = n − 1, n − 2, , 1
α
1

=
b
1
c
1
, β
1
=
f
1
c
1
,
α
i
=
b
i
c
i
− a
i
α
i−1
, β
i
=
f
i
+ a

i
β
i−1
c
i
− a
i
α
i−1
(i = 2, , n − 1)
x
n
= β
n
x
i
= α
i
x
i+1
+β
i
, (i =
n − 1, , 1)
8n
b
1
, a
n
, c

i
= 0, (i = 1, , n) |c
1
| ≥ |b
1
|, |c
n
| ≥ |a
n
|, |c
i
| ≥ |a
i
| +
|b
i
|, (i = 2, , n − 1)
∆
i
= c
i
− a
i
α
i−1
= 0 |α
i
| ≤ 1, (i = 2, , n)
|c
1

| ≥ |b
1
| = 0 |α
1
| =
|b
1
|
|c
1
|
≤ 1
|c
2
− a
2
α
1
| ≥ |c
2
| − |a
2
||α
1
| ≥ |a
2
| + |b
2
| − |a
2

||α
1
|
Số hóa bởi trung tâm học liệu />= |a
2
|(1 − |α
1
| + |b
2
|) ≥ |b
2
| > 0 ⇒ |c
2
− a
2
α
1
| = 0
|α
2
| =
|b
2
|
|c
2
− a
2
α
1

|
≤ 1
|α
2
| ≤ 1 |α
3
| ≤ 1, , |α
i−1
| ≤ 1, (i = 2, , n)
|c
i
− a
i
α
i−1
| ≥ |c
i
| − |a
i
||α
i−1
| ≥ |a
i
| + |b
i
| − |a
i
||α
i−1
|

= |a
i
|(1 − |α
i−1
| + |b
i
|)6/5/2013 ≥ |b
i
| > 0, ∀
i
c
i
− a
i
α
i−1
=, (i = 2, , n)
V K
x y V
V x + y
x ∈ V
k ∈ K V kx (xk)
x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V
ε ∈ V ε + x = x + ε, ∀x ∈ V ε
V
x ∈ V −x ∈ V x + (−x) = −x + x = θ
−x x
k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, ∀k ∈ K
(k + l)x = kx + lx, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K

k(lx) = (kl)x, ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K
1x = x, ∀x ∈ V
Số hóa bởi trung tâm học liệu />V x ∈ V
x x
x ≥ 0, ∀x ∈ V : x = 0 ⇔ x = ε
kx = |k|. x, ∀x ∈ V, ∀k ∈ R
x + y ≤ x+ y, ∀x, y ∈ V
V
V
V {x
n
} x
n
x ∈ V x ∈ V x
n
− x → 0
n → ∞
∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ x
n
− x < 0.
x
n
→ x n → ∞ x
n
→ x
x
n
V x
n
x ∈ V

x
n
→ x
S ⊂ T ⊂ V
y ∈ T {y
n
∈ S} y
n
→ y
T = V S V
x ∈ V
.
1
.
2
M
1
M
2
M
1
x
1
≤ x
2
≤ M
2
x
1
, ∀x ∈ V

Số hóa bởi trung tâm học liệu />x
n
− x
1
→ 0 ⇔ x
n
− x
2
→ 0
{x
n
} ∈ V {x
n
}
θ > 0
N
n, m > N ⇒ x
n
− x
m
 < θ
V
V
V
V × V → R (u, v) ∈ V × V
(u, v)
v
(u, v)
v
= (v, u)

v
∀u, v ∈ V
(u + w, v)
v
= (u, v)
v
+ (w, v)
v
∀u, v, w ∈ V
(ku, v)
v
= k(u, v)
v
∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R
(u, u)
v
≥ 0 ∀u ∈ V
(u, u)
v
= 0 ⇔ u = 0
(u, v)
v
V
V (u, v)
v
(u, v)
|(u, v)
v
|
2

≤ (u, u)
v
.(v, v)
v
Số hóa bởi trung tâm học liệu />V
u
V
=

(u, u)
V
V
V (u, v)
V
= 0 ∀v ∈ V u = 0
|(u, v)|
V
≤ u
V
v
V
F V F V → R
v ∈ V F (v) ∈ R

b
a
v (x) dx
L
2
(a, b) v ∈ L

2
(a, b)
f(x) ∈ L
2
(a, b)

b
a
f (x) v (x) dx
L
2
(a, b) v ∈ L
2
(a, b)

b
a
f (x) [v (x)]
2
dx
L
2
(a, b) v ∈ L
2
(a, b)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />F (v)
F (pu + qv) = pF (u) + qF (v) , ∀p, q ∈ R u, v ∈ V
F (v) V
K
|F (v)| ≤ K v

V
, ∀v ∈ V
L
2
(a, b)





b
a
f (x) v (x) dx




≤


b
a
[f (x)]
2
dx


b
a
[v (x)]

2
dx





b
a
f (x) v (x) dx




≤ K v
L
2
(a,b)
, K = f
L
2
(a,b)
α(u, v) V
V ×V R (u, v) ∈ V ×V
α(u, v) u, v, w ∈ V k, h ∈ R
α (ku + hw, v) = kα (u, v) + hα (w, v)
α (u, kv + hw) = kα (u, v) + hα (u, w)
β (u, v) =

b

a
u

(x) v

(x) dx u, v ∈ W
1
0
(a, b)
V = W
1
0
(a, b)
α(u, v) V
α (u, v) = α (v, u) ∀u, v ∈ V
Số hóa bởi trung tâm học liệu />β(u, v)
V = W
1
0
(a, b)
α(u, v) V
M
|α (u, v)| ≤ M u
V
v
V
∀u, v ∈ V






b
a
u

(x) v

(x) dx




≤


b
a
[u

(x)]
2
dx


b
a
[v

(x)]

2
dx
≤ u
W
1
0
(a,b)
v
W
1
0
(a,b)
|β (u, v)| ≤ u
W
1
0
(a,b)
v
W
1
0
(a,b)
∀u, v ∈ W
1
0
(a, b)
β(u, v) W
1
0
(a, b)

α(u, v) V
γ
α (v, v) ≥ γ v
2
V
, ∀v ∈ V
β (v, v) =

b
a
[v

(x)]
2
dx = v


2
L
2
(a,b)
v ∈ W
1
0
(a, b) v(a) = 0
v (x) = v (a) +

x
a
v


(t) dt =

x
a
v

(t) dt
|v (x)| =





x
a
v

(t) dt




≤

x
a
|v

(t)|dt ≤


b
a
|v

(t)|dt
≤


b
a
1
2
dt


b
a
[v

(t)]
2
dt
=
√
b − a


b
a

[v

(t)]
2
dt =
√
b − a v


L
2
(a,b)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
b
a
[v (x)]
2
dx ≤ (b − a)
2
v


2
L
2
(a,b)
c
β (v, v) =

b

a
[v

(x)]
2
dx ≥ c

b
a

[v

(x)]
2
+ [v (x)]
2

dx
β (v, v) ≥ c v
2
W
1
0
(a,b)
β(u, v) W
1
0
(a, b)
F (v) V
F (v) V

w ∈ V
F (v) = (w, v)
V
, ∀v ∈ V
F (v)
V
α(u, v) V
L(v) V
u ∈ V
α(u, v) = L(v), ∀v ∈ V
V
α(u, v) V
V L(v) V
Số hóa bởi trung tâm học liệu />α(u, v) V
V
V
V
α
u
α
=

α(u, u), ∀α ∈ V
V V
α
V
α(u, v) V
√
γ u
V

≤ u
α
≤
√
M u
V
V
L(v) V
K
|L (v)| ≤ K v
V
|L (v)| ≤
K
√
γ
v
α
L(v) V
α
u
0
∈ V
α
L (v) = α (u
0
, v) , ∀v ∈ V
α
u
0
∈ V

α (u
0
, v) = L (v) , ∀v ∈ V
u
0
u
1
u
2
∈ V
α (u
1
, v) = L (v) , α (u
2
, v) = L (v) , ∀v ∈ V
α (u
1
− u
2
, v) = 0, ∀v ∈ V
Số hóa bởi trung tâm học liệu />v = u
1
− u
2
α (u
1
− u
2
, u
1

− u
2
) = 0 ⇒ u
1
− u
2

α
= 0
u
1
− u
2

V
= 0
u
1
= u
2
V
V V
N
V
N
V
V
N
ϕ
i

, i = 1, 2, , N V
V
N
= span {ϕ
1
, ϕ
2
, , ϕ
N
}
ϕ
i
∈ V V
N
⊂ V
N V ϕ
i
ϕ
i
V
N
V
V
N
w
N
∈ V
N
α (w
N

, v) = L (v) , ∀v ∈ V
N
w
N
V
N
w
N
=
N

j=1
c
j
ϕ
j
Số hóa bởi trung tâm học liệu />