Phương pháp tựa tuyến tính hoá giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Khuất
Văn Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm
luận văn.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích,
khoa toán trường ĐHSPHN 2, gia đình, bạn bè, các bạn học viên lớp K14
Toán giải tích đợt 2, những người đã động viên tôi trong suốt quá trình học
và làm luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả


Nguyễn Thu Thùy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm, dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan các tài liệu nghiên cứu trong
luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin
trích dẫn các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Luận văn chưa được công bố trên bất kì tạp chí nào.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả


Nguyễn Thu Thùy

MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU
1
Chương 1. Kiến thức bổ trợ.
3
1.1 Phương trình vi phân Riccati.
3
1.2 Phương pháp tuyến tính hóa.
1.3 Phương pháp Newton.
1.4 Trong không gian
n
.
1.5 Phương pháp Newton – Katorovich.
1.6 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính.
1.7 Phương pháp Galerkin.
1.8 Môt số kiến thức cơ bản về giải tích hàm.
1.9 Đạo hàm Frechét trong không gian định chuẩn.
1.10 Phương trình Sturm – Liouville.
1.11 Định lý Tchaplygin về bất đẳng thức vi phân.
3
5
8

9
10
13
15
16
17
18
Chương 2. Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán
biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến.
2.1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương
trình vi phân thường phi tuyến.
2.1.1.Tính chất đơn điệu.
2.1.2. Phương pháp tiếp cận cơ bản.
2.1.3. Mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số.
2.1.4. Phép nhân tử hóa đối với toán tử vi phân tuyến tính cấp 2.
2.1.5. Tính chất dương của nghiệm của phương trình vi phân.
2.1.6. Xét quan hệ với phương trình đạo hàm riêng parabolic.
2.1.7. Bàn về các giá trị riêng.

19

19
19
20
21
23
25
26
28

2.1.8. Sự hoàn thiện của việc đánh giá sự hội tụ.
2.2. Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ.
2.2.1. Áp dụng tuyến tính hóa đối với hệ.
2.2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính.
2.2.3. Một số ví dụ.
2.2.4. Tính toán đồng thời các xấp xỉ.
2.2.5. Thảo luận.
2.2.6. Tính chất đơn điệu đối với hệ.
2.2.7. Tính chất đơn điệu đối với phương trình vi phân tuyến
tính cấp N.
2.2.8. Phương trình parabolic.
29
31
31
33
34
35
37
38

39
40
Chương 3. Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải một
số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi
tuyến cấp một.
3.1. Đặt vấn đề.
3.2. Môt số ví dụ.


42

42
43
KẾT LUẬN
53
TÀI LIỆU THAM KHẢO
54



1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và
:P X Y
là toán tử
phi tuyến. Xét phương trình toán tử
Pu = 0 (1)
Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử phi tuyến trong
không gian định chuẩn.
Giả sử phương trình toán tử dạng Pu = 0 là có một nghiệm duy nhất u = u
*
.
Vấn đề tìm nghiệm của phương trình là vấn đề cơ bản trong việc giải phương
trình. Trong trường hợp tìm nghiệm chính xác của phương trình (1) là rất khó
hoặc không thể tìm được thì người ta nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình đó.
Nhà toán học L. Kantorovich đã khái quát phương pháp Newton giải
phương trình vô hướng f(x) = 0 trong không gian để giải phương trình (1).

Trong đó tư tưởng tuyến tính hoá đã được ông phát triển và khái quát rất
thành công cho phương trình toán tử.
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toán biên đối với hệ
phương trình vi phân thường phi tuyến. Phương pháp nghiên cứu ở đây là áp
dụng sự tuyến tính hóa và bất đẳng thức vi phân. Thông qua bất đẳng thức vi
phân để xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ (x
n
) đơn điệu tăng hội tụ tới
nghiệm u
*
của (1). Đề tài chúng tôi nghiên cứu là “Phương pháp tựa tuyến
tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân
thường phi tuyến”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính hóa và bất đẳng
thức vi phân vào giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi
2

phân thường phi tuyến. Nêu một số ví dụ về giải số bài toán biên đối với hệ
phương trình vi phân thường .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phương pháp tựa tuyến tính hóa, nghiên cứu về bất đẳng
thức vi phân.
Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm của của bài toán
biên.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với
hệ phương trình vi phân thường phi tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một

số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn trình bầy một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương
pháp tựa tuyến tính hóa.
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính trong việc giải xấp
xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến .



3

Chương 1
Kiến thức bổ trợ

1.1 Phương trình vi phân Riccati
Phương trình vi phân Riccati là phương trình vi phân phi tuyến bậc 1 dạng
2
( ) ( ) 0v v p t v q t

   
. (1.1)
Nói chung phương trình Riccati không giải được bằng cầu phương và các
hàm cơ bản của giải tích với các hệ số tùy ý p(t) và q(t).
Phương trình (1.1) có mối quan hệ với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
Ta bắt đầu với phương trình
( ) ( ) 0v p t v q t v
 
  
, (1.2)
ta đặt :

vdt
ue


, khi đó,
vdt
u ve



,
2
vdt vdt
u v e v e

 

,
thay
u
,
u

,
u

vào phương trình (1.2) thì ta đưa (1.2) về dạng (1.1)
1.2 Phương pháp tuyến tính hóa
a. Xét hàm một biến
Xét phương trình

( ) 0fx

trong đó hàm f xác định trên
( , )ab
,
0
( , )x a b

Giả sử hàm số f có đạo hàm tại
0
x
. Khi đó ,
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
xx
f x f x
fx
xx





.
Đặt:
0 0 0 0

( ) ( ) '( )( ) ( , )f x f x f x x x x x

   
. (1.3)
Thì
0
0
0
( , )
lim 0
xx
xx
xx




.
Từ (1.3) ta có
0 0 0 0
( ) ( ) '( )( ) ( , )f x f x f x x x x x

   
.
4

Khi x gần x
0
thì
0 0 0

( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x  
. (1.4)
Từ (1.4) ta nhận thấy vế trái của (1.4) là biểu thức phi tuyến và vế phải là
biểu thức bậc nhất đối với x.
Dựa vào (1.4) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất
đối với x.
Ý tưởng của phương pháp tiếp tuyến của Newton là giải xấp xỉ phương
trình phi tuyến thông qua việc giải một dãy những phương trình tuyến tính.
b. Xét hàm hai biến
Xét phương trình:

( , ) 0f x y 
(1.5)
trong đó f xác định trên tập mở
2
U 
,
00
( , )x y U

Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm
00
( , )x y U
. Khi đó,

0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) ( )
xy
f x y f x y f x y x x f x y y y h



    

Trong đó,
00
( , )h x x y y  
, vì thế nếu
h
đủ nhỏ, khi đó ta có
0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )
xy
f x y f x y f x y x x f x y y y

   
(1.6)
Từ (1.6) nhận thấy vế trái của (1.6) là biểu thức phi tuyến vế phải là biểu
thức bậc nhất đối với x, y.
Dựa vào (1.6) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất
đối với x, y.
c. Xét hàm n biến
Xét phương trình
( ) 0fx

trong đó f xác định trên tập
n
U 
, và
12
( , , , )

n
x x x x
,
5

Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm
(0) (0) (0) (0)
12
( , , , )
n
x x x x U
. Khi
đó:
 
12
(0) (0) (0) (0) (0)
1 1 2 2
(0) (0)
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
n
xx
x n n
f x f x f x x x f x x x
f x x x h


      

  

trong đó,
(0) (0) (0)
1 1 2 2
( , , , )
nn
h x x x x x x   
. Nếu
h
đủ nhỏ khi ta có
1
2
(0) (0) (0)
11
(0) (0) (0) (0)
22
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
n
x
x x n n
f x f x f x x x
f x x x f x x x

  

    
. (1.7)
Từ (1.7) nhận thấy vế trái của (1.7) là biểu thức phi tuyến vế phải là biểu
thức bậc nhất đối với các ẩn

, 1,2, ,
i
x i n
.
Dựa vào (1.7) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất
đối với các ẩn
, 1,2, ,
i
x i n
.
1.3 Phương pháp Newton
Giải phương trình đại số một biến số
( ) 0fx
,
trong đó
()fx
là hàm xác định trên , ta giả thiết hàm
()fx
thỏa mãn các
điều kiện sau:
i) Phương trình
( ) 0fx
có nghiệm duy nhất

trên [a,b].
ii)
2
[a,b]fC
và
()fx


,
()fx

không đổi dấu trên [a,b].
Định nghĩa: Điểm
[ , ]x a b
được gọi là điểm Fourier, nếu
( ) ( ) 0f x f x


.
Không giảm tính tổng quát ta giả sử
()fx
có đạo hàm
( ) 0fx


, nếu
không ta xét phương trình
( ) 0gx
với
:gf
.
Chọn xấp xỉ ban đầu
0
x
là điểm Fourier, nếu
00
( ) ( ) 0f x f x



. Phương
trình tiếp tuyến của đường cong
()y f x
tại điểm M
00
( , ( ))x f x

0 0 0
( )( ) ( )y f x x x f x

  


6

Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là:
0 0 0
( ) ( )( ) 0f x f x x x

  
, (1.8)
Gọi x
1
là nghiệm của phương trình (1.8), khi đó,
0
10
0
()

()
fx
xx
fx


.
Tiếp tục như vậy, tổng quát ta được
1
()
()
n
nn
n
fx
xx
fx



.
Giả thiết rằng
( ) 0fx


, ta chỉ xét trường hợp
0
( ) 0fx



(trường hợp
0
( ) 0fx


hoàn toàn tương tự). Khai triển
()
n
fx
tại điểm
1n
x

theo công thức
Taylor, ta có:

2
1
1 1 1 1
''( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
n
n n n n n n n
f
f x f x f x x x x x


   


    

Từ (1.8) ta suy ra

2
1
1
''( )
( ) ( )
2
n
n n n
f
f x x x





Mặt khác,

2
1
11
( ) ''( )
()
( ) 2 '( )
nn
n n n n
nn

f x f
x x x x
f x f x



     

≥ 0
Do đó, dãy
n
x

là đơn điệu không giảm, nếu có
n
x


thì do
f (x)<0

nên

( ) ( )
n
f x f



Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức

( ) 0
n
fx 
. Như vậy suy ra tồn tại
giới hạn


lim
n
n
x



.
Ta có

11
( ) '( )
n n n n n n
f x f x x x M x x

   
,
7

trong đó,
M = Sup

 


'( ) , ,
n
f x x a b
.
Cho n

∞ ta được f(

) = 0.
Để đánh giá sai số của phương pháp Newton, ta giả thiết rằng
1
''( )f x M
và
2
'( )f x M
với mọi x

[a,b]. Một mặt ta có

1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )( )
n
n n n
f x f x f f x x


  


   
.
Từ đây suy ra
1
1
2
()
n
n
fx
x
M




(1.9)
Mặt khác, sử dụng (1.8) và khai triển Taylor ta có:
2
1 1 1
''( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
n
n n n n n n n
f
f x f x f x x x x x

  


    


2
1
''( )
()
2
n
nn
f
xx




Từ đẳng thức cuối cùng ta suy ra

2
1
11
()
2
n n n
M
f x x x


.
Áp dụng (1.8) ta được

2
1
11
2
2
n n n
M
x x x
M


  
. (1.10)
Khi n lớn thì độ lệch
1nn
xx


khá bé, từ (1.10) ta suy ra x
n+1
rất gần


vì
1n
x



=

 
1nn
xx


2
. Khác với phép lặp đơn có bậc hội tụ bậc 1 vì
1n
x



=
 
1nn
xx


thì phương pháp Newton có bậc hội tụ bậc 2. Như
vậy, phương pháp Newton hội tụ rất nhanh và sau đó thường được sử dụng
trên bước giải kiện toàn phương trình f(x) = 0.

8

1.4. Trong không gian
n

Cho hệ phương trình phi tuyến :
1 1 2,
2 1 2,

1 2,
( , , ) 0
( , , ) 0
( , , ) 0
n
n
nn
f x x x
f x x x
f x x x











Hệ này có thể được viết dưới dạng:
F(x) = 0, (1.11)
nếu ta coi
1 2,
( , , )
n
x x x x
và
12

( ) ( ( ), ( ), , ( ))
n
F x f x f x f x
, ta xét ma trận
Jacobian của các hàm
()
i
fx
, (
1,in
), được giả thiết là hàm khả vi liên tục:
1 1 1
12
2 2 2
12
12
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

()

( ) ( ) ( )

n
n
n n n
n
f x f x f x
x x x

f x f x f x
x x x
Jx
f x f x f x
x x x
  
  
  
  

  
  
. (1.12)
Giả sử cho trước xấp xỉ đầu tiên
(0)
x
, thay vì giải hệ phương trình (1.11)
ta giải hệ phương trình sau:
(0) (0) (0)
( ) ( )( ) 0F x J x x x  
. (1.13)
Nếu
(0)
det ( ) 0Jx 
thì (1.13) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu là
(1)
x
. Để
thuận lợi, ta giải (1.13) đối với ẩn
(0) (0)

x x x  
, sau đó tính
(1) (0) (0)
x x x  
. Như vậy ta đã thay hệ phương trình
( ) 0
i
fx
, (
1,in
) bởi
hệ phương trình (1.13) đơn giản hơn nhiều, vì (1.13) tuyến tính đối với x.
Nếu x
(m)
tìm được thì x
(m+1)
tính theo công thức:
( 1) ( ) ( )m m m
x x x

  
, véctơ
số gia
( ) ( ) ( ) ( )
12
( , , , )
m m m m
n
x x x x    
tìm được từ hệ

( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) 0
m m m
F x J x x x  
, (1.14)
9

hay chính là hệ
11
11
1
1
1
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
mm
m m m
n
n
mm
m m m
nn
nn
n
f x f x
f x x x
xx
f x f x

f x x x
xx


     








     



(1.15)
Phương pháp Newton sẽ hội tụ nếu các xấp xỉ ban đầu được chọn tốt và
ma trận J(x) không suy biến, hơn thế nữa tốc độ hội tụ là tốc độ bình phương.
Người ta chứng minh được rằng phép lặp chỉ dừng tại khi thỏa mãn bất
đẳng thức
( 1) ( )
,
kk
x x c x x c
  
  
là hằng số.
1.5. Phương pháp Newton – Kantorovich

Xét phương trình toán tử dạng

( ) 0Px
. (1.16)
Giả sử toán tử P xác định trong hình cầu S
 
00
( , ) :S S x r x X x x r    
,
và có đạo hàm Frechét
'( )Px
thỏa mãn điều kiện Lipsít trong S.
Nghĩa là,
'( ) '( )P x P y L x y  
,
,x y S
.
Giả thiết rằng tồn tại toán tử ngược
 
1
()Px


, với mọi
0
( , )x S x r

Tương tự như phương pháp Newtơn, các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng
như sau.
Thay thế phương trình (1.16) bởi phương trình tương đương sau:

00
( ) ( ) ( )P x P x P x  
,
gọi x
*
là nghiệm đúng của phương trình (1.16), giá trị
0
( ) ( )P x P x
được
thay bởi giá trị gần đúng
00
'( )( )P x x x
. Có thể suy luận rằng nghiệm của
phương trình:
10

0 0 0
'( )( ) ( )P x x x P x  
,
sẽ gần nghiệm
x

.
Vì vậy, xấp xỉ đầu tiên
1
x
được chọn là nghiệm của phương trình nói trên,
tức là:
0 1 0 0
'( )( ) ( )P x x x P x  

.
Tương tự như vậy, thay phương trình :
( ) ( ) ( )
nn
P x P x P x  
,
bởi phương trình :
'( )( ) ( )
n n n
P x x x P x  
,
1,2, ,n 
(1.17)

Giả sử
1n
x

là nghiệm của phương trình (1.17), khi đó:
1
'( )( ) ( )
n n n n
P x x x P x

  

1
1
[ '( )] ( )
n n n n

x x P x P x


  
,
1,2, ,n 
(1.18)
Phương pháp xây dựng các xấp xỉ như trên gọi là phương pháp Newton –
Kantorovich.
Nếu dãy{x
n
} hội tụ đến x
*
và x
0
được chọn gần nghiệm x
*
thì các toán tử
'( )
n
Px
và
0
'( )Px
sẽ gần nhau hơn, điều đó làm cơ sở cho việc thay thế công
thức (1.18) bằng công thức sau , đơn giản hơn:
1
10
[ '( )] ( )
n n n

y y P y P y



,
1,2, ,n 

Phương pháp xây dựng dãy {y
n
}

như trên gọi là phương pháp Newton –
Kantorovich cải biên.
Kantorovich đã chứng minh được công thức đánh giá tốc độ hội tụ

*2
n
n
x x cq
, (c là hằng số, 0 < q < 1).
1.6. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính :
a. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình
có dạng:
11

1
11 1 12 2 1
2
21 1 22 2 2

1 1 2 2




nn
nn
n
n n nn n
dy
p y p y p y
dx
dy
p y p y p y
dx
dy
p y p y p y
dx

   



   





   



. (1.19)
Ta giả thiết các hàm
ij
p
,
1,2, ,n 
, liên tục trên khoảng (a,b).
Khi đó, với mỗi x
0

(a,b),
 
0 0 0
12
, , ,
n
y y y

n
, thì tồn tại duy nghiệm
12
( ) ( ( ), ( ), , ( ))
n
y x y x y x y x
của hệ (1.19) xác định trên khoảng (a, b) và
thỏa mãn điều kiện ban đầu:
0 0 0
1 0 1 2 0 2 0

( ) , ( ) , , ( )
nn
y x y y x y y x y  
.
*> Hệ (1.19) có thể viết dưới dạng véctơ như sau:
Đặt:

1
2

n
y
y
y
y







,
1
2
n
dy
dx
dy
dY

dx
dx
dy
dx











,
()px
=
11 12 1
21 22 2
12
p ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
n
n
n n nn
x p x p x
p x p x p x

p x p x p x







Khi đó, hệ (1.19) tương đương với phương trình:
()
dY
p x Y
dx


*> Toán tử vi phân tuyến tính của hệ (1.19)
Để đơn giản cách viết và thuận lợi cho nghiên cứu ta đưa ra toán tử vi
phân tuyến tính sau:
[ ] ( )
dY
L Y p x Y
dx

.
Khi đó hệ (1.19) viết được dưới dạng:
[ ] 0Ly 

12

b. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

*> Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:
1
11 1 12 2 1 1
2
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( )
( )

( )
nn
nn
n
n n nn n n
dy
p y p y p y f x
dx
dy
p y p y p y f x
dx
dy
p y p y p y f x
dx

    



    






    


. (1.20)
Nếu ta kí hiệu:
1
2
()
()
()

()
n
fx
fx
Fx
fx







,
()px

,
dY
dx
, Y như ở phần hệ phương
trình vi phân tuyến tính thuần nhất, thì hệ (1.18) có thể viết dưới dạng vectơ
như sau:
( ) ( )
dY
p x Y F x
dx

,
hoặc viết dưới dạng toán tử L như sau:
[ ] ( )L y F x

Ta giả thiết các hàm
ij
p
,
()
i
fx
,
, 1,2, ,i j n
, liên tục trên khoảng (a, b).
Khi đó, bằng cách lý luận tương tự như đối với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất với mỗi
0
( , )x a b
,

 
0 0 0
12
, , ,
n
y y y


n
, thì tồn tại duy nhất
12
( ) ( ( ), ( ), , ( ))
n
y x y x y x y x
của hệ (1.20) xác định trên khoảng (a, b) và thỏa
mãn điều kiện ban đầu
0 0 0
1 0 1 2 0 2 0
( ) , ( ) , , ( )
nn
y x y y x y y x y  
.
c. Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số
Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số là hệ có dạng:
13

1
11 1 12 2 1 1
2
21 1 22 2 2 2

1 1 2 2
()
()

()
nn
nn
n
n n nn n n
dy
a y a y a y f x
dx
dy
a y a y a y f x
dx
dy
a y a y a y f x
dx

    



    





    



(1.21)
Ở đây
ij
a
,
, 1,2, ,i j n
là các hằng số,
()
i
fx
,
1,2, ,in
là các hàm số
liên tục trên khoảng (a, b) nào đấy.
Nếu ta dùng kí hiệu như các phần trước thì hệ (1.21) viết được dưới dạng:
()
dY
AY F x
dx

(1.22)
Ở đây A là ma trận hằng.
1.7. Phương pháp Galerkin
01
01
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ,
( ) ( ) .

y p t y q t y f t
y a y a A
y b y b B


 
   









(1.23)

Đặt toán tử:
 
01
01
( ) ( ) .
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ).
a
b
L y y p t y q t y
y y a y a
y y b y b



 
  

  

  

L[Y] là toán tử tuyến tính từ
   
2
,,a b a b
CC
, trong đó
 
2
,ab
C
là tập hợp các hàm
xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp 2.
()
a
y
,
()
b
y
là các phiếm hàm
tuyến tính từ

 
1
,ab
C 
.
Giả sử trên đoạn [a,b] cho dãy hàm
 
1,
()
n
n
t


thỏa mãn điều kiện:
1.
()
i
t

và
()
j
t

trực giao với nhau, i ≠ j,
14

2.
( ) ( ) 0

b
ij
a
t t dt



với i ≠ j;
2
( ) 0; ,
b
i
a
t dt i




3. Hệ
 
1,
()
n
n
t


độc lập tuyến tính và đầy đủ.
Ta tìm nghiệm của bài toán (1.23) dưới dạng
0

1
( ) ( ) ( )
n
ii
i
y t t c t




sao
cho
0
()t

thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất
( ) ( ) 0, 1, .
a i b i
in

   

Xét không khớp
10
1
( , , , ) ( ) ( ) ( ).
n
n k i
k
R x c c L c L f t



  


Tìm c
k
(
1,kn
) sao cho
1
( , , , )
n
R x c c
trực giao với
i

,
1,in
. Tương
đương với

1
( , , , ) ( ) 0, 1,
b
ni
a
R x c c t dt i n




,

 
0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
bb
n
k k i i
i
aa
L c t dt L f t t dt
   


   




,

 
0
1
( )( ( ) ( ) ( ) ( ) 0
bb
n
k i k i

k
aa
L t dt c L f t t dt
   


    




.
Đặt:

( )( ( ) , , 1,
b
ik k i
a
a L t dt i k n



.

 
0
( ) ( ) ( ) , 1,
b
ii
a

b L f t t dt i n

  

.
Ta có hệ phương trình tuyến tính
1
, 1,
n
ik k i
k
a c b i n



.
Giả sử định thức của hệ này khác không, khi đó xác định duy nhất c
k

( 1, )kn
thì
0
1
( ) ( ) ( )
n
kk
i
y t t c t





là nghiệm duy nhất của bài toán.


15

1.8. Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm.
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (
P 
hoặc
P 
) cùng
với một ánh xạ từ X vào tập số thực kí hiệu là , thỏa mãn các tiên đề:
i)
0,x x X  
,

0xx

  
(Kí hiệu phần tử không là

),
ii)
. , ,x x x X P
  
    
,

iii)
,,x y x y x y X    
.
Số
x
được gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định
chuẩn là X.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm (x
n
) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
tới điểm
xX
, nếu
0
0
0
00
00
()
lim 0
,
( ):
( , ) ( )
( ) ( ) ( )
h
h
h
x X h X
f x X Y
h df x h f x h

f x h f x Ah h









   
,
Kí hiệu:
lim
n
n
xx


, hay
()
n
x x n 
.
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy
cơ bản nếu:

,

lim 0
mn
mn
xx



Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.


16

1.9. Đạo hàm Frechét trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.5. Cho X và Y là 2 không gian định chuẩn,
0
xX
,
hX

và ánh xạ
:f X Y
.
Nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
:A X Y
sao cho

00
( ) ( ) ( )f x h f x Ah h


   
,
trong đó,

0
()
lim 0
h
h
h



.
Thì ta nói ánh xạ f khả vi mạnh (hay khả vi Frechét tại điểm x
0
, Ah được
gọi là vi phân của f tại x
0
, kí hiệu là df(x
0
,h)).
Ánh xạ
0
( ):f x X Y


sao cho
0
( , )h df x h

được gọi là đạo hàm của
ánh xạ f tại x
0
.
Ta có
00
( , ) ( )df x h f x h


.
Tính chất:
i)
()d f g df dg  
.
ii)
( ) ,d f df
  
  
.
iii) Đạo hàm của hàm hợp.
Giả sử
:,f X Y

:,g Y Z

0 0 0
: , , ( )F g f X Z x X y f x Y    
.
Nếu f khả vi Frechét tại điểm x
0

, g khả vi Frechét tại điểm x
0
và
0 0 0 0 0
( ( , ) ( ). ( ) ( ) ( , )d F x h g y f x h g y df x h
  


0 0 0
( ) ( ). '( )F x g y f x


.
Định lý 1.1. Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở của một
không gian Banch là khả vi Frechét tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
Chứng minh.
Cho A là một tập mở trong không gian banch X, toán tử
:f A Y
. Lấy
xA
và
0


thỏa mãn
x h A
,
h



, thì
( ) ( ) ( , ) 0f x h f x Ah x h

    
khi
0h 
.
Suy ra f liên tục tại x.
17

Định lý 1.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Frechét). Đạo hàm Frechét của
một toán tử nếu có là duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử A, B là hai toán tử tuyến tính liên tục, cũng là đạo hàm của toán tử
:f X Y
tại x, nghĩa là với mọi
hX
, ta có :
0
( ) ( ) ( )( ) ( , )
A
f x h f x A x h x h

   

0
( ) ( ) ( )( ) ( , )
B
f x h f x B x h x h


   

Suy ra
00
( ) ( ) ( , ) ( , )
0
AB
A h B h x h x h
hh



khi
0h 
.
Nhưng với mọi
kX
, mọi
0


ta có:
( ) ( ) ( ) ( )A k B k A k B k
kk





Khi

0


thì
0k


nên vế phải của phương trình này dần tới 0, suy ra
A(k) = B(k),
kX
hay
AB
.
1.10. Phương trình Sturm – Liouville
Phương trình Sturm-Liouville là phương trình có dạng:
( ) ( ) ( ) ( ) 0A x y B x y C x y D x y

 
   
,
nó luôn biến đổi được về dạng:
( ) ( ) ( ) 0
d dy
p x q x y r x y
dx dx


  



2
2
()
( ) ( ) ( ) ( ) 0
()
( ) ( ) ( ) ( ) 0
d y d y
p x p x q x y r x y
dx d x
p x y p x y q x y r x y



    
  
    
.
Phương trình này do 2 nhà toán học người Pháp Charles Sturm (1803 -
1855) và Joseph Liouville (1809 – 1882) phát hiện và những năm 1930.
18

1.11. Định lý Tchaplygin về bất đẳng thức vi phân.
Nếu với
 
00
,x x X
tồn tại nghiệm của bài toán ban đầu.
( , )
dy

f x y
dx

,
00
()y x y
. (1.24)
Và nếu
()zx
là một hàm liên tục và khả vi liên tục ở trên đoạn
 
0
,xX
,
sao cho
( , )
dz
f x z
dx

,
 
0
,x x X
,
00
()z x y
, (1.25)
thì có bất đẳng thức:
( ) ( )z x y x

,


0
,x x X
. (1.26)
Chứng minh:
Theo điều kiện của định lý thì bất đẳng thức (1.26) đúng với
0
xx
. Cho
nên nhờ tính chất liên tục của
()yx
và
()zx
thì bất đẳng thức đó cũng đúng
trong lân cận nào đó ở phía phải
0
x
. Giải sử rằng
 
10
,x x X
. Là điểm gần
nhất đối với
0
x
sao cho bất đẳng thức (1.26) không đúng nghĩa là
11
( ) ( )z x y x

.các đường cong
()zx
và
()yx
chúng cắt nhau hoặc tiếp xúc với
nhau tại
1
xx
nhưng khi đó
1 1 1
( ) ( , ( )
dz
x f x y x
dx

,điều này mâu thuẫn với bất
đẳng thức (1.25)
Định lý được chứng minh.
19

Chương 2
Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài
toán biên đối với hệ phương trình vi phân
thường phi tuyến.

2.1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương trình
vi phân thường phi tuyến.
2.1.1. Tính chất đơn điệu
Bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu các tính chất đơn điệu của dãy các xấp
xỉ thu được bằng cách sử dụng tuyến tính hóa. Việc nghiên cứu này rất có ý

nghĩa, vì vài lý do sau:
Thứ nhất, theo quan điểm giải tích là quan trọng, vì chúng cho ta những
phương pháp mới cho việc thiết lập tính bị chặn và hội tụ của dãy các xấp xỉ.
Thứ hai, đối với tính toán thì việc hội tụ đơn điệu thì khá hữu hiệu trong
tính toán vì nó cho phép chứng minh sự chặn trên của nghiệm và kiểm soát
kết quả tính toán.
Việc nghiên cứu tính chất đơn điệu của các xấp xỉ đối với phương trình vi
phân phi tuyến cấp 2 thì tương đương với việc nghiên cứu bất đẳng thức vi
phân dạng
( ) ( ) 0u p t u q t u
 
  
. (2.1)
Ta sẽ nghiên cứu các điều kiện để từ đó suy ra được u ≥ 0 hoặc u ≤ 0.
Trong quá trình áp dụng tuyến tính hóa đối với phương trình Riccati
chúng ta đã áp dụng nhiều lần giả thiết sự tồn tại nghiệm của phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1
( ) ( )u a t u b t


. (2.2)
20

Nghiệm này được biểu thị qua tích phân và hàm mũ chúng ta thu được
đầy đủ các thông tin mà ta mong muốn liên quan đến bất đẳng thức vi phân

( ) ( ) 0u a t u b t

  
. (2.3)

Trong phần này, chúng ta trình bầy một số mẹo, thủ thuật, kĩ xảo, của
phép toán biến phân tới phương trình vi phân đạo hàm riêng .
Để bắt đầu chúng ta chỉ cần nghiên cứu bất đẳng thức:

( ) 0u q t u


,
vì với cách đặt:
2
p
dt
u e v



, (2.4)
mà có dấu không thay đổi, khi đó, ta đưa (2.1) về dạng:
2
'
'' ( ( ) ) 0
24
pp
v q t v   
.
Sau đây ta sẽ trình bày một số phương pháp nghiên cứu (2.1)
2.1.2. Phương pháp tiếp cận cơ bản.
Trước khi đưa vào phương pháp nghiên cứu hữu hiệu hơn, thì ta hãy trình
bầy một phương pháp cơ bản đối với việc nghiên cứu bất đẳng thức

( ) 0u a t u


,
0 tb
, (2.5)
mà có thể áp dụng để nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến, phương
trình đạo hàm riêng eliptic, phương trình parabolic và các dạng khác của các
phương trình hàm.
21

u
(
t
)
t
t
b
1
t
2
0

Hình 2.1
Thật vậy, ta giả sử rằng
( ) 0at 
,
[0,b]t 
và
(0) 0u 

,
(0) 0u


.
Chúng ta mong muốn chỉ ra rằng, với những giả thiết này thì
( ) 0ut 
với
0 tb
.
Thật vậy, giả sử kết quả này là không đúng khi đó có một giá trị t = t
1

gần gốc tọa độ nhất để
( ) 0ut 
,

như đã chỉ ra trong hình 2.1. Có được điều
này thì suy ra rằng tồn tại một giá trị trung gian t
2
để u(t) cực đại tương đối.
Tuy nhiên, ở tại điểm này thì
( ) ( ) 0u t a t u


,
trái với giả thiết rằng u(t) có một cực đại

địa

phương t = t
2
.
Như vậy, nếu
(0) 0u 
,

(0) 0u


thì suy ra rằng
( ) 0ut 

với
0 tb
.
2.1.3. Mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số
Để nghiên cứu bất đẳng thức vi phân (2.1) được sâu rộng hơn, chúng ta
sẽ xét vài mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số tương tự như mối quan hệ
giữa nghiệm và các hệ số của phương trình đa thức.
Cho u
1
và u
2
là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
( ) ( ) 0u p t u q t u
 
  
, (2.6)