Phương pháp lặp dừng và phương pháp gradient liên hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
=======***=======





ĐÀM THỊ PHƯƠNG







PHƯƠNG PHÁP LẶP DỪNG VÀ
PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012

ĐÀM THỊ PHƯƠNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH KHÓA: 2010 - 2012


LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Tiến sĩ
Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi
hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Ban
Giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng
của các thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, khích lệ của gia
đình và bạn bè trong suốt quá trình làm luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả


Đàm Thị Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực,
chưa từng được công bố trong các công trình nghiên cứu nào khác.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả


Đàm Thị Phương


MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU
1

NỘI DUNG
3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1. Không gian Metric 3

1.2. Không gian định chuẩn 4

1.3. Không gian Banach 5

1.4. Không gian Hilbert 11

1.5. Hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert 15

1.6. Toán tử trong các không gian 16

1.7. Sai số, số xấp xỉ
Chương 2. Phương pháp lặp dừng
19

23

2.1. Tổng quan và kí hiệu 23

2.2. Bổ dề Banach và nghịch đảo xấp xỉ 25

2.3. Bán kính phổ 28

2.4. Tách ma trận và phương pháp lặp dừng cổ điển 29

Chương 3. Phương pháp Gradient liên hợp 32

3.1. Phương pháp Krylov 32

3.2. Các hệ quả của tính cực tiểu hoá 34

3.3. Vòng lặp Gradient liên hợp 37

3.4. Phương pháp lặp Gradient liên hợp đối với phương trình thường 43

KẾT LUẬN
46

TÀI LIỆU THAM KHẢO
47


1



MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, hệ phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến là
cơ sở cho nhiều mô hình khoa học và kỹ thuật. Phương pháp giải số của
chúng là rất quan trọng để nghiên cứu các lĩnh vực khoa học này. Trong toán
học tính toán, phương pháp lặp tạo ra một dãy các nghiệm xấp xỉ tiến dần tới
nghiệm gần đúng của bài toán. Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình,
phương pháp lặp sử dụng dự đoán ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thể hội tụ
tới nghiệm của bài toán. Cách làm này là cách làm ngược so với phương pháp
trực tiếp và cố gắng giải quyết các vấn đề bằng dãy hữu hạn các phép tính.
Khi không có sai số thì phương pháp trực tiếp sẽ đưa ra nghiệm chính xác
nhưng với phương pháp lặp ta vẫn chỉ có nghiệm gần đúng. Tuy nhiên,
phương pháp trực tiếp sẽ rất tốn kém (và trong một số trường hợp là không
thể) ngay cả với khả năng tính toán tốt nhất có sẵn.
Có lẽ phương pháp lặp để giải hệ phương trình tuyến tính xuất hiện
sớm nhất là trong một bức thư của Gauss viết cho một học sinh của mình.
Ông đề xuất giải quyết một hệ phương trình bằng cách liên tục. Lý thuyết của

phương pháp lặp dừng đã được đưa ra bởi DM.Young, khởi đầu vào những
năm 1950. Phương pháp Gradient liên hợp cũng được phát minh vào những
năm 1950, dưới sự phát triển độc lập của Cornelius Lanczos, Magnus
Hestenes và Eduard Stiefel, nhưng tính chất và ứng dụng của nó được hiểu
lầm vào thời điểm đó cho đến tận năm 1970.
Các phương pháp lặp dừng để giải hệ phương trình tuyến tính với một
toán tử mà xấp xỉ với toán tử gốc với một sai số nào đó và được điều chỉnh
liên tục.
2



Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Hùng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “Phương pháp
lặp dừng và phương pháp Gradient liên hợp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống về phương pháp lặp dừng và phương
pháp Gradient liên hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống một số kết quả đã đạt được về phương pháp lặp dừng và
phương pháp Gradient liên hợp.
4. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu về phương pháp lặp dừng và phương pháp Gradient liên
hợp trong phạm vi các hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, dịch, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đây sẽ là một bài tổng quan về phương pháp lặp dừng và phương pháp
Gradient liên hợp. Giúp người đọc hiểu những khái niệm cơ bản về phương

pháp lặp dừng và phương pháp Gradient liên hợp, đặc biệt là các phương
pháp Krylov và tính chất cực tiểu hoá.
3



NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian Metric
Định nghĩa 1.1. Một tập
X


được gọi là một không gian metric,
nếu với mỗi cặp phần tử x và y của X (viết tắt là
,x y X
) tồn tại một số
thực, ký hiệu là
( , )
x
x y

, hai biến có các tính chất:
1)
( , ) 0, ( , ) 0
x x
x y x y x y
 

   
;
2)
( , ) ( , )
x x
x y x y
 


3)
( , ) ( , ) ( , ), , ,
x x x
x y x z z y x y z X
  
   

Tập tất cả phần tử
x X
thoả mãn điều kiện
0
( , )
x
x x r


, được gọi
là hình cầu mở trong
X
tâm x
0

bán kính r.
Phần tử x
0
của không gian metric X được gọi là điểm dính của tập
M X
, nếu mọi hình cầu mở bất kỳ
 
0 0
( , ) : ( , )
S x r x X x x r

  
tâm
x
0
bán kính r > 0 chứa ít nhất một phần tử thuộc M khác x
0
. Tập tất cả các
điểm dính của M và M được gọi là bao đóng của M và ký hiệu bằng
M
.
Một dãy
 
n
x
gồm các phần tử
n
x X
được gọi là hội tụ đến phần tử
0

x X
, và viết
0
lim
n
n
x x


, nếu
0
lim ( , ) 0
x n
n
x x



.
Không gian metric X được gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản (dãy
Cauchy) trong X hội tụ đến phần tử thuộc X.
Một tập con M của không gian metric X được gọi là compact trong X,
nếu từ một dãy bất kỳ
 
n
x M
luôn tìm được một dãy con hội tụ đến một
phần tử của X.

4

1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2. Chuẩn của một không gian tuyến tính X là một hàm, ký hiệu
là
.
, xác định trên toàn không gian X, nhận các giá trị hữu hạn và thoả mãn
các tính chất sau:
1)
0, , 0 0
x x X x x
     
.
2) Với mọi
1 2 1 2 1 2
, ,
x x X x x x x   
(bất đẳng thức tam giác).
3) Với mọi số
K


và một phần tử bất kỳ
,
x X x x
 
 
.
Không gian tuyến tính

X
cùng với chuẩn
.
được gọi là không gian
định chuẩn.
Ta có
x y x y  
với mọi
x, y X
.
Không gian định chuẩn bất kỳ X có thể trở thành không gian metric,
khi lấy
( , )
x
x y x y

 
.
Dãy điểm
 
n
x
của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm
x X
, nếu
lim 0
n
n
x x


 
, kí hiệu
lim
n
n
x x


.
Dãy điểm
 
n
x
của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản.
nếu
,
lim 0
n m
m n
x x

 
.
Ví dụ 1.1
a) Không gian
n
p
R
với
1 2

( , , , )
n
x x x x

và chuẩn

1
1
n
p
p
i
p
i
x x

 

 
 


trong đó p là một số thực bất kỳ:
1 p  
. Khi p = 2, ta thường ký
hiệu
n
R
và gọi là không gian Euclid n chiều.
5

b) Cho không gian vectơ
2
l
. Đối với vectơ bất kỳ
 
2
n
x x l 
ta đặt

2
1
n
n
x x





Từ công thức
( ,0)x d x
và hệ tiên đề metric suy ra công thức trên
cho ta một chuẩn trên
2
l
.

c) Không gian
 
,
p
L a b
, trong đó mỗi phần tử là các hàm x(s) đo được
trên [a, b] có
( )
p
x s
khả tích với chuẩn được xác định như sau:

1
( )
b
p
p
Lp
a
x x s ds
 
 
  
 
 
 

.
d) Không gian
 

,a b
C
các hàm x(s) liên tục trên [a,b] và
 
 
,
s a,b
ax ( )
C a b
x m x s


.
1.3. Không gian Banach
Không gian tuyến tính định chuẩn
 
, .
X
đầy đủ đối với metric xác
định bởi
( , )
x y x y

 
gọi là một không gian Banach.
Nếu không sợ nhầm lẫn thì ta thường ký hiệu không gian Banach
 
, .
X
là X.

Ví dụ 1.2.
R
và
C
là những không gian Banach với chuẩn xác định
bởi
x ,
x x R 
hoặc
x C
.
Ví dụ 1.3.
n
R
và
n
C
là những không gian Banach với chuẩn

1
2
2
n
i
i l
x


 


 
 

với
 
1
, ,
n
n
x K
 
 
.
6



Ví dụ 1.4. Cho B(T) là tập hợp tất cả các hàm số x(t) giới nội trên tập
hợp T

R. B(T) là một không gian Banach với chuẩn
sup ( )
t T
x x t


.
Chứng minh
Dễ dàng thấy rằng hàm số thực vừa nêu là một chuẩn trên không gian
tuýen tính B(T). Ta chứng minh rằng với metric xác định bởi chuẩn đó, B(T)

là một không gian đầy đủ.
Thật vậy, giả sử
 
n
x
là một dãy Cauchy trong không gian B(T). Khi
đó, với một số dương

bất kì, tồn tại một số tự nhiên n
0
sao cho
m n
x x

 
với mọi
0 0
,
n n m n 
, cũng tức là
sup ( ) ( )
n m
t T
x t x t


 
với mọi
0 0
,

n n m n 
.
Do đó, với mỗi phần tử cố định t của T ta có
(1.1)
( ) ( )
n m
x t x t

 
với mọi
0 0
,
n n m n 
.
Vậy với mỗi
 
, ( )
n
t T x t
là một dãy Cauchy trong K. Vì K là một
không gian đầy đủ nên
 
( )
n
x t
hội tụ trong K. Đặt
( ) lim ( );
n
n
x t x t t T


 
, ta
được một hàm số x xác định trên tập hợp T. Để kết thúc chứng minh ta chỉ ra
rằng x là một hàm số giới nội trên T và
lim
n
n
x x


trong B(T).
Thật vậy, giả sử t là một phần tử bất kỳ của T. Ta có bất đẳng thức
(1.1) với mọi
0 0
,
n n m n 
. Cố định n và cho
m  
, ta được
(1.2)
( ) ( )
n
x t x t

 
với mọi
0
n n
, và với mọi

t T
.
Vậy với
0
n n
,
n
x x
là một hàm số giới nội trên T. Do đó
( )
n n
x x x x  
cũng là một hàm số giới nội trên T.
7



Vì (1.2) đúng với
t T
nên
sup ( ) ( )
n m
t T
x t x t


 
, tức
n
x x


 

với mọi
0
n n
. Vậy
lim 0
n
n
x x

 
.
Ví dụ 1.5. Cho
l

là tập hợp tất cả các dãy số
 
n

(thực hoặc phức)
giới nội. Vì
( )
l B
 
 
nên
l


là một không gian Banach với chuẩn

sup ,
n
n
x



trong đó
 
n
x


.
Ví dụ 1.6. Với
1 p  
, cho
p
l
là tập hợp tất cả các dãy số thực (hoặc
phức)
 
n
x


là dãy sao cho chuỗi số
p

n
n l




hội tụ,
p
l
là một không gian
Banach với chuẩn
(1.3)
1
p
p
n
p
n l
x



 

 
 


Chứng minh
Dễ dàng thấy rằng với p=1, hàm số (1.3) là một chuẩn trên l. Trước khi chỉ ra

rằng hàm số (1.3) là một chuẩn trên
p
l
với
1 p  
, ta giới thiệu định nghĩa
của một số mũ liên hợp và một bất đẳng thức mà ta cần trong chứng minh.
Hai số dương p và q gọi là một cặp số mũ liên hợp nếu
1 1
1
p q
 
. Từ
đẳng thức này suy ra
1 p  
và
1 q  
. Một trường hợp riêng quan
trọng là p = q = 2. Khi
1p 
thì
q  
. Vì vậy ta cũng coi 1 và q là một
cặp số mũ liên hợp.
Giả sử p và q là một cặp số mũ liên hợp
1 p  
.
Khi đó, nếu
   
,

p q
n n
x l y l
 
   
thì
8



(1.4)
1 1
1 1 1
p q
p q
n n n n
p q
n n n
x y
  
  
   
 
   
   
  
   
.
Bất đẳng thức (1.4) gọi là bất đẳng thức Holder.
Bổ đề 1.1. Nếu a và b là hai số không âm, p và q là một cặp số mũ liên

hợp
1 p  
, thì

p q
a b
ab
p q
 
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
p q
a b
.
Chứng minh bổ đề
Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp a>0, b>0. Xét hàm số
1
1 1
( )
p
t t t
p q

  
, với t > 0. Dễ dàng thấy rằng đạo hàm
'( )t

cuảh àm số
lấy giá trị âm trong (0; 1), lấy giá trị dương trong
(1; )

và
(1) 0


vậy nên
( ) (1) 0t
 
 
với mọi t>0. Thay
p
q
a
t
b

ta được:

1 1
0
p
q q
p
a a
p q
b
b
  
.
Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi

1
p
q
a
b

tức là
p q
a b
.
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Holder. Thật vậy, nếu p và q là
một cặp số mũ liên hợp
1 p  
,
   
,
p q
n n
x l y l
 
   
thì
9




1 1
1 1 1

p q
p q
n n n n
n n n
  
  
   

   
   
  
   
.
Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với x = 0 hoặc y = 0. Giả sử
0x 
và
0y 
. Khi đó theo bổ đề (1.1) ta có

1 1
p q
n n n n
p p
p q
p p
x y p q
x y
   
 
, với mọi n.

Do đó

1 1
1
1 1 1 1 1
1
p q
n n
n n
n n
p p
n
p q
p p
x y p q p q
x y
 
 
 

 

    
 


Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Giả sử
 
n

x


và
 
n
y


là hai phần tử của không gian
p
l
. Do đó

 
1
1 1
q
p p
n n n n
n n
   
 

 
    
 
.
Vậy dãy số
 

1
p
n n
 


là một phần tử của không gian
p
l
. Ta có
(1.5)
 
1
1 1
p pp
n n n n
p n n
n n
x y
     
 

 
     
 

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có
(1.6)
 
1 1

1 ( 1)
1 1 1
p
q p
p p q p
q
n n n n n
n p p
n n n
x y x
     
  
 
  
   
    
   
   
  




10



Tương tự
(1.7)
 

1
1
p
p
q
n n n
p p
n
x y y
  



  


Từ các bất đẳng thức (1.5), (1.6), (1.7) suy ra

     
p
p
q
p p p p
x y x y x y
   

Nếu
0
p
x y

 
thì khi chia hai vế của bất đẳng thưc trên cho

p
q
p
x y
,
ta được
p p p
x y x y  

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với
0
p
x y
 
. Dễ dàng thấy
rừng hàm số
.
p
thỏa mãn các điều kiện còn lại của một chuẩn. Vậy
p
l
là một
không gian tuyến tính định chuẩn.
Ta chứng minh
p
l
là một không gian đầy đủ. Thật vậy, giả sử

 
( )
1
n
n k
k
x



, n = 1, 2, là một dãy Cauchy trong không gian
p
l
. Khi đó, với
một số dương

bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n
0
sao cho
(1.8)


1
( ) ( )
1
p
p
n m
n m k k
p

k
x x
  


   


với mọi
0 0
,
n n m n 
. Hiển nhiên, với mỗi k cố định
n m
k k
  
 
,
với mọi
0 0
,
n n m n 
.
Vậy với mỗi k cố định
 
( )
1
n
k
n




là một dãy Cauchy trong K.
Do đó dãy
 
( )
1
n
k
n



hội tụ. Đặt
( )
lim , 1,2,
n
k k
n
k
 

 
Ta chứng
minh rằng
 
k
x



là một phần tử của không gian
p
l
và
lim 0
n
p
n
x x

 
.
11



Thật vậy, từ (1.8) suy ra rằng với một số tự nhiên s bất kỳ,
(1.9)
( ) ( )
1
s
p
n m p
k k
k
  

 


với mọi
0 0
,
n n m n 
.
Trong (1.9), cho
m  
, ta được
(1.10)
( )
1
s
p
n p
k k
k
  

 

với mọi
0
n n
.
Vì bất đẳng thức (1.10) dúng với mọi s nên
(1.11)
( )
1
p
n p

k k
k
  


 

với mọi
0
n n
.
Vậy với mỗi
 
( )
0
1
,
n
n k k
k
n n x x
 


   
là một phần tử của
không gian
p
l
. Do đó

( )
n n
x x x x 
là một phần tử của
p
l
. Từ bất đẳng
thức (1.11) suy ra
n
p
x x

 
với mọi
0
n n
, tức
lim
n
n
x x


trong
p
l
.
1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính X được gọi là một không gian
tiền Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X


X xác
định được một hàm thực hai biến, ký hiệu là
1 2
,x x
và được gọi là vô hướng
của x
1
và x
2
, thoả mãn các điều kiện sau:
1) Với mọi
1 2 1 2 2 1
, , , ,x x X x x x x
 
;
2) Với mọi
1 2 3 1 2 3 1 3 2 3
, , , , , ,x x x X x x x x x x x   
;
3) Với mọi
1 2
,
x x X
và một số thực

bất kỳ
1 2 1 2
, ,x x x x
  


;
4) Với mọi
, , 0
x X x x
 
và
, 0 0
x x x
  
.
12



Với hàm
1
2
,x x x

thì X trở thành một không gian định chuẩn và do
đó X là không gian metric.
Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Định lý 1.1. (F.Riesz) Với mỗi vectơ a cố định thuộc một không gian
Hilbert H, hệ thức
(1.12)
( ) ,f x a x

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H, với
(1.13)

f a
.
Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên một
không gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
(1.12) trong đó a là một vectơ của H thoả mãn điều kiện (1.13).
Chứng minh
Phần thứ nhất của định lý này không có gì khó vì
( ) ,f x a x
rõ
ràng là một phiếm hàm tuyến tính và do
(1.14)
f( ) , .x a x a x
 

(1.15)
f(a) , .a a a a
 

Do đó phiếm hàm ấy bị chặn và thoả mãn (1.13).
Để chứng minh phần ngược lại ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên
tục f(x) trên một không gian Hilbert H. Tập hợp
 
: ( ) 0
M x H f x
  
rõ
ràng là một không gian con đóng của H. Nếu
 
0
M



thì dựa vào cách
phân tích x = y + z, với
,
y M z M

 
thì (theo định lý hình chiếu lên một
không con) ta thấy rằng z = 0, cho nên
( ) ( ) 0,f x f y x H   
, do đó
( ) ,f x a x
, nghĩa là có cách biểu diễn (1.12) với a = 0. Vậy chỉ còn phải
13



xét trường hợp
 
0
M


, tức là tồn tại
0 0
, 0
x M x

 

, ta có
0
( ) 0
f x

,
nên
0
0
0 0
( )
0
,
f x
a x
x x
 
. Với mọi
0
0
( )
,
( )
f x
x H y x x M
f x
   
. Vì
0
( )

( ) ( ) 0 ( ) 0,
( )
f x
f y f x f y y M
f x
     
.
Vì
0
x M


nên
0
, 0
y x

, tức là
0 0 0 0 0
0 0
( ) ( )
, , , 0
( ) ( )
f x f x
x x x x x x x
f x f x
   

hay
0

0
0 0
( )
( ) , ,
( , )
f x
f x x x a x
f x x
 
. Thành thử f(x) có dạng (1.12).
Cách biểu diễn là duy nhất, vì nếu
( ) ,f x a x
thì
, 0,
a a x x H   
,
do đó
, 0
a a a a
  
, nghĩa là
0a a a a   
. Cuối cùng do (1.14) và
(1.15) nên phải có (1.13) như trên đã thấy. Định lý vừa chứng minh cho phép
lập tương ứng
1 1: ( )f x a 
giữa các phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên
H và các vectơ
a H
. Tương ứng 1 - 1 đó là phép đẳng cự tuyến tính, cho

nên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với vectơ a sinh ra nó thì ta có X
*
= X,
nghĩa là: không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó (xê dịch
một phép đẳng cấu).
Hệ quả 1.2. (Phiếm hàm song tuyến tính trên không gian Hilbert). Từ
định lý Riesz ta suy ra hệ quả quan trọng dưới đây:
Cho f(x, y) là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên không gian
Hilbert H. Với mỗi x cố định f(x, y) là một phiếm hàm tuyến tính liên tục theo
y, cho nên tồn tại một vectơ xác định duy nhất, kí hiệu là Ax (vì nó phụ thuộc
vào x), sao cho với mọi
y H
:
(1.16)
( , ) Ax,y
f x y


14



Có thể thấy ngay A là một toán tử tuyến tính trong H. Thật vậy, nếu
1 2
,
x x H
thì
1 1 2 2
( , ) ( , ), ( , ) ( , )f x y Ax y f x y Ax y 
cho nên

1 1 2 2 1 1 2 2
( , ) ( , )f x x y Ax Ax y
   
  

và do Ax được xác định duy nhất với mỗi x nên đẳng thức này chứng tỏ
1 1 2 2 1 1 2 2
( )
A x x Ax Ax
   
  
.
Mặt khác ta có:
(1.17)
, ( , )
Ax y f x y f x y
 

Cho y = Ax ta được
,
Ax Ax f Ax x
. Chứng tỏ rằng toán tử A
bị chặn (do đó liên tục) và
A f
. Ta lại có theo bất đẳng thức Schwarz
(1.18)
   
( ), , .
f x y Ax y Ax y A x y
  

Từ đó
f A

Vậy ta có
(1.19)
f A
.
Ngược lại, nếu cho trước toán tử tuyến tính liên tục A thì công thức
(1.16) xác định một phiếm hàm song tuyến tính f(x, y) và từ (1.18) và (1.17) ta
suy ra (1.19) như trên. Thành thử ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.3. Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert
H xác định theo (1.16) một phiếm hàm song tuyến tính liên tục f(x, y) nghiệm
đúng (1.19). Ngược lại bất kỳ phiếm hàm song tuyến tính liên tục f(x, y) nào
trên H cũng có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.16) trong đó A
là một toán tử tuyến tính liên tục trên H thoả mãn điều kiện (1.19).
Như vậy có thể lập được tương ứng
1 1: f A 
giữa các phiếm hàm
song tuyến tính liên tục f và các toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian
Hilbert. Ta chú ý tính chất sau.
15



Nếu một phiếm hàm song tuyến tính f(x, y) trong không gian Hilbert là
đối xứng, tức là f(x, y) = f(y, x) với mọi x, y thì chuẩn của nó bằng

1, 1,
f sup f(x,y)

x y 

.
1.5. Hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert
Như ta đã biết một dãy các phần tử
 
n
x
của không gian Banach X hội
tụ đến một phần tử x
0
khi
n  
, nếu
0
0
n
x x
 
khi
n  
.
Hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh. Song song với khái niệm đó
tồn tại khái niệm hội tụ yếu của dãy
 
n
x
. Ta nói x
n
hội tụ yếu đến x

0
, nếu
*
f X
 
có
0
( ) ( )
n
f x f x
khi
n  
.
Ta luôn có từ hội tụ mạnh của một dãy suy ra hội tụ yếu.
Điều gược lại không đúng.
Ví dụ 1.7. Trong không gian Hilbert khả ly
2
l
lấy dãy
 
 
1
, 0,0, ,1,0
j j
e e


sao cho
,
i j ij

e e


. Khi đó, với mọi
 
2 1 2
: , , , ,
n
l
    
 
ta có
,
j j
e
 

. Vì
2
l


cho nên
lim 0
j
j



. Tức là dãy

 
j
e
hội tụ yếu đến phần tử 0 (hội tụ yếu thường được
ký hiệu bởi
w

). Nhưng ở đây dãy
 
1
j
e

lại không hội tụ mạnh.

Thật vậy,
2
i j
e e 
cho nên nó không phải là một dãy cơ bản, do đó
không hội tụ mạnh.
Cũng như hội tụ mạnh, giới hạn yếu cũng duy nhất, tức là nếu
w
n
x x
và
w
n
x y
thì x = y.

Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh:
1) X là không gian hữu hạn chiều
16



2)
 
k
x
M
, ở đây M là một compact trong X.
Nhận xét: Những khẳng định trên là dễ hiểu, bởi vì
Trong trường hợp thứ nhất
1
, ,
n
n
i j
x R x e

  

(e
i
là cơ sở của
n
R
)
lấy

( )
i i
f x


. Một dãy
 
( )k
x
trong
n
R
có thể viết như sau:
( )
1
n
k k
i i
i
x e




, giả sử
 
w(k)
1 2
, ,
n

x x
  
 
, khi đó
w
( )
( ( )
k
i i
f x f x

. Có nghĩa là
( )k
i i
 

khi
k  
.
Trường hợp thứ hai, khi M là một tập compact trong
 
,
k
X x M
và
w
0
n
x x


. Nếu
 
n
x
không hội tụ mạnh đến x
0
, thì
 
0
0, ( ): ,
k k
n n n
x x x x k
 
      
.
Do M là một tập compact cho nên tồn tại một dãy con
 
k
i
n
x
hội tụ
mạnh đến y và
0
y x
. Khi đó, ta có sự mâu thuẫn
0
0
k

i
n
x x

  
, khi
i  
.
1.6. Toán tử trong các không gian
Định nghĩa 1.4. Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y. Một ánh xạ
:A X Y
gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
1)
1 2 1 2 1 2
( ) , ,
A x x Ax Ax x x X    

2)
( ) , ,A x Ax x X R
  
    
(hoặc
C
)
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x
trong ánh xạ A.
17

*) Điều kiện liên tục: Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Theo
định nghĩa chung về ánh xạ liên tục một toán tử A từ X gọi là liên tục nếu
0
n
x x
luôn luôn kéo theo
n 0
Ax Ax
.
*) Một toán tử A từ X vào Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số
k > 0 để cho
 
x X Ax K x  
(với chuẩn bên trái là chuẩn trong Y, còn
chuẩn bên phải là chuẩn trong X).
*) Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị
chặn.
*) Không gian các toán tử
Cho hai không gian định chuẩn X, Y. Ta kí hiệu L(X, Y) là tập tất cả các
toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y.
Trong L(X, Y) ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau:
Ta gọi tổng của hai toán tử A, B là toán tử A + B sao cho

   
:
x X A B x Ax Bx    
.
Và tích của toán tử A với số

là toán tử


A sao cho

 
: ( )
x X A x Ax  
 
.
Rõ ràng các toán tử A + B và

A cũng tuyến tính và liên tục, tức là
thuộc L(X, Y) và với các phép toán tuyến tính như trên L(X, Y) trở thành một
không gian tuyến tính.
Hơn nữa, trong L(X,Y) ta định nghĩa chuẩn
0 1
sup sup Ax
x x
Ax
A
x
 
 

của toán tử A, thì khi đó L(X,Y) là một không gian định chuẩn.
Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn. Thay cho ký hiệu
L(X, Y) ta dùng kí hiệu L(X).
18

Như vậy L(X) là không gian các toán tử tuyến tính giới nội từ không
gian tuyến tính định chuẩn X vào chính nó. L(X) là một không gian tuyến tính
định chuẩn với chuẩn của toán tử.
Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn và
( )A L X
. Đặt

0 1 2 1
; ; . , , .
n n
A I A A A A A A A A

   

Hiển nhiên với mọi số tự nhiên n, A
n
là một toán tử tuyến tính giới nội
từ X vào X,
A
m+n
= A
m
.A
n
với mọi m, n và
n
n
A A

với mọi n.

Định lý 1.2. (Hilbert - Schmidt). Nếu A là một toán tử tuyến tính hoàn
toàn liên tục và tự liên hợp trong không gian Hilbert H thì:

x H 
có
1
,
n
i i
i
x x e e


 

,
ở đây
, 0, 0
i i i i i
Ae e khi i
  
    
và
( )Ker A


.
Bổ đề 1.2. (Tikhonov). Cho
A:X Y
đưa tập

0
X X
lên
0 0
( )Y A X
. Nếu A là song ánh, liên tục và X
0
là một tập compact của X, thì
A
-1
cũng là một ánh xạ liên tục từ Y
0
lên X
0
.
Chứng minh
Kí hiệu f = A(x) và x = x(f) = A
-1
(f) là các ánh xạ thuận và nghịch của
ánh xạ A từ X
0
vào Y
0
.
Lấy một phần tử f
0
bất kỳ thuộc Y
0
. Ta chứng minh ánh xạ x(f) liên tục
tại f = f

0
. Thật vậy, giả sử x(f ) không liên tục tại f = f
0
. Khi đó, tồn tại một số
1
0


sao cho với mọi
0


tìm được phần tử
f

của Y
0
với
 
0
,f f

 



và
 
0 1
,

x
x x
 


, ở đây
 
 
0 0
,
x x f x x f
 



và
0
, .x X x X 


19



Lấy một dãy
 
n

gồm các số dương dần tới 0, khi
n  

. Với mỗi
n

tìm được một phần tử
0
n
f Y

sao cho
 
0
,
n n
f f

 


và
 
0 1
,
x n
x x
 


, ở đây
 
n n

x x f



. Dễ dàng nhận thấy dãy
 
n
f

hội tụ đến
f
0
. Do
 
n
x

thuộc compact
0
X
cho nên có thể trích được dãy con
 
k
n
x

hội tụ
trong X đến một phần tử
0 0
x X


, ở đây
0 0
x x

và
 
0 1
,
k
x n
x x
  

. Điều đó
nói lên rằng dãy
 
 
k k
n n
f A x


là dãy con của
 
n
f

hội tụ đến
 

0 0
f A x



.
Như vậy:

   
0 0 0 0
f A x f A x
  


.
Do đó,
   
0 0
A x A x

. Do A là song ánh nên ta có
0 0
x x

. Điều đó dẫn
đến mâu thuẫn với giả thiết trên. Bổ đề được chứng minh. 
1.7. Sai số, số xấp xỉ
*) Sai số tuyệt đối
Trong tính toán, ta thường làm việc với các giá trị gần đúng của một đại
lượng, do đó phải nghiên cứu vấn đề về sai số. Nghiên cứu đại lượng A ta chỉ

thu được giá trị gần đúng là a. Khi đó ta nói a là đại lượng xấp xỉ của A.
Ký hiệu
a 
(đọc là a xấp xỉ với A).
Nếu
a A
thì a được gọi là số xấp xỉ dư (thừa) của A.
Nếu a < A thì thì a được gọi là số xấp xỉ thiếu cảu A.
Nếu
a A
được gọi là số tuyệt đối của số xấp xỉ a.
Do A nói chung không biết, nên không biết được sai số tuyệt đối của xấp xỉ a,
vì vậy phải ước lượng sai số đó bằng số dương
a

nào đó, sao cho:
(1.20)
a
a A
 

20



Số
a

gọi là sai số tuyệt đối giới hạn cho phép mà ta mong muốn, càng bé
càng tốt, nên trong (1.20) ta gọi

a

=
a A
là sai số tuyệt đối của đại lượng
a. Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là
a

thì quy ước cách
viết:

a
A a
  
nghĩa là
a a
a A a
   

*) Sai số tương đối
Ta gọi
a
a
A

 
là sai số tương đối cảu đại lượng a. Do A nói chung
không biết, nên người ta quy ước sai số tương đối là
a
a

a

 
.
*) Các phép tính về sai số
Giả sử đại lượng f có sai số tuyệt đối giới hạn là
f

và sai số tương đối
là
f

, mà
f

=
f
;
f

là số gia của đại lượng f.
1) Nếu
U x y z  
thì
U x y z
   
, (x, y, z > 0)
2)
U x y 
thì

,( , ) 0
x y
U
x y
x y
 
  


3)
U xyz
thì
,( , , 0)
U x y z
x y z
    

4)
x
U
y

thì
,( , 0)
U x y
x y
   

Chứng minh
Thật vậy, ta chứng minh cho trường hợp 2 và 3; còn trường hợp 1 và 4

chứng minh tượng tự. Gọi
f
là số gia của đại lượng f.
Chứng minh (2): Nếu
U x y 
thì
U x y U x y        

Hay
x y
U
U x y
U x y
 

    


21



Và
x y
U
U
U x y
 

  


.
Chứng minh (3):
       
ln ln ln ln ln ln ln lnU xyz U x y z U x y z         

Nhưng
   
ln ln
U
dU
U d U
U U

   


   
ln ln
x
dx
x d x
x x

   
,…
Nên
y y y
x z x z x z
U U

U x y z U x y z x y z
  
       
         

Hay
,( , , 0)
U x y z
x y z
    
, điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong công thức hiệu, nếu
x y
quá bé thì sai số sẽ lớn. Vì
vậy trong quá trình tính, người ta tìm cách tránh phép trừ các số gần nhau.
*) Công thức tổng quát về sai số
Nếu f là hám số khả vi liên tục và
1 2
( , , , ), 0
n
u f x x x f
 
thì
(1.21)
1
i
n
u x
i
i

f
x


  



(1.22)
1
ln
n
u
i
i
f
x


 



Chứng minh
Thật vậy, do
1
n
i
i
i

f
u du x
x


   




1 1
i
n n
i x
i i
i i
f f
u x
x x
 
 
     
 
 

Hay
1
i
n
u x

i
i
f
x


  

