Spline bậc 3 và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã hướng dẫn và
truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những
khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học
chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt
quá trình học tập.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp
trường Dự bị đại học dân tộc Trung Ương Việt Trì, Phú Thọ đã quan tâm, động viên
và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Đàm Minh Đức
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Đàm Minh Đức
2
Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.Sai số và xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1. Sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2. Xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. SPLINE BẬC 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.Một số khái niệm cơ bản về nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3
2.2.Hermites Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Tính toán với Hermites Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Định nghĩa đa thức Spline bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2. Đạo hàm của B - spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3. Sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SPLINE BẬC 3 . . . . . . . . . . . . 39
3.1.Giải gần đúng phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.Giải gần đúng hệ phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây phương trình vi phân, phương trình vi tích phân, được
nghiên cứu ngày càng nhiều bằng các phương pháp xấp xỉ. Lớp bài toán này có nhiều

ứng dụng trong mô hình các quá trình vật lí, sinh học và kĩ thuật. Với bài toán giải
phương trình vi phân thì việc tìm được phương pháp tốt để xấp xỉ hàm rất quan trọng.
Ví dụ, xét phương trình vi phân
d
2
x
dt
2
+ a(t)
dx
dt
+ b(t)x(t) = f(t), a ≤ t ≤ b
với điều kiện biên x(a) = α, x(b) = β, trong đó α, β là các hằng số và a(t), b(t), c(t), f(t)
là các hàm số xác định trên [a, b]. Hơn nữa, giả sử phương trình này có nghiệm duy
nhất x(t). Nhiệm vụ của ta là tìm x(t). Nhưng trong thực tế việc tìm chính xác x(t)
là rất khó và có nhiều trường hợp không tìm được hoặc không cần thiết. Khi đó vấn
đề được đặt ra là:
1. Làm thế nào để tìm được hàm x
∗
(t) là xấp xỉ tốt của x(t) ?
2. Làm thế nào sử dụng máy tính để đưa ra hàm x
∗
(t) là xấp xỉ của hàm x(t) ?
Để giải quyết những vấn đề trên thì một trong các phương pháp được đưa ra chính
là xấp xỉ bằng Spline.
Spline đa thức có ưu điểm hơn các phương pháp khác là nếu tăng số mốc nội suy
lên thì bậc của đa thức nội suy cũng không tăng.
Phương pháp xấp xỉ bằng Spline đã và đang phát triển mạnh cùng với sự phát triển
cực kì nhanh của tin học và máy vi tính. Đây cũng là một trong các xu hướng phát
triển của toán học hiện đại.

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về phương pháp xấp xỉ bằng Spline và với sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn tôi đã chọn đề tài ” Spline bậc 3 và một số
ứng dụng”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về Spline bậc 3 và một số ứng dụng liên quan đến sự phát triển của vấn
đề trong những năm gần đây.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các khái niệm và tính chất Spline bậc 3
- Nghiên cứu cách tìm xấp xỉ tốt cho đa thức và cho việc giải gần đúng phương
trình vi phân, hệ phương trình vi phân.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Spline bậc 3
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến
phương pháp xấp xỉ bằng Spline.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Lấy ý kiến chuyên gia.
- Phân tích, tổng hợp.
6
6. Đóng góp mới
Đề tài trình bày trình bày định nghĩa và chứng minh một số tính chất của hàm
spline bậc 3 cụ thể trên Hermite và Cubic spline.
Ứng dụng lý thuyết spline bậc 3 vào giải xấp xỉ phương trình vi phân và hệ phương
trình vi phân.
7
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là một không gian vectơ, nếu:
• Ứng với mỗi phần tử x, y của X ta có, theo quy tắc nào đó, một phần tử của X,
gọi là tổng của x với y, và được ký hiệu x + y; ứng với mỗi phần tử x của X và

mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi là tích của
x với α và được ký hiệu αx.
• Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1. x + y = y + x.
2. (x + y) + z = x + (y + z).
3. Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho x + 0 = 0 + x với mọi x ∈ X (phần tử
này gọi là phần tử không).
4. Ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao cho
x + (−x) = 0
phần tử −x được gọi là phần tử đối của x.
5. 1.x = x.
6. α(βx) = (αβ)x (α, β là những số bất kỳ).
7. (α + β)x = αx + βx.
8. α(x + y) = αx + αy.
Trên đây là định nghĩa không gian vectơ thực. Nếu trong định nghĩa ấy ta thay các
số thực bằng các số phức thì ta có không gian vectơ phức.
Các phần tử của một không gian vectơ thường được gọi là vectơ.
Ví dụ 1.1.1.
Trong mặt phẳng thực E
2
Tập X = E
2
là tập
E
2
= {(x
1
, x
2
) : x

1
và x
2
các số thực}
Với mỗi số thực α và các vectơ x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ X, phép cộng và nhân
vô hướng được định nghĩa:
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
)
αx = (αx
1
, αx
2
)
là không gian vectơ.
Ví dụ 1.1.2.

Không gian C[a, b]
Không gian C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b].
9
Với mỗi số thực α và f(t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được định
nghĩa:
(f + g)(t) = f(t) + g(t), a ≤ t ≤ b(αf)(t) = αf(t)
là không gian vectơ
Ví dụ 1.1.3.
P
n
[a, b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a, b] là không gian vectơ
1.2. Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con
Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈ X là một tổng có dạng:
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x

n
Các vectơ x
1
, x
2
, . . . , x
n
được gọi là độc lập tuyến tính nếu
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . α
n
x
n
= 0 ⇒ α
1
= α
2
= . . . α
n
= 0
Các vectơ x
1
, x

2
, . . . , x
n
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập
tuyến tính, tức là tồn tại những số α
1
, α
2
, . . . , α
n
trong đó có ít nhất một số khác 0,
sao cho:
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
= 0
Ví dụ, hai vectơ x và (-x) là phụ thuộc tuyến tính vì:
1.x + (1)(−x) = 0
Nếu trong các vectơ x
1
, x

2
, . . . , x
n
có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ thuộc tuyến
tính.
10
Một không gian vectơ X được gọi là không gian k chiều nếu trong X có k vectơ độc
lập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyến tính.
Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở
của nó.
Các không gian k chiều, với k là một số nguyên không âm bất kỳ gọi là không gian
hữu hạn chiều.
Một không gian không hữu hạn chiều tức là sao cho với mọi k đều tìm được k vectơ
độc lập tuyến tính của nó, gọi là không gian vô hạn chiều.
Ví dụ: R
k
là không gian k chiều, với cơ sở là:
x
1
= (1, 0, . . . , 0), x
2
= (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , x
n
= (0, 0, . . . , 1)
Không gian B
[a,b]
là vô số chiều vì với mọi k ta luôn có k phần tử của nó độc lập tuyến
tính, đó là:
x
1

(t) = t, x
2
(t) = t
2
, . . . , x
n
(t) = t
n
Nếu X là không gian k chiều và x
1
, x
2
, . . . , x
k
là một cơ sở cuả nó thì mọi x ∈ X
đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
x = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
k
x
k
Các số α
1

, α
2
, . . . , α
k
được gọi là các tọa độ của vectơ x đối với cơ sở {x
1
, x
2
, . . . , x
k
}.
Nếu ta làm phép ánh xạ 1 −1 : x ↔ (α
1
, α
2
, . . . , α
k
) thì đó là một phép đẳng cấu giữa
X và R
k
. Như vậy không gian vectơ k chiều bao giờ cũng đẳng cấu với không gian R
k
.
Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một không gian con, nếu
nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhân phần tử với một số, nghĩa
là:
1. x ∈ M, y ∈ M ⇒ x + y ∈ M;
11
2. x ∈ M ⇒ αx ∈ M với α là số bất kỳ
Cho A là một tập con bất kỳ, không rỗng của X. Khi đó bao giờ cũng có ít nhất

một không gian con bao hàm A, đó chính là X. Vậy họ các không gian con bao hàm
X khác rỗng. Giao của họ các không gian ấy cũng là một không gian con, và là không
gian con nhỏ nhất bao hàm A. Không gian này gọi là không gian con sinh bởi tập A.
Như vậy, không gian con sinh bởi A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn:
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
k
x
k
của những phần tử của A.
1.3. Không gian định chuẩn
1.3.1. Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.3.1. Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ X, trong đó
ứng với mỗi phần tử x ∈ X, ta có một số  x , gọi là chuẩn của nó, sao cho với mọi
x, y ∈ X, và mọi số α thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1.  x > 0 nếu x = 0;  x = 0 nếu x = 0
2.  αx =| α | .  x 
3.  x + y ≤ x  +  y  (bất đẳng thức tam giác)
Ví dụ 1.3.1.
Không gian E
2
là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn:
 x 

2
=

x
2
1
+ x
2
2
12
Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:
 x 
1
= |x
1
| + |x
2
|
hay
 x 
∞
= max {|x
1
|, |x
2
|}
trong đó x = (x
1
, x
2

) ∈ E
2
Ví dụ 1.3.2.
Không gian C[a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn
 f(t) = max
a≤t≤b
| f(t) |
Định nghĩa 1.3.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn ||||
1
và ||||
2
. Hai chuẩn
này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và m > 0 sao cho:
m ||x||
1
≤ ||x||
2
≤ M ||x||
1
với ∀x ∈ X.
Trong ví dụ 1.3.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn:
||x||
2
≤ (2 ||x||
2
∞
)
1
2
=

√
2 ||x||
∞
Mặt khác:
||x||
∞
= max {|x
1
|, |x
2
|} ≤ (x
2
1
+ x
2
2
)
1
2
= ||x||
2
Do đó chọn M =
√
2, m = 1, ta có:
||x||
∞
≤ ||x||
2
≤
√

2 ||x||
∞
13
1.3.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian định chuẩn và {x
n
} ⊂ X, x
0
∈ X.
1) x
n
−→ x
0
(dãy x
n
hội tụ tới x
0
) có nghĩa là ||x
n
− x
0
|| −→ 0
2) Nếu x
n
−→ x
0
thì ||x
n
|| −→ ||x
0

||, tức là chuẩn ||x|| là một hàm liên tục của x
3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x
n
hội tụ thì (∃M) (∀n) ||x
n
|| ≤ M
4) Nếu x
n
−→ x
0
, y
n
−→ y
0
thì x
n
+ y
n
−→ x
0
+ y
0
.
5) Nếu x
n
−→ x
0
, α
n
−→ α

0
thì α
n
x
n
−→ α
0
x
0
.
6) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {x
n
} ⊂ X sao cho:
lim
m,n→∞
||x
n
− x
m
|| = 0
Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là: ||x
n
− x
m
|| → 0
kéo theo sự tồn tại x
0
∈ X sao cho x
n
→ x

0
, thì không gian đó được gọi là không gian
đủ thường gọi là không gian Banach.
1.4. Sai số và xấp xỉ tốt nhất
1.4.1. Sai số
Trong thực tế khi giải quyết các bài toán về kĩ thuật và vật lý ta thường không
biết chính xác giá trị của một đại lượng nào đó. Số liệu ban đầu mà ta có trong các
bài toán trên được gọi là số gần đúng. Nếu đánh giá được độ lệch của số gần đúng với
số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giải quyết bài toán. Do đó đi nghiên
cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trong
việc giải bài toán.
14
Định nghĩa 1.4.1. Số a được gọi là số gần đúng của số a
∗
nếu a sai khác với a
∗
không
nhiều.
Ký hiệu a ≈ a
∗
.
Định nghĩa 1.4.2. Đại lượng ∆ = |a − a
∗
| được gọi là sai số thực sự của a.
Nói chung, ta không biết a
∗
nên không biết ∆. Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai
số thực sự của a bằng số dương ∆a  0 sao cho
|a −a
∗

|  ∆a. (1.4.1)
Định nghĩa 1.4.3. Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (3.2.5) gọi là sai số tuyệt đối
của số gần đúng a
Khi đó a
∗
= a ±∆a
Định nghĩa 1.4.4. Số δa =
∆a
|a|
được gọi là sai số tương đối của a.
Ví dụ 1.4.1.
Giả sử a
∗
= π và a = 3, 14.
Do 3, 14 < π < 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 01.
Do 3, 14 < π < 3, 142 = 3, 14 + 0, 002 nên ta cũng có thể lấy ∆a = 0, 002.
Ví dụ 1.4.2.
Đo độ dài hai đoạn thẳng AB và CD ta thu được a = 10m ± 0, 01m ; b = 1m ±
0, 01m.
Khi đó ta có: δa =
0, 01
10
= 0, 1% ; δb =
0, 01
1
= 1%.
Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD tuy chúng có cùng sai
số tuyệt đối ∆a = ∆b = 0, 01m.
15
• Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng

a
∗
là không duy nhất.
• Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
1.4.2. Xấp xỉ tốt nhất
Định nghĩa 1.4.5. Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn ||||, M ⊂ X là một
tập con của X và p ∈ X. Điểm y
0
∈ M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu:
||p −y
0
|| ≤ ||p −y||, ∀y ∈ M
Xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không và sự tồn tại nếu có cũng không phải
là duy nhất.
Ví dụ về sự không tồn tại xấp xỉ tốt nhất
Cho X = E
2
, M = {(x, 0) : x = 0}, p = (0, 1) thì trong trường hợp này không có
xấp xỉ tốt nhất từ M tới p.
Ví dụ về sự không duy nhất xấp xỉ tốt nhất:
Cho X = E
2
, M = {(1, y) : y ∈ R} ∪ {(−1, y) : y ∈ R}, p = (0, 0). Trong trường
hợp này tồn tại 2 xấp xỉ tốt nhất, z
1
= (−1, 0), z
2
= (1, 0).
Định lý 1.4.1. Nếu X là không gian định chuẩn với chuẩn |||| và X
N

là không gian
con hữu hạn chiều của X thì với mỗi x ∈ X tồn tại xấp xỉ tốt nhất x
N
∈ X
N
, tức là:
||x −x
N
|| = min
y∈X
N
||x −y||
Chứng minh. Lấy z ∈ X
N
và đặt d = ||x −z||
K = {z ∈ X
N
: ||x −z|| ≤ d}
16
Từ ||x|| là hàm liên tục của x nên K là tập đóng và bị chặn. Mà K là không gian hữu
hạn chiều nên K compact.
Đặt g(z) = ||x −z||, z ∈ K. Thì g là hàm liên tục của z.
Do K compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm x
N
∈ K.
Vậy, ||x − x
N
|| = min
y∈K
||x −y||

1.4.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
Cho đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia x
i
, i = 0, n
thỏa mãn:
x
0
= a < x
1
< x
2
< . . . < x
n
= b
Đặt h =
b−a
n
.
Giả sử x là nghiệm đúng và x
∗
là nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho (theo
phương pháp gần đúng nào đó). Nếu có:
||x −x
∗
|| = 0(h
k
)
thì x
∗
được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm x.

1.5. Ma trận đường chéo trội
Định nghĩa 1.5.1. Cho ma trận vuông A = (a
ij
)
n
i,j=1
.
Ta nói ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong hai tính
chất sau:
•

n
j=1,j=i
| a
ij
|<| a
ii
|, ∀i = 1, 2, . . . , n;
•

n
i=1,i=j
| a
ij
|<| a
jj
|, ∀j = 1, 2, . . . , n.
17
Định lý 1.5.1. Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến
Khi đó phương trình Ax = y luôn có nghiệm.

18
Chương 2
SPLINE BẬC 3
2.1. Một số khái niệm cơ bản về nội suy
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f(x) mà chỉ biết giá trị y
i
tại các
điểm x
i
∈ [a, b](i = 0, 1, . . . n). Cũng có trường hợp biết thức giải tích f(x) đã cho
nhưng quá cồng kềnh. Khi đó dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được f tại bất
kỳ x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu.
Mục tiêu của phép nội suy là khá nhiều, nhưng chủ yếu là tìm thuật toán đơn giản
tính giá trị f(x) cho những x không nằm trong bảng x
i
, y
i
(i = 0, 1, . . . n). Ngoài ra
sử dụng kết quả của phép nội suy, có thể tìm đạo hàm hoặc tích phân của f(x) trên
đoạn [a, b].
Trong phép nội suy thì đa thức đại số thường được dùng vì các phép toán cộng,
trừ, nhân, chia, đạo hàm và tích phân dễ dàng thực hiệu được. Hơn nữa nếu P (x), còn
c là hằng số thì P (cx) và P (x + c) cũng là đa thức.
Bài toán nội suy được đặt ra như sau: Cho các mốc nội suy
a ≤ x
0
< x
1
< x
2

< . . . < x
n
≤ b
Hãy tìm đa thức bậc m: P
m
(x) =

m
i=0
a
i
x
i
sao cho
P
m
(x
i
) = y
i
= f(x
i
)(i = 0, n)
Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: xây dựng đường cong đại số y = P
m
(x)
đi qua các điểm cho trước (x
i
, y
i

)(i = 0, n).
Như vậy ta cần xác định m + 1 hệ số a
i
(i = 0, n) từ hệ phương trình tuyến tính
sau:
m

j=0
a
j
x
j
i
= y
i
(i = 0, n) (2.1.1)
Nếu m < n(m > n) hệ nói chung vô nghiệm (vô định).
Nếu m = n thì hệ có định thức Vandermonde
δ =













1 x
0
x
2
0
. . . x
n
0
1 x
1
x
2
1
. . . x
n
1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 x
n
x
2
n
. . . x
n
n













=

0≤i<j≤n
(x
i
− x
j
) = 0
Suy ra phương trình (3.2.5) có nghiệm duy nhất
Trong bài toán nội suy, nội suy bằng spline thường được gọi là nội suy đa thức vì
nó cho kết quả tương tự ngay cả trong trường hợp sử dụng đa thức bậc thấp. Điều này
đã khắc phục được nhược điểm là nếu mốc nội suy tăng lên thì bậc của đa thức nội
suy rất lớn và gây khó khăn trong quá trình tính toán.
Hermites và B-Spline là spline bậc 3 được sử dụng phổ biến nhất trong nội suy
bằng spline.
20
2.2. Hermites Spline
Trước hết ta xét bài toán nội suy đơn giản với hai mốc nội suy
p(a) = f(a) p

(a) = f


(a)
p(b) = f(b) p

(b) = f

(b)
trong đó a, b là các số thực.
Trên thực tế có vô số đa thức thỏa mãn bài toán nội suy trên nhưng chỉ có duy
nhất một đa thức bậc 3
p(t) = a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
+ a
3
t
3
và đa thức này được gọi là nội suy cubic Hermite của f.
Ta có thể chỉ ra sự tồn tại của p(t) trong bài toán trên
p(t) = p(a)φ
1
(t) + p(b)φ
2
(t) + p

(a)ψ

1
(t) + p

(b)ψ
2
(t)
trong đó
φ
1
(t) =
(t −b)
2
[(a −b) + 2(a −t)]
(a −b)
3
φ
2
(t) =
(t −a)
2
[(b −a) + 2(b −t)]
(a −b)
3
ψ
1
(t) =
(t −a)(t − b)
2
(a −b)
2

ψ
2
(t) =
(t −a)
2
(t −b)
(a −b)
2
(2.2.2)
với t
1
= a, t
2
= b thì
φ
i
(t
j
) = δ
ij
φ

i
(t
j
) = 0, 1 ≤ i, j ≤ 2
21
và
ψ
i

(t
j
) = 0
ψ

i
(t
j
) = δ
ij
, 1 ≤ i, j ≤ 2.
với
δ
ij
=





1, i = j
0, i = j
và có định lý chỉ ra sự duy nhất của p(t) như sau:
Định lý 2.2.1. Tồn tại duy nhất đa thức bậc 3 p(t) = a
0
+ a
1
t + a
2
t

2
+ a
3
t
3
là nghiệm
của bài toán nội suy p(t
i
) = f(t
i
), p

(t
i
) = f

(t
i
), i = 1, 2
Việc chứng minh định lý này sẽ được chứng minh trong một định lý mở rộng trong
phần sau. Bây giờ tiếp tục mở rộng bài toán nội suy trong trường hợp có n mốc nội
suy a = t
0
≤ t
1
≤ . . . ≤ t
n
= b] và xây dựng các đa thức Hermite p
i
(t) là nghiệm của






p
i
(t
i−1
) = f(t
i−1
) p

i
(t
i−1
) = f

(t
i−1
)
p
i
(t
i
) = f(t
i
), p

i

(t
i
) = f

(t
i
)
(2.2.3)
và đặt s(t) là đa thức bậc 3 từng mảnh
s(t) = p
i
(t), t
i−1
≤ t ≤ t
i
Do s là đa thức trên mỗi khoảng (t
i−1
, t
i
) nên có đạo hàm hữu hạn trên mỗi đoạn
đó. Hơn nữa, từ f(t
i
) = p
i
(t
i
) = p
i+1
(t
i

) = s(t
i
) và p

i+1
(t
i
) = s

(t
i
) = p

i
(t
i
) = f

(t
i
) với
mọi t
i
, 1 ≤ i ≤ n −1 nên
s ∈ C
1
[a, b]
22
2.2.1. Tính toán với Hermites Spline
Hàm f(t) được cho với phép phân hoạch π : a = t

0
≤ t
1
≤ . . . ≤ t
n
= b. Để tìm hàm
s(t) là nội suy Hermites bậc 3 của f(t) thì ta chọn hệ cơ sở như sau: với 1 ≤ i ≤ n −1,
lấy
φ
i0
=















(t −t
i−1
)
2

(t
i
− t
i−1
)
3
[2(t
i
− t) + (t
i
− t
i−1
)], t
i−1
≤ t ≤ t
i
(t
i+1
− t)
2
(t
i+1
− t
i
)
3
[2(t
i+1
− t) + (t
i+1

− t
i
)], t
i
≤ t ≤ t
i+1
0 các trường hợp khác
(2.2.4)
và
φ
i1
(t) =















(t −t
i−1
)

2
(t −t
i
)
(t
i
− t
i−1
)
2
, t
i−1
≤ t ≤ t
i
(t −t
i+1
)
2
(t −t
i
)
(t
i+1
− t
i
)
2
, t
i
≤ t ≤ t

i+1
0 trong các trường hợp khác
(2.2.5)
Các hàm φ
00
, φ
n0
, φ
01
, φ
n1
được định nghĩa như sau:
φ
00
(t) =







(t
1
− t)
2
(t
1
− t
0

)
3
[2(t
1
− t) + (t
1
− t
0
)] t
0
≤ t ≤ t
1
0 t
1
≤ t ≤ t
n
φ
n0
(t) =







(t −t
n−1
)
2

(t
n
− t
n−1
)
3
[2(t
n−1
− t) + (t
n
− t
n−1
)] t
n−1
≤ t ≤ t
n
0 t
0
≤ t ≤ t
n−1
φ
01
(t) =








(t −t
1
)
2
(t −t
0
)
(t
1
− t
0
)
2
t
0
≤ t ≤ t
1
0 t
1
≤ t ≤ t
n
φ
n1
(t) =








(t −t
n−1
)
2
(t −t
n
)
(t
n
− t
n−1
)
2
t
0
≤ t ≤ t
1
0 t
0
≤ t ≤ t
n−1
23
Và chú ý





φ

i0
(t
j
) = δ
ij
φ
i0
(t
j
)

= 0, 0 ≤ i, j ≤ n
(2.2.6)





φ
i1
(t
j
) = 0
φ
i1
(t
j
)

= δ

ij
, 0 ≤ i, j ≤ n
(2.2.7)
Vậy
s(t) = f(t
0
)φ
00
(t) + f(t
1
)φ
10
(t) + . . . + f(t
n
)φ
n0
(t)+
+ f

(t
0
)φ
01
(t) + f

(t
1
)φ
11
(t) + . . . + f


(t
n
)φ
n1
(t)
hay
s(t) =
n

i=0
f(t
i
)φ
i0
(t) +
n

i=0
f

(t
i
)φ
i1
(t) (2.2.8)
Chú ý 2.2.1. Nếu gọi H
3
(π) là không gian tất cả các đa thức từng mảnh bậc 3 Hermite
thì H

3
(π) là không gian tuyến tính có cơ sở B = {φ
00
, φ
01
, . . . , φ
n1
} và dimH
3
(π) =
2n + 2
2.2.2. Nội suy Hermite
Nội suy Hermite không chỉ tìm hàm p(x) khớp của hàm f(x) tại các mốc nội suy mà
còn cả đạo hàm liên tiếp đến một cấp nào đó. Cụ thể, cho các số thực x
1
< x
2
< . . . < x
k
và các số nguyên dương m
1
, m
2
, . . . , m
k
, chúng ta cần tìm hàm p(x) duy nhất có bậc
m
1
+ m
2

+ . . . + m
k
− 1 là nghiệm của bài toán nội suy
p
(j)
(x
i
) = f
(j)
(x
i
)
với mọi j = 0, m
i
− 1 và i = 1, k.
24
Định lý 2.2.2. Cho các số thực x
1
< x
2
< . . . < x
k
và các số nguyên dương
m
1
, m
2
, . . . , m
k
, khi đó tồn tại duy nhất đa thức p(x) có bậc m

1
+m
2
+. . .+m
k
−1 = N
hoặc nhỏ hơn là nghiệm của bài toán nội suy
p
(j)
(x
i
) = f
(j)
(x
i
)
với mọi j = 0, m
i
− 1 và f là hàm có đạo hàm liên tục cấp m
i
− 1 tại x
i
, i = 1, k
Chứng minh. Ta đi tìm hàm p(x) = a
N
x
N
+ a
N−1
x

N−1+ +a
0
thỏa mãn tại mỗi x
i
, i =
1, k, p
(j)
(x
i
) = f
(j)
(x
i
) trong đó j = 0, m
i
− 1. Tức là ta đi tìm N + 1 ẩn chính là các
hệ số a
N
, a
N−1
, . . . , a
0
.
Tại mỗi x
i
, từ điều kiện p
(j)
(x
i
) = f

(j)
(x
i
), j = 0, m
i
− 1 cho ta hệ m
i
phương trình
tuyến tính N + 1 ẩn. Ví dụ trong trường hợp i = j = 2, p

(x
2
) = f

(x
2
) cho ta:
N(N − 1)x
N−2
2
a
N
+ (N − 1)(N − 2)x
N−3
a
N−1
+ . . . + a
2
= f


(x
2
)
Từ m
i
phương trình tại mỗi mốc nội suy x
i
chúng ta có tổng số m
1
+ m
2
+ . . . + m
k
=
N + 1 phương trình tuyến tính N + 1 ẩn a
N
, a
N−1
, . . . , a
0
. Để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất của nghiệm của bài toán nội suy thì ta phải chứng minh ma trận các hệ
số của hệ tuyến tính là không suy biến.
Để đơn giản chúng ta viết hệ phương trình dưới dạng Ay = b trong đó y =
(a
N
, a
N−1
, . . . , a
0

)
T
và b = (f(x
1
), f

(x
1
), . . . , f
(m
1
−1)
(x
1
), f(x
2
), . . . , f
(m
k
−1)
(x
m
k
))
T
.
Nếu hệ Ay = 0 thì chỉ có nghiệm tầm thường a
N
= a
N−1

= . . . = a
0
= 0 do đó A
không suy biến.
Do đó không mất tính tổng quát, giả sử f(x) ≡ 0. Khi đó, ta tìm đa thức p(x)
thỏa mãn tại mỗi điểm x
i
, p
(j)
(x
i
) = 0 với j = 0, m
i
− 1. Tuy nhiên, ta biết rằng đa
thức bậc N có nghiệm x = r và có đạo hàm cấp l cũng triệt tiêu tại x = r thì có dạng
p(x) = α(x −r)
l+1
q(x) trong đó q(x) là đa thức bậc N − (l + 1) hoặc nhỏ hơn và α là
25