Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,Uo)- Lõm chính quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
NGUYỄN THỊ THU HÀ
SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA
VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO
GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
(K,u
0
)-LÕM CHÍNH QUY
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
NGUYỄN THỊ THU HÀ
SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA
VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO
GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
(K,u
0
)-LÕM CHÍNH QUY
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS.GVCC NGUYỄN PHỤ HY
HÀ NỘI, 2012
Mục lục
Mở đầu 6
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8
1.1 Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực . 9
1.3 Không gian E
u
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Định nghĩa không gian E
u
0
và một số tính chất đơn
giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . 15
1.4.1 Không gian R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Không gian l
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Không gian L
2
[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 TOÁN TỬ(K,u
0
)-LÕM CHÍNH QUY 36
2.1 Toán tử (K,u
0
) lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K,u

0
)-lõm . . 37
2.1.3 Ví dụ về toán tử (K,u
0
)-lõm . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Toán tử (K,u
0
)-lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K,u
0
)-lõm
chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3 Ví dụ về toán tử (K,u
0
)-lõm chính quy . . . . . . . . 48
2
3 SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG
VÀO GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u
0
) – LÕM
CHÍNH QUY 51
3.1 Sự tồn tại véctơ riêng dương của toán tử (K,u
0
)-lõm chính
quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57
Lời cám ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy
người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
hoàn chỉnh đề tài.
Tôi xin chân thành cảm các GS, TS giảng dạy chuyên ngành toán Giải
tích tại Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán
Giải tích K14 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề
tài.
Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giám
hiệu trường Cao đẳng nghề Cơ khí nông nghiệp Bình Xuyên – Vĩnh Phúc
cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất
nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hà
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hà
5
Mở đầu
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nhiều vấn đề của toán học, vật lý và kĩ thuật dẫn đến việc xét bài toán
tìm vectơ riêng và giá trị riêng của toán tử. Chính vì vậy mà bài toán này
đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu.

Các nhà toán học lừng danh như Hilbert, Banach, Frechet. . .đã nghiên
cứu vấn đề này từ những năm đầu của thế kỉ XX theo nhiều hướng khác
nhau. Một trong những hướng nghiên cứu lớn là lý thuyết khai triển theo
các véctơ riêng của một toán tử, rồi một họ hữu hạn các toán tử. Tiếp
theo đó, lý thuyết này được phát triển cho một hệ vô hạn các toán tử tự
liên hợp, dẫn đến hình thành lý thuyết toán tử tuyến tính trong các không
gian hàm vô hạn chiều mà công lớn thuộc về viện sĩ Bededanxki và các
học trò của ông.
Đặc biệt, nhà toán học Nga nổi tiếng M.A. Kraxnôxelxki đã nghiên cứu
lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm (1956). Sau đó GS-TSKH J.A. Bakhtin
mở rộng kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K,u
0
)- lõm (1984). Các lớp
toán tử trên có chung tính chất u
0
- đo được khiến cho việc ứng dụng trở
nên khó khăn.
Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối với
toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong
đó không yêu cầu toán tử có tính chất u
0
- đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS - GVCC Nguyễn Phụ
Hy tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “Sự phụ thuộc liên tục của
véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về toán tử (K,u

0
)- lõm chính
quy và sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của
toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy.
6
7
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
- Tìm hiểu về toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy.
- Tìm hiểu về sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị
riêng của toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy, sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương
vào giá trị riêng của toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến véctơ riêng, giá trị riêng của toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Thu thập tài liệu và các bài báo về véctơ riêng, giá trị riêng của toán
tử (K,u
0
)- lõm chính quy.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. GIẢ THIẾT KHOA HỌC (HAY NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI)
Nghiên cứu “Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị
riêng của toán tử (K,u
0
)- lõm chính quy” sẽ cho ta những hiểu biết sâu sắc
về vấn đề này. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho lớp các toán
tử khác. Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học
tương tự khác.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian định chuẩn thực
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P≡R hoặc
P≡C), cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là . (đọc là
chuẩn) thỏa mãn các điều kiện sau đây:
T
1
) (∀x∈X) . ≥ 0, . = 0 ⇔ x = θ (phần tử không của X );
T
2
) (∀x∈X) (∀α ∈P) αx = |α|. x;
T
3
) (∀x, y∈X) x + y ≤ x + y.

Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn
tương ứng là X. Các tiên đề T
1
, T
2,
T
3
gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Không gian định chuẩn X trên trường R gọi là không
gian định chuẩn thực, ký hiệu: X.
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
của không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ tới điểm x∈X, nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Định nghĩa 1.4. Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
trong không gian định chuẩn X được
gọi là dãy cơ bản, nếu lim
m,n→∞
x

n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
8
9
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.6. Cho không gian Banach thực E, một tập con khác rỗng
K⊂E gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây:
N
1
) K là một tập đóng trong không gian E;
N
2
) (∀x∈K),(∀y∈K) x+y ∈K;
N
3
) (∀x∈K),(∀t≥0) tx ∈K;
N
4
) (∀x∈K),(∀x= θ) -x /∈K.
1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực
Giả sử E là không gian Banach thực, K là nón trong không gian E, ta
đưa quan hệ sắp thứ tự vào không gian E như sau:
Với x, y ∈ E, ta viết x ≤ y, nếu y-x ∈ K. Khi đó quan hệ "≤" là một
quan hệ sắp thứ tự trên E. Thật vậy,
+) (∀x∈E) x≤x, vì x-x = θ ∈ K.

⇒Quan hệ "≤" có tính chất phản xạ.
+) (∀x, y, z∈E: x≤y, y≤z) ⇒y-x ∈ K, z-y ∈ K.
Ta có: z-x=(z-y)+(y-z) ∈ K ⇒ x≤z.
⇒ Quan hệ "≤" có tính chất bắc cầu.
+) (∀x, y∈E: x≤y, y≤x) x=y, vì nếu x =y thì y-x = θ. Do y-x ∈ K, nên
x-y /∈ K, mâu thuẫn với giả thiết y ≤ x.
⇒ Quan hệ "≤" có tính chất phản đối xứng.
Do đó quan hệ "≤" là quan hệ sắp thứ tự trong không gian E với nón
K. Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K đã cho trở thành không
gian Banach sắp thứ tự bộ phận hay không gian Banach nửa sắp thứ tự.
Từ định nghĩa, dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau (ngoài các tính
chất và khái niệm đã biết trong lý thuyết tập hợp).
Tính chất 1.1. Nếu (x)
∞
n=1
⊂ E, (y)
∞
n=1
⊂ E, x
n
≤ y
n
, ∀n = 1, 2, và
lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y

n
= y thì x≤y.
Thật vậy,
10
Với y
n
− x
n
∈ K, ∀n = 1, 2 , lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y −x và K là tập đóng
nên y-x ∈ K ⇒ x≤y.
Tính chất 1.2. Giả sử u
0
∈ K, x∈ E. Khi đó, nếu x≤ tu
0
thì x≤ γu
0
, ∀
γ ≥ t.
Thật vậy,
tu
0
− x ∈ K, (γ-t)u
0
∈ K

⇒ γu
0
- x=(γ-t)u
0
+ (tu
0
– x) ∈ K⇒ x ≤ γu
0
.
Tính chất 1.3. Giả sử u
0
∈ K, x
0
∈E và ∃t
0
∈R, x
0
≤ t
0
u
0
. Khi đó, tồn
tại số thực nhỏ nhất t sao cho x
0
≤ tu
0
.
Thật vậy,
Giả sử u
0

= θ và x
0
-tu
0
∈ K, ∀t∈R thì
x
0
|t|
+ u
0
signt ∈ K, ∀t ∈ R.
Cho t→ ∞, do K là tập đóng, ta được u
0
∈K và - u
0
∈K, mâu thuẫn
với tính chất nón K. Vì vậy, tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho x
0
≤tu
0
.
Tính chất 1.4. Giả sử u
0
∈K, x
0
∈K sao cho ∃t
0
>0, x
0
≥ - t

0
u
0
. Khi đó,
tồn tại só thực nhỏ nhất t sao cho x
0
≥- tu
0
.
Thật vậy,
Với x
0
∈E ⇒ -x
0
∈E.
Khi đó với u
0
∈K: ∃ t
0
>0, x
0
≥ -t
0
u
0
⇒ - x
0
≤ t
0
u

0
.
Theo tính chất 1.3, tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho: -x
0
≤ tu
0
hay
tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho x
0
≥-tu
0
.
1.3 Không gian E
u
0
1.3.1 Định nghĩa không gian E
u
0
và một số tính chất đơn giản
Cho không gian Banach thực E với nón K, giả sử u
0
∈K\{θ}. Phần tử
x∈ E gọi là u
0
– đo được nếu tìm được hai số không âm t
1
, t
2
sao cho:
−t

1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
Ta ký hiệu cận dưới đúng của t
1
là α(x), của t
2
là β(x). Theo các tính
chất 1.3, 1.4 của mục 1.2.2:
−α(x)u
0
≤ x ≤ β(x)u
0
. (1.1)
Hơn nữa, bất đẳng thức (1.1) còn thỏa mãn với mọi t
1
>α(x), t
2
>β(x).
11
Ký hiệu E
u
0
là tập hợp tất cả các phần tử x∈E có tính chất u
0
- đo

được.
Khi đó:
1. E
u
0
là không gian tuyến tính con của E. Thật vậy,
+) (∀x, y ∈ E
u
0
)(∃t
1
≥ 0, ∃t
2
≥ 0, ∃t
2
≥ 0, ∃t
4
≥ 0) sao cho:
−t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
, −t
3
u
0

≤ y ≤ t
4
u
0
⇒ −(t
1
+ t
3
)u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
)u
0
⇒ x + y ∈ E
u
0
.
+) (∀x ∈ E
u
0
)(∃t
1
≥ 0, ∃t
2
≥ 0) − t
1
u

0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Khi đó, (∀h∈R) thì:
hoặc −ht
1
u
0
≤ hx ≤ ht
2
u
0
nếu h≥0,
hoặc −ht
1
u
0
≥ hx ≥ ht
2
u
0
nếu h<0.
⇒hx∈ E
u
0
.
2. E

u
0
là không gian định chuẩn với chuẩn
x
u
0
= max {α(x), β(x)} (1.2)
Thật vậy, hiển nhiên .
u
0
là một ánh xạ E
u
0
vào tập số thực không
âm R
+
. Ta lần lượt kiểm tra các tiên đề về chuẩn.
+) (∀x ∈ E
u
0
) x
u
0
≥ 0, x
u
0
= 0 ⇔ max {α(x), β(x)} = 0
⇔ α(x) = β(x) = 0 ⇔ x = θ.
+) (∀x ∈ E
u

0
)(∀λ ∈ R) ta tìm được các số không âm t
1
, t
2
sao cho:
−t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Suy ra:
hoặc −λt
1
u
0
≤ λx ≤ λt
2
u
0
nếu λ ≥0,
hoặc −λt
1
u
0
≥ λx ≥ λt

2
u
0
nếu λ<0.
Khi đó:
Vớiλ ≥0: inf
t
1
(λt
1
) = λ inf
t
1
t
1
= λα(x), inf
t
2
(λt
2
) = λ inf
t
2
t
2
= λβ(x)
⇒ max {λα(x), λβ(x)} = λmax {α(x), β(x)}
= λ x
u
0

= |λ|x
u
0
.
12
Với λ<0:
inf
t
1
(−λt
1
) = −λ inf
t
1
t
1
= −λα(x),
inf
t
2
(−λt
2
) = −λ inf
t
2
t
2
= −λβ(x).
⇒ max {−λα(x), −λβ(x)} = −λmax {α(x), β(x)}
= −λ x

u
0
= |λ|x
u
0
.
Vì vậy (∀x ∈ E
u
0
)(∀λ ∈ R) λx
u
0
= |λ|x
u
0
.
+) (∀x, y ∈ E
u
0
)(∃t
1
≥ 0, ∃t
2
≥ 0, ∃t
2
≥ 0, ∃t
4
≥ 0) sao cho:
−t
1

u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
, −t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
⇒ −(t
1
+ t
3
)u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
)u
0
⇒ x + y ∈ E
u
0
.

Mặt khác:
inf(t
1
+ t
3
) ≤ t
1
+ t
3
⇒ inf(t
1
+ t
3
) ≤ inft
1
+ inft
3
;
inf(t
2
+ t
4
) ≤ t
2
+ t
4
⇒ inf(t
2
+ t
4

) ≤ inft
2
+ inft
4
.
Suy ra:
max {inf(t
1
+ t
3
); inf(t
2
+ t
4
)}
≤ max {(inft
1
+ inft
3
); (inft
2
+ inft
4
)}
Vì vậy x + y
u
0
≤ x
u
0

+ y
u
0
.
Do đó, hệ thức (1.2) xác định một chuẩn trên E
u
0
, chuẩn (1.2) gọi là
u
0
- chuẩn.
1.3.2 Một số định lý về nón
Định nghĩa 1.7. Cho không gian Banach thực E với nón K. Nón K
được gọi là nón chuẩn nếu (∃δ > 0) (∀e
1
, e
2
∈ K : e
1
 = e
2
 = 1) thì
e
1
+ e
2
 ≥ δ.
Định lý 1.1. Nếu K là nón chuẩn trong không gian Banach thực E, thì
không gian E
u

0
là không gian Banach theo u
0
- chuẩn.
Chứng minh. Giả sử (x
n
)
∞
n=1
là một dãy cơ bản bất kì trong không gian
E
u
0
theo u
0
- chuẩn, nghĩa là
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n, m ≥ n
0
) x
n
− x
m
 < ε
13
hay
−εu

0
≤ x
n
− x
m
≤ εu
0
. (1.3)
Do đó: x
n
− x
m
+ εu
0
∈ K
và x
n
− x
m

E
− ε u
0

E
≤ x
n
− x
m
+ εu

0

E
≤ 2Nε u
0

E
(do K là nón chuẩn nên từ x
n
− x
m
+ εu
0
≤ 2εu
0
suy ra x
n
− x
m
+ εu
0

E
≤ 2Nε u
0

E
).
Từ đó ta có: x
n

− x
m

E
≤ ε (1 + 2N) u
0

E
với ∀n, m ≥ n
0
. Điều
này cho thấy dãy (x
n
)
∞
n=1
là dãy cơ bản trong không gian Banach E nên
∃x ∈ E sao cho lim
n→∞
x
n
− x
E
= 0.
Qua giới hạn trong hệ thức (1.3) khi m → ∞ ta nhận được
−εu
0
≤ x
n
− x ≤ εu

0
, ∀n ≥ n
0
.
Chứng tỏ x
n
−x ∈ E
u
0
. Do đó x = x
n
−(x
n
− x) ∈ E
u
0
và x
n
− x ≤ ε,
với ∀n ≥ n
0
, hay dãy (x
n
)
∞
n=1
hội tụ trong E
u
0
.

Vậy E
u
0
là không gian Banach theo u
0
- chuẩn.
Định lý 1.2. Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E. Khi
đó, K là nón chuẩn khi và chỉ khi:
(∃M > 0) (∀y ∈ K\{θ}) (∀x ∈ E
y
) x
E
≤ M x
y
y
E
. (1.4)
Chứng minh.
Điều kiện cần
Giả sử K là nón chuẩn nhưng bất đẳng thức (1.4) không xảy ra. Tức
là: (∀n ∈ N
∗
) (∃y
n
∈ K\{θ}) (∃x
n
∈ E
y
n
) x

n

E
> n x
n

y
n
y
n

E
.
Ta nhận được dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ E, x
n
∈ E
y
n
, x
n
= θ(n = 1, 2, )đồng
thời:
x
n


y
n
<
x
n

E
n y
n

E
.
Từ đó và từ định nghĩa chuẩn trong không gian E
y
n
ta có:
−x
n

y
n
y
n
≤ x
n
≤ x
n

y
n

y
n
,
14
Suy ra
x
n

E
n y
n

E
y
n
≤ x
n
≤
x
n

E
n y
n

E
y
n
⇔ −
y

n
n y
n

E
≤
x
n
x
n

E
≤
y
n
n y
n

E
.
Đặt g
n
=
x
n
x
n

E
+

y
n
n y
n

E
∈ K\{θ}, h
n
=
−x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E
∈
K\{θ}.
Theo định nghĩa nón chuẩn:
(∃δ > 0)





g
n
g
n

E
+
h
n
h
n

E




≥ δ(n = 1, 2, ) (1.5)
Mặt khác
g
n
g
n

E
+
h
n
h
n


E
=
g
n
g
n

E
+
h
n
g
n

E
+
h
n
h
n

E
−
h
n
g
n

E

=
2y
n
n y
n

E
g
n

E
+
g
n

E
− h
n

E
g
n

E
h
n

E
h
n

và
g
n

E
=




x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E




E
≥





x
n
x
n

E




E
−




y
n
n y
n

E




E

= 1 −
1
n
,
h
n

E
=




−x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E





E
≤




−x
n
x
n

E




E
+




y
n
n y
n

E





E
= 1 +
1
n
⇒ −h
n

E
≥ −1 −
1
n
.
Suy ra: g
n

E
− h
n

E
≥ −
2
n
.
Tương tự:
g
n


E
=




x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E




E
≤




x

n
x
n

E




E
+




y
n
n y
n

E




E
= 1 +
1
n
,

h
n

E
=




−x
n
x
n

E
+
y
n
n y
n

E




E
≥





−x
n
x
n

E




E
−




y
n
n y
n

E




E
= 1 −

1
n
⇒ −h
n

E
≤ −1 +
1
n
.
Suy ra: g
n

E
− h
n

E
≤
2
n
.




g
n
g
n


E
+
h
n
h
n

E




≤




2y
n
ny
n

E
g
n

E





+




g
n

E
− h
n

E
g
n

E
h
n

E
.h
n




≤

2
n(1 +
1
n
)
+
2
n
1 +
1
n
=
4
n + 1
15
⇒ lim
n→∞



g
n
g
n

E
+
h
n
h

n

E



= 0. Mâu thuẫn với (1.5).
Vì vậy, (∃M > 0) (∀y ∈ K\{θ}) (∀x ∈ E
y
) x
E
≤ M x
y
y
E
.
Điều kiện đủ:
Giả sử bất đẳng thức (1.4) được thỏa mãn. Khi đó
∀x, y ∈ K : x = y = 1 ta có x
E
≤ M x
x+y
x + y
E
.
Nhưng do θ ≤ x ≤ x+y nên x
x+y
≤ 1, do đó:
x
E

≤ M x + y
E
⇒ x + y
E
≥
1
M
.
Vì vậy K là nón chuẩn.
Định nghĩa 1.8. Cho không gian Banach thực E với nón K.
Chuẩn trên không gian E gọi là nửa đơn điệu nếu
(∃N > 0) (∀x, y ∈ K : x ≤ y) x
E
≤ N y
E
.
Chuẩn trên không gian E gọi là đơn điệu nếu
(∀x, y ∈ K : x ≤ y) x
E
≤ y
E
.
Định lý 1.3. Chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu khi và chỉ khi K
là nón chuẩn.
Chứng minh. Giả sử K là nón chuẩn, theo định lý 1.2:
(∃M > 0) (∀x, y ∈ K, y = θ, x ≤ y) x
E
≤ M x
y
y

E
≤ M y
E
(do x
y
≤ 1).
Vậy chuẩn trong không gian E là nửa đơn điệu.
Giả sử (∃N > 0) (∀x, y ∈ K : x ≤ y) x
E
≤ N y
E
⇒ x
E
≤ N x + y
E
, ∀x, y ∈ K.
Do đó, ∀x, y ∈ K mà x
E
= y
E
= 1 thì bất đẳng thức trên vẫn
đúng, nghĩa là: 1 ≤ N x + y
E
⇒ x + y
E
≥
1
N
= δ > 0.
Vậy K là nón chuẩn.

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.4.1 Không gian R
n
1.4.1.1 Không gian Banach thực R
n
Cho không gian véctơ n chiều R
n
:
R
n
=

x = (x
j
)
n
j=1
; x
j
∈ R, j = 1, n

, n ∈ N
∗
.
16
Đối với véc tơ bất kỳ x = (x
1
, x
2
,. . . ., x

n
) ∈R
n
ta đặt:
x =




n

j=1
|x
j
|
2
. (1.6)
Khi đó, nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực ta có:
+) (∀x ∈ R) , x = (x
j
)
n
j=1
, x
j
∈ R, j = 1, n, do
n

j=1
|x

j
|
2
≥ 0, nên x
xác định và
x =




n

j=1
|x
j
|
2
≥ 0, j = 1, n;
x =

n

j=1
|x
j
|
2
= 0
⇔
n


j=1
|x
j
|
2
= 0
⇔ |x
j
|
2
= 0, j = 1, 2, , n
⇔ x
j
= 0, j = 1, 2, , n
⇔ x = θ
(θ = (0,0,. . . ,0) là phần tử không của R
n
);
+) (∀x∈R
n
) (∀α ∈R), αx = (αx
j
)
n
j=1
;
αx =

n


j=1
|αx
j
|
2
=

n

j=1
|α|
2
|x
j
|
2
=

|α|
2
n

j=1
|x
j
|
2
= |α|


n

j=1
|x
j
|
2
= |α|x;
+) (∀x, y∈R
n
), x = (x
j
)
n
j=1
, y = (y
j
)
n
j=1
ta có:
17
x + y = (x
j
+ y
j
)
n
j=1
;

n

j=1
|x
j
+ y
j
|
2
≤
n

j=1

|x
j
|
2
+ 2 |x
j
||y
j
| + |y
j
|
2

=
n


j=1
|x
j
|
2
+ 2
n

j=1
|x
j
||y
j
| +
n

j=1
|y
j
|
2
≤
n

j=1
|x
j
|
2
+ 2







n

j=1
|x
j
|




n

j=1
|y
j
|


+
n

j=1
|y
j

|
2
=






n

j=1
|x
j
| +




n

j=1
|y
j
|


2
⇒





n

j=1
|x
j
+ y
j
|
2
≤




n

j=1
|x
j
|
2
+




n


j=1
|y
j
|
2
;
hay x + y ≤ x + y.
Vậy công thức (1.6) cho một chuẩn trên R
n
.
Không gian định chuẩn thực tương ứng ký hiệu là R
n
.
R
n
cùng với chuẩn (1.6) thường gọi là không gian Eukleides n chiều.
Hơn nữa, không gian định chuẩn thực R
n
với chuẩn xác định bởi công thức
(1.6) là một không gian Banach thực. Thật vậy,
* Trước hết ta chứng minh sự hội tụ trong không gian R
n
là sự hội tụ
theo tọa độ: Giả sử điểm x
(k)
= (x
(k)
j
)

n
j=1
, k=1,2,. . . . hội tụ tới x = (x
j
)
n
j=1
trong không gian R
n
. Theo định nghĩa, ta có:
(∀ε > 0) (∃k
0
∈ N
∗
) (∀k ≥ k
0
)



x
(k)
j
− x
j



< ε
hay





n

j=1



x
(k)
j
− x
j



2
< ε
⇒



x
(k)
j
− x
j




< ε, ∀j = 1, n, ∀k = 1, 2,
Suy ra với mỗi j = 1, 2, , n dãy số thực (x
(k)
j
)
n
j=1
hội tụ tới số thực x
j
,
j = 1, 2, , n. Sự hội tụ như thế được gọi là sự hội tụ theo tọa độ.
18
Ngược lại, giả sử điểm x
(k)
= (x
(k)
j
)
n
j=1
, k=1,2,. . . . hội tụ theo tọa độ tới
x = (x
j
)
n
j=1
trong không gian R
n

. Theo định nghĩa với mọi j = 1, 2, , n
dãy (x
(k)
j
)
n
j=1
hội tụ tới x
j
thì (∀ε > 0) (∃k
j
∈ N
∗
) (∀k ≥ k
j
)



x
(k)
j
− x
j



<
ε
√

n
, j = 1, 2, , n
⇒

x
(k)
j
− x
j

2
<
ε
2
n
, ∀k ≥ k
j
, j = 1, 2, , n.
Đặt k
0
= max
1≤j≤n
k
j
thì

x
(k)
j
− x

j

2
<
ε
2
n
, j = 1, 2, , n, ∀k ≥ k
0
nên
n

j=1

x
(k)
j
− x
j

2
< ε
2
, ∀k ≥ k
0
⇒





n

j=1

x
(k)
j
− x
j

2
< ε, ∀k ≥ k
0
hay



x
(k)
j
− x
j



< ε, ∀k ≥ k
0
.
Suy ra dãy (x
(k)

j
)
n
j=1
hội tụ tới x theo chuẩn xác định bởi công thức
(1.6).
Vì vậy sự hội tụ trong không gian định chuẩn tương đương với sự hội
tụ theo tọa độ.
* Tiếp theo ta chỉ ra mọi dãy cơ bản trong không gian R
n
hội tụ:
Giả sử x
(k)
= (x
(k)
j
)
n
j=1
là một dãy cơ bản tùy ý trong R
n
. Theo như
định nghĩa dãy cơ bản, ta có:
(∀ε > 0) (∃k
0
∈ N
∗
) (∀k ≥ k
0
)




x
(k)
j
− x
j



< ε
hay




n

j=1



x
(k)
j
− x
(l)
j




2
< ε
⇒



x
(k)
j
− x
(l)
j



< ε, ∀k, l ≥ k
0
, ∀j = 1, n (1.7)
19
Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ với mỗi j = 1,2,. . .,n dãy x
k
j
là dãy
số thực cơ bản nên tồn tại giới hạn:
lim
j→∞
x
(k)

j
= x
j
, ∀j = 1, 2, , n.
Đặt x = (x
1
, x
2
, , x
n
), ta nhận được dãy đã cho hội tụ theo tọa độ
tới x. Nhưng theo chứng minh trên sự hội tụ trong không gian R
n
tương
đương với sự hội tụ theo tọa độ nên dãy cơ bản x
(k)
đã cho hội tụ tới x
trong không gian R
n
.
Do x
(k)
là dãy cơ bản tùy ý nên R
n
là không gian Banach thực.
1.4.1.2 Nón trong không gian Banach thực R
n
Trong không gian Banach thực R
n
tập hợp

K =

x = (x)
n
j=1
∈ R
n
: x
j
≥ 0, ∀j =
1, n

(1.8)
là một tập nón. Thật vậy,
+) Hiển nhiên K⊂R
n
, K= ∅ (do θ ∈K).
Lấy trong K dãy tùy ý hội tụ đến phần tử x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
điều đó
có nghĩa là
∀ε > 0, ∃k
0
∈ N
∗

, ∀k ≥ k
0
ta có:


x
(k)
− x


≤ ε
⇔ ∀k ≥ k
0
:




n

j=1



x
(k)
j
− x
j




2
< ε
=⇒ ∀k ≥ k
0
:



x
(k)
j
− x
j



2
< ε, ∀j = 1, 2, , n
⇒Với mỗi j cố định, dãy

x
(k)

∞
k=1
hội tụ đến x
j
khi k→ ∞, vì x

(k)
j
≥ 0
nên x
j
≥ 0. Do đó: x∈K.
Vì vậy K là tập đóng.
+) ∀x, y ∈ K : x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
, x
j
≥ 0, ∀j = 1, 2, , n,
y = (y
j
)
n
j=1
∈ R
n
, y
j
≥ 0, ∀j = 1, 2, , n
20
⇒ x + y = (x
j

+ y
j
)
n
j=1
∈ R
n
.
Vì x
j
≥ 0, y
j
≥ 0. Nên x
j
+ y
j
≥ 0, ∀j = 1, n.
Do đó x+y ∈ K.
+) ∀x ∈ K : x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
, x
j
≥ 0, ∀j = 1, n, ∀t ≥ 0
⇒ tx = (tx
j

)
∞
j=1
∈ R
n
.
Vì x
j
≥ 0, ∀j = 1, n, ∀t ≥ 0 ta có tx
j
≥0, ∀j = 1, n.
Do đó tx ∈ K.
+) ∀x ∈ K, x ≥ θ ⇒ x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
, x
j
≥ 0, ∀j = 1, n
và ∃n
0
: x
n
0
> 0 ⇒ −x
n
0

< 0.
Do đó: -x/∈K.
Tập K thỏa mãn 4 điều kiện về nón, nên K là một nón trong không gian
Banach thực R
n
.
1.4.1.3 Quan hệ sắp thứ tự trên R
n
Trong không gian Banach thực R
n
cùng với nón K xác định bởi công
thức (1.8) là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Thật vậy,
*) Với x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
ta có:
x ≤ y ⇔ x
j
≤ y

j
, ∀j = 1, 2, , n. vì:
x ≤ y ⇔ y − x ∈ K ⇔ y
j
− x
j
≥ 0, ∀j = 1, 2, , n
⇔ x
j
≤ y
j
, ∀j = 1, 2, , n.
*) Hai phần tử tùy ý trong không gian R
n
có thể không có quan hệ "≤",
chẳng hạn với x = (1, 0, 0 , 0), y = (0, 1, 1, , 1) ta có:
y − x = (−1, 1, 1, , 1) /∈ K ⇒ ta không có x ≤ y,
x − y = (1, −1, −1, , −1) /∈ K ⇒ ta không có y ≤ x.
Vậy không gian Banach thực R
n
cùng với nón K xác định bởi công thức
(1.8) là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
21
Từ đây ta chỉ ra được nón K còn là một nón chuẩn. Thật vây:
∀e
1
, e
2
∈ K, e
1

= (x
j
)
n
j=1
, e
2
= (y
j
)
n
j=1
, x
j
, y
j
≥ 0, ∀n ∈ N
∗
:
e
1
 = e
2
 = 1
⇔




n


j=1
|x
j
|
2
=




n

j=1
|y
j
|
2
= 1
Ta có e
1
+ e
2
 =

n

j=1
|x
j

+ y
j
|
2
≥

n

j=1
|x
j
|
2
= 1 = δ
Vậy K là một nón chuẩn.
1.4.1.4 Không gian R
n
u
0
Trong không gian Banach thực R
n
cùng với nón K xác định bởi công
thức (1.8), cho u
0
∈ K\{θ}, u
0
= (u
1
, u
2

, , u
n
), u
2
1
+ u
2
2
+ + u
2
n
= 0, n
= 1,2,. . . .
Gọi:
I
1
= {j : u
j
> 0}, I
2
= {j : u
j
= 0} thì I
1
= ∅ (do θ = u
0
∈ K) và
I
1
∪ I

2
= {1, 2, , n}
Ta sẽ chứng minh:
R
n
u
0
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
: x
j
= 0, j ∈ I
2
}. (1.9)
Đặt G = {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
: x
j

= 0, j ∈ I
2
} ta sẽ chứng minh hệ
thức (1.9) như sau:
* Với ∀x ∈ R
n
u
0
⇒ x ∈ R
n
và x có tính chất u
0
-đo được ⇒ ∃t > 0 sao
cho:
−tu
0
≤ x ≤ tu
0
⇒ −tu
j
≤ x
j
≤ tu
j
, ∀j = 1, 2,
Do đó với j ∈ I
2
, ta có:
u
j

= 0 ⇒ 0 ≤ x
j
≤ 0 ⇒ x
j
= 0, j ∈ I
2
.
Vậy x ∈ G.
* Ngược lại, giả sử x∈ G ta xét hai khả năng xảy ra:
+) Nếu x = θ ⇒ x ∈ R
n
u
0
.
22
+) Nếu x = θ ⇒ ∃j ∈ I
1
: x
j
= 0 ⇒ ∃max
j∈I
1
{|x
j
|} > 0.
Vì u
j
> 0, j ∈ I
1
và I

1
hữu hạn nên ∃min
j∈I
1
{u
j
} > 0.
Đặt: t =
max
j∈I
1
{|x
j
|}
min
j∈I
1
{u
j
}
> 0. Khi đó:
+) Với j ∈ I
2
⇒ u
j
= x
j
= 0 ⇒ −tu
j
≤ x

j
≤ tu
j
, j ∈ I
2
.
+) Với j ∈ I
1
ta có:
−tu
j
= −
max
j∈I
1
{|x
j
|}
min
j∈I
1
{u
j
}
u
j
≤ −max
j∈I
1
{|x

j
|} ≤ x
j
;
tu
j
=
max
j∈I
1
{|x
j
|}
min
j∈I
1
{u
j
}
u
j
≥ max
j∈I
1
{|x
j
|} ≥ x
j
hay −tu
0

≤ x ≤ tu
0
⇒ −tu
j
≤ x
j
≤ tu
j
, j ∈ I
1
.
Do đó ∃t =
max
j∈I
1
{|x
j
|}
min
j∈I
1
{u
j
}
> 0 để −tu
0
≤ x ≤ tu
0
.
nên x ∈ R

n
u
0
.
Vậy R
n
u
0
= G. Hệ thức (1.9) được chứng minh.
Theo định lý (1.1), R
n
u
0
là một không gian Banach theo u
0
- chuẩn.
1.4.2 Không gian l
2
1.4.2.1 Không gian Banach thực l
2
Cho không gian véctơ l
2
, trong đó
l
2
=

x = (x
n
)

∞
n=1
, x
n
∈ R,
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞

.
Đối với mỗi véctơ bất kỳ (x
n
)
∞
n=1
∈ l
2
ta đặt:
x =




∞


n=1
|x
n
|
2
. (1.10)
Công thức (1.10) xác định một chuẩn trên l
2
. Thật vậy,
23
+) ∀x ∈ l
2
, x =
∞

n=1
|x
n
|
2
≥ 0 và
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞ (theo định nghĩa l
2

)
nên x xác định và x ≥ 0;
x = 0 ⇔




∞

n=1
|x
n
|
2
= 0 ⇔
∞

n=1
|x
n
|
2
= 0 ⇔ |x
n
|
2
= 0
⇔ x
n
= 0, n = 0, 1, 2

⇔ x = θ
.
(θ = (0,0,. . . ,0,. . . ) là phần tử không của l
2
).
Tiên đề T
1
) được thỏa mãn.
+) ∀x = (x
n
)
∞
n=1
∈ l
2
, ∀α ∈ R ta có αx = (αx
n
)
∞
n=1
;
αx =

∞

n=1
|αx
n
|
2

=

α
2
∞

n=1
|x
n
|
2
= |α|

∞

n=1
|x
n
|
2
= |α|x.
Tiên đề T
2
) được thỏa mãn.
+) ∀x = (x
n
)
∞
n=1
∈ l

2
, ∀y = (y
n
)
∞
n=1
∈ l
2
ta có:
x + y = (x
n
+ y
n
)
∞
n=1
.
Khi đó, ∀k∈N
∗
,
k

n=1
|x
n
+ y
n
|
2
≤

k

n=1

|x
n
|
2
+ 2 |x
n
||y
n
| + |y
n
|
2

=
k

n=1
|x
n
|
2
+ 2
k

n=1
|x

n
||y
n
| +
k

n=1
|y
n
|
2
≤
k

k=1
|x
n
|
2
+ 2






k

n=1
|x

n
|




k

n=1
|y
n
|


+
k

n=1
|y
n
|
2
=






k


n=1
|x
n
| +




k

n=1
|y
n
|


2
24
⇒




k

n=1
|x
n
+ y

n
|
2
≤




k

n=1
|x
n
|
2
+




k

n=1
|y
n
|
2
.
Cho k→ ∞ trong bất đẳng thức trên, ta được : x + y ≤ x+y.
Tiên đề T

3
) được thỏa mãn.
Vậy công thức (1.10) xác định một chuẩn trên l
2
.
Không gian định chuẩn thực tương ứng kí hiệu là l
2
.
l
2
là một không gian Banach thực. Thật vậy,
Giả sử: x
(k)
=

x
(k)

∞
n=1
∈ l
2
, k = 1, 2, là một dãy cơ bản tùy ý trong
l
2
. Theo như định nghĩa dãy cơ bản, ta có
(∀ε > 0) (∃k
0
∈ N) (∀k ≥ k
0

) (∀p ∈ N) :



x
(k+p)
n
− x
(k)
n



<
ε
2
⇔




∞

n=1



x
(k+p)
n

− x
(k)
n



2
<
ε
2
, ∀k ≥ k
0
, ∀p ∈ N
⇒ ∀s ∈ N
∗
:




s

n=1



x
(k+p)
n
− x

(k)
n



2
<
ε
2
, ∀k ≥ k
0
, ∀p ∈ N. (1.11)
⇒



x
(k+p)
n
− x
(k)
n



<
ε
2
, ∀n ∈ N, ∀k ≥ k
0

, ∀p ∈ N, n = 1, s. (1.12)
Các bất đẳng thức (1.12) chứng tỏ với mỗi n cố định tùy ý 1 ≤ n ≤ s, dãy

x
(k)
n

là dãy số thực cơ bản nên tồn tại giới hạn
lim
k→∞
x
(k)
n
= x
n
, ∀n = 1, 2,
Đặt x = (x
n
)
∞
n=1
. Ta có x∈ l
2
. Thật vậy, cho qua giới hạn trong bất
đẳng thức (1.11) khi p→ ∞ ta được




s


n=1



x
n
− x
(k)
n



2
≤
ε
2
, ∀k ≥ k
0
, ∀s ∈ N
∗
.
Cho s→ ∞, ta lại có:

∞

n=1




x
(k+p)
n
− x
(k)
n



2
≤
ε
2
, ∀k ≥ k
0
, ∀p ∈ N.