Phương pháp Galerkin và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
VŨ THỊ MAI
PHƯƠNG PHÁP GALERKIN
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2012
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
VŨ THỊ MAI
PHƯƠNG PHÁP GALERKIN
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuấn
Hà Nội-2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn
Tuấn.
Tác giả xin được gửi lời cám ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
nhà trường, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, đặc biệt
là thầy Nguyễn Văn Tuấn đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành
bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Vũ Thị Mai
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Vũ Thị Mai
3
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Bảng kí hiệu và viết tắt 5
Mở đầu 6
Nội dung 8
1 Các kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Cơ sở, số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Toán tử trong không gian tuyến tính . . . . . . . 11
1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . 11
1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . 14
1.2.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . 16
1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Khái niệm không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 16
4
1.3.2 Tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Cơ sở trực chuẩn – Đẳng thức Parseval . . . . . . 20
1.4 Phương pháp chiếu và định lí về hình chiếu lên không gian
con đóng trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Định lý về hình chiếu lên không gian con đóng
trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Số gần đúng và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối . . . . . . . . . 23
1.5.2 Sai số thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3 Chữ số chắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.4 Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Sai số ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.6 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . 25
2 Phương pháp Galerkin 26
2.1 Định nghĩa phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Cách tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Nghiệm Galerkin trên một số lớp không gian các hàm spline 30
2.3.1 Không gian các hàm spline . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Nghiệm Galerkin trên không gian các hàm spline 34
3 Ứng dụng phương pháp Galerkin và phần mềm Maple 43
Kết luận 64
Tài liệu tham khảo 65
5
Bảng kí hiệu và viết tắt
C
[a,b]
: Không gian các hàm xác định và liên tục trên [a, b].

C
k
[a,b]
: Không gian các hàm xác định và có đạo hàm liên tục
đến cấp k trên [a, b].
L
2
(E, µ) : Không gian các hàm số bình phương khả tích Lơbegơ
trên tập E theo độ đo µ.
L
[a,b]
: Không gian các hàm xác định và khả tích trên [a, b].
L
2
[a,b]
: Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b].
L
p
[a,b]
=



x(t), 1  p < +∞







b

a
|x(t)|
p
dt < +∞, ∀t ∈ [a, b]



.
l
2
=

x = (x
n
) ,





∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞


.
span (A) : Tập hợp các tổ hợp tuyến tính các phần tử trong A.
6
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kĩ thuật, . nói chung và trong
toán học nói riêng dẫn đến việc giải các bài toán và việc tìm nghiệm
đúng của chúng nhiều khi rất phức tạp. Vì thế ta phải tìm cách giải
gần đúng. Ngoài ra các dữ liệu trong thực tế chỉ biết gần đúng nên việc
giải đúng chẳng những không thể thực hiện nổi mà nhiều khi không có
ý nghĩa. Người ta phân biệt hai loại phương pháp giải gần đúng: các
phương pháp giải tích và các phương pháp số. Các phương pháp giải
tích tìm được nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức như phương pháp
xấp xỉ liên tiếp Picard, phương pháp Newton – Kantorovich,. . . và ngoài
ra nếu việc tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình phức tạp thì người
ta có thể tìm cách đưa chúng về việc giải hệ phương trình đơn giản hơn.
Vì thế, để nâng cao sự hiểu biết, trong điều kiện có hạn, ở luận văn
này tôi xin trình bày về phương pháp Galerkin vào ứng dụng giải lớp
các phương trình vi phân thường và nghiệm Galerkin trong không gian
các hàm spline.
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức về phương pháp Galerkin.
Ứng dụng của chúng vào việc giải phương trình vi phân thường cấp
2 và nghiệm Galerkin trong không gian các hàm spline.
7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống kiến thức liên quan đến phương pháp Galerkin.
Nghiên cứu phương pháp Galerkin vào việc giải các lớp phương trình
vi phân thường cấp 2 và nghiệm Galerkin trong không gian các hàm

spline.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp Galerkin
Không gian các hàm spline, phương trình vi phân thường cấp 2.
5. Phương pháp nghiên cứu
Lấy ý kiến chuyên gia.
Phân tích, tổng hợp.
6. Đóng góp mới
Đề tài trình bày trình bày định nghĩa, ứng dụng phương pháp Galerkin
trên không gian các hàm Spline, chứng minh một số tính chất của các
hàm Spline; minh họa phương pháp Galerkin cho một số phương trình
vi phân thường.
8
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vector
1.1.1 Khái niệm không gian vector
Định nghĩa 1.1.1. Ta nói trên X xác định một cấu trúc tuyến tính λ,
nếu với mọi x, y ∈ X, với mọi t ∈ R
1
( hoặc t ∈ C ) xác định phép cộng
x + y ∈ X và phép nhân tx ∈ X, thỏa mãn các tính chất sau:
1. x + y = y + x ( giao hoán )
2. (x + y) + z = x + (y + z) (kết hợp )
3. s (tx) = (st) x
4. (s + t) x = sx + tx (phân phối)
5. t (x + y) = tx + ty
6. Tồn tại phần tử không: x + θ = x ∀x ∈ X
7. Tồn tại phần tử đối: x + (−x) = θ ∀x ∈ X
8. 1.x = x

trong đó x, y, z là các phần tử bất kỳ thuộc X; s, t là hai số thực (phức)
bất kỳ.
9
Không gian tuyến tính (X, λ) là tập nền X được trang bị cấu trúc
tuyến tính λ.
Không gian tuyến tính còn được gọi là không gian vector.
1.1.2 Ví dụ
1. Tập hợp các vector tự do của không gian thông thường lập thành
một không gian tuyến tính trên trường số thực.
2. Mọi trường T đều là một không gian tuyến tính trên chính nó.
3. Tập hợp các hàm số thực của biến số thực x, liên tục trên một
đoạn [a, b] lập thành một không gian tuyến tính đối với các luật
hợp thành xác định như sau:
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(αf) (x) = α [f(x)]
trong đó x là một số thực bất kỳ của đoạn [a, b].
4. Tập hợp các đa thức một ẩn trên trường T là một không gian tuyến
tính trên T, đối với phép cộng và phép nhân đa thức với các phần
tử của trường T. Tập hợp các đa thức trên trường T có bậc nhỏ
hơn hay bằng một số tự nhiên n, cũng lập thành một không gian
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Tập F ⊂ X, F = θ là không gian con của không
gian tuyến tính X, nếu F kín đối với phép cộng và phép nhân với đại
lượng vô hướng:
∀α, β ∈ R(hoặcC); ∀x, y ∈ F ⇒ αx + βy ∈ F.
Bao tuyến tính của tập hợp M ∈ X, kí hiệu là Span(M) là tập các phần
tử có dạng
n

i=1

t
i
x
i
, trong đó t
i
∈ R
1
, x
i
∈ M, i = 1, n, n ∈ N.
10
1.1.3 Cơ sở, số chiều
Định nghĩa 1.1.3. Hệ {x
i
}
n
i=1
là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức
n

i=1
t
i
x
i
= 0 ⇒ t
i
= = t
n

= 0, t ∈ R.
Ngược lại, ta nói hệ {x
i
}
n
i=1
phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ:
Trong R
3
hệ vector e
1
= (1, 0, 0) , e
2
= (0, 1, 0) , e
3
= (0, 0, 1) là độc
lập tuyến tính, vì nếu
k
1
e
1
+ k
2
e
2
+ k
3
e
3

= (k
1
, k
2
, k
3
) = θ
thì k
1
= k
2
= k
3
= 0.
Một số tính chất suy ra từ định nghĩa trên:
1. Hệ chỉ gồm một vector khác không bao giờ cũng độc lập tuyến tính.
2. Trong một hệ vector độc lập tuyến tính thì không có một vector
nào bằng không.
3. Nếu một bộ phận của một hệ vector phụ thuộc tuyến tính thì toàn
thể hệ ấy là phụ thuộc tuyến tính.
4. Nếu một hệ là độc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của nó cũng đều
độc lập tuyến tính.
5. Nếu m > 1 thì một hệ m vector x
1
, x
2
, , x
m
là phụ thuộc tuyến
tính nếu và chỉ nếu ít nhất một vector của hệ đó biểu diễn tuyến

tính qua các vector còn lại.
6. Nếu bổ sung một vector vào hệ n vector độc lập tuyến tính thì hệ
mới là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ n vector đó được gọi là một
hệ vector độc lập tuyến tính tối đại.
11
Định nghĩa 1.1.4. Một hệ vector độc lập tuyến tính tối đại được gọi
là cơ sở của không gian X.
Định nghĩa 1.1.5. Một hệ n vector độc lập tuyến tính tối đại thì n
được gọi là số chiều của không gian đó.
Không gian X là n chiều nếu tồn tại hệ n vector độc lập tuyến tính
trong X, còn mọi hệ (n + 1) vector đều phụ thuộc tuyến tính. Nếu trong
X có vô hạn các vector độc lập tuyến tính thì ta nói không gian X vô
hạn chiều.
1.1.4 Toán tử trong không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ A đưa không gian tuyến tính X vào không
gian tuyến tính Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu với mọi x, y ∈
X, α, β ∈ R
1
(hoặc C) ta có A(αx + βy) = αAx + βAy.
Ánh xạ f đưa không gian tuyến tính X vào R
1
gọi là phiếm hàm. Nếu
f là toán tử tuyến tính đưa X vào R
1
ta nói f là phiếm hàm tuyến tính.
1.2 Không gian định chuẩn
1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một không gian vector trên trường T
(T = R hoặc T = C ). Một ánh xạ kí hiệu là .
. : X → R

x → x
được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
1. ||x||  0, ∀x ∈ X, ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
12
2. Với mọi x
1
, x
2
∈ X, ||x
1
+ x
2
||  ||x
1
|| + ||x
2
|| ( bất đẳng thức tam
giác ).
3. Với mọi số β và một phần tử bất kì x ∈ X : ||βx|| = |β|||x||.
Số x được gọi là chuẩn của phần tử x.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử X là một không gian vector trên trường T ,
. là một chuẩn trên X. Khi đó cặp (X, .) được gọi là không gian
định chuẩn.
Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
1.2.2 Ví dụ
Ví dụ 1.2.1. Với mỗi x ∈ R. Đặt x = x.
Dễ thấy công thức trên xác định một chuẩn trên R.
Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là R
1
. Chuẩn trong R

n
được
ký hiệu như sau:
x
p
=

n

i=1
|x
i
|

1
p
với 1  p  +∞.
Ba chuẩn thường dùng là:
x
1
=
n

i=1
|x
i
|; x
2
=


n

i=1
|x
i
|

1
2
; x
∞
= max
1in
|x
i
|
R
1
là không gian định chuẩn.
Ví dụ 1.2.2. Cho không gian vector k chiều E
k
, trong đó
E
k
= {x = (x
1
, x
2
, , x
k

) |x
j
∈ R}.
Với x = (x
1
, x
2
, , x
k
) ta đặt x =

k

j=1
|x
j
|
2
.
Công thức trên xác định một chuẩn trên E
k
.
E
k
là không gian định chuẩn.
13
Ví dụ 1.2.3. Không gian vector C
[a,b]
; không gian các hàm x(t) xác định
và liên tục trên [a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn:

x = max
atb
|x(t)|
Ví dụ 1.2.4. Không gian C
k
[a,b]
, gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên
đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp k, cũng là không gian định
chuẩn.
Các phép toán tuyến tính như trong C
[a,b]
, còn chuẩn được xác định
bởi
x = max
atb

|x(t)|, |x

(t)|, ,


x
k
(t)



.
(x
(i)

(t) là đạo hàm cấp i của x(t)).
Ví dụ 1.2.5. Cho không gian vector l
2
=

x = (x
n
)




∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞

Với vector bất kỳ x = (x
n
) ∈ l
2
đặt
x =

∞


n=1
|x
n
|
2

1
2
.
Công thức trên xác định một chuẩn l
2
.
Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là l
2
.
l
2
là không gian định chuẩn.
Ví dụ 1.2.6. Cho không gian vector L
[a,b]
gồm các hàm x(t) xác định
và khả vi trên [a, b]. Với hàm bất kì x(t) ∈ L
[a,b]
đặt
x =
b

a
|x(t)|dt.
L

[a,b]
cùng với chuẩn xác định bởi công thức trên là không gian định
chuẩn.
L
[a,b]
là không gian định chuẩn.
14
Ví dụ 1.2.7. Cho không gian vector
L
p
[a,b]
=



x(t)






b

a
|x(t)|
p
dt < +∞, ∀t ∈ [a, b]




.
Đặt x =

b

a
|x(t)|
p
dt

1
p
.
Công thức trên xác định một chuẩn trên L
p
[a,b]
.
L
p
[a,b]
cùng với chuẩn xác định bởi công thức trên là không gian định
chuẩn.
L
p
[a,b]
là không gian định chuẩn.
1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên
trường T. Một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu:

1. A(x
1
+ x
2
) = A(x
1
) + A(x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X;
2. A(αx) = αA(x), ∀x ∈ X, α ∈ T.
Ví dụ 1.2.8. Cho X = R
k
, Y = R
m
, A(ξ
1
, ξ
2
, , ξ
k
) = (η
1
, η
2
, , η
m

),
với η
i
=
k

j=1
a
ij
ξ
j
, (i = 1, 2, , m) (1.1)
trong đó a
ij
là những hằng số. Ma trận







a
11
a
12
a
1k
a
21

a
22
a
2k

a
m1
a
m2
a
mk







gọi là ma trận của toán tử A.
15
Dễ thấy (1.1) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính từ R
k
vào R
m
.
Thật vậy, cho A là một toán tử tuyến tính bất kỳ từ R
k
vào R
m
. Gọi

{e
1
, e
2
, , e
k
} và {f
1
, f
2
, , f
m
} là các cơ sở của R
k
và R
m
sao cho với
mọi x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
k
) ∈ R
k
và y = (η
1
, η
2
, , η

m
) ∈ R
m
:
x =
k

j=1
ξ
j
e
j
, y =
m

i=1
η
i
f
i
.
(chẳng hạn lấy e
1
= (1, 0, , 0), e
2
= (0, 1, , 0), , e
k
= (0, 0, , 1) và
các f
1

, f
2
, , f
m
cũng tương tự)
Vì A là tuyến tính nên Ax =
k

j=1
ξ
j
(Ae
j
).
Vậy đặt Ax = (η
1
, η
2
, , η
m
), Ae
j
= (a
1j
, a
2j
, , a
mj
) ta có (1.1).
Ví dụ 1.2.9. X = Y = C

[a,b]
, Ax(t) =
b

a
K(t, s)x(s)ds
trong đó K(t, s) là một hàm số liên tục của t và strong hình vuông
a  t, s  b. Toán tử này gọi là một toán tử tích phân với hạch là
K(t, s).
Định nghĩa 1.2.4. Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu
x
n
→ x
0
(n → ∞) luôn kéo theo Ax
n
→ Ax
0
(n → ∞).
Một toán tử tuyến tính từ R
k
vào R
m
bao giờ cũng liên tục.
Thật vậy, như trên đã thấy, một toán tử có dạng (1.1).
Nếu x
n
=

ξ

(n)
1
, ξ
(n)
2
, , ξ
(n)
k

→ x
0
=

ξ
(0)
1
, ξ
(0)
2
, , ξ
(0)
k

thì do sự hội tụ
trong R
k
là hội tụ theo tọa độ, ta có ξ
(n)
j
→ ξ

(0)
j
(j = 1, 2, , k). Do đó
η
(n)
i
=
k

j=1
a
ij
ξ
(n)
j
→
k

j=1
a
ij
ξ
(0)
j
= η
(0)
i
,
tức là Ax
n

→ Ax
0
.
16
Nhưng trong thực tế không gian định chuẩn bất kỳ thì toán tử tuyến
tính không nhất thiết liên tục. Ở đây điều kiện liên tục tương đương với
tính bị chặn định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2.5. Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn ( giới nội )
nếu tồn tại hằng số M > 0 để cho
(∀x ∈ X) Ax  M x. (1.2)
Số M nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A,
kí hiệu A.
Khi đó A = inf {M > 0 : Ax  M. x, ∀x ∈ X}.
Định lí 1.2.10. Một toán tử A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị
chặn.
1.2.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.6. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X hội
tụ đến điểm x ∈ X nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n

→ x(n → ∞).
Định nghĩa 1.2.7. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi
là dãy cơ bản ( hay dãy Cauchy ) nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản
đều hội tụ.
1.3 Không gian Hilbert
1.3.1 Khái niệm không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian vector X trên trường T (T = R hoặc
T = C ). Ta gọi là tích vô hướng trên X mọi ánh xạ đi từ X × X vào
trường T, kí hiệu (., .) thỏa mãn các tiên đề sau với ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ T :
17
1. (x, y) = (y, x).
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z).
3. (λx, y) = λ (x, y).
4. ∀x ∈ X thì (x, x)  0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ.
(θ là kí hiệu phần tử không của không gian X)
Số (x, y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y.
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử (., .) là một tích vô hướng trên X, khi đó
x =

(x, x), ∀x ∈ X xác định trênX được gọi là chuẩn sinh ra bởi
tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi tập H = θ gồm các phần tử x, y, z, nào
đấy là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1. H là không gian tuyến tính trên trường T.
2. H được trang bị bởi tích vô hướng (., .).
3. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x).
Nếu T = R hoặc T = C thì không gian Hilbert tương ứng là không gian
Hilbert thực hoặc phức.
Ví dụ 1.3.1. X = R
n
với tích vô hướng:
(x, y) =
n

i=1
x
i
y
i
với x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n

.
Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng:
x =

(x, x) =




n

i=1
x
2
i
.
R
n
cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.
18
Ví dụ 1.3.2. Tập l
2
=

x = (x
n
) , x
n
∈ T, ∀n  1





∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞

.
(x, y) =
∞

n=1
x
n
y
n
là một tích vô hướng trên l
2
.
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là:
x =

(x, x) =





∞

n=1
|x
n
|
2
.
l
2
cùng với chuẩn trên là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.3. Trong không gian L
2
(E, µ) - không gian các hàm số bình
phương khả tích Lơbegơ trên tập E theo độ đo µ
∀x ∈ L
2
(E, µ), ∀y ∈ L
2
(E, µ) đặt (x, y) =

E
x(t)y(t)dµ.
Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng:
x =

(x, x) =






E
|x(t)|
2
dµ, x(t) ∈ L
2
(E, µ).
L
2
(E, µ) với tích vô hướng trên tạo thành một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.3.4. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trong
không gian Hilbert H nếu (Ax, x)  0, ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.3.5. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương
nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho (Ax, x)  γx
2
, ∀x ∈ H.
Dễ thấy, nếu A là toán tử tuyến tính xác định dương thì A là toán
tử tuyến tính dương.
1.3.2 Tính trực giao
Định nghĩa 1.3.6. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử x, y ∈ H
gọi là trực giao, ký hiệu: x⊥y nếu (x, y) = 0.
19
Định nghĩa 1.3.7. Nếu A là tập con của H, A = ∅, x ∈ H, ta nói x
trực giao với A nếu x trực giao với mọi phần tử trong A, kí hiệu x⊥A.
Vậy x⊥A ⇔ x⊥y, ∀y ∈ A.
Tính chất cơ bản
1. x⊥y, ∀y ∈ H ⇔ x = ∅.

2. ∅⊥H.
3. Nếu x⊥A, A = {y
1
, y
2
, , y
n
} ⊂ H thì x trực giao với mọi tổ hợp
tuyến tính các phần tử trong A. Kí hiệu: x⊥span(A).
4. Giả sử x⊥x
n
, ∀n  1 và dãy x
n
hội tụ đến y khi n → ∞ thì x⊥y.
Định nghĩa 1.3.8. Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian
Hilnert H là không gian Hilbert con của không gian H.
Định nghĩa 1.3.9. Cho không gian Hilbert H, một tập gồm hữu hạn
hay đếm được các phần tử (e
n
)
n1
⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn nếu
(e
i
, e
j
) = δ
ij
(δ
ij

là kí hiệu Kronecker ).
δ
ij
=

0 khi
1 khi
i = j
i = j
(1.3)
Nhận xét 1.3.4. Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính. Ngược lại,
giả sử (x
n
)
n1
⊂ H là một hệ độc lập tuyến tính ta có thể xây dựng một
hệ trực chuẩn (x
n
)
n1
bằng quá trình trực giao hóa Hilbert – Schmidt
như sau:
Đặt e
1
=
x
1
x
1


⇒ e
1
 = 1.
Đặt y
2
= x
2
− (x
2
, e
1
) e
1
⇒ (y
1
, e
1
) = (x
2
, e
1
) − (x
1
, e
1
) (e
1
, e
1
) = 0.

Hiển nhiên: y
2
= θ vì nếu y
2
= θ thì {x
1
, x
2
} phụ thuộc tuyến tính.
Đặt e
2
=
y
2
y
2

⇒ e
2
 = 1 và hệ {e
1
, e
2
} trực chuẩn.
20
Bằng quy nạp ta xây dựng được hệ (e
n
)
n1
⊂ H với

e
n
=
y
n
y
n

⇒ e
n
 = 1, y
n
= x
n
−
n−1

i=1
(x
n
, e
i
) e
i
, n = 1, 2,
Hệ trên là hệ trực chuẩn.
1.3.3 Cơ sở trực chuẩn – Đẳng thức Parseval
Định nghĩa 1.3.10. Hệ trực chuẩn (e
n
)

n1
trong không gian Hilbert C
được gọi là một cơ sở trực chuẩn trong không gian H, nếu trong không
gian H không tồn tại vector không nào trực giao với hệ đó.
Định lí 1.3.5 (Định lí về đẳng thức Parseval). Cho (e
n
)
n1
là một hệ
trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Năm mệnh đề sau tương đương:
1. Hệ (e
n
)
n1
là cơ sở trực chuẩn của không gian H.
2. ∀x ∈ H, (x, y) =

n1
(x, e
n
) e
n
.
3. ∀x, y ∈ H, (x, y) =

n1
(x, e
n
) (e
n

, y) (Đẳng thức Parseval).
4. ∀x ∈ H, x
2
=

n1
|x, e
n
|
2
5. Bao tuyến tính của hệ (e
n
)
n1
trù mật khắp nơi trong không gian
Hilbert H.
1.4 Phương pháp chiếu và định lí về hình chiếu lên
không gian con đóng trong không gian Hilbert
1.4.1 Phương pháp chiếu
Giả sử E và F là những không gian Banach. Xét phương trình
Lu = f (1.4)
21
trong đó L là toán tử tuyến tính nói chung không bị chặn với miền xác
định D(L) ⊂ E và miền giá trị R(L) ⊂ F . Phương pháp chiếu để giải
phương trình này như sau:
Giả sử cho trước hai dãy không gian con {E
n
}, {F
n
}:

E
n
⊂ D(L) ⊂ E, F
n
⊂ F n = 1, 2,
Và những toán tử chiếu p
n
nghĩa là những toán tử chiếu không gian F
lên F
n
và p
2
n
= p
n
, p
n
F = F
n
với n = 1, 2,
Khi đó phương trình (1.4) được thay thế bằng phương trình xấp xỉ
sau
p
n
(Lu
n
− f) = 0, u
n
∈ E
n

(1.5)
Trong đó nghiệm của nó được tìm trong không gian E
n
, nghĩa là u
n
∈ E
n
.
Nghiệm của phương trình (1.5) được coi là nghiệm gần đúng của
phương trình (1.4).
Phương pháp này gọi là phương pháp chiếu.
1.4.2 Định lý về hình chiếu lên không gian con đóng trong
không gian Hilbert
Định lí 1.4.1. Giả sử H
0
là không gian con của không gian Hilbert H.
Khi đó phần tử bất kỳ x ∈ H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
x = y + z, y ∈ H
0
, z⊥H
0
.
Khi đó y được gọi là hình chiếu của x lên H
0
.
Chứng minh. Nếu x ∈ H
0
⇒ x = x + θ, x ∈ H
0
và θ⊥H

0
.
Theo tính chất cận dưới đúng, tồn tại dãy (u
n
) ⊂ H
0
sao cho:
lim
n→∞
x − u
n
 = d.
Khi đó u
n
là dãy cơ bản trong H
0
.
22
Thật vậy:
Áp dụng đẳng thức hình bình hành ta có ∀m, n  1
u
n
− u
m

2
= 2x −u
n

2

+ 2x −u
m

2
− 4




x −
u
n
+ u
m
2




2
.
Vậy (u
n
) là dãy cơ bản trong không gian H
0
đầy nên ∃y ∈ H
0
để y =
lim
n→∞

u
n
và x −y = d.
Đặt z = x − y ⇒ z = x −y = d. Ta chứng minh z⊥H
0
.
Thật vậy: Giả sử ∃v ∈ H
0
sao cho (z, v) = c = 0 ⇒ v = θ nên
(u, v) = θ.
Đặt ω = y +
c
(u,v)
v ∈ H
0
.
d
2
 x − ω
2
=

z − d
c
(u, v)
v, z −
c
(u, v)
v


= z
2
−
c
(u, v)
c −
c
(u, v)
c +
cc
(u, v)
2
(u, v)
= z
2
−
|c|
2
(u, v)
= d
2
−
|c|
2
(u, v)
< d
Điều này mâu thuẫn. Do đó không tồn tại v = θ ∈ H
0
để (z, v) = 0 ⇒
z⊥H

0
.
Vậy với ∀x ∈ H luôn có biểu diễn: x = y + z, y ∈ H
0
, z⊥H
0
.
Giả sử x = y

+ z

, y

∈ H
0
, z⊥H
0
⇒ y + z = y

+ z

⇔ y − y

= z

− z với y −y

∈ H
0
, z


− z⊥H
0
⇒ y − y

⊥H
0
⇔ y − y

= θ ⇔ y = y

⇒ z = z

.
Vậy biểu diễn của x là duy nhất.
23
1.5 Số gần đúng và sai số
1.5.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối
Trong tính toán, ta thường làm việc với các giá trị gần đúng của các
đại lượng. Ví dụ như đối với
√
3 không thể cho ta một con số chính xác
mà ta chỉ làm trên giá trị gần đúng của nó mà thôi. Khi đó ta có các
khái niệm sau.
a là số gần đúng của a
∗
, nếu a không sai khác a
∗
nhiều.
Đại lượng ∆ = |a −a

∗
| gọi là sai số thực sự của a.
Nếu |a − a
∗
|  ∆a thì ∆a  0 được gọi là sai số tuyệt đối của a.
δa =
∆a
|a|
là sai số tương đối của a.
Ví dụ: Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10cm, b = 1cm
với ∆a = ∆b = 0, 01. Khi đó ta có δa =
0,01
10
= 0, 1%; δb =
0.01
1
= 1%.
Khi đó phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù ∆a = ∆b.
Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương
đối.
1.5.2 Sai số thu gọn
Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau:
a = ±(β
p
10
p
+ β
p−1
10
p−1

+ + β
p−s
10
p−s
)
trong đó 0  β
i
 9(i =
p − 1, p − s); β
p
> 0 là những số nguyên.
Nếu p −s  0 thì a là số nguyên; p − s = −m(m > 0) thì a có phần
lẻ gồm m chữ số. Nếu s = +∞, a là số thập phân vô hạn.
Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được
một số a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a.
Quy tắc thu gọn: